9 класс Задание 3 1) Сумма нескольких последовательных натуральных чисел равна 1000. Найти эти числа. Решение. Искомые числа образуют арифметическую прогрессию с разностью 1. Пусть а – первый член последовательности, n – число её членов. Тогда 2a n 1 n 1 1000 , то есть a n 1000 . 2 2 Если n – нечетное (и, следовательно, n-1 - чётное), то n – делитель числа 1000, то есть может принимать значения 1, 5, 25, 125. При n=1 последовательность состоит из одного числа, при n=125 число а получается отрицательным. При n=5 a 2 200 , то есть искомые числа – 198, 199, 200, 201, 202. При n=25 а=28 и искомые числа – 28, 29, …, 51, 62. Если n – чётное, то 1000 на n не делится, а 2000 – делится. Поскольку 1000 2 3 5 3 , а 2000 2 4 5 3 , n может принимать значения 16, 80, 400. При n=16 получаем последовательность 55, 56, …, 69, 70, при n=80 и n=400 значение а отрицательно. Ответ: 198, 199, 200, 201, 202; 28, 29, …, 51, 62; 55, 56, …, 69, 70. 2) Вычислить 3 7 5 2 3 5 2 7 . Решение. Обозначим a 3 7 5 2 , b 3 5 2 7 . Тогда a 3 b 3 14 , a 3b 3 1. Искомое число 3 7 5 2 3 5 2 7 a b обозначим через t. Получаем 14 a3 b3 a b a2 ab b2 t t 2 3ab t 3 3t , 3 уравнение t 3t 14 0 имеет единственный действительный корень t=2. Ответ: 2 3) Найдите наименьшее и наибольшее значения выражения x 6 y 6 , если известно, что x 2 y 2 1. Решение. x 6 y 6 x 6 1 x 2 3 x 4 x 2 1 x 2 1 x 2 2 2 1 1 3x 4 3x 2 1 3 x 2 . 2 4 Отсюда видно, что наименьшее значение выражения равно ¼ и достигается при 2 1 x 2 y 2 . Наибольшее значение выражения при 0 x 2 1 равно 3 1 1 1 и 2 2 4 2 2 2 2 достигается оно при x 1 и при x 0 (соответственно, y 0 или y 1 ). Ответ: 1/4; 1. 4) При каких а уравнение x a 4 4 x a2 имеет ровно три корня? Найти эти корни. 2 Решение. При a=0 уравнение принимает вид x 16 x и имеет единственное решение х=0. Пусть a 0 . График функции y f x 4 4 x a 2 - ломаная линия с вершинами в точках 1 a2 a2 a ,0 , 0,4a 2 , ,0 . График функции y g x x - прямая с угловым 2 4 4 коэффициентом 1. Графики имеют три точки пересечения, если прямая проходит через a2 a2 a точку ,0 и, следовательно, 0 , либо через точку 0,4a 2 , то есть 4 2 4 a 4a 2 . 2 4a 2 a2 4 0 a2 4 a2 1 , два других (положительных) находим 4 17 15 из уравнения x 1 4 4x 4 : x2 , x3 . 17 15 a2 Во втором случае a=-1/8, x1 0 , два другие корня (большие по модулю, чем ) - корни 4 1 1 уравнения x 1 16 x 1 : x 2 , x3 . 120 136 16 16 15 17 1 1 Ответ: при a=-2 корни -1, , , при a=-1/8 корни 0, , . 120 136 17 15 В первом случае a=-2, один корень x1 5) Найти прямоугольный треугольник, стороны которого выражаются целыми числами и удвоенная площадь которого равна его утроенному периметру. Решение. Пусть длины сторон треугольника равны a, b, c. Тогда числа a, b, c – решения системы a2 b2 c2 . ab 3a b c ab a b . Возводя в квадрат и сравнивая с первым Из второго уравнения получаем c 3 уравнение, получим 2 a 2b 2 2 aba b 2ab 0 , то есть ab 18 6a b или a 6b 6 18 . Пусть a b . 9 3 Поскольку число 18 нельзя представить в виде произведения двух целых положительных сомножителей, каждое из которых меньше 6, оба числа a и b больше 6. Так как 18 18 1 9 2 6 3 , возможны следующие три случая: a 6 18 a 6 9 a 6 6 , , , то есть b 6 1 b 6 2 b 6 3 a=24, b=7, c=25, или a=15, b=8, c=17, или а=12, b=9, c=15. Ответ: стороны треугольника равны 9, 12, 15 или 7, 24, 25, или 8, 15, 17. 3