09-15-02

Тема 15. Комплексные числа
09-15-02. Квадратные корни из комплексного числа
Теория
2.1. Квадратные корни из комплексного числа определяются точно так же, как и
квадратные корни из действительного неотрицательного числа.
Квадратным корнем из комплексного числа W называется комплексное
число Z такое, что Z2=W.
Например, числа i и - i являются значениями квадратного корня из числа -1, потому
что i2=-1 по определению числа i, и (-i)=((-1). i)2=(-1)2. i2=1.(-1)=-1.
Квадратные корни из числа W обозначаются как W . Позже будет показано, что если
W  0 , то W имеет только два различных значения, которые противоположны друг другу.
С учетом этого для квадратного корня из числа -1 можем записать равенство 1  i .
2.2. Рассмотрим на примере, как можно находить значения квадратных корней из
комплексного числа.
Пример 1. Найти 8  6i .
Решение. Пусть комплексное число z=x+yi, где x и y – действительные числа,
удовлетворяет равенству z2=-8+6i. Так как z2=(x+yi)2=(x2+(yi)2+2xyi=x2-y2+2xyi, то
выполняется равенство
x2-y2+2xyi=-8+6i, откуда по определению равенства двух комплексных чисел
 x 2  y 2  8,

2 xy  6.
3
x
Из последнего равенства следует, что x  0 и y  . Подставляя данное выражение для
y в равенство x2-y2=-8, приходим к уравнению
x2 
Обозначим x2=m. Тогда m 
9
 8 ,
m
9
 8.
x2
откуда m2+8m-9=0. Решая это квадратное уравнение,
находим m1=-9, m2=1.
При m=-9 для x получаем уравнение x2=-9, которое действительных корней не имеет.
При m=1 для x получаем уравнение x2=1, откуда x1=1, y1=
y2 
3
 3, , z1  1  3i, x2  1,
x1
3
 3 , z2=-1-3i.
x2
Таким образом, значениями квадратного корня из числа W=-8+6i являются два числа
z1=1+3i, z2=-1-3i. Кратно это можно записать в виде 8  6i  (1  3i).
2.3.* Возможность извлечения квадратного корня из любого комплексного числа, в
том числе и из любого действительного числа, приводит к тому, что каждое квадратное
уравнение с действительными или комплексными коэффициентами имеет корни.
Пример 2. Решить уравнение x2+x+3=0.
Решение. Для нахождения корней сначала выделим полный квадрат в левой части:
2
1 1
1 
1  11
x2  x  3  x2  2   2  3    x    .
2 2
4 
2
4
В результате уравнение можно записать в виде
2
1
11

x    .
2
4


Так как 
11
11
 i
, то далее возможны два случая.
4
2
1
11
1  i 11
.
, откуда x1 
2
2
2
1
11
1  i 11
II. x2   i
, откуда x2 
2
2
2
1  i 11
1  i 11
Ответ. x1 
, x2 
.
2
2
I. x1   i
Пример 3. Решить уравнение (1+i)z2-(5+3i)z+10=0.
Решение. Сначала разделим все коэффициенты на 1+i:
5  3i (5  3i)(1  i) (5  3)  (5  3)i


 4  i,
1 i
(1  i)(1  i)
2
10
10(1  i)

 5  5i.
1  i (1  i)(1  i)
В результате приходим к уравнению z2-(4-i)z+(5-5i)=0. Затем, как и в предыдущем
примере, выделим в левой части полный квадрат:
4i  4i 
 4i 

  5  5i  
 
2
 2 
 2 
2
z 2  (4  i) z  (5  5i)  z 2  2 z 
4i 
15  8i 
4  i  5  12i

z
z
.
  5  5i 
 
2 
4
2 
4


2
2
4i 
5  12i
.
В итоге получим уравнение  z 
 
2

2 
4
Для нахождения его корней сначала вычислим
пункте 2.2. Пусть ( x  yi)2 
5  12i
, как это было показано в
4
5  12i
. Тогда
4
x 2  y 2  2 xyi 
5  12i
,
4
5
4
12
3
. Из последнего уравнения y  . Подставляя в уравнение
2x
4
5
9
5
x 2  y 2   , получаем x 2  2   0, 4x4+5x2-9=0. Отсюда, с учетом того, что x2  0 ,
4
4x
4
откуда x 2  y 2   , 2 xy 
находим
x2 
5  25  9 16 5  13

 1.
8
8
Следовательно,
3
3
4i
3
x1  1, y1  , x1  y1i  1  i, z1 
 1  i  3  i;
2
2
2
2
3
3
4i
3
x2  1, y2   , x2  y2i  1  i, z2 
 1  i  1  2i.
2
2
2
2
Ответ. z1=3+i, z2=1-2i.
2.4. Преобразования, которые на конкретных примерах выполнялись предыдущем
пункте, можно проделать и в общем виде для уравнения az2+bz+c=0, где a, b, c комплексные числа, причем a  0 . Итогом этой работы будет формула
z1,2 
b  b 2  4ac
2a
.
В полученной формуле над знаком корня стоит хорошо знакомое выражение D=b24ac, которое является дискриминантом квадратного уравнения. Так как в множестве
комплексных чисел квадратный корень из ненулевого числа принимает два значения, то
при D  0 полученная формула задает два различных корня квадратного уравнения.
Контрольные вопросы
1. Как определяется квадратный корень из комплексного числа?
2. Покажите на примере, как находить значения квадратного корня из комплексного
числа.
3. Покажите на примере, как находить корни квадратного уравнения с комплексными
коэффициентами.
4. Запишите формулу корней квадратного уравнения.
5. ** Выведите формулу корней квадратного уравнения.
Задачи и упражнения
1. Найдите значения квадратного корня из числа:
а) -8; б) -3-4i; в) 5-12i;
г) 15+8i; д)
ж)
12  5i
3  4i
; & е)
;
9
2
15i  8
; з) 7  6 2i ; и) 2 6i  1 .
2
2. Решите квадратное уравнение:
а) x22+2x+5=0; б) x2-6x+10=0;
в) 2x2+2x+5=0; г) x2+x+1=0;
д) x2-x+1=0;
е) x2+2x+3=0.
3. Решите квадратное уравнение:
а) z2+(2-6i)z-12-6i=0;
б) (1+i)z2+(3+5i)z+8i-14=0;
в) (4+2i)z2+(15-7i)z+8-16i=0;
г) (1-i)z2+(7-i)z+8+6i=0.
4.* Найдите четыре корня уравнения:
а) z4+1=0; б) z4+z2+1=0.
5.** Решите уравнение z4+z3+z2+z+1=0.
Ответы и указания
Задача 3. Решите квадратное уравнение:
а) z 2  (2  6i) z  12  6i  0 ;
б) (1  i) z 2  (3  5i) z  8i  14  0 ;
в) (4  2i) z 2  (15  7i) z  8  16i  0 ;
г) (1  i) z 2  (7  i) z  8  6i  0 .
Указание. Поделив обе части уравнения на коэффициент при старшей степени, получим
более простое уравнение.
Задача 4  . Найдите четыре корня уравнения:
а) z 4  1  0 ;
б) z 4  z 2  1  0 .
Указание. а) ( z 4  1)  ( z 2  i)( z 2  i ) .
б) Обозначив z 2  t , приходим к квадратному уравнению
t 2  t  1  0
корни которого t1 
1i 3
2
, t2  12i
3
.
Задача 5  . Решите уравнение z 4  z 3  z 2  z  1  0 .
Указание. Прежде всего, z  0 не является корнем уравнения. Поделив обе части
уравнения на z 2 , получаем
1
 2 1  
 z  2    z    1  0
z  
z

Обозначив z  1z  t , приходим к квадратному уравнению t 2  t  1  0 , корни которого
t1  12 5 , t2  12 5 .