Загрузил klotik20101983

Практическая работа 10 диф уравн 2 порядка

реклама
Практическая работа № 10
Тема: Применение обыкновенных дифференциальных уравнений при решении прикладных
задач
Цель: закрепить навыки решать линейные однородные дифференциальные уравнения 2 порядка.
Научиться применять решение дифференциальных уравнений к решению прикладных задач.
Оборудование: инструкционные карты.
Теоретический материал
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет следующий вид:
, где
и
– константы (числа), а в правой части – строго ноль.
Алгоритм решения линейного однородного уравнения второго порядка:
Для того чтобы решить данное ДУ, нужно составить так называемое характеристическое уравнение:
– это обычное квадратное уравнение, которое предстоит решить.
Существуют три варианта развития событий. Характеристическое уравнение имеет два
различных действительных корня
Если характеристическое уравнение
корня
,
(т.е., если дискриминант
имеет два различных действительных
), то общее решение однородного уравнения выглядит
так:
где
– константы.
В случае если один из корней равен нулю, решение очевидным образом упрощается; пусть,
например,
, тогда общее решение:
Характеристическое уравнение имеет два кратных действительных корня
Если характеристическое уравнение
имеет два кратных (совпавших)
действительных корня
принимает вид:
(дискриминант
), то общее решение однородного уравнения
, где
всё равно одинаковы.
– константы. Вместо
Если оба корня равны нулю
в формуле можно было нарисовать
, корни
, то общее решение опять же
упрощается:
. Кстати,
является общим решением того
самого примитивного уравнения
,
Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни
Если характеристическое уравнение
имеет сопряженные комплексные
корни
,
принимает вид:
), то общее решение однородного уравнения
(дискриминант
, где
– константы. Примечание: Сопряженные комплексные корни
почти всегда записывают кратко следующим образом:
Если получаются чисто мнимые сопряженные комплексные корни:
упрощается:
, то общее решение
Содержание практической работы: выполнить задание соответственно варианту.
1. В
2. В
3. В
4. В
5. В
6. В
7. В
№ 1, 9, 17, № 2, 10,
№ 3, 11,
№ 4, 12,
№ 5, 13,
№ 6, 14,
№ 7, 15,
25
18, 26
19, 27
20, 28
21, 29
22, 30
23, 31
8. В
№ 8, 16,
24, 32
Скачать