Решение линейного дифференциального уравнения

Решение дифференциального
уравнения
• y''' +3 y'‘ + 2y′= 1- x²
• Линейное, неоднородное, с постоянным
коэффициентом 3 порядка.
• 1) y''' +3 y'‘ + 2y′= 0
• у= е кх -предполагаемое решение
• y′=ке кх
• y'‘= к2е кх
• y''‘= к3е кх
• к3 е кх +3 к2 е кх +2 к е кх =0
• е кх (к3 + 3 к2 +2к) = 0
• (к3 +3 к2 + 2к)=0 – характеристическое
уравнение
• к(к2 +3к + 2) = 0
• к=0 или к1 = -1
•
к2 = -2
•
у
0х ; у = е2х ; у = е3х
=
е
1
2
3
фундаментальная система частного
решения
• у0 = с1 + с2 е2х + с3 е3х – общее решение
усеченного уравнения
• 2) f(x)= 1- х2
•
•
а=0 ; в=0 ; а+в=0; а-в=0 –есть
S=1
•
•
•
•
У = х ( А х2 + Вх + С)
н
у ’ = 3 А х2 +2Вх + С
н
у ” = 6 Ах+2В
н
у ”’ = 6 А
н
0
2
3
1
•
•
•
•
•
•
•
•
х2 : 6А=-1 ; А= - 1/6
х1 : 4В + 18А = 0 ; 4В + 18 * (-1/6) = 0 ; 4В - 3 =0 ;
4В = 3 ;
В = 3/4
х0 : 2С + 6В + 6А = 1 ;
2С + 6*3/4 + 6* (-1/6) =2С + 9/2 – 1 = 1
2С = - 5/2 ;
С = - 5/4
• Ответ:
• у = у0 + ун = с1 + с2 е2х + с3 е3х - (1/6)х3 +
• +(¾) х2 +(5/4) х