25.6. Найти общее решение уравнения, приведя его к

25.6. Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду.
8 16 4 0.
Определяем коэффициенты уравнения , и . Имеем:
1,
4,
16.
Вычисляем выражение:
4 1 16 0.
Поскольку 0 при всех , , данное уравнение является уравнением параболического типа во всей плоскости .
Находим общие интегралы уравнения характеристик:
8 16 0.
Решаем это уравнение относительно :
4 0,
4.
Следовательно, уравнение характеристик имеет единственный интеграл:
, 4.
Делаем замену переменных:
4,
.
При этом по правилу дифференцирования сложной функции:
4 0 4 ,
1 1 ,
4 2 4 0 0 0 0 16 ,
4 1 4 1 1 0 0 1 0 0 4 4 ,
1 2 1 1 1 0 0 2 .
Подставляя в исходное уравнение, получим:
16 84 4 16 2 4 4 0,
16 32 32 16 32 16 4 4 4 0,
16 4 0,
4 0.
Составляем соответствующее характеристическое уравнение:
4! ! 0.
Находим его корни:
!4! 1 0,
1
! 0,
! .
4
Следовательно, общее решение канонического уравнения можно записать в виде:
, " " # $⁄% ,
где " и " – произвольные дважды дифференцируемые функции.
Подставляя 4 и , получаем общее решение исходного уравнения:
, " 4 " 4# $⁄% .