Задачи с параметрами на определение свойств решений квадратных уравнений и неравенств • Свойства решений квадратных уравнений Рассмотрим квадратное уравнение ax bx c 0, (a 0) 2 Дискриминант (1) D b 4ac, корни x1;2 b D 2a 2 (в случае D0 ) Уравнение x2 b c x 0 a a получено из (1) делением на b , a c q . a x2 px q 0 (2) Введем обозначение Уравнение a 0. p называется приведенным квадратным уравнением. Теорема Виета Пусть уравнение (2) имеет действительные решения Тогда x1, x2 . x1 x2 p, x1 x2 q. Пример 1. Найти сумму и произведение корней уравнения 3x2 4 x 5 0. Решение. 1) Проверка: имеет ли уравнение действительные корни? D 4 2 4 3 (5) 0 Уравнение имеет действительные корни. 2) Нахождение суммы и произведения корней уравнения с использованием теоремы Виета. 4 5 x1 x 2 , x1 x 2 . 3 3 Пример 2. Найти сумму и произведение корней уравнения 2x2 3x 3 0. Решение. Проверка: имеет ли уравнение действительные корни? D 32 4 2 3 0 Уравнение не Ответ. имеет действительных корней. Уравнение не имеет действительных корней. Пример 3. При каких значениях параметра а произведение корней уравнения Решение. x2 ax 5a 0 равно 10 ? 1) Найдем все значения параметра а, при которых уравнение имеет действительные решения. D а2 4 1 5а а2 20а а(а 20) ≥ 0 a (-;0] [20; ). 2) По теореме Виета произведение корней уравнения равно 10, если Решение системы: Ответ. a . D 0, 5a 10. a (-;0] [20; ), a . a 2 Применение теоремы Виета при исследовании свойств решений квадратных уравнений Уравнение (2) имеет корни одного знака, если Уравнение (2) имеет корни разных знаков, если D 0, q 0. D 0, q 0. D 0, Уравнение (2) имеет положительные корни, если q 0, p 0. D 0, Уравнение (2) имеет отрицательные корни, если q 0, p 0. Пример 4. При каких значениях параметра а уравнение x2 ax 5a 0 имеет корни разных знаков ? Решение. 1) Найдем все значения параметра а, при которых уравнение имеет действительные решения. D а2 4 1 5а а2 20а а(а 20) > 0 a (-;0) (20; ). 2) Уравнение имеет корни разных знаков, если D 0, 5a 0. Решение системы: Ответ. a (-;0) (20; ), a (;0). a 0 a (;0). • Свойства решений квадратных неравенств Рассмотрим квадратное неравенство ax bx c 0 (*) ,(a 0) 2 Дискриминант (3) D b 4ac, b D корни x1;2 2a 2 (в случае (*) Возможные знаки неравенства: >, <, ≥, ≤. D0 ) Задача отыскания решений квадратного неравенства (3) связана с исследованием соответствующего квадратного уравнения (1), и, следовательно, с возможностью использовать теорему Виета для приведенного уравнения (2). При каких значениях параметра а неравенство Пример 5. - x2 ax 1 0 имеет только положительные решения ? Решение. y + - 0 x1 x2 x - D 0, 1 0, - a 0 Ответ. - существование решений неравенства в виде промежутка - корни квадратного уравнения (точки пересечения с осью Оx) – положительные a (2; ).