Пример3

2. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки А(2;-2)
вдвое меньше чем от прямой х+1=0.
Пусть точка М(x;y) принадлежит искомой прямой. Расстояние междуточками А
и М равно: AM  ( x  x A ) 2  ( y  y A ) 2  ( x  2 ) 2  ( y  2 ) 2 . Расстояние от точки
М до прямой х+1=0 равно d=х-(-1)=х+1.
По условию задачи d=2*АМ. Подставляя, получаем:
x  1  2 ( x  2 ) 2  ( y  2 ) 2 . Возводим в квадрат и упрощаем:
x  12  4( x  2 )2  ( y  2 )2 
x 2  2 x  1  4( x 2  4 x  4  y 2  4 y  4 )
x 2  2 x  1  4 x 2  16 x  4 y 2  16 y  32
3 x 2  18 x  4 y 2  16 y  31  0
Преобразуем уравнение:
3 x 2  18 x  4 y 2  16 y  31  0
3( x 2  6 x )  4( y 2  4 y )  31
3( x 2  2 * x * 3  9  9 )  4( y 2  2 * y * 2  4  4 )  31
3( x  3 ) 2  27  4( y  2 ) 2  16  31
3( x  3 ) 2  4( y  2 ) 2  12
( x  3 )2 ( y  2 )2

1
4
3
Данная кривая – эллипс.
3.
Составить уравнение эллипса, симметричного относительно осей координат, с
фокусами на оси ОХ, если большая ось его равна 8, а расстояние между
директрисами равно 16.
Уравнение эллипса, симметричного относительно осей координат имеет вид:
x2 y 2

1
a2 b2
По условию задачи,
1) большая полуось равна 8, следовательно a=4.
a
2) расстояние между директрисами равно 16. Т.е.: 2  16

Учитывая, что   1 
b2
, получаем:
a2
Получаем b2=12.
Окончательно получаем:
x2 y 2

1
16 12
a
1
b2
a2
 8 или
1
b2 1
 ,
16 2