УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ
ПРОИЗВОДНЫМИ
Рассмотрим уравнение вида:
u
u
u
u
u
a 2  2b
c 2 d
 e  fu  g
xy
x
y
x
y
2

2
Здесь u ( x, y )
2
- искомая функция
В зависимости от соотношения
между коэффициентами существуют
различные виды уравнений


При a  b  c  f  0, d  0, e  0
Получаем уравнение переноса
u
u
p
q
x
y
Если хотя бы один из
коэффициентов а, b, с отличен от
нуля, то получим уравнение второго
порядка.


1. При D  b2  ac  0
Получаем волновое уравнение (гиперболическое)
u
2  u
a
2
2
t
x
2
2

При D = 0

уравнение теплопроводности (параболическое)
u
u
a 2 , a0
t
x
2


При D < 0
уравнение Лапласса (эллиптическое)
u
u
a 2 0
2
x
y
2

2
Если правая часть уравнения Лапласса отлична от
нуля, то оно называется уравнением Пуассона.
Элементы теории разностных схем

Запишем смешанную краевую задачу в виде
U
 2U
 a 2 , 0  x  1, t  0, a  0,
t
x
U ( x, 0)   ( x),
(1)
U (0, t )   1 (t ),
U (1, t )   2 (t ).

Введем равномерную прямоугольную сетку с
помощью координатных линий
xi  ih (i  0,1,..., I ), t j  j ( j  0,1,..., J )

h и  — соответственно шаги сетки по
направлениям х и t.

Значения функции в узлах сетки обозначим
Ui  U ( xi , t j )
j

Значения функции в узлах сетки заменим
соответствующими значениями сеточной функции
j
которые удовлетворяют
уравнениям, образующим
ui
разностную схему.

Заменяя в исходном уравнении частные
производные искомой функции с помощью
отношений конечных разностей, получаем
разностную схему
ui
j 1
 ui

j
a
j
ui 1
j
 2ui  ui 1
2
j
h
,

В записи этой схемы для каждого узла
использован шаблон:
i, j  1

h
h
i  1, j
i, j
i  1, j


Получаем систему алгебраических уравнений
для определения значений сеточной функции
во внутренних узлах.
Значения в граничных узлах находятся из
граничных условий
j
u0
  1 (t j ),
j
u1
  2 (t j ).

Данная схема называется явной.

Для начала счета по явной схеме при j = 1
необходимо знать решение на начальном слое при
j = 0. Оно определяется начальным условием (1),
которое запишется в виде
0
ui
  ( xi ).
в рассмотренном примере мы получаем
двухслойные схемы, когда в каждое
разностное уравнение входят значения
функции из двух слоев:
 нижнего, на котором решение уже найдено,
и
 верхнего, в узлах которого решение ищется.


С помощью рассмотренного способа
построения разностных схем, могут быть
созданы многослойные схемы, а также
схемы высоких порядков точности.
Рассмотрим смешанную задачу для
двумерного линейного уравнения
U
U
U
 a1
 a2
 F ( x, y, t ),
t
x
y
0  x  1, 0  y  1, 0  t  T ,
U ( x, y, 0)   ( x, y ),
U (0, y, t )  1 ( y, t ),
U ( x, 0, t )   2 ( x, t ).


В трехмерной области (x, y, t) построим
разностную сетку, ячейки которой имеют форму
прямоугольного параллелепипеда.
Для этого проведем координатные плоскости
через точки деления осей х, у, t:
xi  ih1 , y j  jh2 , tk  k .

Значение сеточной функции в узле (i, j , k ) с
помощью которой аппроксимируются значения
k
функции U ( xi , y j , tk ) обозначим через ui j
Построим безусловно устойчивую разностную схему
первого порядка.

i  1, j , k  1
i, j , k  1
Шаблон изображен на рис.

t
i, j  1, k  1
y
i, j , k
0

x
где выделена одна ячейка разностной
сетки. Сплошными линиями соединены узлы шаблона.
Нижний слой (нижнее основание параллелепипеда)
имеет номер k, верхний k + 1.

k 1
ui , j
запишем разностное уравнение,
аппроксимирующее дифференциальное уравнение
k
 ui , j

 a1
k 1
ui , j
k 1
 ui 1, j
h1
 a2
k 1
ui , j
k 1
 ui , j 1
h2

k
fi , j

Разрешим это уравнение относительно значения
сеточной функции в узле (i, j, k + l):
k 1
u i, j

k
u i, j

k 1
1u i 1, j

k 1
2u i , j 1
1 1   2
 1 a1 / h 1 ,  2  a2 / h2 .

k
fi, j
,

Вычислительный алгоритм этой схемы аналогичен
алгоритму одномерной схемы.

Здесь также счет производится по слоям k = 1, 2,..., К.

При k = 0 используется начальное условие, которое
нужно переписать в разностном виде:
0
ui , j
 i , j

На каждом слое последовательно
вычисляются значения сеточной функции в
узлах.
При этом последовательность перехода от
узла к узлу может быть различной:
 двигаются параллельно либо оси х, либо
оси у.
