Задания и решения для олимпиады учителей математики 2013 года Задача 1 Дана функция 𝑓(𝑥) = 1 3 √1−𝑥3 . Найдите значение 𝑓(𝑓(. . . 𝑓(2). . . )). ⏟ 2013раз Решение: Для нашей функции 𝑥 ≠ 0, 𝑥 ≠ 1. Найдем 𝑓(𝑓(𝑥)) = 1 3 √1−(𝑓(𝑥)) 3 3 1 = √1 − 𝑥 3 1 𝑓 (𝑓(𝑓(𝑥))) = 3 3 √1 − ( √1 − 13 ) 𝑥 3 = 1 √1 − 1 + 13 𝑥 = 𝑥. 3 Т.е. значения 𝑓 (𝑓(… 𝑓(𝑥))) будут повторяться с периодом 3. Число 2013 делится на 3 без остатка. Значит ⏟ 𝑓(𝑓(. . . 𝑓(2). . . )) = 2 2013раз Ответ: 2. Задача 2 На олимпиаду юных математиков приехал 201 человек из 5 стран. Среди каждых 6 из них найдутся двое одинакового возраста. Докажите, что из некоторой страны на олимпиаду приехало не менее 5 человек одного и того же возраста. Решение: 1) Заметим, что различных возрастов не более пяти. Действительно, иначе можно было бы выбрать 6 человек разных возрастов, что противоречит условию. 2) Поскольку 201=5*40+1, то, по принципу Дирихле, найдется, по крайней мере, 41 человек одного возраста (если различных возрастов меньше, то это, естественно, также справедливо). 3) Из этих 41 человека найдется, по крайней мере, 9 человек из одной страны (41=5*8+1, принцип Дирихле). 4) Из этих 9 найдется, по крайней мере, 5 человек одного возраста (9=2*4+1, принцип Дирихле) ч.т.д. Задача 3 Дан треугольник. Из его медиан построили второй треугольник, а из медиан второго треугольника построили третий. Доказать, что третий треугольник подобен исходному. Решение Обозначим стороны исходного треугольника через a, b, c Тогда его медианы вычисляются по формулам 𝟏 𝟏 𝟏 𝒎𝒂 = √𝟐(𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 ) − 𝒂𝟐 , 𝒎𝒃 = √𝟐(𝒂𝟐 + 𝒄𝟐 ) − 𝒃𝟐 , 𝒎𝒄 = √𝟐(𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 ) − 𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 Через 𝑴 𝒂 , 𝑴𝒃 , 𝑴𝒄 обозначим медианы третьего треугольника, тогда 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝑴𝒂 = √𝟐(𝒎𝟐𝒃 + 𝒎𝟐𝒄 ) − 𝒎𝟐𝒂 , 𝑴𝒃 = √𝟐(𝒎𝟐𝒂 + 𝒎𝟐𝒄 ) − 𝒎𝟐𝒃 , 𝑴𝒄 = 𝟏 𝟐 √𝟐(𝒎𝟐𝒂 + 𝒎𝟐𝒃 ) − 𝒎𝟐𝒄 Далее 𝟏 𝟐(𝒂𝟐 +𝒄𝟐 )−𝒃𝟐 𝟐 𝟒 𝑴𝒂 = √𝟐 ( + 𝟐(𝒂𝟐 +𝒃𝟐 )−𝒄𝟐 𝟒 )− 𝟐(𝒃𝟐 +𝒄𝟐 )−𝒂𝟐 𝟒 𝟐 𝟏 𝟗𝒂 𝟑 = √ = 𝒂 𝟐 𝟒 𝟒 Аналогично 𝟑 𝟑 𝟒 𝟒 𝑴𝒃 = 𝒃, 𝑴𝒄 = 𝒄 А это и означает подобие с коэффициентом ¾ Задача 4 Решить уравнение: (𝑥 2 + 1)3 − (4𝑥 + 6)3 + 216 + 18(4𝑥 + 6)(𝑥 2 + 1) = 0. Решение: Обозначим (𝑥 2 + 1) = 𝑎, (−4𝑥 − 6) = 𝑏, 6 = 𝑐. Тогда исходное уравнение примет вид: 𝑎3 + 𝑏 3 + 𝑐 3 − 3𝑎𝑏𝑐 = 0. Эту формулу можно преобразовать следующим образом: 𝑎3 + 𝑏 3 + 𝑐 3 − 3𝑎𝑏𝑐 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 − 𝑎𝑏 − 𝑏𝑐 − 𝑎𝑐) =(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) (𝑎−𝑏)2 +(𝑎−𝑐)2 +(𝑏−𝑐)2 2 . Т.е. получаем уравнение (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) (𝑎−𝑏)2 +(𝑎−𝑐)2 +(𝑏−𝑐)2 2 = 0. Отсюда (𝑎−𝑏)2 +(𝑎−𝑐)2 +(𝑏−𝑐)2 (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) = 0или 2 = 0. 1) Если (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) = 0, получаем уравнение (𝑥 2 + 1) + (−4𝑥 − 6) + 6 = 0. Приводя подобные 𝑥 2 − 4𝑥 + 1 = 0. Находим корни этого уравнения 𝑥1 = 2 − √3, 𝑥2 = 2 + √3 2) Условие (𝑎−𝑏)2 +(𝑎−𝑐)2 +(𝑏−𝑐)2 2 = 0 равносильно системе: 𝑥 2 + 1 = −4𝑥 − 6, { 𝑥 2 + 1 = 6, −4𝑥 − 6 = 6, которая не имеет решений. Ответ: 2 − √3, 2 + √3. Задача 5 Найдите все положительные значения а, при которых область значения функции 𝑎 𝑥−1 + 3 𝑦= 𝑥 𝑎 + 2𝑎 не содержит ни одного целого четного числа. Решение: Т.к.𝑎 > 0,перейдем к равносильному уравнению: 1 𝑦𝑎 𝑥 + 2𝑦𝑎 = 𝑎 𝑎 𝑥 + 3 1 1 𝑎 𝑎 Отсюда 𝑎 𝑥 (𝑦 − ) = 3 − 2𝑦𝑎. При y= уравнение не имеет решений (0 ≠ 1. Следовательно, можно выразить 𝑎 𝑥 = Т.к. a>0, то 3−2𝑎𝑦 𝑦− 1 𝑎 3−2𝑎𝑦 𝑦− 1 𝑎 1 3 > 0. Решая, получаем 𝑦 ∈ (𝑎 ; 2𝑎). Это и есть область значений данной функции. Этот интервал не содержит ни одного четного числа, если лежит внутри отрезка [2k-2;2k], 𝑘 ∈ 𝑁 . Для этого условия потребуем: 1 𝑎 { ≥ 2𝑘 − 2, 3 ≤ 2𝑘 2𝑎 запишем в виде { 1 𝑎 ≥ 2𝑘 − 2, 1 ≤ 𝑎 4𝑘 3 Это условие будет выполняться, если 2𝑘 − 2 ≤ 4𝑘 3 . Т.е. если 𝑘 ≤ 3. 1 Рассмотрим k=1 {𝑎1 𝑎 1 при k=2 получаем {𝑎1 𝑎 1 при k=3 получаем {𝑎1 𝑎 ≥ 0, 4 ≤3 ≥ 2, 8, ≤3 ≥ 4, ≤4 3 Отсюда 𝑎 ≥ . 4 3 1 8 2 и находим ≤ 𝑎 ≤ . 1 , отсюда 𝑎 = . 4 Ответ: 𝑎 = 1 ; 3 ≤ 𝑎 ≤ 1 ; 𝑎 ≥ 3. 4 8 2 4 Задача 6 Средней линией тетраэдра назовем отрезок, соединяющий середины противоположных сторон. Доказать, что объем тетраэдра не превышает одной третьей от произведения средних линий. Решение Выберем вершину и обозначим векторы, соответствующие ребрам, выходящим из этой вершины, через ⃗ , ⃗𝒃, 𝒄 ⃗ 𝒂 Тогда средним линиям соответствуют векторы ⃗ + ⃗𝒃 − 𝒄 ⃗ )⁄𝟐, (𝒂 ⃗ +𝒄 ⃗ − ⃗𝒃 )⁄𝟐, (𝒄 ⃗ + ⃗𝒃 − 𝒂 ⃗ )⁄ 𝟐 (𝒂 Произведение длин трех векторов не менее модуля их смешанного произведения. Находим ⃗ −𝒄 ⃗ )⁄𝟐)((𝒄 ⃗ −𝒂 ⃗𝒄 ⃗𝒄 ⃗ +𝒃 ⃗ )⁄𝟐)((𝒂 ⃗ +𝒄 ⃗ −𝒃 ⃗ +𝒃 ⃗ )⁄𝟐) = 𝟏⁄𝟖 (𝟒(𝒂 ⃗𝒃 ⃗ )) = 𝟏⁄𝟐 (𝒂 ⃗𝒃 ⃗) ((𝒂 Так как объем тетраэдра равен ⃗ ⃗𝒃𝒄 ⃗) 𝟏⁄𝟔 (𝒂 то отсюда и получаем требуемое соотношение.