Государственное областное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «ЛИПЕЦКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ» Методическая разработка урока математики на тему «Производная композиции функции» Выполнил: преподаватель Заварзина В.Г. Липецк 2021 г. Тема: «Производная композиции функции». Тип урока: комбинированный Вид урока: проблемный Цели: 1. Образовательные: а) закрепить навыки распознавания сложных функций и нахождения производных сложных функций; б) обобщить знания обучающихся о сложной функции и правиле нахождения производной сложной функции; в) сформировать умения и навыки использования вычисления производной сложной функции для вычисления различных величин при решении прикладных задач и задач производственной направленности. 2. Развивающие: а) развитие профессиональных качеств обучающихся (умений применять полученные знания на практике); б) развитие познавательных умений и мышления (выделять главное, анализировать, сравнивать, определять и объяснять понятия). 3. Воспитательные: а) воспитание навыков самостоятельной работы; б) воспитание дисциплинированности; в) воспитание эстетических взглядов. Планируемый результат обучения, в том числе и формирование УУД: активизировать мыслительную деятельность обучающихся, формирование положительной мотивации, развитие коммуникативных умений, демонстрация значимости математических знаний в практической деятельности; реализация принципа связи теории и практики; Познавательные УУД: поиск и выделение необходимой информации; выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности; формулирование проблемы; самостоятельное создание способов решения проблем творческого и поискового характера. Коммуникативные УУД: инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации; выявление, идентификация проблемы, поиск и оценка альтернативных способов разрешения конфликта, принятие решения и его реализация; умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации; Регулятивные УУД: целеполагание, прогнозирование, контроль, коррекция, оценка, саморегуляция. Личностные УУД: профессиональное, установление обучающимися связи между целью учебной деятельности и её мотивом, между результатом учения и тем, что побуждает к деятельности, ради чего она осуществляется. Межпредметные связи: история-электротехника-физика- производственное обучение. Оборудование и наглядные средства обучения: демонстрационный и раздаточный материал, задачник “Алгебра и начала математического анализа” (профильный уровень часть 2) под редакцией А. Г. Мордковича . Технологическая карта урока Этапы урока I.Организа ционный момент Содержание учебного материала. Деятельность учителя Деятел обучаю Приветствие, проверка готовности к уроку (рабочих Настраиваются тетрадей, учебников, письменных принадлежностей). проверяют гот рабочего места II. Тема урока: «Дифференцирование сложной функции». Записывают те Цели урока: Сообщение темы и -обобщить знания обучающихся о сложной функции целей урока. и правиле нахождения производной сложной функции; -сформировать умения и навыки использования вычисления производной сложной функции для вычисления различных величин при решении прикладных задач и задач производственной направленности. Эпиграф к уроку : “Просто знать - ещё не всё, знания нужно использовать” - Гёте Ш. Мотивация. - всюду Анализируют информацию и знания. Под электрическим током понимают направленное движение свободных электрически заряженных частиц. В наших домах, в транспорте, на заводах работает электрический ток. Количественной характеристикой электрического тока является сила тока. Сегодня на уроке мы применим ваши знания, касающиеся математики и электротехники при решении задач профессиональной направленности . Давайте рассмотрим следующую задачу. Задача. (Преподавателем вводится задача, решение которой Ответ обучающ приводится в конце урока. ) Пока эту задач Заряд, протекающий через проводник, меняется по не можем, т q Sin(2t 10) закону . Найти силу тока в момент времени t=5 cек. хватает некото производных. Можем ли мы решить эту задачу? На уроке мы расширим свои знания о производных и применим их для решения данной задачи. IV.Актуализ Сегодня к уроку нужно было приготовить сообщение Ответ обучающ о Исааке Ньютоне и Г.В. Лейбнице. ация Историческая опорных Производная знаний фундаментальн математики. Оно возникло Независимо д И.Ньютон и Г. Лейбниц теорию дифф исчисления. О Ньютоне. Был этот мир г окутан. Да будет свет! Ньютон. А.Поуг. Исаа (1643-1727) создателей дифференциал исчисления. Ньютоном был основные вопр математики, а его времени. Ньютон, реш проведение к кривым, вычи криволинейны создает об решения таких флюксий ( Ньютон производную любой степенн дифференциал интегральном ученый подро своей самой работе по «Метод флю 1671), кот опубликована смерти. В заложены математическо О Лейбнице Готфрид Лейбниц. (1646 Работы составляют математическо В основу но положил дифференциал правила производной разности, дроби. Лейбниц понятию решая задачу касательной к линии, объяс геометрически Но это не гово до них эти изучались. Зад Архимед не задачу на касательной к кривой, ка применяя предельные пе сумел найти функции. Используя дифференциал исчисления, предсказали кометы Галле большим наукиXVIII век Необходимо Ньютон не определения Впервые производной сформулирован французским О.Коши, и определение общепринятым настоящее используется курсах анализа Анализируют информацию и знания по задан Обучающийся: сложной функ произведению производной промежуточно Повторение пройденного материала: на произво 1. Что называется дифференцированием сложной аргумента по переменной функции? Обучающийся: 1. С 0 2. Назовите формулы элементарных функций. для производных 2. x 1 3. ( x 2 ) 2 x 4. ( x n ) nxn 5. (kx m) 1 1 6. 2 x x 1 7. ( x ) 2 x Обучающий 1. (sin x) cos 3. Назовите формулы для тригонометрических функций. производных 2. (cos x) 3. (tgx) 1 cos2 4. (ctgx) s Обучающийся: 4. Назовите правила вычисления производных Основные дифференциро Пусть тогда: 5. Какая функция является сложной? Обучающийся: функций сложными фун Пусть функ определена на и U – множе этой функц множество областью функции y=f(u соответствие к число f(g(x)) . множестве X функция y= называют функций ил функцией. 6. Назовите формулу нахождения производной Обучающийся: сложной функции. f ( g ( x)) g ( x) --правило дифференциро функции. 7. Перед Вами несколько функций. Давайте назовём из каких функций состоят Обучающийся: следующие функции и найдём их производные. a) f(x)= tg3x Решение: f ( x) б) y= x 2 8 Решение: y( x) в) y= (5x 2 14)10 Решение: y( x) г) f(x)= 1 2x 3 Решение: f ( x) д) f(t)=sin(2t+ 4 Решение: f ( x) 8. Теперь перейдем к самостоятельной работе. Самостоятельная работа. I Вариант II Вариант Найдите функций: производные Найдите функций: 1) y=cos7x 1) y=sin10x 2) y= (4 x 10) 3 3) y= x 3 24 4) y=3sinx+ x 4 5) y= 1 9 x 14 Обучающиеся примеры Правильное примеров самостоятельн производные I Вариант 1) y=cos7x Решение: 2) y= x 5 18 3) y= (10 x 25) 5 4) y= x 5 +4cosx 5) y = 1 7 x 25 y 7 sin 7 x 2) y= (4 x 10) 3 Решение: y( x) 12(4 x 10) 3) y= x 3 24 Решение: y( x) 3x 2 2 x3 24 4) y=3sinx+ x 4 Решение: y 3 cos x 4 x3 1 5) y= 9 x 14 Решение: y 9 (9 x 14) 2 II Вариант 1) y=sin10x Решение: y 10 cos10x 2) y= x 5 18 Решение: y( x) 5x4 2 x5 18 3) y= (10 x 25) 5 Решение: y( x) 50(10 x 2 4) y= x 5 +4cosx Решение: y 5x 4 4 sin x 5) y = 1 7 x 25 Решение: y V. Решение задач. Вернёмся к теме нашего сегодняшнего урока. Производная функции используется всюду, где есть неравномерное протекание процесса: это и неравномерное механическое движение, и переменный ток, и химические реакции и радиоактивный распад вещества и т.д., так как механический смысл производной это . Мощным средством в математике, физике, механике, электротехнике и других дисциплинах является производная сложной функции – одно из основных понятий математического анализа. У Вас на столах лежит таблица для нахождения производных физических, электротехнических и математических величин. Производные функций нашли широкое применение при решении прикладных задач на нахождение силы, мгновенной скорости, силы тока, теплоёмкости и других величин. 7 (7 x 25) 2 Давайте с помощью перемещения найдём скорость изменения тока, идущего по проводнику. Давайте запишем в тетради следующую задачу. Обучающийся Задача 1. Найдите скорость изменения тока, идущего по доски. проводнику, по закону i=2sin(3t + ) в момент Решение: т.к. 6 производная 25 времени (t времени t= . 18 скорость изм идущего по будем нах производную о Т.к. i=2sin(3 сложная функц то i 2 sin (3t (2 cos(3t 6 6 )) Находим производной времени t= ) 25 18 25 )6 18 25 6 cos( ) 6 6 13 6 cos 6 co 3 1 6 cos 6 3 2 i (t ) i ( Рассмотрим задачу урока. VI. Закрепление пройденного Задача 2 Заряд, протекающий через проводник, меняется по материала. закону q Sin(2t 10) . Найти силу тока в момент времени t=5 cек. В цепи электрического тока электрический заряд меняется с течением времени по закону q=q (t). Сила тока I есть производная заряда q по времени. I q(t ) Обучающийся доски. Решение: производную производную функции: q (t ) (sin( 2t 10 sin (2t 10) (2t 2 cos(2t 10) Мы нашли I=2cos(2t-10) Найдём силу времени t=5 cе I(5)=2cos( 2 5 )=2cos0=2*1=2 VII. Подведени е итогов урока. Рефлексия : -Какую тему мы сегодня изучали? Сегодня на уроке мы повторили… Продолжим фразы 1.Сегодня я узнал… 2.Было интересно… 3.Было трудно… 4.Я понял, что… 5.Теперь я могу… 6.Я приобрел… 7.Я научился… 8.Меня удивило… 9.Мне захотелось… Выставление оценок правила производных, дифференциро сложной формулы для производных, задачи на физических самостоятельн задачи на производных. VIII.Дома шнее задание: Составить и решить задачу на нахождение силы тока, № 42.2(а-г) из учебника на стр.233. Обучающиес задание в Список литературы: 1. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса /Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд. – М.: Просвещение, 2003. 2. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10–11 кл. общеобразовательных учреждений / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; Под. ред. А.Н. Колмогорова. – М.: Просвещение, 2004. 3. Алгебра и начала математического анализа. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных . учреждений (профильный уровень)/А.Г. Мордкович и др. ; под редакцией А.Г. Мордковича—7-е изд., стер.—М.: Мнемозина, 2020. 4. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10 кл. общеобразоват. учреждений /С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2020. 5. Задачи по алгебре и началам анализа: Пособие для учащихся 10–11 кл. общеобразоват. учреждений /С.М. Саакян, А.М. Гольдман, Д.В. Денисов. – М.: Просвещение, 2003. Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/465828-proizvodnajakompozicii-funkcii
