Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1

Н. С. ПИСКУНОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ ВТУЗОВ ТОМ ПЕРВЫЙ ИЗДАНИЕ ТРИНАДЦАТОВ Допущено Министерством 116WШtгО II среднего спецutUьного обраэоt1анил СССР • KQl/ecmвг учебного пособил ёlм Вllll)ШUZ технических учебных вавгдениа МОСКВА «НАУКА:, ГЛАВНАЯ РЕДАI<ЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСК:Ой ЛИТЕРАТУРЫ 1985 22.181.1 П 34 УДК 517 П и с к у и о в Н. С. Дифференциuъное н инте rрат,ное исчисления дn• втузов, т.1: Учебное пособие дпя втузов.-13-е изд.-М.: Наука. Главная редак ция физико-математической литературы, 1985.- 432 с. Хорошо известное учебное пособие по математике ДJJЯ втузов с достаточно широкой математической подготовкой. Первый том включает разде.llЫ: введение в ана лиз; дифференциальное исчисление (функций одной и нескольких переменных), неопределенный и опре деленный интегралы. Настоящее издание не- отличается от предьrдуще rо (1978 r.). Дпя студентов высшю11 технических учебных за ведений. П 1702050000-024 62-85 053 (02)-85 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к девятому изданию Предисловие к пятому изданию • • • • • • • • • • . .. .. .. .. .. .. .. ........ .. 9 11 ГЛАВ-А ЧИСЛО, ПЕРЕМЕННАЯ, ФVНl(ЦИЯ § I. § § § § 2. 3. 4. 5. Переменные и постоянные величины • , • • . . Область изменения переменной величины Упорядоченная переменная величина. Возрастающая щая Ограниченная переменные величины. и переменная Функция ГЛАВА 13 15 16 17 убываювеличина • • • • • • • • • • • , • • • • • • • • , • • • , § Способы задания функции ••• , • • • • • • • • • • • , • § Основные э.лементарные функции. Элементарные функции • • , • § Алгебраические функциu • • , • • , • • • , • • • § Полярная система координат • • , • • Упражнения к главе I • • • • • , • • • • • • • , , , • • • • • § 6. 7. 8. 9. 10. Действительные числа. Изображение действительных чисел точ• ками число.вой оси . • • • • • • • • • . • • Абсолютная величина действительного числа 18 19 20 22 26 23 29 II ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФVНl(ЦИR § 1. Предел переменной величины. Бесконечно бOJiliшaя переменная • • . • • • • • • . . • . . • • ., • •. • . . . . . . • • функции • • • • • • , , • • .. • • • • • • . . • • • • величина § 2. Предел § З. Функция, стремящаяся к бесконечности. Ограниченные функции § 4. Бесконечно малые и их основные свойства • • • • •• , •••• § 5. Основные теоремы о nредела:х~ • • • • • • , • • slnx § 6. Предел функции - - при х--+ О • • • • • , • • • , • • _._ х § 7. Число е • • • • • • • • • § 8. Натуральные логарифмы § 9. Непрерывность функций • • • • § 10. Некоторые свойства непрерывных функций § 11. Сравнение бесконечно малых Упражнения к rлаве 11 • • • • , . . . . .. .• .• . . . .. .. • • • • • • , • • • • • • • , , • • • • • • ЗI З3 36 39 42 46 47 51 53 56 59 61 ОГЛАВЛЕНИЕ ГЛАВА 111 ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 1. Скорость движения • • • • • . • • . • • • • • • • 2. Определение производной • . . · . • . 3. Геометрическое значение производной 4. Дифференцируемость функций • • • • • • • 5. Производная от функции y=xn при п целом и положительном 6. Производные от функций у= sin х, у= cos х • • . . . . • • • • 7. Производные постоянной, произведения постоянной на функцию, суммы, произведения, частного . . . . . • • 8. Производна,~ логарифмической функции . • . . . 9. Производная от сложной функции • • • . . . . . 64 § 10. Производные функций y=tgx, y=ctgx, y=lnlxl § 11. Неявная функция и ее дифференцирование , • • • . • § 12. Производные степенной функции при любом действительном пока- 80 82 § § § § § § § § § зателе, показательной функции, сложной показательной § § § § 13. Обра1ная функция и ее дифференцирование функции • • • • . . • . . • 14. Обратные тригонометрические 15. Таблица основных формул дифференцирования функции и их 16. Параметрическое задание функции дифференцирование • . . . . • • . . . . . . . . . § 17. Уравнения некоторых кривых в параметрической форме Дифференциал • • . . . Дифференциалы различных порядков 78 79 83 85 88 92 93 108 Производные различных порядков от неявных функций и функций, параметрически • . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . Механическое значение второй производной 109 111 Уравнения касательной и нормали. Длины подкасательной и поднормали § 27. 74 98 Геометрическое значение дифференциала заданных § 25. § 26. 71 72 101 105 106 . • . . • • • . . . . . . Производные различных порядков 69 .95 97 § 18. Производная функции, заданной параметрически • § 19. Гиперболические функции • • . . . . . § 20. § 21. § 22. § 23. § 24. 66 67 •.........................• Геометрическое значение ному углу производной радиус-вектора 112 по поляр 115 ..... III Упражнения к главе 116 r ЛАВ А IV НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ § 1. Теорема о корнях производной (теорема Ролля) • • . . . . . • • § 2. Теорема о конечных приращениях (теорема Лагранжа) • • . . . § 3. Теорема об отношении приращений двух функций (теорема К:оши) .§ 4. Предел отношения двух бесконечно малых величин неопределенностей вида g») • • • • • • • ( 124 126 127 «раскрытие . . .. . . . . . . . 128 5 ОFЛАВЛЕНИВ § 5. Предел отношения двух бесконечно больших величин «раскрытие ( .. 131 § 6. Формула Тейлора • • • • , • • • • • , , , • , , § 7. Разложение no формуле Тейлора функций ех, sin х, cos х Упражнения к главе IV • • • • • • • • • • • • • • • • , • , , • • 135 138 141 неоnределенностей вида : ») . , ..... , , • . ГЛАВА V ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ § 1. Постановка задачи • , • • • • • • § 2. Возрастание и убывание функции • • § 3. Максимум и минимум функций • • § 4. Схема исследования дифференцируемой • , • • • • , • • • • • • • • функции минимум с nомощью nервой nроизводной на максимум и • , • • , • § 5. Исследование функции на максимум и минимум с nомощью второй производной , • • • ,. • • • • . • • . . , • • • • • , . • . , • • • • § 6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке • , • • § 7. Применение теории максимума и минимума функций к решению задач • • • • . . ,. • ., • е • • • • • • • • • • • • • • - • • • § 8. Исследование функции на максимум и минимум с nомощью формулы Тейлора • • • . . • • • . • • • . • • , • , • • • , , § 9. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба • , • • § 10. Асимптоты • • • • • • • . • . • • • • • • • • • • , • § 11. Общий план исследования функций и построения графиков , § 12. Исследование кривых, заданных параметрически , • , , • • Упражнения к главе V • • • • • • , , • , • • • • • • • • • • • • , ГЛ А В А 144 145 146 152 155 158 159 НЮ 162 167 171 175 179 VI КРИВИЗНА КРИВОЙ § § § § § 1. 2. 3. 4. 5. Длина дуги и ее производная Кривизна ВычиСJiение , • • • • • • • • • , • • , • • кривизны • • • • • • • . , Вычисление кривизны линии, заданной nараметрическп Вычисление координатах кривизны линии, заданной уравнением • • • • • .. . • , • • .. • .,. ., . + • • в ~ , полярных • • " , •. § 6. Радиус и круг кривизны. Центр кривизны. Эволюта и эвольвента § 7. Свойства эволюты • • • • . • , • • • . . • • . • • . . . • , § 8. Приближенное вычиСJiение действительных корней уравнения Упражнения к главе VI • , . . , , . . . . , , , , . , • , , , , • ГЛ Л В А 184 186 187 190 190 192 196 199 203 VII КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНЫ § 1. § 2. § 3. .. .. .. .. .. . •. •. .. . .. . . . . . . . . . . . • Комплексные числа. Исходные определения •• Основные действия над комплексными числами Возведение комплексного нз комплексного числа • числа в степень и • извлечение 206 208 корня 211 ОГЛАВJIВНИВ § 4. Показате.пыrая. функция с комплексным .показателем и ее свойства § 5. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного чиСJiа • • • § 6. Разложение многочлена на множители • • • • • • • • • • . • • § 1. О кратных корнях многочлена • • • • • • • • • • • • • • • • • 8. Разложение многочлена на множители в сnучае комплексных корней 9. Интерполирование. Интерполяционная формула Лагранжа • • • 10. Интерполяционная формула Ньютона • • • • • • • • • • • • • 11. Чисnенное дифференцирование • • • • . . . . . • . . . . . . • § 12. О наилучшем приближении функций многочленами. Теория Чебышева • • • . . . Упражнения к главе VII • • • • • , • • • • , • • , • • , • • • • • § § § § ГЛАВА 213 215 217 220 221 222 224 226 227 228 VIII Ф1/'Нl(ЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § § § § § § § § § § § § § § § § § § 1. Определение функции нескольких переменных • . . • , • • • • 2. Геометрическое изображение функции двух переменных , • 3. Частное и полное приращение функции • • . . • . . . 4. Непрерывность функции нескольких переменных • . . . 5. Частные производные функции нескольких переменных , • 6. Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных • • • . . • • • . • . • . • • • . . . . . . • 1. Полное приращение и полный дифференциал • • • . . . . . . • 8. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях 9. Приложение дифференциала к оценке погрешности при вычислениях IO. Производная сnожной функции. Полная производная. Полный дифференциал сnожной функции • • . • • , , 11. Производная от функции, заданной неявно • 12. Частные производные различных порядков , 13. Поверхности уровня , • • • . 14. Производная по направлению • • . • . • . 15. Градиент • • • • . • . . • . . . . . . . • 16. Формула Тейлора для функции двух переменных • . • 17. Максимум и минимум функции нескольких переменных 18. Максимум и минимум функции нескмькнх переменных, связан- 230 233 234 235 238 максимумы и минимумы) 272 ных данными уравнениями (условные 239 240 243 244 247 250 253 257 258 260 263 265 § 19. Получение функции на основании экспериментальных данны11. по методу наименьших квадратов § 2G. • • . . .. .. .. .. . . • • VIII • • • • • Особые точки кривой Упражнения к главе ГЛАВА 276 280 284 IX ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИ.Я 1( ГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ § 1, Уравнения кривой в 11ространстве • • • • • • • • • • • • • • • 288 § 2. Предел и производная векторной функции скалярноrо аргумента, § З, Уравнение касате:пьной к кривой. Уравнение нормальной плоскости Правила дифференцирования векторов (векторных функций) • • .- 290 296 orЛАВЛ1НiИЕ i § 4, Первая и вторая nроиэводные век-rора no длине дуги. Кривизна кривой. Гяавная нормаль. Скорость и ускорение точки в криволи нейном движении • . . . . . • . . . . . . . . . § 5. Соприкасающаяся плоскость. Бинормаль. Кручение § 6. Касательная плоскость и нормЗJiь к поверхности Упражнения к главе IX .......•..... .. 298 305 309 313 ГЛАВАХ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1. 2, 3. 4. § § § § .. . . . Первообразная и неопределенный интеграл Таблица интегр.алов Некоторые свойства .. • . . . . . . . . . . . . . неопределенного интеграла • Интегрирование методом замены переменной становки или способом nод- • • • • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • § 5. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трех- § 6. § 7. Интегрирование по частям член . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Рациональные дроби. Простейшие тегрирование 315 317 319 рациональные 321 323 325 дроби и их ин- § 8. Разложение рациональной дроби на простейшие § 9. Интегрирование рациональных дробей . . § 10. Интегралы от иррациональных функций . 329 332 335 337 Интегралы вида ~ R (х, У ах2 +ьх+с) dx 338 § 11. § 12. § 13. • • . • . . . . . . . . . . . . . Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций Интегрирование некоторых иррациональных тригонометрических подстановок § 14. 341 функций с помощью . . . • . . . . . . . . . . . . 345 О функциях, интегралы от которых не выражаются через элемен- тарные функции . Уnражнения к главе Х • • • . . . . . • • , , • • • • • • • • • • • ГЛ А В А 347 348 XI ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Постановка задачи. Нижняя и верхняя интегральные суммы , • • § 2. Определенный интеграл. Теорема о существовании определенного 356 интеграла • . . • • • • • • • • • • .. • • • • • • • • • • • . • 358 367 § 3. Основные свойства определенного интеграла • • • • • • • • • • § 4. Вычисление определенного интеграла. Фор1-1ула Ньютона § § § § § § § 5. 6. 7. 8, 9. 10. 11. Лейбница • • • . . . . . . . . . . . . . . Замена переменной в определенном интеграле Интегрирование по частям Несобственные интегралы • • • . . . • . . . . • . . . . • • . . . Приближенное вычисление определенных интегралов Формула Чебышева • . . . . . . . . . . . . . . . Интегралы, зависящие от параметра. Гамма-функция Интегрирование комплексной функции действительной переменной Упражнения к главе XI • • • •••••••••• • • • • • • • • • 371 374 376 378 385 389 393 397 397 ОГЛАВЛЕНИВ 8 ГЛАВА XII fЕОМЕТРИЧЕСl(ИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА § 1. Вычисление площадей в nрямоугольных координатах • • • • • • • • • § 2. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах § 3. Длина дуги кривой • • • • . . • . . • . • • • • . § 4. § 5. § 6. § 7. § 8. § 9. Вычисnение объема тела по площадям параллельных сечений Объем тела вращения • • • • • • • • • • • • • • • • Площадь поверхности тела вращения . • . . . . . . . • Вычисление работы с nомощью оnределенного интеграла • • Координаты центра масс • • • • • , • • • • • • • • • • Вычисление момента мощью определенного инерции интеграла линии, круга и 412 414 417 418 Упражнения к главе Предметный 411 • • • • , цилиндра с по- • • XII • указатель • • • • • . • • • • • • 401 404 405 409 411 • • fl • 424 ПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТОМУ ИЗДАНИЮ Девятое издание данного учебника отличается от его 8-ro из• дания. Это издание полностью соответствует программе по мате• матике для втузов, рассчитанной на 400-450 часов. В учебник включены две новые гл. ХХ и XXI. Гл. ХХ «Элементы теории вероятностей и математической статистики» содержит материал, предусмотренный соответствую щим разделом обязательной программы по математике МВССО СССР. Гл. XXI «Матрицы. Матричная запись систем и решений систем линейных дифференциальных уравнений» также содержит материал, предусмотренный обязательной программой. Но, кроме того, в этой главе обращено большое внимание на матричную запись систем линейных дифференциальных уравнений и решений систем линейных дифференциальных уравнений. Использована матричная запись последовательных приближенных решений си стемы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Этот материал необходимо поместить в курсе дифференциального и интегрального исчисления для втузов по тому, что в настоящее время во многих книгах по электротех нике, радиотехнике, автоматике исследование решений систем дифференциальных уравнений производится с использованием аппарата теории Написаны матриц. новые §§ 26, 27, 28 гл. XVI. Здесь рассмотрен метод последовательных приближений решения дифференциаль ных уравнений, доказывается теорема о существовании решения дифференциального уравнения и теорема единственности. Обращено внимание на строгость изложения всей главы о дифференциаль ных уравнениях. Параграф 31 гл. XIII «Понятие о теории устойчивости Ляпу нова» значительно расширен. В этом издании он называется так: «Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Поведение траекто рий дифференциального уравнения в окрестности особой tочки». Здесь параллельно с рассмотрением устойчивости решений систем дифференциальных уравнений рассмотрено поведение траекторий вблизи особой точки на фазовой плоскости. Это необходимо было сделать потому, что при изучении соответствующих вопросов ПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТОМУ ИЗДАНИЮ 10 в курсах электротехники, радиотехники, автоматики этими поня тиями необходимо свободно пользоваться. Заново написаны неко торые параграфы с изложением теории комплексных чисел. Суще ственно расширен § 2 гл. XI, где дано доказательство суще ствовщшя определенного интеграла от непрерывной функции. Написан дополнительный § 11 гл. XI «Интегрирование комп лексной функции действительной переменной». Написаны новые §§ 24 и 25, гл. XVI, посвященные рядам с комплексными членами и степенным рядам с комплексной переменной. Написан новый § 12 гл. XVII, посвященный рядам Фурье в комплексной форме. Расширено изложение вопроса об интеграле Фурье. Освещены понятия, используемые в специальной прикладной литературе (спектр, спектральная функция). Написаны новые§ 15 «Ряд Фурье по ортогональной системе функций» и § 16 «Понятие о линейном функциональном пространстве. Аналогия между разложением функций в ряд Фурье и разложением векторов» в гл. XVII. Этот материал изложен таким образом, чтобы студенты и инженеры могли понимать материал других дисциплин, опирающийся на этот математический аппарат. В гл. Х I Х написан новый бражение». В гл. VIII помещен экспериментальных § 19 данных § 20 «Дельта-функция и ее изо «Получение функции на основании по методу наименьших квадратов». Содержанием этого параграфа ранее являлось Приложение 1, помещавшееся в конце первого тома этого учебника. В гл. VII даны § 10 «Интерполяционная формула Ньютона» и § 11 «Численное дифференцирование». Содержанием этих пара графов ранее явилось Приложение 11. Произведены некоторые дополнения в гл. V, VII, IX, XlJ, XIII. Глава XIII «Дифференциальные уравнения» целиком пере несена во второй том. Автор Настоящее издание не отличается от предыдущего (1978 г.). ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ В пятом издании полностью сохранен без изменений весr.. текст четвертого издания, но этот материал разделен на два тома (для удобства использования настоящего и предыдущих изданий учебника нумерация глав тоже оставлена без изменения). Содержание всего учебника определяется программами курса математики для втузов, рассчитанными на ник предназначается для 300-450 часов. Учеб изучения курса математики как в ста ционарных, так и в заочных втузах. Это учитывалось при изло жении материала; в частности, с этой целью в учебнике разо брано много примеров, иллюстрирующих изложенный теоретический материал и дающих образцы решения задач. Первый том содержит материал, соответствующий программе 1-ro курса втуза, за исключением главы XIII «Дифференциаль ные уравнения», которая, как правило, проходится на 2-м курсе. Но так как в некоторых втузах предварительные сведения о диф ференциальных уравнениях, необходимые для последующих дис циплин, даются на 1-м курсе, то часть этой главы помещена в (§§ 1-28) и первом томе. Отметим, что материал, содержащийся в программе втузов, рассчитанный на число часов порядка 300, почти полностью со держится в первом томе (но в нем содержится и материал, вы ходящий за рамки этой программы). Второй том-конец главы XIII (§§ 29-34), главы ХIV ХIХ-содержит материал, соответствующий программе 2-ro курса втуза. Первые две главы первого тома-«Число. Переменная. Функ ция» и «Предел. Непрерывность функций» написаны в пределах возможного кратко. Некоторые вопросы, обычно излагаемые в этих главах, без ущерба для дела перенесены в третью и по следующие главы. Это дало возможность раньше перейти к ос новному понятию дифференциального исчисления-производной, его требуют другие дисциплины втузовского курса (целесообраз ность такого расположения материала подтверждается опытом: работы). В связи с включением во втузовскую программу по высшей математике вопросов, необходимых для обеспечения курсом мате- ПРЕДИСЛОВИЕ К П}IТОМУ ИЗДАНИЮ 12 матики втузовских дИсциплин, связанных с автоматикой и вычис лительной техникой, в учебнике подробно изложены соответст вующие разделы: «Численное интегрирование .дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений»*), «Интегри рование систем линейных дифференциальных уравнений», «Поня тие о теории устойчивости Ляпунова», «Оператор Гамильтона», «Интеграл Фурье» и т. д. В гл. XVIII рассмотрены основные уравнения математической физики. Обращено большое внимание на выяснение характера физических явлений, приводящих к уравнениям различных типов и соответствующим краевым задачам. Большое внимание уделено численным методам решения дифференциальных уравнений в част ных производных. В главе XIX излагаются основные понятия операционного исчисления и операционный метод решения дифференциальных уравнений. Это требуется для многих последующих дисциплин, и особенно электротехнических. В учебник включено большое количество задач и примеров для упражнений, многие из которых иллюстрируют связь мате матики с другими дисциплинами. Задачи и примеры специально подобраны по каждому разделу курса, что способствует усвоению излагаемого материала. Это обстоятельство также делает книгу удобной для самостоятельного изучения курса математики, в част ности для студентов-заочников. Шестое издание отличается от пятого только тем, что в конце первого тома дано приложение, где изложен важный для инже неров вопрос «Получение функции на основании эксперименталь ных данных по методу наименьших квадратов». Седьмое издание отличается от шестого только тем, что в конце первого тома дано приложение «Интерполяционная формула Нью тона. Численное дифференцирование». *) Обычно излагаемые численные методы анализа также изложены в дан ном учебнике. ГЛАВА 1 ЧИСЛО. ПЕРЕМЕННАЯ. ФУНКЦИЯ § 1. Действительные числа. Изображение действитель-ных чисел точками числовой оси Одним из основных понятий математики является число. По нятие числа возникло в древности и на протяжении длительного времени подвергалось расширению и обобщению. Числа целые и дробные, как положительные, цательные, вместе с числом нуль называются числами. Каждое рациональное число может быть в виде отношения .!!.. двух целых чисел р и 5 1,25=-т· q, q В частности, целое так и отри рациональными представлено например ~ , число р можно рассматривать как р шение двух целых чисел Т, например 6= 6 Т отпо- О , О=Т. Рациональные числа могут быть представлены в виде конеч ных или бесконечных периодических дробей. Числа, которые представляются бесконечными, но непериодическими десятичными дробями, V2, Vз, называются s-V2 иррациональными числами: таковы числа и т. д. Совокупность всех рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных (или вещественных) чисел. Действительные числа упорядочены по величине, т. е. для каждой пары действительных чисел х и у имеет место одно и только одно из соотношений х<у, х=у, х>у. Действительные числа можно изображать точками числовой оси. Числовой осью называется бесконечная прямая, на которой вы браны: 1) некоторая точка О, называемая началом отсчета, 2) положительное направление, которое указывается стрелкой, и 3) масштаб для измерения длин. Чаще всего мы будем распо- 14 ЧИСЛО.ПЕРЕМЕННАЯ.ФУНКЦИЯ лаrать числовую ось (ГЛ. J горизонтально и положительное направле ние выбирать слева направо. Если число х1 положительно. то его изображают точкой Mi, х1 ; если число х1 лежащей справа от точки О на расстоянии ОМ 1 отрицательно, то его изображают точкой М 1 • лежащей слева от точки О на расстоянии ОМ 8 = - х1 (рис. 1). Точка О изображает число нуль. Очевидно. что каждое действительное число изобра жается определенной точкой числовой оси. Два различных дейст вительных числа изображаются различными точками числовой = оси. Справедливо также утверждение: каждая точка числовой оси является изображением только одного действительного числа (рационального или иррационального). Таким образом, между всеми действительными числами и всеми числовой точками оси существует взаимно однозначное соответ~ ...1~'!-1·,f-f1-01/-1-,-1-r-1+---<а---.-:tJ -1 Z В --3-1 Рис. ствие: числу соответст- его точка и, наоборот, каждой точке 1. каждому вует единственная изображающая соответствует единственное изображаемое ею число. Эrо дает возможность во многих рассуждениях в некотором смысле равно значно употреблять понятие «число х» и понятие «точка х». По широко пользоваться в следним обстоятельством мы будем курсе. Укажем без доказательства следующее важное свойство сово купности действительных чисел: между двумя произвольнЬIМU действительн.wми числами найдутся как рацuоНШtьные, так и иррациональны.е числа. В терминах геометрических это предло жение формулируется так: между двумя произвольными точками числовой оси найдутся как рациональны.е, так и иррациональны.е тоwш. В з:аключение отметим следующую теорему, представляющую собой в известном смысле •мостик между теорией и практи кой». Теорем а. Каждое иррациональное число а можно с любой степенью точности В самом деле, выразить пусть с помощью рm§иональнь~х иррациональное число а. требуется вычислить а. с точностью до 1/n >О чш:ел. и пусть (например, до 1/10, и т. д.). Каково бы ни было а., оно заключается между двумя целыми 1. Разделим отрезок между N и N 1 на п числами N н N до 1/100 + + частей; тогда а. окажется между рациональными числами N и N +т + п 1• +~ п Так как разность этих чисел равна 1/п. то, следо вательно. каждое из них выражает а. с заданной степенью точ ности: первое с недостатком, а второе-с избытком. АБСОЛЮТНАЯ ВВ#IИЧИНА ДВЙСТВИТЯЛЬНОГО ЧИСЛА tS Пр и -м е'Р, Иррациоимьиое число У2 выражае-кя рационельпымll' •ислами: и 1,4 1,41 1,414 § 2. 1,5-с то•ностью до И 1,42-с ТОЧНОСТЬЮ ДО И 1,415-с ТОЧНОСТЬЮ ДО 1/10, 1/100, 1/1000 И Т, ,._ Абсолютная величина деiiствительноrо числа Введем нужное для дальнейшего понятие абсолютной величины действительного числа. Оп редел е ни е. Абсолютной величиной (или модулем) дейст называется неотрицатель вительного числа х (обозначается х I 1) ное действительное число, удовлетворяющее условиям IхX/=x, =-Х, Примеры: если х;;,О; если х< О. 121=2; 1-5\=5; 101=0. Из определения следует, что для любого х справедливо со отношение х ~ 1х /. Рассмотрим некоторые свойства абсолютных величин. l. Абсолютная величина алгебраической суммы нескольких дей ствителы-шх чисел не больше суммы. абсолютных вели~tин сла га.емы.х: \x+ul~I хl+\иl- доказательство. Пусть х+у;;;;,:О, тогда 1х +у 1= х + g ~ 1х 1+ 1у 1 (так как х ~ 1х\ и у~ 1у /). Пусть х+ у< О, тогда /х+у\=-(х+у)=(-х)+(-у) что и требовалось доказать. ~1 x\+lul, Проведенное доказательство легко распрост.раняется на любое число слагаемых. Пр им:ер ы: 1 < Б; 8=8. 1-2+31 < 1-21+13/=2+3=5 ипи 1-3-51=1-Зl+l-5/=3+5=8 и.пи 2. Абсолютная величина разности не меньше разности абсо люmНЬlх величин уменьшаемого \х-у\;;;;,: и вычитаемого: \xl-lul, lхl>lиl- доказательство. Положим доказанному откуда x-y=z, тогда x=y+z и по 1х\ = \ У+ z 1~1 У 1+ 1z 1= 1У 1+ 1х-у 1, \ х/-1 у/~\ x-yl. что и требовалось доказать. число.ПЕРЕМЕННАЯ.ФУН~ЦИЯ 16 3. 1rл.1 Абсолютная величина произведения равна произведению аб солютных величин сомножителей: 1xyz 1= 1х 11 У 11 z /. 4. Абсолютная величина частного равна частному абсолютных величин делимого и делителя: 1;1=\;/. Последние два свойства непосредственно ления абсолютной величины. § 3. следуют из опреде Переменные и постоянные величины В результате измерения таких физических величин. как время. длина. площадь. объем. масса. скорость. давление. температура и т. п .• определяются числовые значения физических величин. Математика занимается величинами. отвлекаясь от их конкрет ного содержания. В дальнейшем. говоря о величинах. мы будем иметь в виду их числовые значения. В различных явлениях не которые величины изменяются. т. е. меняются их числовые зна чения. другие величины сохраняют свое числовое значение. Так. при равномерном движении точки время и расстояние меняются; скорость остается постоянной. Переменной величиной называется величина. которая прини мает различные числовые значения. Величина. числовые значения которой не меняются. называется постоянной величиной. В даль нейшем переменные величины мы будем обоз1начать буквами х. у, и.. и т. д.. постоянные величины будем обозначать буквами а. Ь. с. . . . и т. д. 3 а м е q ан и е. В математике постоянная величина часто рас сматривается как частный случай переменной, у которой все z. ... числовые значения одинаковы. Следует отметить. что при рассмотрении конкретных физиче ских явлений может иметь место такое положение. что величина с одним и тем же названием в одном явлении оказывается по стоянной. в другом-переменной. Например, скорость равномерного движения есть величина постоянная. а скорость равномерно ускоренного движения-величина переменная. Величины, которые сохраняют свое значение в любом явлении, называются абсолютными постоянными. Например. отношение длины окружности к диаметру есть постоянная величина Как мы увидим на n = 3, 14159 .•. протяжении всего курса. понятие пере менной величины является основным понятием дифференциаль ного и интегрального исчислений. «Поворотным пунктом в· ма тематике - писал Ф. Энгельс в «Диалектике природы». -была декартов~ переменная величина. Б'лагодаря этому в математику )7 ОБЛАСТЬ ИЗМЕ.ИЕНИSI ПЕРЕМЕННОЙ ВЕЛИЧИНЫ § 4) вошли движение и диалектика, и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифj)еренциальное и интегральное ис числение». § 4. Область изменения переменной веJJИчины Переменная величина принимает различные числовые значе ния. В зависимости от характера рассматриваемой задачи сово купность значений этих различная. Например, может быть температура во- ды, подогреваемой в обычных условиях, будет меняться от комнатной темпера туры, равной 15-18° С, до точки кипе ния, 100° С. tПеременная же величина х = cos а. может принимать все значе- Q -; + 1. ния от -1 до Значения переменной величины гео Рис. 2. метрически изображаются точками чис ловой оси. Так, значения переменной cos а. при всевозможных значениях а. изображаются х = купностью точек отрезка числовой оси от - 1 до- 1, сово включая и точки - 1 и 1 (рис. 2). О п р еде л е н и е. Совокупность всех числовых значений пере менной величины называется областью изменения этой перемен ной. Отметим следующие области изменения переменной величины, которые часто будут вс;rречаться в дальнейшем. Л ромежутком или интервалом называется совокупность всех чисел х, заключенных между данными при этом сами эти числа н е числами а и Ь (а< Ь), п р и н ад л еж а т совокупности чисел; его обозначают так: Ь. неравенств а< х < рассма11риваемой (а, Ь) или с помощью Отрезком или сегментом называется совокупность всех чисел х, заключенных между двумя данными числами а и Ь, п_ричем оба числа а и Ь п р ин ад л еж ат рассматриваемой совокупно сти; его обозначают так: [ а, Ь] или с помощью неравенств а~х~Ь. Иногда отрезок называется замкнутым промежутком или замкнутым интервалом,. Если одно из чисел а к промежутку, а или другое-нет, Ь, например а, присоединяется то получается полузамкнутый <Ь промежуток, его можно задать неравенствами а~ х значить [а, Ь). Если присоединяется число Ь и не присоединяется и обо число а, то получается полузамкнутый промежуток (а, Ь], который можно х ~ Ь. задать неравенствами а Если переменная х принимает всевозможные значения, боль шие чем а, то такой интервап обозначают (а, +оо) и задают < (ГЛ. ЧИСЛО, IШРВМЕННАЯ, ФУН-IЩИЯ f условНЫ1\fИ неравенствами а< х. <+со. Так же рассматриваются бесконечные- интервалы и полузамкнутые бесконечные интервалы, задаваемые условными неравенствами а~х<+оо, -оо<х<с, -оо<х~с, -оо<х<+оо. П р и м е р. Область изменения вначениях а есть отр.езок (-1, 1) переменной х = cos а при всевозможных и определяется неравенствами -1 .._x,s;;;; l. Данные выше определения можно сформулировать, используя вместо понятия «число» понятие «точка», например: Отрезком называется совокупность всех точек х, заключен ных между данными точками а и Ь (концами отрезка), причем концы отрезка принадлежат рассматриваемой совокупности. Окрестностью данной точки х0 называется произвольный интервал (а, Ь), содержащий эту точку внутри себя, т. е. интер- 0 1 ·"'---e~tl!p+s -и L:.......J:..::::..t .s Рис. 3. ~ s вал (а, Ь), концы которого удов- летворяют условию < Ь. а< х0 Часто рассматривается окрестность (а, Ь) точки х0 , для u которои х0 является серединой. Тогда х0 называется центром окрестности, величина (Ь-а)/2 называется радиусом окрестности. На рис. 3 изображена окрестность (х0 -е, х0 +е) точки х0 с радиусом е. § 5. Упорядоченная переменная величина. Возрастающая и убывающая переменные величиныс Ограниченная переменная величина Будем говорить, что переменная х есть упорядоченная пере менная величина, если известна область изменения этой перемен ной величины и про каждое из двух любых ее значений можно сказать, какое значение предыдущее и какое последующее. Здесь понятия «предыдущее» и «последующее» не связаны со временем, а являются способом «упорядочения» значений переменной величины, т. е. установления порядка соответствующих значений переменной величины. Частным случаем упорядоченной переменной величины яв ляется переменная величина, значения которой образуют число вую последовательность Xt, х2 , х3 , ••• , хп, .•. Здесь при k' k < значение хk,-«предшествующее», а значение хk-«последующее» независимо от того, какое из этих значений больше. О п р ед е л е н и е 1. Переменная величина называется воз ра стающей, если каждое последующее ее значение больше преды дущего ее значения. Переменная величина называется убывающей, если каждое ее последующее значение меньше предыдущего. Возрастающие переменные величины и убывающие переменные величины называются монотонно изменяющимися величинами или просто монотонными ввличинами. переменными 56J t9 П JY им ер. При удв-оении числа сторон правипыюго вписанного в s KPYJ' многоугмьника площадь эторо многоугольника является возр-астаJОЩей nере менной величиной. Площадь правильного описанного около кр_уга многоуголь• ника при удвоении числа сторон является убывающей переменной величиной. Заметим, что не всwкая переменная величина является непременно возрастаю• щей или убывающей. Так, например, переменная x=sin а, если а есть воз• растающая величина на отрезке [О, 2n), не является монотонной величиной. Она сначала возрастает от О до 1, затем убывает от 1 до -1 и, наконец, возра• стает от до О. -1 О п р еде л е н и е 2. Переменная величина х назьmается ограни ченной, если существует такое постоянное число М > О, что все последующие значения переменной, начиная с некоторого, удов летворяют условию -М ~ х ~ М, т. е. 1х 1~ М. Иначе говоря, переменная величина называется ограниченной, если можно ука зать такой отрезок [- М, М], что все последующие значения переменной, начиная с некоторого, будут принадлежать этому отрезку. Однако не следует думать, что переменная величина будет принимать Например, непременно переменная все величина, значения отрезка принимающая [- М, М]. всевозможные рациональные значения на отрезке [- 2, 2], ограничена, тем не менее она не принимает всех значений на [- 2, 2], а именно иррациональных. § 6. Функция При изучении различных явлений природы и решении техни ческих задач, а следовательно, и в математике приходится рас сматривать изменение одной величи-ны в зависимости от измене ния другой. Так, например, при изучении движения пройденный пу-rь рассматривается как переменная, изменяющаяся -в зависи мости от изменения времени. Здесь пройденный путь есть фу н к ц и я времени. Рассмо.трим другой выражается через пример. радиус так: принимать различные числовые Известно, Q = nR•. что площадь круга Если радиус значения, то площадь R Q будет также будет принимать различные числовые значения. Таким образом, из• менение одной переменной влечет изменение другой. Здесь площадь круга Q есть функция радиуса понятия «функция». О п р ед е л е н и е 1. R. Сформулируем определение Если каждому значению переменной х. принадлежащему некоторой области, соответствует одно опреде• ленное значение другой переменной у, то у есть функция от ga или, в символической записи, у= (х), у= (fl (х) и т. п. Переменная х называется независимой переменной или аргу ментом. Зависимость переменных х и у называется функциональ f ной зависимостью. Буква f в символической записи функциональ ной зависимости у= f (х) указывает, что над значением х нужно произвести какие-то операции, чтобы получить значение у. Вместо (ГЛ. ЧИСJIО.ПЕРЕМЕННАЯ,ФУНКЦИЯ I записи у= f (х), и= ер (х) и т. д. иногда пишут у= у (х), и= и (х) и т. д., т. е. буквы у, и и т. д. обозначают и зависимую перемен ную, и символ совокупности операций над х. Запись у= С, где С- постоянная, обозначает функцию, зна чение которой при любом значении х одно и то же и равно С. О п ред е лен и е 2. Совокупность значений х, для которых определяются значения функции у в силу правила f (х), называется областью оnреiJеления функции). функции (или обла,стью существования П р и м ер 1. Функция у= sln х определена при всех значениях х. Следо• вательно, ее об.пастью определения будет бесконечный интервап - оо х +оо. < < 3 а меч ан и е 1. Если имеем функциональную зависимость двух переменных величин х и у= (х) и если х и у= (х) рас f f сматривать значений двум как упорядоченные функции значениям у•= f (Х-) аргумента переменные величины, уе• = и хе и f (Х-•), то из lJ13YX соответствующих х••, последующим значением функции будет то, которое соответствует последующему значению аргумента. Поэтому естественно, например, следующее определение. Определение 3. Если функция y=f(x} такова, что боль шему значению аргумента х соответствует большее значение функ ции, то функция у= f (х) называется возрастающей. Аналогичным образом определяется убывающая функция. < <+ Пр им ер 2. Функция Q =nR 2 при О R оо есть функция возра стающая, так как большему значению R соответствует бопьшее значение Q. 3 а меч ан и е 2. Иногда в определении понятия функции допускают, что каждому значению х, принадлежащему некоторой области, соответствует не одно, а несколько значений у или даже бесконечное множество значений у. В этом случае функ цию называют многозначной в отличие от определенной выше функции, которую называют однозначной. В дальнейшем, говоря о функции, мы будем иметь в виду только од н о з н а ч н ы е функ ции. Если в силу необходимости придется иногда иметь дело с многозначными функциями, то мы будем делать специальные оговорки. § 7. 1. Способы задания функции Табличный способ задания функции.Приэтом способе выписываются в определенном порядке значения аргу мента х 1 , х2 , • • • , хп и соответствующие значения функции У1, Уа, • • •t Уп: ~ X:r У! х. 1 1 Уа . . . . . ·1 . . . . ·1 " Хп Уп 21 СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНIЩИИ §7) Таковы, например, таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т. д. В результате экспериментального изучения явлений также мо гут пqлучиться таблицы, выражающие функциональную зависи мость между измеряемыми величинами. Так, например, в ре зультате измерения температуры воздуха на метеорологической площадке в определенный день получается следующая таблица: ,t Значение температуры Т (в градусах) в вависимости от времени (в часах) -1 о 1 1 -2 5 4 1 1 1 т з 2 1 t 1 -2 6 /-o,s/ 8 7 1 1 1 1 з 1 9 1 1 1 3,5 1 4 Эта таблица определяет Т как функцию t. 11. Графический способ задания функции. Если в прямоугольной системе координат на плоскости имеем некото рую совокупность точек М (х у), при этом никакие две точки не лежат на одной прямой, параллельной оси Оу, то эта сово купность точек определяет некоторую однозначную функцию у= (х); значениями аргумента являются абсциссы точек, значе f ниями функции-соответствующие наты (рис. 4). Совокупность абсциссы которых точек плоскости являются орди 11 ,1J=/(tc} хОу, значениями неза~исимой переменной, а ординаты соответствующими значениями функции, называется графиком данной функции. III. Аналитический способ э ад ан и я фу н к ц и и. Сначала разъясним 17 Рис. 4. понятие «аналити ческое выражение». Аналитическим выражением будем называть символическое обозначение совокупности известных математичес ких операций, которые производятся в определенной последо вательности над числами и буквами, обозначающими постоян ные или переменные величины. Отметим, что под совокупностью известных математических операций будем понимать не только математические операции, известные из курса средней школы (сложение, вычитание, извле чение корня и т. д.), но и те, которые будут определяться по мере (lg изучения курса. Аналитическими выражениями, например, x-sin х)/(5х2 + 1), 5+3х и т. д. 2x-V f являются х 4 -2, f Еслн функциональная зависимость у= (х) такова, что обозначает аналитическое выражение, то говорят, что функция у от х задана аналитически. (ГЛ.1 ЧИСЛО.ПЕРЕМЕННАЯ.ФУН~ЦИЯ Примеры функций, заданных аналитически: 1) у= xt-2, 2) y~(x+l) (х-1)- 1 , 3) y=Vl-x2 , 4) y=sinx, 5) Q=nR" и т. д. Здесь функции заданы аналитически с помощью одной формулы (под формулой понимается равенство двух аналитических выра жений). В таких случаях можно говорить о естественной области определения функции. Естественной областью определения фующии, литически, является стоящее справа совокупность значений аналитическое выражение заданной ана х, имеет при которых вполне опреде ленное значение. Так, естественной областью определения функ ции у= х4-2 является бесконечный интервал - оо < х < + оо, так как функция определяется при всех значениях х. у= (х+ чения х Функция 1) (х-1)- 1 определена при всех значениях х, кроме зна так как при этом значении знаменатель обращается = 1, в нуль. Для функции y=Vl-x2 естественной областью опре• деления будет отрезок 3 - 1 ~ х ~ 1 и т. д. а м е ч а н и е. Иногда бывает нужно рас сматривать не всю естественную область опре деления функции, а только некоторую ее часть. Так, зависимость площади Q круга от радиуса R определяется функцией Q rr.R 2 • Областью определения данной функции при рассмотрении данного геометрического вопроса является бес = конечный ,2J' Рис. 5. интервал О < R < + оо. Естествен ной же областью определения данной функции является бесконечный интервал - оо <+оо. Если функция у= <R< f (х) задана аналитичес ки, то она может быть изображена графичес ки на плоскости координат хОу. Так, графиком функции y=x'J. является парабола, изображенная на рис. 5. § 8. Основные элементарные функции. Элементарные функции Основными элементарными функциями называются следующие аналитическим способом заданные функции. 1. Степенная функция у= xrr., где а- действительное число•). 11. Показательная функция: у=ах, где а-положительное число, III. не равное единице. Логарифмическая функция: у= Iogax, где основание лога рифмов а-положительное число, не равное единице. •) При ix иррациона.11ьн6м вта функция вБiчисляется путем логарифмиро вания и потенцирования: log у=а log х. При этом предполагается, что х О. > ОСНОDНЫВ ЭJIВМВНТАРНЫВ Ф~НlЩИИ f8) IV. Тригонометрические функции: у= sin х. у= cos х. у= tg х, y=ctgx. y=secx. y=cosecx. V. Обратные тригонометрич.еские функции: у= arcsin х. у= у= arctg х. у= у= arccos х. arcctg х, у= arcsec х. arccosec .JC. Рассмотрим области определения и графики основных элемен• тарных функций. Степеиная функц.ия. y=x:r-. 1. а- целое положительное число. Функция определена в бес конечном интервале - оо х оо. rрафики функции в этом < <+ случае при некоторых значениях а имеют вид, изображенный на рис. 6 и 7. Рис. Рис. 6. Рис. 9. Рис. 7. Рис. 10. 8. Рис. 11. 2. а-целое отрицательное число. В этом случае функция определена при всех значениях х. кромех=О. Графики функций при некоторых значениях а имеют вид. изображенный на рис. 8 и 9. На рис. 10, 11, 12 изображены графики степенной функции при дробно-рациональных значениях а. По к аз ат ель на я фу н к ц и я, у= ах, а> О и а ::1= 1. Эта функция определена при всех значениях х. График ее имеет вид, изображенный на рис. 13. ЧИСЛО. ПЕРЕМЕЦНАЯ, Ф}'НIЩИЯ (ГЛ. I * > 1. О и q Л о r а рифм и чес к а я фу н к ц и я, у= tog11 х, а О. График ее изображен на Эrа функция определена при х рис. > 14. Тригонометрические функции. Независимая пере. менная х в формулах y=sinx и т. д. выражается в радиа11ах. ю- Все перечисленные тригонометрические функции-периодические. Сформулируем общее оп 1/"'31 ределение периодической функции. О п р ед е л е н и е ------• $ 1. Функция у= f (х) на зывается периодической, если существует такое постоянное число С, от прибавления (или вы читания) которого к аргументу х значение (х). Наи функции не изменяется: f(x+C) Рис. 12. называется периодом меньшее такое число функции; в дальнейшем будем обозначать его 2{. Из определения непосредственно следует, что у= sinx есть периодическая функция с периодом 2зt: sinx= sin (x+2n). Период cos х также равен 2n. Период функций у= tg х и у= ctg х равен n. =f Рис. Рис. 13. Функции у= sin х, у== функции у= tgx и 14. определены при всех значениях х; определены всюду, кроме точек cos х y=secx x=(2k+ 1) ~ (k=O, +1, ±2, ... ); функции у= ctg х и у= cosec х определены при всех значениях х, кроме точек x=k1t (k=O, ±1, ±2, .. . ). Графики тригонометрических функций изображены на рис. 15-19. Обратные тригонометрические функции будут нами подробно рассмотрены позднее. Введем, далее, понят.ие функции от функции. Если у является функцией от и, а и в свою очередь зависит от переменной х, то у также зависит от х. Пусть y=F (и) и и=q,(х). Получаем ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ § 81 функцию у от х: 25 y=F[q>(x)]. называется функцией от функции или Последняя функция сложной функцией. V U=CDSt/f + t/1-~•tll Рис. Рис. 15. Р. p=tg.i- 16. 1 1 Рис. Пр им ер 1. Рис. 17. y=sin Пусть и, и=х 2 , Функция 18. y=sin (х 2 ) является слож ной функцией х. 3 а меч ан и е. Областью определения функции у= F [ q> (х)] является или вся область определения та ее часть, в которой опреде ляются щие значения из функции и, и= q> (х), или не выходя определения области F функции (и). Пр им ер 2. Областью опреде V 1- х 2 (у= ления функции у= = vи, и= 1-х2> является отрезок так как и< О при I х 1 > 1 и, СJI~довательно, функция Уи не [-1, 1], определена при этих значениях х (хо тя функция и= l-x2 определена при всех значениях х). Графикем этой функции является верхняя половина окружности с центром ординат и в начале ко Рис. радиусом единица. 19. Операция «функция от функции» может производиться не один, а любое число раз. Например, функция y=lg[sin(x2 +l)] полу чается в результате следующих щих функций): v=x'+1, операций и=sinv, (определения y=lgu. следую ЧИСЛО.ПЕРЕМЕННАЯ.ФУНКЦИ~ 1rл.1 Определим, далее, понятие элементарной функции. Определение 2. Элементарной функцией называется функ ция, которая может быть задана одной формулой вида y=f (х), rде справа стоящее выражение составлено из основных элемен тарных функций и постоянных при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления 1 и взятия функции от функции. На основании определения следует, что эле ментарные функции являются функциями, э-адан ными ана,11итически. Примеры ЭJiементарных функций: 8 1 2 Рис. у= 1х .11 1= у х 2 , 20. Пример неэлементарной функции: Функция y=l•2·3• ... •n(g=f(n)) количество у= V,...,_l,_.+_4,,_s_ln...,,2-x, _ 1gx+4VX+2tgx У10x-x+IO • оnераций, которое нужно не является эпементарной. так как произвести для получения у, увеличи вается с уве:nичением п, т. е. не является ограниченным. 3 а м е ч а н и е. Функция, изображенная на рис. 20, является элементарной, хотя она и задается с помощью двух формул: f (х) = х, если О~ х ~ 1, f (х)=2х-1, если 1 ~х~2. Эrу функцию можно задать и одной формулой: /(х)=: (х-~)+ 1lx-1/=: (х-:)+ ~ V(x-1)2 для О~х~2. (См. также упражнения § 9. К числу 130-144 к гл.. V.) Алrебраические- функции алгебраических функций относятся элементарные функции следующего вида: 1. Целая ра ци о н аль ная член у= QoXn где а.,, ан тами; •.. , ап - п-целое + alxn-1 ф у н к ци я м но г о + •••+an, постоянные числа, неотрицательное или. называемые число, коэффициен называемое степенью многочлена. Очевидно, что эта функция определена при значениях х, т. е. определена на бесконечном интервале. Пример 1. у=ах+Ь-линейная функция. всех При Ь=О линейная функ ция у=ах выражает прямую nропорциональную зависимость а=О функция у=Ь есть постоянная. у от х. При ftf АЛГЕ!>Р'АИЧЕСК:ИЕ ФУНКЦИИ Пр им ер 2. g=ах 2 +Ьх+с-кеадратичная функция. График квадра 21). тичной функции есть парабола (рис. Эти фумкции подроtэно рассматривапись в аналитичесхой геометрии. 11. Дробная определяется рациональная функция. Эrа функция как отношение двух многочленов: aoxn+a1xn-1+. • • +ап у= Ьохт+ь1хт-1+, .. +ь,,.. Дробной рациональной функцией у=а/х, выражающая является, например, обратную пропорциональную Ее график изображен на рис. 22. Очевидно, что дробная 11. рацио- функция зависимость. 11. d<D (1 IZ)' нальная функция определена при всех значениях х, кроме тех, которых знаменатель при обращается в нуль. # 111. Иррациональная функция. Если в формуле у= =f (х) в правой части dJ произво- d) Рис. 21. дятся операции сложения, вычита- ния, умножения, ными нецелыми деления и возведения в степень с рациональ показателями, то функция у от х называется иррациональной. Примеры _ иррациональных и т.п. З ам еч а н и е 1. u функции: Перечисленные три +v х у= у l+5x', 2x 2 вида у= v- х алгебраических функций не исчерпывают всех алгебраических функций. Алге браической функцией назы- F J'. ll"?tJ _) вается любая функция у= = f (х), которая удовлетво tt.г.lJ ряет уравнению вида ~~-+-,:,L-.==..,. 1/) 4) г .с Po(x)yn+Pi(x)yn-1+. ·• . .. +Рп{Х)=О, (1) где Р 0 (х), Pi(x), , Р п (х) Рис. 22. многочлены от некоторые х. Можно доказать, что каждая из функций перечисленных трех видов удовлетворяет не которому уравнению вида (1), но не всякая функция, удовлетво ряющая уравнению вида (1), является функцией одного из пе речисленных видов. а меч ан и е 2. Функция, не являющаяся алгебраической, называется тран,;цендентной. Примеры трансцендентных функций: у= cos х, у= 1ох и т. п. 3 ЧИСЛО.ПЕРЕМЕННАЯ.ФУН~ция 28 § 1О. 1rл.1 Полярная система координат Положение точ!{и на плоскости можно определить с помощью так называемой полярной системы координат. На плоскости выбираем некоторую точку О, называемую по из люсом, и выходящую этой называемую полупрямую, точки полярной осью. Положение точки М на плоскости можно опре делить двумя числами: числом р, выражающим расстояние точки М от полюса, и числом q>-величиной угла, образованного отрез ком ОМ с полярной осью. Положительным направлением отсчета угла q> считается направление против часовой стрелки. Числа р и q> называются полярны.ми координатами точки М (рис. 23). /1 Dл:_~ Рис. .z'';РСОВ~ Рис. 23. 24. Радиус-вектор р будем всегда считать неотрицательным. Если 2n, то каждой точке полярный угол q> брать в пределах О ~ q> < плоскости, кроме полюса, соответствует вполне определенная пара = О, q> - произвольное. чисел р и q>. Для полюса р Установим связь между полярными и прямоугольными декар товыми координатами. Пусть начало прямоугольной системы ко полюсом, ординат совпадает с х направление оси непосредственно следует: 24 = р cos q>, p=V х2 +у", и, обратно, положительное а Ох - с полярной осью. Из рис. у= р sin q> tgq>=y1x. П р и м е ч а ни е. При нахождении q, нужно учитывать, в какой четверти находится -точка, и брать соответствующее значение q,. Уравнение р = F (q>) в полярной системе координат определяет некоторую линию. Пр им ер 1. Уравнение р=а, где a=const, определяет в noляpHЫJli координатах окружность с центром в nолюсе и радиусом а. Уравнение этой окружности (рис. 25) в прямоугольной системе координат, расположенной так, как указано на рис. 24, будет у х 2 +у2=а или х2 +у2=а2 . Пр имер 2. р = аер, где а= const. Составим таблицу значений р nри некоторых значениях ер: I р iО ер О \ \ n/4 \ n/2 1 Зn/4 1 1t :=::О,78а 1 ;:::1,57а \ ;,:::2,36а I i:::::3,14a 1 I Зn/2 1 2n 1 Зn 4n i:::::4,7la I i:::::6,28a \i:::::9,42a i:::::12,56a УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ Соответствующая кривая изображена на рис. радью Архимеда. П р и м ер которой 3. р = 2а cos <р. 26. 29 I Эrа кривая называется спи Эrо уравнение окружности радиуса а, центр находится в точке Ро=а, <р=О (рис. 27). Наnиwем fравнение этой и Рис. Рис. 25 .. окружности в nрямоугольных +у 2 -2ах 27. координатах. Подставляя в данное уравнение _х__ 'будем иметь vx2 +y2 =2a _х__ v~+~ ~~+~ p=Vx2 +y2 , COS<p= х2 Рис. 26. = О. Упражнения к главе или 1 (х) =х 2 +6х-4. Проверить, что 1. Дана функция f f (1)=3, f (3)=23. 2. f (х) =х2 + 1. Вычислить значения: а) f (4), Отв. 17. б) / (у2). Отв. 3. в) /(a+l). Отв. а2 +2а+2. г) f(a)+l. Отв. а2 +2. д) /(а2 ). Отв. а4 +1. е) [f (а)] 2 • Отв. а 4 +2а 2 + 1. ж) f (2а). Отв. 4а 2 + 1. З.<р(х)=(х-1)(Зх+5)- 1 • Написать выражения <р(l/х)и 1/ср(х). Отв, <р (1/х) =(1-х) (3+5х)-1; 1/ср (х) =(3х+5) (x-1)-:i.. 4. ф (х) = х2 +4. Наnисать выражения ф (2х) V =2V х 2 + 1; 'Ф (О) =2. 5. f (0) = tg 0. Проверить равенство f (20) и ф (О). Отв. ф (2х) 2/ (0) 1-[f (0) ] 2 • • <р (х) = lg ~ +:. Проверить равенство <р (а) +<р (Ь) =<р ( :t:ь) 1. f (х) = lg х; ({) (х) = х3. Наnисать выражения: а) / [ер (2)). Отв. 3 lg 2. f[<p(a)]. Отв. 3\ga. в) ,<p[f(a)]. Отв. [lga] 3 • 8. Найти естественную область определения функции у= 2х2 + 1. Отв. 6. б) = -оо < х < +оо. 9. Найти естественные области оnределения функций: а) Vl-x 2 • Отв. -1-.;;:x,;;;;;+l. б) vз+x+V1-x. Отв. -З,;;;;;х,е;;;7. в) Vx+a-Vx-b. Отв,-оо<х<+оо. r) а+х. Отв. x:f=a. д) arcsin 2 x. Отв. -l<;;xc;;;l. а-х е) y=lgx. Отв. х > О. ж) у=ах (а> О). Отв. -оо <-х Построить графики функций: 10. у=-3х+5. 14. у= l/(x-1). < +оо. 1 11. у= 2 х 2 +1. 12. у=3-2х2 • 13. y=x2 +2x-l. 15. y=sin 2х. 16. У= cos Зх. 17. у=х 2 -4х+6. 18. у= = 1 1 х2 • 19. y=sin (х+~). 20. y=cos (х-~}. 21. y=tg ~ х. 22. g= =ctg·(x/4). 23. у=З'-. 24. у=2-х 2 • 25. y=log2 (1/x). 26. у=х3 +1. 27. g=4-x3. 2s. у= 1;х2 • 29. у=х4 • зо. и=х 5 • 3t. и= vx. з2. y=(Vx)- 1 • 33. У= VX: 3() 34. 1rл. число.ПЕРЕМЕННАЯ.ФУНКЦИЯ в=lxJ. 35. u=log. fxJ. 38. y=4cos ( х+; ). 39. Построить график 38. y=Iog.(1-x). функции / 37. 1 y=Зtla {ь+; )· (х), определенной на трезке (-11 1) с:.педующим образом: f (x)=l+x /(x)=l-2x 40. Построить при при график функции -l<x<O; О<;х < 1. [/ (х), определенной на отрезке [О; 2) епедующи:м обр·азом: /(х)=х' f (x)=JC при при O<x<IJ 1<х<2. Построить кривъtе, данные полярными уравнениями~ 41. р=а}ср (атерболuЧJJская спираль). 42. р=аФ (лoгapuфмulU!CIUlR спи (Ае.Мнuската). 44. p=a(l-coscp) (кардиоида). раль). 43. p=aYcos2cp 45. р= а sln Зср. ГЛАВА II ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ § 1. Предел переменной величины. Бесконечно большая переменнаи величина В этом параграфе мы будем рассматривать упорядоченнБiе переменные величины, изменяющиеся специальным образом, кото рый определяется терминами «переменная величина стремится к пределу». Во всем дальнейшем курсе понятие предела перемен ной бу~т играть фундаментальную роль, так как с ним непо средственно лиза - связаны производная, основные О п редел е н и е переменной математического ана 1. Постоянное число а называется пределом величины х, произвольно понятия интеграл и др. малого если для каждого положительного числа е м~жно указать такое значение ..,Ь переменнои х, что все последующие зна- чения переменной будут удовлетворять неравенству I х - а 1 е. < наперед заданного ,-.--z,~ I J._,;---=-t,-~ • ча:-аl Рис. 28. Если число а есть предел переменной величины х, то говорят, = что х стремится к пределу а, и пишут х-,. а или lim х а *). В геометрических терминах определение предела может быть сформулировано следующим образом: Постоянно·е число а есть предел переменной, если для любой наперед заданной как угодно малой окрестности с центром в точке а и радиусом е найдется такое значение х, что все точки, соответ ствующие последующим значениям переменной, будут находиться в этой о_крестности переменных, Пример (рис. стремящихся 1. 28). к несколько примеров Переменная величина х последовательно принимает значеии11 1 кi=l+I, Ks=I+т, •) 11lim1 Рассмотрим пределу. 1 1 K3=l+31 .•. , Xn=l+n • ... есть сокращение патипскоrо слова· limes-пpeдeл. 32 ПРЕДЕЛ НЕПРЕРЫВJiОСТЬ ФУНlЩИА (ГЛ. 11 Докажем, что эта nеременная величина имеет nредел, равный единице. Имеем lхп-11=1(1+~)-1/=~. Для любого 8 все nоследующие значения переменной, начиная с номера п, 8, что 8, или п > 1/8, будут удовлетворять неравенству lхп-11 где 1/п < < здесь nеременная величина стремится и требовалось доказать, Заметим, что к пределу, убывая. Пример 1 Х1=1- 2 , 2. Переменная величина х последовательно принимает значения 1 1 1 1 22 ; Хз=l- 23 , х,=1+ 2 ,, , .. , Хп=l+(-1)11 2 п, Х2=1+ Эта nеременная имеет предел, равный единице. Действительно, 1Хп-1.1 = 1(1 +(-l)nJ2n)- l l = 1J2n. Д11я любого 8, начиная с номера п, удовлетворяющего соотношению l/2n < 8, нз которого следует 2п > 1/8, п Jg 2 > lg (1/8), или п > lg)~,8), 1< I 8. все nоследующие значения х будут удовлетворять соотношению Хп-1 Оrметим, что здесь значения переменной величины то больше, то меньше nредела. Переменная величина стремится к пределу, «колеблясь вокруг него». 3 а меч ан и е величину с часто Как указывалось в 1. рассматривают значения которой одинаковы: х как § 3, гл. переменную J, постоянную величину, все = с. Очевидно, что предел постоянной будет равен самой постоян ной, так как всегда выполняется неравенство =0 < е при любом е. 3 а меч ан и е 2. Из определения Iх- с\= 1с - с 1= предела следует, что пере менная величина не может иметь двух пределов. Действительно, -нr 1 ., ''1.:))IS• 2, 8 S<'!J./ Р~.- ~~если limx=a и limx=b (а<Ь), то х должен удовлетворять сразу двум неравенствам lx-al <е и lx-bl <в при произвольно малом в, а это невозможно, если е (рис. < (Ь-а)/2 29). З а меч ан и е 3. Не следует думать, что каждая переменная величина имеет предел. Пусть переменная величина х последова тельно принимает следующие значения: 1 X;t= 2 1 1 1 , Ха= 1-·:р Хв=s• • • •t Хм= 1-22.t• 1 X211+t=~ зз ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ § 2) (рис. 30). дующие При достаточно большом значения с четными отличаться от k значение x2k и все после номерами будут как единицы, а следующее значение угодно Х2 н 1 и все мало после дующие значения х с нечетными номерами будут как угодно мало отличаться от нуля. Следовательно, к переменная х не стремится пределу. В определении предела указано, что если переменная вели чина стремится к пределу а, то а - постоянное число. Но понятие «стремится» употребляется и для характеристики другого способа изменений переменной величины, что видно из следующего опре деления. Определение 2. Переменная х стремится к бесконечности, если для каждого наперед заданного положительного числа М можно указать такое значение дующие значения х, начиная с которого, переменной будут удовлетворять все после неравенству /xl>M. Если переменная х стремится к бесконечности, то ее назы вают бесконечно большой переменной величиной и пишут х--,.оо. Пр им ер 3. Переменная величина х принимает значения Xi=-l, х2 =2, Хз=-3, ... , Хп=(-t)nп, ..• Это-бесконечно большая переменная величина, так как при произвольном М О все значения переменной, начиная с некоторого, по абсолютной вели чине будут боJ1ьше М. > Переменная величина х + «стремится > к плюс бесконечности», Х-+ оо, если при произвольном М О все последующие зна чения переменной, начиная с некоторого, будут удовлетворять неравенству М х. < Примером переменной величины, стремящейся к плюс бесконечности, мо жет служить переменная величинах, принимающая значения Xi= ... , Хп=n, 1, х2 =2 1 •• • ... Переменная величина х «стремится к минус бесконечности», Х-+- оо, если яри произвольном М О все последующие значения переменной, начи ная с некоторого, будут удовлетворять неравенству х -М. Например, переменная х, принимающая значения х 1 =-1, х 2 =-2, ... • . . , Хп -ti, , .. , стремится к минус бесконечности. > < = § 2. Предел функции В этом параграфе будем рассматривать некоторые случаи из менения функции при стремлении аргумента х к некоторому пре делу а или к бесконечности. Определение 1. Пусть функция у= f (х) определена в не которой окрестности точки а или в некоторых точках этой окрест ности. Функция у= f (х) стремится к пределу Ь (у-+ Ь) при х, стремящемся к а (х-+ а), если для каждого положительного числа е, как бы мало оно ни было, можно указать такое поло жительное число б, что для всех х, отличных от а и удовлетво- 2 Н. С. Пио,~уно", т. 1 ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНIЩИЙ 34 ряющих неравенству*) 1х- а 1 < б, имеет 1f (х) - Ь / < е. Если Ь есть предел функции (ГЛ. 11 место неравенство при х- а, то f (х) пишут lim f (х) =Ь Х➔ а или f (х)-Ь при х-а. Если f (х) _,,. Ь при х- а, то на графике функции у= (х) это иллюстрируется следующим образом (рис. 31): так как из нера венства I х - а/ б следует не1/ lJ=f(:c) равенство I (х)- Ь 1 s, то это f < f значит, ~9=~:77;=='7'77'7"'."7:'7']/j\':>7:;"77f- что отстоящих 1, 1,½½7½7½7~~~t/9'7½7~ для от < всех точки а точек не х, далее Ь-s~"-"-'""""~-"l~"t'=f<-<.;....._ чем на б, точки М графика функ f (х) ции у= лосы шириной лежат внутри по ограниченной 2s, прямыми y=b-s и y=b+s. Замечание 1. Предел функ --+------fi:'.-~~~-~ а-6 0 а Ф a+D f (х) при х- а можно опре- Пусть переменная величина х ции делить и следующим образом. Рис. 31. принимает рядочена так), что если значения 1~-а 1> 1х-"* -а 1, так (упо то х*• есть после ду~щее.!... а х*-:_ предыдущее значение; е_:ли же I х•- а 1= 1х** -а 1 и х• < х••, то х•• есть последующее, а х* - предыдущее значение. Другими словами, из двух точек числовой прямой последую щей является та точка, которая ближе к точке а; при равных расстояниях последующая - та, которая правее от точки а. Пусть упорядоченная таким образом переменная величина х стремится к пределу а [ х- а или lim х а]. Рассмотрим, далее, переменную величину у= (х). При этом = f будем считать, как и всюду в дальнейшем, что из двух значений функции последующим является то значение, которое соответствует последующему значению аргумента. Если определенная так переменная величина у при х _,,. а стре мится к некоторому пределу Ь, то будем писать lim и говорить, что функция у= f (х) =Ь f (х) стремится к пределу Ь при х-а. имеются в виду те значения х, удовлетворяющие неравенству которые пр.инадлежат области определения функции. Аналогич ные обстоятельства будут встречаться и в дальнейшем. Так, при рассмотре нии поведения функции при х-оо может случиться, что функция опреде лена только при целых положительных значениях х. Следовательно, в этом а~учае х-00 1 принимая только целые положительные значения. Оговорок об этом мы в дальнейшем делать не будем, •) Здесь 1х-а 1 < 6, ПРЕДЕЛ ФУНIЩИИ 121 З5 Легко доказать. что оба определения предела функции экви валентны. 3 а меч ан и е стремящемся к 2. f (х) Если некоторому стремится к пределу числу а lim f значения. меньшие а. то пишут так. = bi = (х) Х ➔ а-0- что р/($/ = lim f (х) х -+-а+О = Ь1 при х, принимает только § f и называют bi пределом функции (х) в точке а слева. Если х принимает только значения. большие а. то пишут х Ь 2 и называют Ь2 пределом функции в точке а справа (рис. 32). Вместо х-➔ о+ О и х-0-0 обычно пишут х-➔ +о и + ,IJ Х->--0, Можно доказать. что если предел спра а Рис. 32. ва и предел слева существуют и равны. т. е. Ь1 =Ь 2 =Ь, то Ь и будет пределом в смысле данного выше определения предела в точке а. И обратно. если существует предел функции Ь в точке а. то существуют пределы функции в точке а справа и слева и они равны. Пр им ер Докажем, что l, > (3х+ lim l) =7. Действительно, пусть задан х-+- 2 О; .для того чтобы выполнялось неравенство 71 < 1 произвольное е (3х+ l)е, необходимо выполнение следующих неравенств: / Зх-6 / е, 1х-2 / е/3, - е/3 х-2 е/3. Таким образом, при любом е для всех значений х, удов < < отличаться от nри х-+ 2. 7 летворяющих 3 < неравенству I х-21 < 8/3= б, значение функции Зх+ меньше чем на е. А это и значит, что а меч ан и е 3. < Для существования 7 1 буде-r есть предел функции предела функции при х-➔ а не требуеtся, чтобы функция была определена в точке х=а. При нахождении предела рассматриваются значения функ ции в окрестности точки а, отличные от а; это положение наглядно иллюстрируется Пр им ер 2. следующим Докажем, примером. что lim (х 2 -4)/(х-2) =4, Здесь функция Х-'>-2 (х 2 -4)/(х-2) не определена при х=2. Нужно доказать, что при произвольном е найдется такое б, что буд~ выполняться неравенство если I х-21 < б. J: i-41 < Но при х (1) 81 ,f: 2 неравенство (l) эквивалентно неравенству 2)(х+ 2) -4/=1(х+2)-41 < 81 1 (х-х-2 или /х-21 Таким образом, при произвольном е < в. неравенство если будет выполняться неравенство (2) (эдесь {j данная функция при х-+ 2 имеет пределом число i• (2} (1) = е). 4. будет выполняться 1 А это и значит, что ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ 36 (ГЛ. 11 Рассмотрим некоторые случаи изменения функции при х-- оо. Определен и е при х-- оо, 2. если для Функция каждого f (х) стремится к пределу произвольно малого ного Ь положитель- числа в можно указать та- кое положительное число N, что ..r для всех значений х, удовлетво ряющих неравенству / х 1> N, будет выполняться неравенство lf (х)-ЬI <в. Пр им ер lim #С ➔ ОО Нужно доказать, что при произвольном 1( s Докажем, что (х+ 1) = 1 или, в иной записи, х lim « •.. Рис. ЗЗ. З. (1+.!.)=l, Х будет выполняться неравенство 1+ ~ )-11 < в, > (З) если только I х 1 N, причем N определяется выбором в. Неравенство (З) ~эквивалентно следующему неравенству: 11/х 1 в,• которое будет выполняться, если I х 1 > 1/в = N. Это и значит, что Хlim ➔ оо < ( 1+ 2-) = Х lim Х ➔ ОО х+Х 1= 1 (рис. ЗЗ). Зная смысл символов х--+ оо, х--оо, очевидным является и смысл выражений «f (х) «f (х) стремится к Ь при Х-+ + оо» и стремится к Ь при Х-+- оо», которые символически записываются lim f (х)=Ь, « ➔ +ао так: lim f(x)=b. Х ➔ -rю § 3. Функция, стремящаяся к бесконечности. Ограниченные функции f Мы рассмотрели случаи, когда функция (х) стремится к неко торому пределу Ь при Х-+ а или при Х-+ оо. Рассмотрим теперь случай, когда функция у= (х) стремится к бесконечности при некотором способе изменения аргумента. f Определение 1. Функция f (х) стремится к бесконечности при х-+а, т. е. является бесконечно большой величиной при х-а, если для каждого положительного числа М, как бы велико оно ни > было, можно найти такое б О, что для всех значений х, отлич ных от а, удовлетворяющих условию х-а/ б, имеет место неравенство I f (х) 1 М. Если f (х) стремится к бесконечности при х--а, то пишут > lim х ➔ а или f (Ai) -- оо при х-+ а. f (х) = оо I < ФУНКЦИЯ, СТРЕМЯЩАЯСЯ К БЕСКОНЕЧНОСТИ S 3) Если f (х) стремится к бесконечности при Х-+ а 37 и при этом принимает только положительные или только отриu.ательные зна чения, соответственно пишут lim f (х) = х ➔ а Пр имер Докажем, что 1. > О будем иметь < l/V М = l\. Функция бом М (рис. + оо lim (1- х)- 2 = х • I + ао. или liщJ (х)=-оо, х ➔ а Действительно, при лю- > М, если только (1-х) 2 < 1/М, 11-x·I < (1 -х)- 2 принимает топько положительные ЗJJачения (l-x)- 2 34), и Рис. Рис. 34. 35. (-.!..) Пример 2. Докажем, что lim =ао. Действительно, при любом Х➔О Х М > О будем иметь 1-1/х 1> М, если только Iх 1=1х-01 < 1/М =б. Здесь (-1/х) > О при х < О и (-1/х) < О при х > О (рис. 35), Если то функция f (х) стремится к бесконечности при х-+ оо, пишут lim f (х) = оо, Х ➔ Ф и, в частности, может быть lim f(x)=+oo, Х ➔ +ех> Например, lim х2 lim lim f(x)=+oo, Х ➔ -оо = +оо, Х ➔ Ф f(x)=-oo. х~+со lim Х3 = -оо и т. п. Х ➔ -00 Замечание 1. Функция y=f(x) при Х-+аилиприх-+оо может не стремиться к конечному пределу или к бесконечности. П р им ер 3. Функция у= sin х, определенная на бесконечном интервале оо х оо, при х ___., оо не стремится ни к конечному пределу, ни к бесконечности (рис. 36). - < <+ П р им е р 4. Функция у= sin 1 - , х определенная при всех значениях х, кроме значения х=О, не стремится ни к конечному пределу, ни к бесконеч ности при х ___., О. График этой функции изображен на рис. 37, [ГЛ. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНI(ЦИЙ 38 ~tA Определение ной в данной ~ Функция у= 2. области f (х) Рис. называется ограничен изменения аргумента х, если существует ;v=sin:u~ положительное число М ,__ с___::, ~"'-../ а r;"\Jtr; ,а: / 11 такое, что чений х, для всех рассматриваемой будет зна- принадлежащих области, выполняться неравенство I (х) 1~ М. Если же такого числа М не существует, то функция (х) называется 36. f f неограниченной в данной области. 5. Пр им ер - оо < х < + оо, Функция g=sln х, оnределенная в бесконечном интервале является ограниченной, так как nри всех значениях х 1sln xj<; l=M. Определение !'->- а, при в которой если Функция 3. существует данная f (х) называется окрестность с функция Определение f (х) раниченной ли N Функ- при а, Х--+ оо, ес такое число что при всех значе -1 ниях х, удовлетворяющих не равенству I х 1 f (х) точке называется ог существует > О, 4. в 11 1 ...... ~~- .. w- ограничена. ция у= ограниченной центром > N, функция Рис. ограничена. 37. Вопрос об оtраниченности функции, стремящейся к пределу, решается следующей теоремой. Теорема 1. Если lim f (х)=Ь, при этом Ь есть конечное х-+а число, то функция f (х) является ограниченной при х--+а. До к аз ат ель ст в о. Из равенства lim f (х) = Ь следует, что «:-+а любом е > О найдется такое б, что в окрестности а-б < < х < а+ б будет выполняться неравенство I f (х) - Ь 1 < е, или 1f (х) 1< 1Ь 1+е. А это и значит, что функция f (х) ограничена при при Х--+а. а меч ан и е следует, что если 3 2. Из определения ограниченной lim f (х) = оо или lim f (х) = оо, х ➔ а функции т. е. если f (х) f (х) х-+-оо есть бесконечно большая, то она являете~ неограниченной. Обрат ное не верно: неограниченная функция может и не быть беско нечно большой. Например, функция у= х sin х при х--+ оо является неограни > ченной, так как для любого М О можно Itайти такие значе ния х, что I х sin х 1 М. Но функция у= х sin х не является бесконечно большой, поскольку она обращается в нуль при х=О, n, 2n, ..• График функции у= х sin х изображен на рис. 38. > БЕСI<ОНЕЧНО МАЛЫЕ И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА §4) Теорем а Если 2. lim f (х) = b=f=O, 39 то функция у= 1/f (х) х-+а есть ограниченная функция при х - а. До к аз ат ель ст в о. Из условия теоремы следует, что при О в произвольном 8 > некоторой окрестности точки х=а будем иметь lf (x)-bl < 8, или или llf(x)I-IЬ11<8, - 8 или < 1f (х) 1 - 1Ь 1 < 8, \Ь\-8 < lf (х) 1< <1Ь1+8. Из венств 1 Jb/-e нера- пос..ледних следует > 1 lf (x)I > 1 > /Ьl+в взяв, например, 8 Рис. = 101 1Ь \, 10 9 1Ь 1 > 38. получаем 10 1 lf (х) 1 > -ТГТЪТ ' А это и значит, что функция 1/f (х) ограничена. § 4. Бесконечно малые и их основные свойства В этом параграфе будем рассматривать функции, стремящиеся к нулю при некотором О п р еде л е н и е. характере изменения ,аргумента. Функция а = а (х) .малой при х-а или при х-+ оо, если называется lim et (х)=О x-J,,a или бесконечно lima (х)=О. х--+rл Из определения предеJJа следует, что если, например, lim et (х)=О, х-+а то это значит, что для-любого наперед заданного произвольно малого положительного 8 найдется 6 >0 такое, что для всех х, удовлетворяю 8, щих условию I х-а 1 6, будет удовлетворяться условие I а (х) \ < < Пример 1. Функция а=(х-1) 2 есть бесконечно малая nри х->-1 1 так как lim а= lim (х-1) 2 =0 (рис. 39). x• l х-+1 Пр им ер 2. Функция а= 1/х есть бесконечно малая nри х-+ оо (рис. 40) (см. пример З § 2), У становим важное для дальнейшего соотношение: Теорема 1. Если функция y=f (х) представляется в виде суммы постоянного числа Ь и бесконечно малой а: у=Ь+а:, (1) ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНI(ДИЙ 40 (ГЛ. II то lim Обратно, если у=Ь (при Х--+а или Х--+оо). lim у= Ь, то можно написать у= Ь а-бесконечно малая. Доказательство. Но при Из равенства произвольном 8 следует (1) +а, где ly-bl=lal. все значения а, начиная с некоторого, J' Рис. Рис. 39. 40. < удовлетворяют соотношению I а 1 8, следовательно, для всех начиная с некоторого, будет выполняться неравен ство I у-Ь 1 8. А это и значит, что lim у= Ь. Обратно: если lim у= Ь, то nри произвольном 8 для всех значений у, начиная с некоторого, будет I у-Ь 1 8. Но если обо значим у-Ь а, то, следовательно, 11 для всех значений: а, начиная с не значений: у, < < = I а 1< в, а это зна которого, будет чит, что а-бесконечно малая. П р им ер (рис. 1 борот, 41) З. Пусть дана функция у= 1+..!.., тогда lim у= 1, и наох так как «-,.оо lim У= 1, то nеременную Х ➔ а> у можно nредставить в виде суммы nредела и; о Рис. 1 и бесконечно малой а, равной в данном случае 1/х, т. е. у= 1+0:. 41. при Х--+ оо) и не бесконечности. Теорема Если 2. а=а(х) стремится к нулю при Х--+ а (или обращается в нуль, то у= 1/а стремится к > До к аз ат е ль с тв о. При любом как угодно большом М О будет выполняться неравенство 1/I а 1 М, если только будет выполняться неравенство 1/М. Последнее неравенство будет выполняться для всех /al < значений > а, начиная с некоторого, так как а (х)--+0. Теорем а 3. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще опре деленного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая. До к аз ат ель ст в о. Проведем доказательство для двух сла гаемых, так как для любого числа слагаемых оно аналогично. БЕСI<ОНЕЧНО МАЛЫЕ И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА § 4) Пусть и (х) = а (х) + Р (х), где 41 lim а (х) = О, lim Р (х) = О. Доках-+ а х-+а > жем, что при произвольном как угодно малом е О найдется б О такое, что при удовлетворении неравенства I х-а 1 б будет выполняться неравенство I и 1 е. Так как а (х) есть беско нечно малая, то найдется такое б1 , что в окрестности с центром в точке а и радиусом с\ будет > < < \ а (х) 1 < е/2. Так как Р (х) есть бесконечно малая, то найдется такое б 2 , что в окрестности с центром в точке а и радиусом б 2 будет \Р (х) 1< е/2. Возьмем б равным меньшей из величин б1 и б 2 , тогда в окрест ности точки а с радиусом б будут выполняться неравенства \а \ е/2; 1Р \ е/2. Следовательно, в этой окрестности будет < < \ и 1= 1а (х) \ и 1< т. е. + Р (х) 1~ 1ct (х) 1+ \Р (х) 1< е/2 + е/2 = е, е, что и требовалось доказать. Аналогично приводится доказательство lim а(х)=О, «• a'J и для случая, когда lim Р(х)=О. «• a'J 3 а меч ан и е. В дальнейшем нам придется рассматривать такие суммы бесконечно малых величин, что с уменьшением каждого сла гаемого число слагаемых увеличивается. В этом случае утвержде ние теоремы может оказаться и неверным. Рассмотрим, например, 1 1 х х и=-+-+ х 1 ... +-, х слагаемых ные значения (х = 1, где х принимает только целые положитель- 2, 3, •.. , п, ••. ) . Очевидно, что каждое слагаемое при Х-+- оо есть бесконечно малая, но сумма и = 1 не есть бесконечно малая. Теорем а 4. Произведение бесконечно МаJЮй функции а=а (х) на ограниченную функцию z = z (х) при Х-+- а (или Х-+- оо) есть бесконечно малая величина (функция). До к аз ат ель ст в о Проведем доказательство для случая х-+- а. Для некоторого М О найдется такая окрестность точки х = а, в которой будет удовлетворяться неравенство I z 1 М. Для > > < всякого е О найдется окрестность, в которой будет выполняться неравенство I а 1 е/М. В меньшей из этих двух окрестностей < будет выполняться неравенство \az/ < ~ М=е. А это и значит, что аz-бес.конечно малая. Для случая Х-+- оо доказательство проводится аналогично. Из данной теоремы выте кают: ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ 42 Следе тв и е Если 1. lim rx = О, lim ~=О, rrл. то lim а~= О, 11 так как ~ (х) есть величина ограниченная. Это справедливо для любоrо конечного числа множителей. Следствие 2. Если 1imrx=0 и c=const, то limca=O. Теорем а 5. Частное rx (x)Jz (х) от деления бесконечно малой величины rx (х) на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая. До к аз ат ель с тв о. Пусть limrx (х) = О, lim z (х)= Ь=,6= О. На основании теоремы 2 § 3 следует, что 1/z (rx) есть величина ограниа (х) ченная. Поэтому дробь z (х) 1 = rx (х) z (х) есть произведение вели- чины бесконечно малой на величину ограниченную, т. е. величина бесконечно малая. Основные теоремы о пределах § 5. В этом параграфе, как и в предыдущем, мы будем рассматри вать совокупности функций, которые зависят от одного и того же аргумента х, Мы чаев, при этом х-+ а или х-+ оо. будем проводить доказательство для одного из этих слу так Иногда как для другого доказательство проводится аналогично. мы вообще не будем писать ни х-а, ни Х-+ оо, под разумевая то или другое. Теор ем а 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа переменных равен алгебраической сумме пределов этих переменных: lim (и 1 + и 2 + ... + uk)= lim и 1 +lim и 2 + ... +lim uk. До к аз ат ель ст в о. Проведем доказательство для двух сла гаемых, так как для любого числа слагаемых оно проводится так же. Пусть lim и 1 = а 1 , lim и 2 = а 2 • Тогда на основании теоремы 1§ 4 можем написать ui где rx1 = а1 +rx1, И2 = а2+а2, и rх 2 -бесконечно малые. Следовательно, иi + И2 = (а1 + а2) + (rx1 + rх2)- Так как (а 1 +а 2 ) есть постоянная величина, а (а 1 +а 2)-В€личина бесконечно малая, то снова по теореме 1 § 4 заключаем, что lim (иi + и 2 ) = а 1 + а 2 = lim и 1 + lim и 2 • Пример lim /Х ➔ ОО 1. 2х= lim (1+~)= lim х2 ~ х Х ➔ ОО х Х ➔ ОО 1+ lim ~=1+ Jim ~=l+O=l. Х ➔ аох Х ➔ оох Теорем а 2. Предел произведения двух, трех и вообще опре деленного числа переменных равеn произведению пределов этих ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ § 5) 43 переменных: lim Ui•U2• ... •U1г = lim щ-lim И2• •,, ,lim U1г, До к аз ат ель ст в о. Для сокращения записи приведем дока зательство для двух множителей. Пусть lim щ = а 1 , lim u 2 = а 2 • Следовательно, Uf=ai+ai, И2=а2+СG2, u1u 2= (ai + ~) (а 2 +а 2 ) = а1а 2 + а1а 2 +a2ai + а 1 а 2 . + Произведение а 1а 2 есть величина постоянная. Величина а 1 а 2 а 2а 1 а 1а 2 на основании теорем § 4 есть величина бесконечно + + малая. Следовательно, След ст в и е. знак предела. lim и 1 и 2 = а1 а 2 = lim щ_ -lim и 2 • Л остоянный множитель можно выносить за Действительно, если lim ui = ai, с-постоянная и, следова тельно, lim с= с, то lim (си 1 ) = lim с -lim ui = с -lim ин что и требо валось доказать. Пример х3=5•8=40. 2. lim 5x3=5 lim Х ➔ 2 Х ➔ 2 Теорема 3. Предел частного двух переменных равен част ному пределов этих переменных, если предел знаменателя отли чен от нуля: • vи 11m = Iim и lim v , если I'1m v =/= О . До к аз а те ль с тв о. Пусть lim и =а, lim v=b=/=O. Следо вательно, и=а+а, v=b+~. где а и ~-бесконечно малые. Напишем тождества и v- а+а а ь+~ - ь + а ( a+l'Z ) а ь+~ - ь - ь аЬ-~а + Ь(ь+~> • или и а etb-~a v=ь+ Ь(Ь+~) • а ~-~ Дробь ь есть постоянное число, а дробь ь (Ь+~) по теоремам § 4 и 5 есть бес.конечно малая переменная величина, так как аЬ-~а есть бесконечно малая, ь2 4 =!= О. Следовательно, Пр им ер а знаменатель Ь (Ь . и 11m -v = lim и -ь = - 1-.• 1mv а +~) имеет пределом 3. lim (3х+5) 3 lim х+5 3х+5 X • I X • I 3-1+5 8 1• - - ----,----- ----,.... - - -2 -- 4 • « 1m • l 4х-2 lim (4х-2)4 lim х-2 -4,1-2ос ➔ ! X• l Здесь мы воспользовались доказанной теоремой о пределе дроби, так как предел знаменателя при х-+ l отличен от нуля. Если же предел знаменателя ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ 44 [ГЛ. 11 есть нуль, то теорема о пределе дроби не может быть применена. В этом случае требуется производить специальные рассмотрения. Пр им ер 4. Найти _lim (х2 -4)/(х-2). Здесь анаменатель и числитель при х--+- Х➔ 2 2 стремятся к нулю и, следовательно, теорема 3 неприменима. Про изведем следующее тождественное преобразование: х2 - 4 х-2 = (х-2) (х+2) х+ 2 • х-2 Это преобразование справедливо при всех значениях х, mличных от Поэтому, имея в виду определение предела, можем написать х2 - . 4 11m - «-+ 2 х-2 П р и м ер 5. (х-2) (х+2) li m -'----'--'-.,,.....:..-'= х-+2 х-2 Найти lim х/(х- 1). x• I При 2. lim (х+2)=4. Х-+ х--+- 2 l знаменатель стремится к нулю, а числитель к нулю не стремится (числитель стремится к единице). Следовательно, предел обратной величины есть нуль, т. е. 1. « ~~ lim х-1 х-+ 2 0 Т= lim х х Отсюда на основании ·теоремы (х-1) ~-1 0 · l предыдущего параграфа будем иметь lim x/(x-l)=oo. «• 1 Теорем а 4. Если между соответствующими значениями трех функций и= и (х), z = z (х), v= v (х) выполняются неравен ства и~ z ~ v, при этом и (х) и v (х) при Х--+- а (или при Х--+- оо) стремятся к одному и тому же пределу Ь, то z = z (х) при Х--+- а (или при Х--+- оо) стремится к тому же пределу. Д о к а з ат е л ь с т в о. Для определенности будем рассматри вать изменение функций при х--+- а. Из неравенств и ~ z ~ v следуют неравенства lim v = u-b~z-b~v-b; Ь. Следовательно, при любом 8 по условию >О lim и=Ь, Х ➔ й найдется некоторая х➔ а окрестность с центром в точке а, в которой будет выполняться < неравенство I и-Ь 1 8; так же найдется некоторая окрестность с центром в точке а, в которой будет выполняться неравенство 8. В меньшей из указанных окрестностей будут выпол 1 v-b 1 < няться неравенства --8 будут тельно, < и-Ь < 8 выполняться и -8 неравенства < v-b < 8, а следова - 8 < z-b < 8, т. е. lim z=b. х➔ а Теорема 5. Если при х--+-а (или при х--+-оо) функция у принимает неотрицательные значения у~ О и при этом стре мится к пределу Ь, то Ь есть неотрицательное число: Ь ~О. Доказательство. Предположим, что Ь<О, тогда ~1 Ь /, числа т. е. модуль IЬ I и, разности следовательно, I у-Ь \ больше не стремится к \y-bl~ положительного нулю при Х--+- а. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ §5) 4i Но тогда у при Х-+- а не стремится к Ь, что противоречит усло вию теоремы. Значит, предположение, что Ь О, приводит к -про тиворечию. Следовательно, Ь О. < ;;:= Аналогично доказывается, что если у~О, то lim у~О. Т е о р ем а 6. Если между соответствующими значениями двух функций и=и(х) и v=v(x), стремящихся к пределам при х-+- а (или при х-+- оо ), выполняется неравенство ;;:= место lim v lim и. До к аз ат ель ст в о. (по теореме ;;:= lim и. Пр им ер По условию 5), lim (v-u) ;;:= О, 6. Докажем, что или v ;;:= и, v-u ;;:= О, то имеет следовательно lim v-lim и;;:= О, т. е. lim v ;;э:: llm sJn х =0, х➔О Из рис. 42 следует: если ОА = l, х > О, то АС= sJn х, АВ = х, sJn х < х. < I sJn х 1 < 1х 1- Из этих неравенств на основа llm sJn х=О, Очевидно, что при х О будет нии теорем 5 и 6 следует, что Пр им ер 7. Действительно, Пр им ер следовательно, 8. Х➔ О Докажем, что lim sJn (х/2) =0. х--+-0 1sJn (х/2) / < / sJn х (. Докажем, что Следовательно, limcosx= 1; заметим, что х--+-0 lim sJn х--+-0 (х/2)=0. cosx=l-2sJn 2 (x/2), Jim cos х= Iim (1-2 sJn 2 (х/2)) = 1-2 lim sJn 2 (х/2) = 1-0= 1. х➔О Х➔О х➔О В некоторых исследованиях вопроса о пределе переменных при ходится решать две самостоятельные задачи: доказывать, 1) существует, и ри которых что ·предел устанавливать переменной границы, внут рассматриваемый предел нахо дится; 2) вычислять рассматриваемый предел о нужной степенью точности. Иногда первый вопрос решается с по мощью следующей, важной для дальнейше го теоремы. Теорема 7. Если переменная величина Рис. 42. v возрастающая, т. е. всякое ее последующее значение больше предыдущего, и если она ограничена, т. е. то эта переменная величина имеет предел lim v = а, где а~М. Аналогичное утверждение имеет место и для убывающей огра v < М, ниченной переменной величины. Доказательство этой теоремы мы здесь не приводим, так как оно основывается на теории здесь не даем*). *) действительных чисел, которую мы Доказательство этой теоремы приведено, например, в книге: Ф и х те н Г. М. Основы математического анализа, т. 1.-М.; Наука, 1968. r о ль ц ТТРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ 46 [ГЛ. lJ В следующих двух параграфах будут получены пределы двух функций, имеющие большое применение в математике. § 6. Функция sinx Предел функции sinx -;- не определена при -х х при Х-+ О = О, так как числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. Найдем предел этой функ- ции при х-+0. Рассмотрим окружность радиуса 1 (рис. 43); обозначим централь ный уrол МОВ через х, при этом О х л/2. Из рис. 43 непосредственно следует < < площадь Л МОА < площади сектора МОА < < площади Л СОА. (1) l Площадь ЛМОА= 2 0А-МВ= = ~ . I . sin х = f Рис. 43. sin х. 1 ._, 1 1 Площадь еектора МОА= 2 0А-АМ = 2 • 1 •х= 2 х. 1 1 1 Площадь Л СО А = 2 О А· АС= 2 · l • tg х = 2 tg х. Неравенства (1) после сокращения на sin х Разделим все члены на ½ переписываются так: < х < tg х. sin х: 1< х sJnx < cosx' 1 или sinx 1 > -х- > cos х. > Мы вывели это неравенство в предположении, что х О; замечая, sin (-х) sinx что (-х) = х и cos (- х) = cos х, заключаем, что оно верно и при х < О. Но limcosx= 1, lim l = 1. х➔ О х➔О sinx Следовательно, переменная х заключена между двумя величинами, имеющими один и тот же предел, равный зом, на основании теоремы 4 . sin х 1 1t m-=. Х➔ О sln х 1; таким обра предыдущего па раrрафа Х График функции у= х изображен на рис. 44. 47 ЧИСЛО е §7) Примеры. 1. lim tgx=lim sinx • _I_=lim slnx • lim _I_=l•_!_=l. Х ➔О Х Х➔О Х COS Х Х➔О Х Х ➔ О COS Х 1 . sinkx _ 1. kslnkx_k 1. sln(kx)_k l-k 2. 11 m - - - 1m - - 1m - - - - • х-о х х-о kx х➔ о (kx) (k=const) . (kx-+O) у f 11 _ sin:o .-,-т о Рис. 44. 2 s1n 2 ~ sin !... 2 sin х 2 = lim - 3. lim _I-_c_o_s_x = lim - - 2 Х➔О Х Х➔ О Х ➔О XJ ,х = 1,0 = О. 2 sin ах 4 lim sin ах • i:-o s1n ~х = lim Iim sin ах .::_ • ~=~ х ➔ о ах sin j3x f3 11m . sin j3x --- ,но ~ 1-\х х-о /3х I а а =li". т=~ (a=const, 6=const}. § 7. Число е Рассмотрим переменную величину где п-возрастающая переменная величина. принимающая значе ния из натурального ряда чисел 1, 2. з •... Т е о р е м а 1. Переменная величина ( 1+ ~ ) п при п-+ оо имеет предел, заключенный между 2 и 3. До к а з а тел ь ст в о. По формуле бинома Ньютона можем написать п=1 ( l + .!._) п + ~1 .!._ + п (п1) • ( .!..) + п (n-l)(n-2) (.!._)з + ... l •2 n 1 •2·3 n 2 п • •• +n(n-l)(n-2) ... [n-(n-l)] 1•2• ... ,п (.!._)n. п (l) ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНIЩИЙ 48 Произведя [ГЛ. алгебраические преобразования, очевидные получим 1 (1-.!.)(1-!)+ ... 1 (1-2-)+( 1+2-)"=1+1+1,2,3 l,2 2 1.. (1-.!.) (1-!) .. • (1•_n-l). •.. +1 .•. Из (1 (2) п п п -п п п п п 11 последнего равенства следует, что переменная величина + ~) "- возрастающая переменная величина при возрастаю щем п. Действительно, при переходе от значения п к значению п каждое слагаемое последней суммы возрастает: +1 l\ ( 1- ~) < l\ ( 1- п~ l) и т. д. и добавляется еще один член. (Все члены разложения-поло жительные.) Покажем, что переменная величина ( 1 + ~ )" ограничена. Замечая, что ( 1- ~) ражения (2) < 1; ( 1- ~) ( 1- ;-) < 1 и т. д., из вы получим неравенство (1+ ~)"< 1+ 1+1\+1.;.3+ ... +1,2./ ... ,п· Замечая, далее, что 1 1 _l_<_!_ 1,2.3<2 1.2.3.4 2 3 ' 2 • :можем ... , 1 1 1.2..... п<2п-1• написать неравенство l )" ( l+п 1 1 1 ... +F-Т• <1+1+2+22+ Подчеркнутые члены правой части этого неравенства образуют 1/2 и первым геометрическую прогрессию со знаменателем q 1, поэтому членом а = = ( 1+ ¾) п < 1+ [ 1+ ; + ;2 + · ·•+ 2}-1] = 1-(-!-)" 21 = 1 + [ 2,- ( ; y-i] = 1+ 1-2 Следовательно, для всех п получаем < 3. число, §7) Из равенства (2) 49 что следует, (1+ ~у~2. Таким образом, получаем неравенства 2~ (1+ ~у <3. (3) Этим установлено, что переменная величина ( 1 + ~ ) п ограничена. Итак, переменная величина ( 1+ ~ У возрастающая и огра - ниченная, поэтому на основании теоремы 7 § 5 она имеет предел. Этот предел обозначается буквой е. Определение. Предел переменной величины (1+ п -+ оо называется *) ~)n при числом е: е = lim ( 1 + ..!..) n. n n• cc Из неравенства (3) на основании теоремы 6 § 5 следует, что и число е удовлетворяет неравенству 2 ~ е ~ 3. Теорема доказана. Число е-иррациональное число. Позднее будет указан метод его вычисления с любой степенью точности. Его значение с де сятью верными знаками после запятой: е= 2, 7182818284 ... Теорем а 2. Функция ( 1+ ~ )х при х, стремящемся к бес конечности, стремится к пределу е: lim ( 1 + .!.)х = е. Х➔ ОО Х До к аз ат ель с тв о. Было установлено, что ( 1 + ~ )n-+ е п-+ оо, при если п принимает целые положительные значения. Пусть теперь х стремится к бесконечности, принимая как дроб ные, 1) так и отрицательные значения. Пусть х-++ оо. Каждое его значение заключено между двумя, положительными целыми числами: п ~ х *) Можно показать, что (1 < п + 1. При этом + ~ ) п-+ е при n -++ 00 1 если п не является монотонно возрастающей переменной величиной. [Г Jl. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНIЩИЙ 50 11 будут выполняться неравенства 1:::;,:1 l+l:::;,:l+l l+ п+l' 1 п:::--х> 1 п:::---х>п+I' (l+~Y+l>(l+ ~Y>(l+n~l)n. Если х--+ оо, то, очевидно, и п--+ оо. Найдем пределы перемен ных, между которыми заключена переменная ( 1 + ~ У= lim ( 1+ ..!..)n+i = lim ( 1+ ..!..)п ( 1+ ..!..) n• n +oo n• п n +a:> = = nlim+e<> (1 + ..!..)п • nltm+oo (1 + ..!..) =e• l =е, n n • lim п (i+-1-)n+l (t+-1-) = Jim n+l n->-+oo n • • п+I +oo 1+-1п+ l следовательно (по теореме lim (i+-l-)n+1 n+l =.!..=е, lim (1+-I-) 1 п-ноо n+ 1 =п-+оо 4 § 5), lim ( 1+ ..!.)х = е. Х->-+ а, 2) Пусть Х-+-оо, или х =- (t (4) f=-(x+l) будет Х--+- оо. Можем написать (t+t 1)-t-1= (t+l)t+1 (t+l)t+1 -= l'1m = t }'1m (l+l)t(l+l) - = t +ao t t t Х . l 1m = t->-+<ZJ Введем новую переменную + 1). При t--+ + оо lim (1+.!..)х= lim X• -<ZJ Х t->-+<ZJ (1-t+l 1)-t-1= lim t • +<ZJ t• • +<ZJ =е-1 =е. ll +! -! о Рис. 45. Теорема доказана. График функции у= ( 1 + ~ У изображен на рис. 45. 51 НАТУРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМЫ § 8] Если в равенстве положить 1/х=а, то при Х-+ оо имеем (4) а-+0 (но а=,60) и мы получаем lim(I+a) 1 /a=e, а➔О Примеры~ 1. lim (1+..!_)n+r;=lim (1+..!_)n(1+..!_)r;= n n п п n• • • • = nlimoo ( 1+..!_)n • nlimoo ( 1+.!.) 6 =е• 1=е. п • п • 2. lim (1+..!_)зх= lim (1+..!_)х(1+..!_)х(1+..!_)х= " Х ➔ ОО х r= 1 Х' ➔ ОО х х х lim (1+..!_)х • lim (-1+..!_)х • lim (1+..!_)х =e•e•e=il. Х➔ • Х Х➔ оо Х Х➔ оо Х 3. lim (1+~)х = lim (1+..!_) 2У =е2. . (х+з)х+з 1·1m (х-1+4)х+з (1+ -4- )x+;i == 4. 1 1m -= х➔ ---'-= х1·1m х ➔ оо х-1 оо х-1 ➔ оо х-1 =lim (1+_!_1)(x-1)+4=1im (1+.!)У+4= == lim (1+.!)У • lim (1+.!) 4=е4,1 =е'. Х ➔ оо Х У ➔ оо У Х ➔ оо Х- У ➔ ОО 3 а меч а н и е. у у ➔ оо У У ➔ ОО у Показательная функция с основанием е, у=еХ, играет иск.,ючительно большую роль в дальнейшем курсе матема тики. Эта функция играет большую роль при изучении различ ных явлений в механике (теория колебаний), в электротехнике и радиотехнике, в радиохимии и т. д. Эту функцию часто называют экспо нентой (exponential function). Графи ки показательной функции у= ех и показательной функции у= е-х изоб ражены на рис. 46. § 8. В Натуральные логарифмы § 8 главы I была определена логарифмическая функция у= loga х. Число а назыв2е1ся основанием логарифмов. Если а-= десятичным 1u, то у называется логарифмом числа х О Рис. ш 46. и обозначается у= lg х. Из школьного курса известны таблицы зна чений десятичных логарифмов, которые называются бригговымu 1 по имени английского ученого Бриrга (1556-1630). ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНIЩИА 52 Логарифмы с основанием е = 2, 71828 ... (ГЛ. 11 называются натураль ными, или неперовыми логарифмами, по имени одного из первых изобретателей логарифмических таблиц, математика Непера ( 1550 - 1617). Следовательно, если еУ х, то у называют натураль = ным логарифмом числа х и пишут у= ln х вместо у= log" х. Гра фики функций у = ln х и у lg х построены на рис. 47. = м=JnlL' 11 Yz=Jg:.r, Yt А" lgtO=I 1Jz l118 Рис. 8 10 llJ 47. Установим, далее, зависимость между десятичными и натураль ными логарифмами одного и того же числа х. Пусть у= lg х, или х = loY. Прологарифмировав левую и правую части последнего равенства при основании е, получим 1n х = у ln 10. Определяем 1 1 у= ln 10 ln х, или, подставляя значение у, имеем lg х = ln 10 ln х. Таким образом, если известен натуральный логарифм числах, то десятичный логарифм этого числа находится путем умножения на множитель М= ln\o ~0,434294, независящий отх. Числом называется модулем перехода от натуральных логарифмов к деся тичным: lgx=Mlnx. = Если положим в этом тождестве х е, числа М через десятичные логарифмы: то получим выражение lge=M (lne= 1). Натуральные логарифмы через десятичные выражаются так: 1 lnx= мlgx, где 1 м~ 2,302585. 3 а м е ч а н и е. Для вычисления натуральных логарифмов чисел существуют специальные таблицы (например, см. Б р он шт ей н И. Н. и тике. -М.: Наука, Семендяев К. А. 1980). Справочник по матема НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ § 9) Непрерывность функций § 9. Пусть функция у= и в некоторой 53 f (х) определена при некотором значении х0 с центром в х 0 • Пусть окрестности Если х получит некоторое поло жительное или отрицательное различно - - без- приращение Лх и примет + значение х = х0 Лх, то и функция у получит некоторое приращение Лу. Новое, наращенное значение функции будет у0 +Лу=f (х0 +Лх) (рис. 48). Приращение функции Лу выразится формулой Лу = f (х0 + Лх) -- f (х 0). = О п р еде л е н и е 1. Функция у (х) называется непрерывной при значении х= х 0 (или в точке х0 ), если она определена в некоторой окрестности точки х 0 (очевидно, и =f /J Рис. в самой 48. точке х 0) и если lim Лу=О (1) Лх ➔ О или, что то же самое, lim [f (х0 +Лх) Лх ➔ О Условие непрерывности lim Лх ➔ О -f (х0 )] = О. (2) (2) можно записать и так: f (х0 + Лх) =f (х0 ) или lim f (х) = f (х0), (3) ~ ➔ Хо но х0 = lim х. Х ➔ Хо Следовательно, равенство lim (3) f (х) = f ( Х ➔ Хо т. е. для того, чтобы Х-+ х0 , достаточно в аргумента х его можно записать так: lim х) ,Х ➔ Хо , (4) найти предел непрерывной функции при выражение функции подставить вместо значение х0 • Описательно геометрически непрерывность функции в данной точке означает, что разность ординат графика функции у= (х) f в точках х0 +Лх и х0 будет по абсолютной величине произвольно малой, если только Лх будет достаточно_ мало. I I ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНIЩИЙ 54 Пр имер 1. Докажем, что функция у= х 2 [ГЛ. непрерывна в 11 произвольной точке х0 • Действительно, у 0 =х~, у0 +Лу=(х0 +Лх) 2 , Лу=(х0 +Лх) 2 -х~=2х0 Лх+Лх 2 , Iim Лх ➔ О Лу = lim Лх ➔ О (2х0 Лх + Лх 2) = 2Хо lim Лх-+О лх+ Лх, lim Лх ➔ О lim Лх ➔ О Лх = О nри любом способе стремления Лх к нулю (рис. 49, а и б). Рис. Пр им ер 2. 49. Докажем, что функция y=sin х непрерывна в sin (хо+ Лх), произвольной точке х0 • Действительно, у0 = sin х 0 , Уо + Лу = Лy=sin (х0 + Лx)-sfn х0 • Было показано, что Лxli:?1 0 = 2 sin 2Лх Лх= 0 sin 2 ограничена. Следовательно, • cos ( х0 + 2Лх) . (пример 7 § 5). Функция cos ( х+ Лх) 2 Лу=О. l!m Лх ➔ О Аналогичным образом, рассматривая каждую основную элемен тарную функцию, можно доказать, что каждая основная элемен тарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена. Докажем далее следующую теорему. f f Теорема 1. Если функции 1 (x) и 1 (x) непрерывнывточке х" то сумма ф(x)=fi(x)+f 2 (x) также есть непрерывная функ ция в точке х0 • Доказательство. Так как на основании равенства lim « -+- Хо (3) f1 (x) и можем написать f1 (х) = f i (х0 ) и tim « -+- Хо f2 (x) непрерывны, то f2 (х} = f 2 (х0 ). На основании теоремы 1 о пределах можем написать lim ,q,(x)= lim [f1 (x)+f2 (x)]= lim f 1 (x)+ lim f 2 (x)= «• Хо «• «• Хо Хо Х • Хо = fi (Хо)+ f2 (хо)= 'Ф (х0 ). Итак, сумма ф (х) = f 1 (х) + f 2 (х) есть непрерывная функция. Теорема доказана. Как следствие отметим, что теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых. Опираясь на свойства пределов, так же можно доказать сле дующие теоремы: НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНIЩИЙ § 9) 55 а) Произведение двух непрерывных функций есть функция не прерывная. б) Частное двух непрерывных функций есть функция непре рывная, если знаменатель в рассматриваемой точке не обращается в нуль. в) Если в в точке и0 и= q> (х) = q> (х0), непрерывна при то сложная х = х0 функция и f (и) непрерывна f[q> (х)] непрерывна точке х0 • Используя эти теоремы, можно доказать следующую теорему. Теорем а 2. Всякая элементарная фуннция непрерывна в каж дой точке, в которой она определена *). П р им ер З. Функция у= х 2 непрерывна в любой точке х0 и потому lim х 2 =хб, Х-+Хо Пр им ер 4. lim х2 =3 2 =9. Х-+3 Функция у= sin х непрерывна в любой точке и потому sin х = sin (л:/4) = lim }'2/2. X-->-1t/4 Пр им ер lim 111;-+ Функция 5. у=ех непрерывна в каждой точке и потому ех= еа. а Пример 6. lim ln(l+x) Х-+0 Х lim _!_ln(l+x)= lim ln[(l+x) 11x]. Х-+0 Х Х ➔ О как lim (l+x)'/x=e и функция lnz непрерывна при z > Ои, Так следовательно, х-->- О при z=e, то lim Jn Х--+ 0 [(! +х) ,Jx] = ln [ lim (1 + х) 11х] = Jn е = 1. Х-+0 Определен и е 2. Если функция у= f (х) непрерывна в каж дой точке некоторого интервала (а, Ь), где а< Ь, то говорятt что функция непрерывна на этом интервале. Если функция определена и при х = а, и при этом = /(а), f lim f (х)= х➔а+о = то говорят, что (х) в точке х а непрерывна справа. Если то говорят, что функция f(x) в точке х=Ь не- lim f(x)=f(b), х-+Ь-о прерывна слева. Если функция f (х) непрерывна в каждой точке интервала (а, Ь) и непрерывна на концах интервала соответственно справа и слева, то говорят, что функция том интервале или отрезке [ а, Ь ]. Пр им ер 7. Функция у=х 2 следует из примера 1. f (х) непрерывна непрерывна на замкну на любом отрезке [а, Ь}, что f ЕсJ}И в какой-то точке х = х 0 для функции у= (х) не ВЫПОJI• няется по крайней мере одно из условий непрерывности, т. е. если *) Этот вопрос подробно изложен в книге: Фи х те н гол ь ц Г. М, Основы математического анализа 1 т. 1.-М.: Наука, 1968. ПРЕДЕЛ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ 56 (ГЛ. 11 = х0 функция не определена или не существует предел f (х), или lim f {х) =1= f (х0) при произвольном стремлении при х lim х х -+ Хо - х х0 , -+ Хо хотя выражения, стоящие справа и y=f(x) слева, Пр им ер Функция У= 8. х=О функция не определена: l/x разрывна lim 1/х= в этом при х=О. Действительно, при + оо, « ➔ +о существуют, Х=Х0 то при х=х0 функция разрывна. Точка случае называется точкой разрыва функции. lim IIC • 1/х= оо. Легко по- - -0 казать, что эта функция непрерывна при любом значении х ::/: О. П р им ер 9. Функция у= 2 1 /х разрывна при х = О. Действительно, lim 2 1/х=оо, lim 2 1 /х=О. При х=О функция не определена (рис. 50). IIC • +O Х-+-0 Пр им ер 10. Рассмотрим функцию =-1; при х >О lim tJC • -O будет х/1 х f(x)= litn f (х) =х// х /. При х х-++О х ➔ +О < О будетх//х/ = / = 1. Следовательно, x/lx/=-l, lim f(x)= lim x/lx/=l: х ➔ -О при х=О функция не определена. Таким образом, мы установили, что функ ция f(x)=xf/xl разрывна при х=О (рис. 51). l/ .,_ _______ 1 k 11 D .r=f(.r) ,Z' Рис. Пример 11. y=sin iP -! Рис. 50. Функция P=f'(.1:J 1 51. (1/х), рассмотренная в примере 4 §3, раз рывна при х=О. Оп р еде л е ни е конечные пределы 3. Если функция lim f (х) = f (х0 Х-+Хо+О но или = lim х->-х,+о f (х) =1= lim f (х), f (х) такова, +О) и lim что существуют f{x) или значение функции f(x 0 - О), f (х) при х-+х,-о х х 0 не определено, то х = х 0 называется точкой рода. (Например, для функции, рассмотренной в точка х = О есть точка разрыва 1-го рода.) § 10. = Х-+Хо-0 разрыва l-го примере 10, Некоторые свойства непрерывных функций В этом параграфе рассмотрим некоторые свойства функций, непрерывных на отрезке. Эти свойства будут сформулированы в виде теорем, которые мы приводим без доказательства *). r *) Доказательства этих теорем можно найти в книге: о ль ц Г. М. Основы математического анализа, т.1. -М.: Наука, Ф и х те н 1968. НЕI<ОТОРЫЕ СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНI<ЦИй § 10) Теорем а 1. Если функция у= 57 f (х) непрерывна на некотором отрезке [а, Ь] (а~х~Ь), то на отрезке [а, Ь] найдется по крайней мере одна точка х = Xf такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению f (xi);;.: f (х), где х-любая другая точка отрезка, и найдется по крайней мере одна точка х2 такая, что значение функции в этой точке будеm удовлетворять соотношению f (Х2) ~ f{x). f Значение функции (х1 ) будем называть наибольшим значением функции у= х) на отрезке [ а, Ь], значение функции (х2 ) будем называть наименьшим значением функции на отрезке [ а, Ь ]. Коротко эту теорему формулируют так: Непрерывная на отрезке а~ х ~ Ь функция достигает на этом отрезке по меньшей мере один раз наибольшего значения М и f( наименьшего значения f т. #дП,f(Ы/ ~ ll .l(~J tt о ll f{d, 1/1 ll Рис. .:rl Mfa,/fttJf Рис. 52. 53. Смысл этой теоремы наглядно иллюстрируется на рис. 52. а меч ан и е. Утверждение теоремы о существовании наиболь шего значения функции может оказаться неверным, если рассмат 3 < < ривать значения функции на интервале а х Ь. Так, например, ecJiи мы будем рассматривать функцию у= хна интервале 0<х<1, то среди ее значений нет наибольшего и нет наименьшего. Дейст вительно, на интервале нет ни наименьшего, ни наибольшего значений х. (Нет крайней левой точки, так как, какую бы ни взяли точку х*, наидется точка левее взятои, например точка V V также нет крайней правой, а следовательно, нет ни шего, ни наибольшего значений функции у= х.) f х* 2 ; наимень Теорем а 2. Пусть функция у= (х) непрерывна на отрезке Ь] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда между точками а и Ь найдется по крайней мере одна точка х с, в которой функция обращается в нуль: [ а, = f(c)=O, а<с<Ь. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНIЩИЙ 58 [ГЛ. Jl Эта теорема имеет простой геометрический смысл. График не прерывной функции у= (х), соединяющий точки М 1 [а, (а)] и f f М 2 [Ь, f(b)], где /(а)<О и /(v)>O (или f(a)>O и f(b)<O), крайней мере в одной точке (рис. 53). пересекает ось Ох по Пример. Дана функция у=х3-2; Ylx= 1 = - l , Ylx= 2 =6. На отрезке (1, 2] v2 она непрерывна. Следовательно, на этом отрезке существует точка, где у=х3-2 обращается в нуль. Действительно, у=О при Х= (рис. 54). f Теорем а 3. Пусть функция у= (х) определена и непрерывна на отрезке [ а, Ь]. Если на концах этого отрезка функция при#' нимает неравные значения (а)= А, (Ь) В, f то, каково бы 6 - ни было число f µ, = заключенное между числами А и В, найдется такая точка х=с, заключенная между а и Ь, что (с)=µ. Смысл данной теоремы отчетливо иллюстри руется на рис. 55. В данном случае всякая - f прямая у=µ пересекает график функции у = f (х). 3 о 1 3 а если А и В имеют разные знаки, то в качестве µ можно взять О и тогда µ=О будет за 31 ключено между числами А и В. Следствие теоремы 3. Если функция у= (х) непрерывна на некотором интервале / и яв 2 ляется частным случаем этой теоремы, так как -, -; Yl Рис. а меч ан и е. Отметим, что теорема = 54. f принимает интервале наибольшее и наименьшее она принимает по крайней значения, то мере один на этом раз любое 1/ ,71 ir1 Рис. значение, Рис. 55. заключенмое между ее наименьшими 56. и наибольшими значениями. зок Действительно, пусть f (х1 ) =М, f (х2 ) = т. Рассмотрим отре [ xi, х2 ]. Тогда по теореме 3 на этом отрезке функция у= (х) f принимает любое значение µ, заключенное между М и т. Но отрезок [ Xi, х 2] заключен внутри рассматриваемого интервала, на котором определена функция / (х) (рис. 56). СРАВНЕНИЕ БЕСI(ОНЕЧНО МАЛЫХ 1111 Б9 Сравнение бесконечно малых § t t. Пусть одновременно несколько бесконечно малых величин а, ~. у, ... являются функциями одного и того же аргумента х и стремятся к нулю при стремлении х к некоторому пределу а или к бесконечности. Охарактеризуем стремление этих перемен ных к нулю, рассматривая их отношения*). Будем пользоваться в дальнейшем следующими определениями. О п р еде лен и е 1. Если отношение ~/а имеет конечный и отличный от нуля предел, т. е. если lim р;а = А =1= О, а следова тельно, lim щр 1/А =1= О, то бесконечно малые р и а называются бесконечно малыми одного порядка. = Пример 1. Пусть а=х, где х-+0. Бесконечно малыеа и~ ~=sin2x, одиоrо nорядка, так как lim !.= llm « ➔ оа Пр им ер 2. При sln 2х =2. « ➔ ох Х-+ О бесконечно малые х 1 sln Зх, tg 2х 1 7 ln (Г+х) являются бесконечно малыми одногр и того же порядка. Доказательство прово• дится аналогично тому, как это сделано в примере 1. О п р ед е л е н и е 2. Если отношение двух бесконечно малБiх Рfй1 стремится к нулю, т. е. если lim Р/а = О ( а lim а/~ = оо), то бесконечно малая ~ называется бесконечно малой величиной ВЬlС· шего порядка, чем бесконечно малая а, а бесконечно малая а: называется бесконечно малой низшего порядка, чем бесконечно малая~- > l; Пример 3. Пусть а=х, ~=хп, п бесконечно малая высшего порядка, чем Х-+0. Бесконечномалая!}есть бесконечно малая а, так как lim xn/x= lim xn-\=0. х-+-0 z-+-0 При этом бесконечно малая а есть чем бесконечно малая бесконечно малая низшего порядка, ~- - Оп редел е ни е 3. Бесконечно малая ~ называется бесконечно малой k-го порядка относительно бесконечно малой а, если ~ и а11 -бесконечно малые одного порядка, т. е. если lim~/a11 =A=l=O. Пр им ер 4. Если а= х, ~ = х3 , то при х-+ О бесконечно малая ~ есть бесконечно малая третьего порядка относительно бесконечно малой а, так как lim ~/а3 = lim ,ё!/(х)3 = 1. «-+О Х-+-0 О п редел е н и е 4. Если отношение двух бесконечно малых стремится к единице, т. е. если lim Pta = 1, то бесконечно малые Р и а называют эквивалентными бесконечно малыми**) и ~fa пишут а~р. *) Будем предполагать, что бесконечно малая, стоящая не обращается в нуль в некоторой окрестности точки а. * *) малыми. В этом случае а и ~ иногда называют в равносильными знаменателе, бесконечно ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКДИй 60 П р и мер 5. Пусть а= х и (:} = sln х, [fЛ. 11 где х-+ О. Бесконечно малые а и ~ эквивалентны, так как . sln х 1 11m --=. х • о х +х), где х-+ О. . ln (l + х) 1 11 m--~~ Пр им е р 6. Пусть а= х, а и(:} эквивалентны, так как « ➔ о (см. пример Бесконечно малые (:} = ln (1 х 6 § 9). Те о р ем а 1. Если а и ~ - эквивалентные бесконечно малые, то их разность а - ~ есть бесконечно малая высшего порядка, чем а и чем ~До к аз ат е ль ст в о. Действительно, lim a-r, = lim ( 1 -l) = 1- lim lа = 1- 1 = О. а а Теорем а Если разность двух бесконечно малых а 2. бесконечно малая высшего порядка, чем а и чем ~. - ~ есть то а и ~ суть эквивалентные бесконечно малые. До к аз ат ель ст в о. Пусть lim а а(:}= О, тогда lim ( 1 - ~) = = О, или 1 - lim l = О, или 1 = lim l, т. е. а~~- Если lim а""(:}= t' = О, то lim (; - 1) = О, lim ; = 1, т. е. а~~а П р име р а 7. Пусть а=х, /:}=х+х3 , где Х-+0. Бесконечно малыеаи(:} эквивалентны, так как их разность (:}-а=х 3 есть бесконечно малая высшего порядка, чем а и чем (:}. Действительно, . (:}-а, 1• хЗ 11m - = 1m - Х ➔ О а Х ➔ о . (:}-а . l1m -""- = l1m х • Пр им ер 8. о х • t' х о х = 3 1•1m Х ➔ О +х ,.,-.д = х 2 = 0, • l1m 1 о х • равен 2 =0. х малые, так как их разность есть бесконечно малая высшего порядка, чем а и чем (:} х х+ 1 При х-+ оо бесконечно малые а=-2- и лентные бесконечно и 2 +х t = -1 х х+ 1 экв ива- 1 1 а-~=~ -х=х2 (:}. Предел отношения а 1: x+l 1 1·1m -х2 1· х+ 1·1m ( 1 . а 11mR= -.-= 1- = Х 1m • Or-' Х ➔ оо ➔ оо Х Х ➔ ОО X + -1 J=.1 Х, х Замечание. Если отношение двух бесконечно малых ~/а не имеет предела и не стремится к бесконечности, то ~ и а не сравнимы между собой в указанном выше смысле. УПРАЖНЕНИ.Я 1( ГЛАВЕ f\ Пример Пусть а=х, 9. 61 II где х-+-0. Бесконечно малые а: ~=xsin(l/x), и не сравнимы, так как их отношение ~/a=sin (1/х) nри х-+-0 не стр~ мится ни к конечному nределу, ни к бесконечности (см. nример 4 § 3). Уnражнения к гпаве 11 Вычислить указанные nределы: х 2 +2х+5 . 1. l1m 11: • х 1 2 +1 • Оmв. 4. 2. Iim [2sinx-co~x+ctgx]. х 3. lim ;- Х ➔ 2 . 5• }~.. 2 . Отв. О. 2+Х 4. 4хз-2х 2 +1 2. (2~_!_+~) . lim Х ➔ оо Х Х Отв. 2. 4 6 1. x+l O 1 7 1. 1+2+ ... +п 0 Зх3-5 . mв. з· х ~m.. -x-. тв. . • п ~~ n2 • 2 2 2 . 12+2 +3 + ... +п 1 0 1 8. n!..m" пз • mв. з· отв. 2· 1 Указание. 2, ... , Оmв. 11 .... 2 . Напишем формулу (k+1)3 -k3 =3k 2 +3k+l для k=O, 11 п: 13=1; 2з_ 13 =3• l2+3• l + 1; . 33 -23 =3-2 2 +3•2+ 1; ... . . Складывая левые и правые части, (п+ 1)3 =3 " ... ... получим (1 2 +2 2 + ... +п2 )+3{1+2+ ... +п)+(п+ 1), (n+l) 3 =3(1 2 +2 2 + ... +п2)+З n(nil) +(п+l), откуда п (п+ 1) (2п+ 1) 6 9. lim х оо • 18. 20. 1 2. 23. Отв. оо. 1О. х 3х 2 -2х-1 lim х! оо • - +4 Оmв. О. 1 . . х3-1 . Оmв. -2 . 12. l1m - 2 . Оmв. 4. 13. Хl1m 1 • Х • 2 х• 1 х. х 2 -5х+6 1 . x2 +3x-lO 3. 14. l1m 2 12 + 20 . Отв. -8 . 15. l1m 3 2 5 2 . Отв. 1. х • 2 Х Х Х • 2 Х х. у 3 +3у 2 +2у 2 . и3 +4и 2 +4и l1m Отв. - -5 . 17. l1m ( 2 __6 2) ( _ 3) • Отв. О. Х • 16. 2х+ 5 4х3-2х 2 +х 11. lim Оmв. х2 +х-1 3Х2 О у ➔ -2 lim h • lim X • +2 Х У У (x+h) 3 -x3 Отв. xn-1 I Отв. Х- . Yl+x-1 11m ----. Х ➔ О U h о l х 2 -4 Х Отв. 3х2 • 19. п 1 2 . р • l1m х • 1 - [ 2 U + 1 U 3 ] -1- - ·-• . Отв. -1. 1 -х (п-целое 22. Отв. .!L • --<" nоложительное число). v2x-t1 v2 Vx-1 у . Оmв. -32 • 24, lim -3 2 1. 0 х'-';\ух-2-У2' тв. -3-• ~• 1 х-1 25. 'v-"x-'v-"a х-а ill-+a « ~~ 00 -1 при sin 4х sin х Х О ➔ Х ill • O gx ,----llm х/У 1-cosx. Отв. у2. . sin 2 (х/3) Х➔О Х 33. lim уз. • Отв. 1- 2 cosv lfm • Z• Отв. Отв• .!, 2 l li m 2 arcsin х • Oтв. -2 • 39 . 11m sin (a+x)-sin 3 3Х Х Х ➔ О (а-х) t -9 • Отв. 1, х ➔ О llm(l-z)tg~ . 37, :rt) ""i" sin v- 3 ( :n; 2 Jim xctgx. 35. « ➔ +О :11 . 0 тв, 2 .cos а. Х ➔О tg x-sinx . l1m 3 Х Х➔ О )х lim ( 1 -1- . х х ➔ оо n llm ( oo • Jim « • :n:/2 m Отв. )x+J., т oo О при а-- оо. при х-➔-+оо, о ea,x-eflx . lim - - - - . 55. Отв. е. Отв. е3 • ~. Отв. 1. 00 . !п (l+o.x) 11m-:......;--'-, Х Х ➔ О lim (1 49. Х ➔ О +3 tg lп(l+ea) . l1m --'--------. а а-+оо а Отв. т• 53, t' llm Х ➔ со 2 Отв. а. x)ctg• х. Отв. е3 • 1 при а-+оо, Отв. аХ-1 --(a>l),Omв.+oo Х 54. lim п [ a1 /n - 1]. Отв. ln а. х-- оо. Отв. х «-о t'X • 47. Отв. е. 51. у. Отв. lim {п [ln (п+ 1)-ln п]}. 45. п Х-+0 S Х 00 43. xl~m.. (l~x е sin ах . А • 52. l1m - i n при ,Х • -1 • Отв. 1. lim (cos -=-)т. • -2 • (l+cosx) 3 secx, Отв. е1 • 41. lim ( 1+.!.)х. 1 Отв. • 1+-n1 )п+5w. 2х+з 48. х]~Ш.. ( 2х+ 1 50. 1 2. Отв. О. lim (ух2 + 1- У х2 -1). • 38. 46. Отв. Отв. 21 прих-+оо, -оо прих--оо. 00 v• 44. ... о lim t - . Отв. 1. 32, llm - - • Отв. 4. 36. 42. х • vx +1 «~Ш.. х+ 1 , Отв, 1 при х-+ со, 28. 29. х--оо. х 2 V llm x(fx2 +1-x). i/1 • 40. та У-хi=э х8+ 1 , Отв. 1. У 1+x+x2 - t lim 26. 11 Х ➔ ао зо. 34. 'v-"a -- • Отв. lim ....__ _..__ • 27. 31. 1rл. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ Ф'УНIЩИА 62 R • 00 еа.х-еРх a-jl. 56. хlim ... os1n ax-s1n llх . Отв. 1. Определить точки разрыва функций~ х-1 57. g= х (х+ I) (х2 _ 4) • Отв. Разрывы при х=-2; 1 58. y=tg - , Отв. х ± 2 3:rt: ... ; ± Разрывы при х=О -1: и О; 2. 2 х=±-; n 2 (2n+I):rt 59. Найти точки разрыва функции IJ= 1+2 1 /х и построить график этой функции. Отв. Разрыв при .1е =0 <У-+ оо при х-++О, g-+ 1 п.ри х - - О). УПРАЖНЕНИ.Я 1( ГЛАВЕ Между 60. x3, следующими ух (1 -х), sin 3х, 2х cos х бесконечно V tg- 2 63 II малыми (при х- О) величинами х , хе 2 х выбрать бесконечно малые одного порядка с бесконечно малой х, а также высшего и низшего порядка, чем х. Отв. Бесконеtfно малые одного порядка с х: sin 3х и хе 2 х; бесконечно малые высшего порядка по сравнению с х: х2 и 2х cos xV tg низшего порядка по сравнению с х: Ух (1-х). Среди ;указанных бесконечно малых 61. (при х - конечно малые; равносильные бесконечно малой х: Отв. Убедиться в том; что при х 62. 1- V- Отв. рядка, ,.i будут одного 1-х lim З/ ..... 11-у х 3, порядка не 2 tg2x, 1 х, бесконечно малая О) величин найти бес- х-3х 2 , ! Х; 2 sin 2 эквивалентны. tg 2х 1 бесконечно малые величины малости. Будут к-3х 2 1 ln(l+x). ли они следовательно, данные бесконечно ж но - 1 2 1-х и эквивалентны? малые одного по- ГЛАВА III ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ § 1. Скорость движения Будем твердого кально рассматривать тела, например прямолинейное движение д1Jижение камня, некоторого брошенного верти вверх, или движение поршня в цилиндре двигателя и т. д. Отвлекаясь от конкретных размеров и формы тела, мы будем в дальнейшем представлять его в виде дви жущейся точки М. Расстояние отсчитываемое от s движущейся точки, некоторого начального ее положения М 0 , будет зависеть цией времени от времени t: S= t, т. е. s будет функ f (t). (1) t Пусть в некоторый-момент времени*) движущая ся точка М находилась на расстоянии s от началь ного положения М0 , а в некоторый следующий мо мент t+Лt точка оказалась в положении М1 -на Рис. 57. расстоянии s+Лs от начального положения (рис. 57). Таким образом, за промежуток времени Лt расстояние s изменилось на величину Лs. В этом случае говорят, что за про межуток времени Лt величина s получила приращение Лs. Лs Рассмотрим отношение Лt ; оно дает нам среднюю скорость движения точки за ,время Лt: Лs Vcp = Лt • Средняя скорость не может во всех случаях точно (2) охаракте ризовать быстроту перемещения точки М в момент t. Если, на пример, тело в начале промежутка Лt перемещалось очень быстро, а в конце очень медленно, то средняя скорость, очевидно, не. смо жет отразить указанных особенностей движения точки и дать нам правильное представление об истинной скорости ее движения *) Здесь, как и в дальнейшем, конкретное значение переменной мы будем обозначать той же буквой, что и саму переме~шую. СКОРОСТЬ ДВИЖЕНИЯ § 1) в момент t. 65 Для того чтобы точнее выразить 'ЕУГУ истинную ско рость с помощью средней скорости, надо взять меньший проме жуток времени Лt. Наиболее полно характеризует скорость дви t жения точки в момент скорость при дв иж ен и я тот предел, к которому стремится средняя Лt-+ О. в Этот да н ный предел и называют с к о рост ь ю м о м е н т: V= 1.tm Л/ Лs (3) лt. --+-0 Таким образом, скоростью движения в данный момент называется предел отношения приращения пути Лs к приращению времени Лt, когда приращение времени стремится к нулю. Напишем равенство (3) в развернутом виде. Так как Лs = f (t + лt)-f (t), то (t) 1.tm f (t+Лt)-f лt • V= дt (3') --+-0 Это и будет скорость неравномерного движения. Таким обра зом, мы видим, что понятие органически связано понятия предела с скорости понятием можно неравномерного движения предела. определить Только скорость с помощью неравномерного движения. Из формулы (3') следует, что v не зависит от приращения времени Лt, а зависит от значения t и характера функции (t). f Пр и мер. Найти скорость вольный момент и в 111омент t равномерно ускоренного движения в произ с, если зависимость пути от времени вы t=2 t2 ражается формулой s=g2 • г Решение. В момент t имеем s= g2 ~; в ;1,юмент t+Лt получим s+Лs= g g(t 2 +2t Лt+лt 2 ) 2 (t+лt) 2 2 Найдем Лs:, Лs= g (t 2 +2t лt+лt 2 ) gt2 2 2 gt Лt+ g Лt"'. 2 Лs Составим отношение Лt: Лs gt Лt + (g Лt /2) 2 Лt по определению имеем 1 gt+2gЛt; Лt v= Iim дt • О ЛЛst= Jim (gt +.!. g Лt ) Лt ➔ О 2 Таким образом, скорость в любой момент времени При t=2 I имеем v t= 2 =g•2=9,8,2= 3 н. с. Пискунов, т. 1 1916 м/с. t = gt. равна v=gt. 1rл.щ ПРUИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕН[lИАJt 66 § 2. Определение производной Пусть мы имеем функцию y=f(x), (l) определенную в некотором промежутке. При каждом значении аргумента х из этого промежутка функция у= (х) имеет опре f деленное значение. Пусть аргумент х получил некоторое (положительное или отрицательное-безразлично) приращение Лх. Тогда функция у получит некоторое приращение Лу. Таким образом: при значении аргумента х будем иметь у= {х), f при значении аргумента х+Лх будем иметь у +Лу= Найдем приращение функции Лу: Лу Составим отношение f (х+Лх). = f (х+Лх)-f (х). приращения (2) функции к приращению аргу мента: f Лу (х+Лх)-f (х) Лх Найдем предел этого отношения при Лх-+0. Если этот предел существует, то его f (х) (3) Лх и обозначают называют f' пр о из в одной данной функции (х). Таким образом, по определению f' (х) = lim Лу Лх ➔ оЛХ или t,,) {Х = (х) 1.tm f (х+Лх)-f Л Лх-+0 Х (4) • f Следовательно, производной данной функции у= (х) по аргу менту х называется предел отношения приращения функции Лу к приращению аргумента Лх, когда последнее произвольным образом стремится к нулю. Заметим, что в общем случае для каждого значения ,с произ водная (х) имеет определенное значение, т. е. производная является также фу н к ц и ей от х. f' Наряду с обозначением f' (х) для производной употребляются и другие обозначения, например yt, у;, :~ . Конкретное значе ние производной при Х= а обозначается f' (а) или у' 1х= 4 • Операция нахождения производной от вается дифференцированием этой функции. функции f (х) назы- Пр им ер 1. Дана функция у=х 2 ; найти ее nроизводную y'J 1) в произвольной точке х, 2) при х=З. Решение. 1) При значении аргумента, равном Х; имеем у=х 2 • При значении аргумента, равном х+Лхj имеем у+Лу=(х+Лх) 2 • Находим nрнра- 67 ГЕОМЕТРИЧЕСI<ОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ § Э] щение функции: Лу: Лу Лх Лх Лу=(х+Лх) 2 -х 2 =2х лх+(Лх)~. 2 хлхd(Лх) 2 Составляем отношение 2х+Лх. Переходя к пределу, найдем производную х от данной функции: у'= lim лх • о Ллу = х (2х+ Лх) = 2х. Итак; производная lim Лх ➔ о от функции у= х 2 в произвольной точке равна у'= 2х. 2) При х=З получим у' 1х=з=2-3=6. п р им ер 2. Решение. 1f у=х " наити у' Рассуждая так . же, как в 1 предыдущем примере, получаем 1 у=х' у+Лу= х+ Лх' 1 1 -х-х-Лх Лу= х+лх -7 х (х+Лх) Лх х(х+Лх)' Лу 1 Лх =- х (х+Лх)' у'= лхlim➔ о Лу = лхlim... о Лх 3 что мени [- а меч ан и е. В предыдущем если зависимость расстояния t выражается формулой 1 х(х+Лх) ] =-_!__, 2 х параграфе было установлено, s движущейся точки от вре s = f (t), то ttшрость v в момент t выражается формулой • v = 11m Лt--+-0 Следовательно, v = Лs лt . = 11m St = f' (t), от пути по времени Лl--+-0 f(t+лt)-f(t) лt • т. е. скорость равна производной*) t. § 3~ Геометрическое значение производной Мы подошли к понятию производной, рассматривая скорость движущегося тела (точки), т. е. исходя из мех ан и чес к их представлений. Теперь мы дадим не менее важное r ео метр и чес к о е истолкование производной. Для этого нам прежде всего потребуется определение к а с ат ель но й к кривой в данной точке. Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку М 0 • Возь мем на кривой точку М 1 и проведем секущую М 0 М 1 (рис. 58). Если точка М 1 неограниченно приближается по кривой к точке М 0 , то секущая М 0 М 1 занимает различные положения М 0 М;, М 0 М; и т. д. Если при неограниченном приближении точки М 1 по кривой к точке М0 с люб о й ст о р о н ы секущая стремится занять по ложение определенной прямой М 0 Т, то прямая М 0 Т называется *) Когда мы говорим «производная по х» или «производная по времени t» и т. д., то под этим мы подразумеваем, что при вычислении производной считаем аргументом переменную х или время и т. д. t з• мы ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 68 каса,тельной к кривой в точке М 0 будет уточнено ниже). Рассмотрим функцию f (х) (ГЛ. Ш (понятие «стремится занять» и соответствующую этой функции кривую f (х) У= в прямоугольной системе координат (рис. 59). При некотором значении х функция имеет значение у= (х). Этим значениям х f Рис. Рис. 58. 59. и у на кривой соответствует точка М 0 (х, у). Дадим аргументу х приращение Лх. Новому значению аргумента х+Лх соответст вует «наращенное» значение функции у+Лу= (х+Лх). Соот вет.ству.ющей ему точкой кривой будет точка М 1 (х+Лх, у+Лу). Проведем секущую М 0 М 1 и обозначим через q> угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ох. Составим отно- f 1; .Из рис. 59 непосредственно шение V усматриваем, что Лу rx= tgq>. (1) Если теперь Лх будет стремиться к нулю, то точка М 1 будет перемещаться вдоль ш Рис. и 60. угол составляющая с кривой, приближаясь к М 0 • Се кущая момl будет поворачиваться вок руг точки М 0 и угол q> будет менять ся с изменением Лх. Если при Лх--+ О q> стремится к некоторому преде- лу а., то прямая, проходящая через М 0 положительным направлением оси абсцисс угол а, будет искомой касательной. Нетрудно найти ее угловой коэффициент: tg а.= lim tg q> = lim Ах➔ О Дх-+О :У= f' (х). х ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНIЩИЙ 4] 69 Следовательно, f' (х) = tg а;, f' (х) при данном т. е. значение производной (2) значении аргументах угла, образованного касательной к графику равняется тангенсу f функции (х) в соответствующей точке М 0 (х, у) с положитель ным направлением оси Ох. Пр им ер. Найти тангенсы углов наклона касательной к кривой у=х 2 в точках М 1 (1/2, 1/4); М 2 (-1, 1) (рис. Ре ш е н и е. На основании nримера 60). 1§2 имеем у'= 2х; СJ1едовательно, tga1=Y' /x=I/2 = 1, tg l:i2=Y' lx=-1 =-2. § 4. Дифференцируемость функций О п р ед е л е н и е. Если функция y=f (х) имеет производную в точке х lim Лу Лх➔ О Лх = = х0 , (1) т. е. если существует lim f (х0 +Лх)-f (х0) Лх➔ О ( • Лх 2) = х0 функция диф то мы говорим, что при данном значении х ференцируема или (что равносильно этому) имеет производную. Если функция дифференцируема в к аж до й точке некото рого отрезка [а, Ь] или интервала (а, Ь), то говорят, что она дифференцируема на отрезке [а, Ь] или соответственно винтер вале (а, Ь). Т е орем а. Если функция у= f (х) дифференцируема в неко торой точке х = х0 , то она в этой точке непрерывна. Действительно, если lim ЛЛу Л➔ О Х = f' (х0), то ~: = f' (хо) +У, где у есть величина, стремящаяся к нулю при Лх - Лу 0-. Но тогда = f' (х0) Лх +уЛх; отсюда следует, что Лу-0 при Лх---.0, а это и значит, что функ ция (х) не~:~рерывна в точке х0 (см. § 9 гл. 11). f Таким образом, в то ч к ах р аз рыв а фу н к ц и я не м о же т иметь производной. Обратное заключение неверно, т. е. из того, что в какой-нибудь точке Х=Х 0 функция y=f(x) непрерывна, еще не следует, что в этой точке она дифферен цируема: функция / (х) может и не иметь производной в точке х0 • [ГЛ.Ш ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 70 того чтобы убедиться в этом, рассмотрим несколько Для при• меров. f (х) Пр им ер 1. Функция образом (рис. 61): f (х)=х f (х) = 2х- 1 [О, на отрезке определена 2] следующим при О..;;;х..;;; 1, 1 < х..;;; 2. при Эта функция при Х= 1 не имеет производной, хотя и непрерывна в этой точке. О имеем Действительно, при Лх > lim f(l+Лx)-f(l) lim [2(l+Лx)-l]-[2•l-1J лх➔ о Лх лх ➔о Лх при Лх <О llm 2Лх= 2 • лх ➔ о Лх получаем . f(l+Лx)-f (1) . }1m ------,--'---""'-'-- 11m Лх лх➔о Лх [l+Лх]-1 Ilm -Л =l, Лх лх ➔о Х Лх ➔ о Таким образом, рассматриваемый предел зависит от того, каков знак Лх, а это значит, что в точке х= l функция не имеет производной"'). Геометрически 0 2 :r; Рис. Рис. Gl. этому соответствует тот факт, что в точке определенной касательной. Непрерывность же функции в точке х Лу=Лх п,ри Лх < О, Х= =l 62. данная l «кривая» не имеет следует из того, что Лу=2Лх при Лх > О, и, следовательно, в обоих случаях Лу-+ О при Лх-+ О. Пр им ер 2. Функция у= Vx, график которой изображен на рис. 62, определена и непрерывна для всех значениii" независимой переменной. Выяс llим, имеет ли эта функция производную при х=О; для этого найдем значе ния функции при х=О и при х=О+Лх; при х=О имеем у=О, при х=О+Лх имеем у+Лу= VЛх· Следовательно, Лу= }Тх. Найдем предел отношения приращения функции к приращению аргумента: lim лх ➔ о *) л Vлх = лхlim➔ о ЛУх = лхlim➔ о --.--,--Л х v- = + 1 v лха QO, По определению производной требуется, чтобы отношение милось при Лх-+ О к одному и тому же пределу образом стремится к нулю Лх. :: стре независимо от того, каким ПРОИЗВОДНАЯ ОТ ФУНКЦИИ у=хп § 5] 71 Таким образом, отношение приращения функции к приращению аргумента в точке х О стремится к бесконечности при Лх---+ О (и, значит, предела не имеет). Следовательно, рассматриваемая функция не дифференцируема в точке х=О. Касательная к кривой в этой точке образует с осью абсцисс угол л/2, т. е. совпадает с осью Оу. = § 5. Производная от функции у= Х" при п целом и положитеJ1ьном f Для нахождения производной от данной функции у= (х), исходя из общего определения производной, необходимо произ вести следующие действия: 1) дать аргументу х приращение Лх, вычислить значение функции: наращенное у+Лу=f(х+Л-х); 2) найти соответствующее приращение функции: Лу 3) = f (х+Лх)-f (х); составить отношение приращения функции к приращению аргумента: Лу _ f (х+Лх)-f (х). Лх ' Лх- 4) найти предел данного отношения при Лх---+ О: у , = 1'1m Лу - Лх-+О Лх . f(x+Лx)-f(x) = 11m ------. Лх-+О Лх Мы применим здесь и в следующих параграфах этот общий способ для вычасления производных от некоторых элементарных функций. Т е о р е м а. Производная функций у = xn, где п- целое поло жительное число, равна пхп-1, т. е. (1) До к а з а тел ь с тв о. Имеем функцию у= хп. 1) Если х получает приращение Лх, то у+Лу 2) Лу = = (х+Лх)п. Пользуясь формулой бинома Ньютона, находим (х+Лх'уп-хп= =хп+; хп- 1 Лх+п(~~I) хп-~ (Лх)2+ ... + (Лх)п-хп ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 72 {ГЛ. III или Лу = пхп- 1 Лх+ п (~~ l) хп- 2 (Лх) 2 + 3) ... + (Лх)п. Находим отношение :: = пхп-1+ п (~~1) xn-2 Лх+ ... + (Лх)п-1, 4) Найдем предел этого отношения у'= lim Лу Лх➔ О Лх = Пm [пхп- 1 + п (n-l) хп- 2 Лх+ ... +(Лх)п- 1 ] =пхп-1 , Лх➔ О 1-2 следовательно, у'= пхп-1, что и требовалось доказать. Пример Пр им ер 1. 2. у=х 5 , у'=5х 5 - 1 =5х 4 • у= х, у'= lx1 - 1 , у'= 1. Последний результат имеет простое геометрическое истолкование: касательная к прямой у=х при любом значе нии х совпадает с этой прямой и, следовательно, образует с положительным направлением оси Ох угол, тангенс которого равен 1. Отметим, что формула (1) верна и в случае п дробного и от рицательного. (Это будет доказано в § 12.) Пример 3.у=Ух, Представим данную функцию в виде степени: y=Xl/2; тогда по формуле (1) (учитывая только что сделанное замечание) получаем 1 2--1 у'=2х2. или ' 2v1 х у=----. Пример 4. у= 1 ,r-. xr х Представим у в виде степенной функции: У= х-з/2. Тогда § 6. Производные от функций у= sin х; у= cos х Теорем а 1. П роизвадная от sin х есть если у= sin х, то у'= cos х, m'. cos х. е. (11) ПРОИЗВОДНЫЕ ОТ ФУНI<ЦИй § 6) g=cos y=sin х; х 73 Дадим аргументу х приращение Лх; До к а з а те ль ст в о. тогда u+Лy=sin(x+Лx); 1) . х+лх-х COS х+лх+х . . (Х,...1--л Х)-SlПX= 2 SШ 2) лу=SШ 2 2 = 2 sin ;х cos ( х + ~х) ; Лу 3) лх= 2 . Лх cos stn 2 Лх . Лх 2 ( +Лх) х 2 ( s1n Лх =--лх--соs х+2 ) ; т . Лх Stn- Лу = l'1m у , = 1'1m л 4) ЛХ➔О Лх ➔О х 2 -л--. ~ l'1m cos ( х + 2Лх) , Лх➔ О 2 но так как . Лх +=1, Stn- lim Лх➔ О Х т то у'= lim cos (х+ ;х) =COSX. Лх➔ О Последнее равенство получается на том основании, что cos х есть непрерывная функция. Теорема Производная от 2. если у= До к аз ат ель ст в о. cosx, cosx то у' Дадим есть -sinx, т. е. =-sin х. аргументу х приращение (111) Лх, тогда у+Лу=соs (х+Лх); . х+лх+х = . х+лх-х sш лy=cos(x+ лx)-cosx=- 2 sш 2 2 = -2 sin л2х sin ( х + л2х ) in Лх rx=- s д; sin ( х + л; ); Лу т y' = lim :У= lim Лх➔ О Х Лх➔ О . Лх , Stn- -+ _.:.. 2 sin (х+ л;) = - lim sin (х+ л;); Лх-+О ; [ГЛ. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 74 учитывая, что sin х есть непрерывная функция, III окончательно получим у' =-sinx. § 7. Производные постоянной, произведения постоянной на функцию, суммы, произведения, частного Теорема 1. Производная постоянной равна нулю, т. е. если у= С, где С= то const, До к аз ат ель с тв о. у= С есть ния которой при всех х равны С. у'= О. (lV) такая функция от х, значе f Следовательно, при любом значении х у= (х) =С. Дадим аргументу х приращение Лх (Лх =р О). Так как функ ция у сохраняет значение С при всех значениях аргумента, то у+Лу=f(х+Лх)=С. Значит, приращение функции равно Лу= (х + Лх)- (х) = О, отношение приращения функции к прира- f =f щению аргумента ллу = О, и, следовательно, у'= lim ллу = О, т. е. Х Лх➔ О Х у'=О. Последний результат имеет простое геометрическое истолко ваI-Jие. Графиком функции у= С служит прямая, параллельная оси Ох. Касательная к графику в любой ее точке, очевидно, совпадае"'Г с этрй прямой и, следовательно, образует с осью Ох угол, тангенс которого у' равен нулю. Т е о р ем а 2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т. е. если у= Си (х), где С= то const, у'= Си' (х). (V) До к аз ат ель ст в о. Рассуждая так же, как и при доказа тельстве предыдущей теоремы, будем иметь: у= Си (х), Лу= Си (х+Лх)-Си (х) Лу = С и (х Лх) - и (х) Лх Лх ' + у ,_ 11. Лу_сt· т -л 1m Лх➔ О Х и(х+Лх)-и(х) л Лх➔ О 1 П р и м е р 1. у= 3 Ух у' у+Лу= Си (х+ Лх), = С[и (х+ Лх)-и (х)], Х , т. е. у з = Си , (х). . / 1 )' = ( __!_)' = (- 21) = з \ Vx , х 2 з т. е. , 3 2хУ х у=-----. х _2.__1 2 3 _.,!. =_ 2 х 2 , § 7J ПРОИЗВОДНЫЕ Т е о рем а 3. ПОСТОЯ:ННОй, СУММЫ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ: 75 Производная суммы конечного числа дифферен цируемых функций равна соответствующей сумме этих функций*). Для случая, например, трех слагаемых имеем у'= и' (х) у=и (х) +v(x) +w (х), производных +v' (х) +w' (х). (VI) До к аз ат ель ст во. Для значений аргумента х (аргумент х в обозначении функции для краткости письма опу скаем). Для значения аргумента х + Лх имеем у+Лу= (и+Ли)+ (v+Лv) +(w+Лw), где Лу, Ли, Лv и Лw-приращения функций у, и, v и w, соот ветствующие приращению Лх аргумента х. Следовательно, ~=~+~+Лw Лу=Ли+Лv+Лw 'Лх Лх' Лх Лх у Ли Лу , = l"1m -т.:= l"1m -л Лw Лv + )" 1m -л + l"1m -л у' =и' (х). Лх➔ О Лх-+О LL< Х Лх➔ О х Л..-,.0 JQ или (x)+v' (x)+w' 1 Пр и мер 2. у=Зх4-vх, у'·=З(х')'- ( х 1 )' -3 1 =3-4х3-(- 3 )х - -1- 1 8 , т.е. Т е о р е м а 4. Производная от произведения двух дифферен цируемых функций равна произведению производной первой функ ции на вторую функцию плюс произведение первой функции на производную от второй функции, т. е. если у=иv, *) Выражение y=u(x)-v(x) то у'=и'v+иv'. равносильно y=u(x)+(-l)v(x) = [и (х) + (-1) v (x)l' = и' (х) +[- v (х)]' =и' (x)-v' (х). (VII) и у'= ПРОИЗВОДНАЯ: 76 И ДИФФЕРЕНЦИАЛ До к аз а тел ь ст в о. Рассуждая, как и [ГЛ. 111 при доказательстве предыдущей теоремы, получим у=иv, = у+Лу (и+Ли) (v+Лv), Лу= (и+Ли) (1.!+ Лv)-иv=Ли v+ и Лv+лилv, + и Лv + Л и л:х, Лv л~ = Лх v лх . , l" Лу l" Ли + 1• Лv у = 1m -л = 1m -л v 1m и -л + 1tm Лу Ли Лх➔ О (так как и и Х v Л.,➔ О ' х Лх-,,О Х Л Лх➔ О Лv и -л Х = . -Лv + 11m . Л и 1tm . -Ли ) v + и 11m • -Лv 11m = ( Лх-+О Лх Лх-,,о Лх Лх➔ О Лх➔ О Лх не зависят от Лх). Рассмотрим последний член в правой части Л . 1tm 1·1m U Лх....,О Лv Лх-+0 л· х Так как и (х)-дифференцируемая функция, то она непрерывна. Следовательно, lim Ли= О. Кроме того, лх➔о 1.tm Лх-+О , Лv -Л =V =р оо. х Таким образом, рассматриваемый член равен нулю, и мы оконча тельно получаем у'= u'v+ uv'. На основании доказанной теоремы легко получается правило дифференцирования произведения любого числа функций. Так, если имеем произведение трех функций у= uvw, то, пред ставляя правую часть у'= и' (vw) u(vw)' = + как произведение и 1-i (vw), получим u'vw+u(v'w+vw')=u'vw+uv'w+uvw'. Таким приемом можем получить аналогичную формулу для произ водной произведения любого (конечного) числа функций. Именно, если у= и 1 и 2 ••• у'= U~U 2 • • • Пример 3. ип, то Ип-1Ип Если + U1u; ... Un-lUn + ... + U U 1 y=x 2 sinx, у'= (х 2 )' sin х+х 2 2 ••• Un_ 1U~. то (sin х)' =2xsln х+х 2 cc,s х. П р и мер 4. Если У= Ух sin х cos х, ТО + vx у'= (Ух)' sш х cos х Ух (sin ху cos х+ sin х <cos х>' = 1 -.r.. гr- sinxcosx+r xcosxcosx+ r xsinx(-sinx)= 2r х 1 ,rsin 2х .. ~ = ,rsin х cos х+ r х (cos 2 x-sln 2 х) = ,rr х cos 2х. 2r х 4r х = . + Теорема 5. Производная дроби (т. е. частного от деления двух функций) равна дроби, у которой знаменатель есть квадрат 77 ПОСТОЯННОЙ, СУММЫ, ПРОИЗВЕДЕНИ.Я ПРОИЗВОДНЫЕ § 71 есть разность между а числитель знаменателя данной дроби, произведением знаменателя на производную числителя и произве дением числителя на производную знаменателя, т. е. и y=v' если у то , = u'v-uv' vz (VIII) Если Лу, Ли и Лv суть приращения До к аз ат е-л ь с тв о функций у, и и v, соответствующие приращению Лх аргумента х, то - л и+ли У + У- v+лv ' Лу= и+ли _!!:_= v v+Лv vЛи-иЛv v(v+Лv) у'= lim _f!_= лх...-о Лх lim х v(v+Лv) , у= 5. у' 3 х3 Если у=--, cos (х3)' а м е ч а н и е. Лх v(v+Лv) Ли 1. Лv Отсюда, заметив, что Лv - Пример Лх х Г Ли vл1~ о-Л-х -ил/~ о-Л-х -л-v-и-л- Лх-+О ' Лv - Ли Л v (v+Лv) Ли -v-и- Лх Лу лх= vЛи-иЛv х - v Iim Лх ➔ О О при Лх-+ О *), (v+Лv) получаем u'v-uv' vz то 2х2 cos х+х3 sin х cos х-х3 (cos х)' cos 2 х cos 2 x Если имеем функцию вида и (х) У=с• где знаменатель С есть постоянная, то, дифференцируя эту функ цию, нет надобности применять формулу (VIII), а целесообраз нее применять формулу (V): , у= ( 1 уи ) ' 1 , и' =си =с· Конечно, этот резуJiьтат получается и по формуле Пример *) lim Лх ➔ О 6. cos х Если у=1 -, то у' (cos х}' 7 (VIII). sin х --7-• Лv=О, так как v(х)-дифференцируемаяи, следовате.11ьно, непре рывная функция. [ГЛ. ПРОИЗВОДНА.Я И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 78 § 8. Производная JIОFарифмической функции Теорем а. Производная от функции если у= 111 у= 1oga х, то у 1 loga х равна х 1oga е, , =-1 1oga е. т. е. (IX) х До к аз а те ль ст в о. Если Л у есть приращение функции loga х, соответствующее приращению Лх аргумента х, то у+ Лу= loga (х+ Лх); Лу= loga (x+Лx)-Iogax = loga х~ Лх = loga..( 1 + ~х); :t = 1х loga ( 1 + л;) Умножим и последнего разделим • на х выражение, стоящее в правой части равенства: (i +Лх) =_!._ loga (l +Лх)х/дх • х х х Лу =_!._.!.... Jo Лх х Лх ga Обозначим величину Лх через а. Очевидно, а-+ О при Лх-+ О и - х данном х. Следовательно, Лу =__!_х logа (1 +а) 1 /а • Лх Но, как известно (см. § 7 гл. П), lim (l+a) 1 /a=e. а-+ о Если к же числу выражение, стоящее под знаком логарифма, стремится е, то логарифм этого выражения стремится к loga е (в силу непрерьmности логарифмической функции). Поэтому окон чательно получаем у'= lim ЛЛу = lirfl .!.. Joga (1 +а) 1/а = _!._ loga е. дх-+О Заметив, что так: У , 1 =7 х а-+О х 1 loga е = -1 - па Х , полученную формулу можно переписать 1 lna • Отметим важный частный то lna=lne= 1, т. е. если у= случай этой формулы: если а= е, 1nx, то у 1 ' =-. х (Х) § 91 ПРGИЗВОДНА.Я ОТ СЛОЖНОЙ ФУНIЩИИ § 9. Пусть дана можно Производная от сложной функции сложная представить в функция или y=F[q>(x)] и (см. называют у= f (х), т. е. такая, что ее следующем виде: y=F менную 79 гл. (и), и=ер(х) I, § 8). В выражении промежуточным y=F(u) пере аргументом. Установим правило дифференцирования сложной функции. Теорем а. Если функция и= q> (х) имеет в некоторой точ ке х производную и~= ср' (х), а функция у= F (и) имеет при соот ветствующем значении и производную у;= F' (и), то сложная функция y=F{ep{x)] в указанной точке х также имеет произ водную, которая равна у~= F; (и) ер' (х), где вместо и должно быть подставлено выражение и= ер (х). Коротко, у~= у;и:, т. е. производная сложной функции равна произведению произв@д ной данной функции по промежуточному аргументу и на произ водную промежуточного аргумента по х. До к аз ат ель ст в о. При определенном значении х будем иметь и=ер(х), y=F(u). При наращенном значении аргумента х+Лх и+Ли=ср(х+Лх), у+Лу=F (и+Ли). Таким образом, приращению Лх соответствует приращение Ли, которому соответствует приращение Лу, причем при Лх-1-О будет Ли-1-О и Лу-1-О. По условию . 11m Ли ➔ О Лу ' л=Уи• и Из этого соотношения, пользуясь определением предела, получаем (при Ли=i= О) Лg Ли= Уи'+ а, (1) где а--+0 при Ли-О. Перепишем равенство Лу = у~Лu Равенство (2) (1) таю + аЛи. справедливо и при Ли =О (2) при произвольном а, так как оно превращается в тождество О= О. При Ли= О будем пола гать а= О. Разделим все члены равенства Лу , Ли Ли Лх = Уи Лх +а Лх • (2) на Лх: (3) 1rл. 111 ПFОИ3Вf>ДН ASI И Д ИФ·1 а~-ЕНПИАЛ 80 О 1· • t· Ли По )'СЛОВИЮ л1~ 0 Лх = Ux, л:~ 0 Gt = • Лх- (} в равенстве (3), получим пределу к Переходя у~= у~и;. при (4) Пр им ер 1. Пусrь дана функция y=sln (х2). Наt!дем у;. Даннуюфунк• nредставим как функцию от функции следующим образом: g=sln и, и=х 2 • Находим y~=cos и, и~=2х. Следовательно, no формуле (4)у~=у~и;= = cos и-2х. Подставляя вместо и его выражение, оконча1ельно nолучаем цию у;= 2xcos (х2 ). П р и м ер 2. Дана функция у= (ln х)3 • Найдем у_~. Данную функцию nредставим следующим образом: у=и 3 , и=lnx. Нахо- , дим Уи 1 , = Зи 2 • их= - х 1 , . Следовательно, Ух= Зи 2 х Если функция у= f (х) у= F = 3 (ln х) 2 - 1 • х такова, что ее можно представить в виде (и), и= q,(v), v= ,i,(x), то нахождение производной у~ производится путем последователь ного применения предыдущей теоремы. По доказанному правилу имеем у;= у~и;. Применяя зту же теорему для нахождения и~, будем иметь и~= u~v;. Подставляя выражение и~ в предыдущее равенство, получаем (5) или у;= F~ (и) q,~ (v) ,i,; (х). Пр им ер 3. Дана функция y=sln [(ln х) 3 ]. Найдем у;. Представим дан ную функцию следующим образом: y=sin и, и=v3, v=lnx. Находим y~=cos и, u;=ЗtP, v;=l/x. Следовательно, по формуле (5) получаем Y-~=y~u~v;= = 3 (cos и) v 2 - 1 х , или окончательно 1 , Yx=cos [(ln х) 3 ] ,3 (ln х) 2 - рассмотренная функция оnределена только при х > О. х • Заметим, что § 1О. Произво.п.ные функций у= tg х, у= ctg х, у== ln Iz 1 Т е о р ем а 1. Производная от функции 1 tg х равна cos2 х , (Х 1) если у= tg х, то у' = со~ 2 х • Доказательство. т. е. Так как sln х У= cosx ' t то по правилу дифференцирования дроби [ см. формулу (VIII) § 7] получаем У , = (sin х)' cos x-sln cos 2 x х (cos х)' = cos х cos x-sln x(-sin х) cos 2 х = cos 2 х+ sln 2 х cos2 х 1 = соь• х • ~ ПРСИЗВОДНЫЕ ФVНКЦИЙ IOJ Теорем а у= с t g х, Доказательство. , = х, y=ctg Х, Производная от функции 2. если У u=tg то у , y=lnlxl 81 1 ctg х равна - sina х, 1 (XII) =--.-. sin 2 х cos х Так как у=-.-, то sin х (cos х)' sfn x-cos х (sin х)' - sin х sln x-cos х cos х sin2 x sln 2 х sin 2 х+ cos 2 х Sin 11 Х Пример 1. Если и'= При мер 2. y=tgy°x, i cos2 У х Если у= (Ух)'=~ i 2 У х cos 2 У х ln ctg х, 1 sin1 Х • • то 1) 3. =- то t , 1 1 t у'= ctg х (ctg х) = ctg х ( - sin 2 х = - cos х sin х = Теорем а т. е. Производная от функции ln I х 1 2 sin 2х • (рис. 63) равна 1/х, т. е. если у= ln Ixl, то у'= 1/х. До к аз а те ль ст во. а) Если х > О, то lx 1=Х, (XIII) lnlxl= Jnx и поэтому у'= 1/х. б) Пусть х О, тогда I х] = - х. Но ln I х 1= ln (- х). (Заметим, что если х< О, то -х> О.) Представим функцию y=ln(-x) < Рис. 63. как сложную функцию, положив у= ln и, и=- х. Тогда у~= у~и_;= (-1) = - 1-(-1) = Итак, для отрицательных Эliачений х = .!.. -х lt .!.. . х также имеет место равенство у;= l1x. Следовательно, форму ла (XIII) доказана для любого значения х=#:0.(Прих=Офунк ция ln / х / не определена.) [ГЛ. Ш ПРОИЗВОДНАЯ И ДИ~ЕРЕНЦИАЛ 82 § 11. Неявная функция и ее дифференцирование Пусть значения двух переменных х и у связаны между собой некоторым уравнением, которое мы символически обозначим так: F (х, у) (1) =0. f Если функция у= (х), определенная на некотором интервале {а, Ь), такова, что уравнение ( 1) при подстановке в него вместо у и Рис. Рис. 64. 65. f выражения (х) обращается в тождество относительно х, то функ ция у= (х) есть неявная функция, определенная уравнением (1). Так, например, уравнение f х2+ у2-а2=0 (2) неявно определяет следующие элементарные функции (рис. 64 у= Va2-x2, y=-Va2-x2. и 65): (3) (4) Действительно, после подстановки в уравнение (2) этих значений получаем тождество х2 + (а 2 -х2 }-а 2 = О. Выражения (3) и (4) получились путем решения уравнения (2) относительно у. Но не всякую неявно заданную функцию можно представить явно, т. е. можно представить в виде у= (х) *), где (х) есть элементарная функция. Так, например, функции, заданные уравнениями у 6 -у-х 2 О f f = или у-х- ~ sin у= О, не выражаются через элементарные функ ции, 3 т. е. эти уравнения а меч ан и е 1. нельзя Отметим, разрешить что относительно у. термины «явная функция» и «неявная функция» характеризуют не природу функции, а способ задания. Каждая явная функция у= лена и как неявная у- (х) = О. f *) Если функция задана уравнением вида ция задана в явном виде или является явной. f (х) может быть представ y=f (х), то говорят, ч.то функ• 83 ПРОИЗВОДНЫЕ СТЕПЕННОЙ ФУНl(ЦИИ § 12] правило далее, Укажем, не функции, f преобразовывая ее неявной производной нахождения явную, т. е. не представляя в в виде у= (х). Допустим, что функция задана уравнением x11 +!f-a11 =0. Если здесь у есть функция от х, определяемая этим равенством, то это равенство есть тождество. Дифференцируя обе части этого тождества по х, считая, что у есть функция от х, получим (пользуясь правилом дифференциро вания сложной функции) 2х+2уу'=0, откуда у'=-х/у. Заметим, что если бы мы стали дифференцировать соответст- вующую явную функцию у= Va 11 -x2, то получили бы у'= - х х ~ =-и• т. е-. тот же результат. Рассr,1:отрим еще один пример неявной функции g от х: у• -у-х 2 =0. Дифференцируем по х: 6у5 у'-у'-2х=0, откуда у , = 3 2х 6y•-l • а меч ан и е 2. Из приведенных примеров следует, что для нахождения значения производной неявной функции при данном значении аргумента х нужно знать и значение функции у при данном значении х. § 12. Производные степенной функции при любом действительном показателе, показательной функции, сложной показатеJIЬной функции Теорема от Производная 1. функции хп, где п-любое действительное число, равна пхп- 1 , т. е. если У= До к аз ат ель ст в о. у'= то xn, Пусть х (1') nxn-I. > О. Логарифмируя данную функцию, будем иметь ln у= п ln х. Дифференцируем обе части полученного равенства по х, счи- , 1 п-, тая у функцией от х: ..JL= х у значение y=xn, 1 у'= уп-. х Подставляя сюда окончательно получаем у' =пхn- 1 • Легко показать, < О, если только xn имеет смысл*). что эта формула верна и для х О, равна Теор ем а 2. Производная от функции ах, где а ах lna, > т. е. если у= ах, то у'= ах ln а. (XIV) Д о к аз а т ель ст в о. Логарифмируя равенство у= ах, полу чим ln у= х ln а. Дифференцируем полученное равенство, считая у функцией от х: .!.. у' = ln а, у'= у ln а или у' = ах ln а. у *) Эта формула была ранее доказана (§ 5) для случая, когда п является (1) доказана в общем случае целым по.110:нсите.11ьным числом. Теnерь формула (для любого постоянного числа п). ПРОИЗВОДНАЯ: И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 84 Если основание а= е, то In е= 1 и мы получим формулу у= еХ' у' Пр им ер 1. Дана функция [ГЛ.Ш у=ех 2 , = ех • (XIV') Представим ее как сложную функ цию, введя промежуточный аргумент и: у=е", и=х2 ; тогда у~=е", и~=2х и, следовательно, у~= е" -2х = ех 2 , 2х. Сложной показательной функцией называется функция, у кото рой и основание и показатель степени являются функциями от х, например, (sin х)х\ х, хх, (In х)х, вообще, всякая функция вида xtg У= [ и (х) ]v <х) == uи есть сложная показательная функция Теорема *). 3. Если y=uv, то y'=vuv- 1u'+uvv'lnu. (XV) До к аз ат ель ст в о. Логарифмируем функцию у: ln y=vlnu. Дифференцируя .полученное равенство по х, будем иметь 1 У у'= 1 v-; и'+ v' ln и, откуда у' = у ( v ~ + v' ln и) • uv, получаем у'= vuv- u' +uvv' ln и. Подставляя сюда выражение у= 1 Таким образом, производная сложной показательной функции состоит из двух слагаемых: первое слагаемое получается, если при дифференцировании предположить, что и есть функция от х, а v есть по ст о я н на я (т. е. если рассматривать u0 как степе и ную функцию); второе слагаемое получается, если предположить, что v есть функция от х, а и= const (т. е. если рассматривать uv как показательную функцию). Пр им ер 2. Если у=хх, то у' =ххх- 1 (х')+лх (х') у' =хх +хх Пр им ер ln х=хх (1 + In х). 3. Если у= (sin х)х 2 , то (sin х)Х 2 (х 2 )' ln sin х = = х2 (sin х)х 2 - 1 cos х у'= х 2 (sin х)х 2 - 1 (sin х)' + ln х или + (sin х)Х 2 ,2х ln а.ш х. Прием, примененный в этом параграфе для нахождения про изводных и состоящий в том, что сначала находят производную *) Часто такую функцию называют показательно-степеннбй или степенно• показательной. 85 ОБРАТНАЯ: ФУНIЩИЯ: И ЕЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ § 13) лог ар и ф м а дан н ой фу н к ц и и, широко применяется при дифференцировании функций. Применение этого приема нередко значительно упрощает вычисления. Требуется найти производную от функции 4. П р и м ер (х+1) 2 vх-Т (х+4) 3 ех У Реше ни е. Логарифмируя, находим 1 lny=2 ln(x+l)+ 2 ln(x-1)-31n(x+4 )-x. Дифференцируем обе части последнего равенства: у'_ 2 1 +2 (х-1) у-х+ 1 Умножая на у и подставляя у' (x+l)2Vx-l (х+ 4 ) 3 ех 3 х+4 х+1+2(х-1) (х+4)3 ех 3 а меч а ни е. Выражение у' У • вместо у, получаем 1 (x+1)2 Vx-l [-2- l = (ln у)'. _з__ 1] х+4 • являющееся производ ной по х от натурального логарифма данной функции у= у (х), называется логарифмической производной. Обратная функция и ее дифференцирование § 13. Пусть дана возрастающая (рис. 66) y=f(x), или убывающая функция. (1) определенная на некотором интервале (а, Ь) (а< Ь) (см. § 6 гл. 1). (Ь) = d. Для определенности будем в дальнейшем Пусть (а)= с, f f рассматривать возрастающую функ- J/ цию. Рассмотрим два различных значе ния х 1 и принадлежащих х2 , интер валу (а, Ь). Из определения возрастаю щей функции следует, что если х 1 < Х11 И Y1=f(X1), Y2=f (х2), то У1 < < < у 2 • Следовательно, двум различным Xi и х2 соответствуют два различных значения функции у 1 и значениям у 2 • Справедливо если У1 < У2, и обратное, т. е. 66. f (х2), то из определения воз х и соответствующими им значениями у устанавли У1 = f (х1), а у2 = растающей функции следует, что х 1 значениями Рис. < х2 • вается взаимно однозначное соответствие. Таким образом, между [ГЛ.Ш ПРОИЗВОДНА.Я И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 86 Рассматривая эти значения у как значения аргумента, а зна чения х как значения функции, получаем х как функцию у: X=(j) (у). Эта функция называется (0) обратной для функции у= =f f (х). Оче видно, что и функция у (х) является обратной для функции х ер (у). Рассуждая аналогичным образом, можно доказать, что и убывающая функция имеет обратную. = 3 а меч ан и е 1. Укажем без доказательства, что если воз растающая (или убывающая) отрезке [а, Ь], причем функция f (а)=с, у= Пр и м е р Заметим, Пусть 1. непрерывна на d]. определена и непрерывна на отрезке [с, на бесконечном (рис. 67). f (х) f(b)=d, то обратная функция v- дана функция у= х3. Эта функция- возрастающая интервале -оо что обратная решения уравнения у= f (х) < х < + оо, функция она х имеет обратную = ер (у) х= у находится путем относительно х. V Рис. 67. Рис. 68. П р им ер 2. Пусть дана функция у= ех. Эта функция-возрастающая на бесконечном интервале - оо х оо. Она имеет обратную х ln у. Область определения обратной функции О< у<+ оо (рис. 68). < <+ = f 3 а меч ан и е 2. Если функция у= (х) не является ни воз растающей, ни убывающей на некотором интервале, то она может иметь несколько обратных функций *). Пр им ер < <+ З. Функция у=х2 определена на бесконечном интервале оо х оо, Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной. Если мы рассмотрим интервал О..;;;; х оо, то эдесь функ - <+ ция является возрастающей и обратной для нее будет х= же -оо х=*) <х<О 'VY функция-убывающая, и обратной На интервале (рис, 69). Подчеркнем еще раз, что, говоря о том, что у есть понимаем 'VY• для нее будет функция однозначную зависимость у от х, функция от х, мы ОБРАТНАЯ: ФУНКЦИЯ: И ЕЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ § 13] Замеча{Iие 87 Если функции y=f(x) и X=(f)(y) являются 3. взаимно обратными, то графиками их является кривая. Но если аргумент обратной функ ции мы обозначим снова через х, а функ одна и та же ll цию через у и построим их в одной коор динатной сист,еме, то получим уже два различных графика. Легко видеть, что графики будут сим метричны относительно биссектрисы пер вого координатного угла. П р и мер 4. На рис. 68 построены графики функции у=еХ (или х= ln у) и обратной для нее функции y=lnx, рассмотренных в примере 2. Рис. 69. Докажем, далее, теорему, позволяющую находить производ ную у= (х), зная производную обратной функции. Теорем а. Если для функции f (1) y=f(x) существует обратная функция х = (f) (у), (2) которая в рассматриваемой точке у имеет производную (f)' (у), отличную от нуля, то в соответствующей точке х функция у= f (х) имеет производную f' 1 (х), равную q!' (у) , т. е. справедлива формула f' (х) = ер' \и). (XVI) Таким образом, производная одной из двух взаимно обратных функций равна единице, деленной на производную второй из этих функций при соответствующих значениях х и у *). Доказательство. основании (2) Возьмем приращение Лу, тогда на Лх = {fJ (у+ Лу)-(f) (у). Так как (J) (у) есть функция монотонная, то Лх =;6 О. Напишем тождество Лу Лх = 1 (3) Лх • Лу *) Когда мы пишем во)J,ной в качестве f' (х) или у;, мы считаем, что при вычислении произ независимой переменной берется х; когда же мы пишем ер' (у) или х;, то мы считаем, что при вычислении производной роль незави симой переменной играет у. Заметим, что п о с л е д и ф ф ере н ц и ров а н и я по у, указанного в правой части формулы (XVI), надо вместо у подставить f(x), [ГЛ. ПРОИЗВОДНАЯ: И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 88 111 Так как функция (J) (у) непрерывна, то Лх-0 при Лу - О. Пе реходя к пределу при Лу-0 в обеих частях равенства (3), получим 1 )' f' (Х) =-,-( 1 , Ух=-, ИЛИ Ху т. е. получили формулу lj) у (XVI). а меч ан и е. Если пользоваться теоремой о дифференциро вании сложной функции, то формулу (XVI) можно получить так. Дифференцируем обе части равенства (2) по х, считая у функ- 3 u от х. циеи ' п олучим 1 =(J) ' (у )Ух, , откуда Ух= IP' 1(у)' Полученный результат наглядно иллюстрируется геометриче f ски. Рассмотрим график функции у= (х) (рис. 70). Эта же кривая будет графиком функции X=(J) (у), где х pac• !I сматривается уже как функция, а у-как не- Y=f~ зависимая переменная. Рассмотрим некото д 1----+:.~ рую точку М (х, у) этой кривой. Обозначим углы, образованные данной касательной с положительными направлениями осей Ох и Оу, ь JJ соответс:rвенно через а и ~- На основании результатов § 3, о геометрическом значении производной имеем f' Рис. п 70. (х) = tg а, с:р' (у)= Из рис. 70 следует, что если а п (4) tg ~- <~, то ~ 2 -а. Следовательно, в любом случае tg ~=ctg а, откуда tg а tg ~= 1 =tgactga=l или tga=tg~. Подставляя выражения для tga и tg ~ из формулы (4), получаем ~= 2 -а. Если же а> 2 , то, как легко видеть, ~= f' (х) = IP' \и>. § 14. Обратные тригонометрические функции и их дифференцирование 1) Функция y=arcsin х. Рассмотрим функцию x=siny (1) и построим ее график, напротив ось Оу вертикально вверх (рис. 71). оо. у Эта функция определена в бесконечном интервале -оо На отрезке -n/2~y~n/2 функция х=sinу-возрастающая, ее < <+ значения заполняют отрезок -1 ~ х~ 1. Поэтому функцня х 89 ПРОИЗВОДНЫЕ ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧНСI(ИХ ФУНКЦИЙ § 14) = sin у имеет обратную, которую обозначают так: у= arcsin х *). Эта функция определена на отрезке -1 ~ х ~ 1, ее значения заполняют отрезок -л/2~у~л/2. На рис. 71 график функции у= arcsin х изображен Теорем а 1. . ции arcsш х равна если жирной линией. Производная от функ- 1 ~r , r 1-xz . у= arcsш х, то у , т. fo----o 1 -- у1-х2 • (XVII) До к аз ат ель ст в о. равенства (1) !! е. На -1 1 ,1J основании находим x;=cosy. 0---6-f По правилу дифференцирования обратной o:=siny функции , 1 Рис. l 71. Ух=-. =cosy' Ху но cosy=Vl-sin2 y=Vl-x2 , поэтому 1 у~= у 1-х 2 ; перед корнем берется знак плюс, так как функция у= arcsin х прини мает значения на отрезке -n/2 ~у~ n/2 и, следовательно, cos у;;;;,::О. Пример 1. y=arcsineX, у Пр и мер у= (arcsin , 1 ( Х)' У l-(ex)z е У1-е2Х • 2. 2 xl ) , у' =2arcsin · 1 х у _i__ 1 1-- (.!...)' = -2 arcsin _!_ х х х У х12 -1 . х2 Функция y=arccosx. Как и выше, рассмотрим функцию 2) X=COS у (2) *) Отметим, что известное из тригонометрии равенство y=Arcsin х есть другая запись равенства (1). Здесь (при данном х) у обозначает совокупность значений углов, синус которых равен х, [ГЛ. Ш ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 90 и построим ее график, направив ось Оу вверх (рис. 72). Эта < <+ функция определена в бесконечном интервале - оо у оо. На отрезке О ~ у~ n функция х = cos у- убывающая и имеет обратную, которую обозначают так: y=arccos Эта функция х. опреде.лена на отрезке -1 ~ ~ х ~ 1. Значения функции заполняют отре зок n~ у~О. На рис. 72 график функции у= arccos х изображен жирной линией. Теорема 2. Производная от функции arccos х если Рис. равна - .. r 1 1' 1-х 2 y=arccosx, то , у т. , е. =- 1 Yl-xz. 72. (XVIII) До к аз ат ель ст в о. На основании равенства (2) находим x;=-siny. Следовательно, , 1 1 1 х х~ siny у 1-соа 2 у • у=-=--=--;=;.=== Но cos у= х, поэтому , 1 Yx=-Yl-x2 • В равенстве sin у= V l -cos2 у перед корнем берется знак плюс, так как значения функции ~ у~ и, следовательно, n Пример у= sin arccos х заполняют отрезок О~ у~ О. 3. y=arcros(tgx), y'=- .. r 1' 1 1 (tgx)'=-v 2 • 1- tg2iX 1- tg2 х cos х 3) Функция y=arctg х. Рассмотрим функцию x=tg у (3) и построим ее график (рис. 73). Эта функция определена при всех значениях у, кроме значений у= (2k+ 1); (k=O, ±1, ±2, ... ). На интервале -n/2 <у< n/2 функция Х= tg у-возрастающая и имеет обратную, которую обозначают так: у= arctg х. < <+ Эта функция определена на интервале - оо х оо. Значения функции заполняют интервал -n/2 <у< n/2. На рис. 73 график •функции у= arctg х изображен жирной линией. § 14] 91 ПРОИЗВОДНЫЕ ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСI<ИХ ФУНКДИЙ Теорем а 3. Производная от функции если у= arc tg До к аз ат ель ст в о. х, то у , 1 arctg х равна 1 +х 2 ' т. е. +1 х2, (XIX) = 1 На основании равенства х , (3) находим 1 - У-со&- 2 у" Следовате.,льно, , 1 Ух=-,= COS 2 у, Ху но 1 1 + tg2 У ; cos2 у= sec2 У= 1 так как tg у= х, то окончательно получаем: У Пр им ер 4. y=(arctg у'= 4 , 1 = 1 +х2 • х)4, (arctg х) 3 (tg х)' = 4 (arctg 1 х) 3 -1 - , -2. ,х 4. Функция у= arcctg х. Рассмотрим функцию x=ctgy. (4) Эта функция определена при всех. значениях у, кроме значе ний y=kn (k=O, +1, +2, ... ). График этой функции изображен !Z;,,!I ------ 2 -------- /1 ---------- Zл- ~------ ---------- ------------л Рис. на рис. 73. Рис. 74. 74. На интервале О< у< n функциях= ctg у-убываю щая и имеет обратную, которую сбоэначают так: y=arcctg х. 92 (ГЛ. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 111 Эта функция, следовательно, определена на бесконечном интер вале -оо х оо, ее значения заполняют интервал О у< :rt. < <+ 1 Теорем а т. < 4. Производная функция arcctg х равна - i+xz, е. если y=arcc t gx, До к а з ат ел ь ст в о. Из то , 1 у =- 1 +х2· (ХХ) получаем (4) , 1 sin 2 у· х---- у- Следовательно, =Х. Поэтому 1 . Но ctg у= Yх'=-sin2y=---1-=cosec2 у 1 + ctg 2 у , 1 Ух=-1 +х2• § 15. Таблица основных формул дифференцирования Объедиаим теперь в одну таблицу все основные формущ,1 и пра вила дифференцирования, выведенные в предыдущих параграфах. у' y=const, =0. Степенная функция: у= Хс,,, в у'= IXXr,,-t; частности, у = Vx, у' = 2 ,r1r-х ; У=-;, У , l = - ха• Тригонометрические функции: sinx, y=cosx, у' =COSX, У= У у= tg х, y=ctg х, y'=-sinx, , 1 = cos x' 2 , 1 У = - sin 2 x 0 Обратные тригонометрические функции: y=arcsinx, y=arccosx, y=arctg х, y=arcctgx, у , 1 = Vl-x , У =-.rl r у , , = 2' 1 -х 1 l+x 2 ' 1 У=- l+x2 • 2• ~ ПАРАМЕТРИЧЕСI<ОЕ ЗАДАНИЕ ФУНI<ЦИИ 16) 93 Показательная функция: у=аХ, в у' =ах lna; частности, у = еХ, у' = ех. , l Логарифмическая функция: у= в l ogax, у =х 1ogae; частности, У= Inx, у , l =7· Общие правила дифференцирования: у= Си (х), у'= Си' (х) y=и+v-w, у' =и' +v'-w', у=иv, у'=и'v+иv', и У У=-;, y=f(u), } , = (C=const), u'v-uv' v2 • у;= f~ (и) ер; (х), U= <р (х), Y=U'll, Если y=f(x), х=<р(у), где f и <р-взаимно обратные функ ции, то f' (х) =/(у), где у= f (х). § 16. Параметрическое задание функции Даны два уравнения х = ер (t), у="' (t), (1) J. где t принимает значения, содержащиеся на отрезке [Ti, T 2 Каждому значению t соответствуют значения х и у (функции ер и 'IJ предполагаем однозначными). Если рассматривать значения х и у как координаты точки на координатной плоскости Оху, то каждому значению t будет соответствовать определенная точка плоскости. Когда t изменяется от Т 1 до Т 2 , эта точка на плоско сти описывает некоторую кривую. Уравнения (1) называются пара метрическими уравнениями этой кривой, называется параметром, а способ задания кривой уравнениями ( I) называется параметри t ческим. Предположим, далее, что функция х = ср (t) имеет обратную i=Ф(х). Тогда, очевидно, у является функцией от х: У='i'[Ф (х)]. (2) [ГЛ. ПРОИЗВОДНАЯ: И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 94 III Таким образом, уравнения (1) определяют у как функцию от х, и говорят, что функция у от х задается параметрически. Вьtражение у= (х) непосредственной зависимости у от х может из уравнений (1). получиться путем исключения параметра применяется в широко Параметрическое задание кривых механике. Если в плоскости Оху движется некоторая матери альная точка и нам известны законы движения проекций этой f t точки на оси координат, '!/ Х=<р (t), (1 ') y=\j, (t), параметр t есть время, то уравнения являются параметрическими уравне точки. движущейся ниями траектории Исключая из этих уравнений параметр t, получим уравнение траектории в форме где (1') у= f (х) пример, Рис. F (х, такую у)= О. Рассмотрим, на задачу. 3 ад а ч а. Определить траекторию и место падения груза,- сброшениого с самолета, движу 75. Решение. или щегося горизонтально со скоростью v0 на высоте у 0 (сопротивлением воздуха можно пренебречь). Возьмем систему координат так, как показано на рис. 75, предполагая, что самолет сбрасывает груз в тот момент, когда он пересекает ось Оу. Очевидно, что горизонтальное перемещение груза будет равномерным, с постоянной скоростью v0 : x=v0 t. Вертикальное перемещение падающего /2 груза nод влиянием силы тяжести будет выражаться формулой s=g2 . Следовательно,- расстояние груза от земли в любой g/2 жаться формулой У=Уо-т момент времени будет выра • Два уравнения будут параметрическими уравнениями траектории. Чтобы исключить параметр t, из первого уравнения находим значение t = ..!:.... и подставляем это значение Vo во второе уравнение. Тогда получим уравнение траектории в форме Y=Yo-Lx2 2v~ • Это-уравнение параболы с вершиной в точке М (О, у0 ), причем ось Og слу жит осью симметрии параболы. Определим величину отрезка ОС. Обозначим абсЦJ:Iссу точки С через Х заметим, что ордината этой точки у= О. Подставляя эти значеиия в nреды: дущую формулу, будем иметь откуда УРАВНЕНИЯ: l(РИВЫХ В ПАРАМЕТРИЧЕСI(ОЙ ФОРМЕ § 17] § 17. Уравнения некоторых кривых в 95 параметрической форме О к р у ж н о ст ь, Дана окружность с центром в начале координат и ра диусом r (рис. 76). Обозначим через угол, образованный радиусом, проведенным в некото рую точку М (х, у) окружности, и осью Ох. Тогда координаты любой точки окружности выразятся через параметр следующим образом: t t x=r cos t, Это - параметрические y=rslп уравнения t, О,;;;; t,;;;;2:rt. окружности. Если мы исключим иэ g !/ Рис. Рис. 76. этих уравнений параметр только х и у. Возводя в 77. t, то получим уравнение окружности, содержащее квадрат параметрические уравнения и складывая, находим или ~'+yz=,a. Э л л и пс. Дано уравнение эллияса ха у2 a2+ьz=l, (1) Положим t, х=а cos Подставляя это выражение в уравнение (1) (2') и производя необходимые преобра вования, получим y=bsin t. (2'') Уравнения являются параметрическими уравненияr~,и эллипса. Выясним геометрический с центрами в начале смысл координат и параметра t. Проведем радиусами а и Ь (рис. две окружности 77). Пусть точка М (х, у) лежит на эллипсе, а В-точка большой окружности, имеющая ту же абсциссу, что и точка М. Обозначим через t угол, образованный раJ!.иусом ОВ о осью Ох. Непосредственно из рисунка следует х = ОР = а cos t [это-уравнение CQ=bsin t, (2')], [ГЛ. ПРОИЗВОДНАЯ: И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 96 На основании равенства лельна оси Ох. 111 (2") ааключаем, что CQ=y, т. е. прямая СМ параJJ С.Ледова'!'еnно, в уравнениях (2) t есть угол, обраwванный радиусом OВ и осью абсцисс. Угол t иногда называют эксцентрическим углом. Ц и к л о и д а. Циклоидой называется кривая, описанная точкой, лежащей прямой на окружности, если эта окружность катится без скольжения (рис. no 78). Предположим, что точка М катящейся окружности в начале дви жения совпадала с началом координат. Определим координаты точки М после у Рис. 78. того, как окружность повернулась на у1·ол щейся окружности. Как видно из рис. 78, t. Обозначим через а радиус катя х=ОР=ОВ-РВ, но так как окружность катится без скольжения, то 0В=МВ=аt, PB=MK=asint. С.nедовательно, Далее, x=at-asin t=a (t-sin t). у=МР=КВ=СВ-СК=а-а cos t=a (l-cos t). Уравнения x=a(t-sint), y=a(l-cost), O<;;t<:;2:rt, @) являются параметрическими уравнениями циклоиды. При изменении t от О до 2зt точка М опишет одну арку циклоиды. из последних уравнений и получим непосредствен Исключим параметр ную зависимость хот у. На отрезке 0<;:t,;;;;:rt функция y=a(l-cost) имеет обратную: t t=arccos а-у. а t в первое из уравнений (3), x=aarccos~-asin ( arccosa а у) Подставляя выражение для получи~• или x=aarccos а-у_ у 2ау-у2 при 0.;;;;x<;:rta. Непосредственно из рис. 78 а замечаем, что при :rta s;;;; х.;;;; 2:rta х=2м-( aarocosa а Y _ V2ay-y 2 ) . Заметим, что функция х=а (t-sin t) имеет обратную, но она не выражается (х) не выражается через через элементарные функции. Поэтому и функция u=f 11дементарные q,ункции. 97 ПРОИЗВОДНМI ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ § 18] 3 а меч ан и е На примере 1. циклоиды легко убедиться, что в некото рых случаях для исследования функций и кривых параметрические уравнения удобнее, чем непосредственная зависимость у от х или х от у. у А ст р о и да. Астроидой называется кривая, заданная следующими параметри.чес кими уравнениями: x=acos 3 t, y=asin 3 t, О,;;;;t..;;;2л:. (4) Возводя все члены обоих уравнений в сте пень 2/3 и складывая, получим зависимость между х и у: х'l,/з+у2/з =а2/з (cos2 t+s1n2 t), или (5) Ниже (см. § 12 гл. V) будет показано, что Рис. 79. эта кривая имеет форму, изображенную на рис. 79. Эта кривая может быть получена как траектория некоторой точки окружности радиуса а/4, катящейся без сколь жения по другой окружности радиуса а причем меньшая окружност11 все время остается внутри большей; см. рис. 79). 3 а м е чан и е 2. Отметим, что уравнения (4) и уравнение (5) опреде ляют не одну функцию у= f (х). Они определяют две непрерывные функции на отрезке -a...;;x,s;;;;+a. Одна из них принимает неотрицательные значения, другая- неположительные. § 18. Производная функции, заданной параметрически Пусть функция у от х задана параметрическими уравнениями x=cp(t), t 0 ¾t¾T. Y='i'(t), (1) Предположим, что эти функции имеют производные и что функ ция х q, (t) имеет обратную Ф (х), которая также им~ет про изводную. Тогда определенную параметрическими уравнениями функцию у= (х) можно рассматривать как сложную функцию у='Ф (t), t =Ф (х), t-промежуточный аргу.мент. По правилу дифференцирования сложной функции получим t= = f у;= iftt; = 'l't (t) Ф; (х). На основании теоремы о дифференцировании обратной (2) фуmщии следует Ф~ (х) =-,-1 - . Подставляя последнее выражение в равен fРt (t) ство (2), получаем у; = :: ~:~ или • Ut Ух=-, Xt • (XXI) Выведенная формула дает возможность находить производ ную у~ от функции, заданной параме:rрически, не находя выра жения непосредственной зависимости у от х. 4 Н. с. Пискунов, cr. J (Г.II,IO ПРОИЗВОДНАЯ: И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 98 1. Пр им ер Функция у от х=а cos Найти производную :t 1 1) t, х задана у=а sin параметрическими t, о.;;;; при любом значениии уравнениями t ,s;;;;n;. при t= ~ . t; 2) Решение. l) , _ (а sin t)' _ а cos t Yx-(acost)'-- -asint ctg t1 2) Y~lt=n/•=-ctg(n:/4)=-1. Пр им ер 2. Найти угловой коэффициент касательной к циклои,1{6 х=а у=а (t-sin t), (l-cgs t) в произвольной точке (О .е;;; t .е;;; 2n:). Решен и е. Угловой коэффициент касательной в каждой точке равен значенщо производной у~ в этой точке, т. е. равеп , Yt ~ Ух=-,-. Xt Но Kt=a (1-cos t), Следовательно 1 Yt=a sfn t, t t 2sin 2 cos 2 asin t Yx=a(l-cost) ~ Следовательно, угловой 2 sJn 9 коэффициент ; касательной к циклои,це в каж:,цой ее точке равен tg ( ~ - ; ) , где t-значение параметра, соответствующее этой точке. Но это значит, что угол а наклона касательной к оси х равен (Аля значений t между - n: § 19, и n:) n; t 2- 2 *). ГипербоJiические функции Во многих приложениях математического анализа встречаются комбинации показательных функций вида~ (еХ-е-х) и ½<еХ +е-х). Эти комбинации рассматривают как новые функции и обозначают так: h Х= ех-е-х 2 t S С h Х= ех+е-х 2 *) Действительно, угловой коэффициент равен касательной к оси Ох. Поэтому , (1) тангенсу угла а наклона tg а = tg ( ; - : ) и cz;= 1t t 2- 2 .цля тех значекий t, для которы11i R f 2- 2 лежит между () и n;, ГИПЕРБОЛИЧЕСI<ИЕ ФУНI<ЦИИ 519) 99 Первую из функций (1) называют гиперболическим синусом, вторую-гиперболическим косинусом. С помощью этих функций можно определить еще две функции еХ-е-х th х = ех +е-х shx th х=-ь с и х chx cthx:=;-h : s х гиперболический тангенс, cth х -ех-е-х - еХ +е-х гиперболический котангенс. (1 ') Функции sh х, ch х, th х определены, очевидно, для всех зна чений х. Функция же cth х определена всюду, за исключением точки х =О. Графики гиперболичес- ких функций представлены на рис. 80, 81, 82. Из определения функций sh.x и ch х [формулы ( 1)] следуют соотно t/ ,шения, аналогичные {С Рис. соотношениям 11 Рис. 80. 81. между соответствующими тригонометрическими функциями: ch2 x-sh11 x= 1, ch (а+Ь) =cha chb+shashb, sh (а+Ь) =sha chb+chashb. Действительно, еХ+е-х ch11 x-sh11 x= ( ----=-2 (2) (3) (3') )2 - (--=-- )2 = еХ-е-х 2 = Далее, заметив, что ch(a+b)= еа+Ь е2х+2+е-2х_е2х+2-е-2х 4 + е-а-'Ь 2 , l -· [ГЛ.Щ ПРОИЗВОДНА5i И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 100 еа+ь+ е-а+Ь +еа-ь+ е-а-Ь +еа+Ь-е-а+Ь-еа-Ь+е-а-Ь 4 = еа+Ь+е-а-Ь ch(a+b). 2 АналоrичF!о доказывается и справедливость соотношения (3'). Название «гиперболические функ1/ цию> объясцяется тем, что функции sh t и ch t играют ту же роль для параметрического представления ги перболы х2 -у 2 = ............. __1 1, какую тригонометрические функции и cos t - для параметрического sin t представления окружности х"'+у"'= о Действительно, метр ------:1 ---------- t из l. исключая пара- уравнений х = cos t, у= sin t, получим х"'+ у"'= + cos 2 t + sin 2 t, = или х2 у2 1 (уравнение окружнос ти). Аналогично уравнения Рис. x=cht, 82. являются y=sht параметрическими уравне ниями гиперболы. Действительно, возводя почленно в квадрат эти уравнения и вычитая из первого второе, х2 -у 2 получим: = ch2 t-sh 2 t. Так как выражение в правой части на основании формулы равно единице, то, (2) следовательно, х"'-у"'= а это и есть уравнение гиперболы. l, + = Рассмотрим окружность с уравнением х2 у2 1 (рис. 83). В уравнениях х cos t, у= sin t параметр t численно равен цен тральному углу АОМ или удвоенной площади S сектора АОМ, так как t =2S. = §20) ДИФФЕРЕНЦИАЛ 101 Отметим без доказательства, что в параметрических уравне ниях гиперболы х = ch t, у= sh t параметр t также численно равен удвоенной площади «гиперболического сектора» АОМ у (рис. 84). и 111 83. Рис. Производnые 84. Рис. гиперболических функций определяются фор мулами (th х)' = ch~x ' (shx)' =chx, (chx)' = sh х, (cthx)'=--h~ , s (XXII) х которые вытекают из самого определения гиперболических функ ций; например, для функции (sh х) ' sh х = ех -е-х 2 )' = ( еХ-е-х = ех+е-х 2 2 § 20. имеем ch х. Дифференциал f Пусть функция у= (х) дифференцируема на отрезке [а, Ь]. Производная этой функции в некоторой точке х отрезка [а, Ь] определяется равенством lim Лх ➔ О ~~ = f' (х). UA, Отношение ~: при Лх -+ О стремится к определенному числу f' (х) и, следовательно, отличается от производной_ f' (х) на величину бесконечно малую: ~~ = f' (х)+сс, где а-+0 при Лх-+0. Умножая все члены последнего равенства на Лх, Лу= f' (х) Лх+а Лх. получим (1) ПРОИЗВОДНА5I И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 102 [ГЛ.Ш Так как в общем случае f' (х) =I= О, то при постоянном х и пере менном Лх-+ О произведение (х) Лх есть бесконечно малая :ве• пичина первого порядка относительно Лх. Произведение же аЛх f' есть всегда величина бесконечно малая высшего порядка относи тельно Лх, так как а: Лх . 11m -л-= Лх➔ О Х 1·1m Лх➔ О 0• а= Таким образом, приращение Лу функции состоит из двух слаrае мых, из которых первое слагаемое есть ваемая гл а в на я ч а ст ь [ при f' приращения, (х) =1=- О] так назы л и н ей н а я относи тельно Лх. Произведение f' (х) Лх называют д и ф ф ер е н ц и а лом функции и обозначают через dy или df (х). Таким образом, если функция у= (х) имеет производ-ную (х) в точке х, то произведение производной f' (х) на приращение Лх аргумента называется дифференциалом функции и обозначается символом dy: f dy = f' f' (х) Лх. (2) Найдем дифференциал функции у= х; в этом случае y'=(x)'=l, и, следовательно, dy=dx=Лx или dх=Лх. Таким образом, диф ференциал dx независимой переменной х совпадает с ее приращением Лх. Равенство dх=Лх можно было бы рассматривать также как определение дифференциала независи мой переменной, и тогда рассмотренный пример показывал бы, что это не противоречит определению дифференциала функции. В любом случае формулу (2) мы можем dy = f' (х) dx. записать так: Но из этого соотношения следует, что f' (х) = :~. f' Следовательно, п р о и з в одну ю (х) м ож н о в ать как отношение дифференциала дифференциалу независимой Вернемся к выражению (1), р а с см ат р и функции к переменной. которое с учетом (2) перепишем так: Лу=dу+«Ах. (3) Таким образом, приращение функцйи о'Гличается от дифферен циала функции на величину бесконечно малую высшего порядка относительно Лх. Если f' (х) =1=-0, то аЛх является бесконечно малой высшего порядка и относительно + 1·1m Лg . Т 11m =1 Лх➔ О У Лх➔ О f' ссЛх <Х7\ л х dy и 1'1m ,--< а: = 1+ Лх➔ ) = 1. О1 Х §20] ДИФФЕРЕНЦИАЛ 103 Поэтому в приближенных вычислениях иногда пользуются при ближенным равенством Лу~dу, или в (4) развернутом виде f (х+Лх)-f (х) ~ f' что сокращает (х) Лх, (5) вычисления. Пр им е р 1. Найти дифференциал dy и nриращение Лу функции у= xi: 1) при произвольн:ых значениях х и Лх: 2) при х=20, Лх=О,1. Решение. 1) Лу=(х+Лх) 2 -х 2 =2хЛх+Лх 2 , dy = (х2 )' Лх = 2х Лх. 2) Если х=20, Лх=О,1, то Лу=2·20-О,1 +О,1 2 =4,01, dy=2·-20-0,I =4,00. Погрешность nри замене Лу на dy можно считать ее малой по сравнению равна 0,01. Во многих случаях с Лу=4,01 и пренебречь ею. Рассмотренная задача наглядно иллюстри руется рис. 85. В приближеннь(Х вычислениях поль зуются также приближенным равенст вом, которое получается из (5), f (х+Лх) ~ f (х) +f' (х) Лх. (6) f (х) =sin х, тогда Пр им ер f' (х) = cos х. Пусть 2. В этом случае nриближенное равенство (6) :с-- примет вид sin (х+Лх) ~ sin x+cos х Лх. Вычислим приближенное значение углу в 45°), s1n 46° ~ sin 46°. n Лх= 180 (соответствует углу будем (7), sin 46 иметь 0 Рис. (7) Положим 1°), n х= 4 (что n n х+Лх=-;r+ 180 . = sin (n+n) 4 180 85. соответствует ПодстаВJiяя . 4n+ 180n cos 4n ~ sш v2-+-v22- 180n =0,1011+0,1011.0,0115= 0,1191. или - 2 Пр и мер 3. Если (7) nоложим х =О, Лх = сх, то nолучим в формуле nриближенное равенство: sin а~ Пр и м е р 4. Если f (х) = tg х, сх. то по формуле приближенное равенство: tg (х+Лх) при х=О, Лх=а nолучаем ~ 1 tg х+-2-Лх; cos х (6) nолучаем следующее (ГJl,lll ПРОИЗВОДНА.Я И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 104 Пр и Мер 5. Если f (х) = fx, ТО формула (6) дает Ух+лх~Ух+ Полагая х= )_ Лх. 2у х Лх=а:, получаем приближенное равенство l, "г- у 1+а ~ 1+21 а:. Задача нахождения дифференциала функции равносильна на хождению производной, так как, умножив последнюю на диффе ренциал аргумента, получим дифференциал функции. Следова тельно, большинство теорем и формул, относящихся к производ ным, сохраняют свою силу и для дифференциалов. Так, например: Дифференциал суммы двух дифференцируемых функций и и и равен сумме дифференциалов этих функций: d (и+v) =dи+dv. Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций и и v определяется формулой d (иv) = udv+vdu. Докажем, например, последнюю формулу. dy= у' dx= (uv' +vи') dx= uv' dx+vu'dx, но Если v' dx=dv, у= и' uv, то dx=du, поэтому dy=иdv+vdu. Аналогично доказываются и другие формулы, нацример фор мула, определяющая дифференциал частного: если у= Решим функции. несколько vи , то примеров d У dv = vdu-u v2 • на вычисление Пример 1 6. y=tg 2 х, dy=2 tg х-2- dx. Пример 7. Найдем Пусть cos у= V 1 + ln х, выражение для dy дифференциала х = 2 у 1+1п lх 1 -dx. х дифференциала у=f(и}, и=q,(х), или сложной функции. u=f[q,(x)]. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции ::= f~ (и) следовательно, dy=f' (u)du. dy= f~ (и) q,' (х) dx; q,' (х), но q,' (х} dx = du, поэтому Таким образом, дифференциал сложной функции имеет тот же вид, какой он имел бы в том случае, если бы промежуточный ГЕОМЕТРИЧЕСК:ОЕ ЗНАЧЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА § 21) 105 аргумент и был независимой переменной. Иначе говоря, форма дифференциала не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. Это важное свойство дифференциала, называемое инвариантностью формы дифференциала, будет широко использовано в дальнейшем. Пр им ер 8. Дана функция y=sin ')lx. Найти dy. Ре ш е н и е. Представив данную функцию как сложную: у= sin и, и= ')lx, находим 1 dy = cos и ~r- dx; 2, но 1 ,r- dx= du, 2 r х х поэтому можно написать dy=cosudu или dy=cos(Vx)d(')lx). § 21. Геометрическое значение дифференциала Рассмотрим функцию у= f (х) и соответствующую ей кривую (рис. 86). Возьмем на кривой у= (х) произвольную точку М (х, у), проведем касательную к кривой в этой точке и обозначим через f а угол*), который касательная образует с положительным на правлением оси Ох. Дадим независимой переменной приращение у (// Рис. Рис. 86. 87. Лх; тогда функция получит приращение Лу= N М 1 • Значениям х+Лх, у+Лу на кривой у= (х) будет соответствовать точка М 1 (х+Лх, у+Лу). Из треугольника MNT находим NT = MN tg а; так как f = tg а= f' (х), MN Лх, то NT = f' (х) Лх; но согласно определе нию дифференциала f' (х) Лх= dy. Таким образом, NT dy. По = f( следнее равенство означает, что дифференциал функции х), соответствующий данным значениям х и Лх, равен приращению ординаты касательной к кривой у= f (х) в данной точке х. *) Пре.аnолагая, что функция nолучаем а ::/= n/2, f (х) имеет конечную производную в точке х, ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 106 Из рис. 86 мт Jт -+ О при Лх-+ О. Не следует думать, что всегда Лу больше Лу= § 22. Ill что М 1 Т=Лу-dу. По непосредственно следует, доказанному ранее [ГЛ. M 1 N, dy= NT, причем Лу dy. Так, < dy. на рис. 87 Производные различных порядков f Пусть функция у= (х) дисj5ференцируема на некотором от резке [а, Ь]. Значения производной f' (х), вообще говоря, зави сят отх,т.е. производная f'(x) представляет собой 'I' о же функцию от х. Дифференцируя эту функцию, мы по f лучаем так называемую вторую производную от функции (х). Производная от первой произ;водной называется производной второго порядка или второй производной от первоначальной функ ции и обозначаетсясимволому" или f"(x): y''=(y')'=f"(x). Так, например, если у= х5 , то у'= 5х 4 , у''= (5х 4 )' = 20х 3 • Производная от второй третьего порядка через у"' или f"' или производной третьей называется производной производной (х). и обозначается f Вообще, производной п-го порядка от функции (х) называется производная (первого порядка) от производной (п-1)-го порядка и обозначается символом у<п> или f<п> (х): у<п> (Порядок производной = (у<п-1))' = f<п> (х). берется в скобки для того, чтобы его нельзя было принять за показатель степени.) Производные четвертого, пятого и высших порядков обозна чаются также с помощью римских цифр: y 1v, yv, yv 1, ••• В таком случае порядок производной можно писать без скобок. Например, если у=х5 , то у'=5х4, у"=20х3, yV у<2> 120, у< 5 > = у< 7 > = ... = 0. = = Пр им ер 1. Дана функция у=е"х у"'=60х 2 , (k=const). производной любого порядка п. Решение. у' Пример =keRx, y''=k 2elix, .. •, y<n>=kneflx. Найти y<n>. 2. y=sirix. Реше-ни е. y'=COSX=Sl.n y"=-Sin у'"=- COS (х+~), X=Sin ( х+2 ~), X=Sin ( х+З;), y1v =Bin X=Sin ( х+4 ~), . . .. . . . . . .... " y 1v=y( 4 >= 120х, Найти выражение ее ПРОИЗВОДНЫЕ РАЗЛИЧНЫХ ПOPjlДJ<OB § 22) 107 Аналогично выводятся формулы для производных любого по рядка и от некоторых других элементарных функций. Читатель сам сможет найти формулы функций у=х1с. На случай для производных y=cosx. y=lnx. производных любого порядка n-ro порядка от легко обобщаются Пf)авила, указанные в теоремах 2 и 3 § 7. В данном случае имеют место очевидные формулы~ (и +v)<ni = um1 +v<m, (Cu)<m = Си(n 1 • Выведем формулу (так называемую формулу Лейбница). даю возможность щую производную вычислить изведения двух функций и (х) v (х). n-ro порядка от про Для того чтобы вывести эту формулу. мы найдем сначала несколько производных, а затем установим общий закон, пригодный для вычисления производной тобоrо порядка: у =tW. у' = u'v +иv', у" =и"v +и'v'+u'v'+иv"=u"v+2u'v'+иv". у'" =и"'v+и"и' +2и"v' +2и'v" +и'v" +av'" = =и'"v+Зи"v' +Зи'rl' +uu''\ yiv = u1vv+4u'"v' +6и"v" +4и'v'" + uv v. 1 Закон составления производных сохраняется для производных любого порядка и заключается, очевидно, в следующем:. Надо выражение (и +v)n разложить по формуле бинома Ньютона и в полученном разложении заменить показатели степеней для и и v указателями порядка производных. nричем нулевые степени = v°), входящие в крайние члены раз.ложения, надо заменить (и0 самими функциями (т. е. «производными нулевого порядка&): y<n1 = (uv)<ni = u<n1v+nu<n- 1v + п <:.; 1> u<n- v" + ... +иv<п1 • 11 Это и есть формула Лейбница. Строгое доказательство этой формулы можно было бы про вести методом полной математической индукции (т. е. доказать, что из справедливости этой формулы для порядка п следует справедливость ее для порядка п+ 1). Пр им ер З. у=~хх1 • Найти ttрGизводиу113 g< 111. Решение. U =etlX, V =Х1 , и'=аеах, и'=2z, . . ,. . . . . . .if=2, uf.n) =aneax, v"' =rJ.11 = ... =6, n'n-1) • + ' 1 . 2 an =aneax + и"=а9 еах, rf,r&I UK х1 па11 - 1е•х 2х -•еах •21 ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 108 [ГЛ. 111 § 23. Дифференциалы различных порядков f Пусть имеем функцию у= (х), где х - независимая перемен ная. Дифференциал этой функции dy= (х) dx есть некоторая функция от х, но от х может зависеть только первый сомно~и тель (х), второй же сомножитель (dx) является приращением независимой переменной х и от значения этой переменной не за висит. Так как dy есть функция от х, то мы имеем право говорить f' f' о дифференциале этой функции. Дифференциал от дифференциала функции называется вторы,~~ дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функциq и обозначается через d 2y: d (dy) d2 y. Найдем выраже ние второго дифференциала. В силу общего определения диффе = ренциала имеем d2y= [f' (х) dx]' dx. Так как dx от х не зависит, то dx при дифференцировании выносится за. знак производной, и мы получаем d2 y= (х) (dx) 2 • Принято, записывая степень диф ференциала, опускать скобки; так, например, вместо (dx) 2 при нято писать dx2 , подразумевая под этим квадрат выражения dx; вмес.то (dx) 3 пишут dx3 и т. д. Третьим дифференциалом или дифференциалом третьего по рядка функции называется дифференциал от ее второго диффе f" ренциала: d3y= d (d 2 y) = [f" ~) dx2]' dx = f''' (х) dx 3 • Вообще, дифференциалом п-го порядка называется первый диф ференциал от дифференциала (п-1)-го порядка: dпу = d (ctn- 1 у) = [t<n- 1> (х) dxn- 1]' dx, dпу= f<n> (х) dxn. (1) Пользуясь дифференциалами различных порядков, производную любого порядка можно представить как отношение дифференциа лов соответствующего порядка: ) dx f" ( ) d2y f<n> ( ) dny f , (X=dy' X=dx2•••·• X=dxn• 3 а меч ан и е. Равенства (1) и (2) (при п > 1) для того случая, когда х является независимой Действительно, пусть имеем сложную функцию y=F (и), и=<р (х). 2 () верны только переменной. (3) Мы видели, что дифференциал первого порядка имеет инва риантную форму, независимо от того, будет ли и независимой переменной uли функцией от х: dy=F~(u)du. Второй дифференциал свойством не обладают. и последующие (4) дифференциалы этим ПРОИЗВОДНЫЕ ОТ НЕ.ЯВНЫХ ФУНI<ЦИЙ §24) Но Действительно, на основании (3) и здесь du = (J)' (х) dx зависит от (4) х, + получаемd"у=d (F~(u)du). и мтому мы получаем d2g = d (F~ (и)) du F~ (и) d (du) или d2y = F;и (и) (du) 2 +F~ (и) d2 u, где d2u = Аналогичным образом находятся Пр им ер 1. Найти dy и d2y 109 d3 у (J)" (х) (5) (dx) 2 • и т. д. сложной функции U= Ух• y=s.in U, Решен це. dy =cos и• 1 ,r- dx=cos udu. 2r х (5) получаем (du) 2 +cos ud2u=- sin и (du) 2 +cos и•и" (dx) 2 = Далее, по формуле d2y=-sin и =-sinu § 24. 1. (2 ;х у (dx) 2 + cos и ( - 4)12 ) (dx)I. Производные различных порядков от неявных функций и функций, заданных параметрически Покажем на примере нахождения способ производных различных порядков от неявных функций. Пусть неявная функция у от х определяется равенством х2 у2 аа+"ь2-1 =О. Дифференцируем по х все члены этого равенства, помня, есть функция от х: <•> что у отсюда находим (2) Последнее равенство снова дифференцируем по х (имея в виду, что у есть функция от х): d2y dx2 =- ь2 dy y-xdx а2 у2 Подставляем сюда вместо производной :: ее выражение из ра венства (2), получаем (ГЛ. Ш ПРОИЗВОДНА51 И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 110 после или упрощения Из уравнения рую следует, что а 2 у 2 +Ь 2 х 2 =а 2 Ь2, поэтому вто (1) производную можно d2y dx 2 Дифференцируя по х виде в представить Ь4 = а2у3 • последнее равенство, "Найдем dзу dx~ и т. д. 2. Рассмотрим теперь задачу о нахождении производных BqIC· шихпорядковот функции, заданной параметрически. Пусть функция у от х задана параметрическими уравнениями X=cp(t), причем функция х цию t=Ф(х). = ер (t) t 0 ~t~T, y='))(t), на отрезке [t 0 , (3) Т] имеет обратную функ В § 18 было доказано, что в этом случае производная :~ определяется равенством dy dt dy dx=cfx• (4) dt для по х равенство ..!!,_( dt :r) !!;!:_ dt = u производном имея в виду, что (4), d 2y dx 2 но u второи нахождения - ** d ( dx :r ) :; d ( dt t 2y ddx 2 ди ффе ренцируем есть функция от х: :r ) :: (5) dt dx ' ¾(i) _ (t )-!/r ) ( dx dt dt 2 1 dx = dx. dt Подставляя последние выражения в формулу dy d2 x dx d2y dt dt2 - dt dt2 (::у (5), получим: МЕХАНИЧЕСI<ОЕ ЗНАЧЕНИЕ ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ §25) Последней формуле можно придать следующий, 111 более компакт ный вид: d 2y dx 1 = ер' (t) 'Ф" (t)-'Ф' (t) <р" (t) [<р' (t)} 3 Аналогичным образом можно найти производные ~~ , П р и м е р. Функция g or d"y dx' и т.д. х задана параметрическю x=acost, g=bsint. dg Найти производные dx , d'y dхз • Решение. d2x dx dy d2g dt=-astnt, dtz =-а cos t, dt=b cos t, dt' =- Ь sin t, dy dx d 1g th8 Ь cos t Ь -а sln t -actg t, (- astn t) (- Ь sin t)-(b cos t) (- a-cos t) Ь l (-asJn t)8 - - а 2 sJn8 t • = § 25• Механическое значение второй производной s, Путь пройденный поступательно движущимся телом, в за висимости от времени выражается формулой t s=f(t). Как уже извооrно (см. § 1), (1) скорость v тела в данный момент равна первой производной от пути по времени: ds V=7ft• (2) t Пусть в некоторый момент скорость тела была равна v. Если движение не является равномерным, то за промежуток времени Лt, истекший с момента скорости изменится и полу t. чит приращение Ли. Средним ускорением за время Лt называется отношение при ращения скорости Лv к приращению времени: Ли аср=м· Ускорением в данный момент называется предел отношения при ращения скорости к приращению мится к времени, нулю: а= • Ли 11m rt; At....O когда последнее стре 1rл. ш ПРОИЗВОДНА.Я И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 112 иначе говоря, от скорости ускорение (в данный момент) равно производной по времени: du а=Тt• но так как v= ds Тt , то, следовательно, а= т. е. ускорение d (ds) Тt dt d2s =7w' прямолинейного движения равно второй произ водной от пути по времеttи. Исходя из равенства ( 1), получаем а= f"(t). П р им ер. Найти скорость v и ускорение а свободно падающего если зависимость расстояния s от времени t дается формулой тела, s= 21 gt 2 +и0 t + s0 , где g:е:9,8м/с 2 -ускорение земного тяготения, (3) а Sо=Slt=о-значение t=O. s при Решение, Дифференцируя, находим ds U=dt=gt+иo: (4) из этой фор-мулы следует, что и0 =Vlt=O• Дифференцируя еще раз, находим: du а= dt d 2s = dt 2 =g. Заметим, что, обратно, если ускорение некоторого движения постоянно и рав но g, то скорость выражается равенством (4), а расстояние-равенством (3) при уС.Jiовии, что vlt-o = ио и s/t=o = so. Уравнения ~асательной и нормали. Длины подкасательной и поднормали § 26. Рассмотрим кривую, уравнение которой есть у= f (х). Возьмем на этой кривой точку М (xi, у 1 ) (рис. 88) и напишем уравнение касательной к данной кривой в точке М, предпола гая, что эта касательная не параллельна оси ординат. Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку М, имеет вид y-y 1=k(x-x1). Для касательной (см. § 3) k (х1 ), поэтому уравнение к а с ат ель ной имеет ВИД = f' y-yl = f'(X1}(X-Xi_). Наряду приходится с касательной рассматривать к кривой в данной точке очень часто нормаль. УРАВНЕНИЯ КАСАТЕЛЬНОЙ И НОРМАЛИ §26) Оп редел е ни е. Нормалью к вается прямая, проходящая через 113 кривой в данной точке назы данную точку и перпендику лярная к касательной в этой точке. 11 11=.. 111 Рис. Рис. 88. 89. Из QПределения нормали следует, что ее угловой коэффициент kn связан с угловым коэффициентом kп = - касательной равенством kt 1 1 kt • т. е. kп=-f'(x1). Следовательно, у р а в н е н и е в точке М (xi, у1) имеет вид нормали к кривой у = f(x) 1 y-yi = - f' (xf) (х-х1), П р и м е р 1. Написать )'равнения касательной и нормали к кривой у=х:3 в точке М (1, 1). Решение. Так как у' =3х2 , то угловой коэффициент касательной ра вен Y'lx=1=3, Следовательно, уравнение касательной, у-l=З(х-1) или у=Зх-2. 1 4 Уравнение нормали: у-1 = - (х-1)/3 или у=-зх+з (рис. 89). Длина Т отрезка QM (рис. 88) касательной, заключенного между точкой касания и осью Ох, называется длиной ка,сатель ной. Проекция этого отрезка на ось Ох, т. е. отрезок QP, на зывается подкас,ательной; длина подкасательной обозначается через Sт. Длина N отрезка MR называется длиной нормали, а проекция RP отрезка RM на ось Ох называется поднормалью; длина поднормали обозначается через SN, Найдем величины Т, Sт, М (хн у 1). Из рис. 88 видно, что N, SN Q Р = 1Yi ctg а 1= \ для кривой у t;~ = \:; /, 1 = f (х) и точки (ГЛ. 11( ПРОИЗВОДНАЯ. И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 114 поэтому Sт=\У~/. У1 Yi . У1 =\Y~Vy~ Vly~+Y~ T=-. 2 2 +1\. Далее, из этого же рисунка ясно, что PR =1 Yr. tga 1= 1YiY~!, поэтому SN= IY1Y; ,. N = Vy~+(YiY~) 2 = 1У1 V1 + у?\. > l, у;> 0. Эти формулы выведены в предположении, что Yt Однако они сохраняются и в у общем случае. Пр им ер 2. Найти уравнения ка• +-----::-1-+~-1---~~м..,. сательной и нормали, длины касательа, ной и подкасательной, длины норма.ли и поднормали для эллипса g=bsint x=acost, в точке М (xi, Рис. 90. (рис. Р еше н и е. Из уравнений (1) 90). yJ, для которой t=n/4 находим: __ !!_ dy=_.!!._ctgf, dyl dx=-asint, dy=bcost,d а • dx t=n!, а х dt dt Находим коордянаты точки касания М: Xt=xlt=n/& =а/"У2, Yi=Ylt=n/& =Ь/У,2. Уравнение касательной: у-у\, =- : ( х- ..,.; ) , ип ьх+аи-аЬ У2=0. Уравнение нормали~ и-/2 =: (х- ..,.; ) · или (ах-Ьу)У2-а +ь2=0, 2 .R.пины подкасательной и поднормали: ь =.,; •SN=I .,; (-:)/=а;\• Sт= У; а Дпины касательной и нормали~ ь ( ь) 2 +1 у2 у -а Т= - Ь а N=\~ у 1+(-.!!..) \=~Уа2 +ь2• у2 а 2 а}' 2 (1) §27] ПРОИЗВОДНАЯ: РАДИУС-ВЕl(ТОРА 115 Геометрическое значение производной радиус-вектора § 27. по полярному углу Пусть имеем уравнение кривой в полярных координатах: p=f (0). Напишем формулы перехода от (1) полярных координат угольным декартовым: х= pcos0, к прямо !/ у= psiп0. Подставляя сюда вместо р его выражение через 0 из уравнения (1), будем иметь: Х= f (0) COS 13, Уравнения (2) У= f (0) sin 0. (2) являются параметрически ми уравнениями данной кривой, причем параметром является полярный угол 0 (рис. g; 0 91). Если через с:р обозначим угол, состав.ленный касательной к кривой в некото- рой точке М (р, то будем иметь 0) Рис. 91 • с положительныr,{ направлением оси абсцисс, : ИЛИ sln 0+р cos 0 tg q>= d d~ cos 0-р sln 0 Обозначим через µ угол между направлением касательной. Очевидно, что µ=с:р-0, t Подставляя сюда (3) • радиус-вектора и _ tg1p-tg6 g µ,,- 1+tg1ptg 6 • вместо tg с:р его выражение (3) и производя преобразование, получим t gµ =SP' sln 0+р cos 0) cos 0-(р' cos 0-р sln 0) sln 0 р (р' cos 0-р sin 0) cos 0+(Р' stn 0+р cos 0) stn 0 р' ' или Pe=pctg µ. Таким образом, производная (4) радиус-вектора по полярному углу равна длине радиус-вектора, умноженной на котангенс угла между радиус-вектором и касательной к кривой в данной точке. Пр им ер. Показать, что касательная к Jiоrарифмической спираJiи р =еав пересекается с радиус-вектором Решен и е. формулы (4) под постоянным углом. Из уравнения спирали находим получаем р' = аеав. ctgµ=p' =а, т, е. µ=arcctga=const. р На основании ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 116 Упражнения к Найти производные функций, производной: [ГЛ. 111 r .n а в е 111 пользуясь непосредственно определением 1. у=х3, Отв. Зх 2 • 2. у= 1/х. Отв. -1/х2 • 3. у= Ух. Отв. 1/(2 ух). 4. y=l/fx. Отв. -1/(2xfx), 5. y=sin 2 x. Отв. 2sinxcosx. 6. у=2х2-х. Отв. 4х-1. Определить тангенсы углов наклона касательных к кривым: а) При х= 7. y=xll. 1. Отв. З. б) При х=-1. Отв. З; сделать чертеж. 8. y=l/x. а) При х.=1/2. Отв. -4. б) При x=l. Отв. -1; сделать чертеж. 9. g=Yx при х=2. Отв. f2/4. Нащи производные функций: 10, у=х 4 +Зх2 -6. Отв. у'=4х3+6х. 11.у=6х3-х2 . Отв.у'=18х2-2х. х5 х2 12. и=а+ь-а-ь-х· Зх2 -2х Отв, у' - , Бх"' 2х У =а+ь-а-ь-1· Отв. х2 у=2ах3-ь+с. 14. 5 х3-х 2 +1 У 13. 5 2х Отв. у' =6ах 2 -Ь. 15. y=6x 1 l 2 +4x5 l 1 +2x. Отв. y'=21x512 +1ox 3l 2 +2. 16. у=fЗх+ rx+..!... х отв. уз·+ 1 1 У= .. гЗ/-:-;;-2' 2" х Зу х2 х , х т х2 п2 18. у=-+-+ 2+ х2 • т хп -2Ух+5, • у=~/2 х у- З т v·- 3 Х - .. f 1 Отв. у'=эах21п-2ьх-• 12 +1rх- 11 в. =4х(l+Зх+1Ох3). 23. Отв. у'= 4х3 (2Ь 2 -х2 ) (Ь 2 -х2) 2 хР Оmв. 32. Отв, 35. Отв. У=хт-ат• • 25. х п г- , 20. Х 2.r2 -1 у= xYl+x2 ' 2x+I 19. у= Х v- • х•- Ху v-; Х f Х 21. У=(1+4х3)(1+2х2 ). Отв. у'= Отв. g'=2(9x2 +x-l). а-х 24. 27. 31. Отв. 34. Отв. у = зl/ (х2 +х+1) 2 • У= и=ь•2х"'х•· 2а у=а+х· Отв. y'=-(a+x) 2 .26.f(t)= (s+4) 8 f(s)=s+з· Отв. f'(s)= х"-2х3-6х2 -4х+2 у= хз-х-2. Отв, у'= 1 , хР- ((p-m) х"'-ра111 ) Отв. У(х"'-а"')• • а-Зх (х-1) о/2 ах2 ь y-v-+ .. г-- ..r- • 28. У'=2у-· а-х 2х х х3+2 у' =8х (2х3-З). , , тв. у= Отв. у'=6х2 -26х+12. t 2 (З+t2) f'(t)=(l+t 2) 2 • g= У х2 +а2 • З(х+1) 2 у=х(2х-1)(Зх+2). у=(2х--1)(х2 -6х+З). t3 =i+t•• Отв. (s+2) (s+4) = (s+З)2 29. 22. · О 1 m 2х 2n2 у'=-- 2 + 2 -8 , Отв. ,21 Отв. 5 (х+1) 8 17 У= (х 2 +а1 ) 5 , у'== У х х 2 +а 2 JI":+:. , (xz-x-2)2 _ Отв, 1 У-(2х 3). у= IOx (х1 +а2 )"'. 30. Отв. 33. 2_ • у=(а+х)У а 1 1&0 g' = (1 -x)yl-x1 • I< УПРАЖНЕНИ~ у=у x+V x+V Х• 38. Х (1+ V 2 1 х+У х ГЛАВЕ Ш Отв. 117 у' (1+ .. ~-)). 39. y=sin 2 х. Отв. у' =sin 2х. 2,- х 40. у= =2smx+cos3x. Отв. y'=2cosx-3sin3x. 41. y=tg(ax+ь). 1 ' а 42 sJn х О ' 43 У =cos2 (ax+b) 0 У l+cosx' тв. У l+cosx · · у= • = sJn 2х cos 3х. Отв. у'= 2 cos 2х cos 3х-3 sln 2х sin Зх. 44. y=ctg 2 5х. Отв. у' = -10 ctg 5х cosec2 5х. 45. у= t sJn t cos t. Отв. у' = t cos t. 46. -y=sin3 t cos t. Отв. у' =sln 2 t (3 cos 2 t-sln 2 t). 47. y=aV cos 2х. , а sin 2х . <р in2 <р <р , _ отв. у=.. r • 48• r=asm 3 -3 . Oтв. r'P-as -3 с Os3- , 49 . у= у 'COS 2х Отв. + - tg..:.+ctg~ 2 2 х = 2а sin 2х • 0 тв. у , =- х 2 (х cos x+sln х2 sin2 х 1 cos 2 • 51. у= 2 tg 2 х. y'=-tgx, 53. y=lntgx. .tg х-1 y'=2ctgx. 55. у=---. secx 3 Отв. Отв. х) • 50• у= а , 4 х s1n 2 • Oтв. у = Отв. у'= tg х sec2 х. 52. у= Jn cos х. Отв. y'=2/sin2x. 54. y=lnsin 2 x• Отв. y'=sinx+cosx. 56. у= 1 -.57. -./т+siiix. V т=sinx Отв. у'=cosx y=lntg(:n:4 +x2 ). Отв. у'=-1 -. cosx 58. y=sin(x+a)cos(x+a). Отв. y'=cos2(x+a). 59. f(x)=sin(lnx). Отв. f' (х) ~-cos (Jn х) • 60. f (х) = tg (ln х). Отв. f' (х) = sec2 (ln х). =ln х х 61. f(x)=sin(cosx). Отв. f'(x)=-sinxcos(cosx). 62. r= ~ tg <p-tgq,+'P· 3 dr Отв. d<p=tg 4 IJ). 63. f (х)= (х ctg х)2. Отв. f'(x) =2х ctg х (ctg х-х cosec2 х). 64. y=ln(ax+b). Отв. у'=а/(ах+Ь). 65. y=loga(x2 +1). Отв. у'= 2х l+x 2 =(ха+!) ln а. 66. у= ln l-x. Отв. у'= 1 -х2 . 67. У= Iog3 (x2-sin х). , 2x-cos х 1+х2 , 4х Отв. у =(x2-sinx)ln3" 68. y=lnl-x2• Отв. у =т=;i· , 2x+l y=ln(x2 +x). Отв. у=х 2 +х· 70. y=ln(x3 -2x+5). 69. 3х 2 -2 Отв. y'=x3 _ 2x+s• 71. , 3 ln2 х = ln3 х. 74. y=ln(lnx). 1 =177. Отв. у х 2 • =--. х Отв. у 76. -- у= Va 2 +x2 - = ln (х+ У х2 +а2) Отв. y=xlnx. 73. y=ln (х+ y'=lnx.+ 1. ,г-- r 1 +х 2). Отв. ' 1 у =v1+x2 , = -1- . 15. f(x)=ln yl+x -1 • Отв. 1 х nx -х -V-x 2 +1-x f(x)=lny • х 2 + 1+ х а+ }""а2+х2 а \n --'---'---'--. х у х2 +а2 х 2 • Отв. Отв. Отв. у'= f'(x)=- }""а2+х2 у'=-'-----'-. х У х2 +а2 х 2 • у= 72. f' у (х) = 2 1+ 18. х2 , у= cos х 79. у=- 2-sinx -:--г + (ГЛ. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 118 х +21 1n tg 2' l , 1 y= 2 tg!1..x+lncosx. 81. Отв, Отв. y'=2(x+l)7x1 +zxJn7. Ух Отв, g' = Отв. dO 87. у=ае r=aln 6 , 89. 2 ..аr-х еУх у'=1+гх· ~ а У=т(еХ1°-е-ХI"), 93. y'=aetJ». у'= Отв. у=еХ (1-х1). 90. =eX(l-2x-x'). 91, у=гх+l' Отв. у'=(гх+l)а' Отв. Отв. Оtм, r еХ-1 t l +stn1 х 2cos3 х • у g=ax•, Отв, 2хах• lna. 85. у=1х•нх, у=са•-х•. Отs, g'=-2xca•-x•1nc. 86. = aln 60 lna dr y=efVD, y'=tglx, 82. , O тв, g=2ёosi'x· ..... Отв. у' =4е'х+&, 84. 83. g=e4x+5. sin х 04 Отв. У =sin8 х' 11[ еХ g=In 1 +гx· 92. l g'=2(eXla+e-Xlll}, Отв. g'= Отв. g=at1tnx, 95. y'=eSlnxcosx. Отв. 94. g=esinx. =natgnxsec1 nx1na. 96. g=eeosxstnx. Отв. y'=eeos X(cosx-stn 2 x). у== х;пе51п х • 98. g' = еХ (ctg х ln sin х). Отв. у= еХ Jn sin х. 91. y'=xX(lnx+l). Отв. 99. g=xx. g'=xn-iestnx(n+xcosx). Отв. + 100. g=x11111, Oms. g'=xlfx Отв. у' =n ( : ух ( l l-eX • Х t cos (1 +Jn х) хх. Отв. у= (x/n)"x. (sinx)"(lnsinx+xctgx). g=(stnx)t1x. 106. 2ех 1-ех (1 +sec2 х ln sin х). 107. g=tg 1 +гх. Отв. g' =-(l+eX)•X "г-y=sin, 1-2х, От11. 108. Отв. IOX tg х. g'=xlnx-1Jnx•. 103. у'=- 1+ех у= 109. Отв-. l+Jn : ) : 104. g=xslnx, Отв. xsinx (s~ х +lnxcosx) · 105. g=(sinx)x. Отв. у'= (sin x)tg х x~nx) • 101. g=xlnx, у' =еХх Отв, у=еХх. 102. (1 cos yi=2x ,.r.-n.; 2х Jn2. 2 r 1-2Х у'= 10х tg х In 10 (tg х+--;-). cos х Найти производные функций, предварительно логарифмируя эти функции: НО. У= у 111, V x(x2 + l) (х-1) 2 1)3 ~ _(х+ Б/ 2 ) +4(х-2) Б(х-3) • (х+ 1) (5х1 + 14х+5) === 60 Отs. (х+2)6 (x+З)li Отв, у =з Отв. • у (х-З)а 3 112• • 113. t,' (х- 1)8 t/ (х- 2)~ V (х у' 1+Зх2 -2%6 2 ) 2х l vx(x:r+ 1) ( 1 (х-1) 2 х+7+1-х=1' , ' (l-xa)a,a • , _ g - (х+ l)8 t/ (х-2) 3 5 (х-3)• V (х+ 1)1 g=(x+2)s(x+З)6 • ;;' (х-1) 1 з (х- З)t V (х- 2)=1 V 3)1° ' 115. == 5х6 (с+Зх) 11 (а-2х) (а2 +2ах-12х 1). у=х5 (а+3х) 3 (a-2x)I, у + 3 1 х+ - у'= Отв. У= " 114. ( . • Отв. у' = x(l+xl) Yl-x30 Отв, у'= 1< УПРАЖНЕНИЯ. ГЛАВЕ III 119 Найти производные функций: · х 116. y=arcsш-. Отв, у ' 1 2 arcsin х Jll-x2 r а2-х2 Отв, 118. y=arctg(x2 +1). • 2х • =arc t g l-x 2 Отв. _ -2х - ,r . 121 . r 1- х4 у 1 = arcsш. х+ ,r-. r 2 2 У ' =i+x 2 · arccos х х Отв, у , у'= 2 у а2 125. v+a u=arctg--. 1-av Отв, у'=----'-х4+х2+1 х 2 +1 . Oтв. = ,r r 120 . у 1 y=arctg 130. Y О тв. y=arccos (х2 ) . . 123. у =Х du у= х 127. 1 -=-- dv 1 +v arcsin . 1-cosx I+ cos х (О.;;;;х 122. у= , /' а-х. У а+х х уз 1 ,r- arotg - - . r 3 I-x 2 у'= arcsin х+ У_х__ Отв. 1-х 2 f' (х)= - f' Отв. < л). Oтв. у'= а у= 126. Отв. У sin х • у= ,r r -х a 2 -x 2 +a 2arcsin- . 2 х. у'= 119. • а Отв. f (х) = arcsin 129. l+(x 2 +l) 2 , _ -(х+ у'Г="х2 arccos х) ,r х2 r 1 -х2 1-2х-х 2 f (х) = arccos (ln х). 128. 2х у' у= У а2 -х 2 +а arcsin .!:.. • Отв. у'= х2 • 124. Отв. 117 . Y=(arcsinx) 2 • Отв. ,г--· а , 1 1 х У 1-lп 2 х cos х (х) у =2 - . 2 У sinx-sin 2 x · . 131. x=earc!g х. earctg х ех -е-х 2 y'=l+x2 . 1132. y=arctg . Отв. у'= ех+е-х· 133.y=xarcsinx. 2 Отв. Отв. , . у =xarcsш х cos х = 1cos xl = (arcsin х ln х ) . 134. y=arcsin (sin х). ---+-:=:::=:::=::= х J!l-x 2 Отв, { + l в 1-й и 4-й четвертях, _ 4 sin х , -1 во 2-й и 3-й четвертях. 135· y-arotg 3+5 cos х · Отв. У= -Б+З~оsх· 136. y=arctg :+In v:+:• l+x)l/n 1 , х2 137. у= ln ( l-x - 2 arctgx. Отв. у =i-x4 x 5 +I ln у1+х2 + arctg х. Отв. у'= х 6 + х4 • Отв. у'=х4 2а3 а4 • 138. • Зх 2 -1 у=~+ + 139. у'= у= 1 3 ln 140. y=ln _ х+ 1 Ух2 -х+1 1+х 1-х v2+x 2 + ,;,; arctg 2:r,,I . r3 rЗ х у2 ,r+2arotg--. Отв. r 2+х2 1-х 2 " х2 п - 1 2n I х ln 141. y-arcco::. xzn+I, Отв, - x(x211 +I)' Отв. , ' 1 У=х3 +1' 4 J12 у=--. 1+х' ПРОИЗВОДНА.Я И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 120 Дифференцирование dy dx , Найти [ГЛ. III неявных функций . если. dy_2p dy х 142. у 2 =4рх. Отв, d---. 143. х2 +у 2 =а2 • Отв. d-=-- .144. Ь 2 х2 + х 22 +а у =а у =-Vy. 148. х ~ Отв. dx ::= - У: • 147. х2/3+у21з=а21з. Отв, у2 -2ху+Ь 2 =0. Отв, ddy=_Y_. х =~-~ у2 -ах. у-х Найти :~ :~= 149. х3+у3-Заху=0. ~ ~~+~ dx =- l +sin (х + у) • у = cos (х + у). Отв, dy 1 у sin (ху) 151. cos (ху) =х. Отв. dx =- х sin (ху) • 150. + функций, заданных параметрически: 152. x=acost, y=bsint. Отв. =a(l-cost). Отв. ~ dx=ctg 2t Ь Заt ddy=-.!!..ctgt. 153. x=a(t-sint), х а . 154. x=acos 3 t, y=bsin3 t. Заt 2 dy =-atgt. 155. Х= 1+t2• у= 1+t2· Отв. dx= 156. у 2ь2 . О тв, dy ь2х 145• уз - 3у +2ах= О . Отв. dx=3(1-y2)' dy 2а dx-а2у . х1.12+у112=а112. Отв. 146. х и=21nctgs, v=tgs+ctgs. Показать, что у= ~ Отв. dx= 2t l-t2· du dv=tg2s. Найти тангенсы углов наклона касательных к кривым: 157. x=cos t, y=sin t в точке х=-1/2, у= У3/2. Сделать чертеж. Отв. l/у°З. 158. х=2 cos t, y=sin t в точке х= l; у=- УЗ/2. Сделать чертеж. Отв. у°З/6. 159. х=а (t-sin t), у=а (1-cos t) при t=n/2. Сделать чертеж. Отв, Отв. l. 160, x=acos 3 t, y=asin 3 t при t=n/4. Сделать чертеж. -1. 161. Тело, брошенное под углом а: к горизонту, в безвоздушном прост ранстве описало под действием силы тяжести кривую (параболу), уравнения которой: x=(v0 cosa;) y=(v0 sin а:) t-gt 2 /2 (g=9,8 м/с2). Зная, чтоа:=60°, v11 =50 м/с, определить направление движения при: l) t=2 с; 2) t=7 с. t, Сделать чертеж. Отв. l) q>2=+134,3°. tg1p1 =0,948; q,1 =43°30'; 2) ,g1p 2 = - l,0l2, Найти дифференциалы следующих функций: g=(a2 -x2) 5 , Отв. dg=-lOx (а2 -х2) 4 162, Отв. dy xdx r l+x' "r--· х~х 164. l у=3 tg 3 dx. x+tgx. 163~ Отв. g= Yl +х2. dy=sec 4 xdx, ~х~ 165, u=т=;+In(l-x). Отв. dy=(l-x) 2 • Вычислить приращеция и дифференциалы функций: 166. g=2x2 -x при x=l; Лх=О,01. Отв. Лу=О,0302, dy=0,03. 167. Дано ru=x8+2x. Найти Лу и dy при Х=-1; Лх=О,02. Отв. Лу = =0,098808, dg=O,l. 168. Дано g=sinx. Найти dv при x=n/3, Лх=n/18. Отв. tfg=zc/36=0,0873. УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ l1I 121 169. Зная, что sin 60°= УЗ/2=0,866025-; cos 60°= 1/2, найти приближен ные значения sin 60°3' и sin 60°18'. Результаты сопоставить с данными таб лицы. Отв. sin 60°3' ~ 0,866461; sin 60°18' ~ 0,868643. 170. Найти приближенное значение tg 45°4'30". Отв. 1,00262. 171. Зная, что lg200=2,30103, найти приближенное значение lg200,2. Отв. 2,30146. Производные 172. у=3х3-2х 2 +5х-1. Отв. 1~5х- 12 / 5 • 174'. Отв. п (n+ l) С g=2 ух. 177. порядков Найти у". Отв. 18х-4. у=х6. Найти lf6). Отв. 176. xn+z различных у= 173. у< 4 >. Отв. - 15 х3. Найти у"'. у=;,,. Найти у". 6!. 175. у= у° а 2 -х2 • Найти у". Отв. Найти V- az (а2-х2) У а2-х2. 178. у=ах 2 +ьх+с. ~г-. 8 r х7 Найти у'". Отв. О. 179. f(x)=ln(x+l). Найти f 1Y(x). Отв. -(x:I)"" 180. y=tgx. Найти у'". Отв. 6sec4 x-4sec2 x. 181. y=lnsinx. Найти у'". Отв. 2 ctg х cosec 2 х. 182. f (х) = У sec 2х. Найти f" (х), Отв. f" (х) =3 [f (x)] 5-f (х). 183. у= 1 х3 х. Найти f!V (х). Отв. (l 41 x)J;' f 2+ 2) t q Н аити • dqз. dзр Отв. (a 4а3 185 .у= а (е xta+ е -1&/а ). 184. p=,q а arc ga. 2+q 2)2 . 2 Найти t. Отв. а~. dd 2 х у=ах. Найти 186. y=cos ах. Найти Отв. !fn>. an cos (ax+n:rt/2). (lna)nax. 188. y=ln(l+x). Найти !fn>. Отв. -J.(n-l)! _l-x Н • ,.!n) О 2( l)n п! (-l)n (1 +х)п. . У- 1 +х. аити !Г • тв. (l x)n+l. 190. у=еХХ. Найти !fn>, Отв. ех (х+п). 191. g=xn-l Inx. Найти !fn>. Отв. (n-l)! • 192. y=sin 2 х. Найти у<п>. Отв. -2п-1 cos (2х+пn/2). 187. !fn>. 189 Отв. + х 193. y=xsinx. Найти y<n>. Отв. xsin(x+:rtn/2)-ncos(x+:rtn/2). 194. Если d2y y=eXstnx, то доказать, что у"-2у'+2у=0. 195. у 2 =4ах. Найти dxa. 4а2 Отв. -уз. 197. х2+ у 2 Отв. О, 196 ь2 2+ 2 2- 2ь2 . х а у -а • = r 2• Н аити 2 ddx y2 • • н • d2y аити dx 2 и Отв. - 2 'уз . 198. d3y dx3 • у2 - о тв. _..!!:._. а у3, 2 3Ь6х -а"у~. 2ху = О . Н аити "' dзу • dxB 2 < 5 + 8Р:+ 3Р"). p=tg(q,+p). Найти dd3~. Отв, q, р • d2p tg2p-tg2q, 200. secq,cosp=C. Наити dq, 2 • Отв. tgзp • 201. ех+х=е"+у. • d2y (\-ех+У) (еХ-еУ) • d 2y Наити dx2 • Отв. (eY+l)B • 202. уз+№-Заху=О. Наити dхз. 2а3 ху • d3g Отв. (у 2 -ах)2'" 203, x=a(t-sint), g=a(l-cost). Наити dx•. 199. :;r Отв. 4asin~(t/2). 204. x=a&os 2 t, y=bsin 2 t. Показать, что =0. d3y 3 cos t 205. х=а cos t, у =а sin t. Найти d~ . ()тв. - а2 Sin" t. 206. Показать, что d2n d2n+l dxa1J (sh х) = sh Xj dxan +1 (sh х) = ch х. ПРОИЗВОДНА.Я И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 122 'Уравнения касательной Длины подкасательной и (ГЛ. lll и нормали. поднормали 207. Написать уравнение касательной и нормали к кривой у= х3-3х 2 -х+5 в точке М (3, 2). Отв. Касательная Вх-у-22=0; нормаль х+Ву-19=0. 208. Найти уравнение касательной ·и нормали, длины подкасательной и поднормали окружности х 2 +у 2 = r2 в точке М (х 1 , у 1 ). Отв. Касательная хх 1 + +yy 1 =r2 ; нормаль х 1 у-у 1 х=0; sт=Jy~/xil; SN=lxil209. Показать, что подкасательная параболы у 2 =4рх в любой точке де лится вершиной пополам и поднормаль постоянна и равна 2р. Сделать чертеж. 210. Найти уравнение касательной в точке М (х 1 , у 1 ): а) К эллипсу х2 у2 _ а 2 +ьа-l. Отв.. - УУ1 ь2 ХХ1 УУ1 _ х2 у2 _ ХХ1 а2+ьz-1. б) К гиперболе а 2 -ьz-1. Оfпв. а2- = l. 8а3 • 211. Найти уравнение касательном и нормали к «локону» У= 4а 2 +х 2 в точке, где х=2а. Отв. Касательная х+2у=4а; нормаль у=2х-3а. 212. Показать, что нормаль к кривой 3у=-6х-5х 3 , проведенная в точке М ( l, 1/3), проходит через начало координат. Показать, что касательная к кривой 213. М (а, Ь) есть ; (: t )п + ( )п =2 в точке +f =2. 214. Найти уравнение той касательной к параболе у 2 =20х, которац об разует угол 45° с осью Ох. Отв. у=х+5 [в точке (5, 10)]. 215. Найти уравнения касательных к окружност.и х2 +у 2 ных прямой 2х+3у=6. Отв. 2х+Зу ± 26=0. = 52, параллель 216. Найти уравнения касательных к гиперболе 4х2 -9у2 =36, перпенди• кулярнь•х к прямой 2у+5х= 10. Отв. Таких касательных нет. 217. Показать, что заключенный между осями координат отрезок каса тельной к гиперболе Jty=m делится точкой касания пополам. 218. Доказать, что закJ)JОченный между осями координат тельной к астроиде il•+y 2l•=a 21 • имеет постоянную длину. 219. Под каким углом а. пересекаются кривые у=а" и отрезок каса- у=Ь'-? Отв. lna-lnb tg а.= 1 ln а• ln Ь • + Найти 2,20. длины подкасательной, поднормали, касательной циклоиды х=а (0-sin 0), у=а (1-со::; 0) Отв. sт=а; SN=a; Т=аУ2; N=af2. в точке, для и нормали которой 0=n/2. 221. Найти величины sт, sм Т и N для астроиды x=4acos3 t, y=4asin3t. Отв. sт=I 4asin 2 t cos t SN=l 4asin 3 t tg t /; Т =4asin 2 t; N =14asin 2 ttg 1; t/. Разные задачи Найти производные функций: sin х--1 ( n х ) . Отв. у , = 1 - . 223. u=arasш . -. 222. у=3 2 2 2 -2 ln tg -4 - ~х ~х х отв. 225. у '= - 1Х / 2 У=уа2-ь2 226, u=lxl. ,r1 2 у х - 1 224 . . у= arcsш (sin х) . отв. arctg(,/'a+bbtgx2 )(a>0,b>O). У а Отв. у'= 2 1: 1• 227. y=arcsin f l - x • Отв.у' Отв. у'=- ' = I cos_х I . СО:, Х у· а +ьlcosx . 1; 1 Jtl~x 2 • УПРАЖНЕНИЯ I< ГЛАВЕ III 123 4 228. Из формул для объема и поверхности шара tl=зn,3 и S=4nr2 сле- дует, что ~ = s. Объяснить геометрический смысл этого результата. Найти аналогичное соотношение между площадью круrа и длиной окружности. 229. В треугольнике АВС сторона а выражается через две другие сторо- ны Ь, с и угол А между ними формулой а= уь2 +с2 -2Ьс cos А. При по- стоянных Ь и с сторона а является функцией угла А. Показать, что:;= ha, где ha есть высота треугольника, соответствующая основанию а. Пояснить этот результат геометрическими соображениями. 230. ПQЛьзуясь понятием дифференциала, выяснить происхождение при- ближенныхформул Уа-2 +Ь::::а+ 2ьа' малое v- а3 +Ь::::а+ 3ьа 2 ' где /ЬI есть число по сравнению с а. 231. Период колебания маятника равен T=n Yl/g. Какое влияние на погрешность при вычислении периода Т окажет погрешность в 1% при изме рении: 1) длины маятника l; 2) ускорения силы тяжести g? Отв. 1) :::: 1/2%; 2) :::: 1/2%. 232. Трактриса обладает тем свойством, что для любой ее точки отрезок касательной Т сохраняет постоянную длину. Доказать это, исходя из 1) уравнения трактрисы в форме ,г-а a-}""a2-yz a2 -y 2 +-ln----,===== (а> O)j 2 а+уа2-у2 х=" 2) параметрических уравнений кривой x=a(ln tg (t/2)+cos t), y=asin t. Доказать, что функция у=С 1е-х+С 2е- 2 х удовлетворяет уравнению у•+Зу'+2у=0 (здесь С 1 и С 2 -постоянные). 234. Полагая у=ех sin х, z=ex cos х, доказать равенства if=2z, z"=-2g. 235. Показать, что функция y=sin (т arosin х) удовлетворяет уравнению 233. (l-x2 ) у"-ху' +т2 у=О. d -у 236. Доказать, что если (а+ Ьх) eYlx = х, то х3 d2y dx2= ( х d~ )2 • ГЛАВА IV НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ § 1. Теорема о корнях производной (теорема Ролля) f Теорем а Рол ля. Если функция (х) непрерывна на отрезке [а, Ь], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах х=а и х=Ь обращается в нуль [f (a)=f(b)=O], то внутри отрезка [а, Ь] существует по крайней мере одна точка х=с, а< с< Ь, в которой производная (х) обращается в нуль, т. е. f' (с)=О*). f' До к аз ат ель ст в о. Так как функция (х) непрерывна на / отрезке [а, Ь ], то она имеет на этом отрезке наибольшее значе ние М и наименьшее значение т. Если М = т, то функция (х) постоянна, т. е. при всех зна чениях х имеет постоянное значение (х) = О. Но тогда в любой точке отрезка будет f' (х) = О, и теорема доказана. Предположим, что М :::/=т. Тогда по крайJiей мере одно из f этих чисел не равно f нулю. > Предположим для определенности, что М О и что функция принимает свое наибольшее значение при х= с, т. е. (с) =М. При этом заметим, что с не f = равно ни .а, f ни f Ь, так как по условию /(а)= О, (Ь) О. Так как (с)-наибольшее значение функции, то /(с+ Дх)-/ (с) ~ О как при Лх О, так и при Лх<О. Отсюда следует, что *) > f (с+л;~-f (с) ~ О при Лх > О, (1 ') I (c+i~-f (с);;;::: О при Лх < О. (1") Число с называется корнем функции q, (х), если q, (с)=О, ТЕОРЕМА О КОРН.ЯХ ПРОИЗВОДНОЙ § \) 125 Так как по условию теоремы производная при х вует, то, переходя к пределу при Лх--+0, получим lim f(c+Лx)-f(c) =f' (с)~О при Лх> О, lim f (с+Лх)-f (с) f' (с) ;;>-О при Лх < О. Лх➔О Лх Лх➔О Лх =с сущест- Но соотношения f' (с)~ О и f' (с) ;;>-О совместимы лишь в том случае, если f' (с)= О. Следовательно, внутри отрезка [ а, Ь] имеется точка Теорема с, о в которой корнях производная производ если (х) равна нулю. у ной имеет простое геометрическое истолкование: f' непрерывная кривая, имеющая в каждой точке касательную, пересекает ось Ох в точках с абсциссами а и Ь, то на этой кривой найдется по крайней мере одна точка с абсциссой с, а< с< Ь, в которой касатель Jt~ Cz ная параллельна оси Ох. 3 а меч а н и е теорема остается 1. Рис. Доказанная справедливой ь :с 92. и для такой дифференцируемой функции, которая на концах отрезка [ а, Ь] не обращается в ну ль, но принимает равные зна ченоя f (а)= f (Ь) (рис. 92). Доказательство в этом случае про водится точно так же, как и 3 а меч а н и е 2. ранее. f (х) Если функция такова, что производная существует не во всех точках внутри· отрезка дение теоремы [ а, Ь ], то утверж може_т оказаться неверным (т. е. в этом случ·ае !/ -t о Рис. t о Рис. 93. 94. на отрезке [ а, Ь] может не оказаться такой точки с; в которой производная (х) обращается в нуль). f' · Так, например, функция у= f (х) = 1-W (рис. 93) непре рывна на отрезке [-1, 1] и обращается в ну ль на концах отрезка, однако производная f' (х) =- v2 3 х внутри промежутка в нуль 126 НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ не обращается. Это оттого, что внутри происходит существует точка х = О, IV промежутка производная не существует в которой (обращается в бесконечность). График, изображенный на рис. [ГЛ. дает нам еще один пример 94, функции, производная которой не обращае,тся в нуль на отрезке [О, 2]. Для этой функции также Ролля, так как в точке х не выполнены услови11 теоремы функция не имеет производной. =1 § 2._ Теорема о конечных приращениях (теорема Лагранжа) Теор ем а Лагранж а. Если функция f (х) непрерывна на отрезке [а, Ь] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка [ а, Ь] найдется по крайней Ь, что с мере одна точка с, а < < f(b)-f(a)=f' (с) (Ь-а). (1) Доказательство. Обозначим буквой Q число т. е. положим Q = f (b)-f (а) Ь-а и f(b)-f(a) ' Ь-а вспомогательную рассмотрим (2) 1 функцию F (х), определенную равенством F (х) = f (x)-f (а)-(х-а) Q. (3) Выясним геометрический смысл функции F (х). Для этого на пишем сначала уравнение хорды АВ (рис. 95), учитывая, что ее угловой коэффициент равен f (Ь~=~(а) = Q и что_ она проходит через точку (а; f (а))~ y-f (а)= Q (х-а), отсюда У= Но f (а)+ Q (х-а). F (х) = f (x)-[f (а)+ Q (х-а) 1 Следовательно, F (х) для каж дого. значения х равняется разности ординат кривой у= f (х) и хорды у= f (а)+ Q (х-а) для точек с одинаковой абсциссой. Легко видеть, что F (х) непрерывна на отрезке [а, Ь], диффе ренцируема внутри этого отрезка и обращается в нуль на концах отрезка, т. е. F (а} = О, F (Ь) =О. Следовательно, к функции F (х) применима теорема Ролля. Согласно этой теореме внутри отрезка (x)-Q. с такая, что F' (с)= О. Но F' (х) = существует точка х Значит, = F' (с)= f' (c)-Q = О, Подставляя значение Q в Q = f' (с). равенство (2), будем откуда f (Ь1=~(а) = f' (с), f' иметь: (1 ') ТЕОРЕМА ОБ ОТНОШЕНИИ ПРИРАЩЕНИЙ ДВУХ ФУНКЦИЙ 531 откуда следует формула непосредственно 127 Таким образом, (1). теорема доказана. Чтобы выяснить обратимся к рис. геометрический смысл теоремы Лагранжа, 95. Из рисунка непосредственно ясно, что вели- чина f (Ьt=~ (а) представляет собой тангенс угла а наклона хорды, у проходящей через точки А и В графика с абсциссами а и Ь. С другой стороны, f' (с) есть тан- генс угла наклона касательной к кри вой в точке с абсциссой с. Таким образом, геометриче~кий смысл равенства (1') или равносильного ему равенства (1) f{Ь} состоит в следующем: если во всех точ ках дуги АВ существует касательная, то на этой дуге найдется точка С между А и В, в которой к а с ат е л ь н а я ll :r: п а р а л л е ль н а х о р де, соединяющей точки А 1{ В. Заметим, далее, следующее. Так как значение ; удовдетво ряет ус.т~овию а< с< Ь, то с-а< Ь-а, или с-а=0 (Ь-а), где 0 есть некоторое число, заключенное между О и 1, т. е. О< 0 < 1. Но тогда с=а+е (Ь-а), и формуле (1) можно при дать следующий вид: f (b)-f (а)= (b-a)f' [а+0(Ь-а)], § О< в< 1. (l") з~ Теорема об отношении приращений двух функций ('rеорема Коши) Теорем а К о ш и. Если f (х) и q, (х) -две функции, непре ры,вные на отрезке [а, Ь] и дифференцируемые внутри него, причем q>' (х) нигде внутри отрезка не обраща,ется в нуль, то внутри отрезка [а, Ь] 1Шйдется такая точка х = с, а f (b)-f (а) ер (Ь)-tр (а) = f' (с) tp' (с) Отметим, что ер (Ь) (1) • До к аз ат ель ст в о. Определим число Q < с < Ь, что Q равенством f (Ь)-f (а) ер (Ь)-11' (а) • (2) -q, (а):#= О, так как в противном случае q, (Ь) равнялось бы ср(а), и тогда до теореме Ролля производная tp' (х) обращалась бы в нуль внутри отрезка, что противоречит условию теоремы. Составим вспомогательную функцию F {х) = f (х) - f (а) - Q [ q> (х) - q, {а)]. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ 128 (rJ{.J:V Очевидно, что F (а) = О и F (Ь) = О (это вытекает из определ~ ния функции F (х) и определения числа Q). Заметив, что функ ция F (х) удовлетворяет на отрезке [а, Ь] всем условиям теоремы Ролля, заключаем, что между а и Ь существует такое значение f' х= с (<l <с< Ь), что F' (с)= О. Но F' (х) = довательно, (х) - Q(p' (х), еле- F' (с)=/' (с) - Q!p' (с)= О, откуда Q = f' (с) • «р' (с) nодставляя значение Q в равенство (2), получим равенство (1). 3 а меч ан и е. Теорему Коши нельзя доказать, как это может показа'tЬся с первого вsгляда, применением теоремы к числителю и знаменателю дроби Лагранжа f (b)-f (а) q>{b)-<p (а) • Действительно, мы получили бы в этом случае (после сокращения дроби на Ь-а) формулу f (Ь)- f (а) «р (Ь)-<р (а) в которой а< ~i =f=. с 2 , ci < Ь, а< с 2 f' (с1) = <р' (с2) < Ь. ' Но так как, вообще говоря, то полученный результат, очевидно, не дает еще теоремы l\ОШИ, § 4, Предел отношения двух бесконечно малых величин ( «раскрытие неопределенностей вида ~ ») Пусть функции f (х) и (J) (х) на некотором отрезке [а, Ь] удов .летворяют условиям теоремы Коши и обращаются в нуль в точке х=а этого отрезка, т. е. f(a)=O и (р(а)=О. Отношение ; \~ не определено при х = а, но имеет вполне определенный смысл при значениях x=f=. а. Следовательно, может быть поставлен вопрос о разыскании предела этого отношения при х- а. Вычисление пределов такого типа называется обычно u «раскрытием неопределенностеи вида о 0 ». С такого рода задачей мы уже имели дело и раньше, например 1. sfn х при рассмотрении предела ных от элементарных 1m - - , х-+ О u ф ункции. х В при нахождении sinx ыражение -х- при производ х= 0 не не определена при х=О, имеет смысла, т. е. функция F (х) = ~ х ПРЕДЕЛ ОТНОШЕНИЯ: ДВУХ БЕСI(ОНЕЧНО МАЛЫХ мы но видели, что предел sln х -х- при х-+ выражения О 129 существует и равняется 1. Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x)u ср(х) на некоrrwром отрезке [а, Ь] удовлетворяют условиям тео (а)= ремы Коши и обращаются в нуль в rrwчкe х = а, т. е. =q> (а)= О; тогда, если существует предел отношения ;, Х-+ а, то существует и lim f ((х)) lim f (х) = lim 1: (х) • х-+а ер (х) « ➔ а ер (х) при причем , х ➔ а ер х \1) f До к аз ат ель ст в о. Возьмем на отрезке [ а, Ь] какую-нибудь точку x=I= а. Применяя формулу Коши, будем иметь f (x)-f (а) f' ер (х)-ер (а) ер' (s) (s) ' где~ лежит между а и х. Но по условию f' f (х) ер (х) = ер' f (а)= q> (а)= О, значит (s) (1) (-s) х и а. Если Х-+ а, то и ~-+ а, так как ~ заключено между При этом, если lim 1: ((х)) = А, то lim f', ((~) также существует и Х ➔ й ер ~ ➔ а ер Х = lim f' (s) = lim f' (х) = А lim f (х) = lim f' х • а ер (х) и \, Отсюда ясно, что равен А. (s) х • а ер' (s) s -+- а ер' (s) х -+- а ер' (х) , окончательно lim f (х) = lim f' (х) х -+- а ер (х) х-+- а ер' (х) · 3 а меч а н и е 1. Теорема имеет место и в том случае, если функции (х) или q> tx) не определены при х=а, но lim tx)=O, f f х-+- а ср (х) =-= О. l1m /Х ➔ й Для того чтобы свести этот случай к рассмотренному ранее, (х) и ср(х) в точке х=а так, ·мы доопределяем функции чтобы они стали непрерывными в точке а. Для этого до f статочно положить f (а)= lim f (х) = О, ер (а)= lim ср (х) = О, так х~а х ➔ а как, очевидно, предел отношения;~;~ при х-➔ а не зависит от того, определены ли· функции 3 а меч ан и е 2. Если q>' (х) удовлетворяют тем 5 Н. С. Пискунов, т. 1 f (х) и <:р (х) в точке х = а. (а)= ер' (а)= О и прои3водные f' (х) и условиям, которые были наложены f' 13G в НЕI<ОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНI<ЦИ.ЯХ условиях на теоремы правило Лопиталя f' к f (х) (х) отношению <р' (х) f' (i:) f" (х) . . 11m 11m -,--() = х-+а<р -,,--( ) х-,.а<р х Х 3 а меч ан и е 3. функции и т. и ер (х), IV то, применяя к формуле приходим , [ГЛ. д. Если ер' (а)= О, но f' (х) =1= О, то теорема при- j ~;~ , которое стремится к нулю ложима к обратному отношению f (х) при х-+- а. Следовательно, отношение <р (х) стремится к беско- вечности. пр . sin 5х 1. (sin 5х)' l • 11m - = Х 1m 3 )' Х ➔ О 3Х ➔ О (Х и м е р l . ln (l +х) п ример 2 • 11m -~Х ➔ О Пр и мер lim . . х-sшх Здесь три ltm - Х х -о 1 +1-х= -l1 =l. 3. ех-е-Х-2х х-о . раза l пришлось ния первых, вторых о . l1m ех+е-х-2 ltm Х➔ О . ех-е-х . х• о -COSX применить SШ х правило . 2 ех+е-х = хl1m - - - = - = 2. - о cos х l Лопиталя, так как отноше и третьих производных при х=О приводят к неопреде• 4. Правило Лопиталя применимо и в том случае, ленности о· 3 а м е ч ан и е если и lim f(x)=O Iim ер(х)=О. Действительно, полагая х = 1/z, видим, что z-+- О при х---+ оо и, следовательно, lim Z • O f (1/z) = О, lim ер (1/z) = f(l /z) Применяя правило Лопиталя к отношению lim f (х) = lim f (l/z) = lim Х~Ф ер (х) О. Z-+0 z • о <р (1/z) <р (l /z) , находим: f: (1/z) (-l/z: = lim f',Of.!l = lim f', (х) 1 z-+ О <р (1/z) (-1/z ) z-+ о lj) (1/z) x-+oolj) (х) что и требовалось доказать. sin .!!._ Пр име р 4. lim «~ .. х l N k cos !!_ (lim =х ... оо х l -xr ..!..) х2 х lim .... OQ kcos!!_=k. х ПРЕДЕЛ ОТНОШЕНИ,Я ДВУХ БЕСК:ОНЕЧНО БОЛЬШИХ § 5] 131 § 5, Предел отношения двух бесконечно больших величин ( «раскрытие неопределенностей вида : ») Рассмотрим, далее, вопрос о пределе отношения двух функций и 1Р (х), стремящихся к бесконечности при х-,. а (или при f (х) х-,.оо). Теорем а. водная IP' (х) f (х) Пусть функции ренцируемы при всех х =1= а и <р (х) непрерывны и диффе в окрестности точки а, причем произ не .обращается в нуль; пусть, далее. f (х) = ltm оо, lim <р (х) = оо и пусть существует предел . f' (х) ltm -,-() х->-а <р х = А• (1) Тогда существует предел l1m f ((х)) и х ->-а <р х l. f (х) 1m -(-) х-->- а <р х . f' (х) А = 11m --,-() = . х-+а <р (2) Х До к аз ат ель ст в о. В рассматриваемой окрестности точки а возьмем две точки а и х так, чтобы было а< х а (или а< х а). По теореме Коши будем иметь < < < f(x)-f(a.) с:р (х)-с:р (а.) где а < с < х. = f'(c) с:р' (с) ' Левую часть равенства f (x)-f (а) с:р (х)-с:р (а.) (3) преобразуем l - f (а) = f (х) f (х) с:р (х) 1_ с:р (а.) • (3) таЕ:: (4) с:р (х) Из соотношений (3) и (4) f' (с) с:р' (с) получаем = f (х) 1-f(a,) f (х) с:р (х) 1_ с:р (а.) • <р (х) Отсюда находим f (х) <р (х) = f' 1- <р(а.) (с) <р (х) <р' (с) 1 _ f (а) • (5) f (х) Из условия а выбрать следует, что при произвольно малом ~>О можно настолько близким к а, что для всех х = с, где (1) 132 а НЕI<ОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНI<ДИ.ЯХ < с < а, (ГЛ.IV будет выполняться неравенство f' (с) - 1 <р' А 1< в (с) или f' (с) А-в< q/ (с) < А +в. (6) Далее рассмотрим дробь 1 - <р (а) (JJ (х) 1 _ f(a) • f (х) Закрепив а так, чтобы обеспечивалось выполнение неравен ства (б), будем х приближать к а. Так как (х)--+ оо и (j) (х)--+ оо f при х--+ а, то (JJ (а) 1- . 11m <р(х) --=-....с....;-= х • а 1- f f 1 (а) (х) и, следовательно, при ранее выбранном в близких к а, будем иметь 1-<р(а) <р (х) -1 1-f(a) f < >О для х, достаточно в, (х) или 1-<р(а) (JJ (х) 1 -в< f(a) 1- f (х) < l+e. Перемножая соответствующие члены неравенств (6) и (7), получим (JJ (а) (JJ (х) 1- f' (7) (с) (А- в) (1- в) < q;' (с) 1_li::2. < (А +е) (1 +е), f (х) или на основании равенства (5) (А-в)(l-в)<;i;~ <(А+в)(l+е). Так как е к а, то из - произвольно малое число при х, достаточно близком последних неравенств следует, lim f(x) ~ ➔ а <р (х) =А, что 133 ПРЕДЕЛ ОТНОШЕНИЯ ДВУХ БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ § 5) или на основании (1) lim f (х) = lim х ➔ а!р(Х) t: (х) = А, x • a!JJ(X) что и требовалось доказать. Замечание Если в условии 1. . f' (х) х ➔ а 'Р х А=оо, т. е. (1) l1m -,-() = оо, то равенство (2) вительно, предыдущего из остается справедливым и в эtом случае. Дейст выражения !р' (х) • следует О l1m - , (), = . Х➔ а Х Тогда по доказанной теореме . !р (х) 1· !JJ' (х) О l1m -(х, ) =х➔ 1mа - , (х, ) = , rx • a откуда lim f (х) = оо. х ➔ а (j) (х) 3 на а меч ан и е случай, Доказанная теорема легко распространяется 2. когда х-оо. Если lim f(x)=oo, Х . f' (х) х• а, (j) х ltm -,-( ) . f (х) . f' (х) 1!Ш - - = 1lill - ,- Доказательство вида о O при (см. Пример 3 limcp(x)=oo Х ➔ а, и оо существует, то rx • делалось • замечание путем условиях замены в (8) • х ➔ оо !р (х) проводится аналогичных § 4, 1. !р (х) "' случае х = I;z, как это неопределенности 4). ех (еХ)' ех lim - = lim - ( )' = Iim -1~=оо. Х ➔ ОО а меч ан и е 3. х Х ➔ ОО х Отметим справедливы только в Х ➔ ОО еще раз, том случае, если что формулы (2) и (8) предел, стоящий справа (конечный или бесконечный), существует. Может случиться, что предел, стоящий слева, существует, в то время как предел, стоя щий справа, не существует. Приведем пример. Пусть требуется найти . x+sln х 1lill ---. 1Х • х 00 Этот нредел существует и равен lim x+sinx IX • «> Х = 1. lim Х ➔ оо Действительно, (l +slnx) = l. Х НЕК:ОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНК:ЦИ.Я:Х 134 Но отношение производных (x+sin х)' стремится не х-+ оо при между О и колеблется пределу, а какому к ни ,L.V = l + cos Х I+cosx l (х)' (ГЛ. 2. Пр и мер 2. lim Х Пр им ер • х 00 2ах lim оо 2сх • =~. с 3. li"m _1 cos 2 3x= li'm _1 2-3cos3xsirt3x cos 2 x tgx lim - - = lim - - 2 cos х sln х х ➔ .i/ 2 3 х->- л/ 2 3 cos 2 х « -+л/2 tg Зх х-+ л/2 3 = cos 2 3x lim cos Зх lim s!n Зх = lim 3s!n Зх, (-1) =З (-1) • (-!) = 3 • 1 х-+л/2 slnx х-+л/2 cosx х-+л/2 slnx П р им е р 4. = : lim Х ➔ оое -i = О. Вообще, при iim любом целом п > О Х,..оое К предыдущим случаям сводятся случаи других неопределен• ностей, которые символически записывают так: и смысл которых состоит lim f (х) = а) Пусть в О, 00°, г) 1 00 д) 00-00, , следующем. lim <р (х) = требуется оо; найти х-+-а х➔ а lim [f (х) в) б) О°, а) О,оо, <р (х) ]. Это - неопределенность типа О. оо. Х ➔ й Если искомое выражение переписать в виде lim [f (х) <р (х)] = lim f \х) х ➔ а ~~а __ (j) (х) в или виде lim [f (х) <р (х)] = lim « ➔ (J) х ➔ а а ix) , __ f (х) то при х-+ а п ример мы получим неопределенность . . ln х I . 5 . 11mxn nx= 1,m-1-= 11m Х➔ О Х ➔ О Х ➔ О xn б) Пусть lim f (х) =0, х ➔ а lim [f (х) ](1) <х>, «->- а -1 х n -xn+:i. lim <р (х) = О; вида - о O или вида 0G ~. xn Iim -=0. n Х ➔О требуется найти х ➔ а или, как говорят, раскрыть неопределенность вида 0°. 135 ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА § 6) [f (х) ]q, <х>, Положив у= пролоrарифмируем обе части получен ного равенства: ln у=(!) (х) [ln f (х)]. При Х-+ а получим (спl?ава) неопределенность вида О. оо. Найдя lim ln у, легко получить l1m у. х-+а х~а Действительно, в силу непрерывности логарифми~еской функции, lim In у= In lim у, ос ➔ а х-+а в частности, Ь = и если + оо ln lim у= Ь, то, очевидно, l1m у= еь. Если, х➔а или х-+а - оо, то, соответственно, lim у=+ оо или о. П р и мер 6. Требуется найти хх. Положив у= хх I находим: lim Х ➔ О ln lim х➔ О у= Iim ln у= Iim ln Х➔ О (хх) х➔ О = lim (х ln х)~ Х➔ О 1 . (х 1nx) = 1·1m -ln -= х 1·1m -х Iim -1- = - 1·1m 1 «➔ О .t • O х➔ О х следовательно; ln lim у=О, откуда Х➔ 0 х➔ О -'"7 х= О; lim у=е0 =1, т. е. Х • 0 Аналогичны111 приемом находятся пределы и в других случаях. § 6. Формула Тейлора f Предположим, что функция у= (х) имеет все производные до (п 1)-го порядка включительно в некотором промежутке, содер жащем точку х=а. Найдем многочлен у=Рп (х) степени не выше п, значение которого в точке х а равняется значению функции (х) + f = в этой точке, а значения его производных до п-го порядка в точке х а равняются значениям соответствующих производных от функ = f (х) в этой точке: Рп (а)= f (а), Р~ (а)= f' (а), ции Р~ (а)= f" (а), ... , piim (а)= f< 11 > (а). (1) Е\;тественно ожидать, что такой многочлен в некотором смысле <<близок» к функции (х}. f Будем искать этот многочлен в форме многочлена по степеням (х - а) с неопределенными коэффициентами: Рп (х} = = Со+ Ci (х-а) +с2 (х-а) 2 + Сз (х-а) 3 + ... +сп (х-а)". Неопределенные коэффициенты чтобы удовлетворялись условия С1 , (1). С2 , ... 1 Сп (2) определим так, 136 НЕI<ОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНI<ЦИЯХ [ГЛ. IV Предварительно найдем производные от Р п (х): Р~ (х) = С1 + 2С 2 (х-а) +3С 3 (х-а) 2 + ... +пСп (х-а)п- 1 , Р~ (х) = 2 • l •С 2 +3 · 2С3 (х- а)+ ... +n (п - l) Сп (х-а)п-s, . . . . . . . . . . , . . . . ~- . . . . . . . . . } (3) . п(п-l)• .... 2.1Сп. P<;J>(x)= Подставляя в левые и правые части равенств значение а и заменяя на основании равенств Р~ (а) через f' (а) и т. д., получим (1) (2) и (3) вместо х Р п (а) через f (а), f (а)= С0 , f' (а)= С1, f" (а)= 2, 1С2 , f"' ~)=--3-2-1С3 , t<n) (а) =n(п-1) (п-2)• .... 2.1сп, Подстав.11яя найденные значения С 1 , С 2 , ••• , Сп в формулу (2), получим искомый, многочлен Рп (х) = f (а)+ х 1 а f' (а)+(\ _ 2а) 2 f" (а) + (~ ./{ f"' (а)+ ... ... + /~~~~~ п f<п> (а). (5) f Обозначим через Rn (х) разность значений данной функции (х) и построенного многочлена Р п (х) (рис. 96): Rn (х) = (х) -Р п (х), откуда (х) = Р п (х) + Rn (х), или в раз f f !/ вернутом виде f (х)= f(a) + \ 1а f' (а)+ (х 21 а) 2 f" (а)+ ... . . . + (х~а)п f<п> (а)+ Rn (х). (6) п. Rn (х) называется остаточным члено.м. Для тех значений х, для которых оста точный член (х) мал, многочлен Р п (х) дает приближенное представле Rn -q-1----<>-a _ _ _,1;,,__ ~ Рис. 96. f ние функции (х). Таким образом, формула (6) дает возможность заменить функцию у= (х) с соответствующей степенью точности, многочленом у= Р п (х) равной значению остаточного члена Rn (х). f § 6] ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 137 Дальнейшая наша задача- оценить в~личину личных Rn (х) при раз значениях х. Запишем остаточный член в форме (x-a)n+l Rn (х) = (п+ l)! Q (х), где Q (х) есть некоторая функция, подлежащая в соответствии с этим перепишем формулу f (х) (7) определению, и (6): = f (а)+ х 1 а f' {а) + (х 2! а)2 f" (а) + ... (х-а)п 1 > (x-a)n+l •.. +-п,-fп(а)+ (n+l)l Q(x). При фиксированных х и а функция значение; обозначим его через Q (6') (х) имеет определенное Q. Рассмотрим, далее, вспомогательную функцию от t (t заклю чено между а и х): F(f)=f(x)-f(t)-x I t f'(t)-(x 2!t) 2 f"(t)- ... _ (x-t)n f<п> (f} _ (x- t)n +1 Q п! •· • где Q имеет значение, определенное соотношением считаем а и х определенными Найдем производную (6'); ' при этом числами. F' (t): + f' (t)- х 1 t f" (t} + 2 <;~ t) f" (t} (х 2/)2 f'" (t) + ... - (~~)~~1 f<n) (f) + п (х-;}п-1 f<п> (f) - F' (t} = - (п+J)! f' (t) _ (x-t)n f<n+l)(f) +(n+I) (x-t)n Q п! (п+ 1)! ' или после сокращения F' (t}=- (x-;t)n f<n+l)(f)+ (x-,t)n Q. п п. (8) Итак, функция F (t) Itмеет производную во всех точках t, лежащих вблизи точки с абсциссой а (а~ t ~ х при а х и а~ t ~ х при а >х). Далее, замечаем, что (на основании формулы (6')) < F(x)=O, F(a)=O. Поэтому к функции F(t) применима теорема Ролля, и, следовательно, существует такое значение заключенное между а и х, при котором t = s, F' (s) =О. Отсюда на основании соотношения (8) получаем _ (х-~)п J<n+1> (~} п! + (х-~)п Q = О nl ' НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ 138 [ГЛ. lV откуда Q= гn+I) (S) • Подставляя это выражение в формулу R п (х) = (7), nолучаем (x-a)n+l t<n+I) (s) (п+I)! • Это - так называемая форма Лагранжа для остаточного чv1ена. Так как заключено между х и а, то его можно представить в форм.е s *) s=a+e (х-а), где 0- число, заключенное между О и 1, т. е. О< 0 < 1; тогда формула остаточного члена примет вид R (х)= п (x-a)n+I f<n+I>[a+0(x-a)] (n+l)I . Формула f (х) = f (а) + х~а f' (а)+ (х~а) 2 f" (а)+ .•. ... + (х-;/>п f<п> (а)+ (х(~;,): 1 [<n+1> (а+ 0 (х - а)) (9) f называется фор.лtулой Тейлора для функции (х). Если в формуле Тейлора положить а= О, то она запишется в виде х х2 xn f (х) = f (О) +т f' (О) +ш f" (О)+ ... +п1 [<">(О)+ xn+l (п+ 1)1 /Ш+l) (0х), (10) где 0 заключено между числами О и 1. Этот частный случай фор мулы Тейлора иногда называют фор.м.улой Маклорена. § 7. Разложение по формуле Тейлора функций ех, sinx, cosx f 1. Р аз ложен и е фу н к ц и и (Х) тельные производные от (х), получим f = ех. Находя последова f (х) = ех, f (О) = 1, f' (х) = ех, f ! (О) = 1, j<п> (х) = ех' j<п> (О)= 1. Подставляя полученные выражения в фор:мулу (10) § 6, будем ш1еть х х2 х3 е,.:= 1+т+21+зт+ ") См. конец § 2 х" xn+I ... +п1+ (n+J)I еЭХ, 0 < 0 < 1. настоящей главы. $1) РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНI(ЦИЙ ех, sin х, cos 1V 139 < 1, то, взяв n=B, получим оценку остаточного члена: Если I х 1 Rs< ; 1 -3 < 10-2. При х= 1 получим формулу, позволяющую найти приближенное значение числа е: + 1+21l +311 + ... + 81l ; е= 1 производя вычисления в десятичных дробях с шестью*) десятич ными а затем знаками, округляя результат до пяти десятичных знаков, найдем е=2,71828. Здесь поrрешное-ть не превосходит числа 3 91 или 0,00001. Отметим, что, каково бы ни было х, остаточный ч.Тiен xn+l 0 Rn=(n+l)!.ex-o при n-+oo, < 1, то величина е 0 х при фиксиро Действительно, так как 0 О и меньше 1 при ванном х ограничена (она меньшее" при х х<О). Докажем, каково бы что, xn+l (п+ l)! -+ О > ни было фиксированное чис.r~:о х, при п-+ оо. Действительно, 1(:~+~! 1-1; ; .; . "' . : n~ l 1• Если х - фиксированное число, то найдется такое целое поло жительное число N, что \x\<N. Введем обозначение '; 1 = q; тогда, заметив, что О < q < 1, можем написать при \ (:• 1 _+1 )1 n=N +1, N +2, N +з и т. д. 1-1 ; ; ; ' "·•; п~ 11 = 1; 1· 1 ; 1· 1 ; 1· ' ' ' · 1N х I l · I ; 1· . '' • 1 : 1· 1n~ 1 I < х х х <т··гз· потому что · .. х xN-l ·N_.-q•q• · .. •q= <N-1)1 q \;\=q, IN~1\<q, •••t n-N+: • \п~i\<q, *) Иначе суммарная погрешность округления при расчетах может значи тельно превысить 8 (например, при количестве слагаемых, равном 10, эrа ошибка может достичь величины 5, 10- 5). R 140 НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ [ГЛ. IV xN-1 Но величина (N -!)! постоянная, т. е. не зависит от п, а qn-N+2 стремится к нулю при n-+ оо. Поэтому xn-t 1 j~~-(п+J)!=O. е xn+1 Следовательно, и Rn (х) -е х (п+ I)! -+ (1) 0 при n-+ оо. Из предыдущего следует, что при любом х, взяв достаточное число членов, мы можем вычислить ех с любой степенью точности. 2. Разложение функции Находим после f(x)=sinx. f (х) = sin х: f (х) = sinx, f (О)= О, f' (х) = cosx = sin ( х + ; ) , f' (О)= 1, довательные производные от f" (х) = - sin х = sin ( х + 2 ; ) , f'" (x)=-COSX=Sin f" (О)= О, (х+з;), f"' (0)=-1, pv(x)=sinx==sin(x+4 ;) , f 1v(0)=0, f(n)(x)=sin(x+n~), ttп) (О) f<n+l) (х) = sin (х+ (п+ 1) ; ) , = sin n2n , f(n+l) (~) = sin ( ~ + (п + 1) ; ) . Подставляя полученные значения в формулу (10) § 6, получим разложение функции (х) = sin х по формуле Тейлора: f . х3 хБ xn . nn xn+l . ( п) SШХ=Х-31+51- ... + пТ sш-т+ (n+I)! sш ~+ (п+ 1) 2 . Так как \ sin ( s+ (п+ 1) ; ) 1~ 1, то значениях }~n00 Rп (х) = О при всех х. Применим полученную формулу для 11риближенного вычисле ния sin 20°. Положим п = 3, т. е. ограничимся двумя первыми членами разложени.я; sin 20° = sin; ~ ; - ;, (;) 3 = 0,342. Оuе ним сделанную погрешность, IRsl=/(;) 4 ] которая 1 sin(~+2л)/~(~)4 Следовательно, погрешность меньше s1 (х) =Х, остаточному члену: ; 1 ~0,00062<0,001. 0,001, точностью до 0,001. На рис. 97 даны графики функции " х3 приближении: равна т. е. sin 20° = 0,342 с f (х) = sin х и первых трех х3 х& s2 (х) =Х-зт' s8 (х) =х-31+51. УПРАЖНЕНИ.51 К: ГЛАВЕ 3. Разложение функции 141 IV f(x)=cosx. Находя значения последовательных производных при х = О от функции Рис. f (х) = cos х 97. и нодставляя в формулу Маклорена, получим разложение: х2 cos Х= 1- 21 ~4 +41 - ... xn л;п xn + + п! cos 2 + (п+ !)! 1 cos л: s+ (п + 1) 2 ) ( , lsl <lx\. Здесь также liш Rn (х) = О при всех значениях х. n-+"' Упражнения к r лаве IV Проверить справедливость теоремы Ролля для функций: З. 1. у=х 2 -Зх+2 на отрезке [1, 2]. 2. у=х3+5х2 -6х на отрезке !J=(x-1) (х-2) (х-3) на отрезке [1, 3]. 4. y=sin 2 x на отрезке 5. Функция f (х) =4х3 +х 2 -4х-1 имеет корнями 1 и -1. Найти производной f' [О, !]. [О, л:]. корень (х), о котором говорится в теореме Ролля. 6. Проверить, что между корнями функции у= V х_2 5_х_+_6_ находится ___ корень ее производной. 7. Проверить справедливость отрезке [-л:/4, +л:/4]. теоремы Ролля для функции у= cos 2 х на V- 8. Функция у= 1х 4 обращается в нуль на концах отрезка [-1, !]. Убедиться в том, что производная от этой функции нигде в интервале (-1, 1) в нуль не обращается. Объяснить, почему эдесь неприменима теорема Ролля. 9. Составить формулу Лагранжа для функции y=sin хна отрезке [х 1 , х2 ]. sin X2-Sin Х1 = (х2-Х1) cos с, Х1 < С< Х2. 10. Проверить справедливость формулы Лагранжа для функции у=2х-х3 Отв. на отрезке [О, 1]. НЕl<ОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНI<ЦИЯХ }42 11. В какой точке касательная к кривой у= xn параллельна [ГЛ. lV хорде, стя• rивающей точки М 1 (О, О) и М 2 (а, an)? Отв. В точке с абсциссой с= п-l,г; _ 12. В какой точке касательная к кривой у= ln х параллельна ;хорде, стягивающей точки М 1 (1, О) и М 2 (е, !)? Отв.В точке с абсциссой с=е-1. Пользуясь теоремой Лагранжа, доказать неравенства: 13. ех ;;;;;.- 1 +х. 14. ln (1 +х) х (х О). 15. ьn-ап пьп- 1 (Ь-а) при Ь а. 16. arctg х х. < < > f (х) = х 2 , 17. Написать формулу Коши для функций (1, 2] и найти с. Отв. с=14/9. > <р (х) < = х?. на отрезке Вычислить следующие пределы: х-1 n х-+1х- х• . е отв, 2. 21 • 11m х .... о cos ех -е-х 1 - . 19. lim -п--1 • Отв. 18. lim 1 О 1 . тв. х- tg х-х . Oтв. 2. 20 . 11m . • . smx х-+О х-+-ох-sшх 2. 22 . 1·1m -::,====Sin х х .... о -V 1-cos х Отв. не существует (у2 при х----++О , - у2 при х -+-0). 23, Предела ~n sin м lim л; (:rt-2x) 1 1 Х ➔2 отв, - 1 8, ах -ЬХ а 1. x-arc,sin 24. ,;~ 0 -х--· Отв. ln b. 25. /~о sin 3 х . sin x-sin а 11m -----. 26. х-а ех . 28. lim «• sin х-х 3Х2 0 +xf> . Отв. Отв. О. 31. lim х-+"' · cosa. Отв, 1. х • Отв. - eY+sin у-1 ln(I+y) ' 3 . ln х 6. Отв, 2. -3 . 29. l1m 2 +s· Отв. -2 . 30. l1m -,.- (гдеп Х-+Ф Х x.-,.rs, Х > О), 1 27. /1\ Зх-1 . In(1+2..) lпxtl у t х . Отв. 1 .32. lim - - -1-. Отв. -1. 33. lim - - . arcc g х х ➔ ,., In:.=_ у-++"' 6 ag х Отв. О при а> О; ею при a,s;;;;O. 34. lim е;+г;. Отв. 1. 35, Iim [nвinЗx х.... +,., е -е- отв, . lntg7x Oтв, 1• 36• l1m I t "' • х-+ о n g ~х lim (1-х) tg 38. х ..-,. 1 :ri;. lim [ -1- - -х-] 40. х.-,.1 42. lim X-+l Отв, ln х ln х · 45. lim хТ::-Х. 1. 48. Отв. QQ х е lnsinx • Отв. О, tg 2х 39. 1 }"1m [ - 2 - - -12 х.-,.1 41. -1. 1 2 . 43. llm ( 1+~ у. tX • 1. 37. Х -1 lim q, .-,.л/2 х- X• l Отв, Отв, [-½-~]. Отв. nx оо. 2 :rt Отв, х~о ln(x-1)-x lim ---'---'--. х• 1 :rt lim х➔ О /➔ оо • ' -2· Отв. 1 lim 2 • 44. Х->-0 Отв, l. 47. 1 Отв. (sec <p-tg q>). х ctg 2х. Отв. 46. lim {/ t 2 х-1 lim ( Х➔О х2;;,. !.)1gx. Х 1 Отв, еа, 49. llm (ctg x}iii"i. Х➔О о. Отв, I -· е УПРАЖНЕНИЯ: К: ГЛАВЕ IV 143 r at {cos х) Iim 50. --» 2 Отв, • ~ ➔ Л:/2 52. lim (tg х -+1 lim ( si;cp) 51, 1. ~ I Отв. (jJ-+ о v--;;· п4х )tg ~х • Отв, .!... е 53. Разложить по степеням х-2 многочлен х4 -5л-3+5х2 +х+2. Отв. -7 (х-2)-(х-2) 2 +3 (х-2) 3 +(х-2) 4 • 54. Разложить по степеням x+I многочлен x5 +2x4 -x 2 +x+l. Отв. (х+ 1) 2 +2 (х+ 1) 3 -3 (х+ 1) 4 +(х+ 1) 5 • 55. Написать формулу Тейлора для функции У= Ух при а= 1, n=З. ,r-:_ ::=.!_. _!_ _ (х-1) 2 • _1_ (х-l)З _ _!_ (х-1) 4 • 15 Отв, r x-l+ 1 2 1-2 4 1.2.3 8 4! 16·Х + Х[1+0(х-l)Г 712 , О< 0 < 1. 56. Написать формулу .маклорена для функции у= у 1 +х при n= 2. -1 1 х3 Отв. v1+x=l+-2 х--в х2 + б/2' о <0 < l. 16 (1 +0х) 57. Пользуясь результатами предыдущего примера, оценить погрешность приближенного равенства fl Выяснить происхождение х и l +; х- ~ х2 при х=О,2. 1 2 . 103 . Отв. Меньше пнях +х ~ оценить xz 58. lncosx ::>:::- 2 61. arctg х ~ х- приближенных погрешность этих х3 3 . х4 х3 - 12 . 62. равенств при небольших значе• равенств: 2х5 х3 59. tg.x;:,::: х+ 3 + 15 . 60. arcslnx;:,::: х+ 6 . ех + е-х ;:,::: 1+ xz + х4 2 2 24 . ,F.--::.\ 63. In (х+ r l-x 21 ~ 5х3 ~ х-хz+т• Пользуясь формулой Тейлора, вычислить пределы выражений~ 64. lim х- о -, x-sin х xz ех-1-х-- 68. lim х -о х, (J.- ctg х). Отв, х· х 1 тв, 2 . 2 (tg x-sin х)-х3 66. 11m 5 х-о О Отв, . 65 1· 1n2 (1 +x.)-sin2 х О О • tm 1 х• • тв, • х ... о 1· p~Jх-х2 -} . 69. 67. -е- ln( 1 + ~)] · Оmв. О. Р~о е:2 -ctg2Х). Отв, : • ГЛАВА V ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ § 1. Постановка задачи Изучение количественной стороны различных явлений при роды приводится к установлению и изучению функциональной зависимости между участвующими в данном явлении переменными величинами. Если такую функциональную зависимость можно вы разить аналитически, т. е. в виде одной или нескольких формул, то мы получаем возможность исследовать ~у функциональную зависимость средствами математического анализа. Например, при исследовании явления полета снаряда в пустоте получается фор мула, дающая зависимость дальности полета от угла возвы шения а, и начальной скорости v0 : R t•i sin 2а. R g (g-ускорение силы тяжести). Получив эту формулу, мы имеем возможность выяснить, при каком а. дальность R будет наибольшей, при каком-наименьшей, каковы должны быть условия, чтобы при увеличении угла а, увеличивалась дальность и т. д. Рассмотрим другой пример. В результате изучения колебания груза на рессоре (вагон, автомобиль) получили формулу, показы вающую, как отклонение у груза от положения равновесия зависит от времени входящие в для данной рессоры, t: y=e-kt(Acosrot+Bьinrot). Величины k, А, В, ro, ~у формулу, имеют вполне определенное значение колебательной системы (они зависят от упругости от величины нием времени t) груза и т. д., но не изменяются с тече и поэтому рассматриваются нами как постоянные. На основании приведенной формулы можно выяснить, при каких значениях t отклонение у увеличивается с увеличением t, как меняется величина наибольшего отклонения в зависимости от времени, при каких значениях наблюдаются эти наибольшие отклонения, при каких значениях получаются наибольшие ско t t рости движения груза и ряд других вопросов. § 21 ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ 145 Вее перечисленные вопросы входят в понятие «исследовать поведение функции». Очевидно, выяснить все эти вопросы, вычисляя значения функции в отдельных точках (подобно тому, как мы это делали в гл. П}, весьма затруднтттельно. Целью настоящей главы является установление более общих приемов дения функций. § 2. В исследования пове Возрастание и убывание функции § 6 главы I было дано определение возрастающей и убы вающей функций. Теперь мы применим понятие производной для исследования возрастания и убывания функции. Т е о р е м а. 1) f (х), Е ели функция отрезке [а, Ь], возрастает на имеющая производную на этом отрезке, то ее проuзвод.ч,ая кд, отрезке [а, Ь] не отрицательна, т. е. f' (х} ~ О. 2) Если функция (х} непрерывна на отрезке [ а, Ь] и диффе ренцируема в промежутке (а, Ь), причем (х) О для а х Ь, то эта функция возрастает на отрезке [а, Ь]. f < < > f' До к аз ат ель ст в о. Докажем сначала первую часть теоремы. Пусть f (х) возрастает на отрезке [а, Ь]. Придадим аргументу х приращение Лх и рассмотрим отношение f(x+Лx)-f(x) (1) Лх Так как f (х)-функция возрастающая, то при Лх>О и f(x+Лx)<f(x) при Лх<О. f (х+Лх) > f (х) В обоих случаях f (х+Лх)-f (х) Лх а следовательно, lim f' (2) f(x+Лx)-f(x) :?:О Лх Лх-+ О т. е. О > ' ?" ' (х} ~ О, что и требовалось доказать. (Если бы было f' (х} < О, то при достаточно малых значениях Лх отношение (1) было бы отрицательным, что противоречит соотношению (2) .) Докажем теперь вторую часть теоремы. Пусть f' (х) > О при всех значениях х, принадлежащих промежутку (а, Ь). Рассмотрим два любых значения х 1 и х 2 , х1 < х 2 , принадле жащих отрезку [а, Ь]. По теореме Лагранжа о конечных приращениях имеем f (x2 )-f (Х1) = f' (s) (Х 2 -Х1), Xi < 6 < Х2. По условию f' (s) > О, следовательно, f (x2)-f (х1 ) > значит, что f (х)-возрастающая функция. О, а это и Аналогичная теорема имеет место и для убывающей (дифферен цируемой) функции, а именно: ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕI:IИ.Я ФУНIЩИЙ 146 [ГЛ. V Если f (х) убывает на отрезке [а, Ь], то f' (х) ¾О на этом отрезке. Если f' (х) О в промежутке (а, b),.nw f (х) убывает на отрезке [ а, < Ь ]. (Конечно, мы и здесь предполагаем, что функция у 3) о Рис. 98. непрерывна во всех точках отрезка всюду на (а, Ь) .) [ а, Ь] и дифференцируема 3 а м е ч ан и е. Доказанная тео рема выражает следующий геометри ческий факт. Если на отрезке [а, Ь} функция (х) возрастает, то каса тельная к кривой у= (х) в каждой точке на этом отрезке образует с осью Ох острый угол (J) или-в отдель f ных точках f - горизонтальна; тангенс f' этого = Рис. = угла не отрицателен; (х) tg (J) ~ О (рис. 98, а). Если фун кция (х) убывает на отрезке [а, Ь], 99. f то угол наклона касательной-тупой (или-в отдельных точках - касательная горизонтальна); тангенс этого угла не положителен (рис. 98, 6). Аналогично иллюстрируется и вторая часть теоремы. Теорема позволяет судить о возрастании или убывании функции по знаку ее производной. Пр им ер. Определить области возрастания и убывания функции у=х4. > Решение. Производная равна у' =4х 3 ; при х О имеем у'> 0-функ• ция возрастает; npl.'! х О имеем у' О-функция убывает (рис, 99). < § 3. < Максимум и минимум функций Определение максимума. Функция f(x) в точке х1 имеет максимум (maximum), если значение функции (х) в точке f Xt больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, §ЗJ МАI<СИМУМ И МИНИМУМ ФУНIЩИЙ содержащего точку xl' Иначе f (х 1 + симум при х = х 1 , если жительных и величине•) . 147 f (х) говоря, функция Лх) < f (Х1 ) при имеет .мак любых дх (поло отрицательных), достаточно малых по абсолютной f Так, например, функция у= (х), график которой изображен на рис. 100, имеет максимум при х=х 1 • О пределен и е мин им ум а. Функция (х) имеет минимум f (minimum) при Х= х 2 , если f (х 2 +Лх) > f (х2 ) при любых Лх-как положительных, так и отрицательнБ1Х1-до статочно малых по абсолютной величине (рис. Например, функция 100). у= х', рассмотренная в конце предыду щего параграфа (см. рис. 99), при х = О имеет минимум, так как у= О при х = О и у> О при других значениях х. !/ О а и :r:, а:: Рис. illz 011 ь а: :r:,1 Рис. 100. ii-s {1;11 101. В связи с определениями максимума и минимума с,11едует обратить внимание н-а следующие обстоятельства. 1. Функция, определенная на отрезке, может достигать мак симума и внутр и 2. минимума только рассматриваемого при значениях х, заключенных отрезка. Не следует думать, что максимум и минимум функции яв ляются соответственно ее наибольшим и наименьшим значениями на рассматриваемом отрезке: в точке максимума функция имеет наибольшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, до ст ат о ч но б л из к их к точке максимума, лишь по сравнению а в точке минимума-наименьшее с теми всех точках, достаточно значениями, близких которые она значение имеет во к точке минимума. f *) Иногда это опредмение формулируют так: функция (х) имеет макси мум в точке х 1 , если можно найти такую окрестность (а., ~) точки х 1 (Q, < х 1 < ~), < что для всех точек этой окрестности, отличных от х 11 выполняется неравенс1во f (х) f (xi}, < [ГЛ. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ 148 Так, на рис. V изображена функция, определенная на отрезке 101 [а, Ь], которая при х при х = х1 = х2 и х и х = х3 = Х4 имеет максимум, имеет минимум, но минимум функции при х = х 4 больше максимума функции при х = х 1 • При х = Ь значение функции больше любого максимума функции на рассматриваемом отрезке. Максимумы и минимумы функции называют экстремумами*) или экстремальными значениями функции. Экстремальные значения функции и их расположение на отрезке [а, в Ь] в известной зависимости от степени изменения характеризуют изменение функции аргумента. Ниже будет указан метод нахождения экстремальных значений. Теор ем а 1 (необходимое условие сущ ест во в а н и я эк стрем ум а). Если дифференцируемая функция у= (х) имеет в точке х = xi максимум или минимум, то ее производная обращается в нуль в этой точке, т. е. (Х 1 ) О. До к а з ат ель ст в о. Предположим для определенности, что в точке х Xf функция имеет максимум. Тогда при достаточно малых по абсолютному значению приращениях Лх (Лх =:f.= О) имеет f f' = = место f (х1 +Лх) < f (х1), случае знак т. е. f (х1 +Лх)-f (х 1 ) < О. Но в таком отношения f (х1 +Лх)-f (х1) Лх определяется знаком Лх, а именно: f(x1+Лx)-f(x1) >О при Лх<О, Лх f (х1 +лх)-f (х1) Лх <0 при Лх > О. Согласно определению производной имеем 1. f , (Х1) -_ д;~о f (х1 +лх)-f (х1) Лх • f Если (х) имеет производную при х = х 1 , то предел, стоящий справа, не зависит от того, как Лх стремится к нулю (оставаясь положительным или отрицательным). Но если Лх-+ О, оставаясь отрицательным, то (х 1 ) ~ О. Если же Лх-+0, оставаясь положительным, то f' (х 1) ~О. f' f' Так как (х 1 ) есть определенное число, не зависящее от спо соба стремления Лх к нулю, то два последних неравенства сов местимы только в том случае, если *) Ехtrеmum-крайний (лат.), f' (х1) = О. МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИЙ §3] теорема Аналогичным образом 149 случая для и доказывается минимума фунkции. Доказанной теореме соответствует следующий очевидный гео метрический факт: если в точках максимума и минимума функция (:х) имеет проиеводную, то касательная к кри 9 вой у= (х) в этих точках параллельна оси Ох. tg (jJ О, (х1 ) Действительно, из того, что f f f' = = где ер - угол между касательной и осью Ох, О (рис. 100). еледует, что (jJ Из теоремы 1 непосредственно вытекает = следствие: если при всех рассматриваемых зна f (х) имеет произ чениях аргумента х функция водную, то она может иметь экстремум (мак симум или минимум) только при тех значе ниях, при которых производная обращается в нуль. Обратное заключение неверно: не при вся ком значении, при производная котором об ращается в нуль, обязательно существует .1,~ак симум или минимум. Так, на рис. изобра 100 Рис. 102. жена функция, у которой при Х= х 3 произ водная обрюдается в нуль (касательная горизонтальна), но в этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума. Точно так же функция у= х3 (рис. = 102) при х = О имеет производную, равную нулю: у' Зх 2 lx=O = lx=O = о, но в этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума. Действительно, как бы ни была близка точка х к точке О, всегда х3 <О при х <О и х3 >О при х > О. !J у 1 а; Рис. -f f Рис. 103. х Рис. 104. 105. Мы исследовали тот случай, когда функция во всех точках не которого отрезка имеет производную. Как же обстоит дело в тех точках, где производная не существует? Мы покажем на примерах, что в таких точках может быть или максимум, или минимум, но может и не быть ни того, ни другого. П р име р 1. Функция 1I у= х не имеет производной в точке х =О (в этой точке кривая не имеет 9пределенной касательной), но в этой точке данная функция имеет минимум: у=О при х=О, тогда как для всякой точки х, О (рис. 103). отличной от нуля, имеем у > [ГЛ. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИ,Я ФУНIЩИй 150 V Пр им ер 2. Функция у= (l-x2/3) 3/2 не имеет производной при х=О, так как у'=-(1-х2/З) 1/2х-I/З обращается в бесконечность при х=О, но в этой точке функция имеет максимум: (О)= 1, (х) 1 при х, отличном от f нуля (рис. Пр 104). им ер 3. при х -+ О). В Функция у= для х < О; f < v;- не имеет производной при х=О (у'-+ оо этой точке функция f (0)=0; f (х) < О f (х) >О не имеет ни максимума, для х >О (рис. ни минимума: 105). Таким образом, функция может иметь экстремум лишь в двух случаях: либо в тех точках, где производная существует и равна нулю, либо в тех точках, где производная не существует. Заметим, что если производная не существует в какой-либо точке (но существует в близлежащих точках), то в этой точке производная терпит Значения в нуль или или р аз р ы в. аргумента, терпит при разрыв, которых производная называются обращается критическими точками критическими значениями. Из предыдущего следует, что не при всяком критическом зна чении функция имеет максимум или минимум. Однако, если в ка кой-либо точке функция достигает максимума или минимума, то эта точка наверняка является критической. Поэтому для разыска ния экстремумов функции поступают следующим образом: находят все критические точки, а затем, исследуя отдельно каждую крити ческую точку, выясняют, будет ли в этой точке максимум или минимум функции или же не будет ни максимума, ни минимума. Исследование функции в критических точках опирается на сле дующие теоремы. Теорема 2 (достаточные условия существования эк стр ем ум а). Пусть функция (х) непрерывна в некотором ин тервале, содержащем критическую точку xr, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки х 1 ). Если при переходе слева направо через эту точку про изводная меняет знак с плюса на минус, то при х= х1 функция имеет максимум. Если же при переходе через точку х 1 слева на право производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум. Таким образом, f если а) f' (х) >О при х < Xi, <О при х > Хн f' (х) > О при х > Хн f' (х) то в точке Xt функция имеет максимум; если б) f' (х) <О при х < Х11 то в точке х 1 функция имеет минимум. При этом надо иметь в виду, что условия а) или б) должны выполняться для всех зна чений х, достаточно близких к х 1 , т. е. во всех точках некоторой достаточно малой окрестности критической точки х1 • До к аз ат ель ст в о. ПрЕ:дположим сначала, что производная меняет знак с плюса н:а минус, т. е. что для всех х, достаточно § МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИЙ З] 151 бJшзких к точке х 1 , имеем f' f' >О <О (х) (х) при при х х < Х11 > х1 • Применяя теорему Лагранжа к разности f (x)-f (Х1) = f' (s) где s-точка, лежащая между х и 1) Пусть х х1 ; тогда < 6 < Х1, f' и, следовательно, (s) f (x)-f (xi), получим (Х-Х1), xl' > О, f' (s) (Х-Х1) < о f (x)-f (Х1) < 0, или f (х) < f (х1)• (1) 2) Пусть х > х1 ; тогда 6> и, Xi, f' следовательно, (6) < 0, f' (G) (Х-Х1) < 0 f (x)-f (х1) < О, или < f (х1)· f (х) Соотношения (1) и (2) (2) показывают, что для всех значений х, достаточно близких к х1 , значения функции меньше, чем значения функции в точке х1 . Следовательно, в точке xi функция f (х) имеет максимум. Аналогичным образом дока"!ывается вторая часть теоремы о до статочном Рис. условии 106 минимума. наглядно иллюстрирует смысл теоремы Пусть в точке х = х 1 имеем f' (х1 ) = =О и для всех х, достаточно близ- ких к точке х1 , выполняются венства f' (х) > О f' (х) < О при х при х 2. !/ нера < х1 , > х1 • < Тогда при х х 1 касательная к .т:4 ш кривой образует с осью Ох острый угол-функция возрастает, а при х х1 касательная образует с осью Ох тупой угол-функция убывает; при х xi функция переходит от возрастания к убыванию, т. е. имеет максимум. > > = Если в точке х 2 имеем f' (х2 ) = О и для всех значений х, до статочно близких к точке х 2 , выполняются неравенства f' (х) < О f' (х) > О при при х х < х2 , > х2 , ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ 152 < [ГЛ. V то при х х 2 касательная к кривой образует с осью Ох тупой угол-функция убывает, а при х х 2 касательная к кривой об разует с осью Ох острый угол-функция возрастает. При х = х 2 функция переходит от убывания к возрастанию, т. е. имеет ми > нимум. Если при х = х3 имеем f' (х 3 ) = О и для всех значений к, доста точно близких к х 3 , выполняются неравенства f' (х) > О f' (х) > О то функция при при = < х8 • > Х8 • < х3 , возрастает как при х вательно, при х х х так и при х > х3 • Следо х 3 функция не имеет ни максимума, ни минимума. Именно такой случай имеет место для функции у= х 3 при х Действительно, производная у' у' 1х = о = о, у' 1 х < о = = О. Зх 2 , следовательно, > о, у' 1 х > о > о, = а это значит, что при х О функция не имеет ни максимума, ни минимума (см. выше рис. 102). § 4. Схема исследонания дифференцируемой функции на максимум и минимум с помощью первой прои3водной На основании предыдущего параграфа можно сформулировать следующее прави.тю для исследования дифференцируемой функuии у= на максимум 1. 2. и f (х) минимум: Ищем первую производную функции, т. е. Находим критические значения f' (х). аргумента х; для этого: а) приравниваем первую производную нулю и находим действи- f' тельные корни полученного уравнения (х) = О; б) находим значения х, при которых производная f' (х) терпит разрыв. 3. Исследуем знак производной слева и справа от критической точки. Так как знак производной остается постоянным в интервале между двумя критическими точками, то для исследования знака производной слева и справа, например·, от критической точки х 2 (рис. 106) достаточно определить знак производной в точках а и В (х 1 <а< х 2 , х 2 <В< Х 3 , где х 1 и х 3 -ближайшие критические точки). 4. Вычисляем значение функции значении f (х) при каждом критическом аргумента. Таким образом, имеем следующее схематическое изображение возможных случаев: § 4) СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ Знаки производной f' 153 (х) при переходе через критическую точку х, Характер критнческоА точки < х, х .'С= Х1 J 1 х f' {xi)=0 + или - или + или - или f' f' f' П р им е р 1. разрывна (х1) =0 разрывна (х1) =0 разрывна {Х1) =0 разрывна > х, - Точка максимума + Точка минимума + Нет ни максимума, ни мини- - Нет ни мума (функция возрастает) мума максимума, ни мини- (функция убывает) Исследовать на максимум и минимум функцию хз у=т-2х 2 +зх+1. Реше и и е. 1) Находим первую производную, у' =х 2 -4х+з. 2) Находим действительные корни производной; х 2 -4х+3=0. Следовательно, Х1= (, х 2 =3. Произвqдная всюду непрерывна. Значит, других критических точек нет. 3) Исследуем критические значения и результаты исследования фиксиру• ем на рис. 107. Исследуем первую критическую точку ч = 1. Так как у'= (х-1) (х-3), ТО при х при х < 1 имеем у'=(-Н-) > О; > 1 имеем у'= ( +)-{-) < О, Значит, при переходе (слева направо) через значение х 1 1 производн~я меняеr знак с плюса на минус. Следовательно, прн х= 1 функция имеет мак = симум, а именно: Ylx=l=7/3. Исследуем вторую критическую точку х 2 =3: при х при х <3 >3 имеем у'=(+)-(-)< О; имеем у'= ( Н О, + +) > ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНIЩИй 154 Значит, переходе при через значение производная х=З (ГЛ. V меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, при х =3 функция имеет минимум, а именно: Уlх=З=1. На основании проведенного исследования строим график функции (рис. Пр им ер 2, Исследовать на максимум и минимум функцию y=(x-l) Решение. 1) V-х • 2 Находим первую производную: '-VJ х2-+ 2(x-l) v- -_ у - 2) 107). 3 Находим критические значения 5x-Z· з ,- • Зj/х х аргумента: а) находим точки, в кото• рых производная обращается в ну.'lь: !/ у , v; = 5х-2 =3 2 0, Х1 =5 ; б) находим точки, в которых производная тер пит разрыв (в данном со11учае обращается в !/ ,. !f={x-1) 1"/ii1 Рис. Рис. 107. 108. бесконечность), Такой точкой будет, очевидно, точка Х2=О. {Отметим, что при х 2 =0 рассматриваемая функция опредмена и непрерывна.) Других критических точек нет. 3) Исследуем характеJ? полученных критических точек. Исследуем точку Xi=2/5. Заметив, что ваключаем, что при х минимума у' 1х>2/5 > О, у' 1х<2/5 < О; = 2/5 функция имеет минумум. Значение функции равно у rх=2/5 = ( : - 1)V ~ = - Исследуем вторую критическую точку х у' 1х < о = > о. = О. у' 1х > о : в точке V :5 . Заl\fетив, что < о, заключаем, что при х О функция имеет максимум, причем у/ х == 0 исСJiедуемой функции изображен на рис. 108. = О. График § 51 155 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА МАКСИМУМ И МИНИМУМ Исследование функции на максимум и минимум с пttмощью второй производной §- 5, Пусть при х = х 1 производная функции у= в нуль, т. е. f' f (х) обращается (х1 ) =О.Пусть, кроме того, вторая производная f" (х) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки х 1 • Тогда справед.11ива следующая Теор ем а. Пусть f' теорема. (х 1 ) f" (х 1 ) < О, максимум, если = О; тогда при х = Xt функция имеет f" (х 1 ) > О. и .минимум, если До к аз ат ель ст в о. Докажем сначала первую часть теоремы. Пусть f" Так как, по условию, (х) непрерывна в некоторой окрестности точки х = х 11 то, очевидно, найдется некоторый маЛI!IЙ отрезок, ок ружающий точку х х 1 , во всех точках которого вторая производ = ная f"(x) будет отрицательна. Так как (х) есть первая производная от первой производной, (х) = (f' (х))', то из условия (f' (х))' О следует, что (х) убы вает на отрезке, содержащем точку х = xi (§ 2). Но (xi) = О; следовательно, на этом отрезке при х Х1. имеем f' (х) О, а при х х 1 имеем f' (х) О, т. е. производная f' (х) при переходе f" f" > через что точку х < < < = х1 в точке Х1. меняет знак функция f (х) с f' f' > плюса имеет на минус, максимум. а это значит, Первая часть теоремы доказана. Аналогичным образом доказывается вторая часть теоремы, а > > именно: если f" (х 1 ) О, то f" (х) О во всех точках некоторого отрезка, окружающего точку х 1 , но тогда на этом отрезке f" (х) (f' (х))' О и, следовательно, f' (х) возрастает. Так как f' (xi)=O, = > = f' то, значит, при переходе через точку Xf производная (х) меняет знак с минуса на плюс, т. е. функция (х) имеет минимум при f Х=Х1, f" Если в критической точке (х 1 ) = О, то в этой точке может быть или максимум, или минимум или не быть ни максимума, ни минимума. В этом случае исследование нужно вести первым спосо бом (см. § 4). Схему исследования экстремумов с помощью второй производ ной можно изобразить в следующей таблице: f' (х,) 1 о о о Пр и мер 1, Характер критической r• (Х,) точки 1 - +о Точка максимума Точка минимума Неизвестен Исследовать на максимум и минимум функцию у=2 sin x+cos 2х, [ГЛ. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНК:ЦИЙ 156 V Реш е н и е. Так как функция является периодической с периодом 2:п, то достаточно исследовать функцию на отµезке [О, 2:п]. Находим производную: 1) у' =2 2) cos х-2 sin 2х= 2 (cos х-2 sin х cos х) = 2 со, х (1-2 sln х). Находим критические ·значения аргумента: 2 cos х (1-2 sin Х1 = :тt/6, Х2 = :тt/2, х) =0, Хз = 5:тt/6, 3) Находим вторую производную: 4) Исследуем характер каждой критической точки: у"=-2 sin х-4 у " 1 х,=л/6 cos 2х. 1 1 = = -2-2-4·2 3 < о-• СJ1едовательно, в точке х 1 =:тt/6 имеем максимум: 1 1 3 Уlх=л/6 = 2 ·2+2=2 · Далее, у" 1х=л/ 2 =--2· 1+4-1 =2 > О. Следовательно, в точке х 2 =:тt/2 имеем минимум: I у Х=Л/2 В точке х 3 = 5:п/6 = 2 • 1- 1 = 1. имеем У"\х=5л/6= -2· ~ -4• ~ = Следовательно, при х 3 = 5л/6 -3 < О. функция имеет максимум: 1 3 1 YI Хз=5л/6 = 2 ·2+2 =2 · Наконец, у"/ х=Зл;2=-2•(-1)-4•(-1)=6 > О. Следовательно, в точке х 4 =3л/2 имеем минимум: у J х=Зл/2=2• (-1)-1 =-3. График исследуемой функции изображен на рис. 109. Покажем, далее, на примерах, что если в некоторой точ1<е x=xi имеем (х 1) = О и (х 1 ) = О, то в этой точке функция (х) может f' f" f иметь либо максимум, либо минимум, либо не иметь ни максимума, ни минимума·. Пр и м ер 2. Исследовать на максимум и минимум функцию y=l-x4. Ре ш.е ни е. 1) Находим критические точки: у'=-4х3, 2) -4х 3 =0, х=О. Определяем знак второй производной при х=О: у"=-12х 2 , у"{х-о=О. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНI(ЦИИ НА МАI(СИМУМ И МИНИМУМ § 5) 167 Следовательно, выяснить характер критичес1юй точки с помощью знака вто рой производной в данном случае нельзя. 3 V U=-=2sln~ + coi2a: Рис. 3) 109. Исследуем характер критической точки первым способом {см. У'/х<О > О, у' /х>О § 4): < О. Следовательно, при Х= О функция имеет максимум, а именно: Ylx=o=l. График рассмотренной функции изображен на рис. Рис. Рис. l!O. Пр и м е р 3. 110, 111. Ри:. 112. Исследовать на максимум и минимум функцию и=х6. Решение. По второму способу находим 1) у'=6х 5 , у'=6х 5 =0, х=О; 2) у"=30х 4 , ly"lx=o=O. Следовательно, второй способ ответа не дает. Прибегая к получаем у'/ х<О < О, у' 1х>О > 0. первому способу 1 158 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИ,Я ФУНl(ЦИЙ (ГЛ. V Следовательно, при Х= О функция имеет минимум (рис. 111 ). Пр и м е р 4, Исследовать на максимум и минимум функцию У=(х-J)З, Реше ни е, Второй способ: у' =3 (х-1) 2 , 3 (х-1) 2 =0, Х= 1;, y"Jx=l=O; у"=6(х-1), таким образом, второй способ ответа не дает. По первому у' J х< 1 Следовательно, при х= (рис. 112). § 6. Наибольшее и 1 > О, у' J х> 1 способу находим > О, функция не имеет ни максl;jмума, ни минимума наименьшее значения функции на отрезке f Пусть функция у= (х) непрерывна на отрезке [а, Ь]. Тогда на этом отрезке функция достигает наибольшего значения (см. § 10 гл. 11). Будем предполагать, что на данном отрезке функция (х) f имеет конечное число критических точек. Если наибольшее зна чение достигается внутри отрезка [а, Ь], то оче видно, что это значение будет одним из максиму мов функции (если имеется несколько максиму мов), а именно, наибольшим максимумом. Но мо жет случиться, что наибольшее значение будет достигаться на одном из концов Итак, функция на отрезке [ а, отрезка. Ь] достигает сво его наибольшего значения либо на одном из кон цов этого отрезка, либо в такой внутренней точ ке этого отрезка, которая является точкой максимума. То же самое можно сказать и о наи меньшем значении функции: оно достигается либо на одном из концов данного отрезка, либо в такой внутренней точке, которая является точкой мини мума. Из предыдущего вытекает следующее правило: если требуется найти наибольшее значение не прерывной функции на отрезке 1) 2) ----1$ Рис. 113. [ а, Ь ], то надо: найти все максимумы функции на отрезке; определить значения функции на к0нцах от f f резка, т. е. вычислить (а) и (Ь); 3) из всех полученных выше значений ции выбрать наибольшее; лять собой наибольшее функ- оно и будет представзначение функции на отрезке. Аналогичным образом следует поступать и нии наименьшего значения функции на отрезке. при определе § 71 159 ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ МАКСИМУМА И МИНИМУМА Пр им ер. Определить на отрезке значения функции у=х3-3х+3. наибольшее и наименьшее [-3; 3/2] Решение. 1) Находим максимумы и минимумы функции на отрезке [-3; 3/2]: у'=3х2 -3, 3х 2 -3=0, x1 =l, х 2 =-1, у"=6х, тогда Y"lx=I = === 6 > О. Следовательно, в точке х = l имеет место мунимум: g I х = 1 = 1. Да I < О, Определяем значение tf х= _ 1 = - 6 мум: у/ х=-1 =5, лее, 2) Следовательно, в точке функции х= - на. концах l имеет место макси отрезка: у/ х=З/ 2 = 15/8; У/х=-з=--15. Таким образом, наибольшее значение рассматриваемой функ ции на отрезке [-3; 3/2] у Jх=-З График =-15. § 7. = 5, есть у/ x=- I рассматриваемой а наименьшее функции зн&чение есть на рис. 113. изображен Применение теории максимума и минимума функций к решению задач С помощью теории максимума и минимума решаются многие за дачи геометрии, механики и т. д. Рассмотрим некоторые из таких задач. 3 ад а ч а 1. R. = ОА Дальность щенного с начальной скоростью орудия, наклоненного v0 под углом <р (рис. из 114) полета ядра (в пустоте), выnу у к горизонту, определяется формулой R= (g-ускорение v~ sin 2<р g силы тяжести). Опре делить угол <р, при котором дальность R. будет наибольшей при д'анной на чальной скорости v0 • Ре. ш е н и е. Величина пред ставляет собой функцию переменного угла <р. Исследуем эту функцию на 114, Рис. R. 2v~ cos dR 7ср" критическое значение <р 2<р g максимум отрезке О.;;;; <р.;;;; л/2: :rt =4 : 4v~ sin 2<р d2R -2 g Следовательно, при значении d<p <р =л/4 ! R. /q,=n/q =т R. 4v~ q, =n/4 дальность v~ Значения функции на 2v~ cos2<p ----=0, g =--<О g полета R. • имеет максимум . на концах отрезка [О; :rt/2] таковы~ R. 1(/)=О = 0 , R. 1(/)='Л/2 =•. Таким образом, найденный максимум и -есть искомое наибольшее зна• чение R.. 160 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ [ГЛ. V З ад а ч а 2. Какие размеры надо придать цилиндру, чтобы при данном объеме v его полная поверхность S была наименьшей? Решение. Обозначая через , радиус основания цилиндра и через h высоту цилиндра, будем иметь S=2лг 2 +2лгh. Так как объем цилиндра задан, по при данном r величина h определяется формулой v=rcr2 h, откуда h=-;. Подставляя это выражение h в формулу лr для S, получим S= 2лr2 + 2лr-; , или тег S = 2 ( л, 2 +..::..) . r Здесь v-заданное число. Таким образом, мы представили S как функцию одной независимой переменной r. Найдем наименьшее значение этой функции в промежутке О ~=2 dr (2л,-~) r2 2лr- ~ =0, dd2~ 1 =2 Следовате.,ьно, в точке r=r 1 r lim S = оо и r • о r r=r 1 r1 = r функция 2~[ , 1 r::::.r 1 > О. S имеет минимум. Заметив, что lim R. = оо, т. е. что при стремлении r к нулю или к беско• oo нечности поверхность S неограниченно возрастает, мы приходим к что в точке r= , 1 функция S имеет наименьшее значение. Ho если r= VV 2n , V v-V- 2л =2r. то h=л, 2 =2 того чтобы при данном объеме шей, оо; ' V (211:+ 2~) <r< Таким выводу, образом, для v полная поверхность S цилиндра была наимень высота цилиндра должна равняться его диаметру. § 8. Исследование функции на максимум и минимум с помощью формулы Тейлора В § 5 было замечено, что если в некоторой точке х = а имеем (а)= О и (а)= О, то в этой точке может быть либо ма ксимум, либо минимум, либо нет ни того, ни другого. При этом f' f" указывалось, что для решения вопроса в этом случае нужно ввести исследование первым способом, т. е. исследования путем знака = первой производной слева и справа от точки х а. Теперь мы покажем, что можно в этом случае исследование вести и с помощью формулы Тейлора, выведенной в § 6 гл. IV. Для большей общности предположим, что не только f" (х), но и все производные до п-го порядка включительно от функции обращаются в ну ль f' при х = f (х) а: (а)= f" (а)= .•. = ffn) (а)= О, (1) а t<n+l) (а) Предположим, далее, что f (х) =I=- О. имеет непрерывные производ ные до (п+ 1)-го порядка включительно в окрестности точки х=а. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА МАКСИМУМ И МИНИМУМ § 8] Напишем формулу Тейлора для равенства ( 1): f (х), 161 принимая во внимание (2) s- где число, заключенное между а и х. Так как f<n+lJ (х) непрерывна в окрестности точки а .и f<n+ 1 J(a)=l=0, то· найдется такое малое положительное число h, что при любом х, удовлетворяющем неравенству I х-а 1 < При будет h, этом t<n+lJ (х) =1= О. если t<n+lJ (а) > О, то и во всех точках интервала (a-h, a+h) будет / 1 п+ 1 > (х) > О; если f<n+l> (а)< О, то во всех точках этого интервала будет t<n+ 1>(х) < О. Перепишем формулу (2) в виде f (х) - f (а)= и рассмотрим различные (~~)1~; 1 f!n+ l) (s) (2') частные случаи. Первый случай. п нечетное. а) Пусть 1n+ 1 > (а)< О. Тогда найдется интервал (a-h, a+h), во всех точках которого (п+ 1)-я производная отрицательна. Если х есть точка этого интервала, то тоже находится между а - h и a+h и, следовательно, f<n+i> (s) <О.Так как п 1 -четное число, то (x-a)n+l > О при x=I= а, и поэтому правая часть в формуле (2') отрицательна. Следовательно, при х =1= а во всех точках интервала (а - h, a+h) имеем f(x)-f(a) <0, а это значит, что при х=а функ f s ция имеет + максимум. б) Пусть t<n+ 1>(а)> О. Тогда при достаточно малом значении h во всех точках х интервала (а -h, а+ h) имеет место f 1n+ 1 > (s) >0. Следовательно, правая часть формулы (2') будет положительна, т. е. при х=1=а во всех точках указанного интервала будет f (х) - f (а) > О, х = а функция имеет а это значит, что при Второй случай. п четное. Тогда п при х < Если + 1 нечетное а и х h > минимум. и величина (х - а)п+ 1 имеет разные знаки а. достаточно мало по абсолютной величине, то (п+ 1)-я произвС>дная во всех точках интервала (а же знак, что и в точке а. Следовательно, ные знаки при х < а и при х > h, а+ h) сохраняет тот имеет раз f (х) - f (а) а. Но это значит, что при х= а нет ни максимума, ни минимума. Заметим, что если при п четном f ~п+ 1 > (а)> О, то f (х) < f (а) для х < а и f (х) > f (а) для х > а. Если же при n четном f 1n+ 1 J (а) < О, то f (х) > f (а) для х < а и f (х) < f (а) для х > а. Полученные результаты можно образом. 6 Н. С. Пискунов, т. 1 сформулировать следующим ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНIЩИЙ 162 =а Если при х f' (а)= чет н о го f (х) f (х) V имеем f" (а)= ... = [<n> (а)= О и первая не обращающаяс51 в нуль производная изводная [ГЛ. порядка, то в t<n+i> (а) всть про точке а t<n+i> (а) < О; если f<n+r1> (а) > О. имеет мак с им ум, если имеет мин им ум, Если же первая не обращающаяся в нуль производная f<пн> (а) есть производная нечетно r о порядка, то в точке а функция не имеет ни максимума, ни минимума. При этом f(x) возрастает, если f (х) убывает, если t<n+i>(a)>O; t<n+ 1 > (а) < О. Пр им ер. Иаследовать на максимум н минимум функцию f (х) =х 4 -4х3+6х 2 -4х+ 1. Решен и е. Найдем критические значения функции f' Из (х)= 4х3-12х 2 + 12х--4=4 (х 8 -3х 2 +Зх-1). уравнения точку х= 1 (так 4 (х3-3х2 + Зх-1) = как данное О получаем единственную критическую уравнение имеет корень). Исследуем характер критической точки х= лишь один действительный 1: f" (х) = 12х 2 -24х+ 12=0 nри х= 1, f"' (х)=24х-24=1> при х= 1, f 1V (х) = 24 > О при любом х. Следовательно, при х § 9. =l f (х) функция имеет минимум. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба f Рассмотрим на плоскости кривую у= (х), являющуюся графи ком однозначной дифференцируемой функции (х). О п редел е н и е l. Мы говорим, что кривая обращена выпукло стью вверх на интервале (а, Ь), если все точки кривой лежат ни же JПОбой ее касательной на этом у. f интервале. Мы ращена говорим, что кривая выпуклостью вниз на об ин тервале (Ь, с), если все точки кри• вой лежат выше любой ее каса тельной на этом интервале. Кривую, q ао Рис. 1!5. На рис. с :с обращенную выпук лостью вверх, будем называть выпуклой, а обращенную выпуклостью ВНИЗ - вогнутой. 11-5 показана кривая, выпуклая на интервале (а, Ь) и вогнутая на интервале (Ь, с). ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ КРИВОЙ 163 Направление выпуклости кривой является важной характе ристикой ее формы. Настоящий параграф посвящен установлению признаков, по которым можно было бы, исследуя функцию у= (х), судить о направлении выпуклости ее графика на раз f личных интервалах. Докажем следующую теорему. Теорем а 1. Если во всех точках интервала (а, Ь) вторая производная функции f(x) отрицательна, т. е. f"(x) <0, то кривая у= (х) на этом интервале обращена выпуклостью вверх (кривая выпукла). До к аз ат ель ст в о. Возьмем в интервале (а, Ь) произволь ную точку х= х0 (рис. 115) и проведем касательную к кривой в точке с абсциссой х= х0 • Теорема будет доказана, если мы f установим, что все точки кривой на интерnале (а, Ь) лежат ниже этой касательной, т. е. что ордината любой точки кривой у= f (х) меньше ординаты у касательной при одном и том же значении х. Уравнение кривой имеет вид y=f(x). Уравнение же касательной к кривой (1) в точке х= х 0 имеет вид у- f (хо)= f' (Хо) (х - Хо) или У= f (Хо)+ f' (х0 ) (х- Хо)• (2) Из уравнений (1) и (2) следует, что разностt ординат кривой и касательной при одном и том же значении х равна У - У= f (х) - f (Хо) - f' (Хо) ( Х - Х0 ). Применяя теорему Лагранжа к разности у-у= f' (с) (х-х0 ) f (x)-f (х 0 }, получим -f' (х 0 ) (х- Х0 ) (где о лежит между х0 и х), или y-y=[f' (c)-f' (х0)](х-х 0). К выражению, стоящему в квадратных скобках, снова применяем теорему Лагранжа; тогда у-у= f" (с1 ) (с - х0 ) (х- х0) (где с 1 лежит между х0 и с). Рассмотрим- сначала тот случай, когда х < > > > х0 • (3) В этом случае х0 с 1 <с< х; так как х-х0 О, с-х 0 О и так как, кроме того, по условию, f" (с1 ) О, то из равенства (3) следует, что у-у<О. < < < Рассмотрим теперь случай, когда х х0 • В этом с-лучае х<с< < х0 и х- х0 < О, с - х0 < О, а так как по условию f" (с 1 ) <0, Ct то из равенства (3) следует, что у-у< О. 641 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУН!<ЦИй 164 [ГЛ. V Таким образом, мы доказали, что любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой, каковы бы ни были значениях и х 0 на интервале (а, Ь). А это и значит, что кривая выпукла. Теорема доказана. Аналогичным образом доказывается следующая теорема. Теорем а 1'. Если во всех точках интервала (Ь, с) вторая f (х) производная функции положительна, т. е. f" (х) > О, то у Рис. кривая у= f (х) Рис. 116. на этом интервале обращена 117. выпуклостью вниз (кривая вогнута). 3 а меч ан и е. Содержание теорем 1 и 1' можно иллюстрировать г~ометрически. Рассмотрим кривую у= (х), обращенную выпук лостью вверх на интервале (а, Ь) (рис. 116). Производная (х) равна тангенсу угла а наклона касательной в точке с абсциссой f х, т. е. f' (х) = tg а. Поэтому f" (х) = [tg а.К. f' Если f" (х) < О для всех хна интервале (а, Ь), то это значит, что tg а убывает с возраста нием х. Геометрически нагляден тот факт, что если tg а убывает с возрастанием х, то соответствующая кривая выпукла. Анали тическим доказательством этого факта и является теорема 1. Подобным же образом иллюстрируется геометрически и тео рема 1' (рис. 117). tI р им ер 1. Установить интервалы выпуклости и вогнутости заданной уравнением у=2-х 2 • Реш е ни е. Вторая производная у"= -2 О для всех значений довательно, кривая всюду обращена выпуклостью вверх (рис. 118). < Пр им ер 2. Кривая задана уравнением у=ех. Так как всех значений х, то, следовательно, кривая всюду вогнута, кривой, к. Сле > у"=ех О для т. е. обращена выпуклостью вниз (рис. 119). Пример 3. Кривая определяется уравнением у=х 3 • Так как у"=6х, то у• О при х О и у'' О при х О. Следовательно, при х О кривая обращена выпуклостью вверх, а при х О-выпуклостью вниз (рис. 120). < < Определение > 2. > > < Точка, отделяющая выпуклую часть непре рывной кривой от вогнутой, называется точкой перегиба кривой. На рис. 120, 121 и 122 точки О, А и В суть точки перегиба. Очевидно, ,что в точке перегиба касательная, если она суще ствует, пересекает кривую, так как с одной стороны от этой ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ КРИВОЙ § 9] точки кривая лежит над под касательной, а с 165 другой стороны - нею. Установим теперь достаточные условия того, что данная точка кривой является точкой перегиба. Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением у= (х). Если f" (а)= О или f" (а) не существует и при переходе f через у Рис. 118. Рис. значение х = а производная с абсциссой х =а f" Рис. 119. (х) меняет знак, то точка кривой есть точка перегиба. До к аз ат ель ст в о. 120. 1) Пусть f" (х) < О при х <аи f" (х) >0 при х> а. Тогда при х < а кривая обращена выпуклостью вверх и при х а - выпуклостью вниз. Следовательно, точка А кривой с абс циссой х=а есть точка перегиба (рис. 121). > и 11 а) oJ о о а Рис. 2) Если f" (х) > О А а, 121. при х < Ь и f" (х) < О при х > Ь, > то при х < Ь кривая обращена выпуклостью вниз, а при х Ь - выпук лостью вверх. Следовательно, точка В кривой с абсциссой х Ь есть точка перегиба (см. рис. = 122). П р и мер 4. Найти точки перегиба и определить интервалы выпуклости и вогнутой кривой у=е-х 2 (кривая Гаусса). ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИ.Я ФУНI(ЦИЙ Ню Решение. l) V .Находим первую и вторую производные: у'= -2хе-х 2 , 2) [ГЛ. у"=2е-х 2 (2х 2 - 1). Первая и вторая производные существуют всюду. Находим значениях, при которых у"=О: 2е-Х 2 (2х2 -1)=0, х1 =-1/У2, x2 =l/'V2, 3) Исследуем полученные значения: при х при х вторая при производная xi = -1 V2 < - l/Jf2 > - l/V2 меняет знак на кривой при имеем у" имеем у" > О, < О; переходе через точку имеется точка x:r., перегиба; ее следовательно, координаты: (-l/V2, e- 112)i при х при х < I/Y2 > l/V2 имеем у" имеем у'' < О, > О. Следовательно, при х2 = l/V2 на кривой также имеется точка перегиба: ее координаты: (1/V2, е- 112 ). Впрочем, существование второй точки перегиба вытекает непосре.цственно из симметрии кривой относительно оси Оу. 11 9 в 11) D {J о Рис. 4) 122. Из предыдущего следует, что при --ео < х < -1/V2 кривая вогнута, при - l/V2 < х < 1/V2 кривая выпукла, при 1/У 2 < х < оо кривая вогнута. + 5) Из выражения первой производной у'= -2хе-х 2 следует, что у' >О g' < при х О при х < О, > О, т. е. функция возрастает, т. е. функция wбывает, у'=О при х=О. В этой точке функция имеет максимум, а именно: g= 1. На основании проведенного исследования легко построить график (рис. 123). у=х 4 • Пр им ер 5. Найти точки перегиба кривой Р е ш е н lf е. l) Находим вторую производную: у•= 12х 2 • 2) Определяем точки, в которых у"=О: 12х 2 =0 1 х=О, 3) Исследуем полученное значение х=О: > у'' О при х у"> О при х < О-кривая > О-кривая вогнута, вогнута. Следовательно, кривая не имеет точек перегиба (рис. 124). кривой АСИМПТОТЫ § 10) 167 Пример 6. Найти точки nерегиба кривой у=(х-1) 1 1 8 • Решение. 1) Находим nервую и вторую nроизводные: у'=~ (х-1)-1/з, у"=-: (х-1)-о/з, 2) Вторая производная существует (у"= :1: оо ), нигде не обращается в нуль~ при Jt= l она не и D 1 "yZ Рис. 123. !/ Рис. 3) Рис. 124. Исследуем значение х= у"> О nри х О при х у" < Следовательно, nри Х= l 125. 1, < 1-кривая > l - кривая вогнута, выпукла. имеется точка перегиба; это-то-чка = 1, Заметим, что у'= оо nри х кальную касательную (рис. 125). § 1О. (1; -О). кривая в этой точке имеет верти• т. е. Асимптоты Очень часто приходится исследовать форму кривой у= f (х), а значит, и характер изменения соответствующей функции пр и не о гр ан и ч е н н ом в о з р а ст ан и и (по абсолютной величине) абсциссы или ординаты переменной точки кривой или абсциссы и ординаты одновременно. является тот, менной точки когда При этом· важным частным случаем исследуемая в бесконечность кривая *) при удалении ее пере неограниченно приближается к некоторой прямой. *) Мы говорим, что nеременная точка М движется по кривой в бесконеч ность, если расстояние эrой растает. точки от начала координат неограниченно воз ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНIЩИА 168 [ГЛ. V Оп ред е .пен и е. ПряМJ!Я А называется асимптотой кривой, если расстояние б от переменной точки М кривой до этой прямой лри удалении точки М в бесконечность стремится к нулю (рис. 126 и 127). 11 о Рис. Рис. 126. Мы будем в дальнейшем различать (т. е. параллельные оси ординат) 127. асимптоты вертикальные и наклонные (т. е. не парал лельные оси ординат). 1. Вертикальные ас11:мптоты. Из определения асимптоты следует, что если lim (х) = оо, или lim (х) = оо, или f f х ➔ а+о lim !/ х-+4'-О f (х) = оо, то прямая х ➔ а есть '!J=/=s асимптота кривой обратно, если асимптота, то написанных прямая щ 5 f (х); и х = а есть выполняется одно из равенств. Следовательно, о у= Х=а для отыскания вертикальных асимптот нужно найти такие значения х = а, при приближе f нии к которым функция у= (х) стремится к бесконечности. Тогда прямая Х=а будет вертикальной асимптотой. Рис. П р име р 128. вертикальную 1. Кривая у асимпrоту у-+ оо при х -+ 5 (рис. = -2-5 х- х=5, так имеет как 128). Пр им ер 2. Кривая g= tg х имеет бесконечно много вертикальных асимп тот: х n/2, х Зn/2, х 5n/2, ... Это следует из того, что tg х-+ оо • =± =± =± когда х стремится к значениям n/2, Зn/2, (рис. 129). как 5n/2, ... или -n/2,-3n/2,-5n/2, ... Пример 3. Кривая g=e 11x имеет вертикальную асvмптоту х=О, так lim e1 fx = оо (рис. 130). х ➔ +О II. Наклонные асимптоты. Пусть криваяу=f(х)имеет наклонную асимптоту, уравнение которой имеет вид у=kх+ь. (1) § 10] АСИМПТОТЫ Определим числа k и Ь (рис. на кривой, и N (х, у) - 131). 169 Пусть М (х, у)-точка, лежащая точка, лежащая на асимптоте. Длина ·у Рис. 129. 1 о Рис. Рис. 130. 13!. отрезка МР равна расстоянию от точки М до асимптоты. По усло вию (2) Если обозн.ачим через ер угол наклона к оси Ох, то из f::::.N МР найдем NM= МР. COS<p Так как (J) дущего постоянный угол (не равный л/2), то в силу преды равенства lim NM=O, и наоборот, из равенства (2') NM = IQM-QNI = следует равенство (2') (2). Но IY-YI =lf (x)-(kx+b) 1, ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИ,Я. ФУНIЩИЙ 170 и равенство (2') [ГЛ. V принимает вид [f (x)-kx-b]. = lim О. (3) Х-++оо Итак, если nрямая (1) есть асимптота, то выполняется равенство (3), наоборот, если nри постоянных k и Ь выполняется равенство (3), то прямая у= kx Ь есть асимптота. Определим теперь k и + Ь. Вынося х за скобки в равенстве lim Х->- +со (3), х [ f (х) -k Х получаем: !!_] = О. Х Так как х-+ оо, то должно выполняться равенство lim Х->-+со [ f (х) Х -k--!?...] = О. Х При Ь постоянно:v1 lim !?.. = О. Следовательно, lim [' (х) - k] = О, а:->-оо Х х➔ +со .'С или (4) Зная k, из равенства (3) находим Ь: Ь= lim [f (х) -kx]. (5) X-++cxi Итак, если прямая у= kx + Ь есть асимптота, то k и Ь находятся по формулам (4) и (5). Обратно, если существуют пределы (4) и (5), то выполняется равенство (3) и прямая у= kx+b есть асимптота. Если хотя бы один из пределов (4) или (5) не существует, то кривая асимптоты не имеет. Заметим, что мы проводили исследование применительно к рис. 131 при х-++ оо, но все рассуждения справедливы и для случая х-+ Пр им ер 4. оо . Найти асимптоты кривой у= Решение. 1) х 2 +2х-1 х • Ищем вертикальные асимптоты~ У-->-+оо при х-+-0, у-+-(Х) при-~- +о. Следовательно, прямая х= О есть вертикальная асимптота данной кривой. 2) Ищб1 нак.~онные асимптоты: k= lim ili • ± у -= 00 Х lim Х ->- ± со х 2 +2х-1 Х2 s11) ОБЩИЙ ПЛАН ИССЛЕДОВАНИЯ: ФУНI(ЦИЙ '1'. е. k= l, Ь= lim [у-х] ,С➔±Ф • w. = [х 2 +2х-1 . -=« lim 171 х Х :1.:00 ] = lim Х ➔ ±оо x2+2x-l-x2] ____ [ _.;._ Х = lim Х, ➔ ±оо [ 2 - 1] - =2, Х е. Ь=2. Следовательно, прямая у=х+2 есть наклонная асимптота данной кривой. Для исследования взаимного расположения кривой и асимптоты рассмот рим разность ординат l'ОТli1 при одном кривой и асимп- и том х2+2х-1 же значении х: у (х+ 2)=-.!... х х > При ,с О эта разность отрицательна, а при ,с< О-положительна; следователь• ио. nри х >О асимптоты, при кривая х (рис. 132). Пр им ер лежит < О-выше ниже асимптоты 5. Найти асимптоты кри вой у=е-х sln х+х. Решение. 1) Вертикальных асимп тот, очевидно, нет. 2) Ищем наклонные асимптоты: l. . k = 1m -у = 11m +CXI X• Х Х➔ + = Ь = lim е-х lim Х ➔ ТОО sln х+х Х 00 [-е-х sln х х [е-х sin х+х-х] = +l] = 1, = Рис. lim e-xsinx=O. 132. Х-+-+Ф Следоватепьно, прямая у=х есть наклонная асимптота при х---+-+ое. Заданная кривая не имеет асимптоты при х---+- - ао. Действительно, у lim - ,С ➔ -00 Х не существует, так как (Здесь первое у е-Х Х Х -=-slnx+I . слагаемое неограниченно довательно, предела не имеет.) § 1t. возрастает при х --+--со и, сле Общий план исследования функций и построения графиков Под «исследо1щнием функции» обычно понимается разыскание: 1) естественной области существования функции; ·2) точек разрыва функции; 3) интервалов возрастания и убывания функции; 4) точек максимума и минимума, а также максимальных п минимальных значений функции; 5) областей выпуклости и вогнутости графика, точек перегиба; 6) асимптот графика функции. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИ.Я ФУНКЦИЙ 172 [ГЛ. V На основании проведенного исследования строится график функции (иногда целесообразно намечать элементы графика па раллельно с исследованием). а меч ан и е 3 1. Если исследуемая функция у= f (х) четная, т. е. такая, что при изменении знака аргумента значение функции не изменяется, т. е. есJ!и f (-х) = f (х), то достаточно исследовать функцию и построить ее график при положительных значениях аргумента, принадлежащих области определения функции. При отрицательных значениях аргумента график функции строится на том основании, что граlf)ик четной функции симметричен относительно оси ординат. Пр им ер Пример рис. у=х 2 Функция Функция 1. 2. четная, так как (-х) 2 =х 2 (см. рис. 5). четная, так как cos(-x)=cosx (см. y=cosx 16). f 3 а меч ан и е 2. Если функция у= (х) нечетная, т. е. та кая, что при изменении аргумента функция меняет знак, т. е. если f (- х) = -f (х), то эту функцию достаточно исследовать при положительных зна чениях аргумента. График нечетной функции симметричен отно сительно начала Пример Пр им ер (см. рис. 3 3. координат. Функция у=х3 нечетная, так как (-х) 3 =-х3 (см. рис. Функция 4. y=sin х нечетная, так как sin (-х) = 7). -sin х 15). а меч ан и е 3. Так как знание одних свойств функции позволяет сделать вывод о других ее свойствах, то иногда поря док исследования целесообразно выбирать, исходя из конкретных особенностей данной функции. Так, например, если мы выяснили, что заданная функция непрерывна и дифференцируема, и нашли точки максимума и минимума этой функции, то тем самым мы уже определили и области возрастания и убывания функции. Пр и мер 5. Исследовать функцию у= х 1 +,х 2 и построить ее график. < < Решение. 1) Область существования функции-интервал- оо х оо. Сразу отметим, что при х О имеем у< О, а при х О имеем у> О. 2) Функция всюду непрерывна. З) Исследуем функцию на максимум и минимум: из равенства <+ < > 1-х 2 у'= (1 +х2)2 о находим критические точки: х 1 =-1, х2 =1. Исследуем характер критических точек: при х при х <- 1 имеем у' < О; >-1 ИМС€М у'> о. ОБЩИЙ ПЛАН ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНI<ЦИй §11) 173 Следовательно, nри х=-1 функция имеет минимум: Ymin =у\ x=-i=-0,5. Далее, <1 >1 nри х при х Следовательно, при х = 1 функция имеем у' имеем у' > О; < О. имеет максимум; Ymax =У lx=1=0,5. 4) Определим области возрастания и убывания функции: nри -оо при при -1 l < х <-1 <х<1 < х < + оо имеем у'< О-функция убывает, имеем у' имеем у' > О-функция < О-функция возрастает, убывает. 5) Определим области выпуклости и вогнутости кривой и точки перегиба: из равенства о у" получаем Исследуя у" как функцию от х, при при при при - оо < х < - уз -Vз < х < о о< х < Vз уз < х < оо находим у"< О-кривая выnуклая, > О-кривая у" вогнутая, у"< О-кривая выпуклая, + у" > О-кривая вогнутая. Следовательно, точка с координатами х = - УЗ, у= - УЗ/4 есть точка пе региба; точно так же точки (О, О) и (уз, УЗ/4) суть точки перегиба. 6) Оnределим асимптоты кривой: при х + оо у--,. О, nри Х-+-оо у-+0. ---• Следовательно, прямая у=О есть единственная наклонная асимnтота. Вертикальных асимnтот кривая не имеет, так как ни для одного конеч ного значения х функция не стремится к бесконечности. !/ Рис. 133. График исследуемой кривой изображен на рис. 133. Пр им ер 6, Исс.rrедовать функцию У= V 2ах2 -х3 (а> О) и построить ее график. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФVНКЦИй 174 [ГЛ. Р~е ш е ни е. 1) Функция onpeдeJieнa при всех значениях 2) Функция всюду непрерывна. З) ИссJiедуем функцию на максимум и минимум: у'- 4ах-Зх 11 V ;,. 4а-3х V х (2а-х)а . З --3-;-V,=(2=ax=z=_=x3=)8 Производная существует всюду, за исключением точек .t:1 =0 и х2 =2а. ИссJiедуем предельные значения производной при х--о и при х-+о. 4а-Зх llm «➔ -о 3 при х V х V (2а- х)11 -оо, . l1m Х➔ +О 3 V х4а-3х 3 V (2a-xr < О будет у' < О, при х > О будет у' > О. Следовательно, при х=О функция имеет минимум. Значение функции в етой точке равно нулю. = Исследуем теперь функцию в другой критической точке х2 2а. При х- 2а производная также стремится к бесконечности. Однако в данном слу чае для всех значений х, близких к 2а (находящихся как справа, так и слева от точки 2а), производная отрицательна. Следовательно, в этой точке функция не имеет ни максимума, ни мlfНимума. В точке х 2 =2а, так же как и вблизи этой точки, функция убывает; касательная к кривой в этой точке вертикальна .. При х=4а/3 производная обращается в нуль. Исследуем характер атой критической точки. Рассматривая выражение первой производной, замечаем, что при х < 4а/3 будет у' > О, при х > 4а/3 будет у' < О. Следовательно, при 2 а х=4а/3 функция имеет максимум: YmaJt=З v4. 4) На основании проведенного исследования получаем области возрастания и убывания функции-: !J при - оо при О< х при 4а/3 < х < О функция убывает 11 < 4а/З функция < х< возрастает, + оо функция убывает. 5) Определяем области выпуклос ти и вогнутости кривой и точки пере гиба: вторая производная !I'= 8all 9x4 f-l (2а-х)Ь13 ни в одной точке не обращается в нуль. Однако существуют две точки, в которых вторая производная терпит разрыв: это точки Х1=0 И Х11=2а, Рис. > 134. Исследуем знак второй производной вблизи каждой из этих точек: nри х < О имеем у•< О-кривая обращена выпуклостью вверх; при х > О имеем у"< О-кривая обращена выпуклостью вверх. Значит, точка с абсциссой ..t=O не является точкой перегиба. При х < 2а имеем < О-кривая обращена выпуклостью вверх; при !I' х 2а имеем у• >О-кривая обращена выпуклостью (2а; О) на кривой является точкой перегиба. вниз. Значит, точка ИССЛЕДОВАНИЕ I<РИВЫХ, ЗАДАННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСI(И §12) 6) 175 Определяем асимптоты кривой: k= lim JC • ь_ 11m « ➔ ±оо }!_= lim ±oo Х [V2ах2- Х ➔ ±оо lim 3у'"2 а-1=-1, V 2axz_x3 Х ...-д+ - х]- 1·1m Х ➔ ±оо V Х ➔ .::::оа Х 2ах2-х3+х3 (2ах2-х3)2-х 2ax2-.r+x2 V 2а з· Следовательно, nрямая 2а у=-х+з есть наклонная асимnтота кривой у= V 2ах2 -х3 , График исследуемой фунК• ции изображен на рис. § 12. 134, ИссJiедование кривых, заданных параметрически Пусть кривая задана параметрическими уравнениями x=q>(t), у=ф(t). (l) В этом cJiyчae исследование и построение кривой проводятся ана логично тому, как это было сделано для кривой, заданной уравне нием у= f (х). Вычисляем производные dx dt =q>, (t) ' ~dy = .1,' (t). ai (2) 't' Для тех точек кривой, вблизи которв1х кривая является графиком некоторой функции у= f(x), вычисляем производную dy 'Ф' (t) dx = ер' (t) • (3) t = tr, Находим значения параметра t 2 , • • • , tk, при которых хотя бы одна из производных ер' (t) или 'Ф' (t) обращается в нуль или терпит разрыв. (Такие значения мы будем называть критиче скими значениями.) По формуле (t 2 , t 3 ), лов знак (xr, ••• , Ха), (tk-1.• tk), (ха, Ха), t (3) в каждом из интерваJiов (t 1 , t 2), а следовательно, и в каждом из интерва ••• , (xk-i• xk) (где xi=q> (tд) определяем 2, тем самым определяем области возрастания и убывания. Это дает также возможность определить характер точек, соответ ствующих значениям параметра t 1 , t 2 , ••• , tk. Далее, вычисляем d 2y dx2 = ,~,п (t) ер' (t)-<p" (t) 'Ф' (t) (ер' (t)]З ( 4) • На основании этой формулы определяем направление выпуклости кривой в каждой точке. Для нахождения асимптот находим такие значения t, при при ближении к которым или х, или у е-тремятся к бесконечности, и ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ: ФУНI<ДИЙ 176 [ГЛ. V такие значения t, при приближении к которым и х, и у стре мятся к бесконечности. Затем производим исследование обычным способом. Некоторые особенности, появляющиеся при исследовании кри вых, заданных П р и м ер параметрически, выясним на примерах. Исследовать кривую, заданную уравнениями 1, x=acos3 t, (а>О). y=asin 3 t (1 ') Решение. Величины х и у определены для всех значений t. Но так как функции cos 3 t и sin 3 t периодические с периодом 2л, достат<>чно рассмот реть изменение параметра t в пределах от О до 2л; при этом областью изме нения х будет отрезок [ -а, а] и областью изменения у будет отрезок [-а, а]. Следовательно, рассматриваемая кривая асимптот не имеет. Далее, находим '{ft=3asin 2 tcoэt. ~~=-3acos 2 tsint, Эти производные обращаются в нуль при dy dx На основании формул Область изменения t t < л/2 n/2 < t < л О< < t < 3л/2 Зл/2 < t < 2л n t=O, (2') л/2, л, 3л/2, 2л. Определяем 3asin 2 tcost = - t t. -За cos 2 t sin t g (2'), (3') (3') составляем следующую таблицу: С1ютветствующая область нэмененц,f! х Соо,:ветствую• щая область из- а>х>О О<у<а менения у О> х >-а а>у>О -а<х<О О> у >-а О<х<а -а<у<О Знак dy dx - Характер изменения у как функции от х (Y=f (х)) Убывает + Возрастает + Возрастает - Убывает Из таблицы следует, что уравнения (1 ') определяют две непрерывные функции вида y=f (х) при О...;;t~л будет у~О (см. две первые строчки таблицы), при л...;; t~2л будет у~О (см. две последние стрvчки таблицы), Из формулы (3') следует: lim dy=oo t • :rr.12 dx и lim х➔ зл;2 dy=oo. dx В этих точках касательная к кривой вертикальна. Далее, находим: dyl dt i=O=O, dyl -о dt t=n-' dyl -о dt 1=2:rr.- • В этих точках касательная к кривой горизонтальна. Затем находим: d2y dx 2 За cos 4 t sin t · ИССЛЕДОВАНИЕ КРИВЫХ, ЗАДАННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ § 12] 177 Оrсюда следует: d2y dx 2 d2y dx 2 >О при О< <О при зt t < з~:-кривая < t < 2л - вогнута, кривая выпукла. На основании результатов исследования можем построить кривую (рис. Эта кривая называется астроидой. 135). у Рис. Пр и м ер 2. Построить 135. кривую, заданную уравнениями (декартов лист) Заt 3at2 У=1+tз Решение. Обе функции при етом определены х=1+tз• (а>О). при всех (1 ") значениях t=-1, t• t• . 11m х= . I1m у= -1-0 -1-0 Iim t • -1+0 t• t• + . 11m 3at l+t3= . 11m 3at2 l+t3=-oo; -1-0 -1-0 х= -оо, lim t, кроме оо, У=+ оо. t • -1+0 Заметим, далее, что Н • аидем dx dt и х=О, у=О при t=O, х--+О, у--+0 при х--+0, у--+О при t--++oo, t-• -oo. dy dt : dy dt= 3at (2 - / 3) (l+tз)2 . (2") ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНl(ЦИй 178 Для nараметра t [ГЛ. V nолучаем следующие четыре критических значения2 Далее, находим t (2-t3) 2(~-t 3) На основании формул (1 "), (2"), (3") Соответствующая Область изменения t < t<-l -l<t<O составляем таблицу, область изменения Соответствующая область изменения х у Знак dtJ dx О<х<+оо О>у>-оо - -оо<х<О +oo>g>O - -оо vV2 v- v- v- vvv- о<,< 11V2 О<х<а 1JV2 < t < V2 а 4>х>а v- а 2 -Et<+co Из формулы (З") 0 2 о< и< а 4 2 а >х>О 2<у<а а 4 4 >g>O + - + Характер изменения q iscaк функции от х (g=f (Х)) Убывает Убывает Возрастает Убывает Возрастает находим: (3") dyl i1l=O =О, -оо dx i=oo • х=О) ( у=О х=О) ( у=О Следовательно, начало координат кривая nересекает дважды: с касательной, параллельной осп Ох, и с касательной, параллельной оси Оу. Далее, В этой точке касательная к кривой вертикальна. v2 ~~-о при t= (х=а v2, у=а i/4). В этой точке касательная к кривой горизонтальна. Исследуем вопрос о суще• сrвовании асимптоты: k- . . у 11m - - 11m - х-+оо Х . Ь= I1m (y-kx)= «: ➔ +оо t• lim -1-0 - t• -1-0 Заt 2 ( Заt l (l + tз) +t Заt ] i+tз -(-1) I+tз [ 3at 2 • 3) l, = [Заt (t+ l)] . 1' ,Заt 1. =t • ~~-o l+t3 =t • ~~-o l-t+t2 а. I< УПРАЖНЕНИЯ ГЛАВЕ 179 V Следовательно, nрямая у=-х-а является асимnтотой х-++оо. Аналогичным образом найдем: ветви кривой при k= lim Л..=-1, Ь= lim (y-kx)=-a. Х➔ -оо ~➔ -оо Х Таким образом, найденная nрямая ямяется асимптотой и JU1J1 ветви кривой nри х-+-оо. Рис. 136. На основании 11роведенного исследования строим кривую (рис. }36). Некоторые вопросы, связанные с исследованием кривых, будут дополни тельно рассмотрены в главе VIII, § 19 «Особые точки кривой». Упражнения к rааве V Найти экстремумы функций: х3 1. у=х2 -2х+З. Отв. Ymln=2 при x=l. 2. u= 3 -2x2 +Зx+l. Отв, 7 Уmах=з при x=l, Ymin=l при х=З. 3. у=х3-9х2 +15х+з. Отв. Ymax=IO при X=l, Ymin=-22 nри х=Б. 4. у=-х4 +2х2 • Отв. Ymax=l при Х= ± 1, Ymin=O при х=О. 5. у=х 4 -Вх 2 +2. Отв. Ymax=2 при. Х=О, Ymin=-14 при Х= ± 2. 6. у=3х 0 - 125х3+216Ох. Отв. Максимум nри х=-4 и х=З, минимум при х=-3 и х=4. 7. y=2-(x-J)2' 3 • Отв. Ymax=2 nри x=I. 8. у=3-2(х+1) 1 / 3 • Отв. Нет ни максимума, ви минимума. 9. у= +зх+ 2 • = хх2 -Зх+2 2 10. у _(х-2)(3-х) х2 Минимум при х= Отв. • ,r-, r 2, .максимум _ 12 Отв. Максимум при х- 5 . ln2 х 11. nри _ х=-х у-2еХ+е_ Минимум nри х=-т· 12. У=~пх· Omв.ymin=e при Х'=е. 13. ,r- r 2. • Отв. y=cosx+ +siпx(-:rt/2.,;;;;x.,;;;;л/2). Отв. Ymax=Y2 при X=:rt/4. 14. y=sin2x-x (-:rt/2.,;;;;x.,;;;;:rt/2). Отв. Максимум при х=л/6, минимум при x=-:rt/6. 15. y=x+tg х. Отв. Нет ни максимума, ни минимума. 16. у=еХ siп х. Отв. 3 :rt Минимум при X=2k:rt- 4 , максимум при x=2kn+ 4 :rt. 17. у=х4-2х2 +2. Отв. Максимум при х=О; два минимума nри Х=-1 и nри х= 1. 18. у= (ГЛ. V 18() ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУН!ЩИй = (х-2) 3 (2х+ 1). Отв. Ymin ;:::-8,24 при Х= 1/8. 19. У=Х+х. Отв. Мини- 1 мум при х= 1; максимум при х=-1. 20. у=х 2 (а-х) 2 • Отв. Ymax=a4 /16 при х=а/2; az ьz х а-х Ymin=0 при х=О и при х=а. 21. У=-+--. Отв. Макси az az а- а, -- мум при х=--ь; минимум при х=-.-Ь. 22. у=х+ Vl-x. Отв. Ymax=5/4 при х=З/4; ~г2 .. ;-т Ymin=l при x=l. 23. y=xr 1-х (x~l). Отв. Уmах=з J1 З 2 при х=з. 24. у= х l +xz. Отв. Минимум при Х=-1; максимум при Х= 1. = 25. у= х lп х. Отв. Минимум при х = 1/е. 26. у= х ln2 х. Отв. Ymax 4е- 11 при х=е- 2 , Ymin=0 при x=l. 27. y=lnx-arctgx. Отв. Функция возрастает. 28. y=sin3x-3sinx. Отв. Минимум при X=n/2; максимум при х=Зn/2. 29. у= 2x+arctg х. Отв. Нет экстремумов. 30. y=sin xcos2 х. Отв. Минимум при x=n/2; два максимума: при x=arccosV2/3 и при x=arccos (-V2f3). 31. y=arcsin (sinx). Отв. Максимум при X=(4m+l)n/2; минимум при х=(4т+3) Найти n/2. наибольшие и наименьшие значения функции на указанных от резках: 32. х=± 1, у=-3х 4 +6х2 - 1 (-2~х~2). Отв. Наибольшее значение у=2 при наименьшее у=-25 при Х=± хз 2. 33. у= 3 -2х 2 +зх+ 1 (-l~x~5). Отв. Наибольшее значение у=23/3 при х=5, наименьшее значение У=-13/3 х-1 при х=-1. 34. У=х+ 1 (О..;;;х~4). Отв. Наибольшее значение у=З/5 при значение у=-1 при Х=О. 35. y=sin 2х-х (-n/2~x~n/2). значение у= n/2 при х = - n/2, наименьшее значение х=4, наименьшее Отв. Наибольшее y=-n/2 при x=n/2. 36. Из квадратного жестяного листа со стороной а желают сделать откры тый сверху ящик возможно большего объема, вырезая равные квадраты по углам, удаляя их и затем загибая жесть, чтобы образовать бока ящика. Какова должна быть длина стороны вырезаемых квадратов? Отв. а/6. 37. Доказать, что из всех прямоугольников, которые могут быть вписаны в данный круг, наибольшую площадь имеет квадрат. Показать также, что у квадрата и периметр будет наибольший. 38. Показать, что из всех равнобедренных треугольников, вписанных в данный круг, наибольший периметр имеет равносторонний треугольник. 39. Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади, имеющий гипотенузой отрезок h. Отв. Длина каждого катета равна h/V2. 40. Найти высоту прямого цилиндра с наибольшим объемом, который может быть вписан в шар радиуса R. Отв. Высота равна 2R/V3. 41. Найти высоту прямого цилиндра с наибольшей боковой поверхностью, который может быть вписан в данный шар радиуса R, Отв, Высота равна Ry°2. 42. Найти высоту прямого конуса с наименьшим объемом, описанного около данного шара радиуса R, Отв, Высота равна 4R (объем конуса равен двум объемам шара). 43. Резервуар, который должен иметь квадратное дно и быть открытым сверху, нужно выложить внутри свинцом. Каковы должны быть размеры ре зервуара емкостью 32 л, чтобы выкладка требовала наименьшего количества свинца? Отв. Высота 0,2 м, сторона основания 0,4 м (т. е. сторона основания должна быть вдвое больше высоты). 44. Кровельщик желает сделать открытый желоб наибольшей вместимости, у которого дно и бока были бы шириной 10 см и бока были бы одина• УПРАЖНЕНИЯ: I( ГЛАВЕ V 181 ково наклонены ко дну. Какова должна быть ширина желоба наверху? Отв. 20см. 45. Доказать, что ко1шческий шатер данной вместимости требует наимень- шего количества материи, когда его высота в У2 раза 'больше радиуса ос НОl¾IНия. 46. Требуется изготовить цилиндр, открытый сверху, стенки и дно которого имеют данную толщину. Ка1tовы должны быть размеры цилиндра, чтобы при данной вместимости на него пошло наименьшее количество материала? Отв. Если R -внутренний радиус основания, и-внутренний объем цилиндра, то R=~47. Требуется построить котел, состоящий из цилиндра, завершенного двумя полусферами, со стенками постоянной толщины так, чтобы при данном объеме v он имел наименьшую наружную поверхность. иметь форму шара с внутренним радиусом R = Vзv/4:тt. Отв. Котел должен 48. Построить равнобочную трапецию, которая при данной площади S имела бы наименьший периметр; угол при основании трапеции равен а. Отв. Длина боковой стороны равна "Jf S/sJn а. 49. Вписать в данный шар радиуса R правильную треугольную призму наибольшего объема. Отв. Высота призмы равна 2R/JIЗ. 50. Около полушара радиуса R требуется описать конус наименьшего объема; плоскость основания конуса совпадает с плоскостью основания полу- шара; найти высоту конуса. Отв. Высота конуса равна Rуз. 51. Описать около данного цилиндра радиуса r прямой конус наимень шего объема, полагая, что плоскости и центры круговых оснований цилиндра и конуса совпадают. Отв. I¾диус основания конуса равен Зr/2. 52. Из листа, имеющего форму круга радиуса R, вырезать такой сектор, чтобы, свернув его, получить воронку наибольшей вместимости. Отв. Цент- ральный угол сектора равен 2:rt"Jf2/3. 53. Из всех круглых цилиндров, вписанных в данный куб с ребром а таким образом, что оси их совпадают с диагональю куба, а окружности ос нований касаются его граней, найти наибольшей по объему. Отв. Высота цилиндра равна ауЗ/3; радиус основания равен a/"Jf6. 54. В прямоугольной системе координат дана точка (х0 , у0 ), лежащая в первом квадранте. Провести через эту точку прямую так, чтобы она обра зовала с положительными направлениями осей координат треугольник наи меньшей площади. Отв. Прямая отсекает на осях отрезки 2х0 и 2у0 , т. е. имеет уравнение 2х Хо + 2У = 1. Уо На оси параболы у 2 =2рх дана точка на расстоянии а от вершины; найти абсциссу ближайшей к ней точки кривой. Отв. х=а-р. 55. 56. Принимая, что прочность бруска с прямоугольным поперечным сече нием прямо пропорциональна ширине и кубу высоты, найти ширину бруска наибольшей прочности, который можно вырезать из бревна диаметром 16-ем. Отв. Ширина равна 8 см. 57. Миноносец стоит на якоре в 9 км от ближайшей точки берега; с мино носца надо послать гонца в военный лагерь, расположенный в 15 км, считая no берегу от ближайшей к миноносцу точки берега. Если гонец может делать пешком по 5 км в час, а на веслах no 4 км в час, то в каком пункте берега он должен пристать, чтобы поспеть в лагерь в кратчайшее время. Отв. В 3 км от лагеря. 58. Точка перемещается прямолинейно по плоскости в среде, расположен ной вне линии MN со скоростью v1 , а по линии MN со скоростью v2 • По какому пути она переместится в наименьший промежуток времени из точки А в точку В, расположе11ную на линии MN? Расстояние точки А от линии MN равно h, расстояние проекции а точки А на линию MN от В равно а. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИ.Я ФУНIЩИЙ 182 Отв. Если аВ v1 АВ АВС-nуть ас точки, то аВ V1 АС=-;; при [ГЛ. V1 AB;:,,,"'v; V и аС=аВ nри < Vz. Груз с массой w nодымают рычагом, причем сила F приложена к од концу, а точка опоры находится на другом конце рычага. Если груз 59. ному привешен к точке, находящейся на расстоянии а см от точки опоры, а масса стержня рычага равна v г на каждый сантиметр длины, то какова должна быть длина рычага, чтобы сила, потребная для поднятия груза, была наи• меньшая? Отв. х = }'2aw/v см. 60. При n измерениях неизвестной величины х получены числа: + ICi, х 2 , ••• , Хп. Показать, что сумма квадратов поrрешностей (x-xi) 2 +(х-х2 )•2 + ... +(х-хп) 2 будет наименьшей, если за х принять число (х1 +х2 + ... +хп)/п. 61. Чтобы по возможности уменьшить трение жидкости о стенки канала, площадь, смачиваемая водой, должна быть возможно меньшей. Показать, что лучшей формой открытого прямоугольного канала с заданной площадью попе речного сечения является такая, при которой ширина канала вдвое превышает его высоту. Определить точки перегиба и интерваль1 выпуклости и вогнутости кривых: < > у=х 5 • Отв. При х О кривая выпукла; при х О кривая вогнута; при х=О точка перегиба. 63. у= 1-х 2 • Отв. Кривая всюду выпукла. 64. у= =х3-Зх 2 -9х+9. Отв. При x=l т~чка перег,иба. 65. у=(х-Ь) 3 • Отв. При х=Ь точка перегиба. 66. у=х 4 • Отв. Кривая всюду вогнута. 67. у= 62. = (х 2 + 1)-1. Отв. При х= х=м точки перегиба. 69. ± 1/}'З точки перегиба. 68. y=tg х. Отв. При у=хе-х. Отв. При х=2 точка перегиба. 70, у= =а-Vх=Б. Отв. При х=Ь точка перегиба. 71. y=a-V(x-b) 2 • Отв. Кри вая не имеет точек nерегиба. Найти асимптоты следующих кривых: 1 1 72. y=x-t • Отв. x=l; у=О. 73. У=(х+ 2 ) 3 • Отв. х=-2; у=О. аЗ 2._ 74. у=с+ (х-Ь) 2 • Отв. Х=Ь, у=с. 75. у=ех -1. Отв. х=О; у=О. 16. у= lnx. Отв. 79. х=О. 77. х3 у2 = 2 --. у3=6х 2 +х3. Отв, а-х Отв. у=х+2. х=2а. 80. у2 78. у3=а 3 -х3. (х-2а)=х3-а 3 , Отв. у+х=О, Отв. х=2а; у=± (х+а). Исследовать функции и построить их графики: 1 8а 3 81. y=x4-2x+l0. 82. У=х 2 + 4 а2 • 83. у=е 4+х = -2 - . 86. х хз х у=-2--1 . х - v- =з-х 2 • 91.у='· 87. х+2 у=-3-. х х 2 +2.92.у=х- х 6х . 84. y=l+xz• 85. У= ~ 88. Y=-i+ . 89, v-- х у 2 =х3-х. 90, у= -./"х-1 x+i·94.y=xe-x. х3 +1.93.у= у 95. у=х 2е-х'. 96. y=x-ln(x+l). 97. y=ln(x 2 +1). 98. y=sin3x. 99. у= =x+sinx, 100. y=xsinx. 101. y=e-xsinx. 10.2. y=lnsinx. 103. Y=lnx. 104, f x=t:, 105, {x=t2, 106. {x=a(t-sint), 107, {x=aefcost, ty== 2 t. y=t3 • y=a(l-cost). y=aetsint. х УПРАЖНЕНИЯ I< ГЛАВЕ V 183 Доnолнительные задачи Найти асимптоты линий: 108.у= 110. х 2 +1 Отв. х=-1; I+x. у=х-1. 109. у=х+е-х, Отв. у=.1(• 1 2у(х+1) 2 =х3. Отв. х=-1; у= 2 х-1. HJ. у3 =а 3 -х 2 • Опю. Асимп- тот нет. 112. y=e- 2 Xslnx. Отв. у=О. 113. y=e-xsin2x+x. Отв, у=х. ( 1) . е+- 114. y=xln х 1 1 J Отв. х=--; у=х+-. е е --. 115.y=xr:x, Отв. х=О; 2t t2 1 1 у=х. 116. X=1-t2' y=1-t2. Отв. у=± 2х-2. Исслед~ать функции ~ построить их Гf~Ф~ки: 117. у-\х\. 121. у=х+1х1. 125. х2 у=2 118. y-lnlx\. 119. Y=Vx -x. 122. lnx. 126. 2 1 У=--;::--1 . 2.. е~- 127. у-х-х. 120. у={х+1}2(х-2), х2 124. у=т-1nх. 123. y=x Vx+1. 2 х у=1- Jnx J29. nx . 128. у=х+-. х у=х Jn.~. sin х . 130. у=е х -х. 131. у= 1sш Зх 1, 132. У=-. !33. у=х arc.tg х. !34. у= х 135. y=e- 2 xsin3x. =x-2arctgx. 138. y=cos з 1 • х,sш х. =sin ( x+Jxl ) - (-; з ~ 136. y=lsinxl+.x. _ x+lxl • 139. У2 х-~х/ (-п..:;;;х..:;;;;п). 140. 137. y=sin(x 2 ), _x-Jx/ У2 , _ 141. y- 142. y=cos ( x-~xl ) - x-t;lxl ..:;;;;х..:;;;;1). 143.у= ~ {Зx+lx!)+l. 144.у= ~ [З(x-J)+lx-JjJ+l (О..:;;х,.;;;:2). ГЛАВА VI КРИВИЗНА КРИВОЙ § 1. Длина дуги и ее производная f Пусть дуга кривой М 0М (рис. 137) есть график функции у= (х), определенной на интервале (а, Ь). Определим длину дуги кривой. Возьмем на кривой АВ точки М 0 , М 1 , М 2 , ... , Mi_ 1, Mi, ... . . ., Мп-~• М. Соединив взятые точки отрезками, получим ломаную м 111 i м линию MoMiM2 ... Mi-lмi ... мп-1М, вписанную в дугу М 0 М. Обозначим 3 длину этой ломаной через Р п. Длиной дуги М 0 М называется пре дел (обозначим его через s), к которо му стремится длина ломаной при стре млении к нулю наибольшей из длин отрезков ломаной M 1_ 1Mi, если этот Рис. 137. предел существует бора точек ломаной МоМ1М2 , , .Mi-lмi • •, и не зависит от вы мп_lм. Отметим, что это определение длины дуги произвольной кри вой аналогично определению длины окружности. ция у= В главе XII будет доказано, что если на отрезке [а, Ь] функ (х) и ее производная (х) непрерывны, то дуга кривой (х), заключенная между точками [а; (а)] и [Ь; (Ь)], имеет f' f f f f вполне определенную длину, причем будет указан способ вычис .ления этой длины. Там же будет установлено (как следствие), что в указанных условиях отношение длины любой дуги этой кривой к длине стягивающей ее хорды стремится к 1, когда длина хорды стремится к О: lim М,М->-0 дЛ~ =1. МоМ Эта теорема легко может быть доказана для окружности *), однако в общем случае мы пока примем ее без доказательства. *) Рассмотрим дугу АВ, центральный угол которой равен 2а; (рис. 138). Длина этой дуги равна 2Ra (R - радиус окружности), а длина стягивающей ее хорды равна 2R sin а. Поэтому . дл. АВ . 2Ra l1m - = = 11m . а. .... о дл. АВ а. ➔ о 2R sш а 1• ДЛИНА ДУГИ И ЕЕ ПРОИЗВОДНА.Я § 1] 185 Рассмотрим следующий вопрос. Пусть мы имеем на плоскости f у= (х). Пусть М 0 (х 0 , у0 ) кривую, заданную уравнением некоторая фиксированная точка кривой, а М (х, у)-переменная точка этой кривой. Обозначим через s длину дуги М 0 М (рис. 139). При изменении абсциссы х точки М длина s дуги будет ме няться, т. е. s есть функция х. Найдем производную s по х. у О Рис. Рис. 138. Лs = x+L1.:c 139. s получит приращение дл. ММ 1 • Пусть ММ 1 -хорда, стягивающая эту дугу. Для б Лs . -л 11m , поступим следующим о разом: из что б ы наити Дадим х приращение Лх. Тогда того х Хо дуга v Х Лх➔ О Л ММ 1 Q находим ММ 1 2 левую часть на Лs 2 : ( = (Лх) 2 + (Л у) 2 • У множим и разделим ММ1)2лs2=(Лх)2+(Лу)2. _лs Разделим все члены равенства на Лх 2 : ( мл~1) 2( :: )2 = Найдем предел что lim ММ, ➔ О 1 + ( ~t у. частей левой и правой при Лх-+ О. Учитывая, м:: 1 = 1 и что lim ~У= :У, получим Лх➔ О (:: у = 1 Х Х + (:~ )2 или :: = У 1 + (:~ )2. ( 1) Для дифференциала дуги получим следующее выражение: ds= или*) у 1 + (~~)2 dx ds = V dx 2 +dy 2 • (2) (2') dx > О. *) Строго говоря, формула (2') верна лишь для того случаи, когда Если же dx < О, то ds=- V dx 2 +dy2 • Поэтому в общем случае эту формулу правильнее записать так: 1ds 1= V dx 2 dy 2 • + КРИВИЗНА КРИВОЙ 186 (Г,1. VI Мы получили выражение дифференциала длины дуги для того случая, когда кривая задана уравнением у= f (х). Однако фор мула (2') сохраняется и в том случае, когда кривая задана па раметрическими уравнениями. Если кривая вадана параметри чески: X=cp(t), то dy=ч,'(t)dt, dx=cp'(t)dt, и выражение (2') принимает ds= вид V[cr' (t)] § 2. 2 +[1\J' (t)] 2 dt. l(ривизна Одним из элементов, характеризующих форму кривой, является степень ее искривленности. Пусть мы имеем кривую, которая не перееекает самое себя и имеет определенную касательную в каждой точке. Проведем касательные к кривой в каких-нибудь двух ее точках А и В и обозначим через а угол, образованный этими касательными, или - точнее-угол поворота касательной при переходе от точки А к точке В (рис. 140). Этот угол называется углом смежности дуги АВ. У двух дуг, имеющих одинаковую длину, больше изо гнута та дуга, у которой угол смежности больше (рис. 140 и 141). А Рис. 140. Рис. С другой стороны, рассматривая не можем оценить степень их дуги 141. различной длины, мы искривленности только соответ ствующим углом смежности. Отсюда следует, что полной харак теристикой изогнутости кривой будет отношение угла смежно сти к длине соответствующей дуги. О п р еде лен и е 1. Сред ней кривизной Кер дуги АВ называется отношение соответствующего угла смежности а к дли.не дуги: а К,р=-=-. АВ ВЫЧИСЛЕНИЕ I<РИВИЗНЫ § З] 187 Для одной и той же кривой средняя кривизна ее различных частей (дуг) может быть различной; так, например, для кривой, показанной на рис. 142, средняя кривизна дуги АВ не равна средней кривизне дуги А-;в1 , хотя длины этих дуг равны между собой. Более того, вблизи различных точек кривая искривлена по-разному. Для того чтобы охарактеризовать степень искривлен ности данной линии в непосредственной бли:юсти к данной точке А, введем понятие кривизны кривой в данной точке. Рис. Рис. 142. 143. Определение 2. Кривизной К; линии в данной точке А называется предел средней кривизны дуги АВ, когда длина этой дуги стремится к нулю (т. е. когда точка В приближается *) к точке А); КА= limKep= lim В-+-А ~ • АВ-+-0 АВ Пр им ер. Для окружности радиуса r: 1) определить среднюю кривизну дуги АВ, соответствующей центральному углу а (рис. 143); 2) определить кривизну в точке А. Решен и е. 1) ...., Очевидно, что угол а; дуги равна ar. Следовательно, Кер=- ar 2) смежности дуги АВ равен а, , длина 1 или Кер=-. r Кривизна в точке А равна К= аlim ~ =..!... ➔ О ar r Таким образом, средняя кривизна дуги окружности радиуса r не зависит от длины и положения дуги, для всех дуг она равна 1/r. Кривизна окруж ности в любой ее точке также не зависит от выбора этой точки и равна 1/r. 3 а меч а н и е. Отметим, что для произвольной кривой кривизна в различных ее точках, вообще говоря, будет различная. Это мы увидим ниже. § 3. Выведем формулу Вычисление кривизны для вычисления кривизны данной линии в любой ее точке М (х, у). При этом мы будем предполагать, что кривая задана в декартовой системе координат уравнением *) Мы предполагаем, что величина предела не зависит от того, с какой стороны от точки А мы берем переменную точку В на кривой. КРИВИЗНА КРИВОЙ 182 [ГЛ. VI вида f (х) у= и что функция f (х) (1) имеет непрерывную вторую производную. Проведем касательные к кривой в точках М и М 1 с абсцис сами х и х+Лх и обозначим этих касательных (рис. 144). через ер и ер+Лер углы наклона Длину дуги М~, отсчитываемую от некоторой ,nостоянной точ ки М0 , обозначимчерезs; тогда Лs=М 0 М1 -М 0 М, а jЛsl =1ЙМ1 • Как .!/ непосредственно видно из рис. 144, угол смежности, соответст~ вующий дуге ММ 1 , равен абсолют ной величине*) разности углов ер и ер+Лер, т. е. равен jЛepj. Согласно определению средней кривизны кривой на участке ММ1 имеем 1Лq, 1 Лq, Кср=ТЛsТ=лs. Q Рис. 144. Чтобы получить кр и виз ну в точке М, нужно найти предел по- лученного выражения при условии, что длина дуги ММ1 стре мится к нулю: К= Лslim \ ~q, 1· ➔ О s Так как величины ер и s обе зависят от х (являются функ циями от х), то, следовательно, ер можно рассматривать как функ цию от s. Мы можем считать, что эта функция задана парамет рически с помощью параметра х. Тогда lim Л<р = Лs ➔ оЛs и, следовательно, Для вычисления ':Z dq, ds K=I ::1- (2) используем формулу дифференцирования функции, заданной параметрически: dq, dq, dx ds = ds . dx *) Для кривой, изображенной на рис. 144, очевидно, что I Лq, l=Л<р, так как Лq, > О. ВЫЧИСЛЕНИЕ I<РИВИЗНЫ § 3) 189 Чтобы выразить производную :: через функцию у= f (х), за мечаем, что dу tg ер= dx и, следовательно, dy q> = arctg dx. Дифференцируя по х последнее равенство, будем иметь d2y dq> dx ч то же касается dx2 = l+(~y• u производном :: = ds , dx то еще в § l мы нашли у 1 + (:~у. Поэтому или, так как К= \ ':: \ , окончательно получаем 1::~ 1 Следовательно, в любой (3) точке кривой, где существует и не- прерывна вторая производная d2 dJ , можно Для ее вычисления служит формула (3). вычислить кривизну. Заметим, что при вычис лении кривизны кривой следует брать только арифметическое (т. е. положительное) значение корня в знаменателе, так как кривизна линии по определению не может быть отрицательной. Пр имер 1. Определить кривизну параболы у 2 а) в ее произвольной точке М (х, у); б) в точке М 1 (О, О); = 2рх: в) в точке М 2 (р/2, р). Решение. Находим первую и вторую производные функции dy dx р = V2px , d2y р2 dx2 = - (2рх)з/а • y=V2px: J.<РИВИЗНА J.<РИВОЙ 190 Подставляя полученные выражения в формулу (ГЛ. (3), V1 получим р2 а) К=-----,-; б) К ( 2 рх+ р2)з/2 lx=o, у=о= l/p; 1 в) К lx=p/2, У=Р= 2 V2p . П р им ер 2. Определить кривизну прямой у= ах+ Ь в ее произвольной точке (х, у). Решение. у'=а, у"=О. Обращаясь к формуле (3), получаем К=О. Таким образом, прямая представляет собой -«линию нулевой кривизны». Этот же результат легко можно получить непосредственно из определения кривизны. § 4. Вычисление кривизны линии, заданной параметрически Пусть кривая задана параметрически: х = <р (см. § 24 гл. III) dy 'Ф' (t) dx = <р' (t) ' Подставляя полученные щего параграфа, получаем (t), у= '1' (t). Тогда d2y 'Ф"<р' -'Ф'<р" dx 2 = (<р')3 выражения в формулу (3) предыду К= 1'Ф"<р' -'Ф'<р" 1 [q,'2+'Ф'2]3/2 (1) П р и м ер. Определить кривизну циклоиды y=a(l-cosi) ~=a(t-slnt), в ее произвольной точке (х, у). Решение. dy . t dt=a sm , dx dt =а (1-cos t), Подставляя полученные выражения в формулу К= 1а (l-cos t) acos t-asin t,asin t 1 (а 2 (1-cos t) 2 +a 2 sin 2 t]J/ 2 (1), находим / cos t-1 / 2 3 ! 2а (1-cos t) 3 12 1 - = 2 3 ! 2 а (1-cos /) 1 / 2 § 5. Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах Пусть кривая задана уравнением вида p=f (0). (1) Напишем формулы перехода от полярных координат к ,цекартовым: x=pcos0, y=psin0. (2) ВЫЧИСЛЕНИЕ К:РИВИЗНЫ ЛИНИИ § 5) 0, 191 Если в ~ти формулы подставить вместо р его выражение через т. е. (0), то получим: f х= f (0) cos 0, f (0) sin 0. у= (3) Последние уравнения можно рассматривать как параметриче ские уравнения кривой (1), причем параметром является 0. Тогда dx dp dy dp . . 0 de=decos -рsш0, de de S!П 0 р COS 0, + = d2x d2p dp . '"'ilfj'i"= d 02 cos0-2 dёsш0-pcos0, d 2y = d02 d 2p . dp . dB 2 S!П 0+2 de COS 0-р S!П 0. Подставляя последние выражения в формулу (1) предыдущего параграфа, получаем формулу для вычисления кривизны кривой в полярных координатах: к= 1p2+2p' 2-pp"I (р2+р~/2 • (4) Пример. Определить кривизну спирали Архимеда р=а0 (а> О) в про извольной точке (рис. 145). IJ Рис. dp Решение. ае=а, 145. d 2p de~ =0. Следовательно 1 'а20 2 +2а 2 1 1 к= (а2е2+а2)з/2 Заметим, что при больших значениях ства: 02; 2 на значений 02+2 02 и 6): :::J 1, 62; е2 + 1 на 1 ,:: 1; 02 1 е 2 +2 2 (е2+ 1)3/2 6 имеют место приближенные равен поэтому, заменяя в предыдущей формуле получаем приближенную формулу (для больших 1 е2 1 к~ а (02)3/2=ае· Таким образом, t1plf больших значениях е спираль Архимеда имеет при• близительно ту же кривизну, что и окружность радиуса а0. l(РИВИЭНА I<РИВОй 192 § 6. [ГЛ. VI Радиус и круг кривизны. Центр кривизны. Эволюта и эвольвента О п редел е н и е. Величина R, обратная кривизне К линии в данной точке М, называется радиусом кривизны этой линии в рассматриваемой точке: R= 1/К, (1) или (2) Построим в точке М нормаль к кривой (рис. 146), направлен ную в сторону вогнутости кривой, и отложим на этой нормали отрезок МС, равный радиусу R кривизны кривой в точке М. Рис. 146. Рис. 147. Точка С называется центром кривизны данной кривой в точке М, круг радиуса R с центром в точке С (проходящий через точку М) называется к-ругам кривизны данной кривой в точке М. Из определения круга кривизны следует, что в данной точке кривизна кривой и кривизна круга кривизны равны между собой. Выведем формулы, определяющие координаты центра кривизны. Пусть кривая задана уравнением у= f (х). (3) Зафиксируем на кривой точку М (х, у) и определим коорди наты а и~ центра кривизны, соответствующего этой точке (рис. 147). Для этого напишем уравнение нормали к кривой в точке М: 1 У-у=-у1(Х-х). (Здесь Х и У-текущие координаты точки нормали.) (4) РАДИУС И КРУГ КРИВИЗНЫ, ЭВОЛЮТА И ЭВОЛЬВЕНТА § 6) 193 Так как точка С (а. ~) лежит на нормали, то ее координаты должны удовлетворять уравнению (4): ~-у=-;, (а-х). (5) Далее. точка С (а, ~) находится от точки М (х. у) на расстоя нии, равном радиусу кривизны R: (б) (a-x)2+(P-y)2=R2. Решая совместно уравнения (5) и (6). определим а и Р: 1 12 (а.-х)2 +у•2 (а.-х)2= R2. 1ty,2R2; (a.-x)z= отсюда у' t:X.=X+---=-=====R Vl+y'2 а так как R= (l+y'2)3/2 IY"I • то у' (1 а=х± р·= - + -t - - R =Y fl+y'2 ' ' + у'2) •+у'2 - • ~=У+17Г• IY"I Чтобы решить вопрос о том. верхние или нижние знаки сле дует брат~, в последних формулах, нужно рассмотреть случай у"> О и случай у"< О. Если у"> о. то в этой точке кривая вогнута и. следовательно. ~ у (рис. 147) и поэтому следует брать нижние знаки. Учитывая, что в этом случае / у" 1=у". фор > мулы координат центра а=х запишем у' (l +У/2> у" в следующем виде: + у'2 ~=и+~- (7) l • Анмогично можно показать, что формулы (7) будут справедливы и в случае у"< О. Если кривая задана параметрическими уравнениями y='\j)(t), X=(()(t). то координаты центра кривизны легко получить из формул (7), подставляя в них вместо у' и у" их выражения через параметр: у,= Yt, Xt . у " = , ,, XtYt -XtYt ,3 Xt • Тогда Gt=X Пр им ер 1. у' (х'2+у'2) х'у"-х"у' х' (х'2+у'2) • ~=У+ х'у"-х"у' • (7') Определить координаты центра кривизны параболы у 2 =2рх а) в произвольной тQчке М (х, у); б) в точке М 0 7 Н. С. Пискунов, т. 1 (01 О); в) в точке М 1 (р/2, р). l(РИВИЗНА J<РИDОЙ 194 Ре ш е н и е. Подставляя значения (рис. 148) (2х)З/2 а) сх=Зх+р, ~=- У р ; б) dy и dx d 2y dx' (ГЛ. в формулы VI получим (7), при х=О находим а.=р, ~=0; в) при х=р/2 имеем а.=5р/2, ~=-р, Если в точке нуля, то этой Mi (х, у) данной линии кривизна отлична от точке соответствует кривизны С1 (а, ~). вполне центров кривизны данной линии образует определенный центр Совокупность всех р У некоторую новую линию, называе- мую э в о л ю т о й по отношению к первой. Рис. Рис. 148. 149. Таким образом, геометрическое место центров кривизны дан ной линии называется ее эволюпwй. По отношению к своей эволюте данная линия называется эвольвентой или инвалютой (или раз верткой). Если данная кривая определяется уравнением у= (х), то уравнения (7) можно рассматривать как параметрические урав нения эволюты с параметром х. Исключая из этих уравнений f nараметр х (если это возможно), получим непосредственную за висимость между текущими координатами эволюты а и ~- Если же кривая задана параметрическими уравнениямих=q> (t), У='Ф (t), то уравнения (7') дают параметрические уравнения эволюты (так как величины Пр им ер 2. х, у, х', у', х", у" Решен и е. На основании примера раболы сх=Зх+р, в являются функциями от t). Найти уравнение эволюты параболы у2 =2рх. (2 ) •1. l имеем ~= - ; - , Исключая р для любой точки (х, у) па из этих уравнений параметр х, получим ~ 2 = 27 р (а.- р)"'. Это-уравнение полукубической параболы (рис. 149). П р и мер 3. Найти уравнение эволюты эллипса, заданного параметри ческими уравнениями х=а cos t, у=Ь sln t. Р е ш е н и е. Вычисляем производные от х и у по x'=-asln t, &"=-acos t, y'=bcost, у"=-Ьsшt. 13 РАДИУС И }<РУГ КРИВИЗНЫ, ЭВОЛЮТ А И ЭВОЛЬВЕНТА §6) Подставляя выражения производных в формулы а=а cos Ь t (7'), получим cos t (a 2 sin 2 t+ь 2 cos 2 t)_ absin 2 t+aьcos 2 t Таким образом, ci= Аналогично получаем: Исключив параметр t, ( - а cos t-a cos t sin 2 t-; = 4. х=а cos~ t= ( а- ~2 ) cos3 t. (а-; ) cos3 t. ~=(ь-:2 ) sin3 t. получаем уравнение эволюты эллипса в виде ~ ) 2/s + ( : )2/з = (а\ь ь2) 2/з • Здесь а и ~ -текущие кооординаты эволюты (рис. Пр им ер 195 150). Найти параметрические уравнения эволюты циклоиды (t-sin t), у=а (l-cos t). .Р У Решение. х' =а х" =а у' (1-cos t), sin t, Подставив полученные формулу (7'), находим а=а =asin t, cos t. у"=а выражения в (t+sin t), (1-cos t). ~=-а Сделаем преобразование переменных, положив а=~-па, t=-r-n; ~='1'j-2a, тогда уравнения эволюты примут вид ~=а (-r-sin -r), fJ=a (1-cos-r); они определяют в координатах циклоиду же с тем ~. 'l'J Рис. производящим 150. кругом радиуса а. Таким образом, эволютой циклоиды является такая же циклоида, но смещенная по оси Ох на величину-па и по оси Оу на величину-2а (рис. 151). '!/ Рис. 151. КРИВИЗНА КРИВОЙ 196 § 7. Т е о р ем а 1. [ГЛ. VI Свойства эволюты Нормаль к данной кривой является касатель ной к ее эволюте. До к аз ат ель ст в о. Угловой коэффициент касательной к эво люте, определяемой параметрическими уравнениями (7) предыду щего параграфа, равен d~ d~ da, = dx da, • dx Заметив, что (в силу тех же уравнений Зу"2у'2-у'у"' -у'Зу"' da, dx=- 'Зу't/2-у'" -у'2у"' у"2 ' Зу"2у'-у'"-у'2у'" d~ dx получаем -у у"2 (7)) (1) (2) у" 2 соотношение Но у' есть угловой коэффициент касательной к кривой в соот ветствующей точке, поэтому из полученного соотношения следует, что касательная к кривой и касательная к ее эволюте в соот ветствующей точке взаимно перпендикулярны, т. е. нормаль к кривой является касате.11ьной к эволюте. Теорем а 2. Если на некотором участке М 1 М 2 кривой радиус кривизны изменяется монотонно (т. е. либо только возрастает, либо только убывает), то приращение длины дуги эволюты на этом участке кривой равно (по абсолютной величине) соответ ствующему приращению радиуса кривизны данной кривой. До к аз ат ель ст в о. На основании формулы ds 2 = da 2 где ds - (2') § 1 имеем + df32, дифференциал длины дуги эволюты; отсюда Подставляя сюда выражения (1) и (2), получим _ '2 (3у'у"2-у'"-у'2у"')2 ( 5!!...)2 dx -(l+y) у"2 • (3) § 7) СВОЙСТВА ЭВОЛЮТЫ 197 Найдем, далее, ( :~ )2 . Так как _ (1 +у'2)З/2 у" R- 2 _ (1 +y'2):t тоR- , у" 2 • Дифференцируя по х обе части этого равенства, получим после соответствующих преобразований dR 2R dx = 2 (1 + у' )2 (Зу'у"2-у"' -у'2у•') 2 Деля обе части равенства на dR. dx= у''~ 2R = 2 (l • получим +/ >312 , 2 у (1 +у'2)1/2 (Зу'у"2-у"' -у'2у"') у"2 • Возводя в квадрат, получим: ( dR dx )2--(l+y '2) (Зу'у"2-у"'-у'2у"')2 у"2 • Сравнивая равенства и (3) (4), (4) находим (~)а (.!!!i.)2= dx dx • откуда dR. dx= =F dR По условию dx убывает), не меняет знак следовательно, и dR О dx ~ , определенности dR Следовательно, dx ds dx ds dx ~ О (R ds dx' только возрастает или только не меняет (что знак. П соответствует римем рис. для 152). ds = -dx . Пусть точка Mi имеет абсциссу Xi, а М 2 - абсциссу х 2 • При меним теорему Коши к функциям s (х) и (х) на отрезке [ х 1 , x 2]I R s (х2 )- s R (x2)-R где s- число, (х 1 ) (х1) 1 X=s --1 dR 1 dx х=!\ заключенное между Х1 и х 2 (х1 Введем обозначения (рис. S (Х2) ds dx = S2, S (Х1) = S1, 152) R (Х2) = R2t ' < s< х 2). R (Х1) = Rj, (ГЛ. :КРИВИЗНА КРИВОЙ t9i VI Совершенно так же доказывается это равенство и при возра стании радиуса кривизны. доказали теоремы Мы у для у= f (х). кривая Если рическими теоремы их доказательство силе, в и 2 виде парамет задана уравнениями, остаются вершенно явном в уравнением задана 1 кривая когда случая, того эти то причем проводится со аналогично. 3 а меч ан и е. Укажем следую щий простой механический способ для построения кривой (эвольвен ты) по ее эволюте. Пусть гибкая линейка согнута по форме эволюты С0 С 6 (рис. 153). Предположим, что нерастяжимая нить, Рис. 152. С0 , огибает эту ли мы будем эту нить развертывать, время укреплен ко•ом одним ная в точке нейку. Если о оставляя ее натянутой, то конец все нити опишет кривую М 5 М 0 - эвольвенту. Отсюда происходит и назва ние «эвольвента» - развертка. Доказательство того, что получен 1 !J J о Рис. Рис. 153. ная кривая действительно является 154. эвольвентой, может проведено с помощью установленных выше свойств эволюты. быть Отметим, что одной эволюте соответствует бесчисленное мно жество различных звольвент (рис. 153). ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ .цвnств. КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ § 8} Пр им ер. Пусrь имеем окружность радиуса а (рис. 199 154). Возьмем ту из эвольвент этой окружности, которая проходит через точку М 0 (а, О). Учитывая, что СМ= СМ 0 =at, легко получить уравнения эвольвенты окружности: ОР =х=а Отметим, (co:s t+ t sin t), что профиль РМ = у=а (sin t-t cos t). зуба зубчатого колеса чаще всего форму имеет эвольвенты окружности. § 8. Приближенное вычисление действительных корней уравнения Методы исследования функции дают возможность поведения находить приближенные значения корней уравнения f(x)=O. Если данное уравнuение есть алгебраическое уравнение*) первой, второй, третьеи или четвертой степени, то существуют формулы, позволяющие выразить корни уравнения через его .!/ в коэффициенты с помощью конеч ного числа операций сложения, !J=/(.z-J о А Рис. Рис. 155. 156. вычитания, умножения, деления и извлечения корней. Для урав нений выше четвертой степени таких формул, вообще говоря, не существует. Если коэффициенты любого уравнения, алгебраиче ского или неалгебраического (трансцендентного), не буквенные, а числовые, то корни уравнения могут быть вычислены прибли женно с любой степенью точности. Отметим, что даже в тех случаях, когда корни алгебраического уравнения выражаются через (см. радикалы, на практике иногда целесообразно применять *) Уравнение f (х) = О называется алгебраическим, если § 6 гл. VI I). f (х) есть многочлен КРИВИЗНА КРИВОЙ 200 [ГЛ. Vl приближенный метод решения уравнения. Ниже будут изложены некоторые методы приближенного вычисления корней ура:sнения. 1. Способ хор д. Пусть дано уравнение f (х) = О, где f (х) - непрерывная дважды (1) дифференцируемая функция на f отрезке [а, Ь]. Допустим, что путем исследования функции у= (х) внутри отрезка [ а, Ь] мы выделим от- ,У резок [х 1 , х2] такой, что внутри этого 11 отрезка функция монотонная (или ff---о растающая, а ta концах значения функции или убывающая), воз- на f (х1) и f (х2) его раз- g ных знаков. Примем для определенности, 8 что f (Xi) < О, f (х2 )>0 f (рис. 155). Так как функция у= (х) непрерывна на отрезке [xi, х2], то ее график пересечет ось Ох в какой-либо одной точке между Xt и х 2 • Проведем хорду АВ, соединяющую кон цы кривой у= (х), соответствующие абс циссам Xf и х2 • Абсцисса af точки пересе чения этой хорды с осью Ох и будет при ближенным значением корня (рис. 156). Для разыскания этого приближенного зна чения напишем уравнение прямой АВ, про- f J m ходящей через две данные точки А (хн f(x1)) и В(х2, f(x2)): t{)f~x() )= x-xi. Так -4 t=xJ-8:c+2 как тельно, f Х1 = Х2-Х1 (х2-Х1) f (х1) a i = X i - f(x2)-f (х1)' -6 - - - -1 Рис. Х2 - у= О при х а 1 , то, следова- f (xi) а1-х 1 (x2)-f(x1) х2-х1' откуда (2) или после преобразования а _ x1f (x2)-x2f (х1) 157• i- Чтобы по.ТJ:учить более точное < f(x2)-f(x1) • начение корня, определяем (2 ') f (а 1 ). Если f (а 1 ) О, то повторяем тот же прием, применяя формулу (2') к отрезку [а 1 , х2 ]. Если f (а 1 ) О, то применяем эту формулу к отрезку [х1 , а1 ]. Повторяя этот прием: несколько раз, мы будем, > очевидно, получать все более точные значения корня а 1 , а8 и т.д. Пр им ер 1. Найти приближенные значения корней уравнения f (х) =х8-6х+2=0. Решение. Найдем, прежде всего, участки монотонности функции f fx). Вычислив производную f' (х) =Зх 2 -6, мы обнаруживаем, что она положи- тельна при х < - )"21 отрицательна при - У 2 < х < У2 и снова положи- ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЕЙСТВ. КОРНЕЙ УРАВНЕНИ,Я § 8) 201 тельна nри х> У2 (рис. 157). Итак, функция имеет три участка монотонности, на каждом из которых находится по одному корню. Для удобств дальнейших. вычислений сузим эти участки монотонности (но так, чтобы на каждом участке лежал соответствующий корень). Для этого, f (х) подставляя в выражение наугад те или иные значения х, выделим внутри каждого участка монотонности такие более торых функция имеет разные знаки: короткие отрезки, на концах ко f (О) =2, f (l)=-3; Xf=0, X2=l, f (-3)=-7, f (-2)=6; f (2) =-2, f (3) = 11. Хз=-3, Х4=-2, Х 0 =2, Хв=3, Таким образом, корни находятся в интервалах (О; (- 3; -2), Найдем приближенное значение 1), (2; 3). корня в интервале (О; 1); no форму-11е (2) имеем а1=0Так как заключен (1-0)-2 _ 3_ 2 2 5=0,4. f (О,4)=0,43 -6-О,4+2=- 0,336, f (0)=2, между О и 0,4. Применяя то, следовательно, корень к этому интервалу снова формулу (2), получим следующее приближение: О 8 2,336 =0,342 и т. д. (0,4-0)-2 а2=0- -0,336-2 Аналогичным образом найдем приближенные значения корней в других интер валах. 2. Способ касательных (способ Ньютона). Пусть снова (х1 ) О, (х2 ) О, причем на отрезке [х 1 , х 2 ] первая производная не меняет своего знака. Тогда в интервале (х 1 , Х 2 ) имеется один корень уравнения (х) У < f = > f f = О. Предположим еще, что и вто- рая производная не меняет В своего знака на отрезке [ х1 , х 2 ]; этого можно добиться путем интервала, уменьшения содержащего Сохранение знака длины корень. второй произ .:с водной на отрезке [х 1 , х 2 ] означает, что кривая либо только выпукла, ли бо только вогнута на участке [хн х 2 ]. Проведем касательную к кривой в точке В (рис. 158). Абсцисса а 1 точки пересечения касательной с осью А Рис. Ох будет 158. приближен ным значением корня. Чтобы найти эту абсциссу, напишем урав нение касательной в точке В: КРИВИЗНА КРИВОЙ 202 Заметив, что х = а1 (ГЛ. VI при у= О, получим а1 f (х2) = Х2- f' (х2) (3) • f (а 1 )), Проведя затем касательную в точке В 1 (а 1 ; аналогично находим более точное значение корня а 2 • Повторяя этот прием несколько раз, мы можем вычислить приближенное значение корня с любой нужной нам точностью. Отметим следующее обстоятельство. Если бы мы прове.тп-1 ка сательную к кривой не в точке В, а в точке А, то могло окаУ уд Рис. Рис. 159. 160. эаться, что точка пересечения касательной с осью Ох находится вне интервала (х 1 , х 2 ). Из рис. 158 и 159 следует, что касательную нужно проводить в том конце дуги, в котором знаки функции и ее второй произ !/ в водной совпадают. Так как на от резке [ х1 , х 2 ] вторая производная, по условию, сохраняет знак, то это совпадение знаков функции и второй производной на одном из концов обязательно имеет место. Это правило остается верным и для случая, когда (х) О. Если ка- < f' О сательная проводится в левом кон- -+----r--<>.__'=--_ _ _ _ ___,___ .z це интервала, то .тд а1 = Х1А Рис. приближенное (рис. 160). 161. значение в (3) формуле вместо х2 нужно подставить х 1 : f (х1) f' (х1) • (3') В случае, когда внутри интервала (xi, х2 ) есть точка перегиба С, способ касательных может дать корня, лежащее вне интервала (х 1 , х 2 ) Пр им ер 2. Применим формулу (3') к вычислению f(x)=x 3 -6x+2=0, заключенного в интервале (О; 1). корня уравнения Имеем/ (0)=2, УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВ'Е f' (О)= (Зх 2 -6) l 2 а 1 =0 ~ _ lx=o = - 6, f" VI 203 (х) = 6х;;,, О, поэтому по формуле (З') получаем 6 =з=О,333. 3. Комбинированный способ (рис. 161).Применяяна отрезке [ xi, х 2 ] одновременно способ хорд и способ касательных, мы получаем две точки ai и а 1 , лежащие по разные стороны от искомого корня а (так как (а 1 ) и (а 1 ) имеют разные знаки). Далее, на отрезке [ а 1 , а 1 ] применяем снова метод хорд и метод f f касательных. В результате получаем два числа: а 2 и а 2 , еще более близких к значению корня. Продолжаем таким образом до тех пор, пока разность между найденными приближенными значениями не станет меньше, чем требуемая степень точности. Заметим, что при комбинированном методе мы приближаемся к искомому корню одновременно с обеих сторон (т. е. мы находим одновременно как приближенное значение корня с избытком, так и приближенное значение корня с недостатком). Так, в рассмотренном f (0,333) > О, f (0,342) < О. нами примере путем подстановки убеждаемся, что Следовательно, значение корня заключено найденными приближенными значениями: 0,333 х 0,342. < < У п р аж н е н и я к между r л а в е VI Найти кривизну кривых в указанных точках: 1. Ь 2х 2 +а 2 у2 =а 2 Ь 2 в точках (О, Ь) и (а, О). Отв. Ь/а 2 в точке (О, Ь); а/Ь2 вточке(а, О). 2. xy=l2 в точке (3, 4). Отв. 24/125. 3. у=х3 вточке (х 1 ,у 1 ). отв бх~ 16у2 =4х 4 -х6 вточке(2 О) Отв ..!.. 5 x2n+x2l 3 =a 21:J 4 · (1+9xf) 3 / 2 • • ' • 2· · • в произвольной точке. Отв. l/(3V1 аху 1). Найти радиус кривизны нижеследующих кривых в указанных точках; вычертить каждую кривую и построить соответствующий круг кривизны: 6. у 2 =х3 в точке (4, 8). Отв. R =80-VI0/3. 7. х 2 =4ау в точке (О, О). Отв. R=2a. 8. Ь2 х2 -а2 у2 =а2 Ь2 в точке (ч, у 1). Отв. R= (Ь4х +а4у )а/2 1 а 4ь/ 9. y=lnx в точке (1, О). Отв. R=2V2. 10. y=slnx в точке (n/2, 1). 3 x=acos R = 3а sln ft cos tt. Отв. R = 1. 11. inз t при t= t 1 • Отв. y=as t,} Найти радиус кривизны кривых: 2 x=3tt.:_tз 12. y= 3 R =а/2. 14. } при t=l. Отв. R=6. 13. Спираль Архимеда р=а0. Отв. p=a(l-cos0). R=a 2 /3p. 17. Отв. " 2ар. R= 32 "r- Парабола р=а sec2 (0/2). 16. Окружность +а2) з /2 Р + а . .(р.2 R - 2 2 2 Лемниската Отв. R=2asec8 p=asin0. • р2 = : • Отв. 15. К:ардионда а2 cos 20. Отв, 18. p=asln3 : • з 2 0 о тв. R =тasln з· Найти точки кривых, в которых радиус кривизны имеет наименьшее зна• чение; КРИВИЗНА КРИВОЙ 204 19. у= ln х. Отв. (-v22-, - ~ (ГЛ. у=ех. Отв. ln 2). 20. ( - : ln2, ~ 21. Vx+VY=Vet, Отв. (: , : ) . 22. у=а ln ( 1-;: ) (О, О) R=a/2. Найти координаты центра кривизны (а, 13) VI 2 ). Отв. В точке • и уравнения эволюты для каж- дой из следующих кривых: _у2 -1 0 23 . х2 а2 ь2 . тв. = а2/ 3 • ~ Отв. а= а = (а2+Ь2) х3 • а4 x+3x1 l 3 y 2 l 3 ' 13= { 27. y=kslnt. х=а (cos t+ t sln t), { 28. у=а (sin t-t cos t). Отв. " - u+3x 2l 3 yl/ 3 , а4у-9у• 2а4 • { x=3t, 26. y=t2-6, X=k ln ctg (t/2)-k cos t, R -- ' (а2+Ь2) у3 Ь4 • 24 •х у = а 4 + 15у4 25. у3=а2х. Отв. а= 6 2 ; ау 4 а:=-зtЗ; Отв. 2/3+ 2/3 3 ~=3t2 __2' k (ex1k+e-xtk) Отв. у= 2 (трактриса). { a=acos t; ~=asln t. 29. x=acos3 t1 y=asln 3 t. Отв. а=а cos3 t+Зacos tsin 2 t; ~=asln 3 t+Зacos 2 tsln t. 30. Вычислить с точностью до 0,001 корни уравнения х 3 -4х+2=0. Отв. Х1= 1,675, Xz=0,539, Хз=-2,214. 31. Для уравнения t(x)=x•-x-0,2=0 определить приближенное зна чение корня, заключенное в интервале (1; 1,1). Отв. 1,045. 32. Вычислить корни уравнения х 4 +2х 2 -6х+2=0 с точностью доО,01. Отв. 0,38 < х 1 < 0,39; 1,24 < х 2 < 1,25. Отв. х 1 ~ 1,71, 33. Решить приближенно уравнение х3 -5=0. Х2,з=1,71, -l±iV1 , 2 Найти приближенное значение корня уравнения x-tg х=О, который находится между О и Зл/2. Отв. 4,4935. 35. Вычислить с точностью до 0,0001 корень уравнения sln х= 1-х. 34. Указ ан и е. Привести уравнение к виду Разные 36. Показать, что в каждой f (х) =0. Отв. Отв. < х < 0,5111. задачи = а2 cos 2ср точке лемнискаты р 2 пропорциональна радиус-вектору этой точки. 37. 0,5110 кривизна Найти наибольшее значение радиуса кривизны кривой р = а sin 3 ~ • R=3a/4. 38. Найти координаты центра кривизны кривой у= х ln х в точке, где у'= О. Отв. (е- 1 , О). 39. Доказать, что для точек спирали Архимеда р= aip при ср-н)О вели чина разности между радиус-вектором и радиусом кривизны 40. Найти параболу у=ах 2 +ьх+с, точке (л/2, 1) х2 лх общие л2 касательную и стремится к О. имеющую с синусоидой кривизну. Сделать чертеж. y=sln х в Отв. у= =-2+2+ 1 -в· 41. Функция у= f (х) определена так: f (х)=х3 в интервале -оо < х..;;;; 1, f (х)=ах 2 +Ьх+с в интервале 1 < х <+оо. Каковы должны быть а, Ь, с для того, чтобы линия непрерывную кривизну? Сделать чертеж. Отв. а= 3, Ь = y=f (х) имела -3, с= 1. везде УПРАЖНЕНИ.Я I< ГЛАВЕ VI Показать, что радиус кривизны циклоиды 42. 205 в любой ее точке вдвое больше длины нормали в той же точке. Написать уравнение окружности 43. (1, 1). Отв. (х+4) 2 + (у-; 44. Написать уравнение ) = 1~5 . кривизны параболы у=х 2 в точке 2 окружности кривизны кривой ( y=tg х в точке ( : ,1) , Отв. ( х- :t 410 у+ у- : ) = \2:. 45. Отв. 4 2 Найти длину всей эволюты эллипса, полуоси (а3 -Ь3)/аЬ. которого равны а и Ь, 46. Найти приближенное значение корней уравнения хеХ =2 с точностью 0,01. Отв. Уравнение имеет единственный действительный корень х:::::0,84. 47. Найти приближенное значение корней уравнения х ln х = 0,8 с точ ностью до 0,01. Отв. Уравнение имеет единственный действительный корень до х:::::1,64. 48. Найти приближенное значение корней ностью до х::::: 1,096, 0,001. уравнения х 2 aratg х= 1 с точ Отв. Уравнение имеет единственный действительный корень ГЛАВА VII КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНЫ § 1, Комплексные числа. Исходные определения Комплексным числом z называется выражение (1) z=a+ib, где а и Ь-действительные числа; единица, определяемая равенством i-так называемая мншшя или i=V-1 (2) а называется~действительной или вещественной частью, Ь-мнимой частью числа z. Их обозначают так: a=R.ez, b=lmz. = Если а= О, то число О+ ib ib называется чисто .мнимы.и; если Ь=О, то получается действительное число: a+iO=a. Два комплексных числа z=a+ib и z=a-ib, отличающиеся только знаком мнимой части, называются сопряжен ® !/ ными. llta,bJ ,11 (l Q Принимаются два основных определения. 1. Два комплексных числа z1 = а 1 + ib1 и z 2 = а 2 + ib 2 считаются равными: z1 = z 2 , если ai = а 2 , bi = Ь 2 , т. е. если равны в от дельности их действительные и мнимые части. Рис. 2. Комплексное z =а+ ib = О, тогда 162. число z равно нулю: и только тогда, когда а=О, Ь=О. 1. Геометрическое изображение комплексных чисел. Всякое комплексное число z =а+ ib можно изобразить на плоскости Охц в виде точки А (а, Ь) с координатами а и Ь. Обратно, каждой точке плоскости М (х, у) соответствует комплекс ное число z = х iy. Плоскость, на которой изображаются комп + лексные числа, называется плоскостью комплексной переменной (рис. 162) (на плоскости ставить символ z в кружке). z КОМПЛЕl(СНЫЕ ЧИСЛА. ИСХОДНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИ.Я § 1) 207 Точкам плоскости комплексной переменной z, лежащим на оси Ох, соответствуют действительные числа (Ь =О). Точки, ле жащие на оси Оу, изображают чисто мнимые числа, так как в этом случае а= О. Поэтому при изображении комплексных чисел на плоскости комплексной переменной z ось Оу называют осью мнимых чисел или мнимой осью, а ось Ох-действительной осью. Соединив точку А (а, Ь) с началом тор ОА. В координат, некоторых случаях удобно считать получим век геометрическим = изображением комплексного числа z а+ ib вектор О А. 2. Три r он омет р и чес к а я форм а з апис и к ом пл е к с но r о числ а. Обозначим через (J) и , (r ~ О) полярные ко ординаты точки А (а, Ь), считая начало координат полюсом, а положительное направление оси Ох- полярной осью. Тогда (рис. 162) имеют место следующие равенства: а= r cos (J), Ь r sin (J), = а следовательно, комплексное число а+ ib= или z можно представить в форме r cos q:,+ ir sin (J) z = r (cos {j) + i sin (J)). (3) Выражение, стоящее справа, называется тригонометрической формой записи комплексного числа z =а+ ib; r называется мо дулем комплексного числа (J)-аргументом комплексного чис ла z; они обозначаются так: z, r = 1z \, Величины r (J) = arg z. (4) и <р выражаются через а и Ь, очевидно, так: Г = V а 2 + Ь2 , Итак, (jJ = Arctg .!!.... , а ib 1= V а 2 + Ь 2 ' arg (а+ ib) = Arctg .!!.... • 1 z 1= 1а+ arg z = (5) а Аргумент комплексного числа считается положительным, если он отсчитывается от п9ложительноrо направления оси Ох против часовой стрелки, и отрицательным при противоположном направ лении отсчета. Очевидно, что аргумент (J) определяется значно, а с точностью до слагаемого 2:rtk, не одно где k-любое целое число. z= 3 а меч ан и е. Сопряженные комплексные числа a-ib имеют равные- модули I z \ = zl, z =а+ ib и а их аргументы равны по абсолютной величине, но отличаются знаком: arg z = - arg \ z. Отметим, что действительное число А также может быть за писано в форме (3), -а именно: А= 1 А 1 (cos О+ i sin О) А= 1А 1(cosn+i sin:rt) при при А >0, А<О. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНЫ (ГЛ. Модуль комплексного числа О -равняется нулю О: 1О 1= О. VII В ка честве же аргумента нуля можно принять любой угол <р. Дейст- yr ла q> имеет место равенство 0= О (cos IP+ i sin «р). вительно. для любого § 2. Основные действия над комплексными числами 1. Сложение комплексных чисел. Суммой двух комплексных чисел Zf = а1 ib1 и z2 = а 2 ib 2 называется комп + лексное число, z1 определяемое +z = (а1 + ib 1) 2 + равенством + (а 2 + ib 2) = (а 1 +а 2) + i (Ь1 +Ь 2). (1) Из формулы (1) следует, что сложение комплексных чисел; изображенных векторами, производится по правилу сложения векторов (рис. 163, а). 9 (11 О.) о; Рис. 2. двух 163. В ы читан и е к ом пл е к сны х комплексных чисел Zt а1 ib1 и = + чисел. z2 = а 2 Разностью называется + ib2 z2 , дает в + i (Ь1 -Ь2). (2) такое комплексное число, которое, будучи сложено с сумме комплексное число zi-Z 2 = (а1 z1 : + ib )-(a + ib 1 2 2) = (й~-а 2) Огметим, -qfo :модуль разности двух комnлексных чисел равен расстоянию между точkами, изображающими эти числа на плос кости компл~ксной переrv~:енной (рис. 163, 6): 1Z1-Z21 = V (а1 -а 2 ) 2 + (Ь 1 -Ь 2 ) 2 • 3. Ум н о жен и е к ом п л е к с н ы х ч и с ел. П роиэведением комплексных чисел z1 = а 1 ib1 и z2 = а 2 ib 2 называется такое + комплексное число, которое + получается, если мы перемножаем эти числа как двучлены по правилам алгебры, учитывая только, что f1=-l, J8=-i, f4=(-i)•i=-~=J, и вообще при любом целом i'k= 1, i~ki'l=i, i6 =i k ,i4k+2=-1, j4/Н3=-i. И Т. Д.t основны~ ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ §2) 209 На основании этого правила получаем z1z2 = (а 1 + ib 1 ) (а 2 + ib 2) = а1а 2 + ib1a2 + ia 1b2 + i2b1 b2 , или (3) Пусть комплексные числа даны в тригонометрической форме: z1 = r 1 (cos <р 1 + i sin <р1), z 2 = r 2 (cos <р 2 + i sin q, 2). Найдем произведение этих чисел: + + + + z1 z 2 = , 1 (cos с:р 1 i sin <pi) r 2 (cos <р 2 i sin с:р 2) = = r 1r 2 [ cos q,1 cos (1) 2 + i sin <р1 cos <р2 i cos (J)i sin (1) 2 + i1 sin <р1 sin q, 2]= = r1, 2 [ ( cos <р1 cos <р 2 - sin <р 1 sin <р 2 ) i (sin (1)1 cos q, 2 cos (1)1 sin (1) 2) ]= = r1, 2 [ cos ((1)1 (1)2) i sin ((1)1 1Р2Н· + + + + Таким образом, z1 z2 = r1, 2[ cos (<р1 + q, + i sin ((1) + q, 2) 1 (3') 2)], т. е. произведение двух комплексных чисел есть такое комплекс ное число, модуль которого равен произведению модулей сомножи телей, а аргумент равен сумме аргументов сомножителей. 3 а меч ан и е 1. Произведение сопряженных комплексных чи- сел z =а+ ib и 'i a-ib в силу равенства (3) выражается так: ZZ=a 11 +ь 2 , или zz=' z12= 1z12. Произведение квадрату 4. модуля сопряженных каждого из комплексных чисел равняется них. Дел е н и е к о м п л е к с н ы х ч и с е л. Деление комплекс щ,1х чисел определяется как действие, обратное умножению. z1 1/:11 Пусть z1 =a1 +ibн z2 =a2 +ib2 , /z 2 l=Va;+Ь:=#=O. Тогда есть такое комплексное число, что zi = z2z. Если =z то или а1 + ib1. = (а2х -Ьаи) + i (а2у+ Ь11х); х и у определяются из системы уравнений й:t = aiaX - Ьаи, ь, = Ь2Х +йаУ• (ГЛ. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНЫ 210 VII Решая систему, находим а1а2+!:1Ь2 х=~~~""" а~+ь: ' (4) Практически деление комплексных чисел выполняется следую + ib щим образом: чтобы разделить z1 = а 1 жим к.омплексное делимое и делитель на на 1 z2 = а 2 число, + ib 2, умно сопряженное делителю (т. е. на а 2 - ib 2). Тогда делителем будет действительное число; разделив на кеrо действlfГельную и мнимую части делимого, получим частное: ib 1 +ib 2 = а1 + a2 (а1 + ib1) (a2-ib2) (a 2 +ib 2) (a2-ib2) (а1а2+Ь1Ь2) +i (а~Ь 1 -а1Ь2) а~+ь: = = а1а 2 +Ь 1 Ь2 2+ь22 а2 + i.a2bf-a1 b~ 2+ь2 • а2 2 Если комплексные числа даны в тригонометрической форме: Zt =r1. (coscp 1 + i sincp 1), z2 = , 2 (созср 2 +i sinqJ 2) 1 то (5) Для проверки этого равенства достаточно умножить делитель на частное: , 2 (cos (J) 2 =r 2 + i sin ср 2) 'f [ cos (cpi -q> + i sin (IPt 2) Г2 'i [ cos ((1) 2 '2 + (J)f - qJ 2) + i sin (IP + (J)f 2 (J) 2)] qJ 2)1 = = ri (cos (J)f + i sin ср 1). Таким образом, модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя; аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя. 3 а меч ан и е 2. Из правил действий над комплексными чис лами следует, что в результате операций сложения, вычитания, умножения лексное и деления комплексных чисел получается снова комп число. Если правила действий над комплексными числами применить к действительным числам, рассматривая их как частный случай комплексных, то эти правила будут совпадать с обычными пра вилами действий, известными из арифметики. 3 а меч ан и е произведения что если в и этих 3. Вернувшись к определениям суммы, разности, частного комплексных выражениях заменить чисел, легко проверить, каждое комплексное число сопряженным, то и результаты указанных действий заменяются ВОЗВЕДЕНИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИС.,1А В СТЕПЕНЬ §3) частности, сопряженными числами. Отсюда, в 211 вытекает следую щая теорема. Теорем а. Если в многочлен. с действителышми коэффици ентами A 0 xn+A 1 xn- 1 + ... +Ап подставить вместо х число a+ib, а затем сопряженное число a-ib, то и результаты этих подстановок будут взаимно сопряженными. § 3. Возведение комплексного числа в степень и изв~ечение корня из комплексного числа 1. Возведение в степень. Из формулы n- параграфа следует, что если целое [r (cos с:р + i sin с:р)]п = (3') предыдущего положительное ,п (cos nc:p+ i число, то (1) sin nc:p). Эта формула называется формулой Муавра. Она показывает, что при возведении комплексного числа в целую положительную степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножа ется на показатель степени. Рассмотрим теперь еще Полагая в этой формуле r (cos q; одно приложение формулы Муавра. получим = 1, + i sin c:p)n = cos nc:p+ i sin nc:p. Разлагая левую часть по формуле бинома Ньютона и прирав нивая действительные и мнимые части, мы сможем выразить sin nc:p и cos nc:p через степени sin с:р и cos с:р. Так, например, в З получаем случае n = cos 3 с:р+ i• З cos 2 c:p sin с:р-3 cos с:р sin2 с:р- i sin3 с:р= cos Зс:р+ i siп Зс:р; - используя условие равенства cos Зс:р = cos 3 <р - 3 cos с:р sin2 <р, 2. Из влечение двух sin Зс:р = - sin к о р н я. чисел, комплексных Корнем 3 <р + 3 cos2 с:р sin <р. cmeneнtt п-й получим из комп лексного числа называется такое комплексное число, п-я степень которого равняется подкоренному числу, т. е. j/r (cos с:р+ i sin с:р) = р (cos'lj,+ i sin 'Ф), если pn (cos n'lj, + i sin mj,) = r (cos с:р + i sin с:р). Так как у равных комплексных чисел модули должны быть равны, а аргументы могут отличаться на число, кратное 2n, то pn=r, nф=c:p+2kn. Отсюда находим р= j/,, 'Ф=q>+ 2 kn, где п k - любое целое число, j/, - а]}ифметическое (т. е. действитель ное положительное) значение корня из положительного числа Следовательно, v' r (cos с:р+ i sin <р) = j/, ( cos q>+;lm + 'i sin q>~2kn) • r. (2) [ГЛ. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНЫ 212 VII Придавая k значения О, 1, 2, ... , п-1, получим п различ ных значений корня. Для других значений k аргументы будут отличаться от полученных на число, кратное 2n, и, следователь!/ но, получатся значения корня, совпадающие с рассмотренными. Итак, ного д корень п-й степени из комплекс числа имеет п различных значений. Корень п-й степени из действительного -+--+-~___...----,~g; .... числа А, отличного от нуля, также имеет п значений, так ляется как действительное число частным случаем жет быть представлено кой форме: Рис. в яв и мо тригонометричес то А = 1А 1(cos О+ i sin О); то А= 1А 1(cosл:+isinn). если А> О, 164. комплексного если А< О, Пр и м е .р 1. Найти все значения кубического корня из единицы. Ре щ е ни е. Представим единицу в тригонометрической форме; 1 =cosO+isin О. По формуле (2) получаем V -1 = V cos о+ i1 Полагая Х1 =COS k равным О, o+i sin 0= 1, • i s1n о= cos 0+2k:rt -3 -+i. s1n 0+2k~ -3- . 1, 2, находим три значения X2=tOS (2:rt/3)+ isin (2:rt/3), корня: Х3= cos (4:rt/3)+i sin (4:rt/3). Учитывая, что cos (2:rt/3)=-112, sm (2:rt/3)= уз/2, cos (4:rt/3)=-112, sm (4:rt/3)=-V'з/2, получаем х1 = 1, х2 = -1 /2 На рис. 164 точки А, + iVЗ/2, В, С Хз =-1 /2- iVЗ/2. являются геометрическими изображениями полученных корней. 3. Решение двучленного уравнен и я. Уравнение вида xn=A называется двучленным. Найдем корни этого уравнения. Если А есть действительное положительное число, то Х= 'V А ( cos 2:л +i sin 2: ) (k=O, 1, 2, .... п-1). Выражение в скобках дает все значения корня п-й степени из Если А - 1. действительное отрицательное число, то Х= 'VIA 1 ( cos :rt~2k:rt +i sin :rt+,;k:rt). Выражение в скобках дает все значения корня п-й степени из Если А-комплексное число, форму Jie (2). -1. то значения х иаходятся по ПОКАЗАТЕЛЬНА.Я ФУНКЦИЯ: С КОМПЛЕКСНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ 54) Пр им ер rая Решить уравнение х"'= 2. I. Решение. х= if cos 2kп+ i sin 2kп = cos (2kn/4) + i sin (2kn/4). Пола- k равным О, 1, 2, З, получаем х1 х1 = cos О+ i sin О= 1, = cos (2п/4) + i sin (2п/4) = i, X3=COS (4n/4)+isin i sin х 4 = со::; (бп/4) + § 4. Пусть z 213 (4п/4)=-1, (бп/4) = - i. Показательная функция с комплексным показателем и ее свойства z= х + iy. Если х и у - действительные переменные, то называется комплексной переменной. Каждому значению комп лексной переменной z на плоскости Оху (пл о с к о ст и к ом п л е к с н ой п ер ем е н н ой) соответствует определенная точка (см. рис. 162). О п р еде лен и е. Если -каждому значению комплексной пере менной z из некоторой области комплексных значений соответ ствует определенное значение другой комплексной величины w, то w есть функция комплексной переменной z. Функции комплекс ного аргумента обозначают w = f (z) или w = w (z). Здесь мы рассмотрим одну функцию комплексной переменной показательную функцию - или W=eX+i'J. Комплексные значения функции w определяются так*): (fC+iY = ех (cos у+ i sin у), (1) w (z) = еХ (cosy + i siny). (2) т. е. Пр им еры: 1.z=l+:i, 2. z=O+ ~ i, 3. Z= 4. z=х-действительное l+i, число, ex+oi=ex(cosO+isinO)=eX-oбычнaя nоказательная функция. Свойства показательной функции. 1. Если z1 и z2 - два комплексных числа, то ez,+z. = ez,ez•. (3) *) Целесообразность такого определения показательной функции комnлЕ'кс иой переменной будет показана и ниже, см. § 21, гл. XIII и § 18 гл. XVI, (т. II). (ГЛ. I<ОМПЛЕI(СНЫЕ ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНЫ 214 Д о к а з а т е л ь с т в о. Z1 =Х1 VII Пусть +iyi, тогда ez, +z, = е<х, +iy,) +(x,+iy,) = е<х,+х,) +i (у,+ У,)= = ех,ех, [ cos (у 1 + у2 ) + i sin (Yi + У2)], С другой стороны, на основании теоремы о (4) произведении двух комплексных чисел в тригонометрической форме будем иметь ez,ez, = ex,+iu,ex,+iy, = В равенствах и левые: 2. (4) и ех, (5) ez, +z, = ez,ez,. = (cos У1 +i siny1) ех, (cosy2+i siny2) = ех,ех, [cos (у 1 у 2 ) i sin (yi + у 2 ) ]. + + (5) правые части равны, следовательно, равны Аналогичным образом доказывается формула (6) 3. Если т- целое число, то (ez)m = emz. > (7) При т О эта формула легко получается на основании формулы (3); если т О, то она получается на основании формул (3) и (6). 4. < Справедливо тождество (8) Действительно, по формулам ez+ 2 л:i (3) и (1) получаем = &e2 ni = ez (cos 2л + i sin 2:rt) = &. На основании тождества (8) следует, что показательная функция есть периодическая функция с периодом 2:rti. 5. Рассмотрим, далее, комплексную величину w = и (х) ez + iv (х), где и (х) и v (х) - действительные функции действительной пере менной х. Это есть комплексная функция действительной пере менной. а) Пусть существуют пределы lim и (х) Х-+Хо + = и (х 0 ), lim v (х) = v (х 0 ). Х-+Х,о = Тогда и (х 0 ) iv (х 0 ) w 0 называют пределом менной w. б) Если существуют производные и' (х) и w; = и' (х) + iv' (х) комплексной пере v' (х), то выражение (9) будем называть производной комплексной функции действительной переменной по действительному аргументу. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА 215 Рассмотрим, далее, следующую показательную функцию: w = ea.x+if:!x = e<a.+if:J) х, - где а и Р постоянные действительные числа, а х - действитель ная переменная. Это есть комплексная функция действительной переменной, которую по формуле (1) можно переписать так: w= еах [cos Рх+ i sin Рх] или w= еа.х cos Вх + iea.x sin Вх. w;. По формуле (9) будем иметь + i (еа.х sin Рх)' = = еа.х (а cos Рх - Р sin Рх) iea.x (а sin Вх + Р cos Рх) = а[еа.х (cosBx+ i sin Рх)]+ ф [еа.х (cos Рх+ i sin Рх)] = = (a+iB) [еа.х (cos Вх+ i sin Рх)] = (а+ iP) e<a.+ii3Jx. Найдем производную w; = (еа.х cos Рх)' + = Итак, если W=e<a.+if:!>X, то w'=(a+iP)e<a.+if:!)x, [e<a.+i/3) х]' = (а+ ф) e<a.+if:!) х. или (10) Таким образом, если k - комплексное число (в частности действи тельное) и х - действительное число, то (ekx)' = kekx. (9') Получили обычную формулу дифференцирования показательной функции. Далее, (ekx)" = и при произвольном [(е"хУ]' п (е"Х)(п) = k (ekx)~ = k2efl'J = knekx. Эти формулы нам потребуются в дальнейшем. § 5. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа Если в формуле то (1) предыдущего параграфа положим х=О, получим: е1У = cos у+ i sin у. (1) Это есть фор,иула Эйлера, выражающая показательную функцию с мнимым показателем через тригонометрические функции. Заменяя в формуле (1) у на -у, получим = cos у - i sin у. е- iy Из равенств (1) и (2) найдем cosy и (2) siny: (3) l(ОМПЛЕl(СНЫЕ ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНЫ 216 (ГЛ. VII Последними формулами пользуются, в частности, для выражения степеней cos ер и sin ер и их произведений через синус и косинус кратных дуг. Пример 1. cos2y=( eiY+e-lY )2 -..!..(е1•2и+2+е-i•2и)2 - = ~ 4 - [(cos 2у+ i sin 2у) +2 + (cos 2y-i sln 2у)] = 1 1 ==т(2соs2у+2)=2 (l+cos2y). Показательная форма комплексного числ Представим комплексное число в тригонометрической форме: а. z= r (cosep+i sinep), где r- модуль комплексного числа, чисJiа. По формуле Эйлера ер - аргумент cosep+ i sin ер= еiФ, комплексного (4) Следовательно, всякое комплексное число можно в та"к называемой п о к аз а т ел ь н ой форме: представить z = rei'P, Пр и мер 3. Решение. Представить числа 1, i, -2, - i в показательной форме. 1 =COS 2k:rt+isln 2k:rt=e 2knl' !!., :n;+· :rt 2 i =COS2 1 slny=e ' -2=2 (cos :rt+i sin :rt) =2eni, . -l=COS (- ISШ ( 2:rt)+·. 2:rt) =е -~l 2 • На основании свойств (3), (6), (7) § 4 показательной функции .легко производятся действия над комплексными числами в пока зательной форме. Пусть имеем z1 =r1ei'P,, z 2 =r 2 eiФ 0 • Тогда Z1 • Z 2 = r1ei'P, •r2 &'Р• = r1r ;ei <rp, +'Р•>; этот результат совпадает с формулой (5) (3') § 2. (6) 217 РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ §6) эта формула со:впадает с формулой zn = (reiФ)n эта формула совпадает с формулой • (1) (7) (1) § 3 • +2k1t 'V rei(I) = 'Vr / -n- (k = О, 1, 2, ... , п - 1); эта формула совпадает с формулой § 6, (5) § 2. = гnein(I); (8) (2) § 3. Разложение многочлена на множители Функция где п - целое число, как известно, называется многочлеН,ОМ (поли номом) или целой рациональной функцией от х; число п называется степенью многочлена. Здесь коэффициенты А 0 , Ан ствительные или комплексные числа; независимая также может принимать как действительные, так и ... , Ап - дей переменuая х комплексные значения. Корнем многочлена называется такое значение менной х, при котором многочлен обращается в нуль. пере f Теор ем а 1 (т е о р ем а Б е з у). При делении многочлена (х) на разность х-а получается остаток, раsный (а). До к аз ат ель с тв о. При делении (х) на х- а частным будет многочлен f 1 (х), степень которого на единицу ниже степени f (х), f f R. Таким образом, можем написать f (х) = (х - a)f 1 (х) + R. (1) остатком будет постоянное число Это равенство справедливо при всех значениях х, отличных от а (деление на х - а при х а не имеет смысла). Заставим теперь х стремиться к а. Тогда предел левой части равенства (1) равен (а), а предел правой части равен R. Так как функции (х) и (х - а) 1 (х) равны между собой для всех = f f f +R х =1= а, то равны и их пределы при х - а, т. е. f (а) = R. Следствие. Если а есть корень многрчлена, т. е. f(a)=O, то (х) делится без остатка на х - а и, следовательно, пред f ставляется в виде произведения где {1 (х) -многочлен. Пример в нуль, т. е. 1. f (х) = (х-а) f1 (х), Многочлен f(x)=x3-6x 2 +llx-6 при x=l обращается поэтому данный многочлен делится без остатка на х-1: f (1)=0, х 3 -6х 2 + l lx-6= (х-1) (х 2 -5х+6). Перейдем теперь к рассмотрению уравнений с одним неизвест ным х. Всякое число (действительное или комплексное), которое, будучи подставлено в уравнение вместо х, обращает уравнение в тождество, называется корнем уравнения. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНЫ 218 Пример уравнения 2. Числа cos х = sin х, х1 =л:/4, х 2 =5л:/4, х 3 =9л:/4; ... (ГЛ. VII являются корнями = Если уравнение имеет вид Р (х) О, где Р (Х) - многочлен сте пени п, то это уравнение называется алгебраическим уравнением степени п. Из определения следует, что корни алгебраического уравнения Р (х) О те же, что и корни многочлена Р (х). Естественно, возникает вопрос: всякое ли уравнение имеет корни? В случае неалrебраического уравнения ответ отрицателен: существуют такие неалrебраические уравнения, которые не имеют ни одного корня - ни действительного, ни комплексного, напри мер уравнение ех О *). Однако в случае алгебраического уравнения ответ на постав ленный вопрос положителен. Этот ответ дается основной теоремой алгебры: Теорем а 2 (осн о в н а я теорем а алгебр ы). Всякая целая рациональная функция (х) имеет по крайней мере один корень, действительный U1lU комплексный. Эта теорема доказывается в высшей алгебре. Здесь мы ее примем без доказательства. Пользуясь основной теоремой алгебры, легко доказать следую = = f щую теорему. Теорем а 3. Всякий многочлен п-й степени разлагается на п линейных множителей вида х-а и множитель, равный коэффи циенту при х". До к аз ат ель ст в о. Пусть f (х) есть f(x)=A 0 x"+A 1 xn- 1 + ... многочлен степени n: +Ап. Этот многочлен в силу основной теоремы имеет по крайней мере один корень; обозначим его через ai. Тогда на основании след ствия из теоремы Безу мы можем написать f (х) = f где 1 (х) -многочлен (п- 1)-й Обозначим его через а 2 • Тогда f1 (х) = где f 2 (х) - многочлен (п - f 1 (х), степени; f 1 (х) (х - а1) (х - а 2 ) также имеет корень. f 2 (х), 2)-й степени. Аналогично f 2 (х) = (х - аз) f з (х). *) Действительно, если бы число х 1 =а+ Ьi было корнем этого уравнения, то имело бы место тождество еа+Ы =0 или (на основании формулы Эйлера) еа (cos Ь+i sin Ь) =0. Но еа не может равняться нулю ни при каком действи тельном значении а; также не равно нулю cos Ь+i sin Ь (так как модуль этого числа равен У cos 2 Ь+sin 2 Ь = 1 при любых Ь). Следовательно, и произведение e"(cosЬ+isinb),60, т. е, ea+bi;z!=0, но это значит, что уравнение ех=о не имеет корней. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ §6) Продолжая этот процесс выделения 219 линейных множителей, дойдем до соотношения f п-1 (х) = (х- ап) f п• где fп -многочлен нулевой степени, т. е. некоторое фиксирован ное число. Это число, очевидно, равно коэффициенту при xn, 'Г. е. fп=Ао, На основании полученных равенств можем написать (2) Из разложения многочлена (2) следует, что числа f (х), так как при ai, а 2 , •.• , ап суть корни ai, х = а 2 , • • • , х=ап подстановке х = правая часть, а следовательно, и левая обращается в нуль. f Пример 3. Многочлен (х)=х 3 -6х 2 +11х-6 обращается в нуль при х=2, х=З. Следовательно, х3-6х 2 + 11х-6=(х-1) (х-2) (х-3), IC= 1, Никакое значение х = а, отличное от ·ai, а 2 , ••• 1 ап, не может быть корнем многочлена (х), так как ни один из множителей в правой части равенства (2) не обращается в нуль при х а. Отсюда вытекает следующее предложение. Многочлен п-й степени не может иметь более п различных f = корней. CJ>t Но в таком случае имеет место следующая теорема. Теорема 4. Если значения двух многочленов п-й степени (х) и q, 2 (х) совпадают при п 1 различных значениях а 0 , at, + а1 , .•• , ап аргумента х, то эти многочлены тождественны. До к аз ат ель ст в о. Обозначим через f (х) разность много членов f (х) = (J) 1 (x)-(J) 2 (х). По условию щийся в нуль представить в f (х) есть многочлен степени не выше п, обращаю в точках а 1 , ••• , ап. Следовательно, его можно виде f (х) = А 0 (х-а 1 ) (х-а 2) ... (х-ап). Но по условию f (х) обращается в нуль также в точке а 0 , Тогда f (а 0 ) = О и при этом ни один из линейных множителей не равен нулю. Поэтому А 0 = О, а тогда из равенства (2) следует, что многочлен (х) тождественно равен нулю. Следовательно, ср1 (х) - (J) 2 (х) О, или qJ 1 (х) (J) 2 (х). Теорем а 5. Если многочлен = f = P(x)=A 0xn+A 1x"- 1 + ... +Ап_ 1 х+Ап тождественно равен нулю, то все его коэффициеют,t равны нулю. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНЫ 220 До к аз ат ель ст в о. VII Запишем разложение этого многочлена на множители по формуле Р (ГЛ. (2): (x)=A 0xn+A 1xn-i+ ... +Ап_ 1х+Ап= = А 0 (х - а1) ••• (х - ап)- (1 ') Если этот многочлен тождественно равен нулю, то он равен нулю и при некотором значении х, отличном от а 1 , ни одна из скобок х- а 1 , ••• , х - ••• , ап. Но тогда ап не равна нулю и, следова тельно, А 0 = О. Аналогичным образом доказывается, что А 1 = О, А 2 = О и т. д. Теорем а 6. Если два многочлена тождественно равны друг другу, то коэффициенты одного многочлена равны соответствую щим коэффициентам другого. Эго следует из того, что разность данных многочленов есть многочлен, тождественно равный нулю. Следовательно, на осно вании предыдущей теоремы все его коэффициенты-нули. Пр им ер 4. Если многочлен ах3+Ьх 2 +сх+d тождественно равен мно гочлену х 2 -5х, то а=О, Ь= l, с=-5, d=O. § 7. О кратных корнях многочлена Если в разложении многочлена n-й степени на линейные мно жители (1) некоторые линейные множители окажутся одинаковыми, то их можно объединить, и тогда разложение многочлена на множители будет иметь вид f (х) = А 0 (х- a 1)k, При этом k1 (x-a 2 )k• .•• (х -ат)kт. + k + ... + km = п. 2 В этом случае корень а 1 называется корнем кратности k 1 -кратным корнем, а 1 - корнем кратности k 2 и т. д. Пр им ер. Многочлен f f (х) =х3-5х2 +8х-4 = (1 ') k1 или разлагается на следующие линейные множители: (х) (х-2) (х-2) (х-1). Это разложение можно на писать так: f(x)=(x-2) 2 (x-l). Корень а 1 =2-двукратный корень, а 2 =1простой корень. Если многочлен имеет корень а кратности k, то мы будем счи тать, что многочлен имеет k одинаковых корней. Тогда из теоремы о разложении многочлена на линейные множители получается следующая теорема. Всякий многочлен п-й степени имеет ровно п корней (дейст вительных или комплексных). 3 а меч ан и е. Все, что говорилось о корнях многочлена f (x)=AoXn+A1xn-1+ ... +Ап, СЛУЧАЙ I<ОМПЛЕI<СНЫХ КОРНЕЙ §8] 221 можно, очевидно, сформулировать в терминах ческого корней алгебраи уравнения Aoxn+A1xn-1+ ... +Ап=О. Докажем, далее, следующую теорему. Теорем а. Если а 1 является для многочлена (х) корнем крат ности k 1 1, то для производной (х) это число является кор нем кратности k1 - 1. До к аз ат ель ст в о. Если а 1 есть корень кратности k1 1, то из формулы (1') следует: > f f' > f (х) = где <р (х) = (х- a2 )k• т. е. <р (а 1 ) f' (х) = •.• (х q:, (х), ат)kт не обращается в нуль при х = ai, =f= О. Дифференцируя, получим k1 (х - a 1)k,- 1 <р (х) Обозначим + (х - a1 )k1 q:,' (х) = = (x-a 1 )k,- 1 [k 1<p (х) + (х-~) <р' (х)]. 'Ф (х) = k 1<p (х) Тогда f' причем - (х- a1)k, (х) 'IJ, (а 1) = k 1<p (а 1) + (х -- а 1) <р' (х). = (х - + (а 1 a1)k, -1'Ф (х)' а 1) <р' (а 1 ) = k1 <p (а 1) =f= О, - т. е. х = а 1 есть корень кратности k 1 -1 многочлена проведенного доказательства следует, что если является корнем производнdй f' k1 = 1, (х). f' (х). Из то а 1 не Из доказанной теоремы следует, что ai является корнем крат ности k 1 - 2 для производной производной f"' (х), для производной ной f" (х), ... , корнем f<k,- 11 (х) и не корнем кратности k1 кратности 1 - 3 для (простым корнем) является корнем для производ (х), т. е. f<k,J f (а 1 ) = О, f' (а 1 ) = О, f" (а 1 ) = О, ... , f<k,- 1 > (а 1) = О, но §, 8. В формуле ствительными, теорема. Разложение многочлена на множители в случае комплексных корней (1) § 7 так и корни а 1 , а 2 , ••• , ап могут быть как дей комплексными. Имеет место следующая f Теорем а. Если многочлен (х) с действительными коэффи циентами имеет комплексный корень а+ ib, то он имеет и со пряженный корень а - ib. До к аз ат ель ст в о. Если мы подставим в многочлен (х) вместо х число а+ ib, произведем возведение в степень и соберем f (ГЛ. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНЫ .222 отдельно члены, содержащие i и не содержащие t, Vll получим то f (a+ib)=M +iN, где М и N -выражения, не содержащие i. Так как а+iЬ-корень многочлена, то f(a+ib)=M+iN =0, откуда М=О, N=0. Подставим теперь в многочлен вместо х выражение а - ib. Тогда (на основании замечания 3 в конце § 2) мы получим iN, т. е. в результате число, сопряженное с числом М + Так как М =0 и f (a-ib) =M-iN. N =0, то f (a-ib) =0, т. е. a-ib есть корень многочлена. Итак, в разложении f(x)=A 0 (x-a 1 ) комплексные корни входят (х-а 2) поп ар но ••• (х-ап) с оп р я жен н ы ми. Перемножив линейные множители, соответствующие паре ком плексно сопряженных корней, получим трехчлен второй с действительными коэффициентами: [х- (a+ib)][x-(a-ib)] = [(х-а) степени -ib][(x-a) +ib] = = (х-а) 2 +Ь2 = х2 -2ах+а 2 +Ь2 = х8+ px+q, = + Ь2 - действительн~1е числа. -2а, q = а 2 где р Если число а+Ы является корнем кратности k, то сопряжен ное число а - Ы должно являться корнем той же кратности k, так что наряду с линейными множителями х - (а+ ib) в разло жение многочлена входят столько же линейных множителей вида х- (a-ib). Таким образом, многочлен с действителышми коэффициентами разлагается на множители с действительными коэффициентами первой и второй степени соответствующей кратности, т. е. / (х) = =А 0 (x-a 1 )k, (x-a 2 )k, ... (x-a,)kr (x 2 +p 1 x+q 1) 1• .•. (x\l+Psx+qs)'"· Пр1t этом § 9. Интерполирование. Интерполяционная формула Лагранжа Пусть при изучении некоторого явления установлено, что су ществует функциональная зависимость между величинами у и х, описывающая количественную сторону данного явления; при этом ftНТЕРПОЛ,ЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА JIАГРЛНЖА функция у= <р (х) остается нам неизвестной, 223 но на основании эксперимента установлены значения этой функции у 0 , Ун у 2 , при некоторых значениях аргумента xi, х0 , х 2 , • • • , Хп, ••• , Уп принад лежащих отрезку [ а, Ь ]. Задача заключается в том, чтобы найти функцию, по возмож ности более простую с точки зрения вычислительной (например, многочлен), которая представляла бы неизвестную функцию у= ер (х) на отрезке [ а, Ь] точно или приближенно. В более отвлеченной форме эту задачу можно сформулировать так: на отрезке [а, Ь] заданы значения ,У неизвестной функции у = <р (х) в п 1 различных точках х0 , х 1 , ••• + Уо=<р(Хо), У1=<р(Х1), •·• • • •• Уп=<р(хп); требуется найти многочлен Р(х) степени ~ п, приближенно выра жающий функцию <р (х). В качестве такого многочлена естественно взять а Ха о :с1 .X-ii Рис. 165. многочлен, точках х 0 , Xf, х 2 , ••• , хп с о впадают о соответствующими значениями у 0 , у 1 , у 2 , • • • , Уп функции <р (х) (рис. 165). Тогда поставленная задача, называемая «задачей интер полирования функции», формулируется так: для данной функции ер (х) найти многочлен Р (х) степени ~ п, который при заданных значениях х 0 , х 1 , ••• , хп принимал бы значения значения которого в Уо=<р(Хо), Yt=<p(X1), ... ,уп=ер(хп). В качестве искомого многочлена возьмем многочлен п-й степени вида Р (х)=С0 (х- х1 ) (х- х 2 ) ••• (х-хп)+С 1 (х-х 0 ) (х-х 2 ) +С2 (Х-Х0 ) (Х-Х1) (Х-Хз), .• (Х-Хп) ••• +,,, • .. и +Сп (Х-Хо) определим коэффициенты .лись С0 , С 1 , (х-хп)+ (X-Xf) .. • (х -Хп-1) ••• , Сп так, чтобы (1) выполня условия Р (хо)= Уо, Положим в формуле равенства (2), получим Уо откуда Р (Х1) (1) = Yi, • • •, Р {Хп) = Уп• (2) х=х 0 ; тогда, принимая во внимание = С 0 (Х 0 -Х 1 ) (х 0 - Х2) ••• (х0 -хп), (ГЛ. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНЫ 224 Затем, положив х = х1 , VII получим Yi = С 1 (x:i-X0) (Х1 -х2) ••• (х1 -хп), откуда С,- 1- Yi (Х1-Хо) (XJ:-X2) . • • (Х1 -Хп) Таким же образом найдем с_ У2 . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Х2-Хо) (Х2-Х1) (х2-Хз).,. (х2-Хп) ' 2- С_ Уп п - (хп-Хо) (Хп-Х1}(Хп-Х2) Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу получим р < (x-xi) (х-х2) ... (Х-Хп) ... (хо-Хп) Х)= (хо-Х1)(х 0 -х2) + + •·• ... (Хп-Хп-1) • Уо + (Х-Хо) (Х-Х2) (х1-хо)(х1-х2 ) (1), ... (Х-Хп) ... (хt-Хп)У1 + (х-х 0 ) (х-х1) ... (х-хп-1) (3) (хп-Хо) (хп-Х1) ... (Хп-Хп-~) Уп· Эта формула называется интерполяционной формулой Лагранжа. Отметим без доказательства, что если ер (х) имеет производную (п+ 1)-ro порядка на отрезке [а, Ь], то погрешность ПPfl замене функции ер (х) многочленом Р (х), т. е. величJiна удовлетворяет 1R (х) 1< \(х- х0) (х - х1 ) 3 R (х) = ер (х)-Р (х), неравенству а меч ан и е. ••• Из теоремы l (х- Хп) \ (п+ !) 1 max: 1ep(n+i> (х) \ . 4§6 следует, что многочлен Р (х) является единственным, удовлетворяющим поставленным условиям. Укажем, что существуют и другие интерполяционные фор му .llы. Одна из них - интерполяционная формула Ньютона -будет рассмотрена в § 10. Пр им ер. Из эксперимента получены такие значения функции у=(!) (х): g0 =3 при Xo=l; у 1 =-5 при х 1 =2; У2=4 при х 2 =-4. Требуется предста вить приближенно функцию y=(JJ (х) многочленом 2-й степени. Решение. По формуле (3) имеем (nри п == 2): Р(х) (х-2)(х+4) .з (1-2)·(1+4) (x~l)(x+4) •(-5)+ + (2-1)·(2+4) (х-1) (х-2) (-4-l)•(-4-2) _4 ' или § 1О. Пусть У1., ••• , этом Уп Интерполяционная формула Ньютона известны при п n+ l +l значение значении функции <р (х), а именно у0 , аргумента х0 , xi, ... , хп. При раЗilость между, соседними значениями аргумента постоянна. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА НЬЮТОНА §-iO) 225 Обозначим ее через h. Таким образом имеем таблицу значений неизвестной функции у= (J) (х) при соответствующих значениях аргумента. х х0 11 1 x 1 =x0 +h Xn=Xo+nli x 2 =x0 +2h Уп Составим многочлен соответствующие степени не выше п, который значения при соответствующих принимает значениях х. Эrот многочлен будет приближенно представлять функцию <р (х). Предварительно введем обозначения Луо = Yt - Уо, Лу1 = У2 - Y1t Л 2 Уо = У2 -2yl Лу2 = Уз - У2, · · ·, + Уо = Луl -Луо, Л 2 У1 = Лу2 -Лу1, ... ' Л 3 Уо=Уз-3У2+Зу1 -Уо=Л 2У1 -Л'J,Уо, · · ·• • • ДnуО Это так • • = • • • • • • • • • • • • • • ., • • 1 • • • • • • • • лп-lуl -лп-1Уо• наэъ1ваемые разности 1-го, 2-го, ... , п-го порядка. Напишем многочлен, принимающий значения у0 , Yi етвенно при х0 и х 1 • Это будет многочлен 1-й степени соответ Р1(Х)=Уо+ЛУох/0 • (1) Действительно, h Р1 (х) 1Х=Хо = Уо, Р1 (х) 1х=х, = Уо +лУо h Напишем многочлен, принимающий = Уо +(Yi -Уо) = У1- значения у0 , у 11 у 2 соот ветственно при х 0 , х1 , х2 • Это будет многочлен 2-й степени Х-Хо Л 2уо Х-Хо ( Х-Хо ) P2(x)=Yo+Лyo-h-+2!-h- --h--1 • (2) Действятельно, J Р2 (х) х=хо = Уо, Р2(х) \ х=х,= Уо+ЛУо•2 Р2 (х) / х=х, = Y1t Л 2у0 2h +21 h (2hh-1 ) = У2• Многочлен третьего порядка будет иметь вид р ( ) = +л Х-Хо +Л 2 уоХ-Хо (Х-Хо_1)+ з Х Уо Уо h 21 h h + л;rо х /о (х h Хо _ 1) (х /о _ 2) . (3) J/1, Наконец, многочлен п-го порядка, принимающий значения у 0 , у 1 , ••• , Уп соответственно при х0 , х 1 , х2 , ••• , хп, будет иметь 8 Н. С, Пискунов, т. 1 КОМПЛЕК:СНЫЕ ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНЫ 226 вид Х-Хо +Л 2уо Х-Хо ( х-Хо р п(х) =Уо +л Yo_h_ 2!-h- - h - - '.. + лпуо nt h VI1 ••• 1) '. ' [Х-Хо - ( -1)] h п ' ~ ( Х-Хо _ h 1) + [ГЛ. (4) в чем можно убедиться непосредственной подстановкой. Это и есть интерполяционная формула или интерполяционный многочлен Ньютона. По существу, многочлен Лагранжа и многоt{лен Ньютона для данной таблицы· значений тождественны, но по-разному написаны, так как п +1 многочлен значений степени не выше при данных п + ственным образом. Во многих случаях 1 п, принимающий заданные значениях х, находится един интерполяционный многочлен Ньютона более удобен, чем интерполяционный многочлен Лагранжа. Осо бенность этого многочлена заключается в том, что при переходе от многочлена k-й степени к многочлену (k+ 1)-й степени пер вые k + 1 членов не меняются, а только добавляется новый член, который равен нулю при всех предыдущих значениях аргумента. 3 а меч ан и е. По интерполяционным формулам Лагранжа (см. формулу (3) § 9) и Ньютона (формула (4)) определяются значения функции на отрезке х 0 х хп. Если по этим форму < < лам определяется значение функции при х I 1), < х0 (это можно делать п,ри малом х - х0 то говорят, что производится экстраполя ция таблицы назад. Если определяется значение функции при > х хп, вперед. то говорят, § t t. что производится экстраполяция таблицы Численное дифференцирование Пусть значения некоторой неизвестной функции <р (х) заданы таблицей, которая рассматривалась в начале § 10. Требуется определить приближенно производную этой функции. Эта задача решается так. Строится интерполяционный многочлен Лагранжа или Ньютона и от этого многочлена находится производная. Так как чаще рассматриваются таблицы с равными разностями между j::оседними значениями аргумента, ваться интерполяционной формулой то мы будем пользо Пусть даны три значения функции у0 , у 1 , у 2 при значениях аргумента х 0 , Xi, х 2 • Тогда пишем многочлен (2) § 10 и его дифференцируем. Полу чаем прIJближенное значение производной функции на отрезке Х 0 ~Х~Х 2 : <р' (х) ~ р; (х) = Лко При х = х0 Ньютона. + ~~ (2 х /о - 1) • (1) получаем Р' ( ) Луо Л Уо ер , (Хо) ,..,, ,.,_, 2 - Хо =-h--zii""• 2 (2\1 О НАИЛУЧШЕМ llРИБЛИЖЕНИИ- ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ § 12} Если будем рассматривать многочлен 3-го порядка (см. 227 (3) § 10), то после дифференцирования для его производной получим выра жение + л;tо ( 2х /о - 1) + + :~~~ [З ( х h х0 -б ( х h х0 + 2 ] • <р' (х) ~ р; (х) = Лко ) В частности, при х <р = х0 2 ) получаем Л2Уо Луо з Х =т-~ Р' ( ) ,( ) Хо~ Л3Уо + зiz• Если мы будем пользоваться формулой ,( ) Хо ~ Р' ( ) n х - Луо h - Л 2 Уо 2h + ЛЗhУо 3 (4) (4) § 10, ближенного выражения производной при х <р (З) = то для при- х 0 получим Л4у0 4h +' ' ' (5) Заметим, что для функции, имеющей производные, разность Лу0 есть бесконечно малая 1-го порядка, Л 2 у0 -бесконечно малая 2-го порядка, Л 3 у0 -бесконечно малая 3-го порядка и т. д. относи тельно h. § 12. О наилучшем приближении функций многочленами. Теория Чебышева В связи с задачей, рассмотренной в §§ 9 и 10, естественно поставить такой вопрос: пусть на отрезке [а, Ь] задана непре рывная функция <р (х). Можно ли эту функцию с люб ой н а пер ед з ад а н н ой ст е пен ь ю то ч н о ст и приближенно представить в виде многочлена Р (х)? Иначе говоря, можно ли подобрать такой многочлен Р (х), чтобы разность между <р (х} и Р (х) по абсолютной величине во всех точках отрезка [ а, Ь была меньше любого наперед заданного положительного числа Е? Утвердительный ответ*) на этот вопрос содержится в следующей теореме, которую мы приводим здесь без доказательства: Теорем а Вей ерш трасс а. Если функция (J) (х) непре J рывна на отрезке многочлен Р (х), [ а, Ь ], то для любого е > О существует такой что во всех точках указанного отрезка выпол няется неравенство 1q> (х) - Р (х) 1< е. Выдающийся советский математик академик С. Н. Бернштейн дал следующий способ непосредственного построения таких много- *)' Заметим, что интерполяционный многочлен Лагранжа (см. (3) § 9) не постав.ленный вопрос. Его значения равны значениям функции в точках х0 , х 1 , х2 , ••• , Хп, но они могут быть очень да.леки т значений функции в .других точках 01резка [а, Ь]. дает 8• еще ответа на КОМПЛЕКСНЫЕ ЧЙСЛА. МНОГОЧЛЕНЫ 208 (ГЛ. VII членов, которые приближенно равны непрерывной функции q> (х) на заданном отрезке. Пусть, например, функция q> (х) непрерывна на отрезке [О, Составим выражение l]. п L. q> ( ; ) С1:(хт (1-х)п-т, Вп (х) = т=О Здесь СW-биномиальные коэффициенты, ной функции ц точке х = m п q> ( ; ) - . Выражение значение дан Вп (х) является много- членом n-й степени; его называют многочленом Бернштейна. > Если задано произвольное в О, то можно подобрать такой многочлен Бернштейна (т. е. так выбрать его степень n), чтобы для всех значений х на отрезке [О, 1] выполнялось неравенство IBn (x)-q> (х) 1< в. Отметим, что рассмотрение отрезка [О, 1], а не произвольного отрезка [ а, Ь] не является существенным ограничением общности, так как с помощью замены переменной х =а+ t (Ь - а) можно любой отрезок [а, Ь] преобразовать в отрезок [О, 1]. При этом многочлен п-й степени преобразуется в многочлен той же степени. Создателем теории наилучшего приближения функций с по мощью многочленов является русский математик П. Л. Чебышев (1821-1894) - один из величайших представителей математиче ской мыс;11и. Им получены наиболее глубокие резу ль таты в этой области, оказавшие исключительное влияние на работу последую щих математиков. Исходной точкой для создания этой теории была работа П. Л. Чебышева по теории шарнирных механизмов, широко используемых в машинах. Изучая такие механизмы, он пришел к задаче разыскания среди всех многочленов данной степени с коэффициентом при старшем члене, равным единице, такого многочлена, который меньше всех отклоняется от нуля на заданном отрезке. Такие многочлены им были найдены и впоследствии учеными названы многочленами Чебышева. Эти многочлены обладают многими замечательными свойствами и в настоящее время во многих вопросах являются могучим математики и Упражнения 1. Найти (3+51)(4-1). Отв. 9+95i. 5. 7. 3. Привести Отв. V2 ( cos i+;i . Отв. Отв. ± i;; . Найти Найти уГ. Отв. к средством к rпаве l7+17i. ~i VII 2. Найти (6+111)(7+31). Найти (4-71)3 • Отв.-524+7i. Найти У- 5 - l2i. Отв. ± (2-31). : 16. исследования техники. тригонометрическому i. 4. виду l' + i sln ~ ) . б) 1- i. Отв. V2 выражения: а) + i sln 1: ) . 8. ( cos 1: 1+ i. Найти УПРАЖНЕНИS! 1( !;"ЛАВЕ V-i . Отв. i+уз VII 229 i-уз ; -i; . 9. Выразить через степени sin х и cos х 2 следующие выражения: sin 2х, CO'i 2х, sin 4х, cos 4х, sin 5х, cos 5х. 10. Выра зить cos 2 х, cos8 х, cos 4 х, cos 5 х, cos 6 х; sin 2 х, sin 3 х, sin 4 х, sin• х через 2 f синус и косинус кратных дуг. 11. (х)=х8-4х 2 +Вх-1 разделить на х+4. Отв. f (х)=(х+4)(х 2 -Вх+4О)-161, т. е. частное=х 2 -Вх+4О; остаток /(-4)=-161. 12. f (х)=х4+12х3 +54х2 +10вх+в1 разделить на х+з. Отв. f(x)=(x+3)(x 3 +9x 2 +27x+27). 13. /(х)=х7 -1 разделить на х-1. 4 6 8 2 Отв. f (х) = (х-1) (х +х•+х +х +х +х+ l), Разложить на множители с действительными коэффициентами многочлены: 14. /(x)=x4 -l, Отв. /(x)=(x-l)(x+l)(x2 +1). 15. f(x)=x 2 -x-2. Отв. /(x)=(x-2)(x+l). 16. /(x)=x8 +l. Отв. /(x)=(x+l)(x 2 -x+I). 17. На основании эксперимента получены значения функции у от х: Yi= 4 6 из= 10 У2= Представить приближенно при х 1 =0, nри х 2 = l, при х 3 =2. функцию Отв. х 2 +х+4. 18. многочленом второй Найти многочлен четвертой степени, принимающий nри Х= соответственно значения 2, 1, -1, 5, О. Отв. - 7 6 х4 79 + 6 х8 - 151 3 х2 + степени. l, 2, 3, 4, 5 226 3 х-35. 19. Найти многочлен, по возможности низкой степени, принимающий при х=2, соответственно значения 3, 7, 9, 19. Отв. 2x- l. Найти многочлены Бернштейна 1-й, 2-й, 3-й и 4-й степеней для функ y=sinnx на отрезке [О, 1). Отв. В 1 (х)=О; B2 (x)=2x(l-x); 4, 5, lO 20. ции Ва(х)= 3 ~з x(l-x); 84(X)=2x(l-x)[(2 V2 -3) х2 -(2 V2-3) х+ Jf:г'J. ГЛАВА VШ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. Определение функции нескольких переменных Рассматривая фуuкции одной переменной, мы указывали, что при изучении многих явлений приходится встречаться с функ циями двух и более независимых переменных. Приведем несколько примеров. П р и м е р 1. Площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых: равны х и у, выражается формулой S=xy. Каждой паре значений х и у соответствует С!пределенное значение площади S; S есть функция двух пере менных. Пр имер 2. Объем которых равных, у, :rpex переменных х, П р и мер скоростью v0 3. z, у, V прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины выражается формулой z. Дальность R из орудия, ствол полета выражается формулои снаряда, которого v~ sin 2<р R =---''g v V=xyz. V есть функция выпущенного с начальной наклонен (если Здесь к горизонту под углом пренебречь q,, сопротивлением воз• духа). Здесь g-ускорение силы тяжести. Для каждой пары значений v0 и (j) эта формула дает определенное значение R, т. е. R является функцией двух переменных Пр им ер мецных х, у, 4. v0 и q,. x2+y2+z2+t2 и=---'====-. Здесь и есть функция У1 +х2 z, t. О п р еде лен и е 1. Если каждой паре (х, у) значений двух не зависимых друг от друга переменных торой области их изменения D, четырех пере величнн х и у из соответствует определенное неко зна чение величины z, тв мы говорим, что z есть функция двух независимых переменных х и у, определенная в области D. Символически функция двух переменных обозначается так: z=f (х, у), z=F (х, у) и т. д. Функция двух переменных может быть задана, например, с помощью таблицы или аналитически - с помощью формулы, как это сделано в рассмотренных выше четырех примерах. На основании формулы можно составить таблицу значений функции для некоторых пар значений независимых переменных. Так, для § )J ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 231 первого примера можно составить следующую таблицу: S=xy ~\\о 1 2 3 4 t 1 1,5 1 1 1,5 3 4,5 6 1 о о о о 1 2 3 4 2 1 3 2 4 6 3 6 8 12 9 В этой таблице на пересечении строки и столбца, соответствую щих определенным значениям щее значение функции S. Если функциональная х и у, проставлено соответствую зависимость в результате измерений величины z z= f (х, у) получается при экспериментальном изу чении какого-либо явления, то сразу получается таблица, опре деляющая z как функцию двух переменных. В этом случае функ ция задается только таблицей. Как и в случае одной независимой переменной, функция двух переменных существует, вообще говоря, не при .любых значениях х и у. Определение 2. Совокупность пар (х, у) значений х и у, (х, у), называется обла при которых определяется функция z стью определения или обла_стью существования этой функции. Область определения функции наглядно иллюстрируется гео метрически. Если каждую пару значений х и у мы будем изоб ражать точкой М (х, у) в плоскости Оху, то область определения функции изобразится в виде некоторой совокупности точек на плоскости. Эту совокупность точек будем таJ<же называть облас тыо определения функции. В частности, областью определения может быть и вся плоскость. В дальнейшем мы будем главным образом иметь дело с такими областями, которые представляют собой части плоскости, ограниченные линиями. Ли нию, ограничивающую данную область, будем называть границей области. Точки области, не лежащие на границе, будем называть внутренними точками области. Область, состоящая из одних внут ренних точек, называется открытой или незамкнутой. Если же к области относятся и точки границы, то область называется замк нутой. Область называется ограниченной, если существует такая =f постоянная С, что расстояние любой точки М обJJасти от начала координат О меньше С, т. е. !ОМ[<С. Пример =2х-у. 5. Определить естественную область определения функции z= Аналитическое выражение 2х-у имеет смысл при любых значениях х и у. Следовательно, естественной областью определения функции является вся плоскость Оху. Для того чтобы стояло VIII z=Y l-x2-y2. Пример 6. нем [ГЛ. ФУНl(ЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 232 z имело действитет,ное значение, нужно, чтобы под кор неотрицательное число, т. венству 1-х 2 -у 2 ;;::о, или х 2 +у 2 о;;;;; е. х и у должны удовлетворять нера• 1. Все точки М (х, у), координаты которых удовлетворяют указанному нера венству, лежат в круге радиуса 1 с центром в начале координат и на гра нице этого круга. Пример 7. z=ln(x+y). Так как логарифмы определены только для положительных чисел, то > должно удовлетво ряться неравенство х+у О, или у >-х. Это значит, что областью определения функции z является половина плоскости, распо ложенная над прямой у= - х, не включая са• мой прямой (рис. 166). П р и м е р 8. Площадь треугольника S представляет собой функцию основания х и высоты у: S=xy/2. Областью определения этой функции яв ляется область х О, у О (так как основа > ние треугольника Рис. 166. и > его высота не могут быть ни отрицательными, ни нулем). Заметим, что область определения рассматриваемой функции не совпадает с естественной областью определения того аналитического выраже ния, с помощью которого задается функция, так как естественной областью определения выражения ху/2 является, очевидно, вся плоскость Оху. Определение функции двух переменных случай трех или более переменных. Определен и е сти значений 3. легко обобщить на Если каждой рассматр~:шаемой совокупно переменных х, у, z, ... , и, t соответствует опре деленное значение перемеrшой w, то будем называть независимых переменных х, у, z, ... , и, t и писать z, .•. , и, t) или w=f (х, у, z, ... , и, t) и т. п. w функцией w = F (х, у, Так же как и для функции двух переменных, можно говорить об области определения функции трех, четырех и более перемен ных. Так, например, для функции трех переменных областью опре деления является некоторая совокупность троек чисел (х, у, z). Заметим тут же, что каждая тройка чисел задает некоторую точку М (х, у~ z) в пространстве Oxyz. Следовательно, областью опре деления функции трех переменных является некоторая совокуп ность точек пространства. Аналогично этому можно говорить об области определения функции четырех переменных и= (х, у, z, t) как о некоторой совокупности четверок чисел (х, у, z, t). Однако область опреде f ления функции четырех или большего числа переменных уже не допускает простого В примере ная 2 геометрического при всех значениях х, В- примере 4 истолкования. приведена функция трех переменных, определен у, z. приведена функция четырех переменных. §2) ГЕОМЕТРИЧЕС!(ОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ фУЮЩИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ Пр и мер 9. w= fl-x 2-y2-z2-u2. Здесь w-функция четырех nеременных х, у, чениях nеременных, z, 233 и, оnределенная nри зна удовлетворяющих соотношению l-x2-y2-z2-u2 ;,.О. § 2. Геометрическое изображение функции двух переменных Рассмотрим функцию z= определенную в области G f (х, у), (1) на плоскости Oxg (эта область может быть, в частности, и всей плоскостью), и систему прямоугольных декартовых координат Oxyz (рис. 167). В каждой точке (х, у) восставим перпендикуляр к плоскости Оху и на нем отложим отрезок, равный (х, у). Тогда мы получим в пространстве точку Р с координатами f х, у, z= f (х, у). Геометрическое место точек Р, координаты которых удовлет воряют уравнению (1), называется графиком функции двух пере менных. Из курса аналитической геометрии мы знаем, что урав- z р Рис. Рис. 167. 168. пение (1) в пространстве определяет некоторую поверхность. Таким образом, графиком функции двух переменных является поверх ность, проектирующаяся на плоскость Оху в область определения функции. Каждый перпендикуляр к плоскости Оху пересекает поверхность z (х, у) не более чем в одной точке. =f z=x +y 2 2 , как извес,но из аналитической Пример. Графиком функции геометрии, является nараболоид вращения (рис. 168). 3 а меч ан и е. Функцию трех или более переменных изобра зить с помощью графика в пространстве невозможно. ФУНКЦИИ НЕСК9'1JЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ trл. vш § 3. Частное и полное приращение функции Рассмотрим линию PS пересечения поверхности Z= с плоскостью у= f (Х, у) const, параллельной плоскости Oxz (рис. 169). Так как сохраняет то в этой плоскости постоянное у значение, z вдоль кривой PS будет ме няться только в зависимости от изменения х. Дадим независимой переменной х приращею1е Лх; z тогда торое получит называют z щением приращение, частным по х и обозначают че рез Лхz (на рисунке отрезок ~~k:::::;::::, :с 169. f (х+Лх, y)-f (х, у). (1) Аналогично, чает приращение Лу, то ет постоянное z SS'), так что Лхz= Рис. ко прира если х сохраня- значение, а у полу получает приращение, называемое част ным приращением z по у. Это приращение обозначают симво-лом Луz (на рисунке отрезок ТТ'): Луz =f (х, у+Лу) - f (х, у). (2) Приращение Л_.J/z функция получает «вдоль линии» пересечения = поверхности z т (х, у) с плоскостью х= const, параллельной плоскости Oyz. Наконец, сообщив аргументу х приращение Лх, а аргументу у-приращение Лу, получим для z новое приращение Лz, кото рое называется полным формулой приращением функции z и оnределяется Лz=f (х+Лх, у+Лу)-f (х, у). На рис. Лz изображается отрезком 169 Надо заметить, что, вообще (3) QQ'. говоря, полное приращение не равно сумме частных приращений, т. е. Лz =;i=Лxz+Лyz. Пример. z=xy. ЛхZ= (х+Лх) у-ху= у Лх, Луz=х (у+Лу)-ху=х Лу, Лz=(х+Лх) (у+Лу)-ху=у Лх+х Лу+ЛхЛу. При x=l, у=2, Лх=О,2, Лу=О,3 имеем ЛхZ=О,4, Луz=О,3, Лz=О,76. Аналогичным образом определяются частные и полное прира щения функции любого числа переменных. Так, для функции трех 2-35 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 4) переменных и= f (х, у, t) имеем Лхи=f(х+Лх, у, Луи=f(х, у+Лу, у, t), у, t), Лtи=f(х, у, t+лt)-f(x, у, t), t)-f(x, t)-f(x, Ли=f(х+Лх, у+Лу, t+Лt)-f(x,g, t). § 4. Непрерывность функции нескольких переменных Введем одно важное вспомогательное понятие - понятие окрест ности данной точки. r Окрестностью радиуса купность точки М 0 (х 0 , у 0) у), (х, точек всех называется сово удовлетворяющих неравенству т. е. совокупность всех точек, лежащих J/ (х-х0 ) 2 +(у-у0) 2 < r, внутри круга радиуса r с центром в точке М 0 (х 0 , у0 ). (х, у) обладает каким-либо Если мы говорим, что функция свойством «вблизи точки (х0 , у 0 )» или «в окрестности точки (х 0 , у 0 )», то под этим подразумеооем, что найдется такой круг с центром f !/ (х0 , у 0 ), во всех точках которого данпая функция обладает указанным свойст вом. Прежде чем рассматривать понятqе непрерывности функции нескольких пе ременных, рассмотрим понятие преде ла функции нескольких переменных Пусть дана функция z=f (х, определенная в *). у), I} некоторой области Рис. G 170. плоскости Оху. Рассмотрим некоторую определенную точку М0 (х 0 , у 0), лежащую в области G или на ее границе (рис. 170). Определение 1. Число А называется пределом функции f (х, у) при стремлении точки М (х, у) к точке М0 (х0 , у 0 ), если О, что О найдется такое число r для каждого числа е во неравенст тся выполняе которых для у), (х, М для всех точек > > ММ1) < r, имеет место неравенство 1f (х, у) - А \ < е. Если число А является пределом функции -,. М 0 (Х0 , у0 ), ТО пишут lim f (х, f (х, у) при М (х, у) -,. у)= А. Х--+Хо у ➔у. *) Мы будем в основном рассматривать функции двух переменных, так как рассмотрение трех и более переменных не вносит никакик принципиаль• пых изменений, но вносит добавочные технические трудности. Ф•У-НКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕР..ЕМЕННЫХ 236 [ГЛ. VIII Определение 2. Пусть точка М0 (х 0 , у0 ) принадлежит области определения функции (х, у). Функция z (х, у) назы вается непрерывной в точке М 0 (х 0 , у 0 ), если имеет место равенство f lim f (х, =f у)= f (Хе, у0 ), (1) Х ➔ Хо у ➔Уо причем точка М (х, у) стремится к точке М 0 (х 0 , у 0) произвольным образом, оставаясь в области определения функции. Если обозначим можно переписать х=х0 +Лх, у= yQ+ Лу, то равенство (1) так: lim Лх ➔ О f (х0 + Лх, Уо + Лу) = f (Х0 , у0 ) (1 ') Лц➔О или lim [f (х 0 +Лх, у0 +Лу)-f (Х0 , у 0)]=0. (1") Лх➔О Лу➔ О Обозначим Лр= V (Лх) 2 + (Лу) 2 • При Лх-.0 и Лу-.0 Лр-.0, и обратно, если Лр-. О, то Лх .-• О и Лу-. О. Замечая, далее, что выражение, стоящее в квадратных ках в равенстве ство ( 1") (1"), скоб есть полное приращение функции Лz, равен можно переписать в форме lim Лz=О. (l'") Лр ➔ О Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, назы вается непрерывной в области. Если в некоторой точке N (х0 , у 0 ) не выполняется условие (1), то точка N (х 0 , у 0 ) называется точкой разрыва функции z=f (х, у). Условие 1) z = сти точки (1') может не выполняться, например, в случаях: у) определена во всех точках некоторой окрестно (х 0 , у 0 ), за исключением самой точки N (х 0 , у 0 ); f (х, N f функция z = (х, у) определена во всех точках окрестности точки N (.Х 0 , у 0 ), но не существует предела lim (х, у); 2) f Х-+Хо у ➔у. функция определена во всех точках окрестности и существует предел lim (х, у), но 3) f N (х 0 , у 0 ) Х➔ Хо у ➔у. lim f (х, у) "'F f (хо, Уо) • Х ➔Хо У->-Уо П р и мер 1. Функция z= х2 +у 2 непрерывна при любых значениях х и у, т. е. в любой точке плоскости Оху. Действительно, каковы бы ни были числа х и у, Лх и Лу, имеем Лz = ((х+ Лх) 2 + (У+ Лу) 2 ]- (х 2 + у 2 ) = 2х лх+ 2у лу+ дх2+ ду2, следовательно, lim Лх-+-0 Ау➔ О Лz = О. НЕПРЕРЫВrfОСТЬ ФУНI(ЦИИ НЕСI<ОЛЫ(ИХ fiEPEMEHHЪIX HJ 237 Приведем nример разрывной функции. 2ху Пр им ер 2. Функция z= х 2 + у 3 определена всюду, кроме точки х=О, (рис. 171, 172). Рассмотрим значения ~ вдоль прямой зтой прямой g=O ,2kx2 2= x2+k2x2=-1 g=kx (k=const). Очевидно, вдоль 2k + k2 =const, т. е. функция z вдоль всякой прямой, проходящеА через начало коорди!Jат, сохраняет постоянное значение, зависящее от углового коэффициента k пря мой. Поэтому, подходя к началу координат по различным путям, мы будем z А Рис. :r: о Рис. 171. 172. получать различные предельные значения, а это значит, что функция f (х, у) не имеет предела, когда точка (х, у) на nлоскости Оху стремится к началу координат. Следовательно, функция разрывна в этой точке. Эту,функцию нельзя доопредеf!ИТЬ в начале координат так, чтобы она стала непрерывной. Легко видеть, с другой стороны, что в остальных точках зта функция непрерывна. Укажем без доказательства некоторые важные свойства функ ции многих переменных, непрерывной в замкнутой и ограничен ной области. Эти свойства аналогичны свойствам непрерывной на отрезке функции одной переменной (см. § 10 гл. II). С в ой ст в о 1. Если функция (х, у, ... ) определена и не прерывна в замкнутой и ограниченной области D, то в области D f найдется по крайней мере одна точка для N (х 0 , у 0 , ••• ) такая, что всех других точек области будет выполняться соотношение f (Хо, Уо, • • .) ~ f (х, У, • • ,), и по крайней мере одна точка N (Хо, Уо, ... ) такая, что для всех других точек области будет выполняться соотношение f(xo, Уо, .•• )~f(x, у, ••. ). = Значеюfе функции f (х0 , у 0 , ••• ) М будем называть наиболь шим значением функции f (х, у, ... ) в области D, а значение f (Хо, Yu, ••. ) = m - наименьшим значением. [ГЛ. ФУНКЦИИ НЕСI<ОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 238 VJII Это свойство формулируют и так. Непрерывная функция в замк нутой ограниченной области D достигает по крайней мере один раз наибольшего значения М и наименьшего значения т. Свойство 2. Если функция f(x, у, .•. ) непрерывна в замк нутой и ограниченной области D и если М и т- наибольшее и (х, у, ... ) в области, то для наименьшее значения фун.кции µ М, найдется любого числаµ, удовлетворяющего условию т f < < ... ), что будет выполняться в области такая точка № (х~, у;, = µ. равенство f (х;, у;, Следствие свойства 2. Если функция f(x, у, ... ) не ... ) прерывна в замкнутой ограниченной области и принимает как положительные, так и отрицательные значения, то внутри области найдутся точки, в которых функция § 5~ f (х,у, .. . ) обращается в нуль. Частные производные функции нескольких переменных Частной производной по х от функции О п р еде л е н и е. у) называется предел отношения частного приращения Лхz по х к приращению Лх при стремлении Лх к нулю. (х, у) обозначается Частная производная по х от функции z z= f (х, =f одним из символов )дzдf 'f'( fx, lx Х, У ' дх' дх' Таким образом, по определению, ~= дх = lim f (х+лх, y)-f (х, lim Лхz у). Лх Лх➔О Лх-+-0 Лх Аналогично частная производная по у от функции Z= определяется как предел отношения частного приращения f (х, у) функ ции Луz по у к приращению Лу при стремлении Лу к нулю. Частная производная по у обозначается одним из символов , f'у, дz ду ' Zy, дf ду • Таким образом, ~= lim Луz = lim f (х, у+Лу)-f'(х, У). ду Лу➔О Лу Лу➔О Лу Заметив, что Лхz вычисляется при неизменном у, а Л,z при неизменном х, мы можем определения частных производных сфор мулировать так: частной производной по хот функции z = f (х, называется производная по х, вычисленная в предположении, у- постоянная. Частной производной по у от функции называется что х - производная по у, вычисленная в у) что z = f (х, у) предположении, постоя иная. Из этого определения ясно, что правила вычисления частных производных совпадают с правилами, указанными дпя функций ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ: ИНТЕРПРЕТАЦИЯ: одной переменной, и только требуется каждый какой переменной ищется проиаводная. Дана функция 2 Пр и мер 1. дz дz водные дх и ду. = х 2 sin у; 239 раз помнить, по требуется найти частные nроиз- дz дz Решение. дx=2xslny, ду=х2 соsу. Пример 2. z=,!J. и-1 дz Здесь дх =ух- дz у , ду =Х ln.x. Частные производные функции любого числа переменных опре деляются аналогично-. Так, если имеем функцию и четырех пере менных х, у, z, t: U=f (х, у, Z, t), то . ди - = 11m ди -д У f (х+лх, у, . f (х, = 11m у, z, t) (х, у, z, t) z, t)-f (х, Лх Лх--+-0 дх у+Лу, z, t)~f л Лу-+-0 У и т. д. Пример 3. и=x 2 +y 2 +xtz3, ди дх =2x+tz3, § 6. ди ду =2у, ди ди az=3xtz2 , дf = xz3. Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменнык Пусть уравнение z=f (х, у) есть уравнение поверхности, изображенной на рис. 173. const. В сечении этой плоскости с по Проведем плоскость х = верхностью получится линия РТ. При данном х рассмотрим на плоскости Оху некоторую точку М (х, у). Точке М соответствует f точка Р (х, у, z), принадлежащая поверхности z = (х, у). Остав ляя х неизменным, дадим переменной у приращение Лу = MN = =РТ'. Тогда функция z пол.учит приращение Луz = ТТ' (точке N (х, у+Лу) соответствует точка Т (х, у +лу, z+Лuz) на поверх ности z = (х, у)). л z f Отношение ;У равно тангенсу угла, образуемого секущей РТ с положительным направлением оси Оу: Луz Лу= tg .,,,.._, ТРТ. Ф~НКЦИ.И НЕСR0ЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 240 (ГЛ. Vlll Следовательно, предел z lim Луz = !!.. ду Лу➔О Лу равен тангенсу угла ~. образо ванного касательной Р В к кри вой РТ в точке Р с положи телоным направлением дz ду = tgp. Итак, частная дz ду Рис. оси Оу: производная численно равна тангенсу уr- ла наклона касательной к кривой, получающейся в сечении 173. =f (х, у) поверхности z костью х = const. А налоrично частная производная угла наклона а касательной ПЛОСКОСТЬН) и= const. § 7. дz дх плос численно равна тангенсу к сечению поверхности z = f (х, Полное приращение и полный дифференциал По определению полноrо приращения функции (см. § 3) z= f (х, у) имеем Лz=f (х+Лх, у+Лу)-f{х, у). Предположим, что непрерывные у) частн:ьrе f (х, у) (1) в рассматриваемой точке (х, у) имеет производные. Выразим Лz через частные производные. Для этоrо в правой (х, у+Лу): части равенства (1) прибавим и вычтем f Лz=[f (х+Лх, у+Лу)-f (х, у+Лу)]+[f (х, у+Лу)-f(х, у)]. (2) Выражение f(x, у+Лу)-f(х, у), стоящее во второй квадратной скобке, можно рассматривать как разность двух значений функции одной переменной у (значение х остается постоянным). Применяя к этой разности теорему Лаг ранжа, получим f(x, у+Лу)-f(х, у)= Лу дf ~;у), где у заключено между у и у+ Лу. [(3) Точно так же выражение, стоящее в первой квадратной скобке равенства (2), можно рассматривать как разность двух значений ПОЛНОЕ ПРИРАЩЕНИЕ И ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ § 7) функции одной пе.ременной и то же значение у+Лу). Лагранжа, получим х 241 (второй аргумент сохраняет одно Применяя к этой разности теорему f(х+Лх, у+Лу)-f(х, у+Лу)=Лхдf(х,:х+Лу)' где х заключено между х и х+Лх. Внося выражения и (3) (4) в равенство (2), получим -Л дf(х, у+Лу)+Л дf(х, у) д ZХ дх у ду • Так рывны, как, по предположению, (5) производные непре то дf (х, у+Лу) _ дf (х, у) lim . 11m Лх->-0 Лу как х - дх Лх-+0 Лу-+0 (так частные (4) дх дf (х, у) дf (х, у) ду ду (6) ---=..,.;.....:-'-';..;. -,.0 и у заключены соотве~тв~нно между х и х+~х. у и у+ Лу, то при Лх-+ О и Лу-+ Ох и у стремятся соответсrвенно к х и у). Равенства (6) можно переписать в виде дf (х, у+Лу) _ дf (х, у)+ дх дх 1'i• (6') дf (х, у) _ дf (х, у)+ ду ду 1'2, где величины у 1 и у 2 стремятся к нулю, когда Лх и Лу стремятся К нулю (т. е. когда Лр=V Лх 2 +Лу 2 -о). В силу равенств (6') соотношение (5) принимает вид Лz=дf~; у)лх+дf~; у)Лу+у1 Лх+у 2 Лу. (5') Сумма двух последних слагаемых правой части является беско нечно малой высшего порядка относительно Лр= V Лх 2 +Лу2 . Дей- ствительно, отношение '\'i~x-+ О при Лр-+ О, так как у1 является бесконечно малой величиной, а J;-ограниченной (1 ~; 1~ 1). Аналогично проверяется, что '\'1/-+ О. Сумма первых двух слагаемых есть выражение, линейное отно сительно Лх и Лу. При представляет собой f; (х, у) r лав ну ю =I= О и f~ (х, часть у) =I= О это выражение приращения, отличаясь от Лz на бесконечно малую высшего порядка относительно Лр =Vлх2+лу2. = ФУНКЦИИ НЕСI<ОЛЫ(ИХ 242 О п редел е н и е. ПЕРЕМЕННЫХ z = f (х, Функция (ГЛ.VЩ у), полкое приращение Лz которой в данной точке (х, у) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых: выражения, линейного относительно Лх и Лу, и величины, бесконечно малой высшего порядка относи тельно Лр, называется дифференцируемой в данной точке, а линей ная часть приращения называется полным дифференциалом и обоз начается через dz или df. Из равенства (5') следует, что если функция f (х, у) имеет непрерывные частные производные в данной точке, то она диффе ренцируема в этой точке и имеет полный дифференциал dz = Равенство (5') f~ (х, у) Лх+ f~ (х, у) Лу. можно переписать в виде Лz=dz+y1 Лх+у 2 Лу, и с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно Лр можно написать следующее п р и ближе н н о е равенство: Лz,::; dz. Приращения независимых переменных Лх и Лу мы будем назы вать дифференциалами независимых переменных х и у и обозна чать соответственно через dx и dy. Тоr- Лу .iх .4у g:'Afl да выражение полного дифференциала при&:ет вид дf дf dz=Тxdx+ ду dy. 11 Таким образом, если функция z = f (х, у} имеет непрерывные частные производные, то она дифференцируема в точке (х, у), и ее полный дифференциал равен сумме на производных произведений частных Рис. 174. Пр и мер %=ХУ в точке дифференциалы соответствующих симых незави переменных. 1. Найти полный дифференциал (2; 3) при Лх=О,1, Лу=О,2. и полное приращение функции Ре шеи ие. Лz=(х+Лх) (у+Лу)-хg=уЛх+х Лу+Лх~у, дz дz ду dy=ydx+xdg=yЛx+xЛy. dz==axdx+ Следовательно, Лz=З-0,1 +2.0,2+0,1,О,2=0',72, dz=З,0,1 На рис. 174 +2,0,2=0,7. дана имюстрация к этому примеру. Предыдущие рассуждения и определения соответственным обра зом обобщаются на функции любого числа аргументов. ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛНОГО ДИФФЕРЕНЦИА<(IА §-8) 243 Если имеем функцию любого числа переменных w=f(x, причем все частные в точке (х, у, z, и, у, z, дf производные ах , дf ду , ••. , дf дt непрерывны то выражение ... , t), дf ... , t), и, дf {)f дf dw= дх dx+ ду dy+дzdz+ ... +ardt является главной частью полного приращения функции и назы вается полным дифференциалом. Доказательство того, что разность Лw-dw является бесконечно малой более высокого порядка, чем (Лх) 2 + (Лу )2 (Лt) 2 , проводится совершенно так же, как + ... + V и для функции двух переменных. Пр им е р 2. Найти полный дифференциал функции и=~•+ у• sin 2 z тpeJi переменных х, у, Р-е ш е ни е. z. З;~метив, что частные производные ди -=е х•+у• дх ди х•+ у• 2 • ys 1n2 z, ду =е дu дz непрерывны при всех § . = ех2+у• •2 sш z cos z = е х•+у• sln 2z значениях х, ди ди ди du=дxdx+aydY+az . ,2xsш 2 z, dz =е у, х 2 +у 2 z, находим -2 (2хsш •2 • z dx+2ysin z dy+sm 2z dz). В. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях f Пусть функция z = (х, у) дифференцируема в точке (х, у). Найдем полное приращение этой функции Лz=f(х+Лх, у+Лу)-f(х, у), откуда f(х+Лх, у+Лу)=f (х, у)+Лz. (1) Мы имели приближенную формулу Лz~dz, (2) где (3) Подставляя в формулу (1) вместо Лz развернутое выражение для получим приближенную формулу dz. f (х+Лх, у+Лу) ~ f (х, у)+ дf t; у) Лх + дf ~~ у) Лу, (4) ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 244 [ГЛ. VШ верную с точностью до бесконечно малых высшеr.Q порядка отно сительно Лх и Лу. Покажем, как используются формулы (2) и (4) для приближен ных вычnслений. 3 ад а ч а. Вычислить объем материала, нужного для изготовления цилин дрическоrо стакана следующих размеров (рис. '175): радиус внутреннеrо ци линдра R, высота внутреннего цилиндра Н, толщина стенок и дна стакана k. Решен и е. Дадим два решения этой задачи: точ• ное и приближенное. а) Точное решение. Искомый объем v -равен разности объемов внешнего цилиндра и внутреннего ци• линдра. Так как радиус внешнего цилиндра равен а высота Н +k, то +k, R+ v=n (R+k) 2 (Н +k)-nR2H, или (5) Рис. б) Пр и б л и жен н о е ре ш е н и е. Обозначим че• рез объем внутреннего цилиндра, тогда =1tR 2H. Этофункция двух переменных R и Н. Если увеличим R и Н на k, то функция f получит приращение Лf; но это f 175. и будет искомый объем v, f т. е. v=Лf. На осцова11ии соотцошения (1) имеем приближенное равенство v ~ df, ИJJИ М М Щ Щ 2 v ~ дRЛR+ дН ЛН. Но так как щ=2:rr,RH, dH =nR, ЛR=ЛН=k, то получаем (6) Сравнивая результаты (5) и (6), видим, что они отличаются на величину п (Hk +2Rk2 +k 3 ), состоящую из членов второго и третьего порядка малости относитеJJьно k. Применим эти формулы к числовым примерам. Пусть R=4 см, Н=20 см, k=0,l см. Применяя (5), получим точно V=1t (2,4,20,0, [ +42 •0,1 +20,0,1 2 +2•4•0, 12 +0,l3)= 17,88),i:8 Применяя формулу (6), IJ,олучим приближенно u ~ 1t (2-4-20,0,1 +4 2 -0,1)= 17,6n. СледоватеJJьно, приближенная шейО,Зп, что составляет § 9. формула 100- 1~};11t %, (6) дает ответ с погрешностью, мень• т. е. менее 2% измеренной величины. Приложение дифференциала к оценке погрешности при вычислениях Пусть некоторая величина и является функцией величин х, у, z, ... ' t: U=f(x, у, Z, ••. , t), причем, определяя каким-то способом значения величин х, у, z, ... . . . , t, мы допускаем погрешности Лх, Лу, ... , Лt. Тогда значение и, вычисленное по неточным значениям аргументов, получится с ПРИЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА 1( ОЦЕНI<Е ПОГРЕШНОСТИ § 9] 245 погрешностью Ли=f(х+Лх, у+Лу, ... , z+Лz, t+Лt)-f(x, у, z, ... , t). Ниже мы займемся оценкой погрешности Ли, если известны пог решности Лх, Лу, Лt. При достаточно малых абсолютных значениях величин Лх, Лу, ... , Лt можем приближенно заменить полное приращение ... , полным дифференциалом: дf дf Ли :=:::дхЛх+Тул!L+ дf ... +-ы-Лt, Здесь значения частных производных и значения погрешностей аргументов могут быть как положительными, так и отрицатель ными. Заменяя их абсолютными величинами, получим неравенство Ли\ ~ 1 :~ \ 1Лх 1+ \ :: 11Л У 1+ ... + 1 :~ 11Лtl, 1 Если через ( 1) IЛ*х 1, 1Л•у 1, ... , 1Л*и I обозначим максимальные абсо лютные погрешности соответствующих величин (границы для абсо~ лютных величин значений погрешностей), то можно, очевидно, принять IЛ*и 1=/ :~ \IЛ*х 1+1 :; /IЛ*у\+ ... +1 :~ 11л•t\. (2) Пр и меры. 1. Пусть и=х+у+z, тогда IЛ*иl=IЛ*xl+IЛ*yl+IЛ*zl, 2. Пусть и=х-у, тогда IЛ*иl=IЛ*xl+IЛ*yl. З. Пусть и=ху, тогда I Л* и х 11 Л*у 1+1 У 11 Л*х 14. 1=1 х Пусть и=-, тогда у IЛ*и 1=1; 11 Л*хl+\ ;211 Л*у 1= IYI /Л*xl;lxl I Л*уl • 5. Гипотенуза с и катет а прямоугольного треугольн1:1ка АВС, определен ные с максимальными абсолютными погрешностями IЛ*cl=0,2, IЛ*at=0,1, соответственно равны с=75, а= 32. Определить угол А по формуле sin А= а = - ; с максимальную абсолютную погрешность -I ЛА I при вычислении угла А. Решение. sin А=!!_, А= arcsin .!!.. , следовательно, .с с дА а -=---===cfc2-a2 • де По формуле (2) получим: 1 32 1 ЛА l=-::-;::;~=;;::,~•0,l+ у ,0,2=0,00273 радианов=9'24". 2 2 у 75 --32 75 752 -322 -- Таким образом, А =arcsin ;; ±9'24". ФУНКЦИИ НЕСI(ОЛЫ(ИХ ПЕРЕМЕННЫХ 246 6. А= Пусть в 25°21 '40", прямоуrольном треугольнике АВС катет Ь (ГЛ. VIП = 121,56 м, у~:ол при этом максимальная абсолютная погрешность при определе нии катета Ь равна I Л*Ь 1=0,05 м, максимальная абсолютная погрешность при определении угла А равна IЛ*А1=12". Определи-rь максимальную тета а по формуле а=Ь Решен и е, tg абсолютную погрешность при вычислении ка• А. По формуле (2) находим f Л*а·1=1 tg А 11 Л*ь,1+-1.!L I Л*А 1• cos2 А Подставляя I Л*А I соответствующие значения (и помня, что в радианах), получим нужно выразить 1Л*а 1=tg25°21'40",0,05+ со):~;;~, 40 ,, 20~; 65 =0,0237 + 0,0087 = 0,0324 • м, Отношение погрешности Лх некоторой величины к приближен ному ;значению х этой величины называется относительной погреш ностью величины. Будем его обозначать бх: Лх бх=_, х Максимальной относительной погрешностыо величины х назы вается отношение мак~имальной абсолютной погрешности к абсо лютной величине х и обозначается 1б*х 1= I Iб*х 1: f:~ I • (3) Для оценки максимальной относительной погрешности функции и разделим все числа равенства (2) f на I и 1= 1 (х, у, z, ... , t) \: t:/ 1 =I ~~ /1л•х1=l о/ l1л•в1+ ... +1 :; l1л• 1 1, 1 <4) но дf дf д; = :х ln I fl, Поэтому равенство 1б•и 1= 1 :х (3) ду дf д -1-=ау In I fl, дt д ... , --,-ш In l.f /. можно переписать так: ln I f 1/ 1Л•х 1+/а: Iп I f 1/ 1Л*у 1+ ... ... +1%tlnlfJjlЛ*t/ ... , или (5) коротко 1б*и 1= 1Л• Iп I f 1/. Из формул как (6) (3), так и (5) следует, что максимальная относи тельная погрешность функции равняется максимальной абсолютной: погрешности логарифма этой функции. ПОЛНА.Я ПРОИЗВОДНА.Я Из формулы ных (6) 247 следуют правила, применяемые в приближен• вычислениях. 1. Пусть и= ху. Пользуясь результатами примера 3, получим \ о•и\= т. е. \у\\Л*х\ \ху\ максимальная няется + \x\lЛ*yl = \xyJ IЛ*xl + IЛ*yJ относительная =\6•х1+10• 1 у, IYI Jxl погрешность произведения рав сумме максимальных относительных погрешностей сомно жителей. Если и= 2. + - , то, пользуясь результатами примера 4, находим х у J6*u 1= 1б*х 1 1б*у \. 3 а меч ан и е. На основании и=х-у, то 16*и\= \Л*xl+IЛ~.ill lx____:yl примера 2 следует, что если • Если х и у близки, то мо- I жет оказаться, что \ 6*и будет очень велика по сравнению о определяемой величиной х-у. Это обстоятельство следует учиты вать при производстве вычислений. Пр и мер 7. Период колебания маятника равен Т = 2n У l/g, где 1- длина маятника, g-ускорение силы тяжести. Какую относительную погрешность в определении Т мы допустим по этой формуле, принимая л ~ 3,14 (с точностью до 0,005), l= 1 м (с точностью до 0,01 м), g=9,8 м/сz (с точностью до -(),02 м/с2). Решен и е. равна = По формуле I б*Т 1=\ Л* ln Т \. (6) максимальная относительная 1 Но ln T=lп2+Inл+ 2 ln t - 2 Ing. Вычислим \Л*lnTJ. Учитывая, что л~3,14, Л*л=О,005, 0,01 м, g=9,8 м/с2 , Л*g=О,02 м/с2 , получим: Л* 1 т- л•л п л - погрешность 1 + Л''l + л•g _ o,oos 21 2g - 3,14 ' , 0,01 2 + 0,02 _ 0 0076 2-9,8- ' м. Л*l= l=I ' Итак, максимальная относительная погрешность равна f,*T § 10. = 0,0076 = О, 76 %• Производная сложной функции. Полная производная. Полный дифференциал сложной функции Предположим, что в уравнении z=F(u,v) и и v (1) являются функциями независимых переменных х и у: и= Q) (х, у), В этом случае Конечно, z z v= \j, (х, у). (2) есть сложная функция от аргументов х и у. можно выразить и непосредственно через х, у, а именно: Z=F[Q)(X, у), \j,(x, у)]. (3) ФУНIЩИИ НЕСI<ОЛЫ(ИХ ПЕРЕМЕННЫХ 248 Предположим, непрерывные что функции частные (и, F производные дz [ГЛ.VШ v), q, (х, у), 'Ф (х, у) имеют по всем своим аргументам дz поставим задачу: вычислить дi и ду , исходя из уравнений (1) и и и не пользуясь уравнением (3). Д11дим аргументу х приращение Лх, сохраняя значение у неиз менным. Тогда в силу уравнения (2) и и v получат приращения (2) Лхи и Лхv. Но если и и v получают приращещ~:я Лхи и Лхv, то и функция z = F(u, v) получит приращение Лz, определяемое формулой (5') § 7: дF дF Лz=ТuЛхи+ дv Лхv+у 1 Лхи+у 2 Лхv. Разделим все члены этого равенства на Лх: Лz Лх = дF Лхи ди Лх + дFдv Лхv +1' Лх Лхи 1 Лх +1' ЛxrJ 2 Лх • Если Лх-+ О, то Лхи-+ О и Лхv-+- О (в силу непрерывности функ ций и и v). Но тогда '}'1 и '}' 2 тоже стремятся к нулю. Переходя к пределу при лх--0, получим Лz ltm дх • 0 Лх дz ' - Л,:U lim дх лх • 0 lim Лх ➔ О у1 Дх = О, ди ' - ЛхV - дv lim дх лх • 0 lim у 2 = Лх ➔ О Лх дх • О и, следовательно, (4) Если бы мы дали приращение Лу переменной у, ах оставили неизменным, то с помощью аналогичных рассуждений нашли бы !!._= дF ди ду ди ду +~ !!!_ • дv (4 ') ду 2. Пр и мер z=ln (и1 +v), дz и=ех+У1 , 2и ди= и 2 +v ' ди=,.х+у', дх .,.. Используя формулы (4) и дz v=хэ+у; 1 av= u2 +v' ди_2 ..r+y• .2!:..=2х ду у.,-' дх ' (4'), дv ду = 1. находим 2-(иеХ+:У1 +х) 1 !!._=~ех+у'+-2х=2 2 2 дх и +v дz 2и = ду и +v 2 v 1 2уех+у•+-- =-.--(4иуеХ+У 1 и 2 +v u 2 +v В последние выражения соответственно. xs+y и + u +v 1 вместо и и v необходимо ' + 1)• подставить f!X+Y1 и ПОЛНА.Я ПРОИЗВОДНА.Я § 10] Для случая большего числа 249 переменных формулы (4) и (4') естественным образом обобщаются. Например, если w F (z, и, v, s) есть функция четырех аргу ментов z, и, v, s, а каждый из них зависит от х и у, то фор = мулы и (4) принимают вид (4') дw дw дw дw дх ду Если очередь дz дw ди дw дv дw дz дw ди дw дw дs + ди ду + qu дz дх дz - задана зависят одного + дs ду + дs дv + дv ду z= F функция от дх + дv дх (х, у, и, аргумента v), дs дх ду ' (5) • где у, и, v в свою х: y=f(x), и=ср(х), V=1j,(x), то, по сути дела, является функцией только одной z перемен dz ной х и можно ставить вопрос о нахождении производной Тх Эта производная вычисляется по первой из формул дz дх dz _ dx но так как у, производные дх дх v- и, ду дх функции обращаются поэтому dz _ dx + дz ду + дz дz дх в дх только + дz dx du dx ди дv дv дх од н о rо обыкновенные; + дz dy + дz ду ди ди • ' х, то кроме того, + дz дv • (5): частные дх дх = l; dv dx • Эта формула носит название формулы для вычисления полной производной :; ( в Пр им ер отличие от ч а ст н ой производной ;; ) . 3. + у"у, дz ах=2х, Формула (6) Z=X 2 дz y=sin Х, dy dx=cosx. l ду = 2 уу, дает в этом случае следующий результат: ~ дz дz. l 1 -d =-а +-а d-=2x+ .. r- cos Х=2х+ у х х У х 2r у 2 sin х cos х. Найдем далее полный дифференциал сложной функции, опре деленной равенствами (1) и (2). подставляем вами (4) и (4'), выражения дz дх и дz ду , определенные равенст- в формулу полного дифференциала дz дz dz= ах dx+ ду dy. (6) [ГЛ. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 250 Vlll Получаем dz _ ( дF ди ди дх + дF дv дv ) dx дх + ( дF ди + дF дv ди ду дv ) d . у ду Произведем следующие преобразования в правой части: dz = Но ди dx дх дv дv (7) (7} = (8) dy= dv. равенств с учетом dz dx + : dy) • + диду dу = du • Тхdх+ ду Равенство (: :~ ( :: dx + :; dy) + : (8) можно переписать так: дF дF ди du +av dv, (9) или dz= Сравнивая (6) и (9'), дz ди дz (9') du+avdv. можем сказать, что выражение .полного дифференциала функции нескольких переменных (дифференциала первого порядка) имеет тот же вид, т. е. форма дифlJеренциала инвариантна, являются ли и и v независимыми переменными или функциями независимых переменных. П р и мер 4. Найти полный дифференциал сложкой функции Решен и е. По формуле dz= 2uv3 dи+Зи 2 v 2 dv=2uv3 (9') имеем sln у dx+x 2 cos у dу)+Зи 2 v2 (2х (Зх 2 еУ dx+x3eY dy). Последнее выражение можно переписать и так: dz=(2uv3- 2х sin у+Зи2 v2 • Зх2г-) dx+ (2uv3х2 cos у+Зи 2 v2x3ell) dy = ~11 § 11. дz дх dx дz dy, + ду Производная от функции, заданной неявно Начнем рассмотрение этого вопроса с неявной функции одной переменной *). Пусть некоторая функция у от х определяется уравнением F (х, у) =0, Докажем следующую теорему. *) В § 11 гл. 111 мы решали задачу о дифференцировании неявной функ ции одной переменной. Там мы рассматривали отдельные примеры и не нашли общей фор~улы, дающей производную от неявной функции, а также не выяс нили условий существования этой производной, § HJ ПРОИЗВОДНА.Я ОТ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ НЕ.ЯВНО 251 Те о рем а. Пусть непрерывная функция у от х задается не явно у равнением F (х, у) =0, (1) где F (х, у), F; (х, у}, F; (х, у) - непрерывные функции в некото рой области D, содержащей точку (х, у), координаты которой удовлетворяют уравнению (l); кроме того, в этой точке F; (х, у)*О· Тогда функция у от х имеет производную , F; (х, у) Ух=-· F~ (х, у) (2) • До к а э ат ель ст в о. Пусть некоторому значению х соответ ствует значение функции у. При этом F (х, у) =0. Дадим независимой переменной х приращение Лх. Функция у получит п1JИращение Лу, т. е. значению аргумента х+Лх соот ветствует значение функции у+Лу. В силу уравнения F (х, у) =0 будем иметь F (х+Лх, у+Лу) =0. Следовательно, F(х+лх, у+Лу)-F(х, у)=О. Левую часть последнего равенства, являющуюся полным щением функции двух переменных·, по формуле (5') § 1 прира можно переписатЬ- так: дF дF F (х+Лх, у+Лу)-F (х, у)= ах Лх+ауЛу+у 1 Лх+у 2 Лу, где '\'i и у 2 стремятся к нулю при Лх и Лу, стремящихся к нулю. Так как левая часть последнего выражения равна нулю, можно написать Разделим последнее равенство на Лх и Лу Лх : ·дF ax+i't Лу Лх = - дF+ ду Устремим Лх к нулю. вычислим Тогда, ' '\'2 учитывая, дF также стремятся к нулю и что ду * что при этом Vt и '\'а О, в пределе получим дF дх Ух=-м- , ду • (2') ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 252 [ГЛ. Мы доказали существование производной у~ от функции, VIII задан ной неявно, и нашли формулу для ее вычисления. Пример l. Уравнение цию от х. Здесь x2 +y2 -l=0 определяет у как неявную функ Следовательно, по формуле (1) dy 2х х dx=-2y=-y· Заметим, что заданное уравнение определяет две разные функции (так как каждому значению х в промежутке (-1, l) соответствуют два значения у); однакl'J найденное значение у; справедливо как для одной, так и для другой функции. Пример Дано уравнение, связывающее х и у: 2. дF F (х, y)=e.Jl-ex+xy, Следовательно, по формуле e.Jl-ex+xy=O. Здесь дF дх=-ех+у, ду =еУ+х. получаем: (1) dy_ -ех+у dx- еУ+х Рассмотрим теперь уравнение вида F(x, у, z)=O. (3) Если каждой паре чисел х и у из некоторой области соответ ствует одно или несколько значений z, удовлетворяющих уравне нию (3), то это уравнение неявно определяет одну или несколько однозначных функций Например, z от х и у. уравнение х2 две неп.рерывные функции явно, разрешив +у + z z 2 от 2 -R 2 = О неявно определяет х, у, которые можно выразить z; уравнение относительно в этом случае мы по лучаем: z=VR2-x2-y2 и Z=-VR2-x2-y2. u Hаидем частные производные дz ах от х и у, определяемой уравнением Когда мы ищем дz дх , мы дz 7fij и uф неявном ункции z (3). считаем у постоянным. Поэтом:у здесь применима формула (2'), если только независимой перемен ной считать х, а функцией z. Следовательно, дF , Zx.= - дх дF дz • 253 ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ РАЗЛИЧНЫХ ПОР,ЯДl(ОВ § 12] Таким же путем находим дF , ду Zy=- дF • предполагается, ддFz -'-0. -r- что Аналогичным образом определяются неявные функции любого числа переменных и Пример 3. x 2 находятся +u +z -R 2 дz 2 2 их частные производные. =0, 2х х дz а;:=-27=-г• у ау=-г · Дифференцируя rлу функцию как явную (после разрешения уравнения относительно z), мы получили бы тот же результат. Пример 4. e21 +x2y+z+5=0. Здесь F (х, у, z) =e21 +x2 y+z+5, :~ =2ху, дz :: =х2 , 2ху дх = - е 11 3 а меч ан и е. + 1' :: =ez дz ду = - + 1, х2 ez + 1 • Все рассуждения этого параграфа производи J.J:ИСЬ в предположении, что уравнение F (х, у) = О определяет неко торую функцию одной переменной у= <р (х); уравнение F (х, у, z)=O определяет некоторую функцию двух переменных z = (х, у). Укажем без доказательства, какому условию должна рять функция F (х, у), чтобы уравнение однозначную функцию у= <р (х). Теорем а. F (х, у) =О f удовлетво определяло Пусть функция F (х, у) непрерывна в окр'l!сmнО' сти точки (х 0 , у0 ) и имеет там непрерывные частные производ ные, причем F~ (х, у):::/= О, и пусть F (х0 , у 0) = О. Тогда сущест вует окрестность, содержащая точку (х0 , у0 ), в которой уравне ние F (х, у) = О определяет однозначную функцию у= 1Р (х). Аналогичная теорема имеет место и для условий существова ния неявной функции, определяемой уравнением F (х, у, z) О. 3 а меч а н и е. При выводе правил дифференцирования неяв ных функций мы пользовались условиями, которые·и определяют существование неявных функций. = § 12. Частные производные различных порядков Пусть имеем функцию двух переменных Z=f (Х, у}. Частные производные ддzх = f ~ (х, у) и ' ддzу = t; (х, у), вообще говоря, являются: функциями переменных х и у. Поэтому от них ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМJ!ННЫХ 254 (ГЛ. VJII можно снова находить частные производные. Следовательно, част ных производных второго порядка от функции двух дz u ч е т ы р е, так как каждую из функции дх ренцировать как по х, так и дz и ду переменных можно диффе- по у. Вторые частные производные обозначают так: a2z " = fxx (х, дr у), два у), здесь д2z f" ( дудх = ух х, у), здесь а дифференцируется последовательно раза f" ( дхду= ху Х, iPz f здесь f д2z = f"УУ (х, ПОТОМ f здесь у), два f дифференцируется сначала а потом ду2 по х; по х, результат дифференцируется по у; дифференцируется у, сначала по результат дифференцируется по· х; дифференцируется раза по последовательно у. Производные второго порядка можно снооа дифференцировать как по х, так и по у. Получим частные производные третьего порядка. Их будет, очевидно, уже восемь: д3z д3z д3z д3z д3z дх2 ду ' дх ду дх ' дх ду 2 7fxii ' д3z ду дх2 ' ' д3z д3z ду дх ду ' ду 2 дх • ду3 • Вообще, частная производная п-го порядка есть первая произ водная от производной (n - 1)-го порядка. Например, д. ~'z хР 'fl"-P есть производная n-ro порядка; здесь функция z сначала р раз дифференцировалась по х, -а потом п- р раз по у. Для функции любого числа переменных частные производные высших ции порядков определяются аналогично. Пр им ер 1. Вычислить частные производные второго порядка от функ f (х, у)=х2у+у3 • Р е ш е н и е. Последовательно находим дf дх =2ху, д2f _д(2ху)_2 fl.=2y, дх2 дх ду - Пр и мер 2В . ычислить Р е ш е и и е. дJJ д2f д(х2+зу2) -2 х, ду дх д3z дх 2 ду и дх х, - д3z ду дх2 , если д2f ду2 =бу. 2х 2 Z=y е +х tг+ 1. Последовательно находим дz дх =у2ех+2хуз, дz ду - дf ду =х2 +3у2, = 2уех +3х у , 2 2 д2z д3z дх2 =y2ex+2if', дуд2z дх дх2 ду =2уtх+бу2, = 2уех +6ху , д4и 2 дуд3z дх2 = 2уех+буа• Пример З. Вычислить дхllдудz' если и=z2ех+у'-, ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ РАЗЛИЧНЬ1-Х ПОРЯ:ДI(ОВ § 12) 255 Решен не, ди д2 и -z2ex +УI • дх2 - I дх =2 2е»+у, д3и дх2 ду --=2yz2eX+.Y! д4 и дх2 ду-дz ..,,...,,.~,,... ' 4yzex+11• Естественно поставить вопрос, зависит ли результат дифференцирования функции нескольких переменных от порядка дифферен цирования по тождественно переменным, разным равны т. ~. будут ли, например, производные д2f д2f и дудх дхду или И т. д. И д3f (х, у, t) iJSf (х, у, t) дt дх ду дх ду дt Оказывается, что справедлива следующая теорема. Теор ем а. Если функция z = f (х, у) и ее частные производ определены и непрерывны в точке М (х, у) и ные f~. f~, f:u и fZx в некоторой ее окрестности, то в этой точке д2f д2f ах аи = аи ах (f;и = fZx> . До к аз ат ель ст в о. Для доказательства рассмотрим выра жение А=1f(х+Лх, у+Лу)-f(х+Лх, Если y)]-[f(x, у+Лу)-f(х, у)]. введем вспомогательную функцию с:р (х), определенную равенством с:р (х) = f (х. у +Лу) - f (х, у), ю А можно записать в виде = <р (х + Лх) - с:р (х). предположению, f; определена А Так как, по в окрестности точки (х, у), то, следовательно, с:р (х) дифференцируема на отрезке [х, х+Лх}; но тогда, применяя теорему Лагранжа, получим А=Лхс:р' (х), где х заключено между х и х+Лх. Но с:р' (х> = 1; <х, У +лу>-t~ (х, и>так как f;u определена в окрестности точки (х, у), то ренцир-уема на отрезке [у, f; диффе у+Лу], поэтому, применмв к полу ченной разности вновь теорему Лагранжа (по переменной у), бу• дем иметь fx(x, у+Лу)-f~(х, y)=~yf;11 (x, у), где у заключено -между у и у + Лу. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 256 (ГЛ. YIII Следовательно, первоначальное щ,1ражение А равно А= ЛхЛуf;и (х,. у). (1) Переставив ередние слагаемые в первоначальном выражении для А, получим А=[f(х+лх, у+Лу)-f (х, у+Лу)]-[f (х+лх, y)-f (х, у)]. Введем вспомогательную функцию ч, (у)= f (х + Лх, у) f(x, - у), тогда А= 1j, (у +Лу)-'Ф (у). Применяя снова теорему Лагранжа, получим А = Лу-ф' (у), где у заключено между у и у+ Лу. Но 111' (у)= f~ (х +лх, у) - f~ (х, у). Применив еще раз теорему Лагранжа, получим f~ (х+Лх, у)-{; (х, у)= ЛxfZx (l, у), где х заключено между х и х+Лх. Таким образом, первоначальное выражение А можно э-аписать ~В виде А= Лу ЛxfZx (х, у). Левые равны и части равенств правые, откуда (1) и (2) равны (2) А, следовательно, __ т. е. Лх Луf;и (х, у)= Лу AxfZx {х, у), "' f;и (х, у)= fZx (х, у). Переходя в этом равенстве к пределу при Лх--+ О и Лу--+ О, получим lim Лх-+0 Лу-+0 Так как производные f ХУ (х, у)= lim f;u fZx и lim f;и (х, у)= f;и (х, у) и лх-+ о Лу-+ О Лх-+0 Лу-+0 fZx (х, непр~ы~ны в точке lim Лх-+0 Лу -+0 fZx (х, у)= f их (х, у). тельно получим: {;у (х, у) что и требовалось доказать. у). = fZx (х, у), (х, у), то Оконча- ПОВЕРХНОСТИ § 13] Из доказанной теоремы ant частные производные YPOBH5I 257 как следствие дхk дyn-k и апf получается, что если апt дyn-k дхk непрерывны, то апt дхk дуn- k = дуn- k дхk • Аналогичная теорема имеет место и для функции любого числа переменных. . п р и мер 4. н аити д3 и д3и -д д д , и -д д ~ х у z z ах у , х если и= е У sln z. Решение. ди дх =yexu sinz, р2 и дх ду =ехУ sin z+xyexu sin z=exY (1 +ху) sin z, д3и дх ду дz =ехУ (1 +ху) cos z, ди 'д 3 и ду дz дх =&У cos z+xyexu cos z =ехУ (1 Следовательно, д3и (см., кроме того, примеры д2и . ду ==хехУ sm z, дх дz =хехУ cosz, + :су) cos z. д3и = ду дz дх дх ду дz 1-2 этого параграфа). § 13. Поверхности уровня Пусть в пространстве (х, у, z) имеется область D, в которой задана функция и=и(х, у, z). (1) В этом случае говорят, что в области D задано скалярное поле. Если, например, и (х, {f, z) обозначает температуру в точкеМ (х, у, z), то говорят, что задано скалярное поле температур; если область D заполн'ена жидкостью или газом и и (х, у, z) обозначает давле ние, то· имеется скалярное поле давлений и т. д. Рассмотрим точки области имеет постоянное D, в которых функция и (х, у, z) значение с: и(х. у, z)=c. (2) Совокупность этих точек образует некоторую поверхность. Если возьмем другое значение с, то получим другую пове~эхность. Эти поверхности П р им е р называются 1. поверхностями уровня. Пусть задано скалярное nоле х2 yi z2 и (х, у, z)=т+т+тв · Здесь поверхностя~ш ур.)ВНЯ будут поверхности х2 yz z2 т+т+lб=с, Т, е. ЭЛ.1ИПСОИДЫ С ПОЛУОСЯМИ 2 Ус, 3 Ус, 4 ](с. 9 Н. С. Пискунов, т. 1 (ГЛ. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 258 Vlil Если функция и есть функция двух переменных х и у2 U=U (х, у), ro «поверхностями» уровня будут линии на плоскости OxyJ и (х, у)=с, (2') которые называются линиями уровня. Если значения и мы будем откладывать по оси z= и (х, то линиями уровня на Oz: у), плоскости Оху будут проекции линий, которые S2 получаются пересечении ти Z=U(X, у) С ПЛОС· костями /N--+-!'\/( IГ"tr::t=:~-../.--k.J+n.l.. r--::7-+~#.1~~~+:f.fft\11'-'--,;o!/ в поверхнос z= с (рис. Зная линии легко исследовать рактер поверхности =U (Х, у), 176). уровня, ха z = z !/ Рис .. Рис. 176. 177, z= Пр им ер 2. Определить линии уровня функции 1-х 2 -у 2 • Линиями rрщшя будут линии с уравнениями 1-х 2 -у2 =с. Это (рис. 177) окружности с радиусом -с. В частности, при с=О получаем о!{ружность х 2 +у2 = 1. Vl § 14, Рассмотрим в Производная по направлению обласщ D функцию и= и (х, у, z) и точку М (х, у, z). Проведем из точки М вектор S, направляющие коси нусы которого cosa, cos ~. cosy (рис. 178). На векторе S на расстоянии Лs от его начала рассмотрим точку М 1 (х+Лх, у+Лу, z+Лz). Таким образом, Лs = V Лх2 +лу 2 +Лz 2 • В,удем предполагать, что функция и (х, у, z) непрерывна и имеет непрерывные производные по своим аргументам в области D. .z59 ПРОИЗВОДНА,Я ПО НАПРАВЛЕНИЮ § 14} Аналогично тому, как это делалось в § 7, полное приращение функции представим так: Ли=:~ Лх + :: Лу +;~ дz + 8 1 ЛХ + 8 2 Лу + 8 3 Лz, (1) где 8i, 82 и 83 стремятся к ну.)Iю при Лs-+ О. Разделим все члены равенства ( 1) на Лs: Ли ди Лх ди Лу ди Лz Лх Лу Лz Тs= дх rs+ ду Тs+az Лs + 81 rs+ 82 rs+ 83 Лs • 2 () Очевидно, что Лх Лу А. Лz Лs=COSa, Лs=COSp, Лs Следовательно, равенство Ли Тs =cosy. можно переписать такt (2) ди ди А. = ди дх cos а+ ду cos В +az cos у+8 1 cos а+8 2 cost'+8a cos-v. (3) Предел отношения ~ при Лs-+ О называется производной от ,У Рис. Рис. 178. функции и= и (х, у, S и обозначается z) в точке дs , т. е. (х, у, z) по направлению вектора ди . 11m • дs -=-. qs Ли ди (4) 0 Лs Таким образом, переходя к пределу в равенстве ди 179. ди дs = дх cosa ди дu + ду cos Р +az cosy. (3), получим (5) Из формулы (5) следует, что, зная частные производные, легко цайти прщ:1зводную по любому направлению S. Сами частные производные являются частным случаем производной по направ- 9• [ГЛ. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЫ(ИХ ПЕРЕМЕННЫХ 260 лению. Так, напрймер, при а= О, ~ ди ди а;= дх cos О Пр им ер. ди :rt = 2 , :rt у= 2 ди VIII получаем: ди + ду cos 2 + Тz cos 2 = дх • :rt :rt Дана функция и=х2+уз+z2. Найти производную в точке М (1, ~: а) в направлении вектора S2 =i+i+k. 1, 1): =2i+J+Зk; б) в направлении вектора Решение. а) Находим направляющие косинусы вектора S1 = S1 : coi;a=2/Y4+1+9=2/Vl4, cos~=l/Vl4, cOS'\'=3/Vl4, С,1едовательно, ди ди ди 2 ди 1 3 дs1 =аху14+дуу14+дz у14" Частные производные ди ах=2Х, в точке М (1, 1, 1) ди ди ду=2у, дz=2z будут диl ди 1 дх м= 2 • ду м=2, ди дz- 1м=2. Итак, ди 2 2 · r14 as1 - 1 3 12 +2 · ..,-тт+ 2 · rм-rи · б) Находим направляющие косинусы вектора S2 : cos а= 1/уз, cos f} = t/уз, cos у= 1/ rз . Следовательно, ди дs2 1 1 1 6 ~г- =2• уз +2· ..,-з+2· ..,-з=rз=2" 3. Заметим для дальнейшего, что 2 уз> 12/У 14 (рис. 179). § 15. = В каждой точке области и (х, у, координат z), D, Градиент в которой задана функция и= определим- вектор, являются значения проекциями частных которого ди производных дх. на оси ди ду, ди дz этой функции в соответствующей точке: ди. grad и= ах i ди дц + ayi +az k. (1) Этот вектор называется градиентом функции и (х, у, z). Говорят, что в области D определено веюпорное поле градиентов. Докажем, § 15) ГРАДИЕНТ 261 далее, следующую теорему, устанавливающую связь между гради ентом и произ~юдной по направлению. Теорем а. Пусть дано скалярное поле и= и (х, у, делено в этом скалярном поле поле градиентов grad и= -ди i• дх z) и опре +ди- J• +-ди k . ду дz Производная :~ по направлению некоторого вектора S равняется проекции вектара grad и на вектор S. Доказательство. Рассмотрим единичный вектор ветствующий вектору S: So, соот So =i cosa.+Jcos ~+kcosy. Вычислим скалярное произведение векторов ~ ди ди grad и и So *): А.ди (gradu, .:,-) = дх cosa. + ду cos.., + дz cosy. (2) Выражение, стоящее g правой части этого равенства, есть произ- UJk gS Рис. 180. Рис. водная от функции и (х, у, вательно, z) по направлению вектора S. Следо мы можем написать (grad и, So) = Если (рис. 181. :: . обозначим уrо-л между векторами то можем написать grad и н So через q, 180), jgrad и I cosq, ди =as (3) и.~ш ди пp.so-grad и= дs . (4) Теорема доказана. На основании доказанной .теоремы наглядно устанавливается связь между градиентом и производной в данной точке по любому направлению. В данной точке М (х, у, z) строим вектор grad и (рис. 181). Строим сферу, для которой grad и является диаметром. *) Скалярное nроизведение векторов (А, В) или nросто чер~з AB.-fJpuм. ред. А и В будет обозначаться через (ГЛ. ФУНКЦИИ НЕСl<ОЛЬl(ИХ ПЕРЕМЕННЫХ 262 Vll.1! Из точки М проводим вектор S. Обозначим точку пересечения век тора S с поверхностью сферы через Р. Тогда очевидно, что МР= = 1grad и I cos <р, если <р - угол между направлениями градиента и отрезка МР ( при этом <р < ; ) t т. е. МР = изменении направления вектора S а;: . Очевидно, что при на противоположное рроизвод ная изменит знак, а ее абсолютная величина останется прежней. У становим некоторые свойства градиента. 1) Производная в данной точке по направлению и,пеет наибольшее значение, если направление вектора вектора S S совпадает с направл-ением градиента; это наибольшее значение производной равно Igrad и 1. Справедливость этого утверждения непосредственно следует из равенства (3): ди наибольшее значение а; будет при <р = О, и в этом случае ди 1gradu\. as= 2) Производная по направлению вектора, перпендикулярного grad и, равна нулю. Это утверждение следует из формулы (3). Действительно, к вектору в этом случае q>= ~, cosqJ=O и :: =lgradu\cosq>=O. + у 2 +z2. Пр и мер 1. Дана функция и= х 2 а) Определим градиент в точке М функции в произвольной точке буд!УГ (1, 1, 1). Выражение градиента этой grad и=2xi+2yj+2zk. Следовательно, grad и lм=2i+2j+2k, 1grad и 11м=2 УЗ. б) Определим производную от функции- и в точке М нии градиента. Направляющие косинусы градиента будут 2 cosa 1 у22+22+22 =vз· 1 1 соsР=уз' соsу=уз· Следова-:rельно.- т. е. ди "'дs=/ grad и/. (1, 1, 1) в направл11• ФОРМ~'ЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ § 16) а меч ан и е. Если функция и 3 переменных, = и (х, у) есть 263 функция двух то вектор ди. gradu = дх i +дудиj лежит в плоскости Оху. Докажем, что grad и направлен перпенди кулярно к линии уровня и (х, у)= с, лежащей в плоскости Оху и проходящей через соответствующую точку. Действительно, угловой коэффициент k1 касательной к линии уровня и (х, у)= с будет равен k1 =- и~ Угловой коэффициент k 2 градиента равен k 2 = и~ • Ux что k 1 k 2 = - 1. Это и доказывает справедливость нашего • Uy Очевидно, ;;:- ~ о # ~ о :J,' .Q Рис. Рис. 182. Рис. 183. 184. утвержнения (рис. 182}. Аналоrичн-ое свойство градиента функции трех переменных будет установлено в § 6 гл. IX. Пр и мер 2. Оnределить в точке М (2, 4). Р е ш е н и е. Здесь :: =х lм Следовательно, Уравнение линии уровня (рис. xz градиент у2. функции U=т+з (рис. 183) = =; У lм =: · 2• ~; 184), nроходящей через данную точку, будет х0 у2 22 т+з=з· § 16. Формула Тейлора для функции двух переменных Пусть функция двух переменных z=f(x, непрерывна (п+ l)-ro вместе со у) всеми своими частными порядка включительно в некоторой производными до окрестности точки rrл. ФУНКДИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 264 vrn М (а, Ь). Тогда, аналогично тому, как это было в случае функции одной переменной (см. § 6 гл. IV), функцию двух переменных представим х- а и у в виде суммы многочлена n-ro порядка по степеням - Ь и некоторого остаточного члена. Ниже будет показано, что для случая f(x, n=2 эта формула имеет вид у)=А 0 +D(х-а)+Е(у-Ь)+ + 21l [А (х-а) где коэффициенты А 0 , 2 +2В(х-а) D, (y-b)+C(y-b) 2 ]+R 2 , Е, А, В, С не зависят от х и у, а (l) R2- остаточный член, структура которого аналогична структуре остаточ ного члена в формуле Тейлора для функции одной переменной. Применим формулу Тейлора для функции (х, у) одной пере менной у, считая х постоянным ( ограничимся членами второго по рядка): f f (х, у)= f (х, Ь) + У 1 ь f~ (х, Ь)+ Ь)2 f" ( Ь) (у- Ь)з f"' ( + (уlТ уу х, +--г:]:з УУУ х, '111 )• (2) где '11i = Ь +в 1 (у-Ь), О< 6 1 < 1. Функции f (х, Ь), f~ (х, Ь), f~y(x, Ь) разложим по формуле Тейлора по степеням х-а, огра ничиваясь смешанными производными до третьего порядка вклю чительно: f(x, Ь)= / f~ (а, Ь) + <х. .;> f;x (а, Ь) + (~ .2.аГ ,~:х (s;:, = f (а, Ь) +х 2 где si:=x+0:(x-a), о< 02 Ь), < 1; f~(x, Y)=f;(a, Ь)+х 1 afZx(a, Ь)+<\_;> 2 f;':x(Sa, Ь}, где s =x+0 (x-a), 2 3 О< (3) (4) 03 < 1; f'i/Y (х, Ь) = fZu (а, Ь) + х 1 а f~~~ (s 3, Ь), (5) < 1. где sз=х+е 4 (х-а), о< 0 4 Под;ставляя выражения (3), (4) и (5) в формулу (2), получим f (х, у)= f'х (а, Ь) + ~ (х- а)2 f"хх (а, Ь) + (ха) 3 f"' = f (а, ь) + -х-а ~ ххх (t.,,1, Ь) 1+ у 1 Ь (а, Ь) + х 1 а fZx (а, Ь) + (х 1_;> 2 f~':x (6 2 , Ь)] + (у- Ь)2 УУ а, Ь) + -х-а f"' (t Ь)] + Т2Т (у- ь)з f"' +1-2 uuy (х, 111) • 1- vvx .,,з, [t~ [t" ( + 265 МАКСИМУМ И МИНИМУМ § 17] Располагая слагаемые так, как указано в формуле (l), получим f(x, y)=f(a, b)+(x-a)f:(a, b)+(y-b)f;(a, Ь)+ + ; 1 [(х-а) 2 f;x (а, Ь) +2 (х-а) (у-Ь) f;u (а, Ь) + (у-Ь) 2 f'yy(a, Ь)]+ + ;1 [(x-a) 3 f~;x(6 1 , Ь)+З(х-а) 2 (у-Ь)f;;у(6 2 , Ь)+ +3(х-а)(у-Ь) 2 {;;у(6 3 , Ь)+(у-Ь) 3 {;;;у(а, 1} 1)]. Это и есть формула Тейлора при п = R2 Выражение 2. =i [(x-a)3f~;x(6i, b)+3(x-a) (y-b)f~;y(6 2 1 + 3 (t- а) называется ~! [ : ; 2, Ь)+ r-:;y (63, Ь) + (у-Ь) t;ly (а, 111)] 3 остаточным членом. Обозначим, далее, х - а= Лх, (Лх) 2 (Лу) 2 • Преобразуем R2 : у-Ь = Лу, Лр = R2 = (у-Ь) 2 (6) V + t::x (Gi, Ь) + 3 л:Р~у t:':u (t;2, Ь) + Лу2 f"' + 3 Лх ~ (t xyu ~з, < Ь) +Лу3f'" ( )] Л Р,·• лрз UYY а, 1\1 < Так как I Лх 1 Лр, 1Лу 1 Лр и третьи производные, по усло вию, ограничены, то коэффициент при Лр 3 ограничен в рассмат риваемой области; обозначим его через et0 • Тогда можем написать R2 =схолрз. Формула Тейлора (6) в принятых обозначениях для случая n=2 примет вид f (х, + у)= + ;, + + f (а, Ь) Лхf; («, Ь) Луf; (а, Ь) [Лх2 f;х(а, Ь)+2ЛхЛуf;у(а, b)+Лy2f~u(a, Ь)]+сх 11Лр 3 • (6') При любом п формула Тейлора имеет аналогичный вид. § 17_. Максимум и минимум функции несl(ольких переменных Определение 1. Мы говорим. что функция z=f (х, у) имеет максимум в точке М 0 (х 0 , у0) (т. е. при х = х0 и у= у0 ), если f (Хо, Уо) > f (х, У) для всt:х точек (х, у), достаточно близких к точке (Х0 , у 0 ) и от личных от нее. Определен и е 2. Совершенно аналогично говорят, что функ ция z = (х, у) имеет минимум в точке М 0 (х0 , у 0), если f f (хо, Уо) < f (х, у) [ГЛ. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 266 для всех точек (х, у), достаточно близких к точке личных от VIII (х 0 , у 0 ) и от нее. Максимум и минимум функции называются экстремумами функции, т. е. говорят, что функция имеет экстремум в данной точке, если эта функция имеет максимум или минимум в данной точке. Пр им ер 1. Функция z= (х- 1) 2 +(у-2) 2 - 1 достигает мин-имума при х= 1, у=2, т. е. в точке (1, 2). Действительно, (1, 2) -1, а так как (x-l)a и (у-2) 2 всегда положительны nри х =I= 1, у =I= 2,то (х-1) 2 +(у-2) 2 -1 >-1, т. е. (х, у) (1, 2). Геометрическая картина, соответствующая данному слу чаю, изображена на рис. 185. = f f >f z z=(x-1/+(y-2/-f Рис. Пр им ер 2. Рис. 185. Функция I z= 2 -sin координат) достигает максимума (рис. 186. (х 2 +у 2 ) nри х=О, у=О (т. е. в начале 186). Действительно, f(O, 0)=1/2. Возьмем внутри окружности х 2 +у 2 =а/6 точку (х, у), отличную от точки (Q, О); тогда при О< х 2 +у 2 < ~/6 будет sin (х2 +у2 ) > О и поэтому 1 1 f (х, Y)="2-sin (х2 +у2) < 2 , т. е. / (х, Данное выше определение максимума и минимума можно перефразировать следующим образом. у)< f (О, О). функции Положим х=х0 +Лх, у=у 0 +Лу; тогда f(x, y)-f(xo, Уо)=f(хо+Лх, Уо+Лу)-f (хо, Уо)=Лf. < 1) Если Лf О при всех достаточно малых приращениях не зависимых переменных, то функция (х, у) достигает максимума f в точке М (х0 , Уо), 2) Если Лf О при всех достаточно малых приращениях не зависимых переменных, то функция (х, у) достигает минимума в точке М (х 0 , у 0 ). > f Эти формулировки переносятся без изменения на функции любого числа переменных. Теорем а 1 (необходимые у слов и я эк стрем ум а). =f Если функция z (х, у) достигает экстремума при х=х 0 , у=у 0 , rrw каждая частная производная первого порядка от z или обра щается в нуль при этих значениях аргументов, или не существует. § 17) МАl(СИМУМ И МИНИМУМ Действительно, дадим 267 переменной у определенное f значение, именно у= у 0 • Тогда функция (х, у 0 ) будет функцией одной переменной х. Так как при х =Х0 она имеет экстремум (макси• мум или минимум), то, следовательно, ~:/х=х• или равно нулю, У=Уо или не существует. Совершенно аналогично можно доказать, что ддzУ I или равно нулю, или не существует. Х=Хо У=Уо Эга теорема не является достаточной для исследования вопроса об экстремальных значениях функции, но позволяет находить эти значения мы в тех заранее случаях, уверены в в которых z существова нии максимума или минимума. В про• тивном случае требуется дополнитель• ное исследование. Так, например, функция дz дz z = х2 - у2 имеет производные дх =2х, ду =-2у,которые обращаются в нуль при х=О и у=О. Но эта функция при указанных значениях не имеет ни максимума, ни минимума. Действи• Рис. 187. тельно, эта функция равна нулю в начале координат и принимает в как угодно близких точках от начала координат как положительные, ния. Следовательно, мом (рис. 187). значение дz Точки, в которых дх так и отрицательные нуль не является ни максимумом, ни =О (или не существует) дz и ду =о значе миниму• (или не существует), называются критическими точками функции z=f(x, у). Если функция достигает экстремума в какой-либо точке, то (в силу теоремы 1) это может случиться только в критической точке. Для исследования функции в критических точках установим достаточные условия экстремума функц_ии двух переменных. Теорем а 2. Пусть в некоторой области, содержащей точку М 0 (х0 , у 0 ), функция f (х, у) имеет непрерьюные частные производ• ные до третьего порядка включительно; пусть, кроме того, точка М 0 (х0 , у0 ) является критической точкой функции (х, у), т. е. f дf (хо, Уо) _ О дх ' дf (хо, Уо) ду -0 - • Тогда при Х=Хо, у=у 0 1) / (х, у) имеет макси.мум, если д2 f(хо, дх2 2) f (х, Уо). д2 f(хо, Уо)_(д2 f(хо, Уо)) 2 ду2 дх ду >О и д2 f(хо, Уо) >О U д2 f(хо, Уо) дх2 дх2 < О· ' у) имеет минимум, если д2 f(Хо, Уо) д2 f(хо, Уо) дх.а • ду2 (д2 f (хо, Уо)) 2 дх ду > О·• 268 [ГЛ. VШ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 3) f (х, у) не имеет ни лtаксиму.ма, ни .минимума, если д 2 f(хо, Уо). д2 f(хо, Уо) дх2 ду2 дх ду < О· ' (хо, Уо) ) 2 = О то экстремум ( д2 fдхду ' 4) если д2 f (хо, Уо) • д2f (хо, Уо) дх2 (д 2 f(хо, Уо)) 2 ду2 .Аюжет быть и может не быть (в этом случае требуется даль нейшее исследование). До к аз ат ель ст в о. Напишем формулу Тейлора второго порядка для функции (х, у) (формула (6) § 16). Полагая а= х 0 , Ь= Уо, х=х0 +Лх, у= у0 +Лу, будем иметь f f (хо +лх, Уо +Лу) = f (х0 , у 0 ) + дf(х~~ Уо) Лх+ дf <1; Уо) Лу + +..!...[д2f(хо, Уо) лх2+2д2 f(хо, Уо) ЛхЛу+д2 f(хо, Уо) ду2] +а (Лр)Э 2 дх2 где Лр = V Лх 2 дх ду + Лу 2 , По условию о iJy2 , а а0 стремится к нулю при Лр ._. О. дf (~, Уо) = О, дf (х;, Уо) х О. у Следовательно, Лf=f(х0 +Лх, у0 +Лу)-f(х 0 , у 0)= дf д f дf ] = 211 [ axz Лх11 + 2 дх ду Лх Лу + ду 2 Лу 2 2 2 Обозначим теперь значения вторых в точке М 0 (х 0 , у 0) через А, В, С: -д2f дх 2 I м0 -А - ' 2 + ct частцых 0 (Лр) 3 • (1) nроизводных а21- / -В -а21 J -с дхду м 0 ' ду 2 м. · Обозначим: через q> угол между направлением отрезка М 0М, где Месть точка М (х0 +Лх, у 0 +Лу), и осью Ох; тогда Лx=ЛpcosqJ, Лу = Лр sin (J). Подставляя эти выражения в формулу для Лf, найдем Лf = ~ (Лр) 2 [А cos2 ер +2В cos <р sin ер+ С sin2 ер+ 2а0 Лр]. (2) Предположим, что А =#=О. Разделив и умножив на А выражение, стоящее в квадратных скобках, получим Лf = ~ (Лр) 2 [ (А cos<p+B sin<p)~+(AC-B2) sin 2 q> + 2аоЛР]. (З) Рассмотрим теперь четыре в0зможных случая. > I) Пусть АС-В 2 О, А< О. Тогда в числителе дроби стоит сумма двух неотрицательнмх величин. Они одновременно в нуль МАКСИМУМ И МИНИМУМ § 17] 269 не обращаются, так как первый член обращается в нуль при второй при sin((J=O. Если А О, то дробь есть отрицательная величина, не обра щающаяся в нуль. Обозначим ее через -m 2 ; тогда tg(()=-AIB, < Лf 1 =2 (Лр)2[-m2+2а.о Лр], где т не зависит от Лр, а. 0 Лр-+ О при Лр-+ О. Следовательно, при достаточно малых Лр будет Лf О, или f (х 0 +Лх, у 0 +Лу) -f(x0 , у 0 )<0. Но тогда для всех точек (х 0 +Лх, у 0 +Лу), до статочно близких к точке (х 0 , у 0 ), имеет место неравенство < f (Хо+ Лх, а это Уо (х 0 , у 0 ) означает, что в точке максимума. Пусть АС-В 2 2) > О, + Лу) < f (Хо, Уо), функция f (х, у) А> О. Тогда, рассуждая достигает аналогично, получим 'ИЛИ f(хо+Лх, Уо+Лу)>f(хо, Уо), т. е. f(x, 3') у) имеет минимум в точке (х 0 , у 0 ). Пусть < О, АС -В 2 А > О. В этом случае функция не имеет ни максимума, ни минимума. Функция возрас тает, когда мы движемся из точки (х0 , у 0 ) по одним направле ниям, и убывает, когда мы движемся по другим направлениям. Действительно, при перемещении вдоль луча ер= О имеем Лf = 1 2 (Лр) 2 [А+ 2а. 0 Лр] > О; при движении вдоль этого луча функция во'3растает. Если же перемещаться вдоль луч:L<р=<р 0 такого, что tgc:p0 =-A/B, то при А> О будет l [АС-В2 . 2 ] Лf= 2 (Лр) 2 А stn (() 0 +2a.0 Лp < О; при движении вдоль этого луча функция убывает. 3") не Пусть АС-В 2 и м ее т ни < О, А< О. В этом случае функция тоже м а к с и м у м а, ни ми ни м у м а. Исследование проводится так же, как и в случае 3'. 3"') Пусть АС-В 2 О, А =0. Тогда В +о, и равенство < можно переписать в (2) виде Лf = ~ (Лр) 2 [ sin (() (2В cos (()+С sin (()) + 2а 0 Лр]. При достаточно малых значениях (() выражение, стоящее в круг лых скобках, сохраняет знак, так как оно близко к 2В, а множитель ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 270 sin q> (ГЛ. VIII меняет знак в зависимости от того, будет ли q> больше нуля или меньше нуля (после выбора q> >О и q> <О мы можем р взять настолько малым, что 2а 0 не будет изменять знак всей квадрат ной скобки). Следовательно, и в этом случае Лf меняет знак при различных q>, т. е. при различных Лх и Лу, следовательно, и в этом случае нет ни максимума, ни минимума. Таким образом, каков бы ни был знак А, имеем всегда сле дующее положение: Если АС- В 2 <О в точке (х0 , у 0 ), то функция не имеет в этой точке ни максимума, ни минимума. В этом случае поверхность, служащая графиком функции, может вблизи этой точки иметь, например, форму седла (см. выше рис. 187). Говорят, что функ ция имеет в этой точке .минимакс. 4) Пусть АС-В 2 = О. В этом случае на основании формул (2) и (3) сделать заключение о знаке Лf нельзя. Так, например, при А -=1=- О будем иметь Лf= ~ (Лр)2[ (Acoscp1Bs1ncp)2 +2аuЛР); q> = arctg (-А/В) знак Лf определяется знаком 2а0 , здесь при требуется специальное дальнейшее исследование (например, с помощью формулы Тейлора более высокого порядка или каким-либо иным способом). Таким образом, теорема 2 пол ностью доказана. Пр им ер 3. Исследовать на максимум и минимум функцию :z=x2 -xy+y2 +зx-2y+l. Решение. 1) Находим критические точки: дz дх =2х-у+3, дz ду =-х+2у-2. Решая систе!l!у уравнений получаем Х=-4/3, 2) у= 1/3, Находим производные второго порядка в критической точке и оnреде.пяем характер кр-итическоА точки: д2z А= дх2 =2, д2z В= дхду ==-1 АС-В 2 =2-2-(-1) 2 =3 СJiедовательно, в точке Пр и мер 4. д2z С= ду2=21 > О. (-4/3; 1/3) данная функция Zmin=-4/3. имеет минимум, а именно: Исследовать ца максимум и минимум функцию z=x3+y8-3xy. (-4/3; 1/3) МАl(СИМУМ И МИНИМУМ § 17) Р е ш е-н и е, 1). 271 Найдем критические точки, nользуяа. ловиями экстремума: дz ах=3х2 -3у =0, дz необходимыми ус• 1 ду==3у 2 -Зх=0. Отсюда nолучаем две критические точки: Х1 2) = l, У1 =1 и Х2 = о, У2 = о. Найдем производные второго nорядка: д2 z д2z =-3 аха =6х, дх ду a2z ' ду2 =6у. З) Исследуем хар;нсrер первой критической точки: А= ::~ \х= 1 = 6, В= д~2;у lx= 1 = -3, С = ::~ \х= 1 = 6, 11=1 y=I g=I АС-8 9 =36-9=27>0; Следоватепьио; в точ.ке- (1; 1) А >0. данная функция имеет минимум, именно, Zmin=-1. 4) Иссмдуем харахтер второй критической тоqки М 2 (О, О): В=-3, A=IY, С=О: АС-В 2 =-9 < О. Следовательно, во второй критической точке функция не имеет ни максимума, ни минимума, (минимакс), Пр им ер 5. Разложить данное nоложительное число а на три положи,. тельных слагаемых так, чтобы их nроизведение имело наибольшее значение. Р e.m е и и е. Обозначим· сла11аемые: первое через х, второе через у; тогда третье бyдffr а-»-у. Произведение этих слаrаемых равно и=ху(а-х-у). По условию, aaдaJllt х > О, у> О" а-»-у > О" т. е. х+у < а, и> О" Следо вательно, х и у могут принимать значения, nринадлежащде области, ограни• ченной прЯМЬU4П х=О, у=О, х+у=а. Найдем частные nроиэводиые функции и: ди дх =У (а-2х-у), ди ду =х (а-2у-х). Приравнивая производные- нулю, полуЧ'Им еистему· уравнений у(а-2х-у) =0, х·(а-2у-х) =0. Решая эту систему, находим критичес&ие точюt: х 1 =0, х 3 =а, Yi=O, Yw=O; Ма М 1 (0,О); х9 =0, у1 =а, (а, О}; х4 =а-/3, у4 =а/З, Первые три точки лежат на границе области, нице облас1'и М 2 (0,а); М 4 (а/3, а/3). последняя-внутри. На гра функция и равна- нулю, а внутри области она следовательно, в точке (а/3, а/3) единственная экстремальная точка внутри ; ; ( а- ; как !Это треугольника). Максимальное зна• чение nроизведения есть Umax = положительна; функция и имеет максимум (так -f) = ~ . [ГЛ. ФУН:К.ЦИИ НЕС:К.ОЛЫ(ИХ ПЕРЕМЕННЫХ 272 Проведем исследование характера критических точек, nользуясь VIII доста точными условиями. Найдем частные производные второго порядка функции и: a2u azu дхZ =-2у, В точке М 1 =-а2 < О. azu ((}, д2и дхду=а-2х-2у, дуz =-2х, a2u д2и О) имеем А=-д д =а, С=-д. =0, АС-В 2 2 =0, В=-а х х Следовательно, в точке М1 д2 и нет у у- ни максимума, д2и ни д2и В точке М 2 (О, а) имеем А= дхz =-2а, В= дх ду =-а, С= дуz - В 2 =-а 2 В точке < О. Значит, в точке М 2 тоже нет ни М 3 (а, О) имеем А=О, В=-а, = О, А=- 3 , В=- а 3 2а С=-2а, С=- 3 , , 4а 2 • АС - максимума, ни минимума. АС-В 2 =-а 2 И в точке М 3 нет ни максимума, ни минимума. В точке М 4 ( ; , 2а = минимума. а2 АС-В-= 9 - 9 > О, ~) А< О. > О. имеем Следова- тельно, в точке М 4 имеем максимум. Замечание. Теория максимумов и минимумов функции не скольких переменных является основой для одного метода полу чения формул для изображения функциональных зависимостей на основании экспериментальных данных. Этот вопрос изложен в§ § 18. 19. Максимум и минимум функции нескольких переменных, связанных данными уравнениями (условные максимумы и минимумы) Во мноruх ~дачах на разыскание наибольших и на:именьши х эnачений функции вопрос сводится к разысканию максимумов и минимумов функции от нескольких переменных, которые не яв ляются независимыми, а связаны друг с другом некоторыми доба вочными условиями (например, она должны удовлетворять дан ным уравнениям). Рассмотрим, например, такую задачу. Из данного куска жести площадью 2а надо сделать закрытую коробку в форме паралле лепипеда, имеющую наибольший объем. Обозна1Щм длину, ширину и высоту коробки через х, у, z. Задача сводится к разысканию максимума функции v xyz п-р и у слов и и, что 2ху 2xz 2yz 2а. Здесь мы имеем задачу на + + = = ус.11овный экстремум: переменные х, у, + 2xz + 2yz = 2а. 2ху тоды решения таких z связаны В настоящем параграфе мы условием рассмотрим ме задач. Рассмотрим сначала вопрос об условном экстремуме функции двух переменных, если эти переменные связаны од ним условием. Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции U=f(x,y) JJPИ условии, что х и у связаны (1) уравнением q,(x,y)=O. (2) УСЛОВНЫЕ МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ § 18] При наличии условия (2) из двух 273 переменных х и у н е з а в и с им ой будет только одна, например х, так как у опреде ляется из равенства (2) как функция от х. Если бы мы разре шили уравнение (2) относительно у, то, вставляя в равенство (1) вместо у найденное выражение, получили бы функцию о д н о й переменной х и свели бы задачу к задаче об исследовании на максимум и минимум функции одной независимой переменной х. Но можно решить поставленную задачу, не разрешая урав нения (2) относительно х или у. При тех значениях х, при кото рых функция и может иметь максимум или минимум, производная от и по х должна обращаться в ну ль. Из (1) du находим dx, помня, что у есть функция от х: du _дf dx- дх + дf dy дуdх" Следовательно, в точках экстремума jf_+21._dy =0 дх Из равенства (2) ду dx • + д<р dy =0 (3) находим дq, дх ду dx (4) • Это равенство удовлетворяется для всех х и у, удовлетворяющих уравнению (2) (см. § 11). Умножив члены равенства (4) на неопределенный пока коэф фициент '},., и сложив их с соответствующими членами равенства (3), получим dy) + л, ( дq, + д<р dy) =О ( jf_+!J.. дх ду dx дх ду dx или + '},., д(J)) + (21._+ '},., д<р) dy = 0. ( jf_ дх дх ду ду dx (5) Последнее равенство выполняется во всех точках экстремума. Под берем '}, , так, чтобы для значений х и у, соответствующих экстре муму функции и, вторая скобка в равенстве (5) обратилась в нуль*): .!.L+ ~ д<р -О ду /\, ду • Но тогда при этих значениях х и у из равенства (5) следует равенство !!+лаq,=О. дх дх *) Для опредежнности будем предполагать, что в критических точках д<р , о дут= • ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 274 [ГЛ. VIII Таким Qбразом, получается, что в точках экстремума удовлетво ряются три уравнения: (6) с тремя неизвестными х, у, л. Из этих уравнений определяем х, у и л, которое играло только вспомогательную роль и нам в даль нейшем не требуется. Из вывода следует, что уравнения условиями (6) являются необходимыми условного экстремума, т. е. в точках экстремума удовле творяются уравнения (6). Но не при всяких х и у (и л), удовле творяющих уравнениям (6), будет иметь место условный экстремум. Требуется дополнительное исследование характера критической точки. При решении конкретных задач иногда удается установить характер критической точки на основании существа задачи. Заметим, что левые части уравнений F (6) (х, у, л) суть частные производные функции = f (х, у)+ лср (х, у) (7) по переменным х, у, л. Таким образом, для того чтобы найти значения х и у, удовле• творяющие условию (2), при которых функция и= (х, у) может иметь условный максимум или условный мицимум, нужно составить вспомогательную функцию (7), приравнять нулю ее производные по х, у и л и из полученных трех уравнений (6) определить иско мые х, у (и: вспомогательный множитель л). Рассмотренный метод f распространяется на исследование условного экстремума функции любого числа переменных. Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции п переменных и= (xi, х2 , ••• , хп) при условии, что переменные х1 , х1 , ••• , х11 связаны т (т п) уравнениями f < (j)l (Х1, Х2, ср2 (Х1, Х2, .... Для •.. , хп) _О,} ••• , Хп)-0, ....... • • • ' Хп) = о. того чтобы найти значения х 1 , х 2 , могут быть условные (8) J ••• , Хп, при которых максимумы и минимумы, нужно составить функцию F (х1, Ха, е • • J + + Ха, лi, •, ., лпr) = f (Х1, • • •, Хп) Л1ср1 (Xi, • • •, Хп) +ласр2(Х:~:, •••1 Хп)+ ••• +лтсрт(Хf, •••, Хп), УСЛОВНЫЕ МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ § 18] приравнять нулю ее частные производные дfХ1 +11,1-а-+ ~ д<рf -д Х1 Х1 по . . ... . .. . . . Х2 Х2 дf ~ д(f!i +11,1-д д-Хп Хп m+ п и из уравнений (8) Х2 1 Xi, ~ д<рт О ' ... + /\,т-а-= дf ~ д<р1 ~ д<рт О -д +11,1-а-+ • ••+ 11,т-д-= , 275 х2 , • • • 1 Хп! (9) .. =О J + ••• + ~11,т д<рт д Хп и (9) определить х 1 , х 2 , ... , Хп и вспо могательные неизвестные 'Л 1 , ••• , 'Ат. Так же как и для функции двух переменных, вопрос о том, будет ли при найденных значениях функция иметь максимум или минимум или не будет иметь ни того, ни другого, мы в общем случае оставляем открытым. Этот вопрос мы будем решать на основании вспомогательных соображений. Пр II мер 1. Вернемся к задаче, сформулированной в на<U!ле этого пара• графа: найти максимум функции V=XYZ при условии, что xy+xz+yz-a=0 (х > О, у> О, z > О). (10) Составим вспомогательную функцию F(x, у, л.)=xyz+л.(xy+xz+yz-a). Найдем ее частные производные и приравняем их нулю1 уz+л (У+ z)=O, } =0. xz+л.(x+z)=0, ху+л. (х+у) Задача сводится к решению системы (11) четырех уравнений (10) и (11) с четырьмя неизвестными (х, у, z и л.). Для решения этой системы умножим первое из уравнений (11) на х, второе-на у, третье-на и сложим их; Зхуz принимая во внимание равенство (10), находим (1.=-2а. Вставляя в урав• z нения yz [ (l l) найденное значение л, 1 получим 1-:: (y+z>] Так как х, у, z =0 1 xz [ 1-:: (х =0; +z>] ху [ 1-:: (х+у)] =0. по смыслу задачи отличны от нуля, то из последних уравне• ний имеем Из первых двух уравнений находим х=у, из второго и третьего уравнений y=z. Но в таком случае из уравнения (10) получаем x=y=Z= Va/3. Это единственная система значений х, у и мум z, при которых может (> ы т ь максц или минимум. Можно доказать, что полученное решение дает максимум. Впрочем, это ясно и из геометрических соображений (в условиях задачи объем коробки не может быть неограниченно большим; следовательно, естествеюЮ' ожидать, что при камх-то определенЦЬI~ значенця,х, 1,:торон этот объем будет наибольшим). [ГЛ. ФУНКЦИИ НЕСI(ОЛЫ(ИХ ПЕРЕМЕННЫХ 276 VIII Итак, д.ля того чтобы объем коробки был наибольшим, эта коробка должна быть кубом, ребро которого равно У а/3. Определить наиболыuее значение корня п-й степени из про х 1 , х2 , ••• , Хп при условии, что их сумма равна данному числу а. Следовательно, задача ставится так: требуется найти максимум функ• П р и мер 2. чисел изведения ции и= i1/ Х1 •• • Хп при условии х 1 +х2 + ... +хп-а=О (х1 >6, х2 >6, ... , Хп>О). (12) Образуем вспомогательную функцию F(x1, ... , Хп, л.)=i1/х1•••хп+Чх1+х2+••·+хп-а). Находим ее частные производные: Х2Х3 ... Хп +л=..!..~+л.=0 р' =_!_n , 1 и n Х2 х, х1 ' ИЛИ U=-nл.xt, п (xi .. •xn) F n ~ =--+л.=·О или и=-nл.х2, или и=-n'J.хп. ., .. .1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . х, ' и F Хп =--+1=0 , n Xn Из последних равенств ния ( 1~ получаем х 1 =t х2 находим х 1 =х 2 =,.,=Хп, а = ... = Хп = а/п. на основании уравне По смыслу задачи эти значения дают максимум функции )У х1 Хп, рав .•• ный а/п. Таким образом, дЛIЯ любых положительных чисел х1 , х2 , ••• , Хп, связан• ных соотношением х 1 +х2 + ... +Хп = а, выполняется неравенство п/- V X1-••xn<afn ( так как, по доказанному, : является наибольшим значением этой функции) . Подсrавляя теперь в неравенство равенства (12), (13) (13) вместо а ,его значение, полученное из .найдем {1/ X1X2•••xns;;;;; х1+- ... +хп • n (14) Это неравенство справедливо для любых положительных чисел Х:(, х11 ••• Хп. Выражение, стоящее в левой части соотношения (14), называется средним геометри'lеским этих чисел. Таким образом, среднее геометрическое нескольких положительных чисел не больше их среднего арифметцческого. § 19. По.лучение функции на основании акспериментальных данных по методу наименьших квадратов Пусть на основании эксперимента требуется установить функ циональную зависимость величины у от величины х: у= (f! (х). (1) Пусть в результате эксперимента получено п значений функции у при соответствуюIUИХ значениях аргумента. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ § 19] 277 Результаты записаны в таблицу: х Х2 Х1 11 у У2 У1 q:, Хп ... Уп 1 11 Вид. функции у= ... 1 (х) устанавливается или из теоретических сооб ражений, или на основании характера расположения на коорди натной плоскости точек, соответствующих экспериментальным зна чениям. (Эти точки будем называть «экспериментальными точками».) Пусть, например, экспериментальные точки расположены на коор динатной плоскости так, как изображено на рис. 188. Учитывая, что при проведении эксперимента имеют место погрешности, естест венно предположить, что искомую функцию у= q:, (х) можно искать в виде линейной функции у= ах+ Ь~ Если экспериментальные точки расположены так, как указано на рис. 189, то естественно искать функцию у= q:, (х) в виде у= ах 6 и т. д. у О у .z; .Z:.. -1}.Z-п Рис. D 188. .:с Рис•. 189. При выбранном виде функции у= q:, (х~ а, Ь, с, ... ) остается подобрать входящие в нее параметры а, Ь, с, ... так, чтобы в каком-то смысле она наилучшим образом описьша,ла рассматри ваемый процесс. Широко распространенным методом решения данной задачи является метод наименьших квадратов. Этот метод заклюqается в следующем. Рассмотрим сумму квадратов разностей значений У,·, даваемых экспериментом, и функции ер (х, а, Ь, с, ... ) в соответст вующих точках: п S(a, Ь, с, ... )=~[y,-cp(xi, а, Ь, с, ... )]2 • (2) i=I Подбираем параметры а, Ь, с, наименьшее ... так, чтобы эта сумма имела значение: 11 S(a, Ь, с, ... )= -~ [yi-q:,(x,, а, Ь, с, ... )]2 =min. !=1 (3) {fЛ. VШ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЫ(ИХ ПЕРЕМЕННЫХ 278 Итак, задача свелась к нахождению значений: параметров а, Ь, с, ... , S (а, Ь, с, ••. ) имеет минимум. На основании теоремы 1 (§ 17) следует, что эти значения а, Ь, с, ..• при которых функция удовлетворяют системе уравнений: ~ ~ ~ аа=о, аь=о, ас=о, в или развернутом <4> ... , виде: п L[Yi-q,(xt, а, Ь, с, • • • )] дq,(xj. а. даь. с • •.. )_о ' - i=l п L [Yi - q, (xi, а, Ь, с, •.. }] дq, (ч, а, ь, с, дЬ .•. ) _ 0 - l ' (5) i=l R ~f ,_ ~1:.У, (. q, Xi, а, Ь 'с,... )]дq>(Xi, а, Ь, С,, .. ) де . . . . . . . . . .. . . . . . . f=l о, . .... Здесь имеется столько уравнений:, сколько и неизвестных. В каж дом конкретном случае исследуется вопрос о сущес1:Вовании реше ния системы уравнений: Ь, с, .•. ). и о существовании минимума функции (5) S (а, Рассмотрим определения случаев несколько =q>(x, а. Ь, с, .•. ). 1. Пусть у= ах+ Ь. Функция (см. выражение (2)) S (а, функции у= Ь) в этом случае имеет вид п S (а, Ь) = ~ [Yi - (axi +Ь)]•. (6) l= 1 Это функция с двумя переменными а и Ь (х, и числа; см. таблицу на с. 277). Следовательно, Yi - заданные : =-2±[u,-(axi+b)]xt=O., i=l п :: =-2L[yi-(axi+b)]=0, i·=l т. е. система уравнений (5) в этом случае принимает вид ±У 1Х а ± Xf - i- J:1 ni=l Ь .± 1=1 ~ u,-a ~ x 1 -bn=0. i= 1 i= 1 Xt = 0, lJ I (7) Получили систему двух линейных уравнений: с двумя неизвестными а и Ь. Очевидно, что система имеет определенное решение и что §19) при МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ найденных значениях а и Ь функция S 279 (а, Ь) имеет мини мум*). 11. Пусть за аппроксимирующую функцию взят трехчлен второй степени у=ах 2 +ьх+с. В этом случае выражение (2) имеет вид п S(a, Ь, с)= ~[Yi-(axf+bxi+c)]2 • (8) i= 1 Это функция трех переменных а, Ь, с. Система уравнений (5) при нимает вид f [yi-(ax;+bxi+c)]x;=O, 1 f [yi-(ax~+Ьxi+c)]xi=O, 1 i=I i=I п ~{Yi-(ax;+bxi+c)]=O, J=l J (9) [Iолучаем систему линейных уравнений для оnределения неизвест ных а, Ь, с. Из характера задачи следует, что система имеет определенное решение и что при по~ученных значениях а, Ь, о функция S (а, Ь, с) имеет мин им ум. Пр им ер. Пусть на основании эксперимента получены четыре значения искомой функции g=q>(x) при четырех значениях аргумента (n=4), которые записаны в таблице: *) Это легко устанавливается и на основании достаточных условий (см. теорему 2 § 17). Действительно, эдесь п д2 s ~ п 2 д2 s ~ да?. = 2 ,:_. х; • да дЬ = 2 ,:_. Xi, 1= 1 i= 1 д2 s дЬ 2 = 2n. д2S да2 > О. ФУНКЦИИ НЕСl(ОЛЫ(ИХ ПЕРЕМЕННЫХ 280 Будем искать функцию q> в 2 3 5 4 2,5 0,5 (ГЛ. VIII виде линейной функции у=ах+ь. Составляем выражение S (а, Ь): 4 S (а, Ь)= ~ [Уi-(а.ч+Ь)] 2 • i=I Для составления системы (7) для определения коэффициентов а и Ь 1 предварительно вычисляем ---'-- ' 1 1 1 ' 1 1 1 ' 1 1 4 rьr,.1:,t:1,l!J' r'' , о 4 ~ YiXi=2l, l= 1 ~ Xi= 11, l=I Система Рис. 190. 190) есть 4 ~ Yi=lO. i=I (7) принимает вид 21-39a-llb=O,} 10-lla-4b=0. Решая !п'У систему, находим а и Ь: а=- 26/35, Ь= (рис. xf =39, i= 1 4 1 ~ 159/35. Искомая прямая 26 159 у=-35х+35• § 20. Особые точки кривой Понятие частной производной используется при исследовании кривь1х. Пусть кривая задана уравнением F (х, у) =0. Угловой коэффициент касательной к кривой определяется по формуле дF dy дх dx=-ar ду (см. § 11). Если в данной точке М (х, у) рассматриваемой кривой по крайдF дF ней мере одна из частных производных дх и ду не обращает<:я u в ну.r~ь, то в этои точке вполне определяется илп dy dx или dxK dy • ри- ОСОБЫЕ ТОЧI(И I(РИВОЙ § 20) 281 вая f (х, у)= О в такой точке имеет вполне опред~шенную касатель ную. В этом случае точка М (х, у) называется обыкновенной точкой. Если же в некоторой точке М 0 (х 0 , у 0) имеем дF lx=x, = О дF \х=х,=0, ду И дх 1у=у, у=у, то угловой коэффициент касательной становится неопределенным. Определение. Если в точк~ М 0 (х0 ,у 0 ) кривой дF F(x,y)=O дF обе частные производные ах или ду обращаются в нуль, то такая точка называется особой точкой кривой. Следовательно, особая точка кривой определяется системой уравнений дF дF ах=О, F=O, ау=О. Естественно, что не всякая кривая имеет особые точки. Так, например, для эллипса очевидно, х2 F (х, у)= а2 дF производные дх и у + Ь2-1, дF ду дF 2 дх 2х дF 2у = а2 • ify="ь2• обращаются в нуль только при х=О, у= О, но эти значения х и у не удовлетворяют уравнению эллипса. Следовательно, эллипс не имеет особых точек. Не предпринимая подробного исследов,ания поведения кривой вблизи особой точки, рассмотрим несколько примеров кривых, имеющих особые точкц. П р и м ер l. Исследовать особые точки кривой у2 -х (х-а)2.=О Решение. В данном случае (а> О). F(x, у)=у2 -х(х-а) 2 , поэтому дF дх =(х-а) (а-Зх), дF ду =2у. Решая совместно три уравнения F (х, у) =0, дF дх дF =0, ау=0 1 находим единственную удовлетворяющую им систему значений х и у: х0 =а, Уо=О. Следовательно, точка М 0 (а, О) есть особая точка кривой. Исследуем поведение кривой вблизи особой точки и построим Перепишем данное уравнение в виде У=± (х-а) дует, что кривая: l) определена лишь при х ~ О; fx. 2) кривую. Из этой формулы еле• симметрична· относительно [ГЛ. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ '282 оси Ох; 3) nересекает ось Ох в точках VIII (О, О) и (а, О). Последняя точка, как было указано, является особой. Мы рассмотрим сначала ту часть кривой, которая соответствует знаку+~ У= (х-а) Ух. Найдем nервую и вторую производные от у no х; ,_Зх-а 1I - 2 Ух 1 ,,,,_ 11 - Зх+а 4х Ух• = При х О имеем у'= со. Следовательно; кривая касается оси Оу в начале координат. При х=а/3 имеем у'=О, у"> О, т. е. при х=а/3 функ- 2а, /'а. ция у имеет минимум: у=-з у nри х = > а/3 З. На отрезке О< х < а имеем у< О; будет у'> О; при Х-+ go будет g-+ go, При х=а имеем у'= Уа, т. е. в особой точке М 0 (а; О) ветвь кривой у=(х-а) Ух имеет касательную У= Уа (х-а). Так как вторая ветвь кривой у=-(х-а) Ух симметрична с первой относительно оси Ох, то, следовательно, в особой точке кривая имеет и вто рую касательную (ко второй ветви) у=- Уа (х-а). Через особую точку кривая nроходит дважды. Такая точка называется gВАО8ой точкой. Рассмотренная кривая изображена на рис. 191. Пр им ер 2. Исследовать на особые точки кривую (полукубическая nа рабола) у"-х8=0. Ре m е н и е. Координаты особых точек оnределяются из системы уравне ний: у2 -х3=0; Зх"=О, 2у=О. Следовательно М 0 (О, О) есть особая точка. Переnишем данное уравнение в виде у=± У х8. Для nостроения кривой исследуем сначала ветвь, которой в уравнении соответствует знак nлюс; ветвь кривой, соответствующая знаку минус, сим!/ метрична с .первой относительно оси Ох. Функция у определена только нри х:;;;,, ~о. нео"рицательна и возрастает при воз растании х. о Рис. Рис. 191. 192. Найдем первую и вторую nроиэводные от функции у= З -.r- 3 1 11'=2" х, if =4 Ух . Yxi~ ОСОБЫЕ ТОЧI(И I(РИВОЙ § 20] 283 При х=О имеем у=О, у' =0. Следовательно, рассматриваемая ветвь кривой имеет в начале координат касательную у=О. Вторая ветвь кривой у=-У ~ также проходит через начало координат и имеет ту же касательную у=О. Таким образом, две различные ветви кривой 1;1стречаются в начале коор динат, имеют одну и ту же касательную и расположены от касательной по разные стороны. Такая особая точка называется точкой возврата первого рода (рис. 192). а меч а ни е. Кривую у 2 -х3 =0 можно рассматривать как предельный случай кривой у 2 х (х-а) 2 (рассмотренной в примере 1), когда а-+ О, т. е. 3 = когда петля кривой стягивается в точку. Пр им ер 3. Исследовать кривую (у-х 2 ) 2 -х 5 =0. Р е ш е н и е. Координаты особых точек определяются -4х (у-х 2 )-5х 4 =0, которая имеет единственное координат есть особая точка. решение: системой уравнений 2 (у-х 2)=0, х=О, у=О. Следовательно, начало Перепишем данное уравнение в виде у=х2 ±Ух•. Из этого уравнения + следует, что х может принимать значения от О до со, Определим производные первого и второго порядка: ,r- 5 х3, y'=2x±2 ,- y" ;;;= 2 ± 415,rr х. Исследуем ветви кривой, -соответствующие знакам плюс и-,минус, в отдель ности. В обоих случаях при х=О имеем: у=О, у' =О, т. е. для обеих вет вей ось Ох является касательной. Рассмотрим сначала ветвь У= х2 +Ух•. При возрастании х от О до со у возрастает от О до СО', Вторая ветвь y=xs- У~ пересекает ось Ох в точках (О, О) и (1, О). При х.=16/25 функция- y=x2 -Vx2' имеет максимум. Если х-+сх,, то g-+-00. Таким ооразом, в данном случае в начале координат встречаются две ветви кривой; обе ветви имеют одну к ту же- касательную и расположены по одну сторону от касательной вблизи точки касания. Такая особая 'l'очка на- 11 зывается точкой возврата второго рода. График рассматриваемой функции изображен на рис. 193, Пр имер у 2 -х 4 +х6=0. 4. Исследовать кривую Р е ш е н и е. Начало координат есть особая точка, Для исследования кри вой вблизи этой точки перепишем урав- нение кривой в виде y=±x2 Vl-x 2 • Так как жит только то кривая уравнение кривой четные степени симметрична содер переменных, относительно осей координат и, следовательно, доста точно исслед~ать часть кривой, соот ветствующую положительным Рис. 193. значениям х и у. Из последнего уравнения следует, что х может изменяться на отрезке от О до 1, т. е. О<;х<; l. Вычислим первую производную для той ветви кривой, которая является графиком функции y=x'l. fl-x 2 : ll , 2 х (2-3х ) =---'------. Vl-x'l. 284 ФУНIЩИИ НЕСI<ОЛЫ<ИХ ПЕРЕМЕННЫ:1С При х=О имеем касается оси Ох. у=О, При x=l у'=О. Следовательно, в [ГЛ. начале координат имеем у=О, у'=оо; следовательно, в точке (1, Vlll кривая О) касательная nараллельна оси Оу. При Х= V2/3 фуйкция имеет максимум (рис. 194). В начале координат (в особой точке) две ветви кривой, соответствующие знакам плюс я минус перед Такая особая точка корнем, называется взаимно точкой касаются. соприкоснове- !/ HllЯ. Пр им ер 5. Исследовать кривую у2 -х 2 (х-1)=0. !/ J о Рис. Решение. Напишем у 2 -х2 Рис. 194. сисrему уравнений, определяющих (х-1)=0, -3х 2 +2х=0, 195. особые точки: 2у=О. Эrа система имеет решение х=О, у=О. Следовательно, точка (О, О) есть особая точка кривой. Перепишем данное уравнение в виде у=± х у x- l. + Очевидно, что х может изменяться от 1 до оо, а также принимать значе ние О (в последнем случае 11=0). Исследуем ветвь кривой, соответствующую знаку плюс перед корнем. При увеличении х от 1 до оо у увеличивается от О до оо. Производная , Зх-2 у =_2Vx-l. При х= 1 имеем у'=~; следовательно, в точке (1, О} касательная парал лельна оси Оу. Вторая ветвь кривой, с-оетветствующая знаку минус, симметрична с пер вой относительно оси Ох. Точка (О, О) имеет координаты, удовлетворяющие урmmению, и, следова тельно, принадлежит кривой, но вблизи нее нет других точе~ кривой (рис. 195). Такая особая точка называется изолированной особой точкой. Упраж11еиия к главе VIII Найти частные производные следующих функций: J. Отв. z=x 2 sln 2 y. дz дz_ 2 у•-1 дz отв. дх-ух , ду=хУ'2 у lnx. ди ду= 2 уеХ • • • +У +z ; ди дz· 3. = 2zeх•+у•+~·~ • х =rx2+y2+z2· 5. дz . дx=2xsm 2 y, Z=arctg(xy). и=е 4. . дy=x 2 sm2y. х•+у•+г• Отв. • z=xY. 2 _x•+y'+z• . Отв. ди дх= х~· , ,r-=-----,,. x2 +u2 +z 2 • и= у ~ 2. у Отв. ~ ди дх х = ах=1+х2у2' ду=1+х2у2• 285 УПРАЖНЕНИЯ К: ГЛАВЕ VШj 6. дz =__::::JI__ дz =-х-. дх х2+уа' ду х2+у2 Отв. z = arctg !f_. х дz 2 Отв-=----. дх у х2+у2' i!!!:_=_3-exfy _.!,_ezfy ду у2 у?. 2х ди I х/ - = = = · 8. и=ех1и+еz1У. Отв. -=-е· и, ~ у ди I z/y . дz = 0 тв. -д -д =-е 9. z=arcsin ( х у. YV~+~ ~ z ' +) у х у х2-у2 z =arctg 2 +... 10, = v1-<x+u>2 аи· дz Vx2+u2-x. У х2+у2+х дz дz 1 z= ln 7. х У" Отв. дz дх х ~r r у2 х~-у4 , -у Vx4-y4. аи Найти полные дифференциалы от следующих функций: Отв. z=x2+xyi+siny. z=ln(xy), Отв. dz=(2x+y 2 )dx+(2xy+cosy)dg. dz=dx+~. 13. z=~•+u•. 11. 12. Отв. cos 16. Вычислить 1; (2, )+(- cos 2 (ЗI х-у у и=tg(3x-y)+6u+z. 14. )+в11+z1n6) dy+вu+ztn6dz. х-у Отв. dw= y d x ~ . 15. w=arcsin~. У = х dz=2ex'+Y'(xdx+ydy). dи 2 3(Зdх Отв. 3) = 27. IYIVu 2 -x 2 1; (2, 3) и t;(2, 3), если f(x, y)=x 2 +!f'. Отв. f;(2, 3)=4, 17. Вычислить df (х, у) при х= 1, у=(}, dx= 1/2, dy= 1/4, если у х2+у2. Отв. 1/2. Составить 18. х, величин у формулу, z и дающую приближенное при малых выражение 1 1+ 2 (x-y-z). -. /",.--,1,-+,...х19. То же для J' l У+ z • Отв. l абсолютных для -./" f (х, у)= значения111 l+x J' (l+y)(I +z)' и=x2 +sln у, v=ln(x+y). Отв. + дz 20. Найти дх н отв. дz _ 2 х -д х дz ду + 2 1!1 (х+у) + , • х у dz 21. Наити dx, Отв. :: = z=и+v2 , если , дz _ -д -cosy у ес.•IИ 1 + 2 (x-y-z). Z= +2 ln(x+y) + х у -. /"I+и J' l +v' U=-COSX1 V=COSX. l 2cos 2 ~ 2 • дz дz дz 22. Наити дх н ду , если z=eи- 2 v, и=sin х, v=x3+y2 • Oms. дх ,,а = eri- 2v (cos х-6х 2), подставить sin х :: =еи- 2 v (О-2-2у) = - 4уеи- 2 v, где вместо и и Найти полные производные данных функций: 23. z=arcsin(u+v), 2kn - л v над• и х3+у2. и=slпxcosa, v=cosxsina. Отв. it 2 < х+а < 2kл+ 2 , dz . n dx =-1, если 2kn+ 2 :~=1, если n < х+а < (2k+ 1) :п+ 2 . (fЛ. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 286 24. и= 25. 2 еах (y-z) a2 +l , . du у=аsюх, = ln (1-Х"), х = Vlll z=cosx. Отв. dx =eaxsinx. ,,dz у sin 0. Отв. de = - 2 tg 6. Найти производные неявных функци.й от х, заданных уравнениями: х2 у2 Ь2 х dy х2 у2 dy Ь2 х дw дw 26. 2 +ь2 -1=0. Отв. d-=- 2 - . 27. 2 -ь 2 =1. Отв. -d = 2 - . а хау а хау d y-l х 1 -у ny. 28. yx=xfl. Отв . .J!..=YX 29. dx xyx-i _xY\nx dy y[cos (ху)-ехУ-2х] х2 у2 22 _ • дz дz Отв. -d [ ] • 30. 2 1, найти -и-. 62 дхJ ду х х х+ eXY-cos дz с2х отв. 71х=a2z' дz (ху) а с2у +- +--:;-сt 31 н~йти n. = - ь2z· . u-v gaw=v; ди и дv. дw cos 2 aw дw sin 2aw 2 , , . Отв. -д = - - - , -дv =- - 2- 32. 2 2 у y 2 -z 2 ; показать, что и av av х дz 1 дz J 2 ( у ) дz дz х 2 -д +--д =-. 33. -=F ; показать, что x-+y-=z ках у у z х х дх ду ' ду Q +-= кова бы ни была .дифференцируемая функция F. Вычислить частные производные второго порядка: д2z д2 z 34. z=x3-4x 2y+5y2• Отв. 35 z=exJny+sinylnx. д2 z · еХ дх 2 =6х-Ву; д2 е дудх=-·Вх; Отв д 22 =e"lny- 8 iny · дх 2 х2 ду 2 =10. д2z =ex+cosu. ' дх ду у х • ду 2 =-,1-sin у ln х. 1 д2 и д2 и д2и 'У x1l+y2 +z2 , то дх 2 ду2 + дz2 =О. х2у2 a2z a2z дz 37. Доказать, что если z=-+ , то х-д2 +u-д д =2-д , х у х ху х a2z д2z 2 2 38. Доказать, что если z = ln (х у ), то дх2 ду 2 = О. + 36. Доказать, что если и + + д2z д2z 39. Доказать, что если z=<p (у+ах)+Ф (у-ах), то а 2 ду 2 - дr =О при любых дважды дифференцируемых <р и -ф. 40. Найти производную от функции z=3x4 -xy+!f в точке М (1, 2) в направлении, составляющем с осью Ох угол в 60°. Отв. Б+ 11 узj2. 41. Найти производную от функции z=5x 2-3x-y-1 в точке М (2, ]) в направлении, идущем от этой точки к точке N (5, 5). Отв. 9,4. 42. Найти производную функции f (х, у) в направлении: 1) Биссектрисы дf дf' координатного угла Оху. Отв. V12 ( дх ду) • 2) Отрицательной полу• + оси Ох. Отв. - 43. f (х, дf дх • у)=х3+Зх 2 +4ху+у 2 . Показать, что в точке М (2/3, -4/3) производная в любом направлении равна нулю («функция стационарна»). 44. Из всех треугольников с одинаковым периметром 2р определить тре угольник с наибольшей площадью. Отв. Равносторонний треугольник. 45. Найти прямоугольный параллелепипед, который имеет наибольший объем при данной полной поверхности S. Отв. Куб с ребром V S/6. 46. Найти расстояние между двумя прямыми в пространстве, уравнения х-1 у z х у z V2 которых 1 -= 2 =т• т=т=т• Отв. - 2- . УПРАЖНЕНИ.Я К ГЛАВЕ VIII 287 Исследовать на максимум и минимум функции: 47. z=x3y2 (а-х-у). Отв. Максимум +xu+u2 +.!...+.!.... х у z при х=а/2, у=а/3, Отв. Минимум z при Х=у=1!Vз. + sin u+sin (х+ у) (О ,s;:;;; х с;;;; л:/2; О ,s;:;;; у ,s;:;;; л:/2). =Л:/3. 50. Z=sinxsinysin(x+y) (О,,е;:;;;х.;;;;л:, при х=у=л:/3. Найти особые точки ставить уравнения следующих касательных х 3 +у3-3аху=О. 51. в Отв. 49. 48. z=x2 + Z=Sinx+ Отв. Максимум z при х= у= О,,е;:;;;у,,е;:;;;л:). Отв. Максимум z кривых, исследовать их характер и со• них: М 0 (О, 0)-узел; х=О, у=О-уравнения касательных. 52. а 4у 2 =х4 (а2 -х2 ). Отв. двойная касательная у 2 = О. х3 В начале координат точка соприкосновения; 53. у2 = -2- - . Отв. М O (О, 0)-точка возврата первого рода, у 2 = О а-х касательная. 54. у 2 =х 2 (9-х 2 ). Отв. М 0 (0, 0)-узел; У=±Зх-уравнения каса• тельных. 55. х 4 -2ах2 у-аху2 +а2х2 =0. Отв. М 0 (0, 0)-точка возврата второго рода; у 2 =0-двойная касаrельная. 56. у2 (а2+х2 )=х 2 (а 2 -х2). Отв. М 0 (О, 0)-узел; у=± х-уравнения касательных. Ь 2 х2 +а2у 2 =х 2 у 2 • Отв. М 0 (0, 0)-изолированная точка. Показать, что кривая у=х ln х имеет концевую точку в начале коор• динат и касательную-ось Оу. 57. 58. 59. Показать, что кривая у= х l+elJx имеет узловую точку в начале коор• динат и что касательные в этой точке: справа у=О, слева у =х. ГЛАВА IX ПРИЛОЖЕНИ.Я ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИ.Я К ГЕОМЕJРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ § l. Уравнения кривой в пространстве = Рассмотрим вектор ОА r, начало которого совпадает с нача лом координат, а концом является некоторая точка А (х, у, z) (рис. 196). Такой вектор называют радиус-вектором. Выразим этот вектор через проекции на оси координат: Пусть проекции вектора r=xi+ yj+zk. (1) r t: (2) суть функции некоторого параметра у=ч,(t), X=(J)(t), Тогда формулу (1) z=x(t). можно переписать так: r = (J) (t)i + ф (t)j + х (t)k, или ( 1') коротко При изменении r-опишет в r= r (t). t изменяются х, у, z, пространстве ( 1") и точка А-конец вектора некоторую линию, которую называют годографом вектора r = r (t). Уравнение (1 ') или (1") называют векторным урав нением линии в пространстве. Уравнения называются (2) параметрическими у рав нениями линии в пространстве. С помощью этих уравнений для каждого значения !/ определяются координаты х, у, t z соответст вующей точки кривой. 3 :с Рис. 196. а меч ан и е. Кривая в пространстве может быть также определена как геомет рическое место точек пересечения двух по верхностей; следовательно, такая кривая может быть задана дву мя уравнениями двух поверхностей: Ф 1 (х, у, z) = О, Ф 2 (х, у, z) = О. (3) УРАВНЕНИЯ: К:РИВОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ § !] 289 Так, например, уравнения xz+y2+z2=4, z= 1 являются уравнениями окружности, получающейся в пересечении сферы и плоскости (рис. 197). Итак, кривая в пространстве может быть задана или парамет рическими уравнениями (2), или двумя уравнениями поверхнос тей (3). Если мы исключим параметр t из уравнений (2) и получим два уравнения, связывающи,е х, у; z, то тем самым осуществим ;г Рис. 197. переход от параметрического спщ:оба задания .линии к заданию ее с помощью поверхностей. Обратно, если положим х = {J) (t) (q> (t) - произвольная функция) и найдем у и z как функции от t из уравнений Ф 1 [ср(t), у, z]=O, Ф 2 [ср(t), у, z]=O, то осуществим переход от задания линии с помощью поверхностей к параметрическому способу задания. Пример 1. Уравнения x=4t-l, у=Зt, z=t+2 являются парамет рическими уравнениями прямой. Исключая параметр t, получим два уравне ния, каждое из которых есть уравнение плоскости. Например, если из первого уравнения почленно вычесть второе и третье, получим x-y-z=-3. Вычи тая же из первого учетверенное третье, получим x-4z -9. Таким образом, заданная прямая является линией пересечения плоскостей х-у-z+З= О и = x-4z+9=0. Пр им ер 2. Рассмотрим прямой круговой ци.,шндр радиуса а, ось кото рого совпадает с осью Oz (рис. 198). На данный цилиндр буде~~ навивать пря моугольный треугольник С 1 АС так, чтобы вершина А треугольника лежала в точке пересечения образующей цилиндра с осью Ох а катет АС 1 навивался на круговое сечение цилиндра, лежащее в плоскости Оху. Тогда гипотенуза образует на цилиндре линию, котора_я называется винтовой линией. Напишем уравнение винтовой линии, обозначая через х, у, z координаты переменной точки М и чер~з t yro.rI АОР (рис. 198). Тогда х=а cos t, y=asin t, z=PM=APtg0, где через 0 обозначен острый угол треуrольни- ее 10 Н. С. Пискунов, т. 1 ПРИЛОЖЕНИ,Я ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИ,Я 290 [ГЛ. IXi ка С 1 АС. Заметив, что AP=ai, так как АР есть дуга круга радиуса а, соот• ветствующая центральному углу t, и обозначив tg 0 через т, получаем пара• x=acost, y=asint, z=amt r=iacos t+jasin t+kamt. метрические уравнения винтовой линии в виде (здесь !-параметр), или в векторной форме; fz Рис. 198. Из параметрических уравнений винтовой линии легко исключить параметр t; возводя первые два уравнения в квадрат и складывая их, найдем х 2 +у2 =а 2• = Это-уравнение цилиндра, на котором расположена, 13интовая линия. Далее, деля почленно второе уравнение на первое и подставляя в полученное ~равнение значение найденное из третьего уравнения, найдем уравнение t, другой по13ерхности, на которой расположена винтовая линия: JL х = tg - 2- ат 0 Это-так называемая винтовая поверхность (геликоид). Ее можно получить от движенщr полупрямой, паралельной плоскости Оху, если конец этой полу• прямой находится на оси Oz, причем сама полуnрямая с постоянной угловой скоростью вращается вокруг оси Oz и с постоянной скоростью поднимается вверх так, что ее конец перемещается вдоль оси Oz. Винтовая линия являет ся линией пересечения этих двух поверхностей. Поэтому ее можно зад.~ть двумя уравнениями; х 2 +у2 =а2 , JL х § 2. = tg-z-. ат Предел м производная векторной функции скаля-рноrо аргумента. Уравнение касательной к кривой. У равнение нормальной плоскости Вернемся к форму лам ( 1') и ( 1") r =fP (t) i +'Ф (t)j предыдущего параграфа: +Х (t) k, или r=r(t). t r При изменении вектор изменяется в общем случае по величине и по направлению. Го:ворят, что есть векторная функция от скалярного аргумента t, Допустим, что lim q> (t) = ср0 , t-+t, r lim 'Ф (t) = 'i'o, t-rto lim х (t) = м• t,,;t1 ПРЕДЕЛ И ПРОИЗВОДНАЯ ВЕКТОРНОЙ ФУНКЦИИ § 2J 291 Тогда говорят, что вектор r 0 =q,i+'Фoi+x 0 k есть предел векто ра r=r(t), и пишут (рис. 199~ lim r (t) = r 0 • t • t. Из последнего равенства следуют очевидные равенства + [Ф (t) -'lj, 0 ] 2 + [х (t) - x0 J1 =0 lim/ r (t)-r0 1 = lim V[cp (t)-q,0 ] 2 t • t. t • t. и = 1r ! . lim / r (t) / 0 t • t. Перейдем теперь к вопросу о производной векторной функции скалярноrо аргумента r (t) = q> (t) i +'Р (t)j +х (t) k, начало вектора r (t) находится (1) предполагая, что в начале коор динат. Мы знаем, что последнее уравнение является уравнением некоторой пространственной кривой. z н Рис. Рис. 199. 200. t, Возьмем какое-нибудь фиксированное значение соответст вующее определенной точке М на кривой, и дадим t приращение Лt; тогда мы получим вектор r (t +Лt) = который ер (t +Лt) i +'Р (t +Лt)j+x (t +лtJ k, определяет на кривой некоторую точку М 1 (рис. 200). Найдем приращение вектора Лr= r (t +Лt)На рис. 200, r (t) = [q, (t +Лt) -q, (t)] i+ +[Ф(t+лt) -'IJ (t)]j+[x(t+Лt)-x (t)]k. Рассмотрим ции 10• к r (t), OMi = r (t MMf = Лr (t). где ОМ= изображается вектором отношение приращению Лr (t) -Ы скалярного + Лt), это приращение приращения векторной аргумента; это, очевидно, функесть ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 292 вектор, коллинеарный с вектором Лr н~го умножением на скалярный писать этот л~?) = вектор <р t, получается из множитель 1/Лt. Мы можем за так: {f)(t+л1~-<p(t) Если функции ном значении так как (t), IX [ГЛ. i+ 'IJU+лл~-'IJ(f) i+ хи+л~~-х(t) k. (t), 'Ф (t), х (t) имеют производные при выбран ":о множители, стоящие при i, j, k, в пределе при Лt-+ О обратятся в производные ер' (t), 'Ф' (t), х' (t). Следо- вательно, в этом случае предел ~~ при Лt -+ О существует и равен вектору <р' (t)i+'Ф' lim Лt ➔О (t)j+x' (t)k: ~ = ер' (t) i + Ф' (t) J+ х' (t) k. Вектор, определяемый последним равенством, называется про изводной от вектора r (t) по скалярному аргументу t. Производ ную обозначают символом dr или dt r'. Таким образом, :~ = r' = ер' (t) i +ч:' (t)j + х' (t) k, (2) или .!!:!:_ - !1:5._ • -L dt - В ыясним dt l направление I dy dt вектора ·+ !!!_ k dt ' (2') J dr . dt Так как при Лt -о точка М 1 приближается к точке М, то направление секущей MMt в пределе дает направление касатель..u С u dr нои. ледовательно, u тельнои к формулой*) u вектор кривои в точке производнои М . Д dt направлен лина вектора dr d[ по каса- определяется /t /= V[<p' (t)]2 +[ч,' (t)]a+ [х' ин1. (3) На основании полученных результатов легко написать урав нение касательной к кривой r=xi+yJ+zk в точке М(х, у, z), имея в виду, что в уравнении кривой X=<p(t), и=Ф(t), z=x,(t). *} Мы будем предполагать, что в рассматриваемых точках 1 :~ / :f: О. ПРЕДЕЛ И ПРОИЗВОДНАЯ ВЕКТОРНОЙ ФУНКЦИИ § 2] 293 Уравнения прямой, проходящей через точку М (х, у, z), име ют вид Х-х У-у Z-z т п р --=--=-где Х, У, Z-координаты переменной точки прямой, а т, п, р величины, пропорциональные направляющим косинусам этой пря мой (т. е. проекциям направляющего вектора прямой). С другой стороны, мы установили, что вектор = !!:!_ dt dr dt ·+ dtdy }+~ k dt l направлен по касательной. Поэтому ляются числами, проекции эт9го вектора яв пропорциональными направляющим косинусам касательной, а значит, и числам т, п, р. Следовательно, уравне ния касательной будут иметь вид Х-х У-у Z-z d[ dt d[ d x = cfy = ciz · Пр им ер 1. Написать уравнения касательной к винтовой линии х=а y=asint, z=amt при произвольном значении Решение. dx - = -aslnt, dt По формуле (4) (4) dy dt = а cos t и nри t=л/4. cos t, dz t, dt=am. имеем X-acos t -а sin t X-asin t а cos t Z-,amt ат В частности, при t=л/4 получим Х-ау2 2 у_ау2 2 ау2 av2 --2- -2- Z-am!!.. 4 ат или X-a"Jl2 2 У- а У2 2 - --1- - - - - - Так же как и в случае плоской z-.!!:!E!!... 4 кривой, прю.1ая, перпенди кулярная к касательной и проходящая через точку касания, на зывается нормалью к пространственной кривой в данной точке. Нормалей к данной пространственной кривой в данной точке мож,ю, очевидно, провести бесчисленное множество. Все они ле жат в плоскости, перпендикулярной к касательной плоскость называется нор.мальной плоскостью. прямой. Эта ПРИЛОЖЕНИЯ: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ: 294 [ГЛ. Из условия перпендикулярности нормальной плоскости сательной (4) получаем уравнение нормальной плоскости: dx dt (Х - х) Пр им ер 2. dy + dТ (У - у) Написать уравнение ( Z - z) ка- = 0. (5) норма,1ьной плоскости к винтовой ли• t=n/4. нии в точке, для ко.торой dz + dt к IX Решен и е. На основании примера 1 и формулы (5) получаем а у2 ) ( а V2 )-- ,r-( п ) ( Х-2- + У--2- +т r 2 Z-ат 4 = о. или -Х+У+т y2Z=am2 ~ у2 .. Выведем теперь уравнения касательной прямой и нормальной плоскости дана пространственной кривой в случае, когда эта кривая уравнениями Ф 1 (х,у,z)=О, Ф 2 (х,у,z)=О. z Выразим координаты х, у, торого параметра t: этой кривой как функции неко у=ф(t), X=q:,(f), (6) (7) Z='t,(t). Будем предполагать, что q:, (t), ф (t), х (t) - дифференцируемые функции от Подставляя в уравнения (6) вместо х, у, z выраженные через их значения для точек кривой, получим два тождества относи t. t t: тельно Ф 1 [q:,(t), Ф 2 [q:,(t), ф(t), ф(t), Дифференцируя тождества (8а) и (8б) по дФ 1 дх .!!=..+ dt ~.!.. dx дх dt дФ 1 ду + дФ 2 ду (8а) (8б) x(t)]=0, x(t)]=0. t, находим + дФt ~=0 dt ' dy + дФ 2 ~=О dt dt • dy dt дz } (9) дz Из этих уравнений следует, что dx dt dz dt дФ1 дФ 2 дФ1 дФ2 дудz-дzду дФ1 дФ2 дФ1 дФ2 ' дхду-дудх dy дФi дФ2 дФ1 дФ2 dt дzдх-дхдz dz dt дхду-дудх дФ1 дФ2 дФ1 дФ2 дФ Мы здесь предполагаем, разумеется, что выражение а/ - дФ дФ ду 1 дх 2 мулы (11) • (10) дФ а/ - =#: О, однако можно доказать, что окончательные фори (12) (см. ниже) справедливы и в том случае, когда ПРЕДЕЛ И ПРОИЗВОДНА.Я ВЕКТОРНОЙ ФУНКЦИИ 295 это выражение равно ну.]Jю, если только хоть один из определите § 2] лей, фигурирующих в окончательных формулах, отличен от нуля. Из равенств (10) получаем dx dy dz dt dt dt Следовательно, на основании формулы (4) уравнения касатель ной прямой будут иметь вид Х-х дФ 1 дФ 2 У-у дФ1 дФ 2 дудz-дzду или, пользуясь дФ1 дФ 2 Z-z дФ1 дФ2 дФ1 - дzдх-дхдz дФ 2 дФ 1 дФ 2 дхду-дудх определителями, Х-х дФ 1 У-у дФ1 дФ1 - дудz дФ2 дФ2 дудz дФ1 Z-z -- дФ1 дФ1 дzдх дхду дФ2 дФ2 дФ2 дz дх (11) дФ2 дхду Нормальная плоскость представляется уравнением дФ 1 дФ 1 ( Х -х) ayaz дФ2 дФ2 дФ 1 дФ 1 дФ1 дФ1 + (У-у) az ах + (Z-z) дФ2 дФ2 ах ау дФ2 дФ2 c)z дх дх ду ду дz =0. (12) Эти формулъr имеют смысл только тогда, когда хотя бы один из фигурирующих в них определителей отличен от нуля. Если же в некоторой точке кривой все три Gпределителя дФ 1 дФ 1 дФ1 дудz дФ 2 дФ 2 дудz дФ 1 дФ1 дzдх ' дФ 2 дФ 2 дФ1 дхду ' дzдх дФ 2 дФ 2 дхду обращаются в нуль, то эта точка называется особой точкой про странственной кривой. В этой точке кривая может вообще не иметь касательной, подобно тому как это имело место в особых точках у плоских кривых (см. Пр им ер 3. § 20 r л. V 111). Найти уравнений касательной прямой и нормальной плос кости к линии пересечения сферы x2 +u 2 +z2 =4r 2 и цилиндра x 2 +y2 =2ry в точке М (r, Г; г У2) (рис. 201). Решение. Ф 1 (х, у, z) =x2 +y2 +z 2 -4r 2 , Ф 2 (х, у, z) =x2 +y 2 -2ry1 дд~ 1 =2х, д: 1 =2у, дд~ 1 =2z, дФ2 дФ2 2 2 ~=2х, ау= у- г, дФ2 -О дz - . IX [ГЛ. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 296 Значения производных в данной точ. ке М будут дФ1 -2 дх- r, дФi -2 ду- дФ2 _ 2 дх r, r, дФ1 -2 az- ,r-2 Г f 1 дФ2 -О дФ2 -О ду , "az"- . Поэтому уравнения касательной прямой имеют V X-r 1 __ .., ~-- Z-r }"2 Y-r -о-= у2 1 / , .,,.,,' ' вид -1 / Уравнение нормальной плоскости }"2 (Y-r)-(Z-r }"2) =0 или Рис. }"2Y-Z=O. 201. § 3. Правила дифференцирования векторов (векторных функций) Как мы видели, производная от вектора r (t) = с:р (t) i + по определению 'Ф (t) j + х (t) k (1) равна r' (t) = с:р' (t) i + 'Ф' (t) J+ х' (t) k. (2) Отсюда сразу следует, что основные правила дифференцирова ния функций остаются в силе и для векторов. Мы выведем ниже некоторые формулы дифференцирования функций от векторов. Эти формулы нам потребуются в дальнейшем. I. Производная суммы векторов равна сумме производных от слагаемых векторов. В самом деле, пусть, например, даны два вектора: r 1 (t)=c:p 1 (t)i+Ф1(t)J+x1(t)k,} (З) r2 (t) =с:р2 (t) i+Ф2 (t)J+x2 (t) k; их сумма равна rx (t) +r2 (t) = (q>i (t) +fP2 (t)] i +[1\'1 (t) +1Р2 (t)]J +[х1 (t) +х2 (t)] k. По определению d [r1 (t)+r2 (t)] dt производной [ ft11 (t) от переменного вектора имеем + (/J2 (t) ]' j +['1'1 (t) +'Ф2 (t) ]'} + +[x1(t) +xit)]'k, или d fr 1 (t~;r 2 (t)J =[с:р~ (t) +c:p;(t)]i +[1/J~(t) +Ф2(t)]J +[x{(t) +x;(t)]k = = (qJ~ (t) i +'Ф~ (t)j +х~ (t) k] +[с:р; (t) i+..p; (t)J+ х; (t) k] = r~ +r;. § ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ: З] BEl(TOPOB 297 Следовательно, (1) Г/роизводная от скалярного произведения векторов выра 1I. жается формулой (II) определены формулами произведение ска,Тiярное известно, как r 1 (t), r 2 (t) если Действительно, то, этих (3):, векторов равно r1 (t) r2 (t) =1Р1Ч>2+'Ф1'Ф2+Х1Х2• Поэтому , + d(r1r2) -d-t- = Ч>1Ч>2 '+ 'Ф1,,'11,'2 + IР1Ч>2 , + '+ Х1Х2 'Ф1Ф2 •= Х1Х2 = (ср~ср2 +~'Ф2 +х~х2) + (q\cp; +'1'11\J; +х1х;) ~ = (cp~i + 1J,;J + x~k)(cp2i + 'Ф2i + X2k) + +(q>ii+1JJJ+x1k)(cp;i +'i';J +x;k) = d~1 r2 +r 1 ~ 2 • Теорема доказана. Из формулы (11) получается важное следствие. Следствие. Если вектор е единичный, т. е. / е 1 1, то его производная есть вектор, к нему перпендикулярный. Доказ а тел ьс тв о. Если е-единичный вектор-, то ее= l. = Возьмем производную по dе ства: е dt + de dt е О = , или t от обеих частей последнего равен- О 2е de dt = , т. е. скалярное ПfЮИзведение de de е dt = О, а это и означает, что вектор dt перпендикулярен к вектору е. 111. Если f (t)-скалярная функция и (t) r то производная от произведения f r (t) -векторная функция, (t) выражается формулой (111) d(fr)_dfr+fdr dt" dt - dt Если До к а з ат ель ст в о. лой вектор r (t) определен форму• то (1), f (t) r (t) = f (/) ер (t) i + f (t) ,j, (t) J + f (t) 'Х (t) k. По формуле d (f ( dtr ( t)) (2) получаем :r ) :r) J+ (:~ 'Х f ~~) k = l dr f (dq, • d'ФJ ах ) df df ( • =dt cpi+·ФJ+x.k)+ dtt+dt +dt k =air+ dt • = ( :~ q> + f i + ( :~ ,i, + f + ПРИЛОЖЕНИЯ: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ: 298 IV. [ГЛ. }Х Постоянный числовой .множитель .можно вынести за знак производной: d (ar (t)) _ dr _ , dt -а dt-ar Это следует из (IV) . f (t) =а= const. если III, (t) Следовательно, df dt=O. V. r 2 (t) П роuзводная векторного произведения векторов r 1 (t) и определяется формулой d (r 1 х r 2) dt = dr1 dt Хr 2 +r Доказывается аналогично формуле § 4. 1 Х dr2 (V) dt • (11). Первая и вторая производные вектора по длине дуrи. Кривизна кривой. Главная нормаль. Скорость и ускорение точкd в криволинейном движении Как и в случае кривых на плоскости, ....___, определяется длина = дуги*) пространственной кривой М 0 А s (рис. 202). При дви жении переменной точки А (х, у, z) по кривой длиыа дуги s изменяется; и обратно, при изменении s изменяются координаты х, у, z переменной точки А, лежащей на кривой. Следовательно, координаты х, у, z переменной точки кривой А мож но рассматривать как функции длины t z дуги s: x=cp(s). y='lj)(s), z=x(s). В этих параметрических уравнениях кривой параметром является длина ду ги s. Вектор ОА Рис. =r выразится так: r= ер (s) i +'1' (s)j+x (s) k 202. или r = r (s}, т. е. вектор *) r является функцией длины дуги Длина дуги пространственной длина дуги плоской кривой (см. § 1 кривой гл. VI и s. определяется §3 (1) гл. ХЩ. та,к же, как и ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЕКТОРА ПО ДЛИНЕ ДУГИ §4] в ыясним геометрическии- смысл рис. 202, име•от место следующие '-._/ '-._/ M 0 A=s, -~ ds • производнои как 299 видно из равенства: '-._/ M 0 A=s+Лs, АВ=Лs, AB=Лr=r(s+Лs)-r(s), Мы уже видели в dr что вектор -d § 2, 0B=r(s+Лs), OA=r(s), - s Лr -л s АВ =-=-· АВ Лr 11m -л = Лs-+ О s направлен по касательной к кривой в точке А в сторону возрастания гой стороны, имеет место равенство lim / ~ / = длины хорды к длине дуги 1 s. С дру- (предел отношения dr Следовательно, ds есть ед и н и ч- *)). н ы й вектор, направленный по касатель ной; обозначим его через о: dr ds Если вектор r = xi + yj + zk, (2) =О. r задан проекциями: то (3) причем у (~:)2 + (~)2 +(~~у= 1. Рис. 203. Рассмотрим, далее, в т о р у ю производную векторной функции d2 r ds 2 t т. е. производную от чение. Из формулы тельно, • 203 и выясним ее геометрическое зна- ds , d [dr] d1J (2) следует, что d2r ds 2 = ds ds = ds • Следова- нам нужно наити Из рис. dr 1·1m Л1J Лs-+О имеем АВ=Лs, BL 1 = о. ВК =BL 1 +L1 K, из точки В вектор • л- s AL=a, ВК=о+Ло. Проведем Из треугольника или BKLi находим о+Ло=о+L 1К. Следовательно, L 1K = Ло. Так как по доказанному длина вектора а не меняется, то I о 1= 1а+Ло 1; следовательно, треугольник BKL1 равнобедренный. *) Мы указывали на это соотношение для nлоской кривой в § 1 гл. VI. Оно имеет место и для пространственной кривой r (t) =fP (t) l+Ф (t)j+x (t) k, если фуцкции {!}(t), ф (t) и х (t) имеют непрерывные производные, не обра• щающиеся одновремепно в нуль, ПРИЛОЖЕНИЯ: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ: зоо [ГЛ. IX Угол Лq, при вершине этого треугольника есть угол поворота касательной к кривой при переходе из точки А в точку В, т. е. соответствует приращению длины дуги Лs. Из треугольника BJ(L 1 находим L 1J( = 1). = 1 (так как I а 1Ла / = 21 а l j sin ~q, \ = 2 \ sin ~q, 1 Разделим обе части последнего равенства на Лs: 1Ла 1= Лs Лер I 2 1sin 2 Лq, = sin 2 Лер Лs \ Лq, \. Лs 2 Перейдем к пределу в обеих частях Лs-+- О. В ·левой части получим . 1ла1 11m дs-+О Лs Далее, последнего равенства при daJ • = j -ds sin Лq, 2 . lim ~ = 1 , Лs ➔ О 72 так как в данном случае мы рассматриваем такие кривые, что существует предел lim лЛq, и, следовательно, Лq, - О при Лs - О. дs-+ О s Таким образом, после перехода к пределу получаем lim \Лq,j l dsла\= дs-+О Лs • (4) Отношение угла поворота Лq, касательной при переходе от точки А к точке В к длине Лs дуги АВ, взятое по абсолютной величине, называется, так же как и для плоской кривой, средней кривизной данной линии на участке АВ: средняя кр,ивизна = \:: \· Предел средней кривизны при Лs-+ О называется кривизной линии, в точке А и обозначается буквой J(: I lim ЛЛq,s \· }( = Лs-+0 Но в этом случае из равенства (4) следует, что 1::1=1(, т. е. касательной по длине длина производной от единичного ве1пора *) *) Напоминаем, что произво,:~.ная вектор а мы можеы говорить о д л и н е производной. есть вектор, и поэтоыу ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЕКТОРА ПО ДЛИНЕ ДУГИ § 4) 301 дуги равняется кривизне линии в данной точке. Так как вектор а da • единичныи, то его производная ds § 3, следствие). ~ и так, вектор ds по перпендикулярна кривизне равен длине к нему (см. . кривои, а по на- прав.11ению перпендикулярен к вектору касательной. о пределен и е. через проходящая п рямая, имеющая направление вектора ·da - и ds точку соответствующую кривой, называется главной нормалью кривой в данной точке. Единичный вектор этого направления обозначим через п. Так как длина вектора :: равна К-кривизне кривой, то :: =Kn. Велич~на, обратная кривизне, называется радиусом кривизны 1 R. Полинии в данной точке и обозначается через R, т. е. К = этому можем написать (5) Из этой формулы следует 1 R2 d2r Но ds 2 d2 x • = ds 2 i 'd~r)z • (6) = ( dsl • d y • d z J + ds~ k. Следовательно, + dst _!_= у' ('d2x)2 (d2y)2 (d~z)Z + ds + ds ds R 2 2 2 2 2 • (6) Последняя формула дает возможность вычислить кривизну ли нии в любой точке, если эта линия задана параметрическими уравнениями, в которых параметром является длина дуги s (т. е. если радиус-вектор переменной точки данной линии nыражен как функция от длины дуги). выражен как функ Рассмотрим случай, когда радиус-вектор ция произвольного параметра дуги s будем рассматривать t: как r В этом случае дли ну функцию параметра t. Тогда r = r (t). вычисление кривизны. производится следующим образом: dr dt dr ds = ds di' (7) [ГЛ. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 302 Так как*) \: \= 1, то )2 _- (ds)2 dt • ( dr dt IX (8) Дифференцируя правую и левую части и сокращая на 2, получим (9) Далее, из формулы следует (7) dr ds dr = dt ds" dt Дифференцируем по обе части последнего равенства: s d 2s d2r d2 r ds2 - dt2 ( :: ) dr 1 dt 2 dt ( ~) з ; 2 d 2r подставляя полученное выражение ds 2 в формулу R2= r d2 r = l dt 2 (ds) L dt 2- Выражая от r (t), d2s dt2 dr (ds) dt dt ds di l2 (ddt r) 2 2 d 2r dr ds d 2s 2 dt 2 dt dt dt 2 2_ d 2s и dt 2 по получим**) формулам (8) и (ddt s) + (dr) dt 2 2 2 2 • через производные (9) -(d rdr)2 (ddt r) (dr)2 dt dt dt 2 2 2 2 R2= {(:~у}з Это равенство с.1Jедует из того, что стягивающая дугу длины Лs. Поэтому jddrs j= lim Лs • / ~; 1 стремится (10) · к Преобразовываем знаменатель следующим образом: ={(:;) будем иметь (~У -' 2 **) ds ) dt 3 1 *) 2( \ (6), о 1 Ллr. Но Лr-хорда, s при Лs-+ О. ( ~) 8 ={ (~) 2 } 3 = Здесь нельзя написать (:;)6. Под (:;у подразумевается скалярный квадрат вектора :~ • Под { ( :~ ) 2} 3 подразумевается третья СТ\'1• 2 пень числа }"· ( :; ) 2 • Выражение же ( :; ) 6 не. имеет смысла. ПЕРВА51 И ВТОРА51 ПРОИЗВОДНЫЕ ВЕ!<ТОРА ПО ДЛИНЕ ДУГИ § 4) Формулу (10) можно переписать так r) dl"Xdt2 { (:~)2} ( dr 1 К = R2 = 2 *): d2 3 2 303 • (11) • возможность вычислить Мы получили формулу, которая дает кривизну данной линии в любой ее точке при п рои з в о ль но м параметрическом задании этой кривой. Если в частном случае кривая является плоской и лежит в плоскости Оху, то ее параметрические уравнения имеют вид X=q> (t), У='\' (t), z=O. Подставляя эти выражения х, у, z в формулу (11), мы получим выведенную ранее (в гл. VI) формулу, дающую кривизну плоской кривой, заданной параметрически: / IP' (t) 'Ф" (t)-'Ф' (t) IP" (t) 1 К= {[IP' (t)]2+['Ф' (t)]2}з12 +k Пр им ер. Вычислить кривизну • винтовой линии атt в произвольной точке. Решение: ~~ = -lasin t+Ja cos t+k ат, dr х d 2~ dt dt r = la со,; t +Ja sln t + :;~ = -la cos t-jasin t, k 1 j =ia2msint-ja2 mcost+ka2 ; ат acost -а cos t -а sin t О 2 2 dr Х ddt2 ( dl" =at (т2+1)1 l = 1-asint r) (:~ )2 =а2 sin2 t+a cos2t+a2m2=a2 (1 +т2). 2 Следовательно, откуда а4(т 2 +1) 1 R2=[a2 (1 +т2)]з а2 (1 +т2)2' R=a (1 +т2 ) =const. Таким образом, винтовая линия имеет постоянный радиус кривизны. 3 а меч ан и е. Если кривая лежит в плоскости, то, не нару шая общности, можно предположить, что она лежит в плоскости Оху преобразованием координат). добиться (этого всегда можно Если же кривая лежит в плоскости Оху, то z = О; но тогда и d2z ds 2 =0 и, следовательно, вектор п лежит также в плоскости Оху. *) Мы использовали тождество а 2 Ь 2 -(аЬ) 2 =(аХЬ) 2 , в справедливости котороrG лег,ко убедиться, если переписать тождествG в следующем виде~ а 2 Ь 1 -(аь cos 1Р) 2 = (аЬ sin ср) 1 • ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 304 [ГЛ. IX Отсюда получаем вывод: если кривая лежит в плоскости, то ее главная нормаль лежит в той же плоскости. Скорость точки при криволинейном движении. Пусть движущаяся точка в момент времени t находится в точ- r ке М, определяемой радиус-вектором ОМ= (t) (см. рис. 200), а в момент t Лt находится в точке М 1 , определяемой радиус + вектором ОМ 1 = r (t + Дt). Тогда вектор ММ 1 называется вектороJt перемещения точки. Отношение вектора перемещения ММ 1 к соответствующему приращению времени Лt называется средней скоростью точки за промежуток времени: ММ 1 Лr -- 'Vср=-ы-= Лt =MN. Вектор средней скорости также направлен по хорде ММ1 (см. рис. 200, с. 291) в сторону движения точки (при прямоли нейном движении он направлен по самой траектории). Скорость точки в данный момент определяется так: 'V= т. . 11m Лt ➔ О 'Vcp= . 11m Лr Лt-+ О Лt dr =dt, е. dr 'V (12) = dt' Таким образом можно сказать: Скорость точки в данный мо мент равна первой производной от радиус-вектора точки по вре мени. На основании формулы (2') § сти на оси координат будут 2 следует, что проекции скоро- dx dy dz Vx='7it• Vy=J't• Vz=dl· Модуль скорости определяется по формуле 'V (dy)2 (dz)2 = -.JIj"(dx)2 dt + dt + dt . Если ввести длину дуги s, как это делалось параграфа, и рассматривать длину дуги то формулу (12) (3) § 2: s как (13) в начале этого функцию времени t, можно записать так: dr dr ds V=dt=ds dt=OV, (14) где v = :;-абсолютна5Гвеличина скорости, u - единичный вектор, направленный по касательной в сторону движения. Ускорение точки при криволинейном движении. Аналогично тому, как это было определено в рением точки w при § 25 r л. 111, уско криволинейном движении называется про- 305 СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ПЛОСКОСТЬ. БИНОРМАЛЬ. КР}'ЧЕНИЕ § 5) изводная от вектора скорости по времени: d'D (15) W=dt' Но 'V = dr dt , следовательно, W d 2r = dt2 (16) • Если будем исходить из формулы (14), то получим d'D d (va) W=dt=rJГ• Раскрывая последнюю производную по формуле (III) § 3, получим dv da (17) 'W=dto+v dt. Преобразуем производную da da пользуясь формулами dt, (7) и (5): п dads dt = ds dt = R V. Подставляя в равенство (17), dv 'W=7tO окончательно получаем +V R. n 2 (18) Здесь о - единичный вектор, направленный по касательной в сторону движения, п- единичный вектор, направленный по глав ной нормали. Формула (18) словами формулируется так. Проекция ускорения точки на касательную равна первой произ водной от абсолютной величины скорости, а проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории в данной точке. Так как векторы о и п взаимно перпендикулярны, то модуль ускорения определяется формулой (19) § 5. Соприкасающаяся плоскость. Бинормаль. Кручение. Определен и е 1. Плоскость, проходящая через касатель ную прямую и главную нормаль к заданной кривой в точке А, называется соприкасающейся плоскостью в точке А. Для плоской кривой соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью кривой. Если же кривая не плоская, то, взяв на ней две точки Р и Р 1 , мы получим две различные соприкасаю щиеся плоскости, образующие между собой двугранный угол µ. ПРИЛОЖЕ НИ51 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ: 306 {ГЛ. IX Чем больше угол µ, тем сильнее кривая по своей форме отли чается от плоской кривой. Для того чтобы это уточнить, введем еще одно определение. Определение 2. Нормаль к кривой, перпендикулярная к соприкасающейся плоскости, называется бинормалью. Возьмем на бинормали единичный вектор Ь и направим его так, чтобы вектор а, п, Ь образовывали тройку той же ориен тации, что и единичные векторы i, j, k, лежащие на осях коор динат (рис. 204, 205). ь Рис. Рис. 204. В силу определения векторов векторного скалярного произведений имеем = Ь Найдем производную dЬ но !!.!!.__ ds = !!_ R rJ х п, ьь dЬ ( см. § 4) , = 1. По формуле ds . d (охп) ds 7s= (2) и 205. do =7sXn поэтому da Тs + (1) (V) § 3 dn (J (2) X7s. l О, xn=Rnxn= и ф ормула принимает вид dЬ dn (3) ds=OXds. Отсюда следует (на основании определения векторного произведения ), что тельной а. то db ds db ds есть вектор, С другой u перпендикулярныи линеарен вектору Обозначим dЬ 1= i'f1; 1 Jds dЬ ds вектору как Ь - единиqый § 3, следствие). стороны, так перпендикулярен к Ь (см. Значит, вектор к перпендикулярен и к о каса- вектор, и к Ь, т. е. кол- п. длину вектора dn Ys 1 через fтl, т. е, положим тогда db 1 7s=yn, (4) 307 СОПРИКАСАЮЩА.ЯС.Я ПЛОСКОСТЬ. БИНОРМАЛЬ. КРУЧЕНИЕ § 5) 1 в еличина т V V называется кручением даннои кривои. Двугранный угол µ, между соприкасающимися плоскостями, соответствующими двум точкам кривой, равен углу между бинор малями. По аналогии с формулой (4) § 4 можно написать lim ~ /!!!!._/= ds лs-о JЛsJ • Итак, кручение кривой в точке А по абсолютной равно пределу, к которому стремится отношение соприкасающимися плоскостями в точке А к длине IЛsl дуги АВ, когда Лs-,.0. и угла соседней величине µ, между точке В Если кривая пл о с к а я, то соприкасающаяся плоскость не ме няет своего направления и, следовательно, кручение равно нулю. Из определения кручения ясно, что оно является мерой от клонения пространственной кривой от плоской кривой. Величина Т uазывается радиусом кручения кривой. Найдем формулу для вычисления кручения. Из формул (3) и (4) следует dn 1 тn=axds. Умножив скалярно обе части на п, будем иметь ~ nn=n(ax ~~). В правой части последнего равенства мы получили так назы ваемое смешанное (или тройное) произведение трех векторов п, f1 и dd~ • В таком произведении, как известно, можно перестав лять сомножители в круговом порядке. Учитывая, кроме того, что пп l, мы перепишем последнее равенство в следующем виде: = 1 т=О ( dsXn dn ) , или 1 т= -а ( Но так как dn) • nxds (5) [ГЛ. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО'ИСЧИСЛЕНИЯ 308 IX а так как векторное произведение вектора на самого себя равно нулю, то Таким образом, dn nx7s=R 2 ( d3r ) d2 r • ds2 х ds8 dr Заметив, что о= Тs, и возвращаясь к равенству 1 dr ( d2 r ds2 т= -R ds 2 d3r ) Х dsз (б ), получаем (б) • Если вектор r выражен как функция произвольного пара метра t, то можно показать *) аналогично тому, как это делалось в предыдущем параграфе, что d3r) dr ( d2 r ds2 Х dsз ds *) = В самом деде, dr ds dr ж=Тsж· Дифференцируем это равенство еще раз по d2 r dt 2 Снова дифференцируем d3r dr d ( dr ) ds ds dt dt ds ds d ( d2 r ) ds ( ds ) dt dt ds 2 dtз·- ds + ds dt 2 t: d2 r d2s - ds2 ( ds) 2 dt dr d2s dt 3 + ds • no t: 1 + ddsr 2 + drds d ( dr ) ds d2s ds d2 s 2 dt dt 2 ds I dt dt 2 ds d2r ds d 2s d8r ( ds ) з +з ds 2 dt dt 2 dt ds 3 + ' = d3s dt8- dr d3s +ds dtз ' Составим, далее, смешанное (тройное) произведение: d3r ) dr ( d2 r dt2 Х dt8 dt = d2 r ( ds ) dr ds { [ ds2 dt - ds dt 2 dr + ds [ d3r d2s] Х ds dt 3 2 по Раскрывая это nроизведение d2r ds d2 s ( ds ) з +з ds2 dt dt • dt8 trtr+ drds d3s]} nравилу умножения многочленов и от брасывая все те члены, которые содержат хотя бы два одинаковых векторных сомножителя (так как смешанное 11роизведение трех множителей, где хотя бы два множителя равны, есть нуль), nолучим d3r ) ( ds ) • dr ( d2r dt 0 ds 2 Х ds3 d3r ) dr ( d 2r dt 2 Х dt 3 dt Наконец, заметив, =ds что (:; }2 = ( ~ у nолучаем требуемое равенство. I или ( :~ ) 6 = {('~ )2} ~ 8 I<АСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСl(ОСТЬ И НОРМАЛЬ 1( ПОВЕРХНОСТИ § 6] Подставляя это выражение в формулу (6) и заменяя выражение:1>1 по формуле (11) § 4, окончательно получаем 309 R2 dr ( d2 r d3 r) dt dt 2 Х dt 3 1 т=---~- его (7) (:х~2;)2 Эта формула дает возможность вычислить кручение кривой в любой точке, если кривая задана параметрическими уравнениями с произвольным параметром В заключение этого параграфа отметим, что формулы, выра t. жающие производные векторов о, Ь, п, Серре-Френе: da п dЬ Тs=R называются dn п а фор.uула,uи Ь • -;r;=т • 7s= -R-т · Последняя нз них получается так: n=bxa, dn d(bXo) db ds=~= dsxo +Ь п Х +ЬХ n ХТs=т (J R= do 1 1 = т п хо+ R но пха= -Ь, bxn= ь х п; -о, поэтому Пр им ер. Вычислить кручение винтовой линии r= iacos t+jasint+kamt. Решение. d ( d2 d~ dt~ х dз ) d~ 1-а а sш dr d2 r ) (\ dt Х dt 2 2_ -а Следовательно, Т=- § 6. sin t а cos t ат 1 cos t = -а c~s t -а sin t О =а3т, а 4 (1 4 (1 t - +т ) 2 а О (см. пример § 4). +m а (1 +m з = -~ ---. 2) 2) ат т Касательная плоскость и нормаль к поверхности Пусть имее:м поверхность, заданную уравнением вида F (х, у, z) =0. (1) Введе:-.1 следующее определение. Определение 1. Прямая линия называется касательной к поверхности в некоторой точке Р (х, у 1 z), если она является ПРИЛОЖЕНИЯ: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИ,Я 310 касательной к какой-либо кривой, лежащей на (ГЛ. IX поверхности и проходящей через точку Р. Так как через точку Р проходит бесконечное число различных кривых, лежащих на поверхности, то и касательных к поверх ности, проходящих через эту точку, будет, вообще говоря, беско нечное множество. Введем понятие об ности F (х, у, особых и обыкновенных точках z) = О. Если в точке М (х, у, z) дF поверх дF дF все три производные дх, ду, дz равны нулю или хотя бы одна из этих производных не существует, то точка М называется особой точкой поверхности. Если в точке М (х, у, z) прерывны, все три производные причем хотя бы дF одна точка М дF дF дх, ду, дz существуют и неиз них отлична от нуля, то называется обыкновенной точкой поверхности. Теперь мы можем сформулировать сле дующую теорему. Т е о р ем а. Все касательные прямые к данной поверхности (1) в ее обыкновенной точке Р лежат в одной плоскости. До к аз а тел ь ст в о. Рассмотрим на поверхности некоторую линию L (рис. 206), проходящую через данную точку Р по верхности. Пусть рассматриваемая кривая Рис. 206. задана параметрическими уравнениями X=(J)(l), Y='IJ(l), z=x(t). (2) Касательная к кривой будет касательной к поверхности. Урав• нения этой касательной имеют вид Х-х Если выражения Z-z У-у dx=dy=ciz• dt dt dt (2) подставить в уравнение (1), нение превратится в тождество относительно лежит на поверцrости !!_ дх (1). dx dt t, Дифференцируя его по +!!_~+~ ду Рассмотрим, далее, векторы N дz dt и dz dt =О то это урав так как кривая t, (З) ' dr dГ, проходящие через точку Р: N-!f_ - дх i·+~J+~k ду дz • *) Мы здесь применяем (2) получим*) правило дифференцирования (4) сложной функции трех переменных. Это правило в данном случае применимо, так как все част• иые производные дF дii' , дF ""'бi дF •~ по условию непрерывны, l(АСАТЕЛЬНА,Я ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ § б] дF дF l( ПОВЕРХНОСТИ дF Проекции этого вектора ах, ау, дz зависят от х, у, 311 z -коор- динат точки Р; заметим, что так как точка Р обыкновенная, то эти проекции в точке Р одновременно не обращаются в нуль и потому Вектор !!!:_= dt dx dt ·+ dtdyJ+~k dt (5) 1, касательный к кривой, проходящей через точку Р и лежащей на поверхности. Проекции этого вектора вычисляются ца основании уравнений (2) при значении параметра соответствующем точке Р. t, Вычислим скалярное произведение векторов N и dr dt , которое равно сумме произведений одноименных проекций: н!!!:...-~3:.!!...+ дF dy +~~ дх dt - На основании части, равно равенства нулю, ду dt (3) dt дz выражение, dt • стоящее в правой следовательно, N~ =0. N и касательный вектор ~ к кривой (2) в точке Р перпендикулярны. Проведен Из последнего равенства следует, что вектор ное рассуждение справедливо для любой кривой (2), проходящей через точку Р и лежащей на поверхности. Следовательно, каждая касательная к поверхности в точке Р перпендикулярна к одному· и тому же вектору N и потому все эти касательные лежат в одной плоскости, перпендикулярной к вектору N. Теорема доказана. Определение 2. Плоскость, в которой расположены все ка сательные прямые к линиям на по верхности, проходящим через дан ную ее точку Р, называется каса тельной плоскостью к поверхности в точке Р (рис. 207) . Заметим, что в особых поверхности может не точках Рис. 207. сущест- вовать касательной плоскости. В таких точках касательные пря мые к поверхности могут не лежать в одной плоскости. Так, на пример, вершина конической поверхности является особой точкой. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 312 (ГЛ. IX Касательные к конической поверхности в этой точке не лежат в одной плоскости (они сами образуют коническую поверхность). Напишем уравнение касательной плоскости к поверхности (1) в обыкновенной точке. Так как эта плоскость перпендикулярна вектору (4), то, следовательно, ее уравнение имеет вид ~: (Х--х)+:: (У-у)+:: (Z-z)=O. Если уравнение поверхности задано в форме z-f (х, у)- о , то дF дх - дf дF дх , ду - - - дf z= дF (6) f (х, у), или ду , дz -1, и уравнение касательной плоскости в этом случае примет вид Z-z= ~: 3 а меч ан и е. Если в (Х-х) +::(У -у). формуле (6') положим (6') Х -х= Лх; У -у= Лу, то эта ф:>рмула примет вид дf Z - z = ах Лх дf + ду Лу; ее правая часть представляет собой полный дифференциал функции z = (х, у). Следовательно, Z - z = dz. Таким образом, полный дифференциал функции двух переменных в точке А1 (х, у), соот f ветствующий приращениям Лх и Лу независимых переменных х и у, равен соответствующему приращению аппликаты (z) касатель ной плоскости к поверхности, которая является графиком данной функции. Определение 3. Прямая, проведенная через точку Р(х, у, z) поверхности (1) перпендикулярно к касательной плоскости, назы вается нормалью к поверхности (рис. 207). Напишем уравнения нормали. Так как ее направление совпа дает с направ.11ением вектора N, то ее уравнения будут иметь вид Х-х У-у Z-z ar=cfIГ=ar· дх Если z- ду уравнение поверхности задано в f (х, (7) дz форме z= f (х, у), или у)= О, то уравнения нормали имеют вид Х-х У-у Z-z -т,-=-w-=-1-· - 3 дх - ду а меч ан и е. Пусть поверхность F (х, у, z) = О есть поверх ность уровня для некоторой функции трех переменных и= и (х, у, z), т. е. F(x, Очевидно, что вектор у, z)=и(х, у, N, z)-C=O. определенный формулой (4), направлен- УПРАЖНЕНИЯ К: ГЛАВЕ F= ный по нормали к поверхности уровня N = ди i + ди • дуJ -дх IX 313 и (х, у, z) -С= О, будет + дzди k ' т. е. N=gradu. Этим мы доказали, что градиент функции и (х, у, направлен z) по нормали к поверхности уровня, проходящей через данную точку. Пр им ер. Написать уравнение касательной плоскости и уравнения нор• x2 +y 2 +z 2 =14 в точке P(l, 2, 3). дF 2z, 2у, az= дF дF 2х, а;;= F (x,y,z ) =Х2 +У2 +z2 - 14 = О 'ах= малик поверхности шара Решение. при X=l, y=2,z=3 z-3 у-2 х-1 - 2- = 4-=-6- , Уравнения нормали: Следовательно, урав• 2(х-1)+4(у-2)+6 будет плоскости касательной пение х+2у+Зz-14=0. дF az=6. дF дF имеемах=2, ау=4, Упражнения к или главе (z--3)=0, или z-3 у-2 - 1- = 2- = 3- , х-1 IX Наiiти производные от векторов: r=ictgt+Jarctgt.Omв. 1. Отв. +lntk. r'=- sin~t i+ l~t 2 J. 2.r=e-li+2tJ+ r=tЧ-{+~: Отв. r'= r'=-e-ti+2J+~. 3. 2k j = 2u+t2-""73· Найти вектор 4. касательной, уравнения мальной плоскости к крив<>й = i+6J+27k; касательная: x+6y+27z=786. вектор Найти 5. =- 2 . i sm t + l У-- sin t 2 cos t - У - 1- = 6-=--;z;-; l. 2 J cos t и уравнение Отв. r =i t cos 2 +2 k cos 2 ; l ~ +~ j sln t+k sln ~ • Отв, = нор• r' X-cos 2 - уравнения касательной: нор• r' плоскость: норыальная касательной и уравнение касательной, уравнения мальной плоскости к кривой l касательной r=ti+t 2J+t 3k в точке (3, 9, 27). z-27 у-9 х-3 = t 2 ------sin t t Z-sln2 уравнение t cos 2 нормальной t t cos t-Z cos 2 =х sin t-y cos t-z cos 2 , где плоскости: х, у, Х sin t - z-координаты той точки кривой, в которой проводится нормальная плоскость ( т. е. х = = cos 2 t y= l sin t а ]", 2 . Z=SШ t) 2 . ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНСГО ИСЧИСЛЕНИЯ 314 Найти 6. t r=4sin 2 касательной косинусы углов, и У-Уо Х-Х 0 x=t-sint, y=l-cost, кривой к с осями cos a=sin 2 Т, cos составляемых ею t Z-Z 0 --t-=--t-=--t- • ctg Т cos -f sin Т to Oms, cos уравнения IX [ГЛ. координат. ~= 21 sin /0 , у=соsт· 7. Найти уравнение нормальной плоскости к кривой z=x2 -y2, у=х в начале координат. Указ ан и е. Написать :уравнения кривой в параметри ческой форме. Отв. х+у=О. для кривой r=i(cost+sin 2 f)+ 8. Найти о, п, Ь в точке t=; +jsin t (1-со:; ь - i-2J+3k - У14 9. 't3 Z= У=з I t2 2 r 3 . (-i+J+k), n= -5i-4j-k У 1 42 . уравнения Найти l а= ~г- t)-kcos t. Oms. В точке главной нормали (хо, Уо, Zo)- Oms. и бинормали /4 к кривой Х=т• Z-Zo Z-Zo у-уо Х-Хо - i - = - 2to = ~ • 10. Найти уравнение соприкасающейся плоскости в точке М (l, 1, 1). Oms. 6x-8y-z+3=0. к кривой у 2 =х, x2=z радиус кривизны для кривой, заданной уравнениями х 2 +у2 + Отв. R=2. r = i cos t+j sin t+k sh t. кривой кручения радиус Найти IJ • .Найти +z2 -4=0, x+y-z=O. 12. T=-cht. Отв. 13. радиус кривизны (1+9t2) 8 l 2 , Т= rю. Найти Отв. R=: t Доказать, 14. + (a t + Ь 3 t+сз) k 3 2 Найти 15. кривая что плоская. кривизну и Отв. Кривизна равна у2 Отв. кручения и r=t 2 i+2t8j. r=(a 1 t 2 +ь 1 t+c 1 ) i+(a 2 t 2 +ь 2 t+c2 )j+ r"' == О, кручение (x+y)z ; кривой для поэтому кривой кручение равно нулю. x=et, y=e-t. z=t}""2: У2 кручение равно (х+у) 2 • 16. Найти кривизну и кручение кривой x=e-tsin t, y=e-tcos t; z=e-t. Отв. Кривизна раВ-на 17. z2 }""2 - 3- Найти уравнение - 2 =1 с в точке (х 1 , у 1 , et; кручение равно Отв. х1х - 1 3 et. у2 ,r,2 а2 -"Ба плоскости к гиперболоиду касательной z1 ). - а У1У 2 2 --ь - i1z --=1, ~ = 6 в точке Найти уравнение нормали к поверхности x 2 -4y2 +2z2 (2, 2, 3). Отв. u+4x= 10, 3x-z=3. 19. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности z=2x2 +4y2 в точке М (2, 1, 12). Отв. Bx+By-z= 12. 20. К поверхности x2 +2y2 +z2 1 провести касательную плоскость, 18. = параллельную плоскости x-y+2.t=O, Отв. x-y+2z= ± У Н/2, ГЛАВАХ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Первообразная и неопределенный интеграл В r лаве 11 I мы рассматривали такую задачу: дана функция F (х); требуется найти ее производную, т. е. функцию (х) = F' (х). f В этой главе мы будем рассматривать обратную задачу: дана функция (х); требуется найти такую функцию F (х), производная которой равна (х), т. е. F' (х) (х). Оп редел е н и е 1. Функция F (х) называется первообразной f f =f f от функции (х) на отрезке [ а, Ь], если во всех точках этого от резка выполняется равенство F' (х) = (х). f = П р и м е р. Найти первообразную от функции f (х) х2 • Из определения первообразной следует, что функция F (х) первообразной, так как (х 3 /3)' =х 2 • = х3 /3 является f Легко видеть, что если для данной функции (х) существует первообразная, то эта первообразная не является единственной. Так, в предыдущем примере можно было взять в качестве первообразных следующие функции: вообще F (х) = 3х3 + С (где С ( ~ +с)' = х2 • С другой вида х3 3 +С х3 F (х) = 3 + 1, ХЗ F (х) = 3 - 7 или - произвольная постоянная), так как стороны, можно доказать, что функциями исчерпываются в с е первообразные от функции х 2 • Это вытекает из следующей теоремы. Теор ем а. Если Fr (х) и F 2 (х)-две первообразные от функ ции (х) на отрезке [а, Ь], то разность между ними равна по f стоянному числу. До к аз ат ель ст в о. В силу определения первообразной имеем F~ (х) = f (х), F~ (х) = при любом значении х на отрезке Обозначим f (х) (1) [ а, Ь]'. Fi (х) -F 2 (х)• = q> (х). (2) НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 316 [ГЛ. Х f -f Тогда на основании равенств (1) будет F~ (х) -F; (х) = (х) (х)=О или q/ (х) = [F1 (х) -F 2 (х)]' == О при любом значении х на отрезке [а, Ь]. Но из равенства q:>' (х) = О следует, что {j) (х) есть постоянная. Действительно, применим теорему Лагранжа (см. § 2 гл. IV) к функции ер (х), которая, очевидно, непрерывна и дифференцируема на отрезке [а, Ь]. Какова бы ни была точка х на отрезке [а, Ь], мы имеем в силу теоремы Лагранжа <р (х) - <р (а)= (х - а) q/ (s), где a<s <х. Так как <р' (s) = О, то q:> (х) - ер (а)= О, или <р (х) = ер (а). (3) Таким образом, функция q:> (х) в любой точке х отрезка [а, Ь] со храняет значение (J) (а), а это и значит, что функция <р (х) является постоянной на отрезке [а, Ь]. Обозначая постоянную <р (а) через С, из равенств (2) и (3) получаем F 1 (х) - F 2 (х) = С. Из доказанной теоремы следует, что если для данной функции найдена к а к а я - н и будь одна первообразная F (х), то л ю f (х) б а я др у r ая первообразная для f (х) имеет вид F (х) +С, где C=const. Определение 2. Если функция F (х) является первообраз ной для (х), то выражение F (х) С называется неопределенным + f интегралом от функции f (х) и обозначается символом ~ f (х) dx. Таким образом, по определению, ~ f (х) dx = F (х) + С, если F' (х) = f (х). При этом функцию f (х) называют подынтегральной функцией, f (х) dx- подынтегральным выражением, знак ~ -знаком интеграла. Таким образом, неопределенный интеграл представляет собой семейств о фу н к ц и й у= F (х) +С. С геометрической точки зрения неопределенный интеграл пред ставляет совокупность (семейство) кривых, каждая из которых получается путем сдвига одной из кривых параллельно самой себе вверх или вниз, т. е. вдоль оси Оу. Естественно возникает вопрос: для всякой ли функции (х) су ществуют первообразные (а значит, и неопределенный интеграл)? Оказывается, что не для всякой. Заметим, однако, без доказатель ства, что если функция (х) непрерывна на отрезке [а, Ь ], то для этой функции существует первообразная (а значит, и неопреде ленный интеграл). Выяснению методов, с помощью которых находятся перцообраз ные (и неопределенные интегралы) от некоторых классов элемен f f тарных функций, посвящена настоящая глава. f Нахождение первообразной для данной функции (х) называется интегрированием функции (х). Заметим следующее: если производная от элементарной функции всегда является элементарной функцией, то первообразная от эле- f ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ § 2] 317 ментарной функции может оказаться и не представимой с помощью конечного числа элементарных функций. К этому вопросу мы вер немся в конце данной главы. Из определения 2 следует: 1. Производная от неопределенного интеграла равна подынте гральной функции, т. е. если F' (х) = f (х), то и О f (х) dx )' = (F (х) +С)'= f (х). (4) Последнее равенство нужно понимать в том смысле, что производ ная от любой первообразной равна подынтеграпьной функции. 2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подын тегральному выражению: d( S f (х) dx) = f (х) dx. (5) Эго получается на основании формулы (4). 3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой ф yнк tfUU равен этой функции плюс произвольная постоянная: SdF (х) =F (х) +с. Справедливость последнего равенства легко проверить дифферен цированием (дифференциалы от обеих частей равенства равны dF (х)). § 2. Таблица интегралов Прежде чем приступить к изложению методов интегрирования приведем таблицу интегралов от, простейших функций. ' Непосредственно из определения 2 § 1 и таблицы производ ных (§ 15 гл. III) вытекает таблица интегралов. (Сuраведливость написанных в ней равенств легко проверить дифференцированием, т. е. установить, что производная от правой части равняется подынтегральной функции.) xlX+l l. Sxa;dx=a.+I +с (a=F-1). (Здесь и в последующих фор- мулах под С понимается произвольная постоянная.) 2. S~=ln/x/+C. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Ssinxdx= -cosx+C. S cosxdx=sinx+C. s+= cos х tgx+C. ss~:x =-ctgx+c. S tg х dx = - ln / cos х / +С. Sctgxdx=ln/sinx/+C. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 318 (ГЛ. :Х 9. ~ гхdх=гх+с. sах s1~\2 ,sdx dx= 10. 11. 11. 12 · 1:ха +с. =arctgx+c. С• х l + 2 =-arctg-+ ~=2-Inja+x\+c • а-х 2а а -х 2 а 5 а а х 2 2 _arcsinx+c. 1-х2 Jr v dx 13'. r V dx J а2-х2 arcsin~а + с. 14. SV dx± . ln Iх +V х 2 + 13. х2 а2 a2 I+С. Замечание. В таблице производных(§ 15 гл. 111) нет фор мул, соответствующих формулам 7, 8, 11', 12, 13' и 14. Однако справедливость последних также леrко устанавливается с помощью дифференцирования. 7 имеем ( - 1n / cosx 1)' = В случае формулы -sln cosxх -- tgx, следовательно, ~ tg х dx = - ln / cos х 1+С. В случае формулы 8 . х J)' (ln 1sш cos х х = с t g х, = sln следовательно, ~ ctg х dx = ln I sin х \+С. В случае формулы 12 (ialnl :+:\)' = ia[ln ]а+х j-lnj а-х /]' = 1] 1 1(1 = 2а а+х +а=х = а2 -х2' следовательно, ~=2-1п\а+х\+с. s а2-х а-х 2а 2 Отметим, что rrоследняя будет следовать формула также из общих результатов § 9. В случае формулы 14 (ln lx +V х2 + а2 j)' = х+ V:2 ± а2 ( 1 + V х2х± а2) = Vx2t± а2' следовательно, Jr V х2dx± а2 =lnlx+Vx ±a /+c. 2 2 Эта формула также будет сщщовать из общих результатов § 10. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА § З] 319 Аналогично проверяются формулы 11' и 13'. Заметим, что эти формулы будут выведены впоследствии из формул 11 и 13 (см. § 4, примеры 3 и 4). § 3. Некоторые свойства неопределенного интеграла Теорем а 1. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов: ~[!1 (х) + f 2 (х)] dx= ~ f1 (х) dx+ ~ f 2 (х) dx. (1) Для доказательства найдем производные от левой и правой частей этого равенства. На основании равенства (4) § 1 находим (~ [f1 (x)+f2 (х)] dx )' = f1 (х) +f2 (х), о,1 <x>dx+ ~'2 <х> с1х =( ~'1 (Х, с1х )' )' +Ots <х> с1х)' = ti <x>+t2 (х). Таким образом, производные от левой и правой частей равенства (l) равны между собой, т~ е. производная от любой первообразной, стоящая в левой части, равняется производной от любой функции, стоящей в правой части равенства. Следовательно, по теореме§ 1 любая функция, стоящая в левой части равенства (1), отличается от любой функции, стоящей в правой части равенства ( 1), на постоянное слагаемое. В этом смысле и нужно понимать равен ство (1). Те о рем а 2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е. если а= const, то ~ af(x)dx=a ~ f (x)dx. Для доказательства равенства (2) (2) найдем производные от лемй и правой его частей: ( Saf (х) dx) • = af (x)r ( а ~ f (х) dx )' = = а ( ~ f (х) dx)' = af (х) • Производные от правой и левой частей равны, следовательно, как и в равенстве ( 1), разность двух любых функций, стоящих слева и справа, есть постоянная. В этом смысле и следует пони мать равенство (2). При вычислении неопределенных интегралов бывает иметь 1. в виду следующие полезно правила. Если ~ f (х) dx = F (х) +С, Jf(ax)dx= ~ F(ax)+C. (3) НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 320 [ГЛ. Х Действительно, дифференц,ируя левую и правую ства (3), получим О f (ах) dx )' = f (ах}, ( ~ F (ах)),= 1 Производные =aF'(ax)a=F'(ax)=f(ax). от части равен 1(f' (ах)):= правой и левой частей равны, что и требовалось доказать. II. Если ~ f (х) dx=F (х)+С. то ~ f (х+Ь) dx=F (х+Ь) +с. 111. (4) Если ~ f(x)dx=F(x)+C. то 5f (ах+Ь) dx= ~ F (ах+Ь) +с. Равенства (4) и (5) (5) доказываются дифференцированием правой и левой частей равенств. Пр и мер 1. ~ (2x3-3sin х+5 ух) dx= ~ 2х3 dx- ~ 3 sin xdx + ~ 5 Yxdx= =2 ~ x3 dx-3 ~ sinxdx+5 ~ x 1 l 2 dx= 1 -+1 х 3 +1 Х2 --+ С= 2 х4 +З cosx+ 3]Q x у -х+с. } =2 з+l -3 (- cosx)+5-1 2+1 Пр им ер s(v-; + 2. 2 ~х Пр им ер +х v~) dx =3 s x- 1 l 3 dx +; sх-1/2 +s 3. dx Sх+з=ln/х+З/+С. Пр им ер 4. s cos 7xdx=f sin Пр им ер 7х+С. 5. Ssin(2x-6)dx=-; cos(2x-6)+C. dx x•li dx= ИНТЕГРИРОВАНИЕ МЕТОДОМ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ §.4] § 4. Ин1еrрирование методом замены переменной или способом подстановки Пусть требуется найти интеграл Sf (х) dx, ственно подобрать первообразную для известно, что она Сделаем 321 f (х) причем непосред мы не можем, но нам существует. замену переменнQЙ в подынтегральном выражении, положив (1) X=q>(t), где q, (t) - непрерывная функция с непрерывной производной, имею щая обратную функцию. Тогда dx = q,' (t) dt; доиажем, что в .этом случае имеет место следующее равенство: ~ f (х) dx = ~ j[ <р (t)] q,' (t) dt. (2) Здесь подразумева.ется, что после интегрирования в правой части равенства Bl\fecтo t будет подставлено его выражение через х ha основании равенства (1). Для того чтобы установить, что выражения, стоящие справа и слева, одинаковы в указанном выше смысле, нужно доказать, что их производные по х р-авны между собой. Находим производную от левой чаети: ( ~ f (x)dx )~ = f (х). Правую часть равенства (2) t- будем дифференцировать по х как сложную фу11кцию, где промежуточный аргумент. Зависимость t от х выражается равенст- вом (1), при этом dх и по правилу дифференцирования dt=q,'(t) обратной функции :: = q,\). Таким образом, имеем (sf [<р (t)] <р' (t) dt): = ( 5f [q> (t)] <р' (t) dt): :: = = 1 /[ер (t)]cp' (t) q,' (t) = /[<р (t)J= f (х). Следо~ательно, производные по х от правой и левой частей равен ства (2) равны, что и требовалось доказать. Функцию х = <р (t) следует выбирать так, чтобы можно было вычислить равенства 3 неопределенный интеграл, стоящий в правой части (2). а меч ан и е. При интегрировании иногда ,целесообразнее под t= бирать замену переменной не в виде х = <р (t), а в виде 'Ф (х). Проиллюстриру€м это на примере. Пусть нужно вычислить интеr• рал, имеющий вид 5 Ф' (х) dx 'Ф (х) • Здесь удобно положить 'Ф (х) = 11 Н. С. Пискунов, т, J t, НЕОП,РЕДВЛЕННЫЙ. ИНТЕГРАЛ 322 тогда 'Ф' (х) dx = dtt s,i,~xlx~x=s ~t =lnltl+C=1n\,p(x)l+C. Приведем несколько примеров на интегрирование с помощью замены г.еременных. Пример l, ~ fsinxcosxdx=r Сделаем nодстановку t=sinx; тогда dt = сщ,хdх и, следовательно, ~ fsinXcosxdx= ~ f t dt = ~ t 1 l 2 dt = 2t3/2 2 3/2 2. S1~~=? =3 -+c='з"sin Пример И 5 =2 s х dx l+x2 l dt -t х+с. =2 l Полагаем 1 тогда dt=2xdx 2 Int+C= 2 ln(l+x )+С. S dx 1 a2 +xz=a2 Пример 3. t=l+x 2 ; 5l+(x/a) dx Полагаем х t=a; тогда dx= dx 1 5 1 s 1 l Saz+x =a2 l+tz=a l+t =aarctgt+C=aarctga+C. =adt, 2 П р им ер dx = а dt, 4. sV SV ~ а dt 2 • х dt s sУа sУ 2 1 У dx 11 dx а2 -х 2 а (1-х/а) 2 dt l - t2 а2 -х 2 а (nредnолагается, что а> О). dt l - t2 Полагаем t = !... ; тогда . а arcsin t+C=arcsin !... + а С В примерах 3 и 4 выведены формулд1, приведенные в таблице интегралов под номерами 11' и 13' (см. выше, § 2). Пр и мер 5. S(\n х) 3 ~ =? Полагаем t = ln х; тогда dx dt=x• Пр и мер 6. dt=2xdx,, s x= 5t (lnx) 3 dx xdx =? Sl+x 4 3 4 dt= 4t +c= 41 (Inx) 4 +C. Полагаем t=x2 ; тогда Sl+x = 2 5l+t = 21 arctgt+C= 21 arctgx х dx l dt 4 2 2 +с. Метод замены переменных является одним из основных методов вычисления неопределенных интегралов. Даже в тех случаях, когда мы интегрируем каким-либо другим методом, нам часто приходится в промежуточных вычислениях прибег.ать к замене переменных. У спех интегрирования зависит в значительной степени от того, сумеем ли мы подобрать такую удачную замену переменных, кото рая упростила бы данный интеграл. По существу говоря, изучение методов интегрирования сводится к выяснению того, какую надо сделать з·амену переменной при том или ином виде подынтеграль• ноrо выражения. Этому главы. и посвящена большая часть настоящей ИНТЕГРАЛЫ ОТ ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ §5] КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН 323 § 5. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен 1. /-s Рассмотрим интеграл i - Преобразуем щэедставив предварительно его в виде суммы dx ах2 + ьх+с· трехчлен, стоящий или разности в знаменателе, квадратов: ах 2 +ьх +с= = а [х2 + : х + : ] = а [х2 + 2 ;ах + (;а) 2 + : - (:а) 2 ] = а [ ( х +:а) 2 + ( : ~ :а: с Ь2 а а ± где обозначено--42= k 9 • Знак )] = а [ ( х +:а) 2 = ± k2] , плюс или минус берется в зав11- симости от того, будет ли выражение, стоящее слева, положитель ным или отрицательным, т. е. будут ли корни трехчлена ах 2 +Ьх+с 'Комплексными или действительными. Таким образом, интеграл / 1 принимает вид /-s 1 - dx l ах2 + ох+с а s[( dx х+~У ± ,.2] ' Сделаем в последнем интеграле замену переменной х + :а = t, dx = dt. Тогда получим l I1=a s dt t2±ka· Это-табличные интегралы (см. формулы Пр им ер 1. Вычислить интеграл S dx zх2 +вх 11' и 12). +zo· Решение. Делаем замену nеременной чаем табличный интеграл l 1 =2 Подставляя вместо t x+2=t, dx=dt. s +6=2 t2 dt в интеграл, nолу• 1 t ув arctg Vб +с. его выражение через х, окончательно находим 1= 11 ili l Подставляя l x+z +с. ,r- arctg ,r- 2 r 6 , 6 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 11. (ГЛ. JC Рассмотрим интеграл более общего вида 12 = S ах2+ьх+с dx. Ах+в Произведем тождественное преобразование подынтегральной функ ции: /-r 2 - Ах+В Jах2 +ьх+с dx- r2аА (2ах+ь)+ 2 J ( АЬ) В-Та dx ах +ьх+с • Последний интеграл представим в виде суммы двух интегралов. Вынооя постоянные множители за знак интегралов, получим f 11 -_А_ 2а dx+ (в-~) Sах +ьх+с. dx 2а 2ах+ь ах 2 +ьх+с 2 Второй интеграл есть интеграл / 1 , вычимять который мы умеем. В первом интеграле сделаем замену перемеиной ах 2 +ьх+с= dx= dt. (2ах+Ь) t, Следовательно, 5~:+~:>;; = 5~t = ln t +С= ln ах2 + Ьх + с +С. I 1 I 1 Таким образом, окончательно получаем Пр им ер / 2 = ~ ln\ax2 +ьx+cl+(в-::) 2. Вычислить интеграл / =S2 /1 • х+з х- . 5 dx. 2х- Применпм указанный прием: r х+З dx= r½(2х-2)+ ( з+½-2) dx= Jх~-2х-5 J х2 -2х-5 (2х - 2) dx r dx l =2 xi-2x-5+ 4 J х2 -2х-5 2 lnlx - 2x- 5 l+ 4 /= \5 2 =_!_ln\x2 -2x-5\+2~ ln\ у6 2 111. s dx (х-\)2-6 Vб-(х-\) \+с. у б+(х-1) Рассмотрим интеграл SVах2 :ьх+с · С помощью nреобразований, рассмотренных в п. 1, этот интеграл сводится, в заnисимости от знака а, к табличным интегралам вида SVl ±ka dt 2 при а> О или s Vkdt fi. 2 при а<О, которые уже рассмотрены в таблице интегралов (см. формулQJ и 14). 13' ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТ5,1М .§ 6) Интеграл вида IV. S Ах+в Vах2 +ьх+с 325 dx вычисляется с помощью следующих преобразований, аналогичных тем, которые были рассмотрены в п. II: r Ах+в dх=\~(2ах+ь>+(в--:) JУах2 +ьх+с J v ах2 +ьх+с =~s 2а 2ах+ь dx+(B V ах2 +ьх+с dx= -~)s 2а dx У ах2 +ьх+с · Применив к первому из полученных интегралов подстановку ах 2 +ьх+с= t, (2ах+Ь) dx= dt, получим S (2ах +Ь) dx = SVdt_ = 2 Vt + С= 2 Vах 2 +Ьх +с+ С. У ах2 +ьх+с Второй же t интеграл был рассмотрен нами в n. 111 настоящего параграфа. Пр и мер 1 3. Sх+З i 5 2 (2х+4)+(З-10) ---;:======-dx= , -::-;::::::;==;==:;:;--dx= у х2 +4х+ 1О V х 2 +4х+ 10 =ls 2х+4 dx-75 dx = 2 У х2 +4х + 10 V (х+2) 2 +6 =5 У x2 +4x+I0-7 ln / х+2+ V€х+ц~+в /+ С-= 2 +---,-4x_+_l,_O !+с. =5 у х2 +4х + 10-7 Jn./ х+2+ Y,_x.,... § 6. Интегрирование по частям Пусть и и v-две дифференцируемые функции от х. Тогда, как известно, дифференциал произвецгния щей формуле: d (uv) = и dv+ vdu. uv вычисляется по следую Отсюда, инт~грируя, получаем иv= ~ udv+ ~ vdu или ~ и dv = uv - ~ v du. (1) Последняя формула называется формулой интегрирования по чш:тям. Эта формула чаще всего применяется к интегрированию выражений, которые можно так представить в виде произведения dv, чтобы отыскание функции v по ее дифференциалу dv и вычисление интеграла ~ v du составляли в сово двух сомножителей и и ь.упности задачу более простую, чем непосредственное вычисление интеграла ~ и dv. Умение разбивать разумным образом данное подынтегральное выражение на множители и и dv вырабатывается [ГЛ. Х НЕОПРIЩЕЛЕННЫй ИНТЕГРАЛ 32& за:и.ач, и мы покажем в процессе решения на ряде прJfмеров, как это делается. Пр им.ер 1. ~ xsin xdx=?· Положим и=х, dv=sinxdx; тогда dи=dx, v=-cos х. Следовательно, ~ xsln xdx=- х cos х+ ~ cos xdx=-xcosx+s1nx+C. 3 а меч ан и е. При определении функции v по дифференциалу dv мы можем брать любую произвольную постоянную, так как в ко нечный результат она не входит (что легко проверить, подставив в равенство ( 1) вместо v выражение v + С) . Поэтому удобно считать эту постоянную равной нулю. Правило интегрирования по частям применяется случаях. Так, например, интегралы вида ~ xkeax dx, ~ xkcosaxdx, ~xksinaxdx, во многих ~ xklnxdx, некоторые интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции, вычисляются с помощью интегрирования по частям. Пр им ер 2. Требуется вычислить ~ arctg х dx. Положим и=arctg х, +dxх2 dr;, = dx; тогда du = 1 , v= х. Следовательно, Sarctgxdx=xarctgx-S 1~ : =xarctgx- ~ ln\l+x 1+c. 2 2 Пр им ер 3. Требуется вычислить ~ х2 ех dx. Положим и=х2 , dv=ex dxj тогда 0:и=2хdх, v=ex, ~ х2ех dx=x2eX-2 ~ хех dx. Последний интеграл снова интегрируем по частям, полагая и 1 = х, du 1 = dx, du 1 = ех dx, v1 = еХ. Тогда ~ хех dx = хех - ~ ех dx = хех -ех +С. Окончательно будем иметь ~ х2еХ dx = х2е" -2 (хеХ-еХ) +С= х2ех -2хех + 2еХ +С= ех (х2 - 2х+ 2) + С. Пр име р и=х 2 +7х-5, 4. Требуется dv=cos2xdx; вычислить du=(2x+7)dx, S (х 2 +7х-5) ~ (х 2 +7х-5) cos 2х dx. Положим тогда sin 2х v=-2- , sin 2х cos2xdx=(x2 +7x-5)-2- - Применим интегрирование по частям s 1, последнему sin 2х (2x+7)2 -dx. интегралу, принима,~: U1 327 ИНТЕГР.ИРОВА.ПИЕ ПО ЧАСТ~М § .6) = 2х+1 - 2- , dtii=sin2xdx; тогда cos2x du1 =dx, s V1=---2- 2xt7 sin 2xdx=~x:7 ( _ со~2х i )-S (со~2х) dx= =- (2х+7) cos2x 4 + sin2x +с. 4 Поэтому окончательно S (х2+7х-5) . -+c= sin 2х cos 2х sin 2х cos2xdx=(x2 +7x-5)2 -+(2x+7)4 - - -4 = (2 х2 + 14x-ll) sln/x +<2 х+7} со: 2х +с. Пример 5. l=~Va 2-x 2 dx=? Произведем тождественные преобра• V а2 зования. Умножим и разделим подынтегральную функцию на S va2-x2dx=S а2 __ х2 dx=a2S у а2-х2 s dx У а2-х2 x2dx У а2-х2 . х =a2 arcsm-а Последний интеграл проинтегрируем xdx ,r-dv=--=---=---=---=---=---, v=-,, а 2 -х2 ; уа2-х2 по частям, полагая s х2 : х У xdx и=х, а2-х2 . du=dx, тогда S xdx Sх уа2-х2 х Viz'Cx2+ Уа2 -х 2 dx. Подстаnляя последний результат в полученное ранее выражение данного ин теграла, будем иметь SУ а2 -х2 dx=a arcsin : +х У а2 -х2 - SVa -x dx. 2 2 2 Перенося интеграл справа налево и выполнив элементарные преобразования, окончательно получим S,,, r - - dx= 2az arcsin а2 -х2 Пример 6. " r2 - -2 " а -х +0. Вычислить интеrралы l 1 =~eaxcosbxdx Применяя метод интегрирования и=еахj х х а+ 2 и l 2 =~eaxsinbxdx. по частям du=aeaXdx, dv=cosbxdx, к первому интегралу, получим 1 v=тsinbx, Sеах cos Ьх dx =+ еах sin Ьх- : Sеах sin Ьх dx, [ГЛ. Х НЕОПРЕДЕЛЕИНЫR ИНТЕfРАЛ 328 К последнему интеграл.у снова и=еах, применим du =аейХ dx, dv=sin Ьх dx, метод 1 V=-ь иптеrрирования по частям: cos Ьх, Seaxsin Ьхdх=- ~ е11х cos ьх+: 5еах cosbxdx. Подставляя полученное выражение в предыдущее равенство, получим Sе11х cos Ьх dx= ~ е11х sin Ьх+; еах cos Ьх- :: 5еах cos Ьх dx. Найдем из последнего р,авенства / 1: + :: ) SetZJC cos Ьх dx =&х ( ; (1 sin ьх+; cos Ьх) +с ( l + :: ) , откуда 11= Sеах cos bxdx еах (Ь sin Ьх+а cos Ьх) а2+ьа ~' r Т"• Аналогично находим 12= § 7. Sea.,_sinbxdx еах (а sln Ьх-Ь cos Ьх)+с аs+ьа • Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интеrрирование Как мы увидим ниже, далеко не всякая элементарная функция имеет интеграл, выражающийся в элементарных функциях. Поэтому очень важно выделить таки:е классы функций, интегралы которых выражаются через элементарные функции. Простейшим из этих классов является класс рациональных функций. Всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби, т. е. в виде отношения двух многочленов: Q(x) f(x) = В 0 хт+в,хт- 1 + ... +Вт А 0 хn+А 1 хп- 1 + ... +Ап • Не ограничивая общности рассуждения, будем предполагать, что эти многочлены не имеют общих корней. Если сте[Jень числителя ниже степени знаменателя, то дробь называется правильной, в противном случае дробь называется неправилuной. Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знамена тель (по правилу деления многочленов), можно представить данную дробь в виде суммы многочлена и некоторой правильной дроби: Q (х) f (х) здесь М (х)-многочлен, а = М (х) + F (х) f F f (х) • (х) ' (х) -правильная дробь. § ПРОСТЕЙШИЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ И ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 1J П ример t. 829 Пусть дана неп(}а'Ьильная ра циональ11ая дробъх4-3 х2 +2х+1 Разделив числитель на знамена'!'ель • (по правилу делещfя многочленов). получим Так как интегрирование многочленов не представляет затруд нений, то основная трудность при интегрировании рациональных дробей заключается в интегрировании правильных рациональных дробей. Определение. Правильные рациональные дробй вида I. -А- , х-а II. 111. А (x-a)t (k - целое положительное число ;., 2), x~t:q (корни знаменателя комплексные, Ах+В k IV . (x2+px+q)k ( -целое 1'. е. ~2 -q <О) . положительное число ~ 2; корни знаменателя комплексные), называются простейшими дробями I, II, III и IV munQВ. Далее будет доказано (cl\1. § 8), что всякую радиональную дробь можно представить в виде суммы простейщщ дробей. Поэтому мы рассмотрим сначала интегралы от простfйших дробей. Интегрирование простейших дробей типа I, II и III не состав ляет большой трудности, поэтому мы проведем их интегрироаание без каких-либо дополнительных пояснений: 1. s~dx=A In/x-al+C. х-а А 11. (x-a)kdx=A s (х-а) -k dx=A (x-af-k+l -k+l +С= А - I 11 · (1-k) (x-a)k-1 Ах+в dx s1(2х+р)+( в-J), dx = S--'--x 2+px+q x 2+px+q -~s - =; 2 ln I х2 2х+р x2+px+q +С. dx+(в-~)s dx 2 x 2+px+q - + рх +q 1+ (В - А: ) S( Р ) х+2 = А2 ln1x 2 +px+q\+ :4q-p2 ~ arctg 2 dx ( Р2 ) = + q-4 J:2!___ +с (см.§ 5). 4q-p2 НЕОПРЕДЕЛЕННЫА ИНТЕl"РАЛ 330 [ГЛ. Х Более сложных вычислений требует интегрирование простейших дробей IV типа. Пусть нам дан интеграл такого типа: IV. 5 Ах+в (xz+px+q)kdx. Произведем преобразования: S r 1(2х+р)+ ( В- ~р) Ах+В (x 2+px+q)k dx= J (x2+px+q)k = 2А s 2х+р dx.= d (x 2+px+q)k Х + (в -т Ар ) s 2 dx (x +px+q)k • Первый интеграл берется подстановкой х2 + рх+ q=t, (2х+ р) dx= =dt: 5 2х+р (xz+px+q)k dx= s st. . dt 7я= k dt = t-k+l l-k +С= 1 -(1-k) (x2+px4q)k-l Второй интеграл - обоаначим его через +с. запишем в виде /k - S dt (t2+т2)k, полагая х +l!..-t 2 ' dx=dt, ( по предположению к·орни знаменателя комплексные, а следова тельно, q- ~2 >О) . Далее посту.паем следующим образом: lk= dt I s 2+m 2)-t2 S(t2+т2)я=т2 (t2+m2)k dt= (t 1 = ,ii'Г 5 d:t (t2+m2)k-1 I т2 s t'J (t2+m2)k dt • (1) Преобразуем интеграл: 5 J.t dt (t2+m2)k _!_ \' t 2 J d (t2+т2) (t 2+m2)k =- 2 (k~ 1) Интегрируя по частям, будем иметь t dt 1 [ 1 S(t2+m 2)k=-2(k-l) f (t 2+m2)k-l 2 5fd ( (t2+:2)k-l) • § 7] 331 ПРОСТЕЙШИЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ И ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ Пqдставляя это выражение в равенство ( 1). получим = S (t2+т2)k = dt [k s s ] dt t [ 1 1 dt 1 =""т2 .(t2+т2)1t-1+m22(k-l) (t2+т2)k-l- (t2+т2)k-l = t 2т2 (k-1) {t2+m2)k-1 2k-3 +2т2 (k-1) s = dt (t2+m2)k-1 • В правой части содержится интеграл того же типа, что / k• но показатель степени знаменателя подынтегральной функции на еди ницу ниже (k - 1); таким образом, мы выразили / k через / k-i • Продолжая идти тем же путем, дойдем до известного интеграла: / 1 = S12 +dt та = Подставляя затем всюду вместо ражение интеграла Пр и мер S IV t 1 т arc tg т t + С. и т их значения, получим вы через х и заданные числа А, В, р, q. 2. х-1 (x 2 +2x+;:i) 2 dx= f _!__(2x+2)+(-l-l) 2 1 2х+2 (x2 +2x+3) 2 dx- 2 =2 s (х2 +2х+З)J dx= s 1 К после)J.нему интегралу применяем dx (х2 +2х+З) 2 1 =-2 х 2 +2х+з подстановку х+ 1 = t: (произволыюй постоянной пока не пишем: мы учтем ее только в окончатель ном результате). Следовательно, Окончательно будем иметь S(х2 +2х+3) 2 dx=- 2 (х2 +2х+З) х-1 х+2 у2 x+I - 4 - arctg у 2 +с. [ГЛ. Х НЕОПРЕДЕJJЕНН.ЫЙ-ИIПЕГРАЛ· 332 § 8. Разложение рацио11альной дроби на nJЮСтейшие Покажем далее, что всякую правильную рациональную дробь можно разложитв на сумму простейших дробей. Пусть нам дана правильная рациональная дробь ; <~i . Будем предполагать, что коэффициенты входящих в нее много членов - действительные числа и что данная дробь несократима (последнее означает, что числитель и знаменатель не имеют общих корней). Т е о р ем а 1. Пусть х а есть корень знаменателя кратности k, т. е. f (х) = = (x-a)k f 1 (х), где f (а);# О (см. § 6 гл. V 11); moгiia· f(~i можно представить в виде суммы данную правильную дробь 1 двух других правильных дробей следующим образом: F(x) f (~) А F1(x) = (x-a)k + (x-a)k-lf1 (х)' (1) гдl: А-nQСтоянная, не равная нулю, а F 1 (х)-многочлен, степ-ень которого ниже степени знаменателя Доказател1>ство. F (х) f (х) = (x-a)k- 1f1 (х). Напишем тождество А (x-a)k F (x)-Af1 + (x-a)k / 1 (х) (х) ( 2) (справедливое при любом А) и определим постоянну.ю А так, чтобы многочлен F (х) - Af1 (х) делился на х - а. Для этого по теореме Везу nеобходимо и достаточно, F(a)-Af1 (a)=O. Так как чтобы выполнялось fi(a),#0, F(a):;6:0, равенство то А одноsначно определится равенством А = [ [;: . При таком А будем иметь F (х) - Af1 (х) = (х - а) F 1 (х), где F 1 (х) есть многочлен, степень которого ниже степени многочлена (х - a)k-i f 1 (х). Сокращая дробь в формуле Следствие. (2) на х-а, получаем равенство (1). К правильной рациональной дроби F1 (х) (x-a)k-l f 1 (х}' входящей в равенство (1), можно применять аналогичные рассуж дения. Таким образоl'!f, если знаменатель имеет корень х=а крат ности k, то можно написать F (х) f (х) F А А1 Ak-1 Fk (х) = (x-a)k +(x-a)k- 1 + ·· • + "х=а + f 1 (х) ' (х) где ,:(х)-правильная несократимая дробь. К ней также можно применить только что доказанную теорему, если действительные корни. f1 (х) имеет другие РАЗЛОЖЕНИЕ РЩИОНАflЬНОА ДРОБИ НА ПРОСТЕЙШИЕ §8] 333 Рассмотрим далее случай комплексных корней знаменателя. Напомним, что комплексные корни многочлеН'а с действительными коэффициентами всегда попарно сопряжены (см. § гл. 8 VH). В разложении многочлена на действительные множители каж дой паре комплексных корней многочлена соответствует выражение вида х 11 рх q. Если же комплексные корни имеют кратность µ, + + + +q)IA-. + +q)'-' q, (х), то им соответствует выражение (х11 рх Теорем а 2. Если (х) = (х 2 рх f <р1 (х) не делится на ха+ рх дробь ~ ll +q, где многочл'еН 1 то правильную рациональную можно представать в виде суммы двух других пра вильнwс дробей следующим образом: F (х) Mx+N f (х) = (x 2 +px+q)'-' где Ф 1 (х) члена (х2 - многочлен, +рх +q)µ-i q, F (х) 2 степень которого степени много Напишем тождество Мх+ N (x2+px+q)µ f(x) =(x2 +px+q)P.q, 1 (x) ниже (З) • 1 (х). Доказательство. F (х) Ф 1 (х) + (x +px+q)µ-1q, 1 (х) + F (x)-(Mx+N) q,1 (х) (x2 +px+q)µq, 1 (x)' ( 4) справедливое при любых М и N, и определим: М и N так, чrобы многочлен F (х) - (Мх + N) (J) 1 (х) делился на х2 + рх + q. Для этого необходимо и достаточно, чтобы уравнение F (х) -(Mx+N) (J) 1 (х) =0 имело те же корни а± i~. что и многочлен х2 +рх+q. Следовательно, F (a+i~) -[М (a+i~)+N]q>1 (a+i~)=O . или F (сх F (r.t,+ i6) + iP) M(a+Ф)+N=q, 1 (cx.+iP). Но 'Pi(cx.+tp) есть определенное комплексное число, которое можно записать в виде К+ iL, где /{ и L-некоторые действительные числа. Таким образом, М +N=K+iL; отсюда Ma+N=K, M~=L М-.!-:_ -~· - или (a+i~)+ N_K/}-La, - tJ При этих значениях коэффициентов М и N многочлен F (х) (Мх N) (J) 1 (х) имеет корнем число а+ i~, а следовательно, и + сопряженное число а - i~. Но в таком случае многочлен без остатка разделится на разности x-(a+i~) и х-(а-ф), а сле довательно, и на их произведение, т. е. на х 2 рх q. Обозна чая частное от этого деления через Ф 1 (х), получим + + F (x)-(Mx+N) (J) 1 (х) = (x 2 +px+q) Ф 1 (х). Сокращая последнюю дробь в равенстве равенство (3), (4) знаменателя, что и требовалось доказать. Применяя теперь к правильной дроби 1 и 2, на х 2 + рх + q, получим причем ясно, что степень Ф 1 (х) ;(~j меньше степени результаты теорем мр1 можем выделить последовательно все простейшие дроби, НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 334 соответствующие всем корням знаменателя [ГЛ, Х f (х). Таким· образом, из предыдущего вытекает следующий результат. Если f (х) = (х-а)а. ... то дробь F (х) f (х) (х-Ь)~ (х2 + px+q)it ... (x 2 +lk+s)'t, ~<~i может быть представлена в вы.де А = (х-а)а. + (х-а)а-1 А1 + • • · +х=ёi Аа + -1 ...... .. . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . ... (5) Коэффициенты .4, А 1, ••• , В, В 1 , ••• можно определить из сле дующих соображений. Написанное равенство есть тождеств о, поэтому, приведя дроби к общему знаменателю, получим тождест венные многочлены в числителях справа и слева. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему урав нений ДJIЯ . . . , В, В 1 , определения неизвестных коэффициентов А, Ai, ... Этот метод нахождения коэффициентов называется ••• методом неопределенных коэффициентов. Наряду с этим для определения коэффициентов можно восполь зоваться следующим замечанием: так как многочлены, получив шиеся в правой и левой частях равенства, после приведения к общему знаменателю должны быть тождественно равны, то их значения равны при любых частных значениях х. Придавая х частные знач.ения, получим уравнения для определения коэффи циентов. Таким образом, мы видим, что веякая правильная рациональ ная дробь представляется в виде суммы простейших рациональ ных дробей. х11 +2 Пр им ер. Пусть требуется разложить дробь (х+ l)з (х- 2) на nростейшие. На основании формулы х 2 +2 (х+ 1)3 (х-2) (5) имеем А А1 (х+ 1)3 + (х+ 1)2 А2 В +х+ 1 + х-2 • Приводя к общему знаменателю и приравнивая числители, получим х 2 +2= А (х-2)+ А 1 (х+ 1) (х-2)+ А 2 (х+ 1)2 (х-2)+В (х+ 1)3 , (6) или х 2 +2= =(А 2 +В) х 3 +(А 1 +ЗВ) х 2 +(А-А 1 -ЗА 2 +ЗВ) х+ (-2А-2А 1 -2А 2 +В). ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ §-9] 335 Приравнивая коэффициенты при х3, х 2 , х1 , хО (свободный член). получим ~истему уравнений для определения коэффициентов: 0=А 2 +В, 0=А-А 1 -3А 2 +3В, l=A 1 +3B, 2=-2А-2А 1 -2А 1 +в. Решая эту систему, найдем А 1 =1/3, А=-1, А 2 =-2/9, В=2/9. Можно было бы также определить некоторые коэффициенты из уравнений, которые получаются при некоторых частных значениях х из равенства (6), которое является тождеством Так, полагая получим 6 уравнения, степенях х, = х=-1, 27В; В= 2/9. получающиеся то относительно х. полуqим получим четыре уравнения для ных коэффициентов. В результате х 2 +2 § 9. (х+ 1)3 f (х) А=-1; полагая х=2, определения четырех неизвест 1 + 3 (х+ 1) 2 9 (х+ 1) 2 2 + 9 fx-2) • Интегрирование рациональных дробей Пусть требуется Q (х) или получаем разложение: 1 (х+ 1)3 (х-2) 3=-ЗА Если к этим двум уравнениям присоединим два приравниванием коэффициентов при одинаковых , т. е. интеграл s вычислить интеграл от рациональной дроби Q (х) f (х) dx. Если данная дробь неправильна я, то мы представляем ее в виде суммы многочлена М (х) и п р а в иль н ой рациоаальной дроби ~ ~:~ (см. § 7). Последнюю же представляем по формуле (5) § 8 в виде суммы простейших дробей. Таким образом, интег рирование всякой рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и нескольких п р о с те й ш и х дробей. Из результатов § 8 следует, что вид простейших дробей опре деляется корнями знаменателя (х). Здесь возможны следующие f случаи. 1 случай. Корни знаменателя действителыш и различны,, т.е. f (х) = (х В этом случае дробь ~ I а) (х - Ь) (~i -d). разлагается на простейшие дроби типа: F (х) А В D +х-Ь + · · · + x-d' f (х) =х-а и (х .•. тогда s~ (~j = sх А а + 5х В ь dx I I с л у ч ай. Корни некоторые s dx + ... + t D d dx = = А ln I х - а j + В ln I х - Ь 1 + ... + D ln I х -d 1 +С. dx знаменателя действительные, из них кратные: f (х) = (х - а)а (х - b)f3 ••• (х - d)e,. причем НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ-ИНТЕГРАЛ В этом случае дробь ~ I и II разлагается на nростейшие дроби тиnов. Пр им ер 5(х+ <~i 1 (см. пример в § 8). s х2+2 dx I 1)3 (х-2) dx=- (х+ 1)3 +з 2 dx 1 1 1 +9 s х-2=2(х+1)2 s(х+dx sх+dx 1 + 2 9 1)2 2 2 91nJx+ll+glnJx-2J+C= З(х+l) 2х-1 = - б (х.+ 1)2 111 +92 ln 1х-21 х+ 1 +с. с л у ч а й. Среди ~орней знаменателя есть комплексные непоtJторяющиеся (т. е. различные): = (x 2 +px+q) ... (x2 +lx+s) (x-a)ci .•. (х-а)~. В этом сяучае дробь разлагается на простейшие дроби [(х) и I, II f<~i типов. 111 Пр им ер 2. Требуется вычислить интеграл S xdx (х 2 + 1) (х-1) РаЗJiо:Жим подынтегральную дробь J{a х простейшие (см. Ах+В (x2 +l)(x-1)= х2 +1 Следо.вательно, • (5) § ~): С + х-1 • х=(Ах+В)(х-1)+С(х2+ 1). Полагая х= 1, получим 1 =2С, С= 1/2; полагая х=О, по.пучим О= =-В+С, B=l/2. Приравнивая коэффициенты nри х2 , получим О=А+С, отку.,ца А=-1/2. Таким образом, S (x~+l)xdx(х--1) 1 2 1 -- 2 s х2 +1 ах+2 s xdx dx х-1 1 dx х-1= 5~ sх2 +1+2 sх-11 t-2 dx 1 1 1 =- 4 lпJx 2 +11+ 2 arotg IV случай. Среди корней знаменателя 1 x+ 2 JnJx-1 J+C. есть комплексные кратные: f (х) = (х2 + px+q)µ, ... (х 2 + lx+ s)v (х-а)а. ... (x-tl) 6 • В этом случае разложение дроби ~ (<;/ буде:r содержать и ·про стейшие дроби Пр им ер 3. IV типа. Требуется вычислить интеграл S х 4 +4х 3 + 1lx 2 + 12х+8 dx (хt+2х+З) 2 (х+ 1) • § 10) ИНТЕГРАЛЫ ,ОТ -ЙРРАЦИОНАЛЬНЫ-Х ФУНIЩИЙ 337 Реше н и е. PaзJiaraeм дробь на простейшие: Ах+в х1 +4х3+11х 2 +12х+в Е Cx+D -(х2 +2х+З) 2 + х 2 +2х+з+ х+ 1' (х2 +2х+З) 2 (х+ 1) откуда х•+4хз+ 11х2 + 12х+В= =(Ах+В) (х+ l)+(Cx+D} (х2 +2х+З) (х+ l)+Е(х 2 +2х+З) 2 • Комбинируя указанные выше методы определения коэффициентов, находим Таким образом, получаем S С=О, В=-1, А=1, х•+4х3+11х 2 +12х+в (ха+2х+З2)(х+ 1) dx= D=O, Е=1. 5(х2 +2х-+З)2 dx+ sх+ = х-1 dx 1 х+2 = - 2 (х2+ 2 х+з) Первый интеграл, стоящий справа, был интеграл берется непосредственно. У2 -i+t 4 arctg y2 +1nlx+Ц+C. рассмотрен в примере 2 § 7. Второй Из всего изложенного следует, что интеграл от любой рацио на.льной функции может быть выражен через элементарные функ ции в конечном а виде, именно: через логарифмы - в с.11у.ча~ простейших дробей I типа; через рациональные функции - в случае простейших дробей 11 типа; 3) через логарифмы и арктангенсы-в случае простейших. дро бей 111 типа; 4) через рациональные функции и арктангенсы -в случае 1) 2) простейших дробей § 10. IV типа. Интегралы от иррациональных функций Не от всякой иррациональной функции интеграл выражается через элементарные функции. В этом и следующем параграфах мы рассмотрим те с иррациональные функции, интегралы от которых помощ1:ю подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций и, следовательно, до конца интегрируются. 1. Рассмотрим интеграл ~ R (х, xmfn, ••• , циональная функция своих аргументов xrfs) dx, rде R- ра *). •) За_nнсь, R (х, xmfn, ••. , x 1 l 5 ) укаэывает, что на.д величинами, х, xmfn,, •• ••• , x'fs производятся только р-ациональные операции. :t: Точно R ( х, ( так пример, запись же )т/п, следует понимать в дальнейшем заппси вида ... ) , R (х, у ах2 +ьх+с), R (sinx, cosx) и т. д. Так, на R (sin х, cos х) рациональные оnерации. указывает, что над sin х и cos х производятся НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 838 Пусть k - общий подстановку х tk, = знаменатель дробей dx = ktk- 1 dt. [ГЛ. Х- Сделаем m/n, •.. , r/s. Тогда каждая др об на я степень х выразится через ц ел у ю сте,пень t и, следовательно, подынтегральная функция преобра зуется в р а ц и о н а л ь н у ю ф у н к ц и ю от t. Пр им ер 1, Требуется вычислить интеграл S Jf1/2dx ХЗ/4+ 1 • Решение. Общий знаменатель дробей подстановl{у x=t4. dx=4t 3 dt; тогда 4 есть 1/2, 3/4 stз~l t3dt=4 stз~l dt=4 s(t 4; 2 - t 3 ~l) поэтому делаем dt= =4St 2 dt-4St3~ldt=4 ; - : lnlt 3 +I\+C= =: s (:t~)m/n •••., (:.t: )''s] [хз/4-Jn\хз/4+ l /J+C. 11. Рассмотрим теперь интеграл вида R [х, dx. Этот- интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки ах+Ь cx+d = где k-общий знаменатель дробей Пр и мер 2. Решение. sУ:+4 dx=2 tk ' m/n, ..• , r/s. Требуется вычислит,~, интеграл sУ:+4 Делаем подстановку s 12 12 4 dt=2 =2t+2 In dx. x+4=t2 , x=t 2 -4, dx=2tdt; s( 1+,2 4 4 ) dt=2 s s/ dt+8 1 тогда 4= /:+:/+с =2 у;;µ +2 ln / ~~~:/+с. § 11. Интегралы вида SR (х, Vax 2 +Ьx+c)dx Рассмотрим интеграл ~ R (х, где а=#=О. Такой интеграл функции от новой вок Эйлера. V ах 2 +ьх+с) dx, (1) приводится к интегралу от рациональной переменной с помощью следующих подстано ИНТЕГРАЛЫ ВИДА § 11} 1. f R(x,Yaxa+bx+~}dx ЗЗ9 Первая, подстановка Эцлера. Если а> О, то полагаем V ах2 +ьх+с =+ Vax+t. Va возьмем для определенности знак плюс. ах2 + Ьх +с= ах 2 + 2 Va xt + t Перед корнем Тогда 2• откуда х определяется как рационалыrая функция от t: t2 -c Х=---- Ь-2 уа (значит, t тоже будет выражаться рационально через dx t), следо вательно, 12 - ~ +t. V ах 2 +ьх+с = Vax+t= Va b-2t а + + т. е. V ах 2 Ьх с оказывается рациональной функцией от t. Так как V ах 2 Ьх с, х и dx выражаются рационально + + через t, то, следовательно, данный интеграл в интеграл от рациональной функции от t. Пр им ер l. (1) преобразуется Требуется вычислить интеграл SУ;~с · Решение. Так как здесь а= 1 > О, то полагаем Уxi+ c=-x+t; тогда x2 +c=x 2 -2xt+t2, откуда Следовательно, t2 +c dx = ~ dt, Возвращаясь к исходному интегралу, получаем r r t +c 2 dx J Ух2+с= J 2/'dt 12+ с 2t (см. формулу 2. 14 таблицы интегралов). Вторая подстановка Эйлера. Если с> О, то полагаем Vax 2 +ьx+c=xt ± Vc; тогда (перед Vё для определенности берем знак плюс) ax 2 +ьx+c=x 2 t 2 +2xtVc +с. (ГЛ. Х НЕОПРЕДЕЛЕННЫА ИНfЕГРАЛ Отсюда х определяется как рациональная функция от t: Х=2Усt-Ь a-t2 Так как dx и Vax'+bx+c тоже выражаются рационально через t, то, подставляя значениях, Vax'+bx+c и dx в интеграл ~ R (х, V ах 2 +Ьх +c)dx, мы сведем его к интегралу от рацио нальной функции от Пр и мер t. Требуется вычислить интеграл 2. r(l-Yl+x+x2)• dx. х2 у1+х+х 2 J Решение. Полагаем У 1 +Х + Х 2 =J( =I+ l , ztz+n.. "r.,....,..--,--:: r l+x+x 2 =xt+l; тоrда l+x+x'=xt+l 21-1 1 t 2 -t+ _ 1 dx Х= (-/2 , 12 :: 212 -21+2 d,I ((-/2)2 ; 1-У ; -2t2 +t ~--~ l+x+x• . 1_ 1, • Подставляя полученные выражения в исходный интеграл, находим t+x+x S(1-У x2Yl+x+x' 2) 2 s dx=S (-2t2 +t) 2 (1-t 2) 2 (1-t2) (2t2 -2t+2) dt(l-t2) 2 (2t-1) 2 (t 2 -t+l)(l-/2)2 ~+:\+с= =-2(r1+x+x2 -1)+1nl x+v-,+-x_+_x~2 - l /+c= =2 I ta 11 dt=-2t+ln \ х ,-,-.,.--,--:: х- У 1+ х + х2 + 1 =- 2 <У 1 +~+х 2 - 1 > +1п J 2x+2 v1+x+x2 +1 /+с. 3. Третья подстановка Эйлера. Пусть сх и корни трехчлена ах 2 +Ьх+с. Полагаем (3 -действительные Vах'.+Ьх+с= (х-сх) t. Так каках 2 +Ьх+с= а (х-сх)(х-(3), то V а (х-а)(х-(3)=(х-а) а (х-а) (х-(3) = (х-а)а t2, а (х-(3) х как рациональную функцию от t: Х= = (х-сх) t2• t, Отсюда находим a~-at 2 a-t2 . + + V ах 2 Ьх с тоже рационально зависят от t, то Так как dx и данный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функ ции от t. Заме чан и е только при а 1. Третья подстановка Эйлера < О, но и при а > О - имел два действительных корня. применима лишь бы многочлен ах 2 не + Ьх + с ИНТЕГРИРQВАН:ИЕ ТРИГОНQМЕТРИЧЕСЮ-IХ Ф.УНIЩИЙ § 12] Пр и мер 3, 341 Требуется вычислить ицтеrра,11 SУх2 ~~х-4 • Решение. Так как х2 +3х-4=(х+4)(х-1), то полагаем У (х+4) (х-1) = (х+4) t; 1+4t 2 IOt тorдa(x+4)(x-l)=(x+4)2/ 2 ,x-l=(x+4)t 2 ,x= l-t 2 ,dx= (l-t 2 ) 2 dt, .r r (х+4) (х-1) = [11+4t _ 12 +4 2 ] 5t · Возвращаясь к исходному интегралу, t =т=72 s получаем S dx у х 2 + Зх-4 S l0t(l-t 2) (l-t 2) 2 •5t Ы= .,1+11 l - t +С= 2 1_ 12 dt=ln -./х-1 =ln 1+ V х+4 +C=lnl Ух+4+У~ \+с. 1- 3 а меч ан и е 2. х-1 у- Ух+4-Ух-1 х+4 Заметим, что для приведения интеграла (1) к интегралу от рациональной функции достаточно первой и третьей подстановок Эйлера. Рассмотрим трехчлен ах 2 +Ьх+с. Если Ь?. - 4ас О, то корни трехчлена действительны и, следовательно, применима третья подстановка Эйлера. Если Ь2 - 4ас ~ О, то в этом > случае 1 ах 2 +Ьх+с= 4а[(2ах+Ь) 2 +(4ас-Ь 2)] и, следовательно, трехчлен имеет знак, совпадающий со знаком а. Чтьбы Vax 2 +bx+c был действительным, нужно, чтобы трехчлен был положительным, а следовательно, должно быть а> О. В этом слуЧifе ПJ}ИМенима § 12. первая подстановка. Интеrрирование некот{)рых классов триrонометрических функций До сих пор мы систематически изучали интегралы только от алгебраических функций (рациональных и иррациональных). В настоящем парагра~ мы рассмотрим интегралы от некоторых классов неалrебраических, в первую очередь тригонометрических функций. Рассмотрим интеграл вида ~ R (sinx, cosx) dx. (1) Покажем, что этот интеграл с помощью подстановки ~:=t ~ НЕОПР.ЕДЕJIЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ,34-2 (ГЛ. Х всегда сводится к интегралу от рациональной функции. Выразим sin х и cos х через tg ; , а следовательно, и через t: SШХ= COSX= х 2sin .!... cos .!... 2 2 l . х 2sin 2 cos 2 cosl! .!...-sln2 ~ 2 2 l ------- 1-tg2 х 2 1+tg2 .!_ 2 Далее х = 2 arctg t, dx = 2dt 1 t2 • + Таким образом, sinx, cosx и dx выразились рационально через t. Так как рациональная функция от рациональных функ ций есть функция рациональная, то, подставляя полученные вы ражения в интеграл (1), получим интеграл от рациональной функции: 2t 1- t2) 2dt R(sшx, cosx)dx= R(i+t2• i+t2 i+t2• s' S . Пр им ер 1. 5_!;:!5.-. На основании написанных Рассмоrрим интеrраJI SIПX выше ,формул имеем Г- S 5: \ = \ 2dt 1 J t 111 = S ~t = In j t /+С= ln J tg ; j +С. 1+1 2 Рассмотренная подстановка дает возможность проинтегрировать всякую функцию вида вают «универсальной на практике о.на R (cosx, sinx). Поэтому ее иногда назы тригонометрической подстановкой». Однако часто приводит к ным функциям. Поэтому наряду с слишком сложным рациональ «универсальной» подстановкой бывает полезно знать также другие подстановки, которые в неко торых случаях быс-трее приводят к цели. l) Если интеграл иw,еет вид SR (sinx) cosxdx, то подстановка sin х = t, cos х dx = dt приводит этот интеграл к виду ~ R (t) dt. 2) Если интеграл имеет вид ~ R (cosx) sinxdx, то он приво к интегралу от рациональной функции замеl'lоЙ cos х = t, дится sinxdx=-dt. 3) замена Если подынтегральная функция зависит только от dt tgx=t, x=arctgt, dx= i+t 2 приводит этот tg х, то интеграл к интегралу от рациональной функции: sR но 343 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕС!<;ИХ ФУНКЦИЙ § 12] (tg х) dx s = R (t) :t 1 2 • 4) Если подынтегральная функция имеет вид R (sinx, cosx), sin х и cos х входят только в четны х степенях, то приме няется та же подстановка tgx=i, так как sin2х и cos 2х (2') tg х: tg 2 х t2 dt cos2X=1+tg2x= 1+t2 • sш2x=1+tg2x= 1+t2 • dx= 1+12· l После выражаются рационально через l . подстановки мы получим интеrрал от рациональной функции. П р им ер 2. Вычис.т!'ить интеграл S2+со'> sin х х 3 d х. Решение. Этот интеграл легкq привести к виду ~ R. (cos x)'>·ln х dx. Действительно, \ sin 3 x Сделаем замену S dx=Ssin 2 xsin xdx ,.; 2+cos х 2+cos х cosx=z. Тогда 1-со5 2 х 2 + c<Js х sin х dx. sinxdx=-dz; 52~~:: xdx= s12+z: (-dz) = s:2+; dz= s(z-2+ zt2 )dz= z2 =т-2z+з Пр и мер 3. cos 2 х ln (z+2)+ C=-z--2--:os х+з ln Вычислить 5 d~ 2 2 -sш х dx r dt S2-sinzx J (2-l~t2)<1+t2) Сделаем вамену • s2+t2= (t:OS х+2)+с. tg х = t: dt 1 = у] arctg t 1 ( tg х) у 2 +с= у"2 arctg +с. yz 5) Рассмотрим теперь еще один интеграл вида ~ R(&in х, cos x)dx именно, интеграл, эinm х cosn х dx (где под т знаком и п - которого стоит произведение целые числа). Здесь рассмотрим три случая. а) ~ sinm х cosn х dx, где т и п таковы, что по крайней мере одно из них - нечетно е что п нечетное. Положим п число. Допустим для определенности, = 2р + 1 и прео€iразуем интеграл: ~ sinm х cos2P+ 1 х dx = ~ sinrn х cos2P х cos х dx = = ~ sin"' х (1 - sin2 х)Р cos х dx. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 344 Сделаем замену переменной: [ГЛ. Х sln х = t, cos х dx = dt. Подставляя новую переменную в данный интеграл, получим ~ sinm xcosn х dx = ~ tm (l -t 2 )P dt, а это есть интеграл от рациональной функции от П s s(l-sin 2x)cosxdx Обо_ 3 sin 4 x · cos3 x d -5cos2.xcosxdx · sin 4 x хsin 4 x sin х = t, cos х dx = dt, получим 4 ример начая Scos х 3 sin 4 x d -s Х- s s .!!!_ _ 4 (l - t 2) dt t4 t t. .!!!._ =-_!_+.!..+с= 3 2 Зt t t 1 1 = - 3 sin 3 х + sin х +с. б) ~ siпm xcosn xdx, где тип -числа неотрицательные и четные. m=2p, n=2q. Напишем формулы, известные из Положим тригонометрии: . 1 sш2 х = 2 - 1 1 2 cos 2х, cos2 х = 2 Подставляя в интеграл, получим Ssin 2P х cos2 q х dx = S( ~ - ~ cos 2х у +21 cos 2х. (~ + ~ cos 2х) (3) q dx. Возводя в степень и раскрывая скобки, получим члены, содер жащие cos 2х в нечетных и четных степенях. Члены с нечетными степенями интегрируются, как указано в случае а). Четные пока затели степеней снова понижаем по формулам (3). Продолжая так, дойдем до членов вида ~ coskxdx, которые легко интегрируются. Пр и мер Ssir'l 4 5. xdx=;2 =: S(l-cos2x) 2dx= 1J(l-2cos2x+cos [x-sin2x+ ~ J (l+cos4x)dx] = ~ [~ 2 2x) dx= x-sin 2x+sin/x] +с. в) Если оба показателя четные, причем хотя бы один· из них qтрицателен, то предыдущий прием не приводит к цели. Здесь следует сделать замену Пр им ер 6. 6 s tgx=t; тогда Ssincos2х хdx Положим tg х = t (или ctg х = t). sin 2 х (sin 2 x+cos 2 х) 2 dx=S t 2 х (l +t 2 х) 2 dx. cos 6 х g g dt x=arctgt, dx=l+t 2 , и мы получаем dx=St2 (l+t2)2~=s t2(1+t2)dt= S sin2x cos 6 х 1+t2 =.!:+!..+ С= tg 3 х + tg5 х +с 3 5 3 5 . ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ § 13,J. 34Б б) Рас~мотрим в зак.~1ючение интегралы вида ~ cosmxcosnxdx, ~ sinmxcosnxdx, ~ sinmxsinnxdx. Они берутся при помощи следующих*) формул (m=l=n): cosmxcos nx= ; [cos (m+n) x+cos (т ~п) х], siцmxcosnx= ~ [sin(m+n)x+sin(m-n)x], sinmxsinnx= ~ [-cos(m+n)x+cos(m-n)x]. Подставляя и интегрируя, получим S cosmxcosnxdx=; S[cos(m+n)x+cos(m-n)x]dx= - sin (т+п) х - 2 (т+п) + sin (m-n) х +с 2 (т-п) • Аналогично вычисляются и два других интеrрала. Пример Ssin 7. I 5х sin Зх dx= 2 § 13. s i;in Вх sin 2х [ -cos 8х+ cos 2х] dx =- 16 -+-4-+с. Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок Вернемся к интегралу, рассмотренному в § 11, ~ R (х, V ах 2 +ьх +с) dx, где а =1= О ь2 и с-Та =1= О (1) (в случае а= О интеграл имеет вид II § 10, при с-:: =0 выражение ах 2 +Ьх+с=а(х+;а) 2 , и м:ы имеем дело с рациональной функцией, если а> О; при а< О функция Vах 2 +ьх+с не определена ни при каком значении х). Покажем здесь метод преобразования этого интеграла к интегралу вида ~ R (sin z, cos z) dz, (2) который. рассмотрен в предыдущем параграфе. *) Эти формулы легко вывести следующим образом: cos cos (т -j-n) (т-п) = cos тх cos nx-sin тх sin пх, x=cos mxcos nx+sin mxsin пх. х Складывая эти равенства почленно и деля пополам, получим первую из при веденных трех формул. Вычитая почлеиио и деля пополам, получим третью формулу. Вторая формула выводится аналогично, если написать аналогичные равенства для sin (т+п) J6 и sin (т-п) х и затем почленно их сложить. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 346 Произведем [ГЛ. Х преобразование трехчлена, стоящего под корнем: ах2 +ьх+с=а(х+;а)2 +(с-::). Сделаем замену переменной, положив х + J'a = t, dx = dt. Тогда Vах2 +ьх+с= V аt 2 +(с-1~)- Рассмотрим все возможные случаи. ~ 1. Пусть а> =п • 2 О, с-Та> О. Введем обозначения ~ a=m9 ,c- Та= В этом t:лучае будем иметь V ах 2 +ьх+с= V т 2 t 2 +п2 • ь2 ь2 2. Пусть а>О,с-4а<О. Тогда a=m 2 , с-Та=-n2 • Следовательно, ь2 ь2 3. Пусть а<О, с-Та>О. Тогда a=-m2, с-Та=n2'.Следовательно, ,._____ ь2 4. Пусть а< О, с-Та< О. В этом случае V ах 2 +ьх+с есть комплексное число при любом зн;ачении х. Таким образом, интеграл (1) преобразуется к одному из сле дующих типов интегралов: 1. ~ R (t, V m t +n )dt. (3.1) П. ~R(t, 2 (3.2-) 111. ~R(t, Vm i -n )dt. Vn -m i )dt. 2 2 (3.3) 2 2 2 2 2 2 Очевидно, что интеграл (3.1) приводится к интегралу вида (2) с помощью подстановки t = ; tg z. Интеграл (3.2) приводится к виду (2) с помощью подстановки п t = т sec z. приводится к виду (2) с помощью подстановки Пр им ер. Вычислить интеграл S У dx (а2-х2)<1 . Интеграл t= : sin t. (3 .3) ИНТЕГРАЛЫ, НЕ ВЫРАЖАЮЩИЕСЯ В КОНЕЧНОМ ВИДЕ § 14] Реше кие. Это-интеграл типа III. s s r dx JУ(а2-х2)з x=aslnz, Сделаем замену dx=a cos zdz, 1 а cos z dz *) а cos z dz a3 cosзz =а2 f(a2-a2s1n2z)З 347 s тогда dz cos 2 z= +с х sln z +с=_!._ =...!._ t z+C=_!__ sin z+c-_!__ · а2 yaz-xz -а.,, fl-sin2z а 2 cosz а2 g § 14. выражаются О фун~циях, интегралы от которых не через элементарные функции В § 1 гл. Х мы уже отмечали (без доказательства), что вся (х), непрерывная на интервале (а, Ь), имеет на кая функция f этом интервале первообразную, т. е. существует такая F(x), функция что F'(х)=f(х).Однако не всякая первообразная, когда даже тогда, она существует. вы р аж а е т с я в к он е ч н ом виде через элемент ар н ые функции. V !/ 1 ------------!/= Ф(:сJ Рис. Рис. 208. 209. Таковы первообразные, выраженные интегралами ~ e-x•dx, . х dx , lndxх , и многие другие. V 1 - k 2 sш' х dх, cos х dx, sln -хх S s s s Во всех подобных случаях первообразная представляет собой, очевидно, некоторую новую функцию, которая не сводится к ком бинации конечного числа элементарных фуцкций. ./;i f е-х• dx+C, кото + С1 , и обозначается Ф (х). Таким образом, Ф (х) /;i f е-х Так, например, та из первообразных рая обращается в нуль при х=О, называеrся фунtсцией Лапласа = 2 dx если Ф(О)=О. Эта функция хорошо изучена. Составлены подробные таблицы ее значений при различных значениях х. Как это делается - мы увидим в § 21 гл. XVI (т. II). На рис. 208 и 209 изображены график подынтегральной функции у= е-х 2 и график функции Лапласа у= Ф (х). *) fl-sin 2 на одном случае: z=I cos z 1: мы 1cos z 1= cos z. для определенности останавливаемся лишь (ГЛ. Х НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Та из первообразных sV l -k sin xdx+c (k < 1), 2 2 которая обращается в ну ль при х = О, называется эллиптическим интегралом и обозначается Е (х): Е (х) = ~ J/l-k 2 sin2 xdx+ С11 , если Е (О)= О. Для этой функции также составлены таблицы значений при различных значениях х. Упражненив к rпаве 1. Вычислить интегралы: 5 S(-.r~ х5 dx. 1. 3. : 6 5 2xfx х2 +Отв. 2 3 -+с. (х+ Ух) dx. 2. Отв. _x~x)dx. 6Yx-t~x2 Yx+c. 4. s~~. Отв. s(х~ +х;х+2) Отв. ~ у; +2х+С. sv-;· Отв. х; +: х Vxi+зVx+c. }';з+с.- s(х + J~ у : xt Ух+С. Отв. х:6 +с. Отв. Х dx. 5. 2 7. - - 8. 2 dx. Интегрирование методом подстановки: 8. Se5Xdx. cosax Отв.~ е5х+с. Отв. --а-+с. ctg Зх -3 -+с. 13. 15. s J/\· Отв. t7,Stg2xdx. Scos5xdx. Отв. sin/x +с. 51пх 1 xdx. Отв. 2 1n2 х+С. 11. 12. 5 10. 5 sinaxdx. dx 5 slnaзx. Отв. I 1 dx () tg 7х cosdx 2 7х. Отв. 7-+с. 14, ~ . тв. 3 Jn Зх-71+С. -lnll-xl+C. 16. Отв. отв. з1n\s1n; \+с. Отв. ln\s1nex1+c. ~ \+с. 5 d~x. Отв. S -:ln/cos2x/+ C. t 5 ln I sln (5х-7) l+C. -41n\s1n 9. s 5tgcpsec cpdcp. s Отв. Отв. ~ tg 2 q>+C.2!. S<cigex)гxdx. S(tg4S-ctg ~ )ds. Отв. ln\cos4S12 23. 24. Sctg(5x-7)dx. dyЗу. Отв. - 1 ln I cos Зу l+C. 20. ctg 3х dx. ctg 3 19, 21. 18. - : lnl5-2x l+C. Ssln xcosxdx. 2 -1 Отв. ~+с. 25. J cos3 xslnxdx. . Отв. _cos"x+c. 2в.5vx2 +1xdx. Отв. 31 У(х2 +1)3 +С. 27. S-.rxdx ~~ 4 5cosxdx 2 "r-x2 dx ~ 1 ~Отв. - , х3+ 1 +с. 29. ,r--. отв - у2х2 +з+с. 28. J s r . 2 хз+ х dx sln - -- • 1 3 1 1 1С. Отв. 2 30. cos2 х cos3 х sin х · ---+С. Отв. tg2x+c. 32. ctg2x dx. Отв. _ctg22x+C. 33. sln х 2 Отв s 31. J sш х tg х - 2- dx. х cos s ;~ . cos 2 x tgx-1 УПРАЖНЕНИЯ Отв. 2 У tgx-i+c. s Э5. Отв. У 2atnx+l Отв. 2(l+~os2x)+c. Y t g 1 dx. :+ S 38. Отв. ~х f 37. s Отв. lnZ :dx. Оmв. 3 Y(tg х+ 1)3 +С. ln; х +с. х dx О arc,tg х+с 44 Sarctg l+xa • тв. 2 • • 2 43. 45• S Jxz+ 2 x+зdx. 47. Отв. Оmв. ~ ln(2smx+З)+C. Отв. (х2+ 5 s l)G +с. 1 Оmв. -3 arccos х dx. J1Yl-xa 2 55. S" Отв. ~ dx ~г-1-х 2 arcsfn х Отв. ~ е2 х+с. Отв. esinx+c. 62. s(е Х) Отв. 2 2 dx. Отв. - s 68. S Отв. ~~ln_a__ __,_ln-ь-'-- 71. Отв. eX 2 +u+s 2+е2х. sexf &x. 3 f (е5х+а•х) Отв. 2х+ С· Отв. .,,,-\_ arctg (У2 х) +с. ; 70. cosxdx 2 sinx+з· S2x(x +1) dx. 2 -tg х+х+С. s 59. 61. Xcosxdx. Отв. aexta+c. 510 sexfadx. Отв. еХ 1 +4х+з+с. 66. 5е- 3Х dx. ~ ( eGx+~;: +с). 69. S(ах;:;> 2 dx. Sз+ dx4еХ," Отв. еХ ..!..tn(2+e2X)+C 2 · f е2х dx. se Отв. lпз;~ 1+с. dx. 4 cos2x(::gx+l)" tg•x Отв. -4-+с. cos2x 56. 2 + 3 sln 2х dx. Отв. sln (lnx)+C. Отв. 3ехtз+с. 65. 67. 50. -} sln (а+Ьх)+С. 63. s 48. s cos (lnx) ~х. Отв. 2~:1 а+с. xdx. (х+2) dx. (:)х-(:)х S~ f 57. 3 3 Jn/arcsinx/+C. 1е4Х +с. 53ХеХ dx. ~ е- 3х+с. arocos3 х+с. tg3 х f Отв. . aX 1 Отв. Отв. ln\arotgJtf+C. 53. 3х tg 54. - 2-dx. cos х Отв. 60. arcs:2x +с. xdx Отв ..!..tn(xэ+1)+C х~+ 1 • · 2 · tg4 xdx. ln/ 2+Зsin 2х /+С. Scos (а+Ьх) dx. 58. s s In!Зtgx+ll+C. 1 Оmв. 49. Sx1:x• Otn8.. lnpnxl+C. Оmв. (l+x~:rctgx· 52. 64. a~lln хх~х. 2 1n(х+2х+з)+С. 51. cos2xdx (2+3 sin 2х)3" Оmв. V co-s3-x +с. s arcctgx., .. 0 _arcctg 2 x+c 46 1+х2 ....... тв. 2 · · " x+l 1 2 s 39. ;;с::4~ 42. sln 2xdx (1 +cos 2х) 2 " Отв. 2y1+s1n 2 x+c. 2 2 <;+ 1) +с. 5 36· ys~::x• 40• 1n2 Оmв. У 2sln х+1+с. -1~ (2+3~in2x) +c. 4t. ГЛАВЕ Х 1) d Sln(x+ x+l х, 34. cosxdx I< l s~ 4 tn(3+4ex)+c . 72 · 1 +2х2 · 73,J-,r~· Отв.)_3 arcsin(YЗx)+c; 1-3х 2 , (ГЛ. Х НЕОПРВДВЛЕННЫR ИНТЕГРАJI 14. J Vl~ 9x2 76. S4 dx 8 78. S4-9ха. Отв. ~ arcsin ~ +с. • х 1 2 arotg 2 +c. +х .Отв. dx 75. sdx J 12+3х\ 12 ln 2-Зх +с. Отв. Отв. Sv Отв. ~1n/::+:l+c. S J dx 81. ьэ+аэха • ь2х2-а2 S-;;-~-,-;,,"""'. r 1-ln dx 89. х 2 х arcsш Отв. Отв. 2а2 arctg а 2 +с. 82. 2 а х -с S dx УЗ-5х2 • (sinx) 1 - - +с. -arctg Отв. s s а а х-х arccos -:;г----dх. v 1-х2 x-arctg l+xs х dx. 90. 91. 2 "r sv1+Inx 1 1 dх.Отв. -3 r (l+lnx) 3 +C. х 2 In(I+x2)- 2 (arctgx) 2 +C.92. Omв. 5vi;vxdx. 93. х Отв. 4 V 1+v х+С· Отв. зVsшх+с. 97. Отв. 95. s ~-V(l+Vx) 3 +C. 94. eXdx S1+е2х· х 5 Ух Отв. aratge +с. Vl+3cos 2 xsin 2xdx. sin 2 xdx . SVl+cos x 98. . vdx 1+vx cosxdx s Vsш2x· 96. Отв. - 92 V (l+Зcos2x)3 +C. Отв. -2 У 1+cos2 x+c. cos S-in s 3 99. 4 2 t 1 Отв. ----+с • 3sin 8 x sin х 101. S2 sin х+з х Отв. у~ arctg( x+l 1 2 arctg-2-+c. 103. coi:, 2 х. Saxs+ Ьх+с dx: Sx2+ dx2x+s· 102. Ах+в Отв. Зх-1 1 Отв ...r - arctg "r- +с. 104. " 11 " 11 Sх2 -6х +5 • dx Отв. dx. S~ cos 100. dx 2 Интегралы вида 105• 2• х2 \ 87. (lnx)+C. 1-х 2 +С. - 21 (arccosx) 2 +r"г.-----::. Отв. 6; 5 J .х4+а•. s . dx у xz +9· s~ 1nl~=~;l+c. xdx '(• Отв arcsineX+C. eXdx . v1-e2x· . у5 1 . 2 • - coi:,xdx -3 х+С. 88. Отв...г- arcsш 2+ sш х а r 5 86. +c. Отв. ь1 lntьx+YЬ2 x2 -a 2 1+c. S:а;. Отв. 83. f 79. 2 +a 2x2 1+c. 1-1n\ax+vь а l xdx 2 Vt-x•. Отв. 2 arcsin х +с. 85. 84. • +с. arcstn ; Зх I 6 arctg 2 Отв. 9х8 + 4 • 77. lnJx+Y х2 +91+С. 80. Sv dx Отв. Jу~. Отв. Отв. s х dx s+з dx, х+с. у: tg х )+с. s dx Зх2 _ 2х+ 4 • 1 ln 12х+З-У51 у- +с, + l • Отв...г2х+з+ 5 5 х-51 +с. 4 Iх-1 l 1: 53 Vtg• х х ,, 1 б&. s dz 2z 2 -2z+ 1 • УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ Х 5 dx Зх2- 2х+ 2 . arotg(2t-l)+c. 107. Otn8. 851 Отв. I s s dx SЗx2 _ 77)x+ll. (Зх-2) (6х- З 2 2 In(x -x+l)+ Отв. 2х-1 1 уз arctg уз +с. 111. 5 5 s dx 5'х>I-Зх+ 2 . lnl3x2 -7x+II l+C. 109. Отв. 10~-3 11 3 2 110. Отв. 10 In (5х -Зх+2)- 5 УЗl arctg у 31 +с. 108. Зх-1 УБ arctg УБ +с. Зх-l х2 -х + 1 dx. 7х+ 1 бх2 +х-l dx. Отв. 1 -x+ 2 dx. Отв. 5 In(5x2-x+2)Sx22x-l х2 6x4-5r'+4x2 tox-1 8 113. .. г- arctg~+c. 2 + 2х2 -х + 1 dx. Отв. х3-1' 39 5 1' 39 dx 4x-l l 1 2 +с. 114. 2 arctg "г+4 ln 12х -х+ 11+ 2 ,rcos 2 х + s 1n xcosx+ s1ns х • 1' 7 1' 7 2tg x+l 2 Отв. у 7 arctg у 7 +с. 1 2 3 tnl3x-l l+ 2 In12x+ll+C. 112. Интегралы ви,в:а S.r 1.15. Отв. dx f J 1' 2-Зх-4х 2 lnlx+21 2 SУ х(Зх+5) • dx 119. Отв. Отв. 4 dx SУ 2-Зх-х 1 Отв. arcsln Отв. 1 arcsln 6х+7 "г-+ С . ..г1' 109 1' 3 s 2х+з "r- 2х-1 125. 126. r J " у 4х2+4х+з Inl2x+l+V4x2 +4x+з/+c. 7 S 124. s s .r (х+З) dx (х-З)dх У з+66.х- 11х 2 1' з+4х-4х 2 • Отв. + • Отв. - 41 уз~+-4-х-~4х....,..:1 зх+5 Отв. Jtx(2x-l) dx. 3 "r-2- 2 1' 2х -х+ :;_ ln/4x-1+ Jt8(2x2 -x} l+c. 1' 2 11. Интегрирование по частям: 127. Jxex dx. 129. . ln/s+a+ п lnl6x+s+fl2x(Зx+5)/+c. Отв. f +тarcsln-2-+c. 4 1' 5-7х-3х 2 '="'="""=""'_ _ - 111 УЗ+66х-11х2 +С. + dx ..r dx -=r;:::;::===;:~• У i+x+x1 Отв. • dS r"r 2as+s:1 J" 117. s s 116. • ..r dx 121. +с. 1' 5х 2 -х-1 "..,..,17 dx. "r 2 ~х+ь ..;- ln/ 10x-l+f20(5x2 -x-l)l+c. 122. ах 2 +ьх+с " 5 (х+З) dx • Отв. 41 у 4х2 +4х+з + 2 у а.х2 +ьх+с +с. 123. -::,::;;===:===-. 120. 5 118. dx1 8х+З . Отв. -2 arcsln "г- +с. 1' 41 +vx +x+1l+c. 11 1' 2aS+s +с. + "r + Ах+В у а.х•+ьх+с l 5 Отв. ех (x- l)+C. 128. Sxlnxdx. ~ xsinxdx. Отв. slnx-xcosx+C. 131. ~ arcslnxdx, 130. Отв. ~ х2 ( lnx - ~ )+с. ~ lnxdx. Отв. x(lnx-l)+C. Отв. xarcslnx+Yl-x2 +C. 132, sln(l-x)dx. 352 [ГЛ. Х НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Omв.-x~(l-x)ln(l-x)+C.133. Sxarctgxdx. 134. Отв. Sxnlnxdx. Отв.:~: (tnx-n~l)+c. [(x 2 +1)arctgx-x]+C. ; 1[(2х2 - 1) arcsin х+х Vl- х2 ]+с. Отв. - ,rr х+С. .f 5 139. s arcsin Ух 138. ai:csin Yx~l х cos 2 х dx. -Отв. 140. , r - -2 Отв. х2 s х 143. 5 х2)з J х arcsin х V1-x2 dx. ,r -х 2 -1 dx. arctg r Отв. Jn 1 Отв. 11- 2 Ух1- х2 ,r -х 2 - 1- ar~.tg " l x 2 -xarcsmx+C. 1 Отв. x·1n(x+YI+x2)+y1+x2 +c. arcsin х 1 11-х1 Отв. + 2 1n I+ +с. ·145. 51n(x+Vl+x2 )dx. Sarcsin у (xdx 1147. SVaLx2 141. sx arctg х х 1 (x 2 +I)2 dx. Ощ. 4 (1+х2 ) + 4 arctgx- arcsin х -x-2-dx. 1 ух 2 -1+С. -2 144. 146. у x~l-Yx+arctg Ух+С. xarcsin . 1 1 Отв. х- r 1-х arcsшx+C. 142. х - 2l arctg 1+N 2 +с. Отв. (x+l)arctgVx- т+тх SlП 2х+в cos 2х+с. • Отв. ,rdx. Отв. 2 ,rr х arcsin ,r,- х+2 ,- 1-х +с. Ух dx. ~ Jn (х 2 + 1) dx. 136. sarctgyxdx. xln(x 2 +1)--2x+2arc.tgx+c. 137. Sxarcsinxdx. 135. v-1- . х2 х nрименитъ триrонометрические подстановки в следующих примерах: х arcsin-+c. 148. Va 2 -x2 dx. Отв. - - - - 2 х х х ,r-- 1 2 а ,r- 1 4 Отв. 2arcsin---x r 4-х2 +-х3" 4-х 2 +с. Отв. _ 2 vт::+=х2 +с. х у 151. dx (а2+х2)з . 150. sу~ х Отв. 2 а 2 2 s .r dx х2 r 1 +х2 , Отв. V x2 -a2 -aarccos~+c. dx. х 149'. J•х ,r-r 4-x dx. х 1 , r - - +с. а2+х2 " Интегрирование рациональных дробей: 2х-1 l(x-2) 1 r xdx S(x-l) (х- 2 ) dx. Отв. ln х==г +с. 153, J(x+ I) (х+З) (x+S)" 3 152. Отв. (х+3) 6 1 8 1n /x+5-l•lx+I I +с. х2 (х-2)• 1 +ln 1 (х+ 2 )3 +с. 155. 16 Inlx+21+C. + 3 157. 156. Sx3- x + х-8 4 2 4xdx. 4х+З х2 s s 154. s х 5 +х4 -8 х3- 4х dx. х3 х2 Отв. 3 + 2 +4х+ х 4 dx х2 1 1х- 1 1 (x 2 -l)(x+ 2 ).0mв. 2 -2x+ 6 1n 1 x+llз+ Отв. Отв. 2 (х+ 1) 2 +In(x+ 1) 2 +с. 2 +с + ln ( х+4) х+ 2 • 160. dx (x-J)a(x2). Отв. <х-2) 2 3 x- 2 +In -х-2-+с. 159 · 5 s(х+2) (х+4) х2 dx dx х (х 2 + l). 2 1 1х=7 х-21 +с. x-l+In 158. 5 х(х+l)з dx. Зх+2 5х+ 12 2 • Отв. - х2 +6х+В + 1х 1 Отв. ln У х2 + 1 +с. 353 УПР.А)RНЕНИ51 1{ ГЛАВЕ Х Интегрирование иррациональных функций: v-х ,. -v- i J 170. 171, Отв. 173. х3+1 : [V x3-In ( tГхз+ 1)]+с. Отв. dx. :rx dx. Отв. 272 v-х"- 132 12/ v-;+• 13 ух +С. 172. Jrvxi6 t,r; V - v-dx· -v- v 6 1v- х х v·_ _x+I х+У dx. Отв. 6 5 v-; х. - "г3 -'¼Г"i у xQ+4 r х-6 2 ) 3 (3/- ) у x+i + 2 In jt х+1 +Зarctg +6 V -x-91n (6/174. 1 • х Jr -.Jf/ 1+хх d:, 175, S-.у 176. 5Vv;+V; /"l-x dx l+xx· х+с ln 1 YI+x+YI-x 1+с. /"'i"=x \ Yr::F'x- 'Jl1=x [14r I 14 у х-2 v- , 14г;x~--:r v -. Отв. у х2 - ~ x-2 l+c. 12 Н. С. Пискунов, т. 1 J/v х+ +с. ~l+x I yi=xi ~r=x+ х 1-х- I+x Отв. Отв. 2arctg у J+x+In х8+ ~ tµ. v- 1 х +зу + ~~]+с. 177. SJf 2x+з; dx. Отв. узх2- 7х-6+ 2 ~ 3 4- х5 х7+ ) (12/12 +~+2lnx-24ln v х+1· +с. 2+vзrх х+ 1 ln 2х + iх- ~ + НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 354 Интегралы вида S ,r 178. SR (х, f 180. S ,r dx . r 2+х-х2 х 3 ___ 2 Отв, - х 2 + 4х-4 r ./-=-+с. 2 r 2х-х 184• . . Отв. r x-r..'::--. х2 - l s 185, s .,dx х+ Отв. r r 2х+х 2 l+c. 3 cos х dx, Ssinix 3 х +41 sin2x+C. Отв, х -tg22-+tnjcosx/+C. 4 Ssec xdx. 8 7 Отв. s sln 4 xdx, 202. s 198. ctg 5 xdx, 204• Отв. Отв. 3 - r dx сов cos 2 х dx, 4- . х 8 Отв. Sv--. sln 3 х dx cos 4 x 197, 201. s Stg xdx. 3 · tg 4 xsec4xdx. l 1gx+3 tg:ix+c. 203. 3 +с. - 4l ctg 4 x+ 21 ctgax+ ctg 2 х - -2--ln/slnx/+C. 3tg -+tg x -+x+tgx+c. 5 5 s s 3 sln 2х sin 4х 8 х--4-+ 32 +с. Отв. Зx-sin 4х+ s1nв9x) +с. 1; 8 ( - 7х tg1 193, l ( sin 3 2х 3 . ) 16 5x+4sin2x--3- + 4 sm4x Sctg xdx. 199. tg5 х +5 +с. Отв, C-cosecx. Отв. 4 +Infsinxf+C. tg7 х у~ dx~ 5 cosecx- 3I cosec 3 х+с. Отв. 6 Отв. - s 1 1 5 x+-rcos 7 х+с. cos 4 xsin 3 xdx. Отв. -5cos 194, 196, 200. dx. Ssln xdx. Отв. -cosx+ s Отв. Scos xdx. Ssin xcos xdx. 195, хУ 1+х+х2 188. ; cos3 x-~x+C. 190. cos 5 x 2 sl-V 1+х+х2 х 2 +4х +зcos3 x--s-+c. 191. Отв. x+v.~+x+x2 /+с. r l+x+x2 ,r8_ _ +1n / х+2+ у х2 + 4х /+с. Ssin xdx. Отв. 2 Отв. • 2+х+ ,r-l-+c. 187. Интегрирование тригонометрических функций: 189, (2х-х 2 ) 3 d х, 21 [(x-l)Y2x-x2 +arcsin (x-l)]+c. Отв. lnl lnl 2+x-2~1+x+x2 От11, ~х х х22 + 2х y"-x2 - I - 21 In\x+Vx2 -l\+c. • x+i_ _ dx, (2x+x 2 )V2x+x2 Отв. Отв. Отв, (t+x), l+x+xa Vx2+2x s 183. Sv2x-x2 dx. J 192. s -21 arosin х-2 ,r- +с. 181. х r 2 'J,'x 2 +2x+ln\x+1+Jf"x2 +2x\+c. 182. у ,r dx х Отв. 186. dx: 1 у-х2_-х_+,....,.з- уз 1 1 + .r- +с. r 3 2r 3 1 1 f2+x-x +f2 1 1+с. ,r- ln + 2 ,rr 2 х r 2 . Отв. ,r- ln хrх2 -х+з 179, У ах2 +ьх+с) 1 dx (ГЛ. Х Отв. 5COS s-.-.-dx. COS Х sm• х G/з -1/з -х+з cos х+с. УПРАЖНЕНИ,Я 205. Ssinxsin3xdx. sln4x ГЛАВЕ Х sin2x Отв. -8 -+4 -+с. sin l lx sin 3х Отв. --и-+6 -+с. 208. I< Ss1n 41 xcos 43 xdx. 207. 5 206. 355 s cos4xcos7xdx. cos 6х .cos 2х Отв. --и---4-+с. cos 2х sln 4х dx. cos х 1 Отв. - 2 -+cos 2 x+C. 209. s dx 4 -бsinx. х tg 2- 2 (' d 1 1 1 Отв. 3 ln - - - - +с. 210. J 5 _ 3:os х. Отв. 2 arctg 2 tg ; +с. 2 tg~-1 1 2 211. Sl+ . 213. s/ sin х dx sшх COS 2 . Отв. ---+х+С. 212. 1+tg .!!._ cos х dx l+ cos х 2х • Отв. x-tg- +с. 2 1n+2~ Х s 4 SШ Х dx. Отв. Отв. l х t 3 х 2 tg 2 +6 tg 2 +с. +; 2 arctg(};) ]+с. 216. arctg (2 sin 2 x-t}+C. 215. s dx slnax+tgax· J1 ~~::а х dx. Отв. 214. Отв. )2 • JГ (l +dx COS Х - l [ 2 ctgx+ f2arctg(~)-x+c. ГЛАВА XI ОПРЕДЕЛЕНllЫй ИНТЕГРАЛ § 1. Постановка з.адачи. Нижняя и верхняя интегральные суммы Мощным средством исследования в математике, физике, меха ник~ и других дисциплинах является оп редел е н н ы й и н тег р ал - одно из основных понятий математического анализа. Вычис ление площадей, ограниченных кривыми, длин дуг, работы, скорости, пути, моментов инерции и т. д. объемов, сводится к вычислению определенного интеграла. 0 .J:q=ll ,Zj -Zz Рис. ll ~1 ~-..IJ tZ' 2IO. Пусть на отрезке [а, Ь] задана непрерывtrая функция у= f (х) (рис. 210 и 211). Обозначим через m и М ее наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке. Разобьем отрезок [а, Ь] на п частей точками деления а=Х 0 , х 1 , х2 , ••• ,хп-~• Хп=Ь, при чем х0 <х1 <х 2 < <хп, и положим х1 -х0 =Лх1 , Х2 -Х 1 = = Лх 2 , ... хп - Хп-~ = Лхп. Обозначим, далее, наименьшее и наи большее значения функции f (х) на отрезке [х0 , х 1 ] через m1 и М 1 , на отрезке [х1 , х2 ] ч.ерез m2 'И М 2 , ••• , на отрезке [хп-н хп] через mn и Мп. Составим суммы ••• , п Sn=m 1 Лx 1 +т2 Лх 2 + ... +тпЛхп = ~ тiЛх 1 , - i=t (1) п s,.=М:~Лх1 +М 2 Лх 2 + ... +МnЛхп= ~ МiЛх 1 • 1=1 (2) § 357 НИЖИ.Я.Я И ВЕРХНЯ.Я ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СУММЫ IJ Сумму ~п называют нижней интегральной суммой, а сумму sn - верхней интегралыюй суммой. инте, ральная сумма численно f рав (х) ~ 6, то нижняя Если няется площади «вписащюй ступенча-rой фигуры» AC0 N 1 C1 N2 ••• . . • Cn_ 1N пВА, ограниченной «вписанной» ломаной, верхняя ин тегральная сумма численно пенчатой фигуры» равняется площади «описанной сту АК0С1К1 ••• Сп-1Кп-1СпВА. ограниченной «описанной» ломаной. Оrметим некоторые свойства верх них и нижних интегральных сумм. mi ~ Mi для любоrо i (i = l, 2, ..• , п). то на основании формул ( l) и (2) имеем а) Так как (3) (Знак равенства будет ТQJ1ЬКО в случае, если (х) = const.) f б) Так как т1 ~ т. т2 ~ т.,. значение f (х) на [а, Ь], то ~п = m1 Лх1 +mzЛx: Рис. 212. ·: ..• тп ~ т. где т - наименьurее + ... + тпЛхп ~ тЛх1 + т Лх2 + ... + тЛхп = = m(Лх1 +Лх 2 + ... +Лх11 ~=m(Ь-а). Итак, !п ~т(Ь-а}. (4) в) Так как М 1 ~М. М 2 ~М •...• Мп~М, где М-наиболь шее значение f (х) на [ а, Ь]. то S,. = М 1Лх1 + М 2Лх2 + ,.. + МпЛхп ~ МЛх 1 + МЛх 2 + ... + МЛхп = =М (Лх1 +Лх 2 + ... +Лхп) =М (Ь-а). Итак, sп~М (Ь-а). (5) Соединяя вместе полученные неравенства, имеем т(Ь-а) ~~п ~sп ~ М (Ь-а). Ес.11и f (х) ~ О, (6) то последнее неравенство имеет простой гео метрический смысл (рис. 212), так как произведения т (Ь - а) и М (Ь - а) соответственно численно равны площадям «вписанного» прямоугольника AL 1L 2 B и «описанного» прямоугольника Al1[ 2B. [ГЛ, ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 358 § 2. XI Определенный интеграл. Теорема о существовании определенного интеграла Продолжим вопроса рассмотрение предыдущего параграфа. В каждом из отрезков [х 0 , х 1 ], [х1 , х 2], • , . , [хп-t• хп] возьмем по s1 Х1, точке, которые обозначим s1, s 2, .•• , Sn (рис. 213): х 0 < < y=/{.r) ll '11 Рис. Xt < S2 < Х2, • • • • Хп-1 < Sn < Хп. лим значение функции / 213. В каждой из этих точек вычис (s1), / (s2), • • • t / (sп) • Составим сумму п sп = f (s1) Лх1 + f (sJ Лх2+ ~ •• + f {sп) Лхп = ~ f (sд Лх1, t=I (1) f Эrа сумма называется интегральной суммой для функции (х) на принадлежащем отрезке [а, Ь ]. Так как при произвольном отрезку [x1-1t Х1], будет mj ~ f (s;) ~ М; Si, И все Лх1 > о, то т1 Лх 1 ~ f (si) Лх 1 ~ М 1 Лхi, следовательно, или (2) Геометрический смысл последнего неравенства при f (х) ~ О состоит в том, что фигура, площадь которой равна sn, ограничена ломаной, заключенной между «вписанной» ломаной и «описанной» ломаной. Сумма sn зависит от способа разделения отрезка [ а, Ь] на отрезк1;1 [х,_ 1 , xi] и от выбора точек Si внутри получающихся отрезков. наибольшую из длин от Обозначим теперь через max [xi-i• xil резков [х.,, х1 ], [хн х2 ], ••• , [хп-~• хп]• Рассмотрим различные разбие ния отрезка [а, Ь] на отрезки [xi-i• х 1 ] такие, что max[xi-I• xtJ-0. Очевидно, что при этом число отрезков п в разбиении стремится к бесконечности. Для каждого разбиения, выбрав соответствующие значения 1, можно составить интегральную сумму s п Sп = ~ i=l f (s,) Лх1, (3) ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ §2) 359 Рассмотрим некоторую последовательность разбиений, при ко торых max Лх 1 -,. О, при этом п-,. оо. При каждом разбиении Предположим, что эта последовательность выбираем значения интегральных сумм *) s; стремится к некоторому пределу ;i. п s;; = lim maxлxl-+O lim ~ maxлxi-+Oi=I f (;;) Лх1 = s. (4) Теперь мы можем сформулировать следующее Оп редел е ни е 1. Если при любых разбиениях отрезка [ а, Ь таких, что max Лхi-,. О, и при любом выборе rочек ;; на отрез 1 ках [xi-t• Х;] интегральная сумма п Sn стремится = ~ f (;д Лх1 и тому к одному (5) '=' же s, пределу то этот предел назы f (х) на отрезке [а,. Ь] f= f (;i) Лх1 = ~ f (х) dx. (6) вают определенным интегралом от функции и обозначают ь ~ f (х) dx. а Таким образом, по определению ь lim max дхi ~ О , а 1 Число а называется нижним пределом интеграла, Ь - верхним пре называется отрезком интегриро делом интеграла. Отрезок [а, bJ вания, х-переменной интегрирования. Оп редел е н и е 2. Если для функции f (х) ствует, то функцию называют интегрируемой предел (6) суще на отрезке [а, Ь]. Заметим, что нижняя интегральная сумма !пи верхняя интег- sn являются частными случаями интегральной сум ральная сумма (5), поэтому если f (х) интегрируема, то нижняя и вер~няя мы интегральные суммы стремятся к тому же пределу основании равенства (6) s, и потому на можем написать ь lim max лх 1 -+ О f т;Лх 1 = ~ f (x)dxt l =1 (7) а ь ,lim max лх 1 -+ О fм 1 Лх1 = ~ f(x)dx. , =1 (7') ; *) В данном случае сумма является упорядоченной переменной величиной. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ .360 [ГЛ. Если nостроить график подынтегральной функции у= в случае (х) ~ О интеграл f XI f (х), то ь ~ f (х) dx а будет численно равен п л о щ а д и так называемой криволинейной трапеции, ограниченной указанной кривой, прямыми х= а, х Ь и осью Ох (рис. Поэтому = 214). если требуется вычислить площадь кривой у= f (х), трапеции, ограниченной и осью Ох, то эта площадь У криволинейной прямыми х помощью интеграла: Q = а, х= Ь вычисляется с ь (8) Q=~f(x)dx. а о а ь Р ис. 214 · :с Докажем следующую важную теорему. Т е орем а 1. Если функция (х) непрерыена на отрезке [а, Ь], то она интег- f рируется на атом отрезке. Доказательство. Снова разобьем от резок [а, Ь] (а< Ь) на отрезки [х 0 , х 1 ], [х 1 , х 2 ], ••• , [x-i-i, х;], •.. • . . , [хп-~, хп]· Составим нижнюю и верхнюю интегральные суммы: п Sn= - ~ т1Лхi, (9) i=I п sп= ~ М;Лх1 • (10) i=I Для дальнейшего установим некоторые свойства -верхних и нижних интегральных сумм. Свойство 1. При увеличении числа отрезков, на которые мьt разбиваем отрезок [а, Ь] путем добавления новых точек деле ния, 1-1,ижняя интегралышя сумма может только возрастать, а верхняя интегральная сумма только убывать. Доказательство. Пусть отрезок [а, Ь] разбит на п' отрез ков путем добавления новых точек (п' > n). Если какой-то отрезок [xk_ 1 , xk] будет разбит на несколько отрезков, например, на Р1е отрезков, то в новой нижней интегральной сумме Sn, отрезку [х 11 _ 1 , Х1е] будет соответствовать Р1е слагаемых, которые-мы обозна чим через ~k. В сумме ~п этому отрезку соответствует одно слагаемое mk(x1e-X1e_ 1 ). Но для суммы ~;k и величины m1e(X1i-xk_ 1 ) справедливо неравенство, можем написать аналогичное неравенству (4') § 1. Мы 36) ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ §2) Написав соответствующие неравенст-ва для каждого отрезка и сум мируя левые и правые части, ~n' получим ~ ~п > n), (п' (11) Свойство 1 доказано. Свойство 2. Нижняя интегрируемая сумма (9) и верхняя интегральная сумма (10) при неограниченном увеличении числа отрезков путем добавления новых точек деления стремятся к не s. которым пределам s и До к аз ат ель ст в о. На основании неравенства (6) § 1 можем написать: ~п ~М (Ь~а), т. е. sn ограничена при всех п. На основании свойств 1 sn моnо тонно- возрастает при возрастании п. Следовательно, на основании теоремы 7 о пределах (см. § 5 гл. имеет предел; обозначим его через II) эта переменная величина ....s: lim sn = s. n• се - (12) - sn Аналогично устанавливается, что ограничена снизу и моно тонно убывает..:. Следовательно, sп имеет предел, который мы обо значим через s: lim n• С в о й ст в о 3. .., S:= s. Если функция s, f (х) непрерывна на замкнутом отрезке [а, Ь ], то пределы s и определенные в свойстве 2 при условии, 11.то max Лхi-➔ О, равны. Этот общий предел обозначим через s: (13) S=S=S. До к аз ат е л·ь ст в о. Рассмотрим разность верхней и нижней интегральной суммы: s,.-~n = (М 1 -т 1) Лх1 + (М 2 -т2) Лх 2 + ... + (М 1 -mд Лхi+ .• ~ ... + (Мп-тп) Лхп = Обозначим через tn п ~ (М;-тд Лхi. (14) i=l наибольшую из разностей M;-mi при данном разбиении: tn = max (Mi-m;), Можно доказать (на чем мы останавливаться не будем), что если функция f (х) непрерывна на замкнутом отрезке, то при любом ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 362 [ГЛ. Х[ способе разбиения отрезка {а, Ь] вп-+0, еслиюлько mахЛхг-+0: вп lim mахлх 1 ➔ 0 = О. (15) Свойство непрерывной функции на замкнутом отрезке, выра жаемое равенством (15), называется раsномерной непрерывностью функции. Иrак, мы будем пользоваться теоремой: Непрерывная функция на замкнутом отрезке раsномерно непрерывна на этом отрезке. Вернемся к равенству (14). Каждую разность Mi-mi в пра вой части заменим не меньшей величиной еп. Получаем неравенство S,,-!._п ~ Вп Лхl +еп Лх2 + ... +вп Лхп = = вп (Лх1 + Лх2 + ... + Лх") = Вп (Ь-а). Переходя к пределу при lim mахлх 1 ➔ о max Лхi-+ О (п-+ оо ), получаем (sп-sп) ~ lim вп (Ь-а) = (Ь-а) mахлхг+О iim mахлх 1 -+О Вп =0,(16) т. е. (17) s =S =S, что и требовалось С~ о й с т в о 4. Пусть !.п, и или доказать. sn, - нижняя и верхняя интеграль ные суммы, соответствующие разбиениям отрезка [а, Ь] на п 1 и соответственно на п 2 отрезков. Тогда имеет .место неравенство (18) при любых п 1 и п 2 • До к аз ат ель ст во. Рассмотрим разбиение отрезка [а, Ь] на n8 =n1 +п 2 , отрезков, где точками деления будут точки деления первого и второго разбиений. На основании неравенства {3) § 1 имеем (19) На основании свойства I имеем sn ~sn. - sn,~ sп,· _ Пользуясь соотношениями венство {19): 1 _ (20) (20) 8 и (21) (21), можно расширить нера § 363 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 2J или что и требовалось доказать. J, С в ой ст в о 5. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь то при любой последовательности разбиений отрезка [а, Ь] на отрезки [xi-i, точек деления, xi], если не обязательно путем присоединения новых только max Лхi-+ О, нижняя интегральная сумма s::i и верхняя интегральная сумма определённому в свойстве 3. До к аз ат ель ст в о. s~ стремятся к пределу s, Рассмотрим последовательнос2ь разбие ний последовательности верхних интегральных сумм sn, опреде ленных в свойстве 2. При любых значениях пит (на основании s:n s,.. неравенства (18)) можем написать ~ Переходя к пределу нри n-+ ~. на основании (15) можем написать s:n ~ s. Аналогичным способом докажем s Итак, ~s~. или s-s:n ~ о, s:n-s ~ о. Рассмотрим предел разности lim mахЛх;-,.О (22) Так как функция (si:z-s;). - f (х) непрерывна на замкнутом отрезке [а, bJ, то (так же как и при доказательстве свойства 3) докажем (см. равенство (16}), что lim max Лхс+О <s:n -s~) = О. - Перепишем последнее соотношение так: lim Ц)ЗХ Лхi ..... о [(s~-s)+(s-s~)]=O. - На основании (22) каждая из разностей, стоящих в квадратных скобках, неотрицательна. Следовательно, lim max и Лх; ➔ О окончательно (s~-s) = О, max lim Лхi ➔ О получаем lim max S~=S, Лх; ➔ о- lim (s-s~) = 0 1 - -. Sm= S1 (23) что и требовалось доказать. Теперь можно доказать Пусть f (х) и сформулированную выше теорему. непрерывна на отрезке [а, Ь]. Рассмотрим произволь- ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ З64 (ГЛ. XI 11 ную последовательность интегральных сумм sn = ~ ( (sд Лхi та t =• кую, что maxЛxi-+0, ;i-произвольная точка отрезка[хi_ 1 ,х;]. Для данной последовательности разбиений рассмотрим соответ ствующие последовательности верхних и нижних интегральных сумм sn и sn. Для каждого разбиения будут справедливы соотно шения (2); Переходя к пределу при max Лхi - О (23) и теоремой 4 § 5 гл. II, получаем предел, определенный в свойстве и пользуясь равенствами lim sn s, где s max Лх;-+-0 = 3. Этот предел, как уже говорилось выше, и называется опреде ь ленным интегралом Sf (х) dx. Ита_к, если f (х) непрерывна на от- (& резке [а, ЬJ, то ь lim mахлхг"о ~ f (;;) Лхi = Sf (х) dx. а (24) Отметиц, что среди разрывных функций есть как интегрируе мые. так к неинтегрируемые. 3 а меч ан и е 1. Отметим, что определенный интеграл зависит только от вида функции (х) и пределов интегрирования, но не f от цеременной интегрирования, которую можно обозначить любой буквой. Поэтому, не изменяя величины определенного интеграла, МОЖ!НО заменить букву х любой другой буквой: ь ь ь Sf(x)dx= Sf(t)dt= а ••. а 3 а меч а н и е 2. = Sf (z)dz. а При введении понятия определенного инте ь грала S f (х) dx мы предполагали, что а< Ь. В случае Ь < а приа мем п о о п р еде л е н и ю Ь а Sf {х) dx = - Sf (х) dx. а Ь 0 Так, например, 5 Sx dx=-Sx dx. 2 2 6 О (25) § 21 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 365 Замеqание 3.Вслучаеа=Ьполагаем по определению, что для любой функции f (х) имеет место (26) Это естественно и с геометрической точки зрения. В самом деле, основание криволинейной следовательно, и площадь трапеции этой имеет длину, равную нулю, криволинейной трапеции равна нулю. ь Пр им е \t 1, Вычислим интеграЛ' ~ kx dx (Ь > а). а Р е ш е н и е. Геометрически задача эквивалентна вычислению площади Q трапеции, ограниченной линиями y=kx, х=а, у=0 (рис. 215). Функция y=kx, стоящая под знаком интеграла, непрерывна. Следова тельно, для вычисления щ1ределенного интеграла мы вправе, как это было замечено выше, произвести разбиение отрезка (а, Ь] произвольным способом и произвольно выбрать промежуточные точки вычисления определенного интеграла ба построения интегральной суммы ния стремился к - не 6k· Результат !/ зависит от спосо• 11=:rt - лишь бы шаг разбие нулю. Делим отрезок (а, Ь] на п равных отрезков. I I о Рис. 215. х 1 х1 Рис. Ь х 216. Ь-а Длина Лх каждого частичного отрезка равна Лх=-п-; это число и будет = шагом разбиения. Точки деления имеют координаты х0 =а, х 1 =а+лх, х 2 =а+2Лх, ... , Хп=а+плх. В качестве точек возьмем левые концы каж дого отрезка: Sk s1=a, s2=а+лх, sз=а+2Лх, •.. , Sп=а+(п-l)Лх. (1). Так как f (Si) = ksi, то sп =ks1 лx+ks2 Лх+ ... +ksп Лх= =fшЛх+[k (а+Лх)] лх+ ... +{k (а+(п--1) Лх]} Лх= =k {а+(а+Лх)+(а+2Лх)+ ... + [a+(n-1) Лх]} Лх= =k {па+ [Лх+2Лх+.,. + (п-1) Лх]} Лх = =k {na+[I +2+ ... +(п-1)] Составим интегральную сумму Ь-а rде Лх=-а-· Учитывая, что 1+2+ ... +(п-l) п (п-1) 2 Лх} Лх, (как сумма reo- 366 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ XI [ГЛ. метрической прогрессии), получим -k[ па +n(n-l)b-a].b-a_k[ +n-tb-aJ(ь ) -п- --п-а -п- - 2 -а . 2 Sn - Так как ь :Итак, Ь-а] Ь -а lim -п-1 - = 1 , то lim Sn= Q=k [ а+2 - (b-a)=k--2- • n • oo п п ➔ оо 2 2 Skxdx=k-2- . о2-а2 а Площадь АВЬа (рис. легко вычислить методами элемеиrrарной гео 215) метрии. Результат получится тот же. ь Пр им ер 2. Вычислить Sх 2 dx. () Решен !fe, Данный интеграл равен площади Q кривопи:нейной тр.аnеции, ограниченной параболой у=х 2 , ординатой х=Ь н прямой у=О (рис. 216). Разобьем отрезок f(}, Ь] на п рав-ньж частей точками х 0 =0 х1 ==Лх, Х2= =2Лх, ... , Хп=Ь=nЛх, Лх=Ь/п. За точки возьмем крайние правые точки каждого иs отрезков. Составим Si инrrегр,альную сумму: sn=xf лх+х~ лх+ .•. +х~Лх= [(Лх) 2 лх+(2Лх) 2 лх+ •.. +(n Лх)2 Лх}= = (Лх)з [}2+22+ ..• +п2J. !(ах п (п+ \) <2 п+ l) известно, 6 ' поэтому s п ь lim Sn=Q п • = 00 5 = ьз х2 dx=-3 • о ь Пр им ер 3. Вычислить Smdx(m=const). а Решение. ь п п Smdx= шах lim ~ тЛхi= lim т ~ а лхi-,. О i == 1 max Лхi-,. О i = Л.хi= =m lim 1 п ~ Лxi=m (Ь-а}. maxЛxi ➔ Oi=I п Здесь ~ l!,xi есть сумма длин отрезков, на которые разбит отрезок [а, Ь]. i=I При любом способе разбиения эта сумма равна длине отрезка Ь-а. ь П р и м е р 4. Вычислить Sех dx. а Решение. Хi=а+лх, .,., Снова разделим отрезок Ь-а [а, Ь] на п равных частей: х0 =а, Хп=а+п Лх; дх=--. За точки п Si возьмем левые крайние 367 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА § 3] точки. Составим интегральную сумму:: Sn=ea Лх+есz+Лх Лх+, .. +ea+<n-1> Лх Лх= =еа (1 +еы+ е2лх+ ••• +e<n-1> Лх) Лх. Выражение в скобках есть геометрическая прогрессия со знаменателем еЛх и enЛx_J Лх первым членом 1, поэтому sп=еа еЛХ- 1 Лx=elZ(enAx_t) еЛХ-l. имеем п Лх=Ь-а, = Iim 2 ... л Лх lim лх ... оех- t. (по правилу Jlоnиталя lim ,.,, z 1 2 ... ос:-- 1 ...!_= 1.) Таким образом, 0& Далее, lim sn =Q =еа n•• = (еЬ-а_ 1)-1 =еЬ-еа, т. е. ь ~ ех dx=eb-ea. а Замечание вают, что Только что рассмотренные примеры показы 4. непосредственное вычисление определенных интегралов как пределов интегральных сумм связано с большими трудностями. Даже в тех случаях, когда подынтегральные функции являются очень простыми (kx, х 2 , еХ), этот способ требует громоздких под счетов. Нахождение же определенных интегралов от более слож ных функций приводит к еще большим трудностям. Поэтому естественно возникает задача: найти практически удобный метод вычисления определенных интегралов. Этот метод, открытый Нью тоном и Лейбницем, использует глубокую связь, существующую между интегрированием и дифференцированием. Изложению и обоснованию этого метода посвящены следующие параграфы настоя щей главы. § 3, Основные свойства определенного интеграла С в ой ст в о 1. Постоянный множитель можно не выносить за знак определенного интеграла: если А= const, mб ь ь S Af (х) dx = А Sf (х) dx. (1) а Q До к аз а тель ст во. ь ~ Af (х) dx = 'а ~ lim max лк, ➔ О ~ Af (si) Лхi = l =1 п =А lim ь }: f(si)Лxi=AS f(x)dx. maxлxi ➔ Ol=I а С :в ой ст в о 2. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функцttй равен алгебраической сумме интегралов 368 ОПРЕДЕJJЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (ГЛ. XI от слагаемых. Так, в случае двух слагаемых ь ь SU1(x)+f2(x)]dx= а ь Sf1(x)dx+ St а 2 (2) (x)dx. 11 До к а а а т ел ь с т в о. ь sU1 (х) + f2<x)]dx= а п ~ [fi (s;) +f2 (s1)]Лх;= lim maxЛx; ➔ Oi=l = ma}~~ • 0 11m ~ п == max дхi ➔ О i=l [t 1 /1 Лх; + (sJ f1 (sд Лх; + J~ 1 fa (st) Лхi] = п 1im Лх; ➔ О max ~ i=1 ь f2 (si) Лх; = ь = Sf1 (x)dx + Sf2 (х) dx. а а Доказательство проводится аналогично для любого числа сла гаемых. Свойства 1 и 2, хотя и доказаны только для случая а< Ь, остаются в си.ле и при а ';;:: Ь. Однако следующее свойство справедливо при а Ь: < < С в ой ст в о 3. Если на отрезке [а, Ь], где а Ь, функции (х) и <р (х) удовлетворяют условию f (х) ~ q> (х}, то f ь ь Sf (х) dx ~ S<р (х) dx. а Доказательство. ь ь (3) Q Рассмотрим разность ь S<p(x)dx-S f(x)dx= S[ЧJ(x)-f(x)]dx= а а а Здесь каждая разность ер (sд-f (si) ;;;;,:-о, Лхi ';;:: О. Следовательно, каждое слаrаемое суммы неотрицательно, неотрицательна вся сумма ь и неотрицателен ее предел, т. е. S[q> (х) - f (х)] dx;;;;:: О, или а ь ,ь Sq> {х) dx - Sf (х) dx ';;:: О, а Если а f (х) > О и ер (х) откуда следует неравенство (3). > О, то указанное свойство наглядно иллюстрируется геометрически (рис. 217). Так как q, (х) ';;:: f (х), ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА §3) 369 то площадь криволинейной трапеции аА 1 В1 Ь не больше площади криволинейной трапеции аА 2 В 2 Ь. С в о й с т в о 4. Если т и М - наименьшее и наибольшее ·зна f (х) чения функции на отрезке [а, Ь] и а ~ Ь, то ь т (Ь-а) ~ ~ f (х) dx ~ М (Ь-а). (4) а Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию m~f (х) ~М. На основании свойства ь (3) имеем ь ь ~ mdx ~ ~ f (x)dx~ ~ М dx. а а (4') а Но ь ь ~ mdx=m(b-a), ~ М dx=M (Ь-а) а а (см. пример 3 § 2). Подставляя эти выражения в неравенство получим неравенство (4). О Рис. 217. (-4'), а Рис. 218. f Если (х) ~ О, то это свойство легко иллюстрируется геомет рически (рис. 218): площадь криволинейной трапеции аАВЬ содер жится между площадями прямоугольников aAiB1 b и аА 2 В2Ь. С в о й с т в о 5 (т е о р ем а о с р ед н е м). Если функция (х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то на этом отрезке найдется такая точка что справедливо следующее равенство: f s, ь ~ f (х) dx = (Ь - а) f (s). (5) а < До к аз ат ель ст в о. Пусть для определенности а Ь. Если т и М суть соответственно наиме11ьшее и наибольшее значения 13 Н. с. Лиекунов, ,. 1 оnРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 370 [ГЛ. f (х) на отрезке [а,Ь], то в силу формулы (4) т<_ ь 1а Отсюда ь ь Sf (х) dx <_М. а ь 1а XI Sf (х) dx= µ, где т<_µ<_М. а все f Так как (х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то она принимает промежуточные значения, заключенные между т и М. Сле довательно, при некотором значении у в s(a<. ~s~b) будетµ= f(s), т. е. А ,J~,f(~ С { f (х) dx = f (s) (Ь - а), а а. {) с Рис. ь сел .:с Свойство 6. Для любых трех чи а, Ь, с справедливо равенство ь с а а если ь Sf (х) dx = Sf (х) dx + Sf (х) dx, 219. только все эти три интеграла (6) с существуют. До к аз ат ель ст в о. Предположим сначала, что а< с< Ь, и составим интегральную сумму для функции (х) на отрезке [а, Ь]. Так как предел f интегральной суммы не зависит от способа разбиения отрезка [ а, Ь] на части, то мы будем разбивать отрезок [а, Ь] на малые отрезки так, чтобы точка с была точкой деления. ь Разобьем далее интегральную сумму~, соответствующую отрезку а с [а, Ь], на две суммы: сумму ~, соответствующую отрезку [а, с], а ь и сумму ~. соответствующую отрезку [с, Ь]. с ь с ь а с Тогда ~ f (s1) Лх1 = ~ f (s1) Лхi + ~ f (si) Лхi. а Переходя в последнем равенстве к пределу при maxЛxi-0, получим соотношение (6). Если а Ь с, то на основании доказанного можем написать < < с ь с ь о с Sf (х) dx = Sf (х) dx + Sf (х) dx или Sf (х) dx = Sf (х) dx - Sf (х) dx; а а Ь а а Ь с ь но на основании формулы (4) § 2 имеем Sf (х) dx = - Sf (х) dx, ь поэтому с ь Sf (х) dx= Sf (х) dx+ Sf (х) dx. а а с ь с ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА § 4] 371 Аналогичным образом доказывается это свойство при любом другом расположении точек а, Ь и с. На рис. 219 дана геометрическая иллюстрация свойства 6 для того случая, когда (х) О и а< с< Ь: площадь трапеции аАВЬ равна сумме площадей трапеций аАСс и сСВЬ. f > Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона - Лейбница § 4. ь Пусть в определенном интеграле 5f (х) dx нижний предел а а закреплен, а верхний предел Ь меняется. Тогда будет меняться и значение интеграла, т. е. интеграл есть функция верх нег о предела. Для того чтобы иметь привычные обозначения, верхний предел обозначим через х, а чтобы не смешивать его с переменной интег рирования, последнюю обозначим через (От обозначения пере менной интегрирования значение интеграла не зависит.) Получим t. х интеграл 5f (t) dt. При постоянном а этот интеграл будет пред- а ставлять собой функцию обозначим через Ф (х): верхнего предела х. Эту функцию мы х Ф (х) = ~ f (t) dt. (1) а Если f (t) - неотрицательная функция, то величина Ф (х) чис ленно равна площади криволинейной трапеции аАХх (рис. Очевидно, что эта площадь изменяет ся в зависимости от изменения 220). х. Найдем производную от Ф (х) по х, т. е. найдем производную определенно го интеграла (1) по верхнему пределу. Т е о р ем а 1. Если (х) - непре- f х рьюная функция и Ф (х) = ~ f (t) dt, а то имеет место равенство Ф' (х) = f (х). Х { Х+ЛХ :С о Рис. 220. Иными словами, производная от определенного интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела (при условии, что подынтегральная функция непрерывна). До к аз ат ель ст в о. Дадим аргументу х положительное или отрицательное приращение Лх; тогда (учитывая свойство 6 опреде- ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 372 [ГЛ. IС+Лх ленного интеграла) получим Ф (х+Лх) = S 1С f (t) dt = S f (t) dt а + XI + а х+Лх S f (t) dt. Приращение функции Ф (х) равно ЛФ = Ф (х + Лх) - х х х+Лх х х+Лх -Ф(x)=Sf(t)dt+ S f(t)dt-Sf(t)dt, т. е. ЛФ= S f(t)dt. а х а х К последнему интегралу применим теорему о среднем значении (свойство 5 определенного интеграла) f (s) (х+Лх-х) = f (s) Лх, ЛФ= s заключено между х где и х + Лх. Найдем отношение приращения функции к приращению аргу- мента: ~ = f <rxДх = f (s). Следовательно, Ф' (х) = lim ЛлФ = lim f (s). Но так как- s-+ х лх ..... о функции f (х) Х Лх-+0 f (s) = lim f (s), а вследствие непрерывности Лх-+0 s-+X lim f (s) = f (х). Таким образом, Ф' (х) = f (х). Teo- при Лх-+ О, то lim s-+ х рема доказана. Данная теорема просто иллюстрируется геометрически (рис. 220): приращение ЛФ (s) Лх равняется площади криволинейной тра пеции с основанием Лх, а производная Ф' (х) (х) равна длине отрезка хХ. 3 а меч ан и е. Из доказанной теоремы, в частности, следует, =f =f что всякая непрерывная функция имеет первообразную. Действи тельно, если функция t) непрерывна на отрезке [ а, х ], то, как f( х указывалось в § 2, в этом случае определенный интеграл S f (t) dt а х существует, т. е. существует функция Ф (х) = S f (t) dt. Но по доа f казанному выше она является первообразной от (х). Теорем а 2. Если F (х) есть какая-либо первообразная непрерывной функции (х), то справедлива формула f ощ. ь Sf (х) dx = F (Ь) - F (а). (2) а Эта формула называется формулой Ныотона-Лейбница *), *) Необходимо отметить, что такое название формулы (2) условно, по скольку ни у Ньютона, ни у Лейбница не было такой формулы в точном смысле этого слова. Но важно то, что именно Лейбниц и Ньютон впервые установили связь между интегрированием и дифференцированием, позволяю щую создать правило для вычисления определенных интегралов. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА § 4] До к аз ат ель ст в о. 373 Пусть F (х) есть некоторая первообразх ная от функции f (х). По теореме 1 функция ~ f (t) dt есть также а f первообразная от (х). Но две любые первообразные от данной функции отличаются на постоянное слагаемое С*. Следовательно, можно написать х ~ f (t) dt = F (х) +С*. (3) а Это равенство при соответствующем выборе С* справедливо при всех значениях х, т. е. является тождеством. Для определения постоянного С* положим в этом тождестве х а; тогда = а ~ f (t) dt =F (а) +с•, или О= F (а) +с•, откуда C•=-F (а). а Следовательно, х ~ f (t) dt = F (х) - F (а). а Полагая х = Ь, получим формулу Ньютона -Лейбница: ь ~ f (t) dt = F (Ь) - F (а), а или, заменив обозначение переменной интегрирования на х: ь ~ f (х) dx = F (Ь) - F (а). а Отметим, что разность F (Ь) - F (а) не зависит от выбора пер вообразной F, так как все первообразные отличаются на постоян ную величину, которая при вычитании все равно уничтожается. Если ввести обозначение *) F (Ь) -F (а) =F (х) \ ~. то формулу (2) можно переписать так: ь ~ f (х) dx = F (х) \: = F (Ь) - F (а). а *) Выражение \ g называется знаком двойной подстановки. В литературе встречаются две формы записи: или ь F (b)-F (а)= [F (x)Ja, или F (b)-F (a)=F (х) \~. Мы в дальнейшем будем употреблять и тот и другой способы записи. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 374 [ГЛ. XI Формула Ньютона -Лейбница дает практически удобный метод вычисления определенных интегралов в том случае, когда известна первообразная подынтегральной функции. Только с открытием этой формулы определенный интеграл смог получить то значение в математике, какое он имеет в настоящее время. Хотя с процес сом, аналогичным вычислению определенного интеграла как пре дела интегральной суммы, были знакомы еще в древности (Архи мед), однако приложения этого метода ограничивались теми простейшими случаями, когда предел интегральной суммы мог быть вычислен непосредственно. Формула Ньютона-Лейбница значительно расширила область применения определенного интег рала, так как математика по.лучила ния различных задач частного общ и й метод для реше вида и поэтому смогла значительно расширить круг приложений определенного интеграла к технике, механике, астрономии и ь Пример 1. т. д. Sxdx=2 / а = - 2 - · х2 ь ь2-а2 а ь Пр им ер 2. Sх2 dх=з х31 ь ьз-аз а =-3-· а Sxndx=п+l Iа ь Пр и мер 3. Ь xn+l ьn+l-an+l п+I (n;l:-1). а ь Пр и мер 4. ~ eXdx=ex/ :=еЬ-еа. а 01' Пр им ер 5. ~ sin xdx=- cos х 1~л = - (cos 2:n:-cos 0)=0. о 1 Пример 6. SУх dx о § 5. 1+х 2 У 1 + xi \ i = J/2 - 1. Замена переменной в определенном интеграле Теор ем а. Пусть дан, интеграл ь ~ f (х) dx, а f где функция (х) непрерывна на отрезке [ а, Ь]. Введем новую переменную t по формуле х = ер (t). 375 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ОПРЕДЕЛЕННОМ И.НТЕfРАЛВ § 5) Если 1) ер(а)=а, ерф)=Ь, 2) q, (t) и (1) 1 (t) шпрерью,ш на отрезке [а, 3) f[ ер (t)] f}], определена и непрерывна на отрезке [ а, f}], то ь /3 ~ f(x)dx= ~ f[ep(t)]ep' (t)dt. а (1) а До к аз ат ель ст в о. Если F (х) есть первообразная для функ ции (х), то можем написать следующие равенства: f ~f(x)dx=F(x)+C, {2) ~ f [ ер (t)] ер' (t) dt = F [ер (t)] +с. (3) Справедливость последнего равенства проверяется дифференциро ванием обеих частей по t. (Оно также следует из формулы (2) § 4 гл. Х.) Из равенства (2) получаем ь ~ f (х) dx = F (х) 1: = F (Ь) - F (а). а Из равенства получаем (3) р ~ f [ ер (t)] ер' (t) df=F [ ер (t)] 1: = F [ ер (13)] -F [ ер (а)]= F (Ь) -F (а). а Правые части последних выражений равны, следовательно, равны и левые. 3 а меч ан и е. Отметим, что при вычислении интеграла по формуле (1) мы не возвра щаемся к старой переменной. Если мы вы числим второй из определенных интегра лов равенства (1), то мы получим неко торое число; этому же числу и первый интеграл. равняется , Пр им ер. Вычислить интеграл ~ У г 2 -х 2 dx. о = Р е ш е н и е. Сделаем замену переменной: х sin г t, dx=r х=О при t=O, r ~2 ~Уг 2 -х2 dх= ~ о :rr./2 =r2 ~ о = cos t dt. Определим новые nред€лы: x=r определенного при t=-л/2. Следовательно, Рис. 221. ~~-~ ~ Yr 2 - r2 sin 2 trco:itdt=r 2 ~ Yl-sin 2 tcosfdf= о cos 2 tdt=r 2 о i (~+~ cos2t)dt=,2[~+s1~2t]:1 =-л~ • 'Л/2 2 2 Вычисленный интеграл с геометрической точки зрения представляет пло• щадь ¼. круга, ограниченного окружностью х2+у2=,2 (рис, 221). 375 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 6. Пусть и и v- (ГЛ. Х( Интегрирование по частям дифференцируемые функции от х. Тогда (uv)' = u'v+uv'. Интегрируя обе части тождества в пределах от а до Ь, получим ь ь ь S (иv)' dx= S u'vdx+ ~ uv' dx. а ь Так как S (иv)' dx = иv+ С, то S (иv)' dx = uv ство 1:; поэтому равен- а ( 1) может быть записано в виде ь uv ь 1: = Sv dи + Sи dv, а или (1) а а а окончательно ь ь sи dv = uv 1:- sv du. а а Пример. Вычислить интеграл lп= п/2 S sinnxdx. о n/2 ln= n/2 n/2 S sinnxdx= S sinn- 1 xsinxdx=- S ~х~= О О О =-sшn-ixcosx/:12 +(n-1) и da n/2 S sшn- 2 xcosxcosxdx= о n~ =(n-1) ~2 S sшn- 2 xcos 2 xdx=(n-1) S siпn- 2 x(l-sin 2 x)dx= о о n/2 =(n-1) n/2 S sшn- 2 xdx-(n-l) S sinnxdx. о о В выбранных обозначенюrх последнее равенство можно записать так: ln=(n-1) откуда fп_ 2 -(п-1) lп, находим п-1 ln=--lп-2• п Тем же приемом найдем I п-2 п-3 = - -2 I п-4• п- поэтому п-1 п-3 lп=----2 In-4• п п- (2) §6) ИНТЕГРИР0ВАНИЕ ПО Ч:АGТ.ЯМ Продолжая таким же образом далее, 377 мы дойдем или до в зависимости от того, будет ли число п четным или нечетным. Рассмотрим два случая: 1) п-число четное, или до /t n=2m: 2т-1 2т-3 3 п-число нечетное, 1 •4·2/0~ l2111=~·2m-2' .•• 2) /0 n=2m+ 1: 2m 2т-2 4 2 12111 +1=2т+~"2т-l •··· '1Гз 1 t• но так как ,t/2 fo= ,r./2 rt/2 SsfnOxdx= S о li= о S slnxdx=l, о то Из этих формул следует формула Валлиса, выражающая·чис-ло n/2·в виде бесконечного произведения. Действительно из последних двух равенств путем почленноrо деления находим :n: ( 2-4-6• ... -2m 2= 3-5- ... •(2т-1) ) 2 1 1 2111 2т+ll2111+t 0 (3) Докажем теперь, что . l1m / 2111 1 ---=. т-+ оо 12111+1 Для всех х из интервала ( О, ; ) справедливы неравенства s1n2111-1 х > sin2111 х > sin2111+1 х. Интегрируя в пределах от О до 1t/2, 12111-1;;;;;: получим 12111 ~ 12111+1, откуда 12111-i 12111 I -/--~ -/-- ~ 2111+1 Из равенства (2) 2111+1 . (4) следует 12111-1 12111+1 2т+l =2т· Поэтому lim 12111-1 _ 1" 2т+l I tn-+oo / 2111+1 -mt-+moo-2m =. ОПРЕДЕЛЕНН.!>!Й ИНТЕГР*Л 878 Из неравенства IГ Л. XJ получаем (4) Переходя к пределу в формуле (3), получим фор.ШJЛУ Валлиса2 . [( 2-4-6• ___ -2т - = 11m :rt 2 m • 3-Б-----(2т-1) oo )2 1 2т+l 1 · Эту формулу можно записать в следующем виде: :rt • ( 2 2 4 6 4 т=f/11~"' т·з·з·5·5• § 7. --- 2т-2 2m 2m '2т-1 '2т-1 2т+I ) • Несобственные интегралы 1. Интегралы с бесконечными пределами_ Пусть функция / (х) определена и непрерывна при всех значениях х _у таких, что а~ х оо _ Рассмотрим ин <+ теграл ь / (Ь) = ~ f (х) dx. а () а; .1 Этот интеграл имеет смысл при любом Ь а_ При изменении Ь интеграл изменяется, он является непрерывной функцией Ь > Рис_ 222_ § 4)_ (см_ Ь-,. + оо Рассмотрим (рис_ 222) _ Определение_ вопрос о поведении этого интеграла при Если существует конечный предел ь lim ~ f (х) dx, Ь ➔ +"'а то этот предел называют несобственным интегралом от функции на интервале [а, оо) и обозначают так: +CI> + f (х) ~ f (х) dx. а Следовательно, по определению имеем ь +CI> ~ f (х) dx = а lim ~ f (х) dx. Ь-+ +а, а +Ф Говорят, что в этом случае несобственный интеграл ~ f (х) dx а ь существует или сходитсл- Если ~ f (x)dx при Ь-,.+оо не имеет а § 71 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАJIЬI 379 •1-CIII ~ f (х) dx не сущесrrюует или конечного предела, то говорят, что /J расходится. Легко выяснить геометрический смысл несобственного интеграла ь в случае, когда f (х) ~ О: если интеграл ~ f (х) dx выражает плоа f щадь области, ограниченной кривой у= (х), осью абсцисс и орди Ь, то естественно считать, что несобственный а, х натами х = = +Ф интеграл ~ f (х) dx выражает площадь неограниченной (бесконеча ной) области, заключенной между линиями y=f (х), х=а и осью абсцисс. у у \гd~.J t+:i' о Рис. Аналогичным образом определяются 224. несобственные интегралы и для других бесконечных интервалов: а а ~ f (х) dx= lim ~ f (х) dx, Cl, ➔ -ФCG -Ф +оо с +ао ~ f (х) dx = ~ f (х) dx + ~ f (х) dx. С -Ф -сс Последнее равенство следует понимать так: если каждый из несоб ственных интегралов, стоящих справа, существует, то существwеr (сходится) по определению и интеграл, стоящий слева. S i tx +а:> Пр им ер 1. Вычислить интеграл 2 (рис. 223 и 224). о Решение. По определению несобственного интеграла находим -1-Ф 1 J l +dxх2 = ь ➔lim+оо о s Ь l +dx о х2 I = ь ➔lim+оо arctg х ьо = ь ➔Iim+оо arctg Ь= :rt2 . Рассмотренный интеграл выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, заштрихованной на рис. 224. [ГЛ. ОИР,ЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 380 Пр им ер 2. Установить, nри каких значениях Q. XI (рис. 225) интеграл +Ф s dx ха сходится и nри каких расходится. 1 ь S ~ = 1 1 а х1-а\: = 1 1 а (Ь1 -G-1), Решение. Так как (nри а =;6 1) 1 +со S -dx= то ха 1 ваемого ь lim -,. +\оо 1 -1 (b1 -a-l). - а интеграла можно Следовательно, сделать s +со V следующие ~ относительно выводы: рассматри- если а > 1, то 1 ха= а-1, т. е. интеграл сходится; если 1 +оо а< 1, ТО S- dx ха = оо , т. е. интеграл р асходит 1 ся. При r;(<:.1 а-=1 a>t о рал расходится. +оо 1 Рис. П р и ме р 3. Вычислить 225. +оо Решение. S s -оо 2 • -оо О dx 2 = J+x dx S 1+х +оо dx 2 l+x dx + 5 i+x -со 2 • Второй nнтеграл раnен о (см. nример 1). Вычислим nервый интеграл: ; о S о dx 2 1+х = а ➔lim-оо S1+dxх2 = а lim arctg х 1° = lim (arctg 0-arctga)= n2 ➔ -оо а. et -oo • • -оо а Следовательно, -со :r\o многих случаях бывает достаточно установить, сходится данный интеграл или расходится, и оценить его значение. Для этого могут быть полезными следующие теоремы, которые мы при ведем без доказательств, а применение их докажем на примерах. Т е орем а 1. Если для всех х (х;;,, а) выполняется неравен,ство О~ f(x) ~IP (х) +со и если S <р (х) dx сходится, а +со то S f (х) dx также сходится, а при НЕСО-БСТВЕННЫЕ § 1] ИНТЕГРАЛЫ 381 этом +<» +<» ~ f (х) dx ~ ~ ср(х) dx. а а -1-<» Пр им ер 4. Исследовать, сходится ли интеграл S х2 dx (l +ех) • 1 s; +<» 1 Решение. Заметим, что при 1,;;;;; х х 2 (! +ех) l < х2. Далее, 2 dx = 1 +<» = - -1 1+' "' = 1. l S Следовательно, Х dx х 2 (l +еХ) сходится и его значение меньше 1. 1 Теорема 2. Если для всех х (х ~ а) выполняется неравенство +<» О~ q> (х) ~ f (х), причем ~ интеграл q> (х) dx расходится, то расходится и а + 00 ~ f (х) dx. а Пр им ер 5. x+l , r - dx. Исследовать, сходится ли интеграл хз t' +оо Замечаем,.что х+ 1 х 1 rx3 vx ,r 3. > ,r-= ,r-. rx dx = S ,r- Но Следовательно, расходится и данный интеграл. 1 t' х ,r-,Ь lim 2 r х =+оо. Ь-т + оо 1 В последних двух теоремах рассматривались несобственные интегралы от неотрицательных функций. Для случая функции (х), меняющей знак в бесконечном интервале, имеет место следующая f теорема. +<» Теорем а 3. Если интеграл ~ 1f (х) \ dx сходится, то сходится а + (J) и интеграл ~ f (х) dx. а В этом случае сходящимся. последний интеграл называется + (J) Пр им ер 6. Исследовать сходимость интеграла S sin хз х d абсолютно х. 1 Решение. Здесь подынтегральная функция знакопеременная. Замечаем, что J si;/ 1,;;;;; 1 х~ /· Но + 00 S ~: = 1 2~ 2 1;'"' = ~ . Следовательно, интеr- ОПР/::ДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ &2 [ГЛ. XI рал +s"' 1 si; Х Idx СХОДИТСЯ. Отсюда с.,1едует, ЧТО СХОДИТСЯ И данный ИН• 3 1 теграл. 2. f (х) ция Интеграл от разрывной функции. Пусть функция определена и непрерывна при а~ х с, а при х с функ либо не определена, либо терпит разрыв. В этом случае < = с нельзя говорить об интеграле~ f (х) dx как о пределе интеграль тому этот предел а f (х) ных сумм, так как не непрерывна на отрезке [а, с], может и не и поэ существовать. с Интеграл ~ f (х) dx от функции f (х), разрывной в точке с, а определяется следующим образом: с ь ~ f (х) dx = Iim [а ~ f (х) dx. Ь-+ с -О а Если предел, стоящий справа, существует, то интеграл назы вают несобственным сходящи.мся интегралом, в противном случае интеграл называют расходящимся. Если функция (х) имеет разрыв в левом конце отрезка [а, с] f (т. е. при х=а), то по определению с с ~ f (х) dx= а Если функция внутр и отрезка f (х) [ а, 1im \ Ь-+а+О ь имеет разрыв f (х) dx. в некоторой с], то полагают С Хо точке х = х0 С ~ f (х) dx = ~ f (х) dx + ~ f (х) dx, а а Хо если оба несобственных интеграла, стоящих в правой части равен ства. существуют. 1 Пр им ер 7. Вычислить S Yl-x ь dx о dx о Решение. r 5Vl-x • lim ~~ __d_x_ = ь ➔ 1-0J о Vl-x - lim 2 ь ➔ 1-о Y-l--x 1~ = =- r П р им ер 8. Вычислить интеграл S dx • х2 -1 Iim 2(У1-Ь-1)=2. ~1-0 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 7) 383 Решение. Так как внутри отрезка интегрирования существует точка х=О, где подынтегральная функция разрывиа, то иитеграл нужно представить s ~ 1 S как сумму двух слагаемых: -1 -dx2 х . = е, ➔11m -0 + -dx 2 х s -1 s 1 . 11m -dx -2 • е, ➔ +О х в. В ычис- е, ,11им каждый =- отдельно: (-1- _ _!_I ) lim в, ➔ - предел 0 расходится. 81 - . 11m , е, ➔ -0 dx - 2 -1 х = оо. Следовательно, на участке 1 lim в ...... +о =- Sd: = Х lim е.-+-+0 ( 1--\-) = 8 . 11m 1 ,е, - в,-+-- ох [ -1, -1 = О) интеграл оо. Значит, на участке в, [О, 1] интеграл также расходится. Таким образом, данный интеграл расходится на всем отрезке [-1, 1]. Отметим, что если бы мы стали вычислять данный интеграл, не обращая вни мания на разрыв подынтегральной функции в точке х=О, то получили бы 1 S dx неверный результат. Действительно, х2= --;1 11_ 1 = - ( 11 - _11 ) = -2, -1 что невозможно (рис. 3 226). f а меч ан и е. Если функция (х). определенная на имеет внутри этого отрезка отрезке [ а, Ь], конечное число точек разрыва а 1 , а 2 , ••• . . •, ап, то интеграл от функции f (х) на отрезке [а, Ь] определяется следую щим образом: Ь а, !J=}i' а; ~ f (х) dx = ~ f (х) dx + ~ f (х) dx + ... а а, а ь ... + ~ f (х) dx, ап если каждый из несобственных Рис. интег ралов в правой части равенства сходит- ся. Если же хотя бы один из этих интегралов расходится, то и ь ~ f (х) dx называется расходящимся. 4 Для определения сходимости несобственных интегралов от раз рывных функций и оценки их значений часто могут быть приме нены теоремы, аналогичные теоремам для оценки интегралов с бесконечными пределами. Теорема разрывны в l'. Если на отрезке [а, с] функции точке с, причем во всех точках f(x) этого и (J)(X) отрезка ОПР..Е.,ЦЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 384 выполнены (ГЛ. Xl неравенства q; (х) ~ f (х) ~ О, с с и ~ 1Р (х) dx сходится, то ~ f (х) dx также сходится. а а Теорема 11'. Если на отрезке [а, с] функции ро.зрывны в точке с, f (х) и q,(x) причем во всех точках этого отрезка выпол неравенства неньt f (х) ~ q, (х) ~ О, с с и ~ q, (х) dx расходится, то и ~ f (х) dx расходится. а а Теорем а 111'. Если f(x) - функция, знакопеременная на от резке [а, с], разрывная только в точке с, и несобственный интегс рал ~ 1f (х) 1dx от абсолютной величины этой функции сходится, а с то сходится также интеграл ~ f (х) dx от самой функции. а В качестве функций, с которыми удобно сравнивать функции, часто берут стоящие под знаком несобственного интеграла, с S(с 1/(с -х)а. Легко проверить, что \)а dx сходится при а. < 1, а расходится при а ~ 1. с 5(х Это же относится и к интегралам 1а)а dx. а 1 Пр им ер 9. Сходится ли интеграл Sу- 1 х+ 4х3 0 dx? Р е ш е н и е. Подынтегральная функция разрывна в левом [О, 1]. Сравнивая ее с функцией ,;- , 1' х имеем У 1 х+4х 3 конце отрезка < ,~-. 1' х 1 Несобственный интеграл Sx'I• dx существует. о s Следовательно. несобствен- 1 • иыи интеграл от • меньшеи функции, т. е. 0 ,r 1 ·-" dx, r х+4,г тоже существует. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ § 8] § 8. 385 Приближенное вычисление определенных интегралов В конце главы Х указывалось, что не для всякой непрерыв ной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. В этих случаях вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона -Лейбница затруднительно, и применяются раз личные методы пр и ближе н но r о вычисления определенных интегралов. Сейчас мы изложим несколько способов приближен ноrо интегрирования, исходя тия определенного интеграла ла из как поня преде у суммы. I. Формула п р я моу rольн и к о в. Пусть на отрезке [а, Ь] задана не прерывная функция у= (х). Требуется f Уп-1 вычислить определенный интеграл IJ,r,, ь ~ f (х) dx. ::с ц Разделим отрезок [ а, Ь] точками а=Х 0 , Х 1 , х 2 • • • • , Хп=Ь на п равных частей длины л х: Ь-а Лх = -- . п Обозначим далее через у 0 , ции f (х) в точках х 0 , х 1 , Х 2 , • • ·, Уп = Рис. 227. yi, ••• , f (хп) • у 2 , ••• , Уп-'i.• Уп значения функ хп, т. е. Уо = (х 0 ), У 1 = f (х 1 ), ... Составим суммы Уо Лх+ у 1 Лх+ . • . +УпЛх. f ... + Уп-~ Лх, у 1 Лх+ у2 Лх+ ... f Каждая из этих сумм является интегральной суммой для (х) на отрезке [ а, Ь] и поэтому приближенно выражает интеграл: ь St(x)dx~b п а(Уо+У1+У2+···+Уп-1), (1) а ь Sf (х) dx ~ -п-(У1 + У2 + •·· + Уп). Ь-а (1 ') а Это и будут формулы прямоугольников. Из рис. 227 ясно, что если (х) - положительная и возрастающая функция, то формула (1) выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, а формула (1')- площадь ступен чатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников. Ошибка, совершаемая при вычислении интеграла по формуле f прямоугольников, будет тем меньше, чем больше число п ( т. е. чем меньше шаг деления Л х Ь-а\ = -п-) . ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 386 [ГЛ. XI Ф о р мул а трапеций. Естественно ожидать, что мы по 11. лучим более точное значение определенного интеграла, если дан ную кривую у= (х) заменим не ступенчатой линией, как это было в формуле прямоугольников, а вписанной ломаной (рис. 228). f Тогда площадь криволинейной трапеции аАВЬ заменится суммой площадей прямолинейных трапеций, ограниченных сверху хордами AAi, А 1 А 2 , ••• , равна Уо Yi Лх, sf ь t Ап_ 1В. Так как площадь первой из этих трапеций площадь второй равна Yi ~ У2 Лх и т. д., то (х) dx ~ (Уо1 У1 Лх+У1 tY2 Лх+ ... +Уп-i2+Уп Лх)' или а sf (х) ь dx ~ Ь n а (Уо1 Уп+У1 +Уз+• .. +Уп-1) • (2) а Это и есть формула трапеций. Отметим, что число, стоящее в правой части формулы: (2), есть среднее арифметическое чисел, стоящих в правых частях формул (1) и (1'). Число п выбирается произвольно. Чем больше будет это число и чем меньше, следовательно, будет шаг л х J!=/(.:C) Ь-а , = -п тем с боль шей точностью сумма, написанная в правой части приближенного ра венства (2), будет давать значение в интеграла. III. Формула парабол (ф о р м у л а С и м п с о н а) . Разде лим отрезок [а, Ь] на число равных частей п А четное Пло = 2m. трапеции, криволинейной щадь двум первым соответствующей •~--2u__,=_ll_,,c.t_.cc_.~_.r,__,-п'--,-fZ'n__."'_ь.,.._,~.'d 0 Рис. 228. отрезкам [х0 , х1 ] и [xi, х2] и огра ниченной заданной кривой у= f (х), криволиней площадью заменим ной трапеции, которая ограничена параболой второй степени, проходящей через три точки М (х 0 , у 0), М 1 (хн у1 ), М 2 (х2 , у2 ) и имеющей ось, параллельную оси Оу (рис. 229). Такую криволинейную трапецию будем назы вать параболической трапецией. Уравнение параболы с осью, параллельной оси Оу, имеет вид у=Ах'+Вх+С. Коэффициенты А, В и С однозначно определяются из условия, что парабола проходит через три заданные точки. Аналогичные параболы строим и для других пар отрезков. Сумма площадей параболических трапеций и даст приближенное значение интеграла. Вычислим сначала площадь одной параболической трапеции. t 8} ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ €>ПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 387 Лемм а. Если криволинейная трапеция ограничена параболой у= Ах 2 +Вх+С, осыо Ох и двумя ординатами, расстояние между которыми равно то ее площадь равна 2h, h S= 3 (Yo+4Y1+Y2), где у 0 и у 2 - крайние ординаты, а у 1 - (3) ордината кривой в середине отрезка. До к аз ат е ль ст в о. Расположим всnомоrательную систему координат так, как показано на рис. 230. 11 Y=A(ll'+IJ:c+(l м, -h, Рис. 229. о h Рис. 230. Коэффициенты в уравнении параболы у= Ах 2 + Вх деляются из следующих уравнений: если Х 0 = то если то у 1 = если -h, xi=O, x 2 =h, +С опре- y 0 =Ah 2 -Bh+C, С, то y 2 =Ah2 +Bh+C. (4) Считая коэффициенты А, В, С известными, определим площадь параболической трапеции с помощью определенного интеграла: h S = S (Ах2 +вх+С)dх = [ л:3 + в;2 +сх ]~ь = : (2Ah +6C). 2 -h Но из равенств (4) следует, чтоу 0 +4у 1 +у 2 =2Аh 2 +6С. Сле h довательно, S = 3 (у 0 4у 1 у 2 ), что и требовалось доказать. + + Вернемся снова Пользуясь к формулой основной (З). мы нашей можем задаче (см. рис. написать 229). следующие 388 1.rл. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ приближенные равенства (h xr = Лх): «,,,,.=Ь S f(x)dx~ ~х (У2т-2+4У2т-1+У2т). X2m-t Складывая левые и правые части, получим слева искомый интеграл, справа его приближенное значение: ь Sf (х) dx ~ ~х (Уо + 4у1 + 2у2 + 4уа + • • • +2У2т-2 +4У2т-1 + У~т), а (5) или ь Sf (х) dx ~ \та [Уо+У2т +2 (У2+У4 + /J Это и есть формула Симпсона. Здесь • · • +Y2m-2) + + 4 (У1 +Уз+···+ У2т-1)]. число точек деления произвольно, но чем больше это число, тем точнее сумма в вой части равенства (5) дает значение интеграла 2 2m пра *). d:. Пр им ер. Вычислить приближенно lп 2 = S Решение. Разделим отрезок 1 [1, 2] на 10 равных частей (рис. 231). Полагая Лх= 2 10 1 =0,1, составим таблицу значений подынтегральной функции: х Хо= Х1 = Х2 = Х3= Х4= Х5 = 1 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 y=lfx у 0 = 1,00000 Yi=0,90909 У2=0,83333 у 3 =0,76923 у4=0,71429 у 5 =0,66667 y=l/x х 1 11 Хв= 1,6 Х7 = 1,7 Хв= 1,8 Х9= 1,9 Х10=2,О у 6 =0,62500 /J7 =0,58824 у 8 =0,55556 yg=0,52632 =0,50000 У10 *) Для того чтобы знать, сколько точек деления надо взять, чтобы под считать интеграл с заданной степенью точности, можно воспользоваться фор мулами оценки погрешности, получающейся при приближенном вычислении интеграла. Мы не приводим здесь ЭТILХ оценок. Читатель может найти их в более подробных курсах анализа: см., например, Фихте н голь ц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 11. -М.: Наука, 1970, гл. IX, § 5. ФОРМУЛА ЧЕБЫШЕВА § 9] 1. По первой формуле прямоугольников 2 S dx х ~ О, 1· (Уо+ У1 + ... (1) 389 получим +у9 ) = О, 1- 7, 18773 = 0,71877. 1 По второй формуле прямоугольников получим (1 ') 2 S~х ~ 0,1 (у 1 +и2 + ... +Yio) =0,1-6,68773=0,66877. 1 Непосредственно из рис. следует, что 231 значение интеграла с изб ы т к ом, вторая-с недостатком. По формуле трапеций 11. данном в мула дает первая фор• г получим (2) случае 2 Sd: ~ 0,1 ( 11;0 •5 +6, 18773) =О,69377. 1 111. По формуле Симnсона (5) имеем 2 о Sх ~ 3 1 [Уо+У10+2 (и2+У4+Ув+Ув)+ О, dx 1 Рис. 231. 1 0 +4 (У1+Уз+Уs+У1+У9))= (1 +о,5+2·2,72818+4•3,45955) =0,69315. 3 2 В действительности 1n2= S~=0,6931472 (с точностью до седьмого 1 знака). Таким образом, при разбиении отрезка [О, 1) на 10 частей по формуле Симnсона мы получили пять верных знаков; по формуле трапеций-лишь три :щ:рных знака; no формуле прямоугольников мы можем ручаться только за первый знак. § 9. Формула Чебышева В технических вычислениях часто применяется формула Чебы шева для приближенного интегрирования. ь Пусть снова требуется вычислить ~ f (х) dx. а Заменим подынтегральную функцию интерполяционным много членом Лагранжа Р (х) (§ 9 гл. VII), взяв на отрезке [а, Ь] неко торые п значений функции (х 1 ), (х 2), ••• , (хп), где х 1 , х 2 , ••• , Хп какие угодно точки отрезка [а, Ь]: f Р(х) = (х-х2) (х-хз) .. . (х-хп) (х1-Х2) (х1-хз), .. (х 1 -хп) + f f f (х )+ 1 (х-х1)(Х-Х3) .. ,(Х-Хп) (х2-Х1) (х2-Хз), .. (х2 -хп) f ( )+ . . . . . . . . . . . . . Х. . . 2 (ГЛ. :К! ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 390 Получим следующую приближенную формулу интегрирования: ь ь ~ f (х) dx ~ ~ Р (х) dx; (2) а а после некоторых вычислений она примет вид ь ~ f (х) dx ~ CJ (х1) + C2f (х 2) + ... + Спf (хп), (3) а где коэффициенты С; вычисляются по формулам -s с ·1 ь (х-х1) ... (x-xi-1) (X-Xi+ 1) ... (x-xJ (х;-х 1 ) .•. (х;-Х;- 1 ) (х;-х; + 1) .. . (х;-Хп ) d (4) х. а Формула (3) громоздка и неудобна для вычислений, так как коэффициенты С 1• выражаются сложными дробями. Чебышев поставил обратную задачу: задать не абсциссы х 1 , х 2 , ••• , Хп, а коэффициенты С 1 , С 2 , ••• , Сп и определить абсциссы Xi, Х2, .•. ' Хп. Коэффициенты можно задаются так, чтобы формула Ci проще для вычислений. Очевидно, что (3) это была воз будет тогда, когда все коэффициенты С; равны между собой: С 1 = С 2 = ... =Сп. Если обозначить общее значение коэффициентов С 1 , С2 , ••• , Сп через Сп, то формула (3) примет вид ь ~ f (х) dx ~ Сп [f (x1)+f (х2) + •••+ f (хп)]. (5) а Формула (5) представляет вообще пр и ближе н но е равенство, но если (х) есть многочлен степени не выше п - 1, то равенство будет то ч н ы м. Это обстоятельство и позволяет определить вели чины Сп, Х 1 , Х 2 , ••• , Хп. Чтобы получить формулу, удобную для любого промежутка интегрирования, преобразуем отрезок интегрирования [а, Ь] в отре- f зок [ -1, 1]. t = - l будет Для этого х = а, при -+-2-t; а+ь положим X=-2 t= l Ь-а тогда при будет х = Ь. Следовательно, Ь sf (х) а dx = Ь2а 1 st( а~Ь +Ь -1 / t )dt = Ь 2 а 1 s q> (t) dt' -1 где через <р (t) обозначена функция от t, стоящая под знаком интеграла. Таким образом, задача интегрирования данной функции ФОР.МУЛА ЧЕБЫШЕВА 19] f (х) на отрезке 391 Ь] всегда может быть сведена к интеrрирова [а, нию некоторой другой функции q, (х) на отрезке [ -1, Итак, задача свелась к тому, чтобы в формуле 1]. 1 ~ f (х) dx = Сп [f (xJ + f (х 2) + ... + f (хп)] (6) -r подобрать числа Сп, xi, х2 , ••• , f (х) точной для всякой функции хп так, чтобы эта формула была вида f (х) = а0 + а 1х + а~ 2 + ... + an_ 1xn- 1 • (7) Заметим, что 1 1 ~ f(x)dx= ~ (a 0 +a1x+a~2 + ... +aп_ 1xn- 1 )dx= -1 -1 = { 2 ( а 0 + ~2+ aJ + ;в + ... + ann-i ) , если п - число нечетное; (8) 2 ( а0 + ~ + ... + :п-; ), если п - число четное. 2 С другой стороны, сумма, стоящая в правой (6), на основании (7) Сп [па 0 +а 1 (х 1 +х2+ части равенства будет равна ... +хп) +а 2 (xi+x~+ ... +x7i) + ... . . . +ап_ 1 (х~- 1 +х1- 1 + ... +х~-1)]. (9) Приравнивая выражения (8) и (9), получим равенство, которое должно быть справедливо при любых а 0 , а 10 а 2 , ••• , ап_ 1 : ~2 + а54 +а;+ ... )= Сп [па 0 +а 1 (х 1 +х 2 + .. • +хп) + +а 2 (xi+x~+ ... +х~) + ... +ап-~ (х1- 1 +х-1- 1 + ... +х,;- 1 )]. 2 ( а0 + Приравняем коэффициенты при а 0 , а 10 а 2 , а 3 , ••• , an-:f в ле вой и правой частях равенства: 2 2=Сп п ' или Сп = п. х 1 +х2 + ... +хп=О, 2 ЗС2 2+ Ха2+ •.. + Хп= Х1 n =3• п х~+х:+ (10) ... +х~=О, ~+Х:+ ... +х~= ~п = ~ • tl • • • • • • • • • • • • •• Из последних п- 1 уравнений находим абсциссы Хн х2 , ••• , хп. Эти решения найдены Чебышевым для различных значений n. Ниже приводятся найденные им решения в случаях, когда число п промежуточных точек равно 3, 4, 5, 61 7, 9: ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГ~АЛ Число орд:инат I(оэф фициент Значения х,. Сп n з Число ординат абсцисQ •• ... , х" n 2 Х1=-Х3=0,707107 3 Xs=0 Xt = - Х4 0, 794654 х1 =-Ха=0,187592 2 l(оэффициент Сп 2 7 = 1 4 х (ГЛ. Значения абсциСQ X't, Х1, •·•• Xn Х1 = - Xs = - Х5 = 0,323912 Х7 = 0,883862 Xs =-х6 =0,529657 7 2 9 XI Х4=0 Xt = - X t =0,911589 х 2 =-х8 =0,601019 Х3=-Х7=0,528762 Х4 = - Хв = 0, 167906 9 Х5=0 2 5 1 •,~-,.~0,832498 Xz=-X4=0,374541 5 Хз=О Х1 = - Хв = 0,866247 Xz=-X5=0,422519 Х3 = - Х4 = 0,266635 1 6 з Таким образом, приближенное резке [ - 1, 1] производится вычисление интеграла на о-r- по следующей формуле Чебышева: 1 S f (х) dx = : [f (х1) + f (х2) + ... + f (хп) ], -1 где n-какое-либо из чисел 3, 4, 5, 6, 7 или 9, а Xf., ••• , хп числа, приведенные в таблице. В качестве п нельзя брать число 8 или числа, превосходящие 9; в этом случае система уравнений (10) дает мнимые корни. Когда заданный интеграл имеет пределы интегрирования а и Ь, формула Чебышева принимает вид ь Sf (х) dx = Ь па [f (Х 1) + f (Х 2) + • •• + f (Хп)], а где Xi = ь+а +- '1-а (i = 1, 2, ... , - 22-xi в таблице значения. п), а имеют указанные xi 2 S~ (=ln2). Пр им ер. Вычислить 1 в Реше н и е. Прежде всего заменой переменной преобразуем этот интеграл новый интеграл, у которого границы интегрирования будут -1 и 1; 1+2 2-1 3 t З+t x=-2-+-2-t=2+2=-2-• s J 7= 2 dx= dt 2· Тогда 1 \dx J. dt з+t· Вы- -1 § ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. ГАММА-ФУНI(ЦИЯ 10] числим послед.киii: интеграл, приняв n=3, 393 по формуле Чебышева: s 1 f (t) dt = ~ [f (0,707i07)+f (0)+f (-0,707107)]. -1 Так как 1 f (О,707107)=0,269752, f(0)=0,333333, f(-0,707107)=0,436130, S3 dt+t = 32 2 (О,269752+0,зззззз+о,4з61зо) =з· 1,оз9215=О,692s10 :::: то о,693. -1 Сравнивая этот результат с результатами вычисления по формулам пря моугольников, по формуле трапеций и формуле Симпсона (см. пример в пре дыдущем параграфе), мы замечаем, что результат, полученный нами по формуле Чебышева (с тремя промежуточными точками), лучше согласуется с истинным значением интеграла, чем результат, полученный по формуле трапеций (с девятью промежуточными точками). приближенного Оrметим, что теория § 10. вычисления интегралов развитие в работах академика А. Н. Кры получила дальнейшее лова (1863- 1945). Интегралы, зависящие от параметра. Гамма-функция Ди ффер ен ци р ов а н и е и н те параметра. Пусть дан интеграл r р ал о в, завис ящих от ь /(а)= ~ f (х, а) dx, ( 1) а в котором подынтегральная функция зависит от некоторого пара метра а. Если параметр а будет меняться, то будет меняться и значение определенного интеграла. Таким образом, определенный интеграл есть фу н к ц и я от а; поэтому мы его можем обозначить чiрез / (а). 1. ции Предположим, что f (х, а) и f~ (х, а) - непрерывные функ при c~a~d и а~х~Ь. (2) Найдем производную интеграла по параметру а.: ll·m Лr:х.,-+О / (а+Ла)-/ (а) л (а). /~ а Для нахождения этой производной заметим, что /(а+Ла)-/(а) Лсх; л~[J 1(х, o.+Лo.)dx-f f(x, o.)dx]~ -s ь - а f (х, а+Ла.)-f (х, а.) d х. Ла ОПР.ЕД:ЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 394 [ГЛ. XI Применяя теорему Jlarpaнжa и подынтегралъвой функции, будем иметь f (х, а+лла2-f (х, а)=/~ (х, а+0Ла), где О< 0 < 1. Так как = непрерывна в замкнутой области (2), то f; (х, а+в Ла) а) +е, где величина е, зависящая от х, а, Ла, стремится к нулю nри Ла-O. Таиим образом, f~ (х, а) = f~ (х, (а+Л,z}-/ ь ь ь / s[f~ (х, а) +eJ dx= sf~ (х, а) dx+ sedx. (rt) Лrх. а а а Переходя к пределу при & -+ О, получаем*) ь )-St• ( • /(rх.+Ла)-1(а)_ 11m - 1 а, (а л а. х, а а. Ла. ➔ О )dx, а или ь f (х, а) dx ]' [S = Sь f~ {х, а) dx. а а, а Последняя формула называется формулой Лейбница. 2. Предположим теперь, что в интеграле (1) пределы ин тегрирован и я а и Ь являются функциями от а: ь (а.) /(а)=Ф[а, а(а), Ь(а)]= S f(x, a)dx. (1') а (а.) а (а), Ф [а, от функция Ь (а)] есть сложная а, причем а и Ь являются промежуточными аргументами. Для того чтобы найти производную от/ (а), применим правило дифференцирования слож ной функции от нескольких переменных (см. § 10 гл. VIII) /'{а)= дФ да На основании теоремы интеграла по переменному + дФ da da да о + дФ .!!:!!_ da • (З) д/J дифференцировании определенного верхнему пределу (см. § 4) получаем ь ~~ =:ьSt<x, a)dx=f[b(a), а], а ~~ = а Ь :as f (х, а) dx=-:as t (х, а) dx=-f[a (а), а]. Ь а ------ ь •) Подынтеrральная функция в интеграле / да - = S е da. стремитсл к нулю nри а О. Из того, что к нулю, не всегда в данном случае / без доказательства. подынтегральная следует, что интеграл функция в каждой точке стремится также стремится к нулю. Однако стремится к нулю при Ла-➔ О. Этот факт мы принимаем ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИС5IЩИЕ ОТ RА1"А.МiИ'РА. ГА.ММА-ФУНl(ЦИ5I § 10] Наконец, для вычисления : ' применяем формулу Лейбница: ь ~: = Sf~ (х, rx) dx. а Подставляя: в .ф<,рмулу (3) полученные выражения прои~водии:к, будем иметь: /~(а}= Ь (а) S f;(x, a)dx+f[b(a), а] ::-f[a(a), а]::. (4) а (а) С помощью формулы Лейбница можно вычислить некоторые опре деленные интегралы. +<Ю Пр им ер 1. Вычислить интеграл /(а)= Р еше ни е. Заметим прежде всего, что S е-х sln ах -x-dx. о непосредственно интеграл мы не можем, так как первообразная от функции е-х вычислить этот sin ах -х не вы- ражается через элементарные функции. Для вычисления данного интеграла будем рассматривать его как функцию от параметра а. Тогда его производная по с,: найдется по выведенной выше формуле Лейбница *): /' (а)= +soo [ sln ах] ' е- х -х- а dx = о Но последний интеграл замечаем, е-х cos ах dx. о легко ций; он равен 1 ~а 2 • Поэтому дество, найдем +soo вычисляется с помощью элементарных /1 функ (а)= 1 ~а 2 • Интегрируя полученное тож 1 (а): 1 (а) =arotg а:+С. (5) Остается определить С. Для этого что + 00 +а> sin Ох ~• /(0)= ('\ e-X--dx= 0dx=0. х " о о Кроме того, arotg0=0. Подставляя в равенство arotg о+с, откуда С=О. Следовательно, для место равенство /(а)= arctg а, т. е. = а=О, найдем /(0)= любого значения а имеет (5) +а, S sin ах е-х --х- dx = arctg о: о *) Формула Лейбница выведена в предположении, что пределы интегриро вания а и Ь конечны. Однако в данном случае формула Лейбница также спра ведлива, хотя один из пределов интегрирования равен бесконечности. Об усло виях, при которых допустимо дифференцирование несобственных .интегралоо по параметру, см., например, в книге: Фихтенгольц Г. М. Курс диффе ренциального и интегрального исчисления, т. II.- М.: Наука, 1970, гл. XIV, § 3. 396 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ П р и ме р (ГЛ. XI Гамма-функция. 2. Рассмотрим интеграл, зависящий от параметра а, +оо ~ ха-1е-х dx. (6) о Покажем, что этот несобственный интеграл существует (сходится) при а> О. Представим его в виде суммы +оо +<Х> 1 ~ ха- 1 е-х dx = ~ ха.-1е-х dx + ~ ха- 1 е-х dx. 1 О О Первый интеграл правой части сходится, так как 1 1 О < Sха.- 1е-х dx < Sха.-1 dx = ~. о о Второй интеграл также сходится. Действительно, пусть п- целое число такое, a-l. Тогда, очевидно, что п > +<Х> +<Х> О < ~ ха- 1 е-х dx < ~ Последний ТОГО, вычисляем интеграл xne-x dx < + оо. 1 1 путем по интегрирования частям с учетом Ч1'0 (7) при любом целом положительном k. Итак, интеграл (6) оnределяет рую функцию а. Ее обозначают Г (а) и называют гамма- функцией: некото + 00 Г (а)= ~ ха-1е-х dx. (8) о Эта функция часто используется в приложениях математики. Найдем значе ния Г (а) при целых а. При а= 1 имеем +со Г(l)= ~ e-Xdx=1. (9) о Пусть целое а > 1. Интегрируем по частям: Г (а)=+{ ха.-1е-х dx=-xa.- 1e-x 1+ <Х> + (а-1) ~ о о или, учитывая (7), Г (а)=(а-1) На основании (10) и (9) находим при r (а-1). о (10) a=n r (n) = (n-1)!. (11) 397 УПРАЖНЕНИЯ К: ГЛАВЕ Х! § t t. Интегрирование комплексной функции действительной переменной f В § 4 гл. VII была определена комплексная функция (х) = iv (х) действительной переменной х и ее производная (х) = и' (х) iv' (х). Определение. Функция F (х) = И (х) iV (х) называется пер• вообразной от комплексной функции Г(х) действительной пере = r и (х) + + + менной, если F' (х) = f (х), т. е. если И' (х) Из равенства (1) + iV' (х) = и (х) + iv (х). следует, что И' (х)=и(х), (2) (2) V' (x)=v(x), т.е. U(x) есть первообразная для и (х) и V (х) есть первообразная для V (х). + Из определения и этого замечания следует: если F (х) = И (х) +iV (х) есть первообразная для функции (х), то любая первооб разная для (х) имеет вид F (х) +С, где С - комплексная произ вольная постоянная. Выражение F (х) С будем называть неопре f f деленным интегралом от + комплексной функции действительной переменной и писать ~ f(x)dx= S и(x)dx+i Sv(x)dx=F(x)+C. Определенный интеграл от комплексной функции действительной переменной определяем так: + iv (х) ь ь (3) f (х) = и (х) + · ь S f (х) dx = S и (х) dx + i S v (х) dx. а Это а (4) а определение не противоречит, а вполне согласуется с оп ределением определенного интеграла Упражнения Составляя определенные интегральную как предеда к главе сумму Sn и суммы. XI переходя к пределу, вычислить интегралы: ь 1. S х 2 dx. .. Указ ан и е. Отрезок [а, Ь] разделить на п частей точками а Xz=aql (t=O, 1, 2, •.. , ь 2. S dx, х п), где q= где О < а < Ь. Отв. vь а· Отв. ln !!.. а ьз-аз -3-· . У к а э ан и е. Деление отрезка [а, Ь] а производить так же, как и в предыдущем примере. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕf РАЛ 398 (ГЛ. XI s ь 3. Jf"x dx. Отв. ; (ь"'•-а' 1•). Указ а и и е. См. предыдущий пример. а ь 4. ~ sin х dx. Отв. cos a-cos Ь. Указ а я и е. Предварительно устано а вить следующее тождество: = sin a+sin (a+h)+sin (a+2h)+ ... +sin [а+(п-1 )h]= cos (a-h)-cos (a+nh) , для этого надо умножить и разделить все члены 2 sin h левой части на и заменить sin h произведение синусов разностью косинусов. ь ~ cos х dx, Отв, sin b-sin а. 5. а Пользуясь формулой Ньютона-Лейбница, вычислить определенные ин тегралы: 1 1 4 о о У2/2 Отв. n/2 Sx dx. Отв. ~ .7.s еХdх.Отв.е-1.8. S sinxdx. Отв, 1.9. 6. 5 : • 10, о dx Отв. 4:rt . 11. о Sd:. Отв. ln I х \. 1. 13. 1 х 14. Ssin х dx. Отв. 2 sin х 2 ; , S х2 dx. 15. О 1 Отв, е tg х dx. Отв. In 2. 12. Jrdxx• О х Отв. 5 ~3 z V S х3-а - 3 - • 16. ~/а dx 2x-l' л/2 1 Отв. 2 In/2z-l/. 17. 1 5 Отв. cos 2 xdx. :rt 4, о л/2 18. S sin 2 х dx. Отв. : . о Вычислить значения нижеследующих интегралов, применяя указанные подстановки: n n/2 Ssinxcos xdx, cosx=t. Отв. 19. о s 4 ys. :rt Отв. ~. 20. 2 21. 1 tg о _ х dx зу 2 У 2 + 4х, 2+4x=t. Отв. - 2- . 22, 2 s I dx (l+x2)2i x=tgt, -1 t 4 +2 . 23. :rt 5э+t~osx' ;=t. Отв. SБVx-1 х 1 dx,x-l=t2.0mв.2(2-arctg2).24. s 45/3 3/4 dz --------, z}""z2+1 'Л/2 1 z=-. :li 3 Отв. In2 . 25, о +. cos q, dq, 6 - 5 S in <р 2 SШ !р , 4 sinq,=t. Отв, Jn3• УПРАЖНЕНИ.Я К ГJIABE Х{ Доказать, что t 1 26. fl ~ хт (1-х)п dx= ~ xn (1-х)т dx (т > О, о > О). n 27. ~ f (х) dx = о Ь = ~ f (а+Ь-х) dx. /J а 28. а а Sf (х2) dx=} Sf (х2) dx, О -а Вычислить следующие несобственные интегралы: 1 +оо 29. s vxdx о (а > О), 1-х 2 Оmв. sе-Х l. 30. о 1 32. 5У 1d~x О 2 • Отв. ; 5 х sin х dx. О dx. . 33. 5 dx п а2+х2. Отв. 2а 1 S~~. Отв, ~ . 34. 1 Sln х dx. Отв, -1. О +"" Отв. Интеграл расходится. 36. s 1 5 dx х 2 + 2х+ 2 . Отв. :rt. 38. -оо Отв. Интеграл расходится. + 00 l. 31. о +оо расходится. 37. Отв. оо . +оо 35. • S /; . Отв. dx Vз х . 5 5е-ах dx 40. хух 2 -1 • о Отв. п2 1 • 41, 5 42. sin Ьх dx dxx 4 • Отв. -1 (а> О). Oms. ь а2+ь2. о + 00 43. dx ~ • . 39. +оо расходится. s 2 3 Отв, 2 о + оо 1 Интеграл Интеграл 1 Sе-а!С cos Ьхdх (а> О). Отв. а2 ~ Ь 2 • о Вычислить приближенные значения интегралов~ 5 44. In 5= 1,6182 5 dxx по формуле трапеций и по формуле Симпсона (n= 12). Отв. 1 (по формуле трапеций); 11 1,6098 (по формуле Симпсона). 45. ~ х3 dx по формуле трапеций и по формуле Симпсона (n= 10). Оmв. 1 3690, 3660. 1 46. ~ Vl-x3dx по формуле трапеций (n=6). Отв, 0,8109. о 3 47. S2xdx 1 по формуле Симпсона (n=4). Отв. 0,8111. 1 10 48. ~ lg х dx по формуле трапеций и по формуле Симпсона (n= 10). Отв. 4 6,0656; 6,0896. 400 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (ГЛ. s1+ XI 1 49. Вычислить значение n из соотношения n 4= мулу Симпсона n dx х2 ' применяя фор- о (n= 10). Отв. 3, 14159. 2 50. sinx dx S--;z- по формуле Симпсона (n= 10). Отв. 1,371. о +оо 51. S е-ах dx= ~ , где Исходя из равенства а> О, найти при целом о +оо п > О величину интеграла Sе-х xn dx. Отв. nl. о +оо 52. Исходя из равенства S dx -т-+ х о dx n (х2+ I)n+1. Отв. 2 1.з.s Вычислить интеграл 5 1-е-ах Пользуясь равенством Sхп- 1 (ln x)k dx. о хех Отв. kl (-l)k-· • пkН dx. Отв. 1n (1 + а) (а > -1). 1 Sxn-J dx= ~ , о 1 найти величину интеграла 2пп1 о 54. n = 2",r, а .... •(2п-1) +оо 53. а вычислить интеграл ГЛАВА XII ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА § 1. Вычисление площадей в прямоугольных координатах f (х) ~ О, Если на отрезке Га, Ь] функция известно то, как (§ 2, гл. XI), площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой у= f (х), осью Ох и прямыми х =аи х = Ь (рис. 214), равна ь Q= ~ f(x)dx. (1) " ь Если f (х) ~ О на [ а, Ь], то определенный интеграл ~ f (х) dx также ~ О. По абсолютной величине он равен площади ь "Q соот- ветствующей криволинейной трапеции: -Q = ~ f (х) dx. " Если f (х) конечное число раз меняет знак на отрезке [а, Ь ]. то интеграл по всему отрезку [ а, Ь] раз- биваем на сумму интегралов по частич- У ным отрезкам. Интеграл будет положите- f (х) ~ О, и от лен на тех отрезках, где (х) ~О. Интеграл по рицателен там. где f всему отрезку выше и даст сумму гебраическую ниже оси соответствующую ал площадей, лежащих (рис. Ох 232). Для того чтобы получить сумму площадей в обычном смысле, нужно найти сумму абсо- Рис. 232. лютных величин интегралов по указанным выше отрезкам или вы ь числить интеграл Q = ~ 1f (х) 1dx. Пр им ер y=sinx 1. Вычислить площадь Q и осью Ох, при о..._х..._2п: (рис. 14 Н. С. Пискунов, т. I фигуры, ограниченной синусоидой 233). [ГЛ. ПРИЛОЖЕНИ.Я ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 402 Решение. Так как х~ О при О.,;;;х.,;;;з~: и sin х.,;;;О при л: sln XII < х.,;;;2з~:1 то 11 1211 Q=~sinxdx+ ~ sinxdx о 1 2Л =~ л :Jt ~ sin х dx=- cos х \sinx\dx, о 1~ =-(cos зi:-cos О)=- (-1-1) =2, о 2Л ~ sin xdx=-cos х l~л=-(cos 2зi:-cos зt)=-2. л Следовательно, Если Q =2+ 1-21 =4. нужно f вычислить площадь f области, ограниченной кри выми у= 1 (х), у= 2 (х) и ординатами х = а, х = Ь, то при усло вии 1 (х) ~ 2 (х) будем иметь (рис. 234) f f ь ь Q= ~ f1 (х) dx- ~ f (х) dr = ~ U1 (х) - f2(x)]dx. 2. (2) 2 а Пр им ер ь а а Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми (рис. 235) y=Jfx И у=х 2 • Решение. Находим точки пересечения кривых: Ух= х 2 ; х= х 4 , откуда Х1 =0, Х2= 1. О Рис. а 233. Рис. Рис. 234. 236. Следовательно, t Q= 1 I 5]lxdx- J(' х2 dx= 5(Jfx-x о о 2) dx=~ x'/ о 3 2 \ 1- о 3 1 1 =~-_!_=_!_, хЗа 3 3 3 Вычислим теперь площадь криволинейной трапеции в случае, если кривая задана уравнениями в параметрической форме § 1] ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ В ПР,ЯМОУГОЛЬНЫХ 1(00РДИНАТАХ (рис. 236) X=(j)(f), a<t<~ где и 403 y=\j,(t), (3) (J)(o:)=a, (j)ф)=Ь. Пусть уравнения (3) опреде f ляют некоторую функцию у= (х) на отрезке [ а, Ь] и, следова тельно, площадь криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле ь ь Q = ~ f(x)dx= ~ ydx. а а Сделаем замену переменной в этом интеграле: х = (t) dt. На основании уравнений (3) получим = (j)' = f [(j) (t)] = 'Ф (t). (j) (t), dx у= Следовательно, = f (х) = /3 Q = ~ 'Ф (t) (J)' (t) dt. (4) Это и есть формула для вычисления площади криволинейной тра пеции в случае кривой, заданной параметрически. Пр им ер 3. Вычислить nлощадь области, ограниченной эллиnсом x=acost, y=bsint. Реш е н и е. Вычислим nлощадь Здесь х изменяется от -а до +а, о верхней nоловины эллипса и удвоим. следовательно, t изменяется от л до О, о :rt Q=2 ~ (bsint)(-asintdt)=-2ab ~ sin 2 tdt=2ab ~ sin 2 tdt= о :rt 1t -2аЬ - s 1t l-cos2t dt-2ab [_!__sin 2t]n -лаЬ 2 2 4 о. о Пр им ер 4. Вычислить площадь области, ограниченной осью Ох и одной аркой циклоиды х=а (t-sin t), у=а (1-соз t). Реше Н'И е. Изменению По формуле (4) t от О до 2л соответствует изменение хот О до 2:па. имеем 2n 2:rt Q= ~ а (1-cos t) а (1-cos t) dt=a 2 ~ (1-cos t) 2 dt !1 = !1 2n 2:rc 2n о о ] =а 2 ( ~ dt-2 ~ cos tdt+ ~ cos 2 t dt , о s s S о о о dt=2:n, cos t dt=O, Окоочател,ьно получаем 14* Q=a2 s+ 2n 2n 2n 2:rt COS 2 t dt -- (2л+л)=3ла 2 • 1 !1 cos 2/ dt --Л. 2 ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 404 § 2. [ГЛ. XII Площадь криволинейного сектора в полярных координатах Пусть в полярной системе координат имеем кривую, заданную уравнением р ~0~~- Определим р = f (0) = f (0), f (0) - где площадь непрерывная сектора ОАВ, и радиус-векторами 0 = а. и 0 = функция при а.~ ограниченного ~- Разобьем данную область радиус-векторами а.= 00 , 0 0п = ~ на п час·тей. Обозначим через Л0 1 , Л0 2 , углы между проведенными радиус-векторами (рис. 237). •.• , Рис. 237. Рис. кривой = 01 , ••• , Л0п 238. Обозначим через r"; длину радиус-вектора, соответствующего какому-нибудь углу вj, заключенному между 0i-l и 01. Рассмотрим круговой сектор с радиусом и центральным Pi углом Л0 1 • Его площадь п будет равна ЛQ 1 = 1 - 2 р}Л0i. Сумма п 1~- l"\_""I -] Q п = 2 ~ р' Л0 i = 2 ~ [f (0 i) 2 Л0 i даст площадь «ступенчатого» i= 1 i=l сектора. Так как эта сумма является интегральной суммой для функции р1 = [f (0) ]2 на отрезке а.~ 0 ~ ~. то ее предел при 1 в есть определенный интеграл 2 какой радиус-вектор Pi мы Sр 2 d0. max Л0i - О Он не зависит от того, 0G возьмем внутри угла Л0i. Этот предел естественно считать искомой площадью фигуры*). Таким образом, площадь сектора ОАВ равна (1) *) чит Можно было бы показать, что это определение площади не противоре данному ранее; иначе говоря, если вычислять площадь криволинейного сектора с помощью криволинейных трапеций, то мы получим тот же результат. § ЗJ ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ или 405 =+ s f3 Q [f (&)]2de. (1 ') а Пр им ер. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемнискатой (рис. 238) р ~ а У cos 20. Решение. Радиус-вектор опишет область с площадью, равной четверти искомой площади, если 0 меняется от О до л/4: s Л/4 . !__ Q =..!__ 4 2 р2 d0 =_!_ а2 2 о Таким образом, s л/4 cos 20 d0 = а2 sin 20 \л/4 = а2 2 2 о 4· о площадь фигуры, ограниченной лемнискатой, будет равна Q=a2. § 3. Длина дуrи кривой 1. Длин а дуг и кр и в ой в прям о угольных к о орд и н ат ах. Пусть в прямоугольных координатах на плоскости дана f кривая уравнением у= (х). Найдем длину дуги АВ этой кривой, вертикальными прямыми х = а и х = Ь (рис. 239). В главе VI (§ 1) было дано определение длины дуги. Напомним это определение. Возьмем на дуге АВ точки А, М 1 , М 2 , • • • . . . , М i• ••• , В с абсциссами а= х 0 , х 1 , х 2 , ... , х 1 , ••• , хп = Ь и проведем хорды AMi, М 1М 2 , ••• , Мп_ 1 В, длины которых обозначим соответственно через Лs 1 , Лs 2 , • • • •.. ,Лsп. ТогдаполучимломануюАМ 1 М 2 ••• • . • Мп_ 1 В, вписанную в дугу АВ. Длина о заключенной у между в1г1r:сJ а х, х;-1 .х, Рис. 239. Х2 о х п ломаной равна sn = ~ Лs;. i= 1 Длиной s дуги АВ называется тот предел, к которому стре мится длина вписанной ломаной, когда длина ее наибольшего звена стремится к нулю: п s= Iim rnax ~ Лs;. Лs;-+0 i= (1) t < Мы докажем сейчас, что если на отрезке а< х Ь функция и ее производная (х) непрерывна, то этот предел сущест вует. Вместе с тем будет дан и способом вычисления длины дуги. Введем обозначение Лу; = (xj (х;_ 1 ). Тогда f (х) f' f f Лs; = V (Лх1 ) 2 + (Лу;) 2 = у 1+ (1~;) 2 Лх;, ПРИЛ ОЖЕНИ.Я ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 406 По теореме Лагранжа имеем ~~: = < s; < xi. (x;;=.~;~:-i) f f' (s;), где [ГЛ. ХН xi_ 1 < Следовательно, Лs; = V1_+[f' (s;)]_2 Лхi. Таким образом, длина вписаннои ломанои равна п Sn= ~V1+[t' (s;)] 2 Лх;. i=I f' По условию, (х) непрерывна, следовательно, функция (х)] 2 тоже непрерывна. Поэтому существует предел написан ной интегральной суммы, который равен определенному интегралу: V 1 + [f' п ь ----~ ~V1+[f'(s;)] 2 ЛX;=~V1+[t'(x)] 2 dx. Итак, полу- lim S= mах Лхi➔ О i= а 1 чили формулу для вычисления длины дуги: Sь -----=-=---с=- s= VI +[f' (x)] 2 dx= а Sь у 1 + (:~)2 dx. (2) а 3 а меч ан и е 1. Исходя из последней формулы, можно полу чить производную от длины дуги по абсциссе. Если верхний пре дел интегрирования будем считать переменным и обозначим через х (переменную интегрирования менять не будем), то длина дуги s будет функцией от х: s (х) = sУ + ui/ х 1 dx. Дифференцируя а этот интеграл по верхнему пределу, получим ds= -./l+(dy)2. dx V dx Эта формула была получена в §1 гл. VI (3) при иных предположе ниях. Пр им ер 1. Решение. Определить длину окружности х 2 +у 2 = r 2 • Вычислим сначала длину четвер1ой части окружност11. ле жащей в первом квадранте. Тогда уравнение дуги АВ будет у= у ,2-х2, откуда х dy d-=,r r -- . х ,2-х2 Следовате,1Jьно, r 1 4 ~-~- r s=S ,/ 1+~dx=S ~ У r -х ,2-х2 о о dx=rarcsin.!5..ir =r r о зt2 • Длина всей окружности s=2зtr. Найдем теперь длину дуги кривой в том случае, когда урав нение кривой задано в параметрической форме: X=<:p(t), y='\j)(f) (a~t~~), (4) ДЛИНА ДУГИ :К.РИВОЙ § З] 407 где с:р (t) и 'Ф (t) - непрерывные функции с непрерывными произ водными, причем с:р' (t) на заданном участке не обращается в нуль. В этом случае уравнения (4) определяют некоторую функцию у= (х), непрерывную и имеющую непрерывную производную f 'Ф' (t) dy dx= !р' (t)· Пусть а= с:р становку х = <р , 13 s=S y1+[~,~h] c:p'(t)dt, или 2 3 (2) под 13 s=SV[ep'(t)]2 +[чi'(t)] 2 dt.(5) 0G 0G в в интеграле (rx), Ь = <р (13). Тогда, сделав (t), dx = с:р' (t) dt, получим а меч ан и е силе Можно доказать, что формула 2. (5) остается и для таких кривых, которые пересекаются вертикальными прямыми более чем в одной точке (в частности, для замкнутых кривых), лишь бы во всех точках кривой были непрерывны обе производные ер' Пр им ер 2. (t) и 'Ф' (t). Вычислить длину астроиды х=а cos 3 t, у=а sin 3 t. Решение. Так как кривая симметрична относительно обеих координат ных осей, то вычислим сначала длину ее четвертой части, расположенной dy dx dt=Зasin 2 tcost. Пара• в первом квадранте. Находим dt=-Зacos 2 tslnt, метр t будет изменяться от О до n/2. Следовательно, 1s = Sf9a cos t sln t+9a sln t со;;2 t_dt=Зa Sуcos t sin t dt= n/2 n/2 ---,----,----,,----,--....,,... 2 2 4 2 2 4 2 о Q n/2 =За Ssin / cos t sln 2 t /п/2 dt=Зa2- q =2За ; s=ба. о 3 а меч ан и е параметрическими 3. Если задана п ростр ан ст венная кривая уравнениями x=c:p(t), где а~ t ~~ (см. (так же как и для у=ч,(t), z=x(t), (6) гл. IX), то длина ее дуги определяется плоской дуги) как предел, к которому стре § 1 мится длина вписанной ломаной, когда длина наибольшего звена стремится к нулю. Если функции ер (t), 'Ф (t) и х, (t) непрерывны и имеют непрерывные производные на отрезке [ а, ~], то кривая имеет определенную длину (т. е. для нее существует вышеуказан ный предел), которая вычисляется по формуле f} s= ~ У[ер' (tH1 +[чi' (t)]2 +[x' (t)J1 dt. а Поеледний результат мы принимаем без доказательства. (7) [ГЛ. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 408 Пример Xll Вычислить длину дуги винтовой линии x=acost, у= при изменении t от О до 2л. . Решен и е. Из данных уравнений находим dx = -а sin t dt, dy = а cos t dt, ат dt. Подставляя в формулу (7), получим 3. = а sin t, z = amt dz = 2л -,,.----,,....,-~.,,-----,,-,-:--са--а 2л S= ~ Va 2 sin 2 t+a 2 c.os 2 t+a 2 m2 di=a ~ v1+m 2 dt=2лav1+m 2 • о о Длина дуги кривой в полярных координатах. Пусть в полярных координатах задано урав нение кривой 2. р где х = f (0), р- полярный (8) радиус, е полярный Напишем формулы перехода от поляр ных координат к декартовым: x=pcose, у= р sin е. Если сюда вместо р подставим его выражение (8) через 0, то получим уравнения x=f(0)cos0, y=f(0)sin0. Эти Рис. 240. уравнения можно рассматривать рические - угол. уравнения менить формулу параметру 0: (5). кривой как парамет и для вычисления длины дуги при Для этого найдем производные от х и у по :; = f' (0) cos 0 - f (0) sin 0, :~ = f' (0) sin 0 + f (0) cos 0. Тогда Следовательно, 0 S= ~ V p' 2 +p 2 d0. е. Пример 4. Найти длину кардиоиды Изменяя полярный угол Здесь р' S=2 :п: ~ =- а sin 0. 0 от О до :n:, p=a(l+cos0) (рис. получим половину 240). искомой длины. Следовательно, ~--~~----,, Va2 (I+cos0) 2 +a 2 sin 2 0d0=2a о л ~ ~--:п: v2+2cos0d0=4a ~ cos =Basin Пр и м е р 5. ~ dO= о Q ~ 1: =Ва. Вычислить длину эллипса X=GCOS f, > y=bsin t, 0,;;;;;;t,;;;;;;2л, предполагая, что а Ь. Решение. Для вычисления воспользуемся формулой (5). Вычислим сначала 1/4 длины дуги, т. е. длину дуги, соответствующей изменению ВЫЧИСЛЕНИЕ § 4) параметра от ~= f=O до ОБЪЕМА ТЕЛА 409 t=n/2: n/2 S у a~sin 2 t+b 2 cos 2 tdt= u n/2 ------~~~ n/2 ~ y'"a 2 (1-cos 2 t)+b 2 cos 2 tdt= \ Jla 2 -(a 2 -b 2 )cos 2 tdt= u n/2 =а _ _ _ _о _ _ _ Sу о где k = уа2-ь2 а < 1. n/2 1-а 2 а~ b\os 2 tdt=a s = 4а 2 cos 2 tdt, о n/2 Следовательно, SYl-k S ,rr 1 -k" со5 2 t Остается dt. u только вычислить последний интеграл. Но он, как известно, ве выражается в элементарных функциях (см. § 14 гл. Х). Этот интеграл можно вычислить только приближенными методами (например, по формуле Симпсона). В частности, если большая полуось эллипса равна 5, а ма,1Jая равна 4, то k=З/5, и длина эллипса равна s=4-5 nj2 S у 1-( ~ )\os 2 tdt. Вычис о ляя последний интеграл по формуле Симпсона (деля отрезок тыре части), получим приближенное значение интеграла: л/2 Sу о ~ 1,298, [О, :n:/2] 1-: на че cos 2 t dt-;::: и, следовательно, длина дуги всего эллипса приближенно равна s ::::а 25,96 единицы длины. § 4. Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений Пусть имеем некоторое тело Т. Предположим, что известна площадь любого сечения этого тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ох (рис. 241). Эта площадь будет зависеть от положения секущей плоскости, т. е. будет функцией от х: Q = Q (х). Предположим, что Q (х) есть непрерывная функция от х, и опре делим объем данного тела. Проведем плоскости х = xQ = а, х = х 1 , Х=Х 2 , •• , , Х=Хп=Ь. Эти плоскости разобьют тело на слои. В каждом частичном промежутке х i-i ~ х ~ xi выберем про извольную точку Si и для каждого значения i = 1, 2, ... , п по строим цилиндрическое тело, образующая которого параллельна оси Ох, а направляющая представляет собой контур сечения тела Т плоскостью х = Si. Объем такого элементарного цилиндра с пло щадью основания Q (sJ (xi-i ~Si~xi) и высотой Лхi равен п Q (si) Лхi. Объем всех цилиндров будет vп = ~ Q (sJ Лхi. i=l ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 41() Предел этой суммы при max xi-+ О [ГЛ. ХП (если он существует) на зывается объемом данного тела: п v= lim max Лхi➔ О ~ Q (;i) Лхi. i= 1 Так как vn представляет собой, очевидно, интегральную сумму для непрерывной функции Q (х) на отрезке а~ х ~ Ь, то указан- !/ Рис. Рис. 241. ный предел существует и выражается 242. определенным интегралом: ь V= ~ Q (x)dx. (1) а Пр им ер. Вычислить объем трехосного эллиnсоидэ (рис, х2 у2 242) z2 а2 +Ь2+с2= 1, Oyz Решен и е. В сечении эллипсоида плоскостью, параллельной плоскости и отстоящей на расстоянии х от нее, получится эллипс у2 z2 х2 у2 z2 Ь2+с2=l-а2, [ь у1-;:]2 + [ с у1-::] 2 с полуосями Ь1 = Ь у 1равняется rcb c 1 1 ;: , (см. пример с1 = с у 1- ~: . Но площадь такого эллипса 3 § 1). Поэтому Q(x)=rcbc(i-::). Объем эллипсоида будет равен S(1-::) dx=nbc ( х-;:2 ) 1:а = ~ паЬс. а v=nbc -а В частности, если а= Ь получаем = с,, эллипсоид превращается :в шар, и в этом случае ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ §6] 411 § 5. Объем те.ла вращения Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси Ох кри волинейной трапеции аАВЬ, ограниченной кривой у= (х), осью Ох и прямыми Х=а, х=Ь. f В этом случае произвольное сечение тела плоскостью, перпен дикулярной к оси абсцисс, есть пу 2 = круг, площадь которого Q у = =n[f(x)] 2 • Применяя общую формулу для [ ( 1) § 4], по вычисления объема формулу для вычисления объема тела вращения: лучим :с ь ь ь v=n ~ y 2 dx=n ~ [f (x)] 2 dx. а а Найти П р им ер. образуемого вращением тела, линии объем цепной у=; (e-*+e-xfa) вокруг оси Ох на участке от х=О до х=Ь (рис. 243). Решение. v=n а; s ь (extri+e-xf.a)2 dx о =n: =п:2 s x-; е-2х/а]: =п: (е2Ь/а_е_ 2Ьfа) + ь (e2xta+2+e-2xfa) dx= о 2 [; 3 e2xta+ 2 n~2b. § 6. Площадь поверхности тела вращения Пусть нам дана поверхность, образованная вращением кривой у= (х) вокруг оси Ох. Определим площадь этой поверхности на (х) предположим непрерывной участке а~ х ~ Ь. Функцию и имеющей непрерывную производную во всех точках отрезка [а, Ь]. f f Как и в § 3, проведем хорды АМ 10 М 1 М 2 , ••• , Мп_ 1 В, длины которых обозначим через Лsi, Лs 2 , ••• , Лsп (рис. 244). = 1, 2, ... , n) при вращении опишет Каждая хорда длины Лsi (i усеченный конус, площадь поверхности которого ЛР i равна ЛР i = =2зtYi-l2+Yiлsi. Но Лsi=VЛх~+лу~= у 1+(~~~) 2 лхj. При меняя теорему Лагранжа получим Луi = f (хд-f (xi_,) Лхj ' Xj-Xj-1 = f' (s) { ' где x1_i < s 1 < xi; следовательно, Лsi = V 1 + f' 2 (si) Лхi, ЛР 1 = = 2nYi-ii YiJ71 + f' 2 (si) Лхi. Площадь поверхности, описанной п ломаной, будет равна Pn=2n~:/i-iiYiJ7I+f' 2 (1;i)Лx 1 , или i=I [ГЛ. ХП ПРИЛОЖ:ЕН11Я ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 412 сумме п Рп=Л ~[f(xi-1)+f(xJ]Vl+/'2(sj)Лxj, (1) i=I распространенной на все звенья ломаной. Предел этой суммы, когда наибольшее звено ломаной Лsi стремит у ся к нулю, называется площадыо рас сматриваемой поверхности вращения. Сумма (1) не является интегральной суммой для функции ь 2лf (х) V I + х так как в слагаемом, f' (х) 2 , (2) соответствующем отрезку [xi_ 1 , xiJ, фигурирует нес колько точек этого отрезка xi-i, xi, Но можно доказать, что предел суммы (1) равняется пределу интегральной суммы для функции (2), т. е. Si• Рис. р 244. п lim = maxлxi ➔ O л ~ [f (xi-1) + t (xi)1Vl + f' 2 (si) Лхi = i=I п = или lim maxлxi ➔ O л ~ 2f (si) V 1 + f' 2 (Sj) Лхj, i=I ь Р=2л ~ f (х) VI + f' 2 (х) dx. (3) а Пр им ер. Оnределить nлощадь nоверхности параболоида, образов,шного вращением вокруг оси Ох дуги nаргболы у 2 2рх, соответствующей изменению х = ОТ х=О до Х=а. Решение . .. r2рх, - у, у=.,По формуле (3) = V2p ,г- , "г r 1 +у' 2 = у 1 +2р= у2х+р. х 2.,- ~ s а P=2n s а J/"2px У 2 \1Р dx=2nJ/"p о f2x+pdx= о =2n УР ~ 3 § 7. ~ получим 2 л: УР (2х+ р)'/, _!_\а= 2 о 3 [(2a+p)'I,_ p'I•]. Вычисление работы с помощью определенного интеграла Пусть под действием некоторой силы движется по прямой 0s, правлением движения. F материальная точка М причем направление силы совпадает с на Требуется найти работу, произведенную ВЫЧИСЛЕНИЕ § 7] силой жение 1) F при s=b. 41-З перемещении точки М из положения Если сила дением силы РАБОТЫ s= а в поло F постоянна, то работа А выражается произве на длину пути, т. е. F A=F (Ь-а). 2) Предположим, что сила F непрерывно меняется в зависимо сти от положения материальной точки, т. е. представляет собой функцию на непрерывную F (s), отрезке a~s~b. F Разобьем отрезок [ а, Ь] на п произ вольных частей с длинами Лs 1 , Лs 2 , ••• . . . , Лsп, затем в каждом частичном отрезке [si_ 1 , si] выберем произвольную точку Si и заменим работу силы F (s) на nути Лsi {i = 1, 2, ... , п) произведениеiV! F (bl Лsi. Это значит, что в пределах каждого частич ного отрезка мы принимаем силу F за пос = F (st). В та тоянную, а именно полагаем F Рис. 245. ком случае выражение F (s 1) Лsi при дос таточно малом Лsi дает нам приближенное значение работы силы п F на пути Лs 1 , а сумма Ап = ~ F (st) Лsi будет приближенным i=I выражением работы силы F на всем отрезке [ а, Ь ]. Очевидно, Ап представляет собой интегральную сумму, состав ленную для функции F=F (s) на отрезке [а, Ь]. Предел этой суммы при max Лs 1 -+ О существует и выражает работу силы F (s) на Ь: а до точки s пути от точки s = = ь А=~ F (s) ds. (1) а Пр им ер 1. Сжатие S винтовой пружины пропорционально приложенной силе F. Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 5 см, если д.11я сжатия ее на I см нужна сила 10 Н (рис. 245). Р е ш е н и е. Сила F и перемещение S связаны по условию зависимостью F=kS, где k-постоянная. Будем выражать S в метрах, F-в ньютонах. При S =0,01 I0=k•0,01, откуда k=lO00, F=l000S. На основании формулы F = 10, т. е. (1) имеем 0,05 А= S 1000 S dS= 1000 2s2 /0,os = 1,25 0 Дж. о Пр им ер 2. Сила F, r, которой электрический заряд е 1 отталкивает заряд е 2 (того же знака), находящийся от него на расстоянии г, выражается формулой F =k ei;z ; где k-посrоянная. г Определить работу силы F при перемещении заряда е 2 из точки Ai, отстоя щей от е 1 на расстоянии г 1 , в точку А 2 , отстоящую от е 1 на расстоянии г 2 , полагая, что заряд е 1 помещен в точке А 0 , принятой за начало отсчета. ПРИЛОЖЕНИ,Я ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 414 [ГЛ. XII r, Решение. По формуле (1) имеем А= 2 ke e Skе-1rе-dr=- r, = l -l ) ke 1e2 ( Г1 Г2 . При r2 = + со l 1 2 - 2 получим А= s /r• = r r, + <Х> 1 e2 keke 1 e2 2 - dr = - - r, Т Г1 • При е 2 = 1 :А = k е; . Последняя величина называется потенциалом поля, созд1: ваемого зарядом ei, § 8. Координаты центра масс Пусть на плоскости Оху дана система материальных точек Р 1 (х 1 , у 1 ), Р 2 (х 2 , у 2 ), ••• , Рп (х,,, Уп) с массами т 1 , m 2 , •• • , т,,. Произведения ximi и yimi называются статическими моментами массы mi относительно осей Оу и Ох. Обозначим через хе и Ус координаты центра масс данной системы. Тогда, как известно из курса механики, координаты центра масс формулами описанной материальной системы определяются (1) (2) Мы используем эти формулы при отыскании центров масс раз личных фигур и тел. 1. Центр масс плоской линии. Пусть дана кривая АВ уравнением у= (х), а::::;;; х::::;;; Ь, и пусть эта кривая представляет f собой матер и аль н у ю линию. Предположим, что линейная плотность *) такой материальной кривой равна у. Разобьем линию на п частей длины Лsi, Лs 2 , • • • , Лsп. Массы этих частей будут равняться произведению их длин на (постоянную) плотность: Лт 1 = yЛsi. На каждой части дуги Лsi возьмем произвольную точку с абсциссой Представляя теперь каждую часть дуги Лsi материальной точкой Pi [si, (si)] с мас сой уЛs 1 и подставляя в формулы (1) и (2) вместо xi значение ~i• Si. вместо f Yi значение f (sj), а вместо mi значениеуЛsi (массы частей Лsi), получим приближенные формулы для определения центра масс *) Линейной плотностью называется масса единицы, длины данной линии. Мы предполагаем, что линейная: плотность на всех участках кривой одинан.ова. I<ООJЭДИНАТЫ ЦЕНТРА МАСС § 8] 415 дуги: Если функция у= f (х) непрерывна и имеет непрерывную произ водную, то стоящие в числителе и знаменателе каждой дроби суммы при max Лsi-+ О имеют пределы, равные пределам соответствующих интегральных сумм. Таким образом, координаты центра масс дуги выражаются определенными ь интегралами: ь S х }"l +f'l (х) dx Sxds а а = ---ь,------- ~с= -ь- s S }"1 + {' ds 2 ( 1') (х) dx а а ь ь S f (х) }"1 + f' Sf (х) ds а у с= -.,....ь-- sds - 2 (х) dx а (2') --,-ь------- S }"1 + f' (х) dx 2 а а Пр им ер 1. Найти координаты центра масс полуокружности х2 +у 2 =а2, расположенной над осью Qx. Р е ш е н и е. Определим ординату центра масс: у= у а 2 -х2 , dy = dx 5У У х а 2 -х 2 , ds= -. /" 1+(dy)i dx, ds= У dx а Ус Хе =0 2. а }" а2 -х 2 dx ' а az-xz -а _а_ _ dx а S dx У а2-х2 па - 2а 2 -а na 2-а =м=it• (так как полуокружность симметрична относительно оси Оу). Центр масс пл ос к ой фигуры. Пусть данная фигура, ограниченная линиями y=f1 (x), y=f 2 (x), ляет собой матер и ал ь ну ю плоскую плотность, т. е. массу единицы площади считать постоянной и равной б для всех Разобьем данную фигуру прямыми х = .х=а, х=Ь, представ фигуру. Поверхностную поверхности, мы будем частей фигуры. а, х = Х1 , ••• , х = хп = Ь на полоски ширины Лх 1 , Лх 2 , ••• , Лхп. Масса каждой полоски будет равна произведению ее площади на плотность б. Если каждую полоску заменить прямоугольником (рис. 246) с основанием Лхi и высотой f 2 (si) - f 1 (si), где si = х·1 - \+х·1 , то масса полоски будет приближенно равна Лm 1 =б[f 2 (s 1-)-f 1 (s)JЛxi (i=1, 2, ... , п). Приближенно центр масс этой полоски будет находиться в центре соответствующего прямоугольника: (х1 )с = Si, (У;)с = 12 (~;); 11 (~i). ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 416 [ГЛ. ха Заменяя теперь каждую полосr<у материальной точкой, масса которой равна массе соответствующей полоски и сосредоточена JI .z'=O {, д;; f2 .Тz .Z' Рис. 246. .z'= Ь Рис. 247. в центре масс этой полоски, найдем приближенное значение коор динат центра масс всей фигуры (по формулам (1) и (2)): Хе~ ~ 6i6 !f2(s;)-f1 (si)] Лх; ~ """6 1 ' U2 (s;)-f1 (s;)] Лхi L. U2 <s;)+ t1 <sйJ ь rt2 <sд-t1 (s;)J лХj 2 Ус~ ~ lf 2 (bl-f1 f) (si)] Лх; Переходя к пределу при Лх,-+ О, получим ь ь Хе= S[f~ (х) - ~ ~ х U2 (x)-f 1 (х)] dx _ _ _ _ _ __ а fi (х)] dx а Ус= --,-ь------- _ь ~ [f2 (х)-/1 (х)] dx ~ !f2 (x)-f1 (х)] dx а а Эти формулы справедливы для любой однородной (т. е. имеющей постоянную плотность во всех точках) плоской фигуры. Как мы видим, координаты центра масс не зависят от плотности 6 фигуры (в процессе вычисления 6 сократилось). у2 Пр им ер 2. Определить отсекаемого прямой х = ах, координаты центра (рис. 247). =а ре Ш е НИ е. В данном случае f2 (х) а 2~xYaxdx Хе= о а 2 ~ Yaxdx о сегмента параболы = У ах, f 1 (х) = - Уах, поэтому -v2 -v3 2 масс 2 •1 а-х• 5 2 •1 • а-х la о 4 -аз 5 3 =5а, la о 4 3 -а2 Ус=О (так как сегмент симметричен относитеJ1ьно оси Ох). §!JJ ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ Л:ИНИИ, КРУГА И ЦИЛИНДРА § 9. 417 Вычисление момеtпа инерции линии, круга и цилиндра с помощью определенного интеграла Пусть на плоскости хОу дана система материальных точек Р1(Х1, У1}, Р2(Х2, У2), .•. , Рп(хп, Уп), С массами mi, т2, ... , тп. Тогда, как известно из механики, момент инерции системы мате риальных точек относительно точки О определяется так: п 10 = ~ (х~+ у;) mi, i=l где r i = п или / 0 = ~ r7mi, (1) i= 1 V xf +У~. Как и в а~ х ~ Ь, где § 8, пусть кривая АВ дана уравнением у= f (х), f (х) - непрерывная функция. Пусть эта кривая пред ставляет собой Аtаmериальную линию. Пусть линейная плотность линии равна 1'· Снова ра- забьем линию на п частей длины Лs 1 , Лs 2 , ... , Лsп, где Лsi = V Лхf + Лу~, • • • а массы О.___~__, ~ этих частей Лтi = -vЛsi, Лт 2 = -vЛs 2 , • • • . . • , Лт = vЛsп. На каждой части дуги возь- Ах l .:r: Рис. 248 . s,. мем прtизвольную точку с абсциссой Ордината этой точки будет '11. = f (s ·). Приближенно момент инерции дуги относительно точки О в 1 соотв~тствии с формулой (1) будет п I о~ ~ (sF+ rif> 'V Лs1. i=I f (2) f' Если функция у= (х) и ее производная (х) непрерывны, то при Лsi-+ О сумма (2) имеет предел. Этот предел, выра:жt!ющийся определенным интегралом, и определяет момент инерции материаль ной линии: ь I 0 =--; ~ [х 2 + /2 (x)]VI + /' 2 (х} dx. (3) а 1. Момент инерции тонкого однородного стержня дли н ы l относ и тел ь но его к он ц а. Совместим стержень с отрезком оси Ох: O~x~l (рис. 248). В этом случае Лsi=Лх 1 , Лтi = 1Лхi, rf = х~ и формула (3) принимает вид l S I о с = '\' xz dx = ')' ~. (4) о Если дана масса стержня М, то '\' = MJl и формула (4) при нимает вид (5) ПРИЛО:ЖЕНИ.Я ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 418 [ГЛ. XII 2. Момект инерции окружности радиуса r отно с и т е л ь н о цен т р а. Так как все точки окружности находятся l/ на расстоянии = r от центра, а его масса т 2nr •'\', то момент инерции окружности будет / 0 /? (6) М о м е н т и н е р ц и и од н о р од н о- 3. :JJ = mr2 = '\' •2nr • r2 = '\' •2nr8 • го кругарадиусаR относительно центр а. Пусть б- масса единицы пло щади круга. Разобьем круг на п колец. Рассмотрим одно кольцо (рис. 249). Пусть его внутренний радиус Гt, внешний Рис. 249. + ri Лr 1 • Масса этого кольца Лтi с точность'О до бесконечно малых высш€го порядка относительно Лri будет Лт; б •2nr1 Лr i. Момент инерции этой массы относительно центра в соответствии с формулой (6) приближенно будет (Л/ 0 )i ~ ~ б • 2nr; Лr i • r~ б • 2лrf • Лr i. Момент инерции всего круга как системы колец будет выражаться приближенной формулой n = = ~ б-2nr?Лri. / 0 ~ (7) i=I Переходя к пределу при площади круга max Лri--. О, относительно получим момент инерции центра: R / 0 = б •2n SГ 3 dr = R.4 л6 2 . (8) о EeJ1Iи дана масса круга М, то поверхностная плотность б опре деляется так: м б = пR.i • Подставляя это значение, окончательно получаем (9) 4. Очевидно, что если имеем круглый цилиндр, радиус основания которого R и масса М, то его момент инерции относительно оси выражается формулой (9). Упражнения Вычисление 1. Отв. 2. Найти площадь фигуры, к главе ХН площадей ограниченной линиями у 2 =9х, у=Зх. 1 2 . Найти площадь фигуры, ограниченной равнобочной гиперболой ху=а 2 , осью Ох и прямыми х=а, х=2а. Отв. a 2 ln 2. 3. Найти площадь фигуры, эаключенной осью Ох. Отв. 32/3, между кривой у=4-х2 и УПРА)К.НЕНИ,Я К ГЛАВЕ XII 4i9 4. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой х 2 1 3 +у 2 1 3 з 2 отв. впа. = а 2 IЗ. 5.. Найти площадь фигуры, осью Ох, осью 6. Найти ограниченной цеnной линией у=а ch ~ 1 а Оу и прямой х=а. Отв. а 2 she. площадь фигуры, ограниченной кривой y=.r, прямой у=8 и осью Оу. Отв. 12. 7. Найти площадь области, ограниченной одной полуволной синусоиды и осью абсцисс. Отв. 2. 8. Найти площадь области, заключенной между параболами у 2 2рх, х 2 =2ру. Отв. 4р 2 /3. 9. Найти всю площадь фигуры, у=х. Отв. 3/2. 10. Найти площадь = линиями у=х 3 , у=2х, ограниченной области, ограниченной одной и осью абсцисс. Отв. 3па 2 • аркой циклоиды x=a(t-stnt), y=a(l-cost) t. 11. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой х= а cos 3 t, у= а sin 3 Отв. 3па 2 /8. 12. Найти площадь всей области, ограниченной лемнискатой р2 = а 2 cos 2q,. Отв. а 2 • Вычислить 13. p=asi:n2q,. Вычислить 14. р=а площадь области, ограниченной 17. 18. петлей. кривой полную площадь области, ограниченной кардиоидой ер). Отв. 3па2 /2. Найти площадь области, ограниченной кривой р а cos q,. Отв. па 2 /4. Найти площадь области, ограниченной кривой р=а cos 2q,. Отв. па 2 /4. Найти площадь области, ограниченной кривой р= cos Зср. Отв. :rt/4. Найти площадь области, ограниченной кри1;юii p=a.cos4(j). Отв-• .rna2 /4. (1-cos 15. 16. одной Отв. па 2 /8. = Вычисление х2 объемов у2 19. Эллипс а2+Ь2= 1 вращается вокруг ОСИ! Ох. Найти объем тела вра- щения. Отв. ; паЬ 2 • za. Отрезок прямой, соединяющий начало координат с точкой (а, Ь), щается вокруг оси у. Найти объем полученного конуса. Отв. ~ па2Ь. вра + объем тора, образованного вращением окружности xz =а 2 вокруг оси Ох (предполагается, что Ь~а). Отв. 2п 2 а 2 Ь. 22. Фигура, ограниченная линиями у 2 =2рх и х=а, вращается вокруг 21. Найти + (у-Ь) 2 ос.и Ох. Найти объем тела вращения. Отв. пра 2 • + 23. Фигура, ограниченная астроидой х 213 у 2 1 3 а 2 1 3 • вращается воюруР оси Ох. Найти объем тела вращения. Отв. 32ла 3 /!05. 24. Фигура, ограниченная одной дугой синусоиды y=slnx и осью Ох; вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения. Отв. п 2 /2. 25. Фигура, ограниченная параболой у 2 =4х и прямой х=4, вращается вокруг сси Ох. Найти объем тела вращения. Отв. 32:rt. 26, Фигура, ограниченная кривой у=хех и прямыми у=0 1 х= t, вра- = щается вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения. Отв. : (е 2 - 1). Фигура, ограниченная одной аркой циклоиды Х= а (t-sin t), и осью Ох, вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела вра щения. От.в. 5л: 2 а3 , 27. g=a(l-cos t) 28. Та же фигура, что и в задаче 27, вращается вокруг оси Оу. Найти объем тела вращения. Отв. 6л; 2 а3, ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 420 [ГЛ. XII 29. Та же фиrура, что и в задаче 27, вращаетсsr вокруr прsrмой, парал лельной оси Оу и проходsrщей через вершину циклоиды. Найти объем тела вращениsr. Отв. :па 3 (9:п 2 - 16)/6. 30. Та же фигура, что и в задаче 27, вращаетсsr вокруr прsrмой, парал лельной оси Ох и проходsrщей через вершину циклоиды. Найти объем тела вращения. Отв. 7:п 2 а 3 • 31. Цилиндр радиуса пересечен плоскостью, проходsrщей через диаметр основаниsr под углом а к плоскости основания. Найти объем отсеченной части. R Отв. ; R 3 tg а.. Найти 32. Отв. объем, общий двум x 2 +y 2 =R 2 , цилиндрам y~+z 1 =RJ. 16R3 /3. 33. Точка пересе'!ениsr диагоналей квадрата перемещается вдоль диаl\!етра круга радиуса а; при этом плоскость, в которой лежит квадрат, все времsr остается перпендикулярной к плоскости круга, а две противоположные вер шины квадрата перемещаются по окружности (при движении величина квадрата, очевидно, меняетсsr). Найти объем тела, образуемого этим движущимся квадра том. Отв. 8а3 /3. 34. лоида Вычислить у2 z2 2p+2q=x 35. объем сегмента, отсекаемого плоскостью Х=а. Отв. :na2 эллиптического рическими поверхностями х 2 =2ру и -.+-ь2 = 1, а• ;1;2 - 2 а z2 2 +- = 1, с лежащих в z=O, у=О, цилинд- и плоскостью х=а. Отв. z2 =2px (в первом октанте). 36. Прямая движется параллельно плоскости у2 парабо- r pq. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостями . х2 от ,r- Oyz, а3 V2a ,r- 7 f р пересекая два эллипса плоскостях Оху и Oxz. Вычислить объем полученного тела. Отв. 8аЬс/3. Вычисление длин дуr 37. Найти всю длину астроиды x 2l 3 + y 2l 3 = а 2 1 3 • Отв. 6а. 38. Вычислить длину дуги полукубической параболы ау2 =х3 от начала координат до точки с абсциссой х=5а. Отв. 335а/27. 39. Найти длину цепной линии у =а х chа от начала координат до точки (х, у). Отв. а sh~=Vy2 -a2 • а Найти Отв. Ва. 40. длину одной арки циклоиды х=а (l-sln t) у=а (l-cos t). 41. Найти длину дуги кривой y=lnx в пределах от х=VЗ до 1 З Отв. 1+ 2 1n 2 . x=VB. 42. Найти длину дуги кривой y=l-lncosx в пределах от x=0дox=:rt/4. ln tg (Ззt/8). 43. Найти длину спирали Архимеда р = а<р от полюса до конца первого Отв. завитка. Отв. :rtaV1+4:rt2 44. Найти Отв. V~ (l_ длину +~ спирали In(2:rt+V1+4n 2 ). р=е<ХФ от полюса до e<Xll>=_e,Vl+a. 2 • О\ 45. Найти всю длину кривой р = а sin 3 (<р/3). Отв, Зnа/2. точки (р, ер), 'УПРАЖНЕНИЯ: К ГЛАВЕ длину Найти 46. 421 с2 x=-ccs3 t, эллипса эволюты XII а 4(а 3 -Ь 3 ) аЬ Отв. 47. 48. Найти длину кардиоиды p=a(l+cos1p). Отв. Ва. Найти длину дуги эвольвен1ы окружности x=a(cosq:,+1psin1p), y=a(sin1p-q,cos1p) от <р=О до <р=<р 1 • Отв. aq,i/2. Вычисление у 2 =4ах от начада О до точки с вращения тел вращением полученной поверхнос1и, Ох, оси вокруг поверхностей площадей площадь Найти 49. параболы х=3а. абсциссой Отв. 56.na2 /3. 50. Найти площадь поверхности конуса, образуемого вращением отрезка прямой у= 2х от х = О до х = 2: а) Вокруг оси Ох. Отв. 8:rt 'J,г-5. б) Вокруг оси Оу. Отв. 4л Найти 51. V5. площадь > а). Отв. вращением полученного тора, поверхности х2+(у-Ь) 2 =а 2 вокруг оси Ох (Ь круга 4:rt 2ab. поверхности тела, образованного вращением карди Кардиоида задана параметрическими уравнениями x=a(2cos1p-cos2<p), y=a(2sinq,-sin2q:,). Отв. l28.na 2 /5. 53. Найти площадь поверхности тела, полученного вращением одной арки 52. оиды Найти площадь вокруг оси Ох. циклоиды x=a(t-sint), y=a(l-cost) около оси Ох. Отв. 64ла 2 /3. 54. Арка циклоиды (см. задачу 53) вращается около сси Оу. Найти поверх- ность тела вращения. Отв. 16л2 а 2 + 634 ла2 • 55. Арка циклоиды (см. задачу 53) вращается около касательной, парал лельной оси Ох и проходящей через вершину. щения. Отв. 32ла 2 /3. Найти поверхность тела вра 56. Астроида x=asin 3 t, y=aco& 3 t вращается около оси Ох. Найти поверх ность тела вращения: Отв. 12ла 2 /5. 57. Дуга синусоиды y=sin хот х=О до х=2л вращается около оси Ох. Найти поверхность тела вращения. Отв. 4л [ V2 58. Эллипс х2 у2 а 2 +Ь2= 1 + ln (V2+ 1)). (а> Ь) вращается вокруг оси Ох. VаЧ72 ность тела вращения. Отв. 2лb 2 +2лabarc:in е , где с Различные 59. Найти приложения центр масс площади а определенного четверти эллипса Найти поверх- интеграла х2 у2 а2°+Ь2 =1 (х;:;,,,, О, у;:;,,,,О). Отв. 4а/3л; 4b/3n. 60. Найти центр масс площади фигуры, ограниченной параболой х2 +4у- - 16=0 и осью Ох. Отв. (О; 8/5). 61. Найти центр масс объема полушара. Отв. На оси симметрии, на расстоянии 3RJB от основания. 62. Найти центр масс поверхнссти полушара. Отв. На оси симметрии, на расстоянии R/2 от основания. 63. Найти центр основания которого от основания. R, масс поверхности а высота h. кругового прямого конуса, ради ус. Отв. На оси симметрии, на расстоянии h/3 64. Фигура ограничена линиями y=sinx(Ois;;;;x...;;n), у=О. Найти центр масс площади этой фигуры. Отв. (:rt/2, п/8). 65. Найти центр масс площади фигуры, ограниченной параболами у2=20х, х2 =20у. Отв. (9; 9). ПРИЛОЖ:ЕНИ,Я ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 422 66. (ГЛ. XII Найти центр масс площади кругового сектора с центральным углом 2а 2 sin о: и радиусом Отв. R. На оси симметрии, на расстоянии 3 R~ от вер- шины сектора. 67. Найти величину давления воды на прямоугольник, вертикально погру женный в воду, если известно, что основание его равно 8 м, высота 12 м, верхнее основание параллельно свободной поверхности глубине 5 м. Отв. 1,056-104 Н. воды и находится на 68. Верхний край шлюза, имеющего форму квадрата со стороной, равной м, лежит на поверхности воды. Определить величину давления на каждую из частей шлюза, образуемую делением квадрата одной из его диагоналей. Отв. 853333,3 Н, 1706666,7 Н. 69. Вычислить работу, необходимую для того, чтобы выкачать воду 8 из полусферического сосуда, диаметр которого равен 20 м. Отв. 2,5-10 7:rt Дж. 70. Тело движется прямолинейно по закону X=ct 3, где х-длина пути, проходимого за время t, с= coпst. Сопротивление среды пропорционально квадрату скорости, причем коэффициент пропорционалыюсти равен v- k. Найти работу, производимую сопротивлением при передвижеиии тела от точки х=О до точки х=а. Отв. 27 k 7 с2 а7 • Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать жидкость плотиостью у из резервуара, имеющего форму обращенного вершиной книзу конуса, высота которого Н, а радиус основания R. Отв. nyR 2 H 2 f12. 72. Деревянный поплавок цилиндрической формы, площадь основания 71. которого S=4000 см 2 , а высота Н=50 см, плавает на поверхности воды. Какую работу нужно затратить, чтобы = вытащить поплавок на поверхность? (Плотность дерева 0,8.) Отв. y 2 H 2S/2 320 Дж. 73. Вычислить силу, с которой вода давит на плотину, имеющую форму равнобочной трапеции, верхнее основание которой а=6,4 м, нижнее Ь=4,2 м, а высота Н=3 м. Отв. 2,22-10 5 Н. 74. Найти осевую состав,1Jяющую Р Н полного давления пара на сфери ческое дно котла. Диаметр цилиндрической части котла D мм, давление пара в котле р Па. Отв. Р=лрDа/4000000. 7i5. Конец вертикального вала радиуса r поддерживается плоским подпят ником. Вес вала Р распределяется равномерно на всю поверхность опоры. Вычислить полную работу сил трения при одном обороте вала. Коэффициент трения µ. Отв. 4:rtµPr/3. 76. Вертикальный вал оканчивается пятой, имеющей форму усеченноr-о конуса. Удельное давление пяты на подпятник постоянно и равно Р. Верхний диаметр пяты ния µ. D, нижний d, угол при вершине конуса 2а.,. Коэффициент тре Найти работу сил трения за одии оборот вала. Отв. л2Рµ -6 - .-(D 3 -d3). SIПC'. 77. Призматический стержень длины l растягивается медленно возрастаю щей от О до Р силой так, что в каждый момент растягивающая сила уравно вешивается силами упругости стержня. Вычислить работу А, затрачеиную силой на растяжение, предполагая, что растяжение происходило в пределах упругости. Площадь поперечного сечения стержня равна Р, модуль упругости материала равен Е. Указ ан и е. РЕ то f = - 1- х. Если х-удлинение стержня, а f-соответствующая сила, Pl Удлинение под действием силы Р равно Лl = ЕР • Отв. А = Р Лl P 2l =-2-=2EF. 78. Призматический брус подвешен вертикально, и к нижнему его концу приложена растягивающая сила Р. Вычислить удлинение бруса под действием силы его веса и силы Р, если дано, что длина бруса в нерастянутом состоянии УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ § 8) равна l, площадь поперечного сечения материала Е. Отв. Лl= 79. F, XII вес бруса 423 Q и модуль упругости (Q+2P)l 2EF Определить время, в течение которого жидкость выльется из призма тического сосуда, наполненного до высоты Н. Площадь поперечного сечения сосуда F, площадь отверстия f, скорость истечения определяется по формуле v=µ }12gh, где ~~-коэффициент вязкости, g-ускорение силы тяжести, hрасстояние от отверстия до уровня жидкости. Отв. Т 2FH ---- µf V2gH F у2Н g . µf 80. Определить расход Q воды (количество воды, вытекающей в единицу времени) через водослив прямоугольного сечения. Высота водослива h, ширина Ь. Отв. 2 Q= 3 µbh ,r r 2gh. 81. Определить расход воды Q, вытекающей из бокового прямоугольного отверстия высотой а и шириной Ь, если высота свободной поверхности воды над_нижней стороной отверстия равна н. Отв, Q 2 ьµ, r2gr Н, 312 -(Н-а) 312 ], ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Аргумент 19 комплексного числа промежуточный 79 - График 207 - Асимптота 168 - вертикальная наклонная Астроида 97, - Бинормаль 168 168 177, 407 котангенса Деление комплексных чисел Дифференциал 102 - второго порядка 108 306 Вектор перемещения точки 304 Величина абсолютная 15 - бесконечно большая 33 - - малая 39, 59 - переменная 16 - - возрастающая 18 - - монотонная 18 - - монотонно изменяющаяся 18 - - ограниченная 19 - - убывающая 18 - - упорядоченная 18 - постоянная 16 - - абсолютная 16 Величины бесконечно малые одного порядка 59 - - - эквивалентные 59 Возведение комплексного числа в степень 211 Выпуклость кривой 162 Выражение аналитическое 21 - подынтегральное 316 Вычисление значений функции при ближенное 103 - определенных интегралов прибли женное 385-393 Вычитание комплексных чисел 208 Гамма-функция 396 Геликоид 290 Годограф вектора 288 Градиент 260 Граница области 231 График гиперболического косинуса гиперболического 100 - синуса 99 - тангенса 99 функции 21 99 - дуги 185, 406 полный 242, 243 сложной функции - - полный 250 2е9 104 - п-го порядка 108 Дифференциалы независимых переменных 242 Дифференцирование 66 - гиперболических функций 101 - интеграла по параметру 393-395 - логарифмической функции 93 - неявно заданных функций 109 - обратных тригонометрических функций 92 - показательной функции 93 - степенной функции 92 тригонометрических функций 92 функций, заданных параметрически 97, 111 - - , общие правила 93 Дифференцируемость функций 69 Длина дуги 184, 405 - - - в прямоугольных координатах 406 - - кривой, заданной в полярных координатах 408 - - - , - параметрически 407 - - пространственной кривой 298, 407 - касательной 113 - нормали 113 Дробь рациональная 328 неправильная 328 - - правильная 328 - - простейшая 329 Единица мнимая 206 ПРЕДМЕТНЫЙ ~'КАЗАТЕЛЬ Зависимость функциональная 19 Задание кривой параметрическое 93 - линии с помощью поверхностей 288 Задача интерполирования функций 223 Замена переменной в неопределенном интеграле 321 - - - интеграле определенном 374-375 Знак двойной подстановки - интеграла 316 Значение критическое 373 150, 175 функции на отрезке наибольшее - - - наименьшее 158 - неско,1Jьких переменных наиболь- - шее 237 - наименьшее 237 одной переменной наибольшее - - - 158 наименьшее экстремальное 148 - - 57 57 из комплексного Извлечение корня ЧИС,1Jа 211 Инвариантность формы дифференциала 105 - - полного дифференциала 250 Инвалюта 194 параметра зависящий от Интеграл, 393 неопределенный 316 от комплексной функции 397 - суммы функций 319 несобственный 378 определенный 359 - от комплексной функции 397 от разрывной функции 382 с бесконечными пределами 378 эллиптический 348 Интегрирование 11ррациональных функций 337, 338 - методом замены переменной 321 - неравенства почленное 368 - по частям 325 - - - - - - теграла 376 приближенное 385-393 простейших рациональных в случае определенного ин- дробей рациона,1Jьных дробей 335-337 тригонометрических функций 341- 345 - функций -, Кардиоида 30, 408 Касательная к кривой - - поверхности 68 309 Концы отрезка 18 Координаты по,1Jярные 28 масс 414 кратности k 220 центра - Корень многочлена 217 уравнения 217 функции 124 Косинус гиперболический 99 Котангенс гиперболический 99 Коэффициент угловой касательной 68 Коэффициенты многочлена 26 Кривая вогнутая 162 - выпуклая 162 - Гаусса 165 Кривизна 187, 189 - кривой, заданной в полярных координатах 191 - - , - параметрически !90 - плоской кривой 303 - пространственной кривой 300, 303 - - - средняя 300 - средняя 186 Круг кривизны 192 Кручение кривой 307 - Лемниската 30 Линии уровня 258 Линия винтовая 289, 408 Лист декартов 177 Логарифм натуральный 52 Максимум - 146 функции 265, нескольких переменных Метод замены переменной при нахож. дении неопределенного интеграла 321 наименьших квадратов 277 неопределенных коэффициентов 334 Минимакс 270 Минимум 147 - функции нескольких переменных - 265 329-331 - 425 316 содержащих квадратный член 323-325 Интервал 17 - замкнутый 17 Исследование функций 162, 167, 171, 175 трех- 152, 155, 160, Многочлен 26, 217 - Бернштейна 228 - Ньютона интерполяционный - Чебышева 228 Модуль 15 - комплексного числа 207 - перехода М 52 - скорости 304 Момент инерции 417-418 - статический 414 226 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 426 Независимость значений частной про изводной от порядка дифференци рования 255 Непрерывность функции нескольких переменных в области 236 - - - - одной - точке 236 переменной в точке на интервале 55 - отрезке 55 равномерная 362 слева 55 справа 55 - Нормаль 113 - главная 301 - к поверхности 312 - - пространственной: кривой 53 293 Область замкнутая 231 изменения величины 17 незамкнутая 231 ограниченная 231 определения функции нескольких переменных 231 - - - одной переменной 20 - - естественная 22 открытая 231 - - - - - - существования функции ких переменных 231 - одной переменной несколь- 20 Объем тела 410 - - вращения 411 - эллипсоида 41 О Окрестность 18 - точки 235 Ось действительная 207 - мнимая 207 - полярная 28 - числовая 13 Отрезок 17, 18 - интегрирования 359 Оценка определенного интеграла 369 - погрешности при вычислениях 245- Площадь 311 - комплексной переменной 206 - , нормальная к пространственной кривой 293, 295 - соприкасающаяся 305 Площадь криволинейного сектора 404 1 405 трапеции параболической трапеции поверхности вращения 412 эллипса 403 Поверхность винтовая 290 - - тела вращения 387 411 уровня 257 Погрешность абсолютная 245 - - максимальная 245 - относительная 246 - - максимальная 246 Подкасательная 113 Поднормаль 113 Подстановка универсальная тригонометрическая 341, 342 - Эйлера вторая 339 - - первая 339 - - третья 340 Подстановки тригонометрические 341- 346 Поле градиентов - скалярное 260 257 Полином 217 Полюс 28 Последовательность числовая 18 Потенциал поля 414 Правила дифференцирования векто~ ных функций 296-298 Правило Лопиталя 129 Предел 31 - векторной функции 291 - интеграла верхний 359 - - нижний 359 - комплексной переменной 214 - произведения 42, 43 - суммы 42 - функции несколькиJ11 переменныJ11 - 247 Параметр 93 Первообразная 315 - комплексной функции 397 Переменная интегрирования 359 - независимая 19 Период показате.1ьной: функции 214 - функции 19 Плоскость, касательная к поверхности криволинейной 401 235 - одной переменной 33, 34 - - - левосторонний: 35 - - - правосторонний 35 sin х - - при Х-+0 46 х (1 + ~ /' при х-+ оо 49 частного 43 Приращение векторной: функции - функции полное 234 - - - частное 234 Произведение комплексных чисел Производная 66 - вектора по длине дуги 299 - векторного произведения 298 - векторной: функции 292 вторая 106 высшего порядка 106 291 208 векторов ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Производная единичного вектора - 297 комплексной функции 214 ,1Jоrарифмическая 85 ,1Jогарифмической функции 78 обратной функции 87 от определенного интеграла направлению по пе- скалярного 371 произведения функции векторов 297 - сложной функцпи нескольких переменных 248 - - одной переменной 79 степенной функции 71, 83 суммы векторов 296 - функций 76 функции, заданной неявно 251-253 arcos х 90 arcctg х 92 - arcsiп х 89 - arctg х 91 - cos х 73 - ctg х 81 - sin х 72 - tg х 80 частная 238 Радиус-вектор 288 - кривизны 192 - - пространственной линии 301 - кручения кривой 307 - окрестности 18 Развертка 194 Разложение многочлена на множители 217-222 рациональной дроби на простейшие 332-335 - функций по формуле Тейлора 138- 141 Разность комплексных чисел 208 Расходимость интеграла 379, 382, Решение двучленного уравнения 383 212 Свойства интегральных сумм 360-363 - неопределенного интеграла 319- 320 367-370 213 - точки в - 304 - средняя 304 65 криволинейном движении Сложение комплексных чисел Спираль Архимеда 29 - гиперболическая 30 - логаrифмическая 30 Способ касательных 201 - комбинированный 202 208 Ньютона 201 хорд 200 Сравнение бесконечно малых Степень многочлена 26, 217 Сумма интегральная 358 - - верхняя 357 - - нижняя 357 - комплексных чисел 208 Сходимость интеграла 378, 382 - - абсолютная 381 - 59 Таблица интегралов 317, 318 Тангенс гиперболический 99 Теорема а,1Jrебры основная 218 - Безу 217 - Вейерштрасса 227 - Коши 127 - Лагранжа 126 - Лопиталя 129 - о конечных приращениях 126 частного функций 77 п-го порядка 106 - - частная 254 Промежуток 17 - замкнутый 17 - по,1Jузамкнутый 17 - 56- Система координат полярная 28 Скорость движения в данный момент 83 полная 249 постоянной 74 произведения скалярной на векторную 297 опреде,1Jенного интеграла показате.1Jьной функции эволюты 196 Сегмент 17 Синус гиперболический 99 - 259 показательной функции Свойства непрерывных функций 58 ременному верхнему пределу - произведения функций 75 по 427 - - корнях производной среднем для теграла 359 об отноlliении функций 127 Ролля 124 124 определенного приращений двух существование неопределенного ин- теграла 316 Теоремы о преде,1Jах основные 42, Точка возврата второго рода 283 - первого рода 283 кривой обыкновенная 281 - особая 281 - - изолированная 284 - узловая 282 критическая функции двух менных 267 - - - ин- 43 - пере- - одной переменной 150 области внутренняя 231 перегиба 164 поверхности обыкновенная 310 ПРЕДМЕТНЫЙ УJ<АЗА ТЕЛЬ 428 Точка поверхности особая 310 пр~странственной кривой особая Форма - 295 разрыва первого рода 56 - функции двух переменных - - одной переменной 56 соприкосновения 284 Трактриса 123, 204 Трапеция криволинейная 360 - параболическая 386 - 236 300 смежности 186 эксцентрический 96 Умножение комплексных чисел Уравнение алгебраическое 199, - двучленное 212 - касательной к кривой 112 - - плоскости 312 - линии в пространстве векторное - нормали плоской линии 113 - 208 218 123 Уравнения касательной к пространственной кривой 293, 295 - нормали к поверхности 312 - параметрические 93 - - астроиды 97 - - гиперболы 100 - - линии в пространстве окружности 95 циклоиды 96 эллипса 95 Ускорение среднее точки в - 288 111 111 криволинейном движении 304 Условие вогнутости кривой 164 возрастания функции 145 выпуклости кривой 163 существования первообразной 372 убывания функции 146 Условия существования неявной функ ции 253 - - - точки перегиба достаточные 165 условного экстремума необходимые 274 - экстремума функции двух пере менных достаточные 267 - - - - - необходимые 266 - - - одной переменной достаточные 150 - - - - - необходимые 148 Фигура ступенчатая - описанная 357 - вписанная - тригонометрическая - 357 показа- 207 по параметру 394 произведения 107 Маклорена 138 Муавра 211 Ньютона интерполяционная 226 Ньютона - Лейбница 372 парабол 388 прямоугольников 385 Симпсона 388 Тейлора 138 - для функции двух переменных - - 265 288 окружности 100 трактрисы - числа 216 Формула Валлиса 378 - для вычисления кручения 308 - - - радиуса кривизны 302, 303 - интегрирования по частям 325 - Лагранжа интерполяционная 224 - Лейбница дифференцирования интеграла Угол поворота касательной к кривой - комплексного тельная - · трапеций 386 Чебышева 392 Эйлера 215 Формулы Серре - Френе 309 Функции гиперболические 99 - обратные тригонометрические - 23, 88-92 основные элементарные тригонометрические 23, Функция 19 - 22 24 - алгебраическая 27 - бесконечно большая 36 - - малая 40 - возрастающая 20 - двух независимых переменных 230 - дифференцируемая 69 - , - в точке 242 - дробная рациональная 27 - , заданная аналитически 21 - , интегрируемая на отрезке 359 - иррациональная 27 - квадратичная 27 - комплексной переменной 213 - Лапласа 347 •1шнейная 27 - логарифмическая 22, 24 - многих независимых переменных 232 многозначная 20 неограниченная 38 непрерывная 53, 55; 236 нечетная 172 неэлементарная 26 неявная 82 - обратная 86 - ограниченная 38 - однозначная 20 - от функции 25 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Функция периодиqеская - Циклоида 24 подынтегральная 316 показатещ,ная 22, 23 - комплексного разрывная 328 аргумента векторная 290 - сложная 25 показательная 84 степенная 22, 23 трансцендентная 27 убьшающая 20 целая рациональная 26, четная 172 э,1Jементарная 26 явная 82 Е (х) 348 - Центр кривизны 192 масс 414 - плоской линии - - фигуры 416 окрестности 18 - 213 56 рациональная скалярного аргумента 415 429 96 Часть числа вещественная - действительная 206 - мнимая 206 Числа сопряженные 206 Число вещественное 13 - действительное 13 иррациональное 13 комплексное 206 рациональное 13 чисто мнимое 206 - е 49 206 - 217 Эвольвента 194 Эволюта 194 - параболы 194 - циклоиды 194 - эллипса 195 Экспонента 51 Экстраполяция 226 Экстремум 148 - функции нескольких - 266 - - - условный 272 переменных Николай Семенович Пискунов ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ для втузов том 1 Редактор В. В. Донченко Техн. редактор И. Ш. А~сельрод !(орректор Н. Д. Дорохова ив № 12687 Сдано в набор О 1.06. 84. Подписано к печати 11.12.84. Формат 60Х90 1 / 10 • Бумага тип. No 3. Литературная гарнитура. Высокая печать. Усл. nеч. л. 27. Усл. кр. отт. 27,25. Уч.-изд. л. 27,33. Тираж 250 ООО экз. (1-й завод 1-150 ООО экз.). Заказ No 3167. Цена 1 р. 1 О к. Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071 Москва В-71, ЛенинсJ<ий проспект, 15 МПО «Первая Образцовая типография» Союзnолиграф прома при Государственном комитете СССР no де лам издательств, полиграфии и книжной торговли. 11 3 О 54 Москва, Валовая, 28

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1

Похожие документы

Разделы

Поддержка

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1

Похожие документы

Добавить этот документ в коллекции

Добавить этот документ в сохраненные

Предложите, как улучшить StudyLib