Решение заданий ЕГЭ с использованием свойств функций

Семинар-практикум
«Решение заданий ЕГЭ
с использованием свойств
функций»
Коваленко Татьяна Ивановна, Петрусевич
Тамара Александровна, Обрывалина Валентина
Степановна, Доля Лариса Геннадьевна,
Иконникова Нина Александровна, учителя
математики высшей квалификационной категории
БОУ г. Омска «Лицей № 25»
Содержание
1. Функции в заданиях ЕГЭ-2014 (анализ
демонстрационного варианта 2014).
2. Используемые свойства функций:
а) область определения функции,
б) ограниченность функции,
в) монотонность функции.
3. Задачи с параметрами.
4. Использованные источники литературы.
При решении заданий ЕГЭ 2014 г. В-3, В-7, В-9, В15, С-1, С-2, С-3 используются свойства функций.
В-3 Уметь использовать приобретённые знания и
умения в практической деятельности и
повседневной жизни
В-7 Уметь решать уравнения и неравенства
В-9 Уметь выполнять действия с функциями
В-15 Уметь выполнять действия с функциями
С-1 Уметь решать уравнения и неравенства.
С-3 Уметь решать уравнения и неравенства.
С-5 Уметь решать уравнения и неравенства.
Использование свойств функции.
а) область определения функции
метод наиболее результативен при решении уравнений
и неравенств, в состав которых входят функции:
y = arcsin x, y = arccos x, y = loga x, y = x
Если при рассмотрении уравнения
(неравенства) выясняется, что обе части
определены на множестве М, состоящем из
одного или нескольких чисел, то нет
необходимости проводить какие-либо
преобразования уравнения (неравенства),
достаточно проверить, является или нет каждое
из этих чисел решением данного уравнения
(неравенства).
Использование свойств функции.
а) область определения функции
Пример
Решите неравенство


x 1
x  6 x  5  1 log 5 
5 x
2
 12 x  2 x
2

 10  1  0
Решение: Область определения неравенства задается
условиями:
 x 2  6 x  5  0,

2
12
x

2
x
 10  0,


x0

 x  1,

x  5
При x=1 получаем, что исходное неравенство обращается в
неверное неравенство 0>0.
При x=5 имеем верное неравенство 1  0
5
Ответ: 5
Использование свойств функции.
а) область определения функции
Решите неравенства:
а)
б)
log
2 x 2 7 x  6
x
0
3
Ответ: 1<х<3,5; 2<х<2,5; x>3.
log 7 x  3 49
1
Ответ: (-3;-1) U (-1;-1/49) U

x
log 7 x  3 ( 49 x ) log 7 log 1 7
U (-1/49;0).
7
в)

4 x  129  2 x 7
2

log  7  x   1  log x  1
x 8
 x 8  x  1 
x7
Ответ: (-8;-7) U [-5;-3]
U (7; 𝑙𝑜𝑔2 129]
Использование свойств функции.
б) Использование ограниченности функции.
Применим для задач, в которых
множества значений левой и правой
частей уравнения или неравенства
имеют единственную общую точку,
являющуюся наибольшим значением
для одной части и наименьшим для
другой.
Эту
ситуацию
хорошо
иллюстрирует график.
Привести уравнение или неравенство к виду
f ( x)  g ( x)
Сделать оценку обеих частей. Если существует число М,
из области значений такое что f ( x)  М и g ( x)  М , то
Решить систему уравнений:
 f ( x)  М ,

 g ( x)  М .
Использование свойств функции.
б) Использование ограниченности функции.
Пример 1.
Решите неравенство
log 5 x  1  x
Ответ: х = 1.
4
Использование свойств функции.
б) Использование ограниченности функции.
Пример 2.
Решите неравенство
Решение:
Так как
05
 x 2
 log 2 4 x  x  2   1
1
и
5
 x 2
2

2
log 2 4 x  x  2  1,

 x 2
5
 1.

2
приходим к системе
Получаем: x=2
Ответ: 2.

log 2 4 x  x  2   log 2 2   x  2   1,
2
Использование свойств функции.
б) Использование ограниченности функции.
Многие уравнения и неравенства можно решить, если
использовать ограниченность тригонометрических
функций sin α x, cos β x.
Пример 3
Решить уравнение
sin (
Ответ: х = 2.
х
4
) = x2 - 4x+5
Использование свойств функции.
б) Использование ограниченности функции.
Если для любого x М справедливо неравенство
f(x) > А и g (x) < А, то уравнение f(x) = g (x) не имеет
корней на множестве М.
Пример.
Решить уравнение
2х+1 + 21-х = -1- 4х - х2.
Ответ: уравнение не имеет решений.
Использование свойств функции.
в) использование монотонности функции
Если в уравнении
левая часть
возрастающая (или убывающая)
функция, а правая константа, то
уравнение имеет не более одного
корня.
Если в уравнении левая часть
возрастающая (или убывающая)
функция, а правая часть
убывающая (возрастающая)
функция, то данное уравнение
имеет не более одного корня.
у
g ( x)  const
х
0
у  f (x)
у
у  g (x)
х
0
у  f (x)
Использование свойств функции.
в) Использование монотонности функции.
Пример 1
Решите неравенство
x  1  2  log 2 x  2
x
Ответ: [1; +∞)
Использование свойств функции.
в) Использование монотонности функции.
Пример 2
Решите неравенство
Решение
Пусть
тогда
4  x  2  x x  3  4x
f x   4  x  2
f x   g x 
,
g x   x x  3  4 x
.
f  x   4  x  2 определена на луче  ;4 и
2

7 x  x , x  3 возрастает на всей
убывает, а функция g  x  
 2
 x  x, x  3
Функция
прямой. Поскольку f(0) = g (0), то исходное неравенство равносильно
условию
0  x  4.
Ответ:
0;4
Использование свойств функции.
в) Использование монотонности функции.
Свойство 1:
если функция f(x) монотонно возрастает (убывает) на
некотором множестве D, то для любого С  R, функция
F (x)+C также возрастает (убывает) на этом множестве.
Свойство 2:
если функция f(x) возрастает (убывает) на множестве D, то
функция F(x)=C∙ f(x) при С>0 (С  R) возрастает
(убывает), при С<0 убывает (возрастает) на этом
множестве.
Использование свойств функции.
в) Использование монотонности функции.
Свойство 3:
если функция f(x) возрастает (убывает) на промежутке D и
сохраняет знак, то функция убывает (возрастает) на этом
промежутке.
Свойство 4:
если функции f(x) и g(x) возрастают (убывают) на
промежутке D, то их сумма F (x) = f(x) + g(x) также
возрастает (убывает) на D (для разности функций это
свойство не сохраняется!).
Использование свойств функции.
в) Использование монотонности функции.
Свойство 5:
если функции f(x) и g(x) возрастают на промежутке D, и
обе принимают только положительные значения на этом
промежутке, то их произведение
F (x) = f(x) ∙ g(x) есть функция возрастающая.
Свойство 6:
если функции f(x) и g(x) имеют одинаковый характер
монотонности, то функции f(g(x)) и g(f(x)) возрастающие в
своей области определения функции(предполагается, что
область определения сложных функций состоит более чем
из одной точки). Если функции f(x) и g(x) имеют
противоположный характер монотонности, то их
композиции f(g(x)) и g(f(x)) убывают в своей области
определения.
Использование свойств функции.
в) Использование монотонности функции.
Пример 3
Решите неравенство
2
x
3
x 1
4
Ответ: х > 0.
Пример 4
Решите неравенство
28
x  3x 
x
3
Ответ: х = 2.
x 2
 20
Использование свойств функции.
в) Использование монотонности функции.
Пример
Решить систему неравенств
Решение.
Решение системы начнем со второго неравенства.
Пусть 3x = t тогда получим квадратное неравенство 9t 2 - 28t + 3≥ 0
имеющее решение
Отсюда имеем
или 3x ≥ 3
и решение второго неравенства системы: (- ∞; -2]U[1; +∞).
Для решения первого неравенства системы рассмотрим функцию
которая является возрастающей
на промежутке [-2; + ∞), как сумма двух возрастающих функций.
Использование свойств функции.
в) Использование монотонности функции.
Так как f (-2) = 0 , то f (x)≥ 0 для всех значений x
[-2; + ∞).
Следовательно, решением первого неравенства является промежуток
[-2; + ∞).
Общим решением двух неравенств
системы является множество
{-2}U [ 1; + ∞) .
Ответ: {-2}U [ 1; + ∞)
При решении задач с параметрами приходится пользоваться
теми или иными свойствами элементарных функций
(область определения и множество значений,
монотонность, ограниченность, четность и нечетность,
периодичность).
- Ограниченность множества значений функции.
Пример: Решите уравнение:
Использование свойств функции.
Использование монотонности функции
при решении задач с параметрами.
Пример1. Определить число корней уравнения
3x  5  a  3x  11
Пример 2. Определить число корней уравнения
2x  8  a  2x  3
Использование монотонности функции
при решении задач с параметрами.
Пример:
При каких значениях параметра a уравнение
x  5  a  ( x  4)
2
имеет единственный корень на отрезке [-4;-1] ?
x  5  a  ( x 2  4)
Решение.
Запишем уравнение в виде
x5
a
2
x 4
Последнее уравнение имеет хотя бы один корень на
отрезке [-4;-1] тогда и только тогда, когда a принадлежит
x5
множеству значений функции y  2
на отрезке
x 4
[-4;-1] Найдем это множество, используя
свойство непрерывности и монотонности функции.
На отрезке [-4;-1] функция
y=x2+4
непрерывна, убывает и положительна,
поэтому функция
1
g ( x)  2
x 4
непрерывна и
возрастает на этом отрезке. Функция
h( x )  x  5
непрерывна и возрастает в своей области определения
D(h) = [-5;+∞] и, в частности, на отрезке [-4;-1] где она, кроме
того, положительна. Тогда функция f(x)=g(x)∙h(x) , как
произведение двух непрерывных, возрастающих и
положительных функций, также непрерывна и возрастает на
отрезке [-4;-1] причем единственное (по свойству
непрерывной монотонной функции), при a  [0,05;0,4]
Ответ: a  [0,05;0,4]
Литература
1. Математика. ЕГЭ. Контрольные измерительные материалы.
Методические указания при подготовке. Тестовые задания:
Учебно – методическое пособие  Л.Д. Лаппо, А.В. Морозов, М.А.
Попов. – М.: издательство «Экзамен», 2014.
2. Математика — абитуриенту. Автор: Ткачук В. В. Издательство:
2007. Год: МЦНМО. Страниц: 976
3. Корянов А.Г. Прокофьев А.А. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2014 Решение
неравенств с одной переменной. (типовые задания С3)
4. Демонстрационные варианты КИМ ЕГЭ, 2014 сайт ФИПИ;
5. Локоть В.В. Задачи с параметрами. Применение свойств
функций, преобразование неравенств. Аркти М:. 2010