Приложение 1 Занятия №2, №3.

Приложение 1
Занятия №2, №3.
Тема: «Использование областей существования функций при решении уравнений и
неравенств».
Если при рассмотрении уравнения (неравенства) выясняется, что обе его части
определены на некотором множестве, состоящем из одного или нескольких чисел, то нет
необходимости проводить какие-либо преобразования уравнения (неравенства), достаточно
проверить, является или нет каждое из этих чисел решением данного уравнения
(неравенства).
Если же множество, на котором определены обе части уравнения (неравенства),
окажется пустым множеством, то ответ в таком случае — уравнение (неравенство) не имеет
решений.
Решить уравнение
5 16 x  3  lg( 1  x 2  16 )  x
Пример 1.
Обе части уравнения определены при x, удовлетворяющих системе условий:
16  x 2  0
 2
 x  16  0
Решением этой системы являются два числа  4 . Значит, если уравнение имеет решение, то
оно находиться среди этих чисел.
Проверка:
50  3  lg( 1  0)  4
x  4,
4  4 - верное числовое равенство,
т.е. x  4 - корень уравнения
50  3  lg( 1  0)  4
x  4 ,
4  4 - неверное числовое равенство,
т.е. x  4 - не является корнем уравнения.
Ответ: 4.
2
Пример 2. Решить уравнение 4 x 3  8  4 x 3  8  1 .
Область определения уравнения выражается системой:
3
 x  8  0,
 3
 x  8  0;
т.е. x  2; . Поэтому, если уравнение имеет решение, то оно принадлежит данному
множеству.
Но при x  2; 4 x 3  8  4 x 3  8  2 .
Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений.
Пример 3. Решить уравнение: 11x  3  x  2  2  x  9 x  7  0
Область определения уравнения выражается системой:
11x  3  0,
 x  2  0,


2  x  0,
9 x  7  7.
Решением которой является лишь одно число 2. Проверим, является ли оно корнем исходного
уравнения. Подстановкой убеждаемся, что получается верное числовое равенство, т.е. x  2 единственный корень уравнения.
Ответ: 2.
x
Пример 4. Решим неравенство: ( x 3  16  1) log 3 ( x 2  7)  ( 16  x 2  3)  0
2
Неравенство определено для тех x , которые удовлетворяют системе неравенств:
 x 2  7  0,
 2
 x  16  0,
16  x 2  0;

Решением которой являются лишь 2 числа: x  4 и x  4 . Поэтому если исходное
неравенство имеет решения, они находятся среди этих чисел.
Проверкой убеждаемся, что только x  4 удовлетворяет неравенству. Следовательно,
неравенство имеет единственное решение 4.
Ответ: 4.
sin x 1
2
Пример 5. Решить неравенство: 3
 log 3 ( x  3)  cos x  2 .
Областью определения данного неравенства являются те значения x , для которых sin x  1.
Но учитывая, что sin x  1 для любого x , получим, что неравенство определено лишь для

 2k , k  Z .
2
Проверим, какие из них удовлетворяют неравенству.
тех x , для которых sin x  1, т.е. x 
3 sin x  1  log 3 ( x 2  3)  3  log 3 ((
Т.к. log 3 ((

2

2
 2k ) 2  3), а cos x  2  cos(

2
 2k )  2  2.
 2k ) 2  3)  1 , то исходное неравенство выполняется для всех допустимых
значений x , т.е. x 

2
 2k , k  Z .
Ответ: x 

2
 2k , k  Z .
Пример 6. Решить неравенство: 1  x 2  lg( x  2) .
Обе части неравенства определены для тех x , для которых выполняются неравенства
1  x 2  0,

 x  2  0;
Эта система не имеет решений, т.е. область определения неравенства пуста. Следовательно,
неравенство не имеет решений.
Ответ: нет решений.
Задания для самостоятельного решения.
1. Решить уравнения:
1)
2)
18
x2  x  2  x  x2  x 1
Ответ: 1
x 2  1  24 1  x 2  x 2  2 x  3
Ответ: 1
3) 5  x 2  9 x  14  24 x 4  5 x  14  1  sin
4) 2006 4 x 2  4  2007 4  x 2  tg
x
2
x
2
Ответ: 7
Ответ: -2; 2
5) 3
4 x 2
 lg( 1  x 2  4 )  3x  x 2  1
x3  8  4 x3  8  2
7) 4 13x  2  4 2 x  5  4 5  2 x  4 x  3  0
6)
4
Ответ: 2
Ответ: 2
Ответ: нет решений.
2. Решить неравенства:
1) e
1 x 2
 x 2  7 x  8  6
4 x
Ответ: -2
 5 lg( 12  x)  6
x 1
3) ( x 2  6 x  5  1) log 5  ( 12 x  2 x 2  10  1)  0
Ответ: 5
5 x
2)
x 2  x  6  10
Ответ: -1
2
x 2  7 x  10  lg( 7 x  x 2  10  2)
x
 cos x  1
5) 4 cos x 1  log 3
2
4)
Ответ: нет решений
Ответ: 2k , k  Z , k  4 .