Показательная функция, уравнения и неравенства в заданиях ЕГЭ. И.В.Богданова Показательная функция Показательной функцией называется функция вида y=ax , где а - заданное число, а>0, a1. Область определения функции - множество всех действительных чисел. Множество значений функции - все положительные числа. Показательная функция является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если а>1, и убывающей, если 0<a<1. График показательной функции имеет вид: y=ax, а>1 y=ax, 0<а<1 Примеры заданий из ЕГЭ группа А А1. Укажите функцию, убывающую на всей области определения 1) у 0,5 х 11 2) у 3 х 9 у 3) 11 х х у 4 , 5 4) А2. Найдите множество значений функции у 2 х 3. 1) ; 2) ;3 3) 3; 4) 3; х 1 А3. Найдите наименьшее целое значение функции у 3. 1) 3 2) 2 3 3) 3 4) 1 Проверь себя! Ответы 1. 3 2. 3 3. 2 Возможные способы решения задания (А 2) Множество значений функции можно найти графическим способом: Или решив уравнение 2x-3= a, 2x= a+3 , так как 2x>0 при любом х, то а+3>0, a>-3. Уравнение имеет решение при a>-3. Множество значений функции- (-3;+) . Ответ: 3. Примеры заданий из ЕГЭ группа А А 4. Найдите множество значений функции у 1 . х 5 2 1) ; 2) 0,5; 3) 3; 4) 0;0,5 (А 4) 1 а , и выясним при каких значениях а Составим уравнение х 5 2 уравнение имеет решение. х 1 1 а ( 5 2) , , 5 х 2 0 ( при всех х), а 0 0 5х 2 5х 2 1 2 , т. к. 5 х >0, то для нахождения множества значений функции а 1 2а достаточно решить неравенство 1 >0, >0. 5х 2 а Решая это неравенство методом интервалов, получим промежуток: (0;0,5). а Множество значений функции : (0;0,5) Примеры заданий из ЕГЭ группа В 1. Найдите наибольшее целое значение функции у 33 0,5 3sin 2 x 2 . 1 2. При каком значении р функция у 7 максимум в точке х0 2 ? 3 х 2 рх8 имеет Примеры заданий из ЕГЭ группа С С 1. Найдите множество значений функции 4х у3 , х х х 1. Графический способ решения Используя определение модуля, запишем функцию в виде: 3 х 4, х 0; у х 3 4,0 x 1. Преобразование графика функции y=3x у 3 4 х х 1 у 4 3 График функции При 0< x 1 множество значений выражения (3x-4 ) есть интервал (-3;-1] . При 0<x множество значений выражения (3-x+4) есть интервал (5;+). 4х у3 , х х х 1. Показательные неравенства Решение показательных неравенств часто сводится к решению неравенств вида: ax<ay Такие неравенства решаются с помощью свойств возрастания или убывания функции. Для возрастающей функции: большему значению функции соответствует большее значение аргумента, Для убывающей функции - большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Примеры заданий из ЕГЭ группа А Решите неравенства: А 1. 3х 81 х 1 А 2. 2 8 А 3. 3 х 2 х 9 х 3 x 3 А 4. 49 7 7 х х А 5. 16 4 2 0 Проверь себя! 1. 4; 3 ; 2. 2 3. 1;2 4. 2,5; 5. 0; Примеры заданий из ЕГЭ группа В 1. Найдите наибольшее целое отрицательное решение неравенства 2. Найдите произведение наибольшего целого и наименьшего целого решения неравенства 3. Найдите область определения функции 3 4 6 х х 2 10 27 64 2х 1 1 4 5 2 2 1 у 1 11 1 х 7 2 x Примеры заданий из ЕГЭ группа С 1. Решите неравенство 42 х 5 х 1 6 х 3 х 1 69 х 3 х 1 С1 Данное неравенство можно свести к квадратному, сделав замену: Тогда неравенство примет вид: Применяя свойства степени, будем иметь: х3 в х 1 4 2 2в 1 6 в 6 9 в 2 2 2в 2 в 3в 6 3 2в 0 Примеры заданий из ЕГЭ группа С С 2. Найдите все значения х, для 4 х 18 2 х которых точки графика функции у 20 3х лежат ниже соответствующих точек 32 графика функции у . 20 3 х С2 Для нахождения таких точек составим неравенство: 32 4 х 18 2 х 20 3х 20 3 х Показательные уравнения Уравнения, которые содержит неизвестное в показателе степени, называется показательным уравнением. Самое простое показательное уравнение имеет вид: ax=b , где a > 0, a ≠ 1. Утверждение. Уравнение имеет единственное решение x = logab при b > 0 и не имеет решений при b ≤ 0. Примеры заданий из ЕГЭ группа А Решите уравнения: 2 х 0,6 х 3 1.0,6 0,6 5 0,6 2. 5,1 1 ( х 3) 2 5,1 5,1 3. 2 3 36 х х х2 х 3 2 х 2 76. 4. 16 Проверь себя! 1. 8 2. 6 3. 0; 0,5 4. 6 Другие способы решения показательных уравнений Решите уравнения: 1. 2 х 3 2 х 4 76 2. 9 х 4 3х 45 0 3. 4 х 28 4 х 3 0 4. 16 9 х 25 12 х 9 16 х 0 5. 3х 3 3х 7 х 1 5 7 х 6. 3 х 1 3 х 3 7. 2 х 3 4 9 х 12 х 3 16 х 0 Примеры Заданий из ЕГЭ группа С 1. Решите уравнение 2 5 х 1 3 4 х 1 7 3 х 3 504 х2 2. Решите уравнение 4 2 х 1 5 4 х 2 2 х 4 6