metod_otdel_konstant

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа № 76»
г. Пензы
Метод
отделяющих
констант
Т.Ю. Серебрякова
учитель математики
высшей категории
Актуальность:
«Метод отделяющих констант»
имеет практическую значимость
при решении многих задач.
Гипотеза:
Метод отделяющих констант
может применяться не только для
доказательства неравенств, но и
для решения уравнений.
Цель исследования:
Выяснить, что «Метод отделяющих
констант» является рациональным
при решении многих неравенств и
уравнений
.
Задачи:
•Проанализировать литературу, посвященную
теме «Метод отделяющих констант»;
•Разбить материал на логические части;
•Разработать комплекс практических заданий
по теме;
•Сделать выводы о практической значимости
«Метода отделяющих констант».
Доказательство неравенств
Пример 1. Доказать неравенство
(1)
Доказательство:
Рассмотрим функции:
Существует такое число с (например,
что для всех
),
справедливы неравенства
откуда и следует справедливость не
только неравенства (1), но и более
сильного
для любых
, то есть всегда
Пример 1. Доказать неравенство
Доказательство:
На луче
На луче
отделяющей константой является
отделяющей константой является
Полное доказательство, основанное на идее
отделяющих констант:
Функция
при всех
,
удовлетворяет неравенству
.
то есть
С другой стороны, функция
при
принимает значение
а слева от точки
при
эта функция возрастает, поэтому при
Итак,
при
,
то есть при этих значениях х неравенство (2) справедливо.
Осталось рассмотреть значения
.
.
,
Заметим, что
причем функция
возрастающая, поэтому
при
.
, то при
Что же касается функции
.
имеем
Таким образом ,
при
то есть и при этих значениях x неравенство (2) справедливо.
,
Рассмотренный прием для непрерывных функций можно
считать универсальным.
Пусть, например, непрерывные функции
заданы на отрезке
причем прикинув вид этих графиков,
мы обнаружили, что вроде бы на всем
этом отрезке справедливо неравенство
.
Как можно было бы доказать справедливость этого неравенства?
,
Если для всех
справедливо неравенство
то графики функций
не имеют общих точек .
,
Итерации
Пусть, например, обе функции
—
возрастающие (или обе убывающие), причем
.
.
Мы начинаем с точки
Если для некоторого k = 0, 1, ... уже известна точка
то мы находим такую точку
,
что
,
.
Пример 3. Найти корни уравнения
.
,
лежащие в интервале
Решение:
Функции
на интервале
возрастают.
Несколько первых итераций здесь выглядят следующим образом :
;
;
;
И т, д.
Добравшись до правого конца интервала
,устанавливаем, что на всем этом
интервале справедливо неравенство
и, следовательно, уравнение на рассматриваемом интервале корней не имеет.
А как будут выглядеть итерации в случае, когда
графики функций
, заданных на отрезке
, пересекаются, то есть неравенство
выполняется не на всем отрезке?
Мы будем получать числа
которые приближаются к корню уравнения
.
Точнее, число
представляет собой наименьший корень этого уравнения, содержащийся на
отрезке
.
Следовательно, с помощью последовательных итераций мы
сможем приближенно вычислить этот корень.
Решение уравнений
(4)
Пример 4. Решить уравнение
Решение:
то есть в виде
Запишем уравнение в виде
,
где
,
Для любого
Число
справедливы неравенства
только в том случае может удовлетворять равенству
то есть быть корнем уравнения (4), если выполнены равенства
то есть если
является решением системы
Второе уравнение этой системы имеет корни
из которых лишь корень
Ответ:
.
удовлетворяет первому уравнению.
,
,
,
(5)
Пример 5. Решить уравнение
Решение:
Это уравнение можно записать в виде
, где
.
Так как
то
В то же время
.
для всех
для всех x, принадлежащих области определения функции
Следовательно, на луче
число
является отделяющей константой для функций
и
.
Отсюда вытекает, что неотрицательное число может быть корнем уравнения (5),
только если оно удовлетворяет системе уравнений
Первое из этих уравнений имеет корни
из которых только
удовлетворяет второму уравнению.
Итак, уравнение (5) имеет лишь один неотрицательный корень
Теперь посмотрим, нет ли отрицательных корней.
Так как при
функция
не определена, то отрицательные корни надо искать лишь на луче
Но при
имеем
а
по определению функции
Таким образом, отделяющей константой на луче
является, например, число
Следовательно, рассматриваемое уравнение не имеет отрицательных корней.
Ответ:
.
,
Пример 3. Найти корни уравнения
лежащие в интервале
Например, для доказательства неравенства
на интервале
можно было бы использовать тот факт, что производная функции
равная
обращается в нуль только в одной точке этого интервала, а именно при
В этой точке значение функции
В концах же интервала функция
и
Вывод: в точке
положительно:
принимает большие значения:
если
функция
принимает наименьшее значение, и потому
(но
).
на интервале
, то есть
на всем этом интервале.
Таким образом, применение производной даст в данном случае более простое решение.
Заключение:
Была подтверждена гипотеза проекта,
реализованы все поставленные задачи и
установлено, что «Метод отделяющих
констант» является рациональным при
решении многих неравенств и уравнений.
Ресурсы:
•Квант физико-математический журнал для школьников и студентов: М., № 4,
2008;
•Г.В. Дорофеев. М.К. Потанов, Н.Х. Розов, Пособие по математике для
поступающих в вузы (М., «Наука», 1976, гл. IV, § I);
•И. Н. Сергеев. ЕГЭ. Математика. Задания типа С. М. «Экзамен», 2010;
•В. И. Голубев. Решение сложных и нестандартных задач по математике. М.
«ИЛЕКСА», 2007;
•http://www.math.ru/lib/.
Спасибо за внимание