Замена переменной в уравнениях и неравенствах

Замена переменной в
уравнениях и неравенствах
• Биквадратные уравнения и
неравенства
Рассмотрим уравнение
ax 4  bx 2  c  0.
Это уравнение является квадратным относительно
2
x , так как представимо в виде
 
ax
2 2
 bx 2  c  0.
Такое уравнение называется биквадратным.
2
x
 t.
Произведем замену переменной:
Уравнение примет вид:
at  bt  c  0, t  0.
2
• Пример.
Решить уравнение x 4  x 2  6  0.
Уравнение является биквадратным.
2
Произведем замену переменой x
Уравнение примет вид:
D  25,
 t,
t  0.
t  t  6  0.
2
t1  2, t2  3.
t1  2 не удовлетворяет условию
t  0, следовательно, явл. посторонним корнем.
t2  3 удовлетворяет условию
t  0, следовательно, явл. корнем.
Для нахождения соответствующих
значений x , решим уравнение
x  3.
2
x1   3 , x2  3.
Ответ. Уравнение имеет два решения:
x1   3 , x2  3.
Биквадратные неравенства
ax  bx  c  0
4
2
(знак неравенства может быть “<“, либо нестрогим)
при помощи той же замены
x t
2
сводятся к решению квадратных неравенств вида
at  bt  c  0, t  0.
2
•
Пример. Решить неравенство
x 4  x 2  6  0.
Неравенство является биквадратным.
2
Произведем замену переменой x  t,
t 2  t  6  0.
Неравенство примет вид:
-2
Учтем, что
t  0.
0
3
Получим:
t
t  3.
t  0.
Вернемся к переменной x:
x 2  3,
x 2  3  0,
(x  3 )(x  3 )  0,
-
3
3
x
Ответ. Неравенство имеет решение при всех
x  (-;- 3 )  ( 3;).