Решения первого этапа олимпиады СОМО – 9

Решения первого этапа олимпиады СОМО – 9
Ответы.
1.1. 5  2 ; 1.2. 2 ; 1.3. 2; 1.4. 3 2 ;
 1 3  13 3  13 
;
2.1. 1,2,3 2.2. 1;3; 2.3. 0;2; 2.4.  ;1;
 ;2.5.  4  21;  4  21 ;
2
2 
2
 3 5 3 5
;
2.6. 1;
 ; . 2.7  2;3  5 ;3  5
2
2 

1  5


3.1. 2 6; ; 3.2.  2;3 4;; 3.3.  1;    ;  ;
2  7


3

 2

3.4. 0;9 ; 3.5.   ;   3;  ; 3.6. 5;8   6;3 3.7. x   ;0  2 ; 
2

 3

4.1. 3;2;  3;2 4.2. 6;2;  2;2;  1,5;0,5; 1,5;1,5 ; 4.3.  2;1  3 ); (2;1  3 .
5

5. a    ,  .
18 

6. E y   0;5





 



R 2 3 R 2 3
.
;
3
3
8. Бассейн наполнится не менее чем на 0,02 объема бассейна и не более чем на 0,26
объема бассейна.
Указания и решения.
7.
1.3. А = a  2 a  1  a  2 a  1 = ( a  1  1) 2 


2
a 1  1 = 1 a 1  1 a 1 .
7 3
7  3 3
, то а-1=
 0;1 , по этому А =1- a  1  1  a  1 =2.
3
3
Ответ:
А=2
2.6. Решить уравнение.
x 4  5x 3  8x 2  5x  1  0 .
Коэффициенты многочлена четной степени левой части уравнения равноотстоящие от
концов равны. Стандартный метод решения его заключается в следующем:
Разделив на х 2 и сгруппировав соответственно члены его, приводим к виду:
1
 2 1  
 x  2   5 x    8  0 .
x
x  

1
Введя подстановку x   y , получим
x
2
y  5 y  6  0 . Решая его по теореме Виета, получаем у1=2 у2=3.
Возвращаемся к данной переменной, получаем множество решений:
 3 5 3 5
;
1;
.
2
2 

2.7. Решить уравнение.
Если а =
x

2


 x  4  8 x x 2  x  4  15x 2  0.
Заметим, что уравнение является однородным второй степени относительно выражений
u  x 2  x  4 и v=x.
Действительно, введя эти замены, мы получаем уравнение:
u2 +8uv+ 15v2=0
2
Разделив уравнение на v2, заменяя
u
на t, получаем
v
t2 + 8t +15 =0.
Полученное уравнение имеет корнями числа -3 и -5.
Возвращаясь к данной переменной, мы получаем:
х1=-2, х2=-3+ 5 , х3=-3- 5 .
3.6. Решить неравенство.
2
16   x  1  25 .
Данное неравенство равносильно совокупности двух других неравенств:
 5  x  1  4
, которая нам дает ответ x   4,3  5;6
4  x 1  5
x
3.7. При каких значениях а значение дроби
заключено в промежутке 0;4?
x2
x
 4.
Решение задачи сводится к решению неравенства 0 
x2
Данное неравенство равносильно системе.
x

0  x  2
.

4  x
x2

Выполним равносильные преобразования системы,

 x x  2   0
 x   ;0  2; 
 x   ;0  2; 



 x  2

x  2
8
.
 4x  8  x
(3x  8)x  2  0
 x   ;2   3 ; 





0
 x2
Окончательно имеем в ответе:
8

x   ;0   ; 
3

4.2. Решить систему.
2
2
 x  2 xy  3 y  0
.
 2
 x  xy  2 x  3 y  0
Первое уравнение системы является однородным. Выполним его преобразования, которые
рекомендуются в этом случае. Разделим уравнение на y2.
2
x
x
x
   2  3  0 . Введем подстановку  t и , получив уравнение t 2  2t  3  0 ,
y
y
 y
вычислим его корни t1=-1, t2=3. То есть первое уравнение нам дает возможность выразить
x через y 6.
1) x=-y
2) x= 3y
Подставим найденные выражения во второе уравнение, которое нам дает значения у и
при помощи формул 1) и 2) вычисляем значения х.
Окончательно имеем множество пар (ху)
(6;2); (-1,5; -0,5); (-2;2); (1,5; -1,5)
При каких значениях а множество решений неравенства 3x 2  4 x  6a  0 содержит
 3 1
все значения х из промежутка x   ;  ?
 2 3
Левая часть неравенства представляет квадратный трехчлен, график которого – парабола с
2
вершиной, определенной точкой с абсциссой хо= .
3
а)Если этот квадратный трехчлен имеет корни, то они расположены симметрично
2
относительно хо = . Так как старший коэффициент положителен, то промежуток
3
1
 3 1
x   ;  должен лежать левее меньшего из корней. И при х= - значение трехчлена
3
 2 3
должно быть положительным. Таким образом дискриминант трехчлена должен быть
1
положительным и значение трехчлена в точке х = - должно быть положительным.
3
Эти два условия представляют систему
4  18a  0

1 4
 3  3  6a  0
Решением системы является множество значений а из промежутка
 2 5
a   ;  .
 9 18 
б) Если квадратный трехчлен не имеет корней, то неравенство верно при всех значениях х.
Для этого достаточно, чтобы выполнялось неравенство 4+18а  0,
2
То есть при а   .
9
Объединяя два полученных результата, получаем ответ
5

a    ;  .
18 

5.
6.Какие значения принимает функция y  9  8 x  x 2 при x   1;7 ?
Область определения данной функции определяется неравенством
 x 2  8x  9  0 .
Решением этого неравенства является множество значений x   1;9 . Данный отрезок
расположен внутри определенного, поэтому задача поставлена корректно и искомое
множество значений функции представляет часть всего множества значений данной
функции, наибольшее значение которой определяется вершиной параболы, которая
выпуклостью направлена вверх.
8
 4.
Вычислим абсциссу вершины параболы хо =
2
Наибольшее значение данной функции вычисляется подстановкой:
y   16  8  4  9  25  5 .
Заметив, что вершина параболы входит в промежуток x   1;7 и х= -1 является точкой,в
которой значение функции равно 0,мы приходим к выводу, что функция на заданном
промежутке принимает все значения из промежутка
y  0;5.
8)Задача про два насоса.
Условимся о следующем .
Пусть весь объем работы, которую нужно произвести равен 1.
х- часть всей работы, которую выполняет первый насос за 1 час.
у –часть работы, которую выполняет второй насос за 1 час.
По условию
0,5  3х+4у  0.8 и 0,55  2 x  6 y  0,7
Умножим на -1 второе неравенство:-0.7  2 x  6 y  0,55 .
Умножим первое неравенство на 1,5:
0,75  4,5 x  6 y  1,2
Сложив два полученных неравенства мы имеем:
0.05  2,5 x  0,65 .
Умножим на 0,4:
0,02  x  0,26
Ответ: бассейн может наполниться не менее, чам на 0,02 части объема и не более ,
чем на 0,26 части объема бассейна