Тема занятия : Иррациональные уравнения неравенства

Приложение № 4
(П. В. Чулков, «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики, лекции 1-4», стр. 75-76)
Два решения одного неравенства
Решить неравенство
х 2  3х  6  3х  4
Решение 1. Исходное неравенство равносильно системе:
5

 x 2  3x  6  (3x  4) 2 ,
8 x 2  21x  10  0,
8( x  2)( x  )  0,

 2


8


 x  3x  6  0,
4
4
3x  4  0
x 
x  .
3



3
Условие x 2  3 x  6  0 можно не учитывать, поскольку оно выполнено для всех x .
5
Первое неравенство системы выполнено, если x  2 x  .
8
Далее рассмотрим два случая:
5

x ,
 x  2,



8
1)
2) 
- противоречие.
4  x  2;
 x  3
x  4
3

Ответ: 2; .
Решение 2. Решим данное неравенство методом интервалов.
Рассмотрим функцию f ( x)  x 2  3x  6  3x  4 .
1) D( f )  R , поскольку x 2  3 x  6  0 для любого x ;
2) функция f (x) - непрерывна на R;
3) найдем корни уравнения f ( x)  0 .
Данное уравнение равносильно системе:
8 x 2  21x  10  0,
 x 2  3x  6  (3x  4) 2 ,



4
3x  4  0
x  .
3

Получаем единственный корень x  2 . Таким образом,
промежутках  ;2 и 2; .
Определим знак f (x) на каждом из указанных промежутков:
1) f ( x)  0 на  ;2 , так как f (0)  6  4  0 ;
2) f ( x)  0 на 2; , так как f (3)  27  9  6  9  4  24  5  0 .
Ответ: 2;
f (x )
сохраняет знак на