Материалы к городскому обучающему семинару для учителей математики по подготовке обучающихся к ГИА и ЕГЭ. 20 февраля 2012 года Решение рациональных неравенств Решите неравенство: 1) ( х 3)( х 2) х( х 1) 0 ; 2) ( х 2) 3 ( х 1)( х 1) 2 ( х 2 2 х 5) 0 ; 3) ( х 3) 2 ( х 2) х 0; ( х 1) 4 ( х 5) 7 х 12 х 2 0; 2х 2 х 3 х3 2. 5) х2 4) 2) Решение. ( х 2) 3 ( х 1)( х 1) 2 ( х 2 2 х 5) 0 . Трехчлен х 2 2 х 5 при всех х R принимает положительные значения, т.к. D 2 2 4 5 16 <0. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству ( х 2) 3 ( х 1)( х 1) 2 0 . Многочлен обращается в нуль в точках х 2; х 1; х 1. Эти точки разбивают координатную прямую на промежутки Итак, получаем х (1;1) (1;2) 5) Решение. х3 2. х2 Данное неравенство равносильно двум системам: а), x3 0, x2 x3 2; x2 x3 0, x2 б) x3 2. x2 Из первой системы получаем 0 из второй - 2 x3 2, x2 х3 0. х2 Объединяя полученные результаты, заключаем, что 2 х3 2. х2 Итак, данное неравенство равносильно системе x3 2, x2 x3 2 ; x2 x7 0, x2 3х 1 0. x2 Решая первое неравенство, находим что х 2 или x 7; из второго неравенства имеем x x 1 или x 7 . 3 Ответ: 1 или x 2. окончательно получаем, что 3 1 х (; 7 : 3 Решение иррациональных неравенств Решение иррациональных неравенств требует от учащихся хороших теоретических знаний, умений применять их на практике, требует внимания, трудолюбия, сообразительности. Основным методом решения иррациональных неравенств является метод равносильных преобразований . Пример 1 Решите неравенство Решение. Сразу перейдём к равносильной системе: Ответ: Пример 2 Решите неравенство Решение: Перейдём к равносильной системе: Решая эту систему методом интервалов, сразу получаем: Ответ: 13) Найдите сумму и число целых решений неравенства 3 12 x x 2 4 x 3 0 ; Решение: Перейдем к равносильной системе 3 12 x x 2 4 x 3 0 х 3 0 , 12 x x 2 0 ; х 3 , 3 x 3 4 x 3; Сумма -2-1+0+1+2=0; Ответ: 0; 5. "Сборник задач по алгебре, 8-9", авт. М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич Данная книга представляет собой сборник задач по курсу алгебры, предназначенный для учащихся 8-9 классов с углубленным изучением математики. В начале параграфа "Степень с рациональным показателем" помещен справочный материал теоретического характера, посвященный иррациональным уравнениям и неравенствам. Описаны такие пути решения иррациональных уравнений, как: возведение обеих частей уравнения в натуральную степень с последующей проверкой найденных корней; переход к равносильным системам, в которых учитывается область определения уравнения и требование неотрицательности обеих частей уравнения, возводимых в четную степень. При решении иррациональных неравенств либо используется метод интервалов, либо с помощью равносильных преобразований заменяется данное иррациональное неравенство системой (или совокупностью систем) рациональных неравенств. В параграфе рассмотрено три способа решения иррационального уравнения вида : переход к равносильной системе; введение новой переменной; использование свойства монотонности функций. Среди упражнений, помещенных в данном параграфе, есть упражнения для закрепления умений и навыков решать иррациональные уравнения и неравенства. В №№115-117 необходимо доказать, что уравнение не имеет решения, в №№118-119 - ответить на вопрос: равносильны ли уравнения. №№120-144 предлагаются для решения иррациональных уравнений, №№145-155 - для решения неравенств описанными выше способами. Галицкий М.Л. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики. - М.: Просвещение, 1999. - 271с. Неравенства в ГИА Решите неравенство: 6) ( х 3)( х 2) х( х 1) 0 ; 7) ( х 2) 3 ( х 1)( х 1) 2 ( х 2 2 х 5) 0 ; 8) ( х 3) 2 ( х 2) х 0; ( х 1) 4 ( х 5) 7 х 12 х 2 0; 2х 2 х 3 х3 2. 10) х2 9) 11) x 1 3 ; 12) x 1 2 x ; 13) x 2 x 2 ; 14) x 2 2 x 8 0 . 15) 2 x 2 7 x x 2 ; 16) x 15 5 x . 17)Найдите сумму и число целых решений неравенства 3 x2 x 6 6 x 0 ; 18)Найдите сумму и число целых решений неравенства 3 12 x x 2 4 x 3 0 ;