Тема: Решение логарифмических неравенств и систем неравенств (задание 15 из ЕГЭ) Учителя математики высшей категории информационно-технологического лицея №24 г. Нерюнгри Веслополова Ольга Юрьевна – отличник образования Республики Саха(Я), обладатель почетного знака «Учитель учителей», награждена Почетной грамотой Министерства образования РФ, Козак Наталья Георгиевна – отличник образования Республики Саха (Я), победитель ПНПО «Лучший учитель России» На занятии рассматриваются методические приемы предупреждения ошибок учащихся в решении логарифмических неравенств и систем неравенств. При решении логарифмических неравенств, особенно при наличии функции, стоящих под логарифмами, и функций, представляющих собой основания логарифмов, учащиеся рассматривают решение нескольких систем неравенств, затрачивая при этом много времени на их решение. Мы предлагаем решение логарифмических неравенств как традиционными методами, согласно программного материала, так и более рациональными методами (не изучаемые по программе в общеобразовательных школах). Задача 15. Решите систему неравенств Решение. Решим первое неравенство. Оно равносильно системе: Сделаем замену во втором неравенстве этой системы: Получим, Следовательно, . Сделаем обратную замену: При решении первого неравенства будем использовать утверждение: неравенство * равносильно системе неравенств . Тогда Которая имеет решение при . Уравнение имеет единственное решение при x=5. Учитывая, что , решением первого неравенства данной системы будет: . Областью допустимых значений второго неравенства данной системы будет . Следовательно, только x=5 может быть решением системы. Для этого подставим во второе неравенство х=5 и убедимся, что оно верно. Ответ: 5. . «Особенности решения логарифмических неравенств» * Севрюкова П.Ф. (Ставрополь). Задача 15. Решите систему неравенств Решение. Из первого неравенства получаем: Решим второе неравенство. Сделаем замену: Неравенство примет вид Сделаем обратную замену: Учитывая решение первой системы получим, что Ответ: . Задача 15. Решите систему неравенств Решение. Из первого неравенства находим: Получаем: Решим второе модули: Решение системы: Ответ: . неравенство. Задача 15. Решите систему неравенств Зная, что , раскроем Решение. Решим первое неравенство. Неравенство вида: равносильно системе неравенств Тогда первое неравенство равносильно системе: Если Если и и то то . Если , то и Решим второе неравенство: Решение системы: Ответ: ; . Таким образом, первое неравенство выполняется, если или Задача 15. Решите систему неравенств Решение. 2x x x 4 4 4 Решим первое неравенство. 16 x 12 x 2 9 x 0, 20,0 1, x0. 3 3 3 Второе неравенство log x 2 x 2 10 x 26 log x 2 x 2 10 x 26 0 равносильна 1 2x 1 26 системе, состоящей из 2 2 2 2 x x x x 11 1x 2 10 x 26 11 1 0, 1 26 26 26 26 неравенств: x2 x2 0;1 1; x 2 10 x 26 0. Решением данной системы неравенств является х=-5 26 26 или х=5. С учетов решения первого неравенства имеем, что система имеет решение х=-5. Ответ: -5. 1 Задача 15. Решите систему неравенств Решение. Первое неравенство равносильно системе неравенств, которая состоит из неравенств: x 12 1 x 2 4 x 4 10; x 2 4 x 4 0; x 12 0. Данная система равносильна неравенству xx 1x 2x 30 . Решением которого ятляется x 0;1 2;3 . Второе неравенство системы равносильно неравенству x 2 3x 3 0 , которое имеет 3 5 3 5 решение x ; 2 ; . 2 3 5 3 5 Тогда решением системы будет 0; 2 ;3 . 2 3 5 3 5 Ответ: 0; 2 ;3 . 2 Задача 15. Решите систему неравенств Решение. запишем в виде 1. Неравенство Относительно t = . неравенство имеет вид: - 9t - 22 2 -9 - 22 откуда получаем: -2 Значит, - 2 2. Второе неравенство системы определено при то есть при x При допустимых значениях переменных получаем: 2С учётом области допустимых значений переменной получаем решение второго неравенства системы: 2 3. Сравним и2+ Так как 2+ . Решение системы неравенств: Ответ: Задача 15. Решите систему неравенств Решение. Решим первое неравенство. Приведем второе слагаемое к основанию 3: = Неравенство принимает вид 2 ; Получаем: 0 или x Решим второе неравенство как квадратное относительно : Получаем: или х или Следовательно, 0 Чтобы получить решение системы, найдем общую часть решений неравенств: 0 Ответ: 0 Задача 15. Решите систему неравенств Решение. Из первого неравенства получаем: х-1 х Сделаем замену а = , b = ; Сделаем обратную замену: Из неравенства х следует, что х Учитывая это, перейдем к системе Решение: х или х Ответ: . Задача 15. Решите систему неравенств , получаем: х Решение. Решим первое неравенство. Если 0 , то 0 Получаем: 0 Если Тогда . Решений нет. Если Получаем: Тогда . Таким образом, первое неравенство выполняется, если , Решим второе неравенство: , . 0 : , 1 , 1 Задача 15. Решите систему неравенств Решение. Из первого неравенства находим: , :5 Зная, что 5 , раскроем модули: , Решение системы: 6,4 Ответ: Задача 15. Решите систему неравенств Решение. Решим первое неравенство. , Получаем: , . x . Сравним и 1: Сравним и 2: Если то Если , то = , 2– Ответ: = . Получим 0 . Получим . Задача 15. Решите систему неравенств Решение. Решим первое неравенство. , разделим на , t . Решим неравенство, применяя утверждение: неравенство равносильно системе неравенств: Решим первое неравенство: , неравенство имеет решение, если x = 0 или x = 6. шением последней системы является x = 6. Ответ: 6 Задача 15. Решите систему неравенств Решение. Область определения входящих функций в неравенства: ( ; ); ( Решим первое неравенство. Заменим , t Учитывая область определения решение первого неравенства : x= 5. Проверим данное решение подставив во второе неравенство системы x = 5 : + -1 получили верное неравенство. 81 Решение системы: x =5. Ответ: 5. Задача 15. Решите систему неравенств Решение. Решим второе неравенство методом замены. Заменим x , . Ответ: . Задачи для самостоятельного решения 1. 2. 3. , t ; ). 4. 5.