Конспект урока по теме «Иррациональные уравнения

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
гимназия № 8
Конспект
урока
по алгебре по теме
«Иррациональные уравнения»
(групповая технология, технология дифференцированного
обучения, технология проблемного обучения)
Учитель математики:
Егорова Антонина Олеговна
2012-2013 учебный год
Тема «Иррациональные уравнения»
Цели урока:
- обучающие: закрепить основные способы решения иррациональных
уравнений; рассмотреть некоторые приемы решения уравнений
нестандартными способами;
- развивающие: развивать у учащихся умения анализировать задачу перед
выбором способа ее решения; развивать навыки исследовательской
деятельности, синтеза, обобщения; учить логически мыслить при переходе от
частного к общему;
- воспитывающие: воспитывать у учащихся личностную рефлексию: стал
ли он сам для себя изменяющимся субъектом деятельности.
Ход урока:
I.
Организационный момент (сообщить учащимся тему урока, поставить
перед ними задачи урока)
Сегодня мы с вами продолжим совершенствовать навыки решения
иррациональных уравнений различными способами, а также попытаемся
применить известные способы решения систем иррациональных
уравнений.
II.
Активизация знаний учащихся.
1) Какие уравнения называются иррациональными? ( Иррациональными
называются уравнения, содержащие переменную под знаком радикала.)
2) Назовите основной способ решения иррациональных уравнений.
3) Для чего необходимо проводить проверку при решении уравнений.
Задание 1. Докажите, что следующие уравнения не имеют решений:
а)
х  3  2 х  1  5;
б)
х2 
в)
х  5  2  х  4;
г)
х  16 
д)
х  1  1  х 2  2.
х  4  0;
х  3  4;
4) Что нам показывают две последние записи? ( Два стандартных способа
решения простейших иррациональных уравнений.)
5) Назовите эти способы. ( - замена уравнения уравнением-следствием путем
возведения обеих частей уравнения в квадрат с
обязательной последующей проверкой корней
уравнения-следствия в исходном уравнении;
- замена иррационального уравнения равносильной
смешанной системой )
III.
Тестовая работа по подготовке к ЕГЭ.
1 вариант
A1
Решите уравнение 4 + х = х  6 и укажите верное утверждение о его корнях:
1) корень только один, и он положительный;
2) корней два, ионии разных знаков;
3) корень только один, и он отрицателен;
4) корней два, и они положительны.
A2
Найдите сумму корней уравнения х + 1 =
1) – 1;
2) 1;
3) 4;
4) 5.
7х  5 :
A3
Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения
1) [3;5];
2) (1;3);
3) [0;2];
4) (-2;0).
х 2  5х  5  х  2
A4
Сколько корней имеет уравнение 1  х 2  33  2 х 2  х 4 :
1) четыре; 2) два; 3) один; 4) ни одного.
2 вариант
A1
Решите уравнение 1 - х = 13  3х и укажите верное утверждение о его корнях:
5) корень только один, и он отрицательный;
6) корень только один, и он положительный;
7) корней два, и они разных знаков;
8) корней два, и они положительны.
A2
Найдите сумму корней уравнения 11х  7  х  1:
1) – 1;
2) 5;
3) 9;
4) - 5.
A3
Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения
1) [-12;0];
2) [2;4];
3) [4;5);
4) [5;+∞).
A4
Сколько корней имеет уравнение
х4  3  х2  2 :
1) ни одного; 2) один; 3) два; 4) четыре.
2х 2  2х  4  х  2
При выполнении этой работы преследуется еще одна цель – правильное оформление
теста. Поэтому учащимся предоставляются бланки ответов, отражающие фрагмент бланка
ответов ЕГЭ.
Фамилия, имя ____________________________Вар.№___
Для тех, кто решил тест очень быстро, можно предложить на отдельном
листе решить следующие уравнения:
4  7 х х  2  3х  2 ;
IV.
9  4х х  4  4х  3
Взаимопроверка тестовой работы.
( учащиеся передают бланк ответов соседу, а затем проходит взаимопроверка по
предложенному учителем образцу ответов по 1 и 2 вариантам; затем подводятся итоги
такой проверки, учащиеся выставляют на бланке свою оценку, учитель собирает их )
( Образец ответов(не для данного теста):
V.
Отметим, что при решении иррациональных уравнений необходимо
придерживаться правила: не бросайся решать уравнение сразу,
проанализируй его вид, используй ОДЗ, найди самый рациональный
прием его решения или докажи, что решений нет.
Задание 3. Докажите, что следующие уравнения не имеют решений:
а)
х  3  2 х  1  5;
б)
х2
в)
х  5  2  х  4;
г)
х  16 
д)
х  1  1  х 2  2.
х  4  0;
х  3  4;
VI. Решение уравнений нестандартными приемами.
Давайте рассмотрим несколько уравнений и
рациональный способ его решения.
найдем
наиболее
1) х 2  х  5  х 2  х  9  8;
2)
3)
3
9  х  3 7  х  4;
х 2  4  х 2  1  3  5х 2 .
Для решения указанных уравнений можно применять введение новой
переменной ( в Ур.1), причем обратить внимание учащихся на наиболее
рациональную замену; введение новых переменных и переход к системе
двух неиррациональных уравнений ( Ур.2); использование монотонности
функций или метод оценки левой и правой частей уравнения ( Ур.3).
VII. При решении большинства уравнений множество их корней как
правило конечно, в неравенствах же чаще всего бесконечно много решений.
Решая иррациональные неравенства возведением обеих его частей в какуюлибо степень, проверка всех найденных решений подстановкой в исходное
неравенство невозможна, нам придется все время заботиться о том, чтобы
выполняемые нами переходы были равносильными. Для этого давайте
вспомним свойства простейших неравенств, а именно, при каких условиях
возведение в квадрат обеих частей верного неравенства является
равносильным преобразованием.
Это возможно только в том случае, если обе части неравенства
положительны, т.е. если 0 < а < в, то а2 < в2 , или если а > в > 0, то а2 > в2 .
Рассмотрим простейшие иррациональные неравенства:
а)
х  3  2;
б)
2 x  1  5;
в)
x  1  2;
г)
17 x  6  1.
( при разборе решений данных неравенств нужно воспользоваться рассмотренным выше
свойством числовых неравенств и областью допустимых значений переменной в
неравенстве)
VIII. Групповая работа.
Учащимся предлагаются обсудить решения двух неравенств, у которых
правая часть зависит от переменной. Используя все выше, сказанное найти
не просто решения неравенства, но и попытаться сформулировать условия,
которым подчиняются все решения, т.е. найти равносильные переходы.
Задание 4. Решите неравенство:
а)
IX.
X.
х 2  х  2  x  1;
б ) х 2  5х  4  х  3.
Обсуждение решений неравенств у доски.
Обобщение полученных результатов для неравенств общего вида.
Неравенство первого вида:
 g ( x)  0

f ( x)  g ( x)   f ( x)  0
 f ( x)  g 2 ( x)

(1)
Аналогично, можно записать равносильный переход для неравенство с
нестрогим знаком:
 g ( x)  0

f ( x)  g ( x)   f ( x)  0
 f ( x)  g 2 ( x)

( 1а )
Неравенство второго вида:
 g ( x)  0
 g ( x)  0
f ( x)  g ( x)  
или 
2
 f ( x)  0
 f ( x)  g ( x)
(2)
Аналогично, для неравенства нестрогого:
 g ( x)  0
 g ( x)  0
f ( x)  g ( x)  
или 
2
f
(
x
)

0

 f ( x)  g ( x)
XI.
Для закрепления указанного метода решения
неравенств можно выполнить следующее задание.
( 2а )
иррациональных
Задание 5. Решите неравенство:
а)
х  3  x  1;
б)
х  18  2  x .
XII. Подведение итогов.
Рассмотренные нами методы и приемы решения иррациональных
уравнений и неравенств позволяют решать огромное количество различных
задач. На последующих уроках мы продолжим поиски более рациональных
способов решения систем уравнений, вспомним, что для решения неравенств
применяется метод интервалов; попробуем применить его для
иррациональных неравенств.
XIII. Домашнее задание:
1. Решите уравнение:
2 х 2  5х  2  2 х 2  5х  9  7 ;
а)
б)
в)
4
17  х  4 17  х  2 ;
х  2  4  х  х 2  6 х  11.
Решите неравенство:
а)
2х2  х  1  2x ;
б)
9 x 2  x  10  3x  2.