«Показательные уравнения и неравенства» Гордова Е.А. - учитель математики 2015 г Показательные уравнения и неравенства Решение большинства математических задач связано с преобразованием числовых, алгебраических или функциональных выражений. Сказанное относится и к решению показательных уравнений и неравенств. Научиться решать их важно не только с целью успешной сдачи ЕГЭ, но и по той причине, что это умение пригодится при изучении курса математики в высшей школе. Рассмотрим основные типы показательных уравнений и неравенств, а также различные методы их решений. Прежде чем приступить к разбору конкретных показательных уравнений и неравенств, вспомним некоторый теоретический материал. Показательная функция Что такое показательная функция? Функцию вида y = ax, где a > 0 и a ≠ 1, называют показательной функцией. Основные свойства показательной функции y = ax: Свойство a>1 0<a<1 Область определения D(f) = (-∞; +∞) D(f) = (-∞; +∞) Область значений E(f) = (0; +∞) E(f) = (0; +∞) Монотонность Возрастает Убывает Непрерывность Непрерывная Непрерывная График показательной функции Решение показательных уравнений Показательными называются уравнения, в которых неизвестная переменная находится только в показателях степеней. Для решения показательных уравнений требуется знать следующую теорему: Теорема 1. Показательное уравнение af(x) = ag(x), (где a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f(x) = g(x). Помимо этого, полезно помнить об основных формулах и действиях со степенями: Пример 1. Решите уравнение: Решение: используем приведенные выше формулы и подстановку: Уравнение тогда принимает вид: Дискриминант положителен, значит, что данное уравнение имеет два корня. Переходя к обратной подстановке, получаем: Второе уравнение корней не имеет, поскольку показательная функция строго положительна на всей области определения. Решаем первое: Переходим к уравнению: x = 3. Ответ: 3. Пример 2. Решите уравнение: Решение: ограничений на область допустимых значений у уравнения нет, так как подкоренное выражение имеет смысл при любом значении x (показательная функция y = 94-x положительна и не равна нулю). Решаем уравнение Ответ: 6. Пример 3. Решите уравнение: Решение: обе части уравнения делим на 0,2x, т.к. выражение больше нуля при любом значении x. Уравнение принимает вид: Ответ: 0. Пример 4. Решите уравнение: Решение: упрощаем уравнение. (Разделили обе части уравнения на 4x ). Ответ: 0. Пример 5. Решите уравнение: Решение: функция y = 3x является возрастающей. Функция y = -x-2/3 является убывающей. Это означает, что если графики этих функций пересекаются, то не более чем в одной точке. Графики пересекаются в точке x = -1. Ответ: -1. Пример 6. Решите уравнение: Решение: упрощаем уравнение путем равносильных преобразований. Ответ: 2. Решение показательных неравенств Показательными называются неравенства, в которых неизвестная переменная содержится только в показателях каких-либо степеней. Для решения показательных неравенств требуется знание следующей теоремы: Теорема 2. Если a > 1, то неравенство af(x) > ag(x) равносильно неравенству того же смысла: f(x) > g(x). Если 0 < a < 1, то показательное неравенство af(x) > ag(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x) < g(x). Пример 7. Решите неравенство: Решение: представим исходное неравенство в виде: Разделим обе части этого неравенства на 32x, при этом знак неравенства не изменится: Подставим Неравенство примет вид: Решением неравенства является промежуток: переходя к обратной подстановке, получаем: Воспользовавшись известным свойством логарифма, переходим к равносильному неравенству: Поскольку в основании степени стоит число, большее единицы, равносильным будет следующее неравенство: Ответ: Пример 8. Решите неравенство: Решение: используя свойства умножения и деления степеней, перепишем неравенство в виде: Введем новую переменную: Неравенству удовлетворяют следующие значения переменной t: Тогда получаем: Т.к.основание степени здесь больше единицы, равносильным будет неравенство: Ответ: Пример 9. Решите неравенство: Решение: Делим обе части неравенства на выражение: Оно всегда больше нуля, поэтому знак неравенства изменять не нужно. Получаем: Замена переменной: Исходное уравнение тогда принимает вид: Неравенству удовлетворяют значения t, находящиеся в промежутке: Исходное неравенство распадается на два случая: Первое неравенство решений не имеет в силу положительности показательной функции. Решаем второе: Поскольку основание степени в данном случае оказалось меньше единицы, но больше нуля, равносильным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству: Ответ: Пример 10. Решите неравенство: Решение: Ветви параболы y = 2x+2-x2 направлены вниз, следовательно, она ограничена сверху значением, которое достигает в своей вершине: Ветви параболы y = x2-2x+2, стоящей в показателе, направлены вверх, она ограничена снизу значением, которое достигает в своей вершине: Вместе с этим ограниченной снизу оказывается и функция y = 3x2-2x+2, стоящая в правой части уравнения. Она достигает своего наименьшего значения в той же точке, что и парабола, стоящая в показателе, и это значение равно 31 = 3. Итак, исходное неравенство может оказаться верным только в том случае, если функция слева и функция справа принимают в одной точке значение, равное 3. Это условие выполняется в единственной точке x = 1. Ответ: 1. Для того, чтобы научиться решать показательные уравнения и неравенства, необходимо постоянно тренироваться в их решении. В этом нелегком деле вам могут помочь различные методические пособия, задачники по элементарной математике, сборники конкурсных задач, занятия по математике в школе, а также индивидуальные занятия.