Определённый интеграл Задача о площади y f x Y a x1 x 2 x 3 xn 2 xn 1 b X S i f Ci xi xi 1 y xi 1 C i xi x a x0 x1 x2 x3 ..... xn2 xn1 xn b n Sступ.фигуры Si i 1 S кр .тр. f Ci xi xi 1 n i 1 S кр .тр. f Ci xi n i 1 S lim f Ci xi n xi 0 i 1 Определённый интеграл • Пусть на сегменте a; b задана функция y f x : 1) с помощью точек деления a x0 x1 x2 x3 ..... xn2 xn1 xn b разобьем сегмент на n малых сегментов x ; x , x ; x ,...,x 0 1 1 2 n 1 ; xn 2) в каждом малом сегменте xi 1 ; xi выбираем произвольно точку C i и умножим значение функции в этой точке на длину сегмента: f Ci xi . 3) составим сумму (интегральную) n f Ci xi . n i 1 Если интегральная сумма n имеет предел, который не зависит ни от способа разбиения сегмента a; b,ни от выбора точек C i в каждом малом сегменте, то этот предел называется определённым интегралом от функции f x на a;b. f Ci xi f ( x)dx lim i 1 b a n xi 0 n Геометрический смысл определённого интеграла. b S a f ( x)dx Свойства определённого интеграла 1. b a a b f ( x)dx f ( x)dx a f ( x) 0 2. a 3. b b a a kf ( x)dx k f ( x)dx , k-любое число b b 4. b ( f1 ( x) f 2 ( x))dx a f1 ( x)dx a f 2 ( x)dx a 5.Аддитивность определённого интеграла. Для любых чисел a,b,c справедливо: b c b a a c f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx a; b f x 0, то 6) Если на f x dx 0. b a 7) Если на a; b f x x f x dx x dx b b a a Формула Ньютона-Лейбница. Если F(x) есть какая-либо первообразная от непрерывной на [ a, b] функции f(x), то справедлива формула Ньютона-Лейбница: b f ( x)dx F (b) F (a) a Пример. 0, 5 0 dx 1 x 2 arcsin x 0,5 0 arcsin 0,5 arcsin 0 6 Методы интегрирования xz 9 dx 2 z dz 3 2 z dz dx x 1 x 4; z 2 2 z 1 4 x 9; z 3 2 3 2 z 1 1 dz 2 z 1 2 1 1 z 1 dz 2 3 9 2 z 2 2ln z 1 2 6 4 2 ln 4 2 ln 3 2 ln 16 3 3 Интегрирование по частям в определённом интеграле. b b udv u v vdu a b a a u x; du dx x cos x dx dv cos x dx 0 v cos x dx sin x x sin x 0 sin x dx 0 sin 0 sin 0 cos x 0 0 0 cos cos0 1 1 2 Геометрические приложения определенного интеграла • 1. Если y f x непрерывна и положительна, то S кр .тр. с основанием a; b ограниченной сверху графиком этой функции можно найти по формуле S f x dx b a 2. Если f x 0 на a; b . f x 0 S f x dx f x dx b b a a b S f ( x) dx a y y=-f(x) 0 a b x y=f(x) 3.Рассмотрим случай, когда фигура ограничена сверху графиком функции y f x , снизу графиком функции y g (x) b S ( f ( x) g ( x))dx; a y y=f(x) y= (x) 0 a b x y y=e x 1 1 0 x y=-x2 3 1 1 x 1 2 S (e x )dx (e ) e 1 e 3 0 3 3 0 x 2 x Объём тела вращения Y f x aa x b X • Объем тела, образованного вращением трапеции вокруг оси OX: V f x dx b 2 a • Объем тела, образованного вращением трапеции вокруг оси OY: V g y dy d c 2 Несобственные интегралы • Несобственным интегралом с бесконечной верхней границей от непрерывной функции f x называется предел определенного интеграла f x dx b a при условии, что b : b a a f x dx f x dx lim b • Если этот предел конечное число, то f x dx a существует или сходится. • Если этот предел не существует( или равен бесконечности), то говорят, что интеграл не существует или расходится. b b f ( x)dx lim a f ( x)dx a c f ( x)dx f ( x)dx c f ( x)dx Пример. dx b arctgx 1 x 2 blim 0 0 blim ( arctgb arctg 0 ) 2 • Несобственный интеграл от разрывной функции при приближении к числу b слева называется x f x dx : lim c b 0 c a f x dx f x dx clim b 0 b c a a • Аналогично, если функция f x разрывна при приближении x справа к точке a f x dx. f x dx clim a 0 b b a c • Если функция разрывна в точке d a; b f x dx f x dx f x dx b d b a a d