Интеграл не поможет. Применения интеграла разнообразны, однако в школьном курсе математике перечень задач на использование определённого интеграла ограничен. Одной из основных задач на применение определённого интеграла в школьном курсе математики – это задача на нахождение площади фигуры, ограниченной линиями. Самая простая из таких задач: задача нахождения площади криволинейной трапеции, при условии, что кривая линия, ограничивающая фигуру сверху на отрезке [a; b] лежит не ниже оси ОХ. Тогда, если известна функциональная зависимость для этой линии и найдены b значения a и b, то S f ( x)dx , а далее по формуле Ньютона-Лейбница a вычисляется значение определённого интеграла, найденное число и даёт значение искомой площади. Но так ли проста эта задача? В отличии от производной, первообразная для «сложной» функции в школьном курсе либо находится очень хитро (пример: для функции у x sin x ), либо не может быть найдена в принципе (пример: для функции y sin x2 ). Рассмотрим задачу. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: у=0 и y 7 6 x x 2 . Решение. Условие классическое, поэтому многие учащиеся идут по известному алгоритму: 1) Находят область определения функции y 7 6 x x 2 , решив несложное неравенство, находят D(y)=[-1; 7]. 2) Очевидно, что на области определения функция y 7 6 x x 2 принимает неотрицательные значения (в силу определения арифметического квадратного корня), и у(-1)=0; у(7)=0. Таким образом, мы нашли точки пересечения графика функции y 7 6 x x 2 с осью ОХ, т.е. a=-1; b=7. 3) Построим график функции y 7 6 x x 2 на координатной плоскости и определим фигуру, площадь которой нам нужно вычислить (большинство этот пункт игнорируют). Очевидно, что применима формула для нахождения b площади криволинейной трапеции через определённый интеграл S f ( x)dx и a чертёж, как правило, не упрощает решение, а только удлиняет его (на построение графика требуется время). Итак, задача свелась к следующей: нужно взять определённый интеграл, который, как утверждалось выше, численно равен искомой площади: 7 S 7 6 x x 2 dx . Вот на этом 1 этапе нас и поджидает неприятность. Взять такой интеграл ученикам не по силам. И что же делать? Поможет картинка, пропущенная в пункте (3) алгоритма. Что же является графиком функции у= ? Некоторые ученики считают, что это часть некоторой параболы, другие, что это часть прямой, немногие понимают, что речь идёт о полуокружности. Действительно после преобразований (возведение в квадрат левой и правой части формулы и выделение полных квадратов), получаем более угадываемую зависимость: (х-3)2+у2=42. А уж по рисунку видно, что необходимая площадь может быть вычислена без использования интеграла, просто из геометрических соображений. Нам нужно вычислить площадь полукруга, радиус которого равен 4. Значит, искомая площадь равняется: S 8 . Задача решена, площадь найдена. А интеграл не понадобился?