Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 6. Тема: Неопределенный интеграл и основные методы интегрирования. Определенный интеграл. Цель: Изучить понятие неопределенного интеграла и освоить основные правила интегрирования. Рассмотреть приложения определенного интеграла. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a;b), если для всех x(a;b) выполняется равенство F(x) = f(x). Докажем две вспомогательные теоремы: Если F(x) – первообразная для f(x) на (a;b), то F(x) + C, где C – число, тоже первообразная для f(x) на (a;b). Доказательство: (F + C) = F + C = f + 0 = f Если функция g(x) постоянна на (a;b), то g(x) = 0. Если g(x) = 0 при всех x(a;b), то g(x) = C на (a;b). Если F(x) есть первообразная для f(x) на промежутке (a;b), а G(x) – другая первообразная для f(x) на (a;b), то G = F + C, где C – число. Множество всех первообразных для функции f(x) на промежутке (a;b) называется неопределенным интегралом и обозначается f(x)dx. Вычисление неопределенного интеграла от заданной функции называется интегрированием. Замена переменной в неопределенном интеграле. Если функция f(x) непрерывна, а функция (t) имеет непрерывную производную (t), то имеет место формула: f((t))(t) dt = f(x) dx, где x = (t). Формула интегрирования по частям Пусть u(x) и v(x) — дифференцируемые на некотором промежутке функции, тогда (uv) = uv + vu, отсюда следует: (uv)dx = (uv + vu )dx = = uv dx + vu dx или uv dx = uv – uv dx . Отсюда следует формула, которая называется формулой интегрирования по частям: u(x)dv(x) = u(x) v(x) – v(x)du(x) Определенный интеграл. Определенным интегралом функции n y=f(x) на [a,b] называется lim f x , max xi 0 i 1 n i i если этот предел существует и не зависит от способа разбиений [a,b] на xi и от выбора точек i . Определенный интеграл b обозначается: f ( x)dx. Числа a и b a называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования. Геометрический смысл определённого интеграла. y y=f (x) . 0 x0=a x1 x2 xi-1 xi b S xn=b f ( x)dx a b Свойства определённого интеграла. a a 2. f ( x) 0 1. f ( x)dx f ( x)dx a a b b a a b a 3. kf ( x)dx k f ( x)dx, k-любое число b 4. ( f1 ( x) f 2 ( x) ... f n ( x))dx f1 ( x)dx a b b a a a f 2 ( x)dx ... f n ( x)dx 5.Аддитивность определённого интеграла. Для любых чисел a,b,c справедливо: b c b a a c f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx Формула Ньютона-Лейбница. Если F(x) есть какая-либо первообразная от непрерывной на [ a, b] функции f(x), то справедлива формула Ньютона-Лейбница: b f ( x)dx F (b) F (a) a Замена переменной в определённом интеграле. 1 0 2 2 1 2 2 1 x dx cos tdt (1 cos 2t )dt 2 0 0 2 1 1 (t sin 2t ) 2 2 4 0 x sin t t arcsin x x 0 t 0 1 2 Интегрирование по частям в определённом интеграле. b b udv u v vdu a b a a Геометрические приложения определенного интеграла y y=-f(x) 0 x y=f(x) b b S a f ( x) dx y y=f(x) y=( ) a 0 b b x S f ( x) ( x)dx a y y=e x 1 1 0 x y=-x2 3 1 1 x 1 2 S (e x )dx (e ) e 1 e 3 0 3 3 0 x 2 x Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной параметрически. x x(t ), где y y (t ) t , x( ) a, x( ) b, x(t), y(t), x’(t), y’(t) – непрерывны на , . S y(t ) x' (t )dt y 0 a b x Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной осью OX и одной аркой циклоиды:x=a (t-sin t), y= a (1-cos t). y 2 2 0 0 2a x 0 S a (1 cos x) a (t sin t )' dt a 2 (1 cos t ) 2 dt 2 a 2 (1 2 cos t cos 2 t )dt a (t 2 sin t ) 2 2 0 0 2 2 1 a 1 a 2 (1 cos 2t )dt a 2 2 (t sin 2t ) 20 2 2 2 a 2 a 2 2 3a 2 2 2 0 Вычисление длины дуги кривой. Пусть кривая задана уравнением y=f(x), где f(x) и f’(x) непрерывны на [a, b]. b l 1 ( f ' ( x)) dx 2 a Пусть кривая задана в параметрической форме x=x(t), y=y(t), t , , причём x(t), y(t), x’(t) 0, y’(t) непрерывны на , , x( ) a, x( ) b. l ( x' (t )) ( y' (t )) dt 2 2 Вопросы: 1)Свойства неопределенного интеграла? 2)Свойства определенного интеграла? 3)Площадь каких фигур можно находить с помощью определенного интеграла?