[ определенный интеграл как предел интегральной суммы - свойства определенного интеграла - основная теорема математического анализа – теорема Барроу - формула Ньютона-Лейбница - подстановка в определенном интеграле - примеры вычислений определенного интеграла – примеры - интегрирование нечетных и четных функций в пределах, симметричных относительно начала координат ] f(xk) Пусть f(x) определена на [a,b] и D - разбиение отрезка [a,b] на подынтервалы - отрезки Ik. a = x 0 x1 xk xk-1 xk xn-1 xn = b D : x1 ,...,xn , Ik xk 1 , xk , xk Ik , k xk xk 1 , max k Составим сумму SD n f ( xk ) xk k 1 Сумма SD называется суммой Римана Предел, к которому стремится интегральная сумма SD при неограниченном произвольном разбиении D и стремлении к нулю максимального из отрезков разбиения называется определённым интегралом от функции f(x) на [a, b] . Предел называют интегралом Римана b n и функцию, для которой этот предел lim SD lim f ( xk ) xk f ( x ) dx существует, называют интегрируемой 0 k 1 0 a n в смысле Римана. 1 @ 1 y 3 Вычислить определенный интеграл x dx n 3 1 k 1 3 x dx lim lim n k 1 n n n n 4 0 0 n k3 k 1 Воспользуемся формулой для суммы кубов 2 2 n ( n 1 ) 13 2 3 33 n3 4 1 n 4 n 3 n 2 1 1 1 1 lim 4 lim n 4 2 n 4 n 2 4 n n 4 2 4 x 0 k 1 3 x dx 0 1 4 1 n 1 b S f ( x ) dx S – площадь криволинейной трапеции a Свойства определенного интеграла следуют из его определения, как предела суммы Римана – интегральной суммы. a f ( x ) dx a b 0 c b f ( x ) dx a b a f ( x ) dx b f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx a b ( f ( x ) dx a a b rf ( x ) dx c a b b a a g ( x )) dx f ( x ) dx g ( x ) dx y f(x) S a x b b r f ( x ) dx a Теорема (об оценке определенного интеграла) Если g(x) f(x) h(x) x [a, b] b b b a a a g(x)dx f(x)dx h(x)dx b min{f(x) |x [a,b] }(b - a) f(x)dx max{f(x) |x [a,b] }(b - a) a Тем более справедливо двойное неравенство y f(x) max x min a b Теорема о среднем b x [a, b] f ( x ) dx f ( x )( b a ) Доказательство a Из предыдущей теоремы: b 1 min { f ( x ) |x [a,b] } f ( x ) dx max { f ( x ) |x [a,b] } b a a Используя теорему о среднем, для a < x < b получим: b x [a, b] f ( x ) dx f ( x )( b a ) a Теорема Барроу (об интеграле с переменным верхним пределом) x Функция F ( x ) f ( t ) dt дифференцируема в интервале (a,b) a ' и F ( x ) f ( x ) для всех x в этом интервале. Доказательство 0 F( x ) F( x ) 1 ( 1 f ( x )(( x ) x ) f ( x ) x a 1 f ( t ) dt f ( t ) dt ) a 0 , x 0 , lim f ( x ) f ( x ) 0 x x F ( x ) f ( t ) dt a x f ( t ) dt x F' ( x ) f ( x ) Предположим, что F(x) – первообразная функция для f(x) . Тогда b f ( x ) dx F(b) - F(a) a Действительно, по основной теореме анализа F ( x ) c x f ( t ) dt a первообразная, тогда F(x = a) = F(a) = - с, а F(b) есть величина интеграла с переменным верхним пределом в точке x = b , что и дает вышеприведенную формулу b f ( x ) dx (F(x) - F(a)) a x b F(x) b a F( b) F( a) 1 x4 3 x dx 4 0 1 0 1 1 0 4 4 Теорема Если g и её производная g’ непрерывны на [a,b] и f непрерывна на [g(a),g(b)] , g( b ) то b f ( g ( x )) g ( x )dx a f ( t )dt g( a ) Доказательство Если F(x) – первообразная для f(x) , то b b a a f ( g ( x )) g ( x )dx f ( g ( x ))dg ( x ) g( b ) f ( t )dt g( a ) F ( g ( b )) F ( g ( a )) F ( g ( b )) F ( g ( a )) @ Найти площадь криволинейной трапеции : S y S S 1 x e e e ln x x dx 1 1 e ln x x dx 1 dx , x x 1 t ln 1 0 , t ln x , dt x e t ln e 1 2 ln x t dx t dt x 2 1 0 1 0 1 2 @ I 2 sin 3 x sin 3 x cos 3 x dx 0 2 t dx dt , 2 x 0 t , x t 0 2 2 I : x 0 sin 3 x sin 3 ( / 2 t ) sin 3 x cos 3 x dx sin 3 ( / 2 t ) cos 3 ( / 2 t ) dt 0 2 2 I 3 cos t cos 3 t sin 3 t dt 0 2 2 4 2 sin 3 x cos 3 x 2I 3 dx dx dx cos 3 x sin 3 x 3 2 sin x cos x 0 0 0 Теорема Если f – нечетная функция и пределы интегрирования [-a, a] , то f ( x ) f ( x ) x [-a, a] Доказательство a f(x)dx -a 0 a 0 a -a 0 a 0 f(x)dx f(x)dx f(-t)d(-t) f(x)dx a a 0 0 a f(x)dx 0 -a f(t)dt f(x)dx 0 Для первого слагаемого интеграла делаем подстановку: x = -t и dx = - dt Теорема x 5 cos 7 x -/2 Если f – четная функция и пределы интегрирования [-a, a] , то y f ( x ) f ( x ) x [-a, a] /2 x /2 a f(x)dx -a 5 7 x cos x dx 0 - /2 a 2 f(x)dx 0