Теоремы дифференциального исчисления

{ теорема Ферма - теорема Дарбу - теорема Ролля - теорема Лагранжа – теорема о среднем значении - геометрическое
истолкование теоремы о среднем - теорема Коши - формула конечных приращений - правило Лопиталя – производные
и дифференциалы высших порядков - примеры }
Лемма. Пусть функция f(x) имеет конечную производную в точке x0 . Если эта
производная f | ( x 0 )  0 ( f | ( x 0 )  0 ) , то для значений x, достаточно близких к x0
справа будет справедливо f ( x )  f ( x 0 ) ( f ( x )  f ( x 0 )) , а для значений x0
слева - f ( x )  f ( x 0 ) ( f ( x )  f ( x 0 )) .
Теорема. Пусть функция f(x) определена в некотором промежутке ( a, b ) и во
внутренней его точке с принимает наибольшее (наименьшее) значение.
Если существует двусторонняя конечная производная f | (с) в этой точке,
то необходимо f | (с) = 0 .
f(с)
y
dy
0
dx
Pierre de Fermat
1601 - 1665
0
a
(
df
dx
dy
0
dx
с
)
b
x
0
x c
Теорема. Пусть функция f(x) имеет конечную производную в промежутке ( a ,b )
-
df
, эта производная функция принимает промежуточные значения между
dx
значениями в точках a и b .
y
f(x)
Michel Rolle
1652 - 1719
0
Y/
Jean Gaston Darboux
1842 - 1917
0
(
a
(
a
df
dx
)
b
)
b
x
x
Теорема. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [ a, b] ,, в
промежутке существует конечная производная f | (x) , на концах отрезка функция
принимает равные значения: f (a) = f (b) . Тогда в промежутке ( a, b ) найдется
точка c ( a < c < b ), в которой f | (с) = 0 .
Доказательство
По второй теореме Вейерштрасса функция, непрерывная на отрезке принимает на нем
наименьшее m и наибольшее значение M .
y
f(а)
f(b)
M  m  f ( x )  const
 f | ( x )  0 c  [ a ; b ]
M m
0
[
a c1
c3
c2
]
b
x
f( a) f(b)
По теореме Ферма
c  [ a ; b ] f | ( c )  0
Теорема. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [ a, b] , в
промежутке существует конечная производная f | (x) . Тогда в промежутке ( a; b )
найдется точка c ( a < c < b ) , такая что для неё выполняется равенство:
f ( b ) f ( a )
 f | (c)
b a
Доказательство
Зададим F ( x )  f ( x )  f ( a ) 
f ( b ) f ( a )
( x a)
b a
# F( a)  F(b)
Функция определена и непрерывна на отрезке [ a, b] , в промежутке существует
конечная производная F | (x) , на концах отрезка функция принимает равные
|
значения: F (a) = F (b) . Следовательно существует точка c , в которой F ( c )  0 .
F |( c )  f |( c ) 
f ( b ) f ( a )
f ( b ) f ( a )
 f | (c)
0 
b a
b a
f ( b ) f ( a )
 f | (c)
b a
y
f (b) - f(a)
Y f ( a ) 
( X - a)
b-a
f(с)
f(b)
f (b) - f(a)
f(а)
0
[
a
Y  f ( c )  f | (c)( X - c)
c
]
b
b-a
x
Теорема. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a , b] , в промежутке
существует конечная производная f
|
(x) и g | (x) , последняя величина не
обращается в ноль на (a , b) . Тогда в этом промежутке найдется точка c ( a < c < b ) ,
такая что для неё выполняется равенство:
f ( b )  f ( a ) f | (c)
 |
g ( b )  g ( a ) g (c)
Частный случай теоремы Коши – теорема Лагранжа. Для доказательства необходимо
положить g = x .
Формула может быть использована для нахождения пределов, с неопределенностью
типа :
0    
f( x)
f | (x)
lim
       lim |
x  a g( x )
x  a g (x)
0    
x 
x 
Раскрытие неопределенностей типа 0  и    .
0 
  
Теорема. Пусть функции f , g : a, b   R дифференцируемы в точке a ,
|
f (a) = g (a) = 0 и производная g ( a )  0 . Тогда
f ( x ) f | (a)
 lim
 |
x a 0 g ( x )
g (a)

f ( x ) f | (a)
 |
 xlim
a 0 g ( x )
g (a)

Теорема. Пусть функции f , g : a, b   R
f ( x ) f | (a) 
 lim
 |

x a g ( x )
g (a) 
и выполнены
условия: a)  f | , g | x  ( a ; b ) b) f ( x ), g ( x )  0 при x  a  0
|
|
f
(x)
с) g ( x )  0 при x  ( a ; b ) d)  lim |
 R 
x a 0 g ( x )
f( x )
f |( x )
 lim |
Тогда существует и предел lim
x a 0 g ( x )
x a 0 g ( x )
Теорема. Пусть функции f , g : [a;  )  R
и выполнены условия:
a)  f | , g | x  ( a ;  )
b) f ( x ), g ( x )  0 при x  
с) g | ( x )  0 при x  ( a ;  )
|
d)  lim f ( x )  R 
x   g | ( x )
f( x )
f |( x )
 lim |
Тогда существует и предел lim
x   g ( x )
x   g ( x )

f( x)
f |( x )
lim
    lim |
x  a g( x )
x a g ( x )


f( x)
f |( x )
lim
    lim |
x   g( x )
x  g ( x )

@
ax 1
Найти lim
x 0
x
Решение
ax 1
(a x  1 ) |
0 
lim
    lim

|
x

0
x 0
x
x
0 
a x ln a
 lim
 ax
ln a  ln a
x 0
x o
1
ax 1
0 
lim
    a x  1  t , x  log a ( 1  t ), x  0 , t  0 
x 0
x
0 
t
1
1
1
lim
 lim


 ln a
1
1
t 0 log ( 1  t )
t 0
log a e
a
log a ( 1  t ) t
log a lim ( 1  t ) t
t 0
Если функция f(x) дифференцируема при всех x  (a; b) , то мы можем
рассмотреть функцию f | : (a, b)  R , сопоставляющую каждой точке x
|
|
значение производной f (x) . Эта функция f называется производной
функции f, или первой производной от f . Саму исходную функцию
(0)
называют нулевой производной и обозначают как f (x) .
|
Функцию g1 = f (x) можно дифференцировать и получить вторую
|
||
производную g 1 = f (x) . Если предположить, что вторая производная
существует на множестве x  (a; b) , то можно найти третью производную,
четвертую и т.д.
f ( x )  f | ( x )  f || ( x )  f ||| ( x )  .......
f ( n ) ( x )  ( f ( n 1 ) ( x )) |
d nf
d
d n 1f

(
)
n
n 1
dx
dx dx
f (n)( x ) 
@
Найти производную второго порядка
x
2
y
2
1
Решение
x2  y2 1
dy
d 2y
?
?
dx
dx 2
dy
x
dy

x  y 1  2x 2y
0
dx
y
dx
dy
dy
2
1

y

x
d
d
y
1
dy
d 2y
x
dx
dx
 3
(
) 


2
2
2
dx y
dx
y
dx
dx
y
x
y x
y
y2 x2
d 2y
y2 x2



2
2
y
y3
dx
y3
2
2
@
Найти производную второго порядка для
заданной в параметрической форме функции
x  cos t

 y  sin t
Решение
x  cos t
dy
(sin t )t|
cos t
dy
d 2y



?
?


2
y

sin
t
dx
sin t
dx
dx
(cos t )t|

d 2y

2
dx
(
dy |
cos t |
)
(
)
dx t
sin t t


|
|
xt
(cos t )t
sin 2 t  cos 2 t
1
 


sin 3 t
sin 3 t
d 2y
1


dx 2
sin 3 t
Используя определение дифференциала функция df(x) первого порядка
можно найти дифференциалы старших порядков, при дифференцировании
полагая, что dx (дифференциал аргумента) есть величина постоянная.
df  f | ( x ) dx
d 2 f  d ( df )  d ( f | ( x ) dx )  (f || (x)dx)dx  f || (x)dx 2
d 3 f ( x )  d ( d 2 f )  (f || (x)dx 2 ) | dx  f ||| (x)dx 3
. .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......
d nf ( x )  d ( d n 1f )  (f (n - 1) (x)dx n - 1 ) | dx  f (n) (x)dx n
d
d n 1f
d nf
n 1
n
d f 
(
dx
)
dx

dx
dx dx n 1
dx n
n
n
d
f( x )
d nf ( x ) 
dx n
n
dx
@
Найти дифференциал второго порядка функции
ln( x 2  1 )
Решение
y  ln( x 2  1 )
d(
 d 2 y  d ( d (ln( x 2  1 ))) 
2x
2x
|
2
dx
)

(
)
dx

2
2
x 1
x 1
2
2x
2
(
x
1 ) 2 x( 2 x )
2
( 2
) | dx 2 
dx

2
2
x 1
( x 1)
2 2x2
2
d y 
dx
( x 2 1 )2
2
f ( x )  Tn ( x )  o (( x  a ) n ) 
 A0  A1 ( x  a )  A2 ( x  a ) 2  ..  An ( x  a ) n  Rn ( x )
Tn ( a )  A0  f ( a )
f | ( x )  Tn | ( x )  A1  2 A2 ( x  a )  .....  nAn ( x  a ) n 1
f ( a )  Tn ( a )  A1
|
|
A0  f ( a )
A1  f | ( a )
f || ( x )  Tn || ( x )  2 A2  .....  ( n  1 ) nAn ( x  a ) n 2
f ( a )  Tn ( a )  2 A2
||
||
f ( n ) ( x )  Tn ( n ) ( x )  1  2    ( n  1 ) nAn
f || ( a )
A2 
1 2
(n)
(n)
f
(a)
f
(a)
An 

1  2    n
n!
f |( a )
f || ( a )
f (n)( a )
2
f( x ) f( a) 
( x a) 
( x  a )  ..... 
( x  a ) n  Rn ( x )
1!
2!
n!
f ( k )( a )
f( x )  
( x  a ) n  Rn ( x )  Tn ( x )  Rn ( x )
k!
k 0
n
f  f | ( x0 )  x   ( x )
f ( x )  f ( a )  df ( x )  o ( x  a )
Линейная аппроксимация функции: f ( x )  f ( a )  f | ( a )( x  a )
Представление функции в виде многочлена n – ой степени, коэффициенты
которого определяются производными соответствующего порядка.
f |( a )
f || ( a )
f (n)( a )
2
f( x ) f( a) 
( x a) 
( x  a )  ..... 
( x  a ) n  Rn ( x )
1!
2!
n!
f ( k )( a )
f( x )  
( x  a ) k  Rn ( x )
k!
k 0
n
Остаточный член:
f ( k )( 0 ) k
f( x )  
x  Rn ( x )
k!
k 0
n
Формула Маклорена
f ( n 1 ) ( a   ( x  a ))
в форме Лагранжа Rn ( x ) 
( x  a ) n 1 , 0    1
( n  1 )!
в форме Пеано Rn ( x )  o (( x  a ) n ) при x  a
e
x
x
x2
xn
1 

 ..... 
,
1!
2!
n!
e x
Rn ( x ) 
,0    1
( n  1 )!
x3 x5
x 2 n 1
n 1
sin x  x 

 .....  ( 1 )
,
3!
5!
( 2n 1 ) !
sin ( 2 n 1 ) (  x ) 2 n 1
R2 n ( x ) 
x
, 0  1
( 2n 1 ) !
x2
x3
( 1 ) n  1 n
ln( 1  x )  x 

 ..... 
x ,
2
3
n
( 1 ) x n  1
x n 1
Rn ( x ) 
, 0    1 , Rn ( x ) 
n 1
n 1
( n  1 )( 1   x )
1
 1  x  x 2  x 3  .....  ( 1 ) n x n ,
1 x
x  (-1;1)
 x  [0;1] 
@
Представить функцию многочленом Маклорена f ( x )  sin( x )
f |( 0 )
f || ( 0 ) 2
f (n) n
Tn ( x )  f ( 0 ) 
x 
x  ..... 
x
1!
2!
n!
(n)
sin ( k ) ( 0 ) k
cos( 0 )
sin( 0 ) 2
(x) n
n sin
Tn ( x )  
x  sin( 0 ) 
x 
x  .....  ( 1 )
x
k!
1!
2!
n!
k 0
n
 0,

k -1
an   (-1)

( 2 k  1 )!
n  2k, k  0,2,.....
n  2k - 1, k  1,3,.....
sin ( 2 k 1 ) ( x ) 2 k 1
x
,0    1
( 2 k  1 )!
x3
x5
x7
x9
sin( x )  x 



 ..... 
6
120 5040 362880