Баъзе масъалахо аз квант

1. Раскрыть скобки в операторном выражении:
2
 d 2
Fˆ  
x  .
 dx

Р е ш е н и е . Подействуем оператором F̂ на произвольную функцию  :
2
 d 2
Fˆ   
x  .
 dx

По определению квадрата оператора имеем
2
 d 2
 d 2  d 2 
x  
x 
x  .

 dx

 dx
 dx

Прочтём полученное выражение «по–арабски» – справа налево: на функцию  сначала
x 2 (его действие сводится к умножению функции на x 2 ). На полученный
результат действует оператор d dx (он «вычисляет» производную по x ). Полученный результат
действует оператор
2
умножается на x и, наконец, вычисляется производная от этого произведения. Зафиксируем
порядок действия операторов с помощью скобок:
d  2 d

Fˆ  
x
x 2  .


dx  dx

Теперь раскрываем скобки по обычным правилам математики:
d  2
d
2 d  
Fˆ  
x
2
x


x



dx  
dx   dx
 3
4 d 
 2x   x

dx 

2
2
d
d
3 d
4d 
4d 
 6x   2x
 4x
x
x
 6x 3
 6x 2 .
2
2
dx
dx
dx
dx
dx
2
3
Сравнивая начало и конец последней цепочки равенств, находим, что
2
d2
d
 d 2
Fˆ  
x   x 4 2  6x 3
 6x 2 .
dx
dx
 dx

a
ˆ e
1. Найти результат действия оператора F
d
dx
на функцию   x  .
Р е ш е н и е . По определению
a
Fˆ  e
d
dx
2
3
1 d
1 d 
1 d 
 1 a
 a
  a
 
1! dx 2!  dx  3!  dx 
,
тогда
2
3
1 d  x  1 2 d  x  1 3 d  x 
ˆ
F  x    x   a
 a
 a

1!
dx
2!
dx 2
3!
dx 3
Сравнивая это выражение с разложением функции   x  a  в ряд Тейлора по степеням a в
окрестности точки a  0
 x  a    x   
2
3
1 d  x 
1 d  x  2 1 d  x  3

a 
a


a 
1! dx
2! dx 2
3! dx 3
,
находим, что
a
e
d
dx
 x    x  a  .
1. Найти собственные функции и собственные значения оператора
d2
2 d
.
Fˆ  2 
dx
x dx
Решение.
По определению собственной функции
F̂   ,
(1.30)
где  – собственное значение оператора F̂ , соответствующее собственной функции  .
Подставляя оператор F̂ в выражение (1.30), получим
d 2 2 d 

   0 .
dx 2 x dx
(1.31)
Соотношение (1.31) – обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, линейное,
однородное, но с непостоянными коэффициентами. Для его решения заметим, что оно имеет
особую точку x  0 . Предполагая, что эта особенность сохранится и в решении, положим
 x  
u x 
,
x
(1.32)
где u  x  – новая неизвестная функция.
Тогда
d d

dx dx
u

x
 u u
  2 ,
 x x
d 2  d  u  u  u  u  u  2u u  2u  2u





 2  3
 

dx 2 dx  x x 2  x x 2 x 2 x 3 x
x
x
и уравнение (1.31) принимает вид
u  2u  2u 2u  2u
u
 2  3  2  3   0,
x x
x
x
x
x
или
u   u  0
(1.33)
Уравнение (1.33) – обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, линейное,
однородное, и с постоянными коэффициентами. Корни его характеристического уравнения
r 2    0 равны r1,2    , следовательно, общее решение уравнения (1.33) запишется в виде
u  x   C1e
x
 C2e
x
,
поэтому
 x  
C1e
x
 C2e
x
x
.
(1.34)
Согласно стандартным условиям, собственная функция   x  должна быть конечной при любых
значениях x . Если   0 , то условия конечности функции (1.34) нарушаются при x  
(поскольку
ex при x   растёт быстрее, чем любая конечная степень x ). Если же   0 , то
 x  
C
x
и, следовательно,   x    при x  0 .
Поэтому остаётся единственная возможность
  2  0 . Тогда
 x  
C1ei x  C2ei x
.
x
(1.35)
Для конечности функция   x  при x  0 , необходимо, чтобы числитель выражения (1.35)
обращался в нуль при x  0 . Это возможно, если C2  C1 . Следовательно, собственные
функции оператора F̂ имеют вид
ei x  ei x
sin x
sin x
,
  x   C1
 iC1
C
x
x
x
где  – произвольное действительное число, при этом собственные значения определяются
выражением    и образуют непрерывный спектр.
2
1. Пронормировать функцию
ikx 
 x   e
где
x 2
2
,
(1.36)
  x   , а k и  – постоянные.
Р е ш е н и е . По условию нормировки должно быть


  x  dx  1
2
(1.37)

Для того чтобы удовлетворить условию (1.37), умножим   x  на постоянную N
(нормировочный множитель), который и подберём так, чтобы выполнялось условие нормировки.
Тогда

  x 
2

dx 


   x   x dx  N  e

2

ikx 
x 2
2
ikx 
e
x 2
2
dx 


N
2
x
 e dx  1 .
2
(1.38)

Последний интеграл называют интегралом Пуассона. Поскольку он неоднократно будет
встречаться в дальнейшем, укажем метод его вычисления. Будем вычислять не сам интеграл
Пуассона, а его квадрат:
2




  x 2 
2
x 2
x 2
x 2
I    e dx    e dx   e dx   e dx  ey dy 



 
 
2
 


e

 x 2  y 2

dxdy .
 
Получившийся двойной интеграл без труда вычисляется переходом к полярной системе
координат. Имеем:
 

e
 

 x 2  y 2
2
x   cos  , y   sin   

dxdy 
  e d   d  
dxdy  d d 
0
0
2

 2 
1
 2
2
2
e
d



e


2 0


0



и, следовательно,

2


I  , I   ex dx 
.



2
Подставляя найденное значение интеграла Пуассона в выражение (1.38), получим, что
N2

 1.

Отсюда
N
4

.

Следовательно, нормированные функция (1.36) имеет вид
 ikx  x2
4
.
 x  
e

2
1. Пронормировать функцию
 r 
i 
 r ,,   Aer 2  1 
 cos e .
2 

(1.39)
Р е ш е н и е . На этот раз функция задана в сферической системе координат, и условие её
нормировки имеет вид
  r ,,
2
V

dV  A  e
2

0
2
 r  2
2
i  i 
1 
 r dr  cos  sin d   e e d   1 . (1.40)
2 

0
0
2
r
Последний интеграл в выражении (1.40) равен 2 , интеграл по  вычисляется столь же легко:



cos 3 
2
cos

sin

d



cos

d
cos



 .


0
0
3 0 3
2
2
Интеграл же по r равен

e
0

 r  2
r
1 
 r dr   e
2 

0
2
r

 e
r
2
 2
2r 4 
3
r


r

dr 

4 


r dr    e
2
0
r
0

2 r 4
r dr 
e r dr .
4 0
3
(1.41)
В этом выражении трижды встречаются однотипные интегралы вида

J   er r n dr
0
с целыми n . Вычислим их, делая замену переменной r  x . Тогда

x n  u , du  nx n 1dx
1
1
J  n 1  e x x n dx 
  n 1 x n e x
x
x
 0

dv  e , v  e

0


n
 n 1  e x x n 1dx .
 0
Проинтегрированная часть обращается в нуль и на верхнем пределе (поскольку экспонента
убывает быстрее, чем растёт любая конечная степень x ) и на нижнем пределе (из-за множителя
x ). Оставшийся интеграл вновь вычисляем по частям:

x n 1  u , du  n  1 x n 2dx
n
n
 x n 1
J  n 1  e x dx 
  n 1 x n 1e x
x
x
 0

dv  e , v  e

0

n n  1   x n 2
n n  1   x n 2

e x dx 
e x dx .
n 1 0
n 1 0
Нетрудно видеть, что, продолжая процесс интегрирования по частям n раз, в конце концов,
придём к выражению:

J  e
0
r
n n  1n  2  1   x
r dr 
0 e dx 
n 1
n

n n  1n  2  1
n!
x

e

.


0
n 1
n 1
Используя общее выражение (1.42), находим

e
r
r 2dr 
0
2!
2
 3,
3



  er r 3dr  
0
3!
6
 3,
4



2 r 4
2 4!
6
e r dr 
 3.
5

4 0
4 

Подставляя вычисленные значения интегралов в выражение (1.41), получим

e
0
2
6
6
2
 r  2
1 
 r dr  3  3  3  3 .
2 
  


2
r
Тогда соотношение (1.40) принимает вид
A2
2 2
8
  2  A 2 3  1 .
3
 3
3
Следовательно, нормировочная постоянная A равна
A
33  3
,

8
2 2
а нормированная функция (1.39) имеет вид
 r ,,  
 3 r 2  r
e
1 
2 2
2


i 
 cos e .

1. Проверить ортогональность функций
1  x   Ae

x2
2
x2
2
1  2x  и   x   Be  3  12x

2
2
2
 4x 4     x    .
Р е ш е н и е . Вычислим скалярное произведение данных функций


 1 ,2      x  2  x dx AB  e

1


x2
2
x2
2
1  2x e 3  12x
2



 AB  e x  3  18x 2  28x 4  8x 6  dx 
2

2
 4x 4 dx 
(1.42)



  x 2

2
x 2 2
x 2 4
 AB 3  e dx  18  e x dx  28  e x dx  8  e x x 6dx  .
 




Для вычисления полученных интегралов вспомним значение интеграла Пуассона (см. задачу 5)

e
I 
x 2


dx 

Рассматривая  как параметр, от которого зависит величина этого интеграла, получим, что

I  
x
 e dx 
2


;


dI      x 2
2
d  
1
I    
 
e
dx    x 2ex dx 

  32 ;
d

d   
2




d 2 I    dI      4 x 2
d 
1 
1 3
I     

  x e dx 
;
  3 2   
2
52
d 
d
d

2

2

2






d 3I    dI    
2
d 
1 3 
1 3  5

   x 6ex dx 
 
.
 
3
52 
72
d
d
d

2

2


2

2

2





Следовательно,

2 x
 x e dx  
2


4 x
 x e dx  
2


6 x
 x e dx  
2

1
;
2 3 2
1 3
;
2  2 5 2
1 3  5
.
2  2  27 2
Без труда прослеживается общая закономерность и можно записать общую формулу:

x
2n
ex dx  
2
1 3  5
 2n  1 .
2 

n
2n 1
2
Интегралы же вида

2n 1 x
 x e dx
2

равны нулю ввиду нечётности подынтегральной функции.
Пользуясь теперь формулой (1.43), находим, что
 1 ,2   AB  3

  18 
1
3
15 
 28   8   
2
4
8
(1.43)


 AB 3   9   21   15   0 .
Так как скалярное произведение функций 1 и  2 равно нулю, то они взаимно ортогональны на
интервале   ,  . .