Олимпиада по высшей математике на физическом факультете КемГУ 2009/2010 уч.год Задания для 2 курса 1. Найти уравнение движения точки, если ускорение в зависимости от времени выражается формулой a 1,2t и, если при t 0 расстояние S 0 , а при t 5 расстояние S 20 . (3 балла) Ответ: S 0,2t 3 t dv dS 1,2t ; dv 1,2tdt ; v 0,6t 2 C1 ; 0,6t 2 C1 ; dS (0,6t 2 C1 )dt ; Решение: dt dt S 0,2t 3 C1t C 2 ; подставляем условия: 0 C2 ; 20 25 5C1 C2 ; откуда: C2 0 ; C1 1 . Откуда и следует ответ. 2. Какой наименьший угол могут образовывать векторы (1-5x; 1; 3) и (-1; 1+4x; 3-3x)? (2 балла) Решение: Согласно формуле скалярного произведения векторов косинус угла φ между двумя векторами равен их скалярному произведению, деленному на произведение длин. В данном случае 1 (1 5 x) 1 (1 4 x) 3 (3 3 x) 9 cos . 2 2 2 2 2 2 2 25 x 10 x 11 (1 5 x) 1 3 (1) (1 4 x) (3 3x) Угол φ будет наименьшим, когда его косинус наибольший. В свою очередь, cos будет наибольшим, когда знаменатель 25 x 2 10 x 11 принимает наименьшее значение. Это 1 значение достигается при x и равно 10. 5 Ответ: arccos 0,9 . 3. Доказать справедливость соотношения f ( x) 2 f ( / 4 x / 2) 2 f ( / 4 x / 2) x ln 2 , x где f ( x) ln cos ydy . 0 Вычислить с помощью найденного соотношения 2 f ln cos ydy . (5 баллов) 2 0 Указание: Преобразовать интеграл f (x) подстановкой 2 x f ( x) y 2 z к виду ln cos zdz . Учитывая, что sin z 2 sin( z / 2) cos( z / 2) , привести последний 2 интеграл к сумме трех интегралов. 4. Доказать неравенство n 1 n! для натурального n 1. 2 Указание: Перемножить очевидные неравенства: n (4 балла) 1 n (n 1) / 2; 2(n 1) (n 1) / 2; ................................. (n 1) 2 (n 1) / 2; n 1 (n 1) / 2. r 5. Найти векторные линии для случая векторного поля a 3 . (2 балла) r Решение: Уравнение векторных линий dx dy dz . ax a y az dy dx dy dx ; ; y r xr y x dz dy 2) ; z C2 y az a y 1) y C1 x dz dx ; z C3 x az ax Векторными линиями являются прямые, проходящие через начало координат. 3) 6. Найти наибольшее значение определителя третьего порядка, составленного из чисел 0 и 1. (3 балла) Ответ и указание: 2; показать, что все три члена определителя, входящие в развернутое выражение со знаком плюс, не могут равняться 1, и рассмотреть определитель с нулем на главной диагонали и остальными единицами.