РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СОЦИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Олимпиада школьников в РГСУ по математике - 2014 Задания отборочного (заочного) тура 11 класс 1. (5 баллов) Найти сумму наибольших корней уравнений х 2 5 х 2 3 2 0; х 2 4 х 1 2 2 0. 2. (3 балла) Решить уравнение: cos 2 x cos 2 x sin x. 3. (3 балла) Решить уравнение: log 3 (3 x 8) 2 x. 4. (9 баллов) Найти все натуральные трехзначные числа, каждое из которых обладает следующими двумя свойствами: первая цифра числа в 3 раза меньше последней его цифры; сумма самого числа с числом, получившимся из него перестановкой второй и третьей цифр, делится на 8 без остатка. 5. (10 баллов) Решить уравнение: x 1 x 3 x 2 1 x2 . 6. (10 баллов) Расстояния от центра окружности, вписанной в трапецию, до концов боковой стороны трапеции, равны 3 и 4. Найти площадь трапеции. 7. (10 баллов) f ( x) x Найти наибольшее значение функции x sin 2 x. 2 на отрезке ; . 2 2 8. (15 баллов) Найти все значения параметра а, при которых система уравнений x 2 ( y 3) 2 4 y 2ax 2 имеет хотя бы одно решение. 9. (15 баллов) Найти сторону основания правильной треугольной призмы объемом V, если угол между диагоналями двух не боковых граней проведенными из одной вершины равен . 10. (20 баллов) Сосуд, имеющий форму конуса, у которого угол при вершине осевого сечения , наполовину наполнен водой. Уровень воды перпендикулярен оси конуса. В сосуд опускают металлический куб так, что одна грань куба перпендикулярна оси конуса. В какое наибольшее число раз может при этом увеличиваться уровень воды в сосуде?