Задачи 1-го тура олимпиады по математике СГТУ имени Гагарина Ю.А. 30.11.2012 г. 1-й курс. 1. (4 балла) Существует ли невырожденная матрица А размера 2005х2005 с действительными элементами, такая, что A3 2 AT , где – нулевая матрица? 2. (4 балла) Вычислить определитель n-го порядка 0 ... 0 0 0 ... 0 0 1 ... 0 0 n 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 0 0 0 ... 1 cos(sin x)arcsin x . 1 3. (4 балла) Найти lim x0 2 ( n k ) p 1 , p N , p 2. n k k n p 5. (8 баллов). n, k N , n k . Доказать, что наибольший общий делитель чисел C nk , Cnk1 , …, C nk k равен 1. 4. (8 баллов) Найдите предел последовательности xn 1 p 2 p 1 2 3 4 x 1 2 x3 4 6. (2 балла) Построить график функции y . 1 x3 x4 x5 1 3 4 5 7. (8 баллов) Найти наименьшее n N , при котором выполняется равенство n 1 0 1 3 1 . n 0 1 2 1 3 8. (8 баллов) Функция f (x) непрерывна и задана на всей оси. Известно, что уравнение f ( f ( f ( x))) x имеет решение. Доказать, что уравнение f ( x) x также имеет решение. 1 m 9. (4 балла) Найти тринадцатый член (9 x ) , если биномиальный коэффициент 3x разложения равен 105. n 1 n 10. (4 балла) Для последовательности an , где an (2 cos ) (1 cos ), n Z 3 n 6 найти lima n n и lim an . n x y z x 1 y 1 z (a 2) 2 и : 1 a 1 a 1 a 1) пересекаются; 2) скрещиваются; 3) параллельны; 4) совпадают? 12. (4 балла) Найти min 3 2i z при z 1 . 11. (4 балла) При каких a прямые 13. (6 баллов) Доказать, что функция f ( x) sin(cos x) равномерно непрерывна при x R . 14. (8 баллов) В правильной треугольной пирамиде S ABC длина ребра основания равна a , а угол между апофемой и боковой гранью равен 45 0 . Найдите длину h высоты пирамиды. 15. (6 баллов) Доказать, что при любом натуральном n число 116 n3 1 делится на 148. 16. (4 балла) Какая из функций f ( x) : 1, 1 0, 1 : x а) x cos ; б) x x 2 1 ; 2 x 1 в) x x ; г) x ; 2 x 1 д) x ; е) x 2 x1 3 инъективна, сюръективна или биективна? Построить графики. Задачи 1-го тура олимпиады по математике СГТУ имени Гагарина Ю.А. 30.11.2012 г. 2-й курс 1. Найти уравнение множества центров сечений эллипсоида x 2 2 y 2 3z 2 4 параллельными плоскости x y z 1 . 1 y 2. Решить дифференциальное уравнение ( x ye ) y y 2 . 3. Цилиндр, образующие которого параллельны прямой x 2t 3, y t 7, z 2t 5, описан около сферы x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 3 0. . Составить уравнение этого цилиндра. 4. Найти площадь части конуса z 2 x 2 y 2 , лежащую над плоскостью OXY и x отсечённую плоскостью z 2 ( 1) . 2 x 2 dy y 2 dx 5.Вычислить криволинейный интеграл , где L - четверть астроиды 5 5 L 3 3 x y x R cos 3 t , y R sin 3 t от точки M (R;0) до точки N (0; R) . 6. Найти кривую, проходящую через точку A(0;1) , для которой треугольник, образованный отрезком оси OY , касательной к кривой в произвольной её точке и радиусом-вектором точки касания – равнобедренный, причём его основанием служит отрезок касательной от точки касания до оси OY . 7. Вычислить x 2006 e x dx 0 8. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения (1 x 3 ) y 6 x 2 y 6 xy 0 с начальными условиями y (0) 1, y (0) 0 и записать решение в виде степенного ряда. 1 9. Найти область сходимости ряда ( x n n n ). 2 x n 1 40 x 45 x2 10. Найти функцию f (x) , если f ( g ( x)) 2 , а g ( x) . x3 7 x 27 x 68 x 11. Решить уравнение ( x) 5 6 x (5 6( x t )) (t )dt . 0 12. Исследовать на равномерную непрерывность функцию f ( x) arctgx, x R. 13 Найти множество точек на плоскости комплексной переменной z , которое определяется условиями 1 z 1 i 2 . e t x t dt 14. Вычислить предел lim . x 0 1 ln x (10) 3 15. Найдите y , если y ( x 4 x 2 2)e 2 x . 2 2 tg (2 x x sin ), если x 0, 16. Является ли функция f ( x) x 0, если x 0 дифференцируемой в точке x 0 ? Если является, то найти f (0) . Задачи 1-го тура олимпиады по математике СГТУ имени Гагарина Ю.А. 30.11.2012 г. 3 –5-й курс 1 x arctg 1. f ( x) x 0 при x 0, . при x 0 Будет ли функция f (x ) при x 0 непрерывной, дифференцируемой? 2. Найти наименьшее и наибольшее значения функции y 1 x 2 6 x на отрезке 2; 5. 3. Показать, что функция f ( x) sin x 2 , непрерывна и ограничена на числовой прямой, не является равномерно непрерывной на этой прямой. ( x a ) x a ( x b) x b 4. Найти предел lim . x ( x a b) 2 x a b 5. Какая линия определяется уравнение I m ( z 2 z ) 2 I m z ? 6. Решить дифференциальное уравнение y cos( y x) . 7. Три грани параллелепипеда лежат в плоскостях x 3z 18 0 , 2 x 4 y 5 z 21 0 , 6 x y z 30 0 , а одна из его вершин А имеет координаты (-1; 3; 1). Составить уравнения остальных граней параллелепипеда и его диагонали, проходящей через вершину А. 8. В треугольнике АВС точка М - середина стороны АС, точки К и L на сторонах АВ и ВС расположены так, что │АК│:│КВ│=3:5, а │ВL│:│LC│=2:3. Найти координаты вектора BM в базисе AL, CK . 9. У билетной кассы стоят в очереди n m человек; n из них имеют пятёрки, а остальные m только десятки. Билет стоит 5 рублей. В начале продажи в кассе нет денег. Какова вероятность того, что ни одному из покупателей не придётся ждать сдачи? 10. Докажите неравенство 4 x x 1 exp(ln 3 16 x 2 x 2 2,25 для всех допустимых значений x R . 2 Достигается ли знак равенства? 11. Найти объём общей части двух сфер x 2 y 2 z 2 R 2 и x 2 y 2 z 2 2Rz . dz 12. Вычислить интеграл , где С – квадрат с вершинами в точках I z Re z C m 1arctg ( z1 1, z 2 i, z3 1, z 4 i . z i 2 a, 13. При каких a R система неравенств не имеет решений? z a 1 a 14. Доказать, что для величин i двугранных углов тетраэдра справедливо неравенство 6 cos i 1 5 i 2. 15. Доказать, что многочлен 2 x a 2 x 4 2 x ln a 3 при любом a 0, a 1, a R имеет хотя бы один корень в интервале (-1; 0). 1 16. Найти сумму ряда . n 1 n ( n 1)( n 2)