по математике

Олимпиада-2013
Образец по математике
БИЛЕТ № 000
1. Упростить выражение
1
 1
 x 2  y  x  y2


1
 x y
2
x

y






2

x y
1 1
2x 2 y 2

 x  y 4
4 xy
. Ответ: 0.
2. Вычислите для всех допустимых значений 𝑎
1 a
1 a

1 a
1  a  1 . Ответ : 0, 𝑎 ≠ −1, 𝑎 ≠ 0, 𝑎 ≠ 1
1 a
1 a a

1 a
1 a
3. В какой четверти расположена область, ограниченная линиями y  x  1 и y  ln( x  1) ?
Ответ: 1.
2
4. Решить уравнение logsin x (cos x)  1 . Ответ:  / 4  2k .
5. Через какое время после того, как часы показывали 4 часа, минутная стрелка
догонит часовую стрелку?
Ответ: 21
9
мин.
11
6. Боковая сторона равнобокой трапеции равна 20 см. Её диагональ делит среднюю линию
на отрезки 20 см и 36 см. Найдите площадь трапеции. Ответ: 672
7. При каких значениях параметра k уравнение
25  5 k  5 x  81  k 2  0 не имеет корней?
Ответ: k  9 .
x
8. Решите систему уравнений
1
1 + 𝑙𝑜𝑔𝑦 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔√𝑦 (𝑥 + 𝑦) = 𝑙𝑜𝑔𝑦 10 + 𝑙𝑜𝑔𝑦 ∙ 𝑙𝑜𝑔10 18,
{
2
1 = 𝑙𝑜𝑔𝑦−𝑥 (29 − 2𝑥 − 𝑥𝑦).
Ответ:(10-√91; 10 + √91)
9. Прямоугольник АВСD со сторонами а и 2а лежит в основании пирамиды, все боковые
ребра которой равны a 3 . Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей
через диагональ основания ВD параллельно боковому ребру АS.
Ответ:
a 2 51
.
8
10. Найдите значение параметра 𝑎 ( или произведение таких значений, если их несколько),
𝜋
при которых период функции 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 2 ((𝑎2 − 4𝑎)𝑥) равен 2 .
ответ: -4
Все задачи оцениваются по 10 баллов.