Решения задач 3 тура: Задача 1. 32 2 3 2 2 3 2 2 32 2 Ответ: 32 2 32 2 6 2 17 2 17 2 6 2 6 2 6 2 6 2 Решение. Решить уравнение x 2 ОДЗ: . x 3 6 2 6 2 6 2 17 . 2 (3 балла) 17 2 17 3 2 2 6 2 17 2 98 36 2 2 6 4 2 6 2 12 3 2 . 2 2 12 3 2 . 2 Задача 2. 6 2 3 2 2 3 2 2 Решение. 3 2 2 Вычислить 1 x 1 . (3 балла) 1 (2 x)( x 3) 2 x 1 x 1 1 (2 x)( x 3) 2 x 1 x (2 x)( x 3) ( x 3) 0 (2 x)( x 3) 1 x 2 x x 2 6 3x x 3 0 x 2 3x 2 0 . D 9 8 1, x1 1, x2 2 не входит в ОДЗ. Ответ: x 1. Задача 4. Решить неравенство x 1 Решение. 1 1 2 2 x 1 2 x 1 1 2 x 1 2 x 1 ( x 1) 2 4( x 1) 2 x 2 2 x 1 4 x 2 8x 4 0 1 4 x 1 . (4 балла) 3x 2 10 x 3 0. 3x 2 10 x 3 0. Решим уравнение 1 D 100 36 64, x1 , x 2 3. 3 + -3 _ 1 3 _ 1 Решением неравенства является множество (;3) ( ;). 3 1 Ответ: x (;3) ( ;). 3 Задача 5. В конус вписан шар. Площадь поверхности шара равна площади основания конуса. Найти угол между образующей конуса и плоскостью его основания. (6 баллов) S îñí .êîí . R 2 . По условию задачи r 1 1 4r 2 R 2 . Откуда 4r 2 R 2 или R 2r . Поэтому tg , arctg . R 2 2 1 Требуемый угол равен 2 2arctg . 2 S ïîâ .ø . 4r 2 , Решение. R r 1 Ответ: 2arctg . 2 log 2 ( x(1 x)) 2 sin . (9 баллов) x Решение. Ветви параболы y x(1 x) направлены вниз и, значит, наибольшее значение 1 1 1 1 эта функция примет в точке x 0 и оно будет равно y 0 (1 ) . Так как функция 2 2 2 4 Задача 6. Решить уравнение y log 2 x возрастает на (0,) , то левая часть примет наибольшее значение равное 1 2 . Поскольку sin 0 , то правая часть 2 sin 2 . Отсюда 4 x x заключаем, что исходное уравнение равносильно системе 1 log 2 ( x(1 x)) 2 ( x ( 1 x )) 4 1 или , решением которой является x . 2 sin 0 2 sin x 2 x 1 Ответ: x . 2 log 2