Олимпиада по высшей математике на физическом факультете КемГУ 2009/2010 уч.год Задания для 1 курса 1. Отправились друг к другу одновременно в гости по одной и той же дороге Баба-Яга на мотоступе и Кащей Бессмертный – пешком. Через некоторое время они встретились. Если бы Кащей двигался со скоростью мотоступы, то встреча произошла бы на 15 минут раньше, а если бы Баба-Яга шла пешком со скоростью Кащея – то на 1 час позже. Сколько времени прошло от начала движения персонажей до встречи? (3 балла) Решение: Пусть S (км) – расстояние между начальными пунктами; t (ч) – время, прошедшее от начала движения до встречи; скорости движения Бабы-Яги и Кащея соответственно x и y (км/ч). Из условия задачи вытекает следующая система уравнений: S ( x y )t , S 2 x(t 0,25), S 2 y (t 1). Выражая x и y из второго и третьего уравнений и подставляя в первое, придем к уравнению S S . S t 2(t 1) 2(t 0,25) После сокращения на S (по смыслу задачи S≠0) и умножения на 2(t 1)(t 0,25) получаем 2(t 1)(t 0,25) t (2t 0,75), 0,75t 0,5, t 2 / 3 часа, или 40 минут. 2. Решить уравнение 1 64 cos 2 x 16 2 sin x . (3 балла) 4 Решение: Логарифмируя левую и правую части уравнения по основанию 4, приходим к равносильному уравнению 3 cos 2x 4 sin x 1 . Используя формулу cos 2 x 1 2 sin 2 x и полагая y sin x , получаем для y квадратное уравнение 3 y 2 2 y 2 0 , корнями 1 7 1 7 , y2 . Заметим, что y1 1 , в то время как 3 3 1 7 1 7 . Ответ: x (1) n arcsin n, n Z . y 2 1 . Следовательно, sin x 3 3 3. Точки M и N – середины меньших дуг AB и BC окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC. Определить радиус этой окружности, если известно, что AC 11 , MN 3 . (4 балла) 4. Решить уравнение log 4 ( x / 25) log 2 (4 5 x) . (5 баллов) log 2 (5x) log 4 ( x / 5 ) 5. В основании правильной четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD со стороной 2, боковые ребра пирамиды равны 6 . Через середину L ребра AB и вершину С проведена плоскость , которая перпендикулярна грани SAD и пересекает ребро SD в точке M. Определить отношение SM : MD. (5 баллов) которого являются числа y1 Решение 3-5: