Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëàáîðàòîðèÿ èì. Ï. Ë. ×åáûø¼âà 3 ìàðòà 2011 Óïðàæíåíèÿ ê êóðñó ïî SLE. Ñåðèÿ 3. 1. Ïóñòü Kt - ïðÿìîëèíåéíûé ðàçðåç, √ èäóùèé ïîä óãëîì θ ê ãîðèçîíòàëè (Kt = iθ {[0; r(t)e ]}). Äîêàæèòå, ÷òî ut = α t. Ïîäñêàçêà. Âîñïîëüçóéòåñü ñîîòíîøåíèåì ga2 t (z) = agt (z/a) ïðè ëþáîì a. 2. Ïóñòü Kt ë¼âíåðîâñêàÿ öåïü, u0 = 0. Ïóñòü Rt - íàèìåíüøèé ïðÿìîóãîëüíèê ñî√ñòîðîíàìè, √ ïàðàëëåëüíûìè îñÿì êîîðäèíàò, ñîäåðæàùèé Kt . Äîêàæèòå: åñëè ut = o( t) (èëè t = o(ut )) ïðè t → 0, òî îòíîøåíèå ãîðèçîíòàëüíîé ê âåðòèêàëüíîé ñòîðîíå Rt ñòðåìèòñÿ ê íóëþ (ñîîòâåòñòâåííî ∞). 3. (Ýâîëþöèÿ ˼âíåðà â ïîëîñå). Ïóñòü S = {0 < =z < π}. Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèÿ gK : S\Kt → S ñ íîðìèðîâêîé gK (±∞) = ±∞, gK (z) + gK (−z) → 0, z → ∞. Íàïèøèòå óðàâíåíèå ˼âíåðà äëÿ òàêèõ îòîáðàæåíèé è äîêàæèòå àíàëîã îñíîâíîé òåîðåìû. Ïîäñêàçêà: ez êîíôîðìíî îòîáðàæàåò S íà H. Âîñïîëüçóéòåñü ýòèì, ÷òîáû ïîëó÷èòü ôîðìóëó äëÿ ÿäðà Ïóàññîíà, à èç íåãî - ÿäðà ˼âíåðà â ïîëîñå. Áèáåðáàõà [1916] (òåîðåìà äå Áðàíæà [1984]) ãëàñèò: åñëè φ(z) = PÃèïîòåçà ∞ k - êîíôîðìíîå îòîáðàæåíèå äèñêà D íà îáëàñòü Ω ⊂ C, òî |a |/|a | ≤ n. a z n 1 k=1 k Äâà ñëåäóþùèõ óïðàæíåíèÿ ïîñâÿùåíû ïðèìåíåíèþ ýâîëþöèè ˼âíåðà ê äîêàçàòåëüñòâó ýòîé òåîðåìû ïðè n = 2 è n = 3. Ìû áóäåì ðàññìàðèâàòü ñëó÷àé, êîãäà Ω = D\Kt , ãäå Kt ïðåäñòàâèìî ýâîëþöèåé ˼âíåðà. Îáùèé ñëó÷àé ñâîäèòñÿ ê ýòîìó, òàê êàê òàêèå îáëàñòè (è èõ ðàñòÿæåíèÿ) ïëîòíû â òîïîëîãèè Êàðàòåîäîðè. 4. (Òåîðåìà Áèáåðáàõà [1916]: |a2 | ≤ 2). Ïóñòü gt - ðàäèàëüíàÿ ýâîëþöèÿ ˼âíåðà. Ðàññìîòðèì ft := gt−1 . s−t • Äèôôåðåíöèðóÿ îáðàòíîå óðàâíåíèå ˼âíåðà ∂t ft (z) = ft (z) fftt (z)+u (z)−us−t ïî z , äîêà- æèòå: ∂t ft00 (0) = −ft00 (0) − 4e−2t us−t . • Âûâåäèòå èç ýòîãî, ÷òî |ft00 (0)| ≤ Rt , ãäå Rt ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ∂t Rt = −Rt +4e2t , R0 = 0. • Ðåøèâ ýòî óðàâíåíèå (èëè çàìåòèâ, ÷òî îíî ñîîòâåñòâóåò ñëó÷àþ, êîãäà ut ≡ 1, à Kt - ïðÿìîëèíåéíûé ðàçðåç), íàéäèòå Rt . 5. (Òåîðåìà ˼âíåðà [1923]: |a3 | ≤ 3). • Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó óïðàæíåíèþ, äîêàæèòå, ÷òî ∂t ft000 (0) = −ft000 (0) − −t −3t 12ft00 (0) ues−t − 12 ue 2 . s−t • Âûâåäèòå èç ýòîãî, ÷òî |ft000 (0)| ≤ St , ãäå St ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ∂t St = −St + 12Rt e−t + 12e−3t , S0 = 0. • Ïîëó÷èòå èç ýòîãî îöåíêó |a3 | ≤ 5. • *Ïîäóìàéòå, êàê óëó÷øèòü ýòî ðàññóæäåíèå, ÷òîáû ïîëó÷èòü |a3 | ≤ 3.