Ëåêöèÿ 16. Ïðîñòðàíñòâî L1 . Äëÿ óäîáñòâà ñòóäåíòîâ íà ñàéòå áóäåò ðàçìåùåíî äâà äîêàçàòåëüñòâà ïîëíîòû ïðîñòðàíñòâà L1 . 1. Îïðåäåëåíèå ïðîñòðàíñòâà L1 . Ïóñòü D ìíîæåñòâî ñ ìåðîé. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî èçìåðèìûå ôóíêöèè íà D ýêâèâàëåíòíû, åñëè îíè ðàâíû ïî÷òè âñþäó. Îïðåäåëèì L1 (D) êàê ìíîæåñòâî êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè èíòåãðèðóåìûõ ïî Ëåáåãó ôóíêöèé íà D. Ïðåäëîæåíèå 1 Ìíîæåñòâî L1 (D) ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì, à ||f || = R D |f |dµ çàäà¼ò íîðìó íà ýòîì ïðîñòðàíñòâå. Íàøà çàäà÷à äîêàçàòü ïîëíîòó ýòîãî ïðîñòðàíñòâà. Òåîðåìà 1 Ïðîñòðàíñòâî L1 (D) ïîëíî. Íèæå ïðåäëîæåíû äâà äîêàçàòåëüñòâà, îíè îñíîâàíû íà íåðàâåíñòâå ×åáûø¼âà, êîòîðîå ìîæíî âûðàçèòü ñëîâàìè: â êîìíàòó ïëîùàäè 10 ì2 íåëüçÿ ïîñòàâèòü ïðÿìîóãîëüíûé ñòîë ïëîùàäüþ áîëüøå 10 ì2 . Ïðåäëîæåíèå 2 (Íåðàâåíñòâî ×åáûø¼âà) Ïóñòü ôóíêöèÿ f : D → R èçìåðèìà, f ≥ 0 íà X ⊂ E . Òîãäà ∀c > 0 1 µ{x ∈ X|f (x) ≥ c} ≤ c Z f (x)dµ. X Äîêàçàòåëüñòâî Ïóñòü E = {x ∈ X|f (x) ≥ c} ⊂ X . Òîãäà íà X èìååì f ≥ cχ(E) è R R X f (x)dµ ≥ c X χ(E)dµ = cµ(E). ¤ 2. Ïåðâîå äîêàçàòåëüñòâî. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî D ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî îáúåäèíåíèåì ñ÷¼òíîãî ÷èñëà ìíîæåñòâ êîíå÷íîé ìåðû (íàïðèìåð, D ⊂ R). Ëåììà 1 Ïóñòü fn ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé èç L1 (D), ìîíîòîííî âîçðàñòàþùàÿ ïî n â êàæäîé òî÷êå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî fn ñõîäèòñÿ ïîòî÷å÷íî ê ôóíêöèè f ∈ L1 (D). Òîãäà f èíòåãðèðóåìà ïî Ëåáåãó è fn ñõîäèòñÿ ê f è â L1 (D). Äîêàçàòåëüñòâî Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé gn = |f − fn |. Ýòè ôóíê- öèè ïîëîæèòåëüíû, ìîíîòîííî óáûâàþò ïî n è ïîòî÷å÷íî ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ. Íàì R äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî D gn dµ ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. R Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî äëÿ èçìåðèìîé g ≥ 0 èíòåãðàë Ëåáåãà D f dµ âû÷èñëÿåò ìåðó Ëåáåãà ìíîæåñòâà Dg = {(x, y) | x ∈ D, 0 ≤ y ≤ g(x)}. Çàìåòèì, ÷òî òàê êàê gn → 0, ∩n Dgn ñîñòîèò òîëüêî èç òî÷åê ñ y = 0, â ÷àñòíîñòè, èìååò ìåðó 0. 1 Ïóñòü En = Dgn \ Dgn+1 . Òîãäà â ñèëó ìîíîòîííîñòè gn ìíîæåñòâà En íå ïåðåñåêàþòñÿ è Dgn = ∪m≥nREn . Çíà÷èò, â ñèëó σ -àääèòèâíîñòè ìåðû Ëåáåãà, µ(En ) îáðàçóþò ñõîäÿùèéñÿ ðÿä, è D gn dµ ñîâïàäàåò ñî ñòðåìÿùèìñÿ íóëþ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì ýòîãî ðÿäà. ¤ Ëåììà 2 Ïóñòü fn ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé èç L1 (D), âîçðàñòàþùàÿ ïî n R â êàæäîé òî÷êå, ïðè ýòîì d fn îãðàíè÷åí. Òîãäà supn fn îïðåäåë¼í ïî÷òè âñþäó, è ýòà ôóíêöèÿ, äîîïðåäåë¼ííàÿ íóë¼ì, ïðèíàäëåæèò L1 (D). Äîêàçàòåëüñòâî Âû÷èòàÿ èç âñåõ ôóíêöèé f1 , ñâåä¼ì óòâåðæäåíèå ê ñëó÷àþ íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé. R Ïóñòü äëÿ âñåõ n D fn dµ < I . Òîãäà ïî íåðàâåíñòâó ×åáûø¼âà ìåðà ìíîæåñòâà òî÷åê E(n, C) = {x | fn (x) > C} íå ïðåâûøàåò I/C . Ìíîæåñòâî E(C) = {x | supn (fn ) > C èëè áåñêîíå÷åí} ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì ýòèõ ìíîæåñòâ.  ñèëó âîçðàñòàíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fn èìååì E(n + 1, C) ⊃ E(n, C), ïîýòîìó E(C) ñîâïàäàåò ñ îáúåäèíåíèåì íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ E(n + 1, C) \ E(n, C), ìåðû êîòîðûõ îáðàçóþò ðÿä, ÷àñòè÷íûå ñóììû êîòîðîãî ìåíüøå I/C . Òîãäà è ìåðà E(C) íå ïðåâîñõîäèò I/C . Ôóíêöèÿ supn fn îïðåäåëåíà âñþäó, êðîìå ∩N E(N ), íî ïîñêîëüêó ìåðà E(N ) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ñ ðîñòîì N , ìåðà ïåðåñå÷åíèÿ ðàâíà íóëþ. Ïóñòü f = supn fn . Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà èíòåãðèðóåìîñòè ñíîâà âîñïîëüçóåìñÿ òåì, R ÷òî äëÿ èçìåðèìîé f ≥ 0 èíòåãðàë Ëåáåãà D f dµ âû÷èñëÿåò ìåðó Ëåáåãà ìíîæåñòâà Df = {(x, y) | x ∈ D, 0 ≤ y ≤ f (x)}. Çàìåòèì, ÷òî Df = ∪n Dfn è àíàëîãè÷íî ïîëîæèì En = Dfn \ Dfn−1 . Òîãäà Dfn = ∪n1 Ei , Df = ∪∞ 1 Ei , ïîýòîìó ðÿä èç ìåð Di èìååò îãðàíè÷åííûå ÷àñòè÷íûå ñóììû, çíà÷èò, îí ñõîäèòñÿ, è ïðåäåë ðàâåí ìåðå Df , òî åñòü, èñêîìîìó èíòåãðàëó. ¤ Ëåììà 3 Ïóñòü fn ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðîèçâîëüíûõ ôóíêöèé èç L1 (D), ïîëîP æèì ai = ||fn+1 − fn ||. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðÿä ai ñõîäèòñÿ. Òîãäà g = inf n fn P îïðåäåëåíà ïî÷òè âñþäó, ïðèíàäëåæèò L1 (D) è ||g − f1 || ≤ ai . Äîêàçàòåëüñòâî Ïóñòü gn = min(f1 , . . . , fn ). Ïóñòü Di ⊂ D ïîäìíîæåñòâî, ãäå ìèíèìàëüíîé ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ fi . Òîãäà Z |gn − f1 |dµ = D ≤ n Z X i=1 n Z X i=1 i−1 X |gn − f1 |dµ = Di |fj+1 − fj |dµ ≤ n Z X i=1 Z X n−1 Di j=1 D j=1 2 |fi − f1 |dµ ≤ Di |fj+1 − fj |dµ = n−1 X j=1 αj , P òî åñòü ||f1 − gn || ≤ αi äëÿ âñåõ n. Çàìåòèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü f1 − gn ìîíîòîííî âîçðàñòàåò, f1 − g = supn (f1 − gn ).  ñèëó îãðàíè÷åííîñòè èíòåãðàëîâ ïî Ëåììå 2 ôóíêöèÿ f1 −g ïðèíàäëåæèò L1 (D), ñëåäîâàòåëüíî, g ∈ L1 (D) P . À ïî Ëåììå 1 ||g − f1 || ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ||gn − f1 || è, òåì ñàìûì, íå ïðåâûøàåò αi . ¤ Äîêàçàòåëüñòâî Òåîðåìû. Ïóñòü òåïåðü fn ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëü- íîñòü â L1 (D). Âûáåðåì ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü fij äëÿ êîòîðîé ||fij − fij+1 || < 2−j è ïîëîæèì gk = inf j≥k fij . Òîãäà ïî ëåììå 3 ||fij − gj || < 2−j+1 , òî åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü gj ôóíäàìåíòàëüíà è ýêâèâàëåíòíà èñõîäíîé. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïî ïîñòðîåíèþ gk âîçðàñòàåò è ||gj || îãðàíè÷åíà â ñèëó ôóíäàìåíòàëüíîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Òîãäà ïî ëåììå 2 ñ ó÷¼òîì ëåììû 1 îíà ñõîäèòñÿ ê supk gk ∈ L1 (D), è òóäà æå ñîéä¼òñÿ ýêâèâàëåíòíàÿ åé èñõîäíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn . 3. Âòîðîå äîêàçàòåëüñòâî. Ëåììà 4 (Îñíîâíàÿ ëåììà) Ðàññìîòðèì ôóíäàìåíòàëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) â L1 . Òîãäà äëÿ ëþáîãî ε èç íåå ìîæíî âûáðàòü ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü gk = fnk ï.â. òàê, ÷òî gk −→ Gε âíå ìíîæåñòâà ìåðû ìåíüøå ε. Äîêàçàòåëüñòâî . Èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (fn ) âûáèðàåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü gk òàê, ÷òî Z |gk − gk+1 |dµ < ε , k≥1 4k Ïóñòü Ek = {x||gk − gk+1 | > Ïî íåðàâåíñòâó ×åáûøåâà, µ(Ek ) ≤ 1 }. 2k ε . 2k Òîãäà µ(∪Ek ) ≤ ε. Êðîìå òîãî, X (gk − gk+1 ) ⇒ Gε íà C(∪Ek ). ¤ Ðåäóêöèÿ: îñíîâíàÿ ëåììà ⇒ ïîëíîòà L1 . Âûáèðàåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü εm → 0. Ñòðîèì èíäóêöèåé ïî m ïîñëåäîâàòåëüíîñòü gmk → Gm ïðè k → ∞. Íà øàãå èíäóêöèè èñïîëüçóåòñÿ îñíîâíàÿ ëåììà. Ïðàâèëüíî âûáðàííàÿ äèàãîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (îáîçíà÷èì åå ñíîâà gk ) ñõîäèòñÿ ïî÷òè âñþäó ê íåêîòîðîé ôóíêöèè g . 3 Äîêàæåì, ÷òî g ∈ L1 . Âûøå ôàêòè÷åñêè äîêàçàíî, ÷òî ñóùåñòâóåò ïðåäåë: X ï.â. |gk − gk+1 | −→ G Äîêàæåì, ÷òî G ∈RL1 . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî g ∈ L1 . Ïóñòü ýòî íå òàê: G = ∞. Ïîñêîëüêó ∃K : ïðè k ≥ K ||gk − gk+1 || ≤ ε , 2k ïîëó÷àåì, ÷òî âñå èíòåãðàëû ÷àñòíûõ ñóìì ðÿäà äëÿ G îãðàíè÷åíû â ñîâîêóïíîñòè: GM := M X ||gk − gk+1 || ≤ C. 1 R G = ∞, òî ñóùåñòâóåò N -ñðåçêà G(N ) , äëÿ êîòîðîé ï.â. Ïîñêîëüêó GM −→ G, òî æå âåðíî äëÿ N -ñðåçîê: Åñëè R G(N ) > C + 1. (N ) ï.â. GM −→ G(N ) . Ïî òåîðåìå Ëåáåãà îá îãðàíè÷åííîé ñõîäèìîñòè Z (N ) GM → G(N ) . Íî R R (N ) GM < C, G(N ) > C + 1, ïðîòèâîðå÷èå. ï.â. Èòàê, G ∈ L1 . Êðîìå òîãî, GM ≤ G è GM −→ G. Ñëåäîâàòåëüíî, |G − GM | ≤ G, è G − GM → 0. Ïî òåîðåìå Ëåáåãà îá îãðàíè÷åííîé ñõîäèìîñòè, Z G − GM → 0. 4