Êîíôåðåíöèÿ ¾Ëîìîíîñîâ 2013¿ Ñåêöèÿ ¾Ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà¿ Èíâàðèàíò Ôîìåíêî-Öèøàíãà äëÿ ñëó÷àÿ ×àïëûãèíà â äèíàìèêå òâ¼ðäîãî òåëà â æèäêîñòè Íèêîëàåíêî Ñòàíèñëàâ Ñåðãååâè÷ Ñòóäåíò Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èìåíè Ì.Â. Ëîìîíîñîâà, Ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåò, Ìîñêâà, Ðîññèÿ E-mail: nikostas@mail.ru Äâèæåíèå òâ¼ðäîãî òåëà â áåçãðàíè÷íîì îáú¼ìå èäåàëüíîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè, ïîêîÿùåéñÿ íà áåñêîíå÷íîñòè è îáëàäàþùåé îäíîçíà÷íûì ïîòåíöèàëîì ñêîðîñòåé, îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèÿìè Êèðõãîôà ṡ = s × ãäå s, r ∈ R3 ∂H ∂H +r× , ∂s ∂r ṙ = r × ∂H , ∂s (1) âåêòîðû èìïóëüñèâíîãî ìîìåíòà è èìïóëüñèâíîé ñèëû, à H = H(s, r) ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ, èìåþùàÿ ñìûñë ïîëíîé ýíåðãèè. Ýòà ñèñòåìà óðàâíåíèé âñåãäà 2 2 2 îáëàäàåò òðåìÿ ïåðâûìè èíòåãðàëàìè: ãåîìåòðè÷åñêèì èíòåãðàëîì f1 = r1 + r2 + r3 , èíòåãðàëîì ïëîùàäåé f2 = s1 r1 + s2 r2 + s3 r3 è èíòåãðàëîì ýíåðãèè H . Ñèñòåìó (1) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ãàìèëüòîíîâó (îòíîñèòåëüíî ñêîáêè Ëè-Ïóàññîíà) íà êîàëãåáðå e(3)∗ ãðóïïû äâèæåíèé 3-ìåðíîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà. Íà ñîâìåñòíîé ïîâåðõíîñòè 2 óðîâíÿ {f1 = a , f2 = 0} ýòà ñèñòåìà èìååò 2 ñòåïåíè ñâîáîäû, è äëÿ å¼ èíòåãðèðóåìîñòè ïî Ëèóâèëëþ òðåáóåòñÿ åù¼ îäèí íåçàâèñèìûé ñ H ïî÷òè âñþäó ïåðâûé èíòåãðàë.  [4] Ñ. À. ×àïëûãèíûì íàéäåí ñëó÷àé èíòåãðèðóåìîñòè ñî ñëåäóþùèìè ãàìèëüòîíèàíîì è äîïîëíèòåëüíûì èíòåãðàëîì K: 1 c H = (s21 + s22 + 2s23 ) + (r12 − r22 ), 2 2 K = (s21 − s22 + cr32 )2 + 4s21 s22 .  [4] òàêæå âûïîëíåíî ñâåäåíèå çàäà÷è ê ýëëèïòè÷åñêèì êâàäðàòóðàì.  [5], ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà áóëåâûõ ôóíêöèé Ì. Ï. Õàðëàìîâà [3], èññëåäîâàíà òîïîëîãèÿ èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé, ïîñòðîåíû áèôóðêàöèîííûå ìíîæåñòâà, îïèñàíû áèôóðêàöèè ëèóâèëëåâûõ òîðîâ. Îïðåäåëåíèå 1. Ñëîåíèåì Ëèóâèëëÿ, îòâå÷àþùèì âïîëíå èíòåãðèðóåìîé ïî Ëèóâèë- ëþ ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìå ñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, íàçûâàåòñÿ ðàçáèåíèå ôàçîâîãî ìíîM 2n íà ñâÿçíûå êîìïîíåíòû ñîâìåñòíûõ ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿ n íåçàâèñèìûõ ãîîáðàçèÿ èíòåãðàëîâ ñèñòåìû. Cëîåíèå Ëèóâèëëÿ ñîñòîèò èç ðåãóëÿðíûõ ñëî¼â, ÿâëÿþùèõñÿ (òîðàìè Ëèóâèëëÿ) è ñîñòàâëÿþùèõ ìíîæåñòâî ïîëíîé ìåðû íà n-ìåðíûìè òîðàìè M 2n , è îñîáûõ ñëî- ¼â, çàïîëíÿþùèõ ìíîæåñòâî ìåðû íóëü.  íåðåçîíàíñíîì ñëó÷àå ñëîåíèå Ëèóâèëëÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñàìèì ãàìèëüòîíîâûì ïîòîêîì è íå çàâèñèò îò êîíêðåòíîãî âûáîðà äîïîëíèòåëüíûõ èíòåãðàëîâ. Îïðåäåëåíèå 2. Äâå èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû v1 è v2 ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, ðàññìàòðèâàåìûå íà èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòÿõ óâèëëåâî ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò äèôôåîìîðôèçì îðèåíòàöèþ Q31 è Q32 , Q31 è Q32 , íàçûâàþòñÿ ëèQ31 íà Q32 , ñîõðàíÿþùèé à òàêæå åñòåñòâåííóþ îðèåíòàöèþ êðèòè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé. 1 Êîíôåðåíöèÿ ¾Ëîìîíîñîâ 2013¿  ñëó÷àå äâóõ ñòåïåíåé ñâîáîäû îòâåò íà âîïðîñ îá óñòðîéñòâå òîïîëîãèè ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ äà¼òñÿ èíâàðèàíòîì Ôîìåíêî-Öèøàíãà (ìå÷åíîé ìîëåêóëîé) (ñì. [1], [2]). À èìåííî, êàê ïîêàçàíî À. Ò. Ôîìåíêî è Õ. Öèøàíãîì â [2], äâå èíòåãðèðóåìûå ãàìèëü3 3 òîíîâû ñèñòåìû (v1 , Q1 ) è (v2 , Q2 ), ðàññìàòðèâàåìûå íà íåîñîáûõ êîìïàêòíûõ ñâÿçíûõ 3 3 èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòÿõ Q1 è Q2 , ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èõ ìå÷åíûå ìîëåêóëû ñîâïàäàþò.  äàííîé ðàáîòå èíâàðèàíò Ôîìåíêî-Öèøàíãà âû÷èñëÿåòñÿ äëÿ ñëó÷àÿ ×àïëûãèíà (ñì. âûøå). Ñëåäñòâèåì ýòîãî âû÷èñëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Òåîðåìà 1. Íà ñîîòâåòñòâóþùèõ íåîñîáûõ óðîâíÿõ ýíåðãèè ñèñòåìû ñëó÷àÿ ×àïëû- ãèíà â äèíàìèêå òâ¼ðäîãî òåëà â æèäêîñòè ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíû ñèñòåìàì ñëó÷àÿ Ýéëåðà â äèíàìèêå òâ¼ðäîãî òåëà ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé. Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå ÐÔÔÈ (ãðàíò 13-01-00664à), ãðàíòà Ïðåçèäåíòà ÐÔ ïîääåðæêè âåäóùèõ íàó÷íûõ øêîë Ðîññèè (ïðîåêò ÍØ 1410.2012.1) è ãðàíòà Ïðàâèòåëüñòâà ÐÔ äëÿ ãîñïîääåðæêè íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé, ïðîâîäèìûõ ïîä ðóêîâîäñòâîì âåäóùèõ ó÷åíûõ, â ÔÃÁÎÓ ÂÏÎ Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èìåíè Ì.Â. Ëîìîíîñîâà ïî äîãîâîðó 11.G34.31.0054. Ëèòåðàòóðà 1. Áîëñèíîâ À.Â., Ôîìåíêî À.Ò. Èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû. Ãåîìåòðèÿ, òîïîëîãèÿ, êëàññèôèêàöèÿ. Èæåâñê, 1999. 2. Ôîìåíêî À.Ò., Öèøàíã Õ. Òîïîëîãè÷åñêèé èíâàðèàíò è êðèòåðèé ýêâèâàëåíòíîñòè èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû // Èçâåñòèÿ ÀÍ ÑÑÑÐ. 1990. Ò. 54. No. 3. Ñ. 546-575. 3. Õàðëàìîâ Ì.Ï. Òîïîëîãè÷åñêèé àíàëèç è áóëåâû ôóíêöèè. I. Ìåòîäû è ïðèëîæåíèÿ ê êëàññè÷åñêèì ñèñòåìàì // Íåëèíåéíàÿ äèíàìèêà. 2010. Ò. 6. No. 4. Ñ. 769805. 4. ×àïëûãèí Ñ.À. Íîâîå ÷àñòíîå ðåøåíèå çàäà÷è î äâèæåíèè òâ¼ðäîãî òåëà â æèäêîñòè // Òðóäû îòäåëåíèÿ ôèçè÷åñêèõ íàóê îáùåñòâà ëþáèòåëåé åñòåñòâîçíàíèÿ. 1903. Ò. 11. No. 2. Ñ. 7-10. 5. Orel O.E., Ryabov P.E. Bifurcation sets in a problem on motion of a rigid body in uid and in the generalization of this problem // Regular and Chaotic Dynamics. 1998. V. 3. No. 1. P. 82-91. Ñëîâà áëàãîäàðíîñòè Àâòîð áëàãîäàðåí À.Ò. Ôîìåíêî, À.À. Îøåìêîâó, À.Ì. Èçîñèìîâó, à òàêæå âñåì ó÷àñòíèêàì ñåìèíàðà Ñîâðåìåííûå ãåîìåòðè÷åñêèå ìåòîäû çà âíèìàíèå ê ðàáîòå è ïîëåçíûå îáñóæäåíèÿ. 2