Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç I Ëèñòîê 16 1) Ïóñòü f, g êîìïëåêñíîçíà÷íûå èíòåãðèðóåìûå ïî Êîøè ôóíêöèè íà îòðåçêå [a, b]. Äîêàæèòå, ÷òî ôóíêöèÿ f · g òîæå èíòåãðèðóåìà ïî Êîøè, ïðè÷åì âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî Êîøè Áóíÿêîâñêîãî Øâàðöà ¯Z b ¯2 Z b Z b ¯ ¯ 2 ¯ ¯ f (x)g(x)dx¯ 6 |f (x)| dx · |g(x)|2 dx ¯ a a a ¯Z 1 ¯ ¯ ¯ 2) Íàéäèòå òî÷íóþ âåðõíþþ ãðàíü äëÿ ¯¯ xf (x)dx¯¯ ïî âñåì íåïðåðûâíûì êîìïëåêñíîçíà÷íûì 0 Z 1 ôóíêöèÿì f , äëÿ êîòîðûõ |f (x)|2 dx = 1. 0 3) Íàðèñóéòå êðèâûå â R2 è íàéäèòå èõ äëèíû: à) y = x2/3 (−8 6 x 6 8); á) y = ch x (−c 6 x 6 c); â) x = t − sin t, y = 1 − cos t (0 6 t 6 2π ); ã) r = 1 + cos ϕ (0 6 ϕ 6 2π ), ãäå (r, ϕ) ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû íà ïëîñêîñòè. 4) Ðåøèòå ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî êîìïëåêñíîãî íåèçâåñòíîãî z : à) ez + i = 0; á) sin z = 3; â) ch z = i; ã) ln(z + i) = 0. 5) Äëÿ îòîáðàæåíèÿ C → C, çàäàííîãî ôîðìóëîé z 7→ ez , ïîñòðîéòå îáðàçû ëèíèé êîîðäèíàòíîé ñåòêè íà ïëîñêîñòè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë (òî åñòü ëèíèé âèäà Re z = const è Im z = const). 6) Äëÿ îòîáðàæåíèÿ C → C, çàäàííîãî ôîðìóëîé z 7→ z 2 , à) ïîñòðîéòå îáðàç ëèíèè |z| = 2;√ á) ïîñòðîéòå îáðàç ëèíèè Im z = 3 Re z ; â) ïîñòðîéòå îáðàç ëèíèè |z − i| = 1; ã) ïîñòðîéòå îáðàçû ëèíèé êîîðäèíàòíîé ñåòêè íà ïëîñêîñòè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë; ä) ïîñòðîéòå ïðîîáðàçû ëèíèé êîîðäèíàòíîé ñåòêè íà ïëîñêîñòè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. 7) Äëÿ îòîáðàæåíèÿ C → C, çàäàííîãî ôîðìóëîé z 7→ z −1 , à) ïîñòðîéòå îáðàç ëèíèè |z| = 2;√ á) ïîñòðîéòå îáðàç ëèíèè Im z = 3 Re z ; â) ïîñòðîéòå îáðàç ëèíèè |z − i| = 1; ã) ïîñòðîéòå îáðàçû ëèíèé êîîðäèíàòíîé ñåòêè íà ïëîñêîñòè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. 8) Äëÿ îòîáðàæåíèÿ C → C, çàäàííîãî ôîðìóëîé z 7→ (z + z −1 )/2, à) ïîñòðîéòå îáðàç ëèíèè |z| = 1; á) ïîñòðîéòå îáðàç ëèíèè |z| = 2; â) ïîñòðîéòå îáðàç ëèíèè arg z = 0; ã) ïîñòðîéòå îáðàç ëèíèè arg z = π/2; ä) ïîñòðîéòå îáðàç ëèíèè Re z = 1; å) ïîñòðîéòå îáðàçû ëèíèé êîîðäèíàòíîé ñåòêè íà ïëîñêîñòè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë; æ) ïîñòðîéòå îáðàçû ëèíèé ïîëÿðíîé êîîðäèíàòíîé ñåòêè íà ïëîñêîñòè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. 9) Íàéäèòå êîýôôèöèåíò ðàñòÿæåíèÿ r è óãîë ïîâîðîòà ϕ äëÿ çàäàííûõ îòîáðàæåíèé w = f (z) â çàäàííûõ òî÷êàõ: à) w = ez â òî÷êå z = −1 − iπ/2; á) w = sin z â òî÷êå z = 1 + i; â) w = z 3 â òî÷êå z = 1 + i. 10) Âûÿñíèòå, êàêàÿ ÷àñòü êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ñæèìàåòñÿ, à êàêàÿ ðàñòÿãèâàåòñÿ ïðè îòîáðàæåíèè à) w = ez ; á) w = ln z ; â) w = z −1 ; ã) w = z 3 .