Операции над событиями. Условные вероятности. Независимость

Ëèñòîê 6
30.09.2010
Îïåðàöèè íàä ñîáûòèÿìè. Óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè.
Íåçàâèñèìîñòü.
Îïåðàöèè íàä ñîáûòèÿìè:
Ïðîèñõîäÿò è ñîáûòèå A, è ñîáûòèå B ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ: A ∩ B .
Ïðîèñõîäèò õîòÿ áû îäíî èç ñîáûòèé A è B îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ: A ∪ B .
Ïðîèñõîäèò ñîáûòèå A, à ñîáûòèå B íå ïðîèñõîäèò ðàçíîñòü ìíîæåñòâ: A \ B .
Ñîáûòèå A íå ïðîèñõîäèò äîïîëíåíèå ìíîæåñòâà: A = Ω \ A.
Îïðåäåëåíèå 6.1. Óñëîâíîé âåðîÿòíîñòüþ ñîáûòèÿ A ïðè óñëîâèè ñîáûòèÿ B íàçûâàåòñÿ
âåëè÷èíà P (A|B) =
P(A∩B)
P(B)
äëÿ ñîáûòèé B òàêèõ, ÷òî P (B) > 0.
Îïðåäåëåíèå 6.2. Ñîáûòèÿ A è B íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè P (A|B) = P (A) èëè
P (B) = 0.
Çàäà÷à 6.1. Íà íåêîòîðîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå çàäàíû ñîáûòèÿ:
A = {Çàãóãðëèêè òðàíêëþêèðóþòñÿ} , B = {Çàãóãðëèêè âåðòåïûõàþñÿ} , C = {Çàãóãðëèêè ñïÿò}
. Âûðàçèòå ÷åðåç ýòè ñîáûòèÿ ñëåäóþùèå ñîáûòèÿ:
à) Çàãóãðëèêè òðàíêëþêèðóþòñÿ èëè âåðòåïûõàþòñÿ.
á) Çàãóãðëèêè âåðòåïûõàþòñÿ è ñïÿò.
â) Çàãóãðëèêè òðàíêëþêèðóþòñÿ è âåðòåïûõàþòñÿ, íî íå ñïÿò.
ã) Çàãóãðëèêè ëèáî òðàíêëþêèðóþòñÿ, ëèáî âåðòåïûõàþòñÿ (íî íå äåëàþò ýòîãî îäíîâðåìåííî).
Çàäà÷à 6.2.  êëåòêå íàõîäÿòñÿ õðàïñèêè ÷åòûðåõ âèäîâ: êðàñíûå, çåëåíûå, ñèíèå è áåëûå.
Íåñêîëüêî õðàïñèêîâ ñáåæàëè. Íà íåêîòîðîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå çàäàíû ñîáûòèÿ
A={ñðåäè ñáåæàâøèõ åñòü êðàñíûå õðàïñèêè}, B={ñðåäè ñáåæàâøèõ åñòü çåëåíûå õðàïñèêè},
C={ñðåäè ñáåæàâøèõ åñòü ñèíèå õðàïñèêè} è D={ñðåäè ñáåæàâøèõ åñòü áåëûå õðàïñèêè},
ïîñòðîéòå ñîáûòèÿ
à) E={ñðåäè ñáåæàâøèõ åñòü êðàñíûå è áåëûå, à òàêæå çåëåíûå ëèáî ñèíèå}
á) F={ñðåäè ñáåæàâøèõ åñòü ëèáî êðàñíûå, ëèáî áåëûå, ëèáî çåëåíûå è ñèíèå}
â) G={ñðåäè ñáåæàâøèõ åñòü êðàñíûå, íî íåò ñèíèõ õðàïñèêîâ}
Çàäà÷à 6.3. Èç ìíîæåñòâà {1, . . . , n} ñëó÷àéíî âûáèðàåòñÿ ÷èñëî. Ñîáûòèå A ¾÷èñëî ÷åòíîå¿, B ¾÷èñëî äåëèòñÿ íà 5¿, C ¾÷èñëî äåëèòñÿ íà 7¿. ×òî èç ñåáÿ ïðåäñòàâëÿþò ñîáûòèÿ
à) A ∩ B ∩ C ; á) C ∩ (B \ A); â) C ∪ (A ∩ B)?
Çàäà÷à 6.4. Äëÿ ïðîñòðàíñòâà ðàâíîâåðîÿòíûõ èñõîäîâ
à) äîêàæèòå ôîðìóëó ñëîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé â ñëó÷àå, åñëè ñîáûòèÿ A è B íå ïåðåñåêàþòñÿ (A ∩ B = ∅): P (A ∪ B) = P (A) + P (B);
á) Äîêàæèòå ôîðìóëó ñëîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé â îáùåì ñëó÷àå:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) .
â) Âûÿñíèòå, êàê ñîîòíîñÿòñÿ P (A) è P (B), åñëè èç ñîáûòèÿ A âñåãäà ñëåäóåò B.
ã) Âûðàçèòå âåðîÿòíîñòü P (A \ B) ÷åðåç âåðîÿòíîñòè P (A) è P (A ∩ B).
Çàìå÷àíèå: Ðåøåíèÿ ïóíêòîâ à)-ã) îñòàíóòñÿ ñïðàâåäëèâûìè è â ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî âå-
ðîÿòíîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà.
Çàäà÷à 6.5.  ñåìüå äâîå äåòåé. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âòîðîé ðåáåíîê ìàëü÷èê, åñëè
èçâåñòíî, ÷òî îäèí èç äåòåé ìàëü÷èê?
Çàäà÷à 6.6. Òðåéäåð ×åí, êàê è òðåéäåð Ëó, ïîêóïàåò àêöèþ ñ âåðîÿòíîñòüþ 23 . Âåðîÿòíîñòü
òîãî, ÷òî ×åí êóïèò àêöèþ, ïðè óñëîâèè, ÷òî Ëó íå êóïèò, ñîñòàâëÿåò 1. Ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ
×åí êóïèò àêöèþ ïðè óñëîâèè, ÷òî Ëó êóïèò?
Ëèñòîê 6
30.09.2010
Çàäà÷à 6.7. à)  áàðàáàí øåñòèçàðÿäíîãî ðåâîëüâåðà âñòàâëåíî ïîäðÿä äâà ïàòðîíà. Òðåé-
äåð ×åí ðàñêðó÷èâàåò áàðàáàí è ïûòàåòñÿ çàñòðåëèòüñÿ âûñòðåëà íå ïðîèñõîäèò, îí îòäàåò
ðåâîëüâåð òðåéäåðó Ëó. Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü âûñòðåëà ïðè óñëîâèè ïðåäøåñòâóþùåé îñå÷êè.
Ñòîèò ëè òðåéäåðó Ëó ïîñëå ýòîãî ðàñêðó÷èâàòü áàðàáàí çàíîâî, åñëè îí òàêæå õî÷åò çàñòðåëèòüñÿ è íå îáúÿñíÿòü íà÷àëüñòâó, êóäà äåëèñü 2 ìëðä. þàíåé? á) Òà æå ñèòóàöèÿ ñ õèòðûì
êèòàéñêèì ïèñòîëåòîì, äëÿ êîòîðîãî èçâåñòíî, ÷òî P(ïðîèçîøåë âûñòðåë)=1/3, à P(ïðîèçîøëî
äâà âûñòðåëà ïîäðÿä)=1/4.
Çàäà÷à 6.8. Äîêàæèòå, ÷òî äâà ñîáûòèÿ íåçàâèñèìû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà P (A ∩ B) =
P (A) P (B).
Çàäà÷à 6.9. Ñëó÷àéíî âûáèðàåòñÿ ÷èñëî îò 1 äî 100. Ñîáûòèå A ¾÷èñëî äåëèòñÿ íà 2¿,
ñîáûòèå B ¾÷èñëî äåëèòñÿ íà 5¿, ñîáûòèå C ¾÷èñëî äåëèòñÿ íà 7¿. Âûÿñíèòå, êàêèå èç
ñîáûòèé A,B ,C íåçàâèñèìû.
Çàäà÷à 6.10. Áðîñàþòñÿ äâå èãðàëüíûå êîñòè. Âûÿñíèòå êàêèå èç ñëåäóþùèõ ñîáûòèé ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè:
A = {íà ïåðâîé êîñòè âûïàëî 6} ,
C = {ñóììà êîñòåé ðàâíà 7} ,
B = {íà âòîðîé êîñòè âûïàëî íå áîëåå 2} ,
D = {ðàçíîñòü î÷êîâ íà ïåðâîé è âòîðîé êîñòè ðàâíà 1} ,
E = {î÷êè íà êîñòÿõ ðàçëè÷àþòñÿ íà 3} .
Ëèñòîê 6
30.09.2010
Çàäà÷à 6.11. Âåðíî ëè, ÷òî äëÿ ëþáûõ òðåõ ñîáûòèé, ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ìåæäó ñîáîé,
âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî P (A ∩ B ∩ C) = P (A) · P (B) · P (C)?
Çàäà÷à 6.12. Ñóùåñòâóþò ëè òðè ïîïàðíî çàâèñèìûå ñîáûòèÿ, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíåíî ðàâåíñòâî P (A ∩ B ∩ C) = P (A) · P (B) · P (C)?
Çàäà÷à 6.13. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ñîáûòèÿ A è B íåçàâèñèìû, òî íåçàâèñèìû òàêæå ïàðû
ñîáûòèé A è B , A è B , A è B .
Çàäà÷à 6.14. Äàíû âåðîÿòíîñòè íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé A è B : P (A) = t, P (B) = s. Íàéòè
âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ à) A \ B , á) (A ∪ B) \ (A ∪ B).