24 Ê Â À Í T 2001/№3 îêðóæíîñòåé íå ïðåâîñõîäèò 2 − 2 è äîñòèãàåò ýòîãî ÷èñëà ëèøü òîãäà, êîãäà ñòîðîíû âïèñàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ïàðàëëåëüíû äèàãîíàëÿì êâàäðàòà. Â.Ïðîèçâîëîâ М1778*. Íà äîñêå íàïè- ñàíî êîìïëåêñíîå ÷èñëî 1 + i. Ðàçðåøàåòñÿ ëþáîå ÷èñëî ðàç è â ëþáîì ïîРис.2 ðÿäêå ïðîäåëûâàòü ñëåäóþùèå òðè îïåðàöèè: 1) ñòåðåòü ëþáîå ÷èñëî a + bi è çàïèñàòü âçàìåí äâà ÷èñëà, ðàâíûõ a + 1 + bi ; 2) ñòåðåòü ëþáîå ÷èñëî a + bi è çàïèñàòü âçàìåí òðè ÷èñëà: a + 1 + bi , a + b + 1 i è a + 1 + b + 1 i ; 3) ñòåðåòü ëþáîå ÷èñëî a + bi è çàïèñàòü âçàìåí ÷åòûðå ÷èñëà, äâà èç êîòîðûõ ðàâíû a + b + 1 i , à äâà äðóãèõ ðàâíû a + 1 + b + 1 i . Ïîñëå íåñêîëüêèõ òàêèõ îïåðàöèé îêàçàëîñü, ÷òî ìîäóëè âñåõ íàïèñàííûõ ÷èñåë áîëüøå 3. Äîêàæèòå, ÷òî ñðåäè ÷èñåë åñòü äâà îäèíàêîâûõ. È.Âîðîíîâè÷, È.Àêóëè÷ b b g b g b g b g b g g b b g g М1779. Íàéäèòå âñå ìíîãî÷ëåíû f à) òàêèå, ÷òî f x + f y = f x + y ; á) òàêèå, ÷òî af x = f 2001x , ãäå à íåêîòîðîå ÷èñëî; â) òàêèå, ÷òî af x + bf y = f cx + dy , ãäå a, b, c, d íåêîòîðûå ÷èñëà. Â.Ñåíäåðîâ bg bg b g bg b g bg bg b g М1780*. Êàæäàÿ òî÷êà ñôåðû îêðàøåíà â êðàñíûé èëè ñèíèé öâåò. Äîêàæèòå, ÷òî íàéäóòñÿ òðè îäíîöâåòíûå òî÷êè, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà. Â.Ïðîèçâîëîâ Ф1778. ×åëîâåê, ñòîÿùèé íà áîëüøîì ðàññòîÿíèè h îò äëèííîé ðîâíîé ñòåíû, îñâåùàåò åå ëó÷îì ôîíàðèêà, âðàùàÿ ôîíàðèê â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω . Êàê çàâèñèò îò âðåìåíè ñêîðîñòü ñâåòîâîãî ïÿòíà, áåãóùåãî ïî ñòåíå, ñ òî÷êè çðåíèÿ ýòîãî ÷åëîâåêà? Íàðèñóéòå ãðàôèê ýòîé çàâèñèìîñòè. Â.Øåëåñò Ф1780.  ãëóáîêîì êîñìîñå, âäàëè îò âñåõ òÿãîòåþùèõ ìàññ, íàõîäÿòñÿ òðè òåëà ìàëûõ ðàçìåðîâ, ìàññû êîòîðûõ Ì, Ì è 3Ì. Êàê îíè ìîãóò äâèãàòüñÿ, ÷òîáû ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ òåëàìè îñòàâàëèñü âñå âðåìÿ ïîñòîÿííûìè è íå ïðåâûøàëè ïî âåëè÷èíå L? Ð.Àëåêñàíäðîâ Ф1781. Ïîðöèÿ ãåëèÿ â öèêëè÷åñêîì ïðîöåññå âíà÷àëå àäèàáàòè÷åñêè ðàñøèðÿåòñÿ, ïðè ýòîì òåìïåðàòóðà ãàçà óìåíüøàåòñÿ îò 500 Ê äî 499 Ê, çàòåì ñæèìàåòñÿ èçîáàðè÷åñêè äî ïåðâîíà÷àëüíîãî îáúåìà è, íàêîíåö, íàãðåâàåòñÿ èçîõîðè÷åñêè äî ïåðâîíà÷àëüíîé òåìïåðàòóðû. Íàéäèòå íàèìåíüøåå çíà÷åíèå òåìïåðàòóðû â ýòîì öèêëå, à òàêæå ÊÏÄ öèêëà. Ç.Öèêëîâ Ф1782.  óïðîùåííîé ìîäåëè ãèìíàçèè øêîëüíèêè èçîáðàæàþòñÿ öèëèíäðàìè îäíîé è òîé æå âûñîòû. Ïëîùàäü çàëà äëÿ îòäûõà ãèìíàçèñòîâ íà ïåðåìåíå ñîñòàâëÿåò 200 ì 2 . Íà ýòîé ïëîùàäè õàîòè÷åñêè ðàñïîëîæåíû 100 äåñÿòèêëàññíèêîâ äèàìåòðîì 0,5 ì êàæäûé; îíè ïðàêòè÷åñêè íåïîäâèæíû. Ïÿòèêëàññíèê ïîëîâèííîãî äèàìåòðà áåãàåò ïî çàëó ñî ñêîðîñòüþ 3 ì/ñ. Íàòûêàÿñü íà äåñÿòèêëàññíèêà, îí íàáèâàåò ñåáå øèøêó, íî ïîñëå îòðàæåíèÿ ïðîäîëæàåò ñâîå äâèæåíèå. Îöåíèòå, ñêîëüêî øèøåê îí ñåáå íàáèâàåò çà ïåðåìåíó äëèòåëüíîñòüþ 15 ìèíóò? Ì.Ó÷èòåëåâ Ф1783. Äâà îäèíàêîâûõ òî÷å÷íûõ çàðÿäà Q íàõîäÿòñÿ íà ðàññòîÿíèè d äðóã îò äðóãà. Êàêîé ïîòåíöèàë ìîæåò èìåòü ýêâèïîòåíöèàëüíàÿ ïîâåðõíîñòü, åñëè îíà îõâàòûâàåò îáà çàðÿäà? Êàêîé ïîòåíöèàë äîëæíà èìåòü òàêàÿ ïîâåðõíîñòü, ÷òîáû áûòü âñþäó âûïóêëîé? Ñ.Êðîòîâ Ф1784. Áàòàðåéêè íàïðÿæåíèÿìè 3 Â, 6  è 9  ñîåäèíåíû «ìèíóñàìè», à ïîëîæèòåëüíûå èõ âûâîäû ñâîáîäíû òàêîå ñîåäèíåíèå íàçûâàþò «çâåçäîé». Ê íèì ïîäêëþ÷àþò «çâåçäó» èç ðåçèñòîðîâ ñîïðîòèâëåíèÿìè 100 Îì, 100 Îì è 200 Îì, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 4. ×òî ïîêàæåò âîëüòìåòð ñ áîëüøèì ñîïðîòèâëåíèåì, åñëè åãî 100Oì V 9B Ф1779. Äâå âåðòèêàëüíûå ïàðàëëåëüíûå ïëàñòèíû îäíà ñîâåðøåííî ãëàäêàÿ, äðóãàÿ î÷åíü øåðîõîâàòàÿ ðàñïîëîæåíû íà ðàññòîÿíèè D äðóã îò äðóãà (ðèñ.3). Ìåæäó íèìè ïîìåùåíà êàòóøêà ñ âíåøíèì äèàìåòðîì D, âñÿ ìàññà Ì êîòîðîé ñîñðåäîòî÷åíà â åå îñè. Êàòóøêà çàæàòà ïëàñòèíàìè òàê, ÷òî ìîæåò äâèãàòüñÿ âíèç âðàùàÿñü, íî íå ïðîñêàëüçûâàÿ îòíîñèòåëüíî øåðîõîâàòîé ïëàñòèíû. Íà âíóòðåííèé öèëèíäð êàòóøêè äèàìåòðîì d íàìîòàíà ëåãêàÿ íèòü, ê êîòîðîé ïðèâÿçàí ãðóç ìàññîé m. Íàéäèòå óñêîðåíèå ýòîãî ãðóçà. Ç.Ðàôàèëîâ Рис.3 6B 3B 100Oì 200Oì Рис.4 âêëþ÷èòü ìåæäó îáùèìè òî÷êàìè «çâåçä»? Çàìåíèì âîëüòìåòð àìïåðìåòðîì, èìåþùèì î÷åíü ìàëîå ñîïðîòèâëåíèå. ×òî îí ïîêàæåò? Çàìåíèì àìïåðìåòð ðåçèñòîðîì, èìåþùèì ñîïðîòèâëåíèå 17 Îì. Êàêîé òîê ÷åðåç íåãî ïîòå÷åò? Ð.Ñõåìîâ Ф1785. Òðè îäèíàêîâûõ êîíäåíñàòîðà åìêîñòüþ Ñ = = 1000 ìêÔ êàæäûé, êëþ÷ è äâà ðåçèñòîðà ñîïðîòèâëåíèÿìè r = 10 Îì è R = 10 êÎì ñîáðàíû â ñõåìó, ïðèâåäåííóþ íà ðèñóíêå 5. Îäèí èç êîíäåíñàòîðîâ çàðÿæåí äî íàïðÿæåíèÿ U0 . Çàìêíåì êëþ÷. Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû âûäåëèòñÿ çà ïåðâóþ ñåêóíäó â ðåçèñòî-