ÇÀÄÀ×ÍÈÊ «ÊÂÀÍÒÀ» Çàäà÷è ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå Ýòîò ðàçäåë âåäåòñÿ ó íàñ èç íîìåðà â íîìåð ñ ìîìåíòà îñíîâàíèÿ æóðíàëà. Ïóáëèêóåìûå â íåì çàäà÷è íåñòàíäàðòíû, íî äëÿ èõ ðåøåíèÿ íå òðåáóåòñÿ çíàíèé, âûõîäÿùèõ çà ðàìêè øêîëüíîé ïðîãðàììû. Íàèáîëåå òðóäíûå çàäà÷è îòìå÷àþòñÿ çâåçäî÷êîé. Ïîñëå ôîðìóëèðîâêè çàäà÷è ìû îáû÷íî óêàçûâàåì, êòî íàì åå ïðåäëîæèë. Ðàçóìååòñÿ, íå âñå ýòè çàäà÷è ïóáëèêóþòñÿ âïåðâûå. Ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ýòîãî íîìåðà ñëåäóåò îòïðàâëÿòü íå ïîçäíåå 1 ìàÿ 2009 ãîäà ïî àäðåñó: 119296 Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò». Ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ðàçíûõ íîìåðîâ æóðíàëà èëè ïî ðàçíûì ïðåäìåòàì (ìàòåìàòèêå è ôèçèêå) ïðèñûëàéòå â ðàçíûõ êîíâåðòàõ. Íà êîíâåðòå â ãðàôå «Êîìó» íàïèøèòå: «Çàäà÷íèê «Êâàíòà» ¹12009» è íîìåðà çàäà÷, ðåøåíèÿ êîòîðûõ Âû ïîñûëàåòå, íàïðèìåð «Ì2116» èëè «Ô2123».  ãðàôå «Îò êîãî» ôàìèëèþ è èìÿ ïðîñèì ïèñàòü ðàçáîð÷èâî.  ïèñüìî âëîæèòå êîíâåðò ñ íàïèñàííûì íà íåì Âàøèì àäðåñîì è íåîáõîäèìûé íàáîð ìàðîê (â ýòîì êîíâåðòå Âû ïîëó÷èòå ðåçóëüòàòû ïðîâåðêè ðåøåíèé). Ðåøåíèÿ çàäà÷ ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå ìîæíî ïðèñûëàòü òàêæå ïî ýëåêòðîííûì àäðåñàì math@kvant.info è phys@kvant.info ñîîòâåòñòâåííî. Óñëîâèÿ êàæäîé îðèãèíàëüíîé çàäà÷è, ïðåäëàãàåìîé äëÿ ïóáëèêàöèè, ïðèñûëàéòå â îòäåëüíîì êîíâåðòå â äâóõ ýêçåìïëÿðàõ âìåñòå ñ Âàøèì ðåøåíèåì ýòîé çàäà÷è (íà êîíâåðòå ïîìåòüòå: «Çàäà÷íèê «Êâàíòà», íîâàÿ çàäà÷à ïî ôèçèêå» èëè «Çàäà÷íèê «Êâàíòà», íîâàÿ çàäà÷à ïî ìàòåìàòèêå»).  íà÷àëå êàæäîãî ïèñüìà ïðîñèì óêàçûâàòü íîìåð øêîëû è êëàññ, â êîòîðîì Âû ó÷èòåñü. Çàäà÷è M2118 è Ì2121 ïðåäëàãàëàñü íà IV Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäå ïî ãåîìåòðèè èìåíè È.Ô.Øàðûãèíà, çàäà÷è Ì2119, Ì2120 è Ì2123 íà XXX Òóðíèðå ãîðîäîâ. Çàäà÷è Ì2116Ì2123, Ô2123Ô2129 M2116. Ïîëíûé íàáîð äîìèíî âûêëàäûâàåòñÿ íà ñòîëå â çàìêíóòóþ öåïü, è äëÿ âñåõ ïàð ñîñåäíèõ äîìèíîøåê âû÷èñëÿåòñÿ ìîäóëü ðàçíîñòè î÷êîâ íà êëåòêàõ, êîòîðûìè îíè ñîïðèêàñàþòñÿ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç S ñóììó âñåõ òàêèõ ìîäóëåé ðàçíîñòåé. ßñíî, ÷òî íàèìåíüøåå çíà÷åíèå S ðàâíî 0 (ýòî ïðîèñõîäèò â òîì ñëó÷àå, êîãäà çàìêíóòàÿ öåïü âûëîæåíà ïî ïðàâèëàì äîìèíî). À êàêîå íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ìîæåò ïðèíèìàòü ñóììà S? À.Ãðèáàëêî M2117. Ñóùåñòâóåò ëè àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ èç 2008 ðàçëè÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ïðîèçâåäåíèå êîòîðûõ ðàâíî òî÷íîé 2009-é ñòåïåíè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà? Ã.Ãàëüïåðèí M2118. Äîêàæèòå, ÷òî â òðåóãîëüíèêå ABC ñ óãëîì A, ðàâíûì 120°, ðàññòîÿíèå îò öåíòðà îïèñàííîé îêðóæíîñòè äî òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò ðàâíî AB + AC. Â.Ïðîòàñîâ M2119.  áåñêîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè a1, a2, a3,K ÷èñëî a1 ðàâíî 1, à êàæäîå ñëåäóþùåå ÷èñëî an ñòðîèòñÿ èç ïðåäûäóùåãî an -1 ïî ïðàâèëó: åñëè ó ÷èñëà n íàèáîëüøèé íå÷åòíûé äåëèòåëü èìååò îñòàòîê 1 îò äåëåíèÿ íà 4, òî an = an -1 + 1 , åñëè æå îñòàòîê ðàâåí 3, òî an = an -1 - 1 . Äîêàæèòå, ÷òî â ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âñå ÷èñëà ïîëîæèòåëüíû, ïðè÷åì êàæäîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî âñòðå÷àåòñÿ â íåé áåñêîíå÷íî ìíîãî ðàç. À.Çàñëàâñêèé M2120. Ìíîãî÷ëåí P x ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè òàêîâ, ÷òî óðàâíåíèå P m + P n = 0 èìååò 25-39.p65 25 áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé â öåëûõ ÷èñëàõ m è n. Äîêàæèòå, ÷òî ãðàôèê ôóíêöèè y = P x èìååò öåíòð ñèììåòðèè. À.Øàïîâàëîâ M2121. Ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû âûïóêëîãî øåñòèóãîëüíèêà ABCDEF ïàðàëëåëüíû. Íàçîâåì åãî «âûñîòàìè» âåêòîðû ñ êîíöàìè íà ïðÿìûõ, ñîäåðæàùèõ ïðîòèâîëåæàùèå ñòîðîíû, ïåðïåíäèêóëÿðíûå èì è íàïðàâëåííûå îò AB ê DE, îò EF ê BC è îò CD ê AF. Äîêàæèòå, ÷òî âîêðóã ýòîãî øåñòèóãîëüíèêà ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóììà åãî «âûñîò» ðàâíà íóëåâîìó âåêòîðó. À.Çàñëàâñêèé M2122. à) Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî n, áîëüøåå 17, ìîæíî ðàçëîæèòü â ñóììó òðåõ íàòóðàëüíûõ ïîïàðíî âçàèìíî ïðîñòûõ ñëàãàåìûõ, êàæäîå èç êîòîðûõ áîëüøå 1. á*) Âûÿñíèòå, êîíå÷íî èëè áåñêîíå÷íî ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, íå ïðåäñòàâèìûõ â âèäå ñóììû òðåõ âçàèìíî ïðîñòûõ â ñîâîêóïíîñòè íàòóðàëüíûõ ñëàãàåìûõ, ëþáûå äâà èç êîòîðûõ íå âçàèìíî ïðîñòû. Â.Ëåöêî M2123. Òåñò ñîñòîèò èç 30 âîïðîñîâ, íà êàæäûé åñòü 2 âàðèàíòà îòâåòà (îäèí âåðíûé, äðóãîé íåò). Çà îäíó ïîïûòêó Âèòÿ îòâå÷àåò íà âñå âîïðîñû, ïîñëå ÷åãî åìó ñîîáùàþò, íà ñêîëüêî âîïðîñîâ îí îòâåòèë âåðíî. Ñìîæåò ëè Âèòÿ äåéñòâîâàòü òàê, ÷òîáû ãàðàíòèðîâàííî óçíàòü âñå âåðíûå îòâåòû íå ïîçæå, ÷åì ïîñëå 24-é ïîïûòêè (è îòâåòèòü âåðíî íà âñå âîïðîñû ïðè 25-é ïîïûòêå)? Â.Êëåïöûí 30.01.09, 12:22 $ ÊÂÀÍT 2009/¹1 Ô2123. Íà ãëàäêîì ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå ëåæàò äâà áëîêà òîíêèå ëåãêèå äèñêè. Îñü îäíîãî èõ íèõ çàêðåïëåíà, òàê ÷òî äâèãàòüñÿ îí íå ìîæåò, íî ìîæåò âðàùàòüñÿ â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè. Êóñîê ëåãêîé íåðàñòÿæèìîé íèòè îõâàòûâàåò áëîêè, ê êîíöàì íèòè ïðèêðåïëåíû îäèíàêîâûå ãðóçû ìàññîé Ì êàæäûé.  íà÷àëüíûé ìîìåíò íèòü íàòÿíóòà, ñâîáîäíûå êóñêè íèòè ïàðàëëåëüíû äðóã äðóãó. Íà îñü «ïîäâèæíîãî» áëîêà Ðèñ. 1 íà÷èíàåò äåéñòâîâàòü ñèëà F (ðèñ.1; âèä ñâåðõó). Íàéäèòå óñêîðåíèå ýòîãî áëîêà, åñëè ïðè äâèæåíèè ñâîáîäíûå êóñêè íèòè îñòàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè. Âî ñêîëüêî ðàç îòëè÷àþòñÿ ñêîðîñòè âðàùåíèÿ áëîêîâ? Íèòü íå ïðîñêàëüçûâàåò îòíîñèòåëüíî áëîêîâ. À.Áëîêîâ äûé è ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì 1 ÌÎì ñîåäèíÿåì «çâåçäîé» è ïîäêëþ÷àåì îäíîâðåìåííî ñâîáîäíûìè Ðèñ. 4 âûâîäàìè ê òî÷êàì À, Á è  (ðåçèñòîð ê òî÷êå Â; ðèñ.4). Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû âûäåëèòñÿ â ðåçèñòîðå çà áîëüøîå âðåìÿ? Ç.Ðàôàèëîâ Ô2124. Ãðóçû ñ ìàññàìè Ì è m ñâÿçàíû î÷åíü ëåãêîé ïðóæèíêîé æåñòêîñòüþ k. Íà ãðóçû íà÷èíàþò äåéñòâîâàòü îäèíàêîâûå ïî âåëè÷èíå è ïðîòèâîïîëîæíûå Ðèñ. 2 ïî íàïðàâëåíèþ ñèëû F (ðèñ.2). Íàéäèòå ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü ãðóçà ìàññîé Ì. Íàéäèòå òàêæå ìàêñèìàëüíîå ñìåùåíèå ãðóçà ìàññîé m.  íà÷àëüíûé ìîìåíò ïðóæèíà íå äåôîðìèðîâàíà, ãðóçû íåïîäâèæíû. À.Ïðîñòîâ Ô2129.  òðåõ âåðøèíàõ êâàäðàòà ñ äëèíîé ñòîðîíû 2 ì ðàñïîëîæåíû îäèíàêîâûå ìà- Ðèñ. 5 ëåíüêèå ãðîìêîãîâîðèòåëè, â ÷åòâåðòîé âåðøèíå íàõîäèòñÿ î÷åíü ìàëåíüêèé âñåíàïðàâëåííûé ìèêðîôîí. Ê ãðîìêîãîâîðèòåëÿì ïîî÷åðåäíî ïîäêëþ÷àþò èñòî÷íèêè ïåðåìåííîãî íàïðÿæåíèÿ ÷àñòîòîé 100 Ãö è ðåãóëèðóþò èõ óðîâíè òàê, ÷òîáû íàïðÿæåíèå íà âûõîäíûõ çàæèìàõ ìèêðîôîíà ñîñòàâëÿëî â êàæäîì ñëó÷àå ðîâíî 1 ìÂ. Êàêîå íàïðÿæåíèå âûäàñò ìèêðîôîí, åñëè âêëþ÷èòü îäíîâðåìåííî äâà ñîñåäíèõ ãðîìêîãîâîðèòåëÿ? À åñëè âêëþ÷èòü âñå òðè ãðîìêîãîâîðèòåëÿ? Ðàññìîòðèòå äâà ðàçíûõ âàðèàíòà: èñïîëüçóþòñÿ íåçàâèñèìûå èñòî÷íèêè íàïðÿæåíèÿ (òðè çâóêîâûõ ãåíåðàòîðà è òðè óñèëèòåëÿ íèçêîé ÷àñòîòû) è èñïîëüçóåòñÿ îäèí ãåíåðàòîð, «ðàçìíîæåííûé» íà òðè óñèëèòåëÿ. À.Çèëüáåðìàí Ô2125. Ìîëü ãåëèÿ ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ íàõîäèòñÿ âíóòðè ýëàñòè÷íîé îáîëî÷êè. Íàðóæíûå óñëîâèÿ èçìåíÿþòñÿ òàê, ÷òî ê íåêîòîðîìó ìîìåíòó ãàç ïîëó÷àåò 100 Äæ òåïëà, à òåìïåðàòóðà ãàçà óâåëè÷èâàåòñÿ ïðè ýòîì íà 10 Ê. Îöåíèòå èçìåíåíèå îáúåìà ãàçà. Ç.Ïîâòîðîâ Ô2126. Íà ðèñóíêå 3 èçîáðàæåíà èçâåñòíàÿ áåñêîíå÷íàÿ öåïî÷êà, ñîñòîÿùàÿ èç ðåçèñòîðîâ ñ îäèíàêîâûìè ñîïðîòèâëåíèÿìè. Âñå çíàþò, êàê ïîñ÷èòàòü Ðèñ. 3 åå ñîïðîòèâëåíèå, èçìåðåííîå ìåæäó òî÷êàìè À è Á. À ÷òî åñëè âçÿòü íå áåñêîíå÷íóþ öåïî÷êó, à öåïî÷êó, ñîñòîÿùóþ ðîâíî èç 50 çâåíüåâ, êàê ïîñ÷èòàòü åå ñîïðîòèâëåíèå? Ïîíÿòíî, ÷òî ñäåëàòü ýòî «â ëîá» òðóäíî, ïðîùå ñ÷èòàòü öåïü áåñêîíå÷íîé Êàêóþ ïîãðåøíîñòü ìû ïðè ýòîì ïîëó÷èì? Ñèëüíî ëè ñîïðîòèâëåíèå óðåçàííîé öåïè îòëè÷àåòñÿ îò ñîïðîòèâëåíèÿ áåñêîíå÷íîé öåïî÷êè? Çàäàäèì êîíêðåòíûé âîïðîñ: ýòè îòëè÷èÿ ìåíüøå ìèëëèîííîé äîëè ïðîöåíòà èëè íàìíîãî áîëüøå? À.Öåïî÷êèí Ô2127. Ïîòåíöèàëû òî÷åê À, Á è  ïîääåðæèâàþòñÿ ïîñòîÿííûìè: ϕ A = 100 B , ϕ Á = 200 B , ϕ B = 500 B . Äâà îäèíàêîâûõ êîíäåíñàòîðà åìêîñòüþ 10 ìÔ êàæ- 25-39.p65 26 Ô2128. Äâå îäèíàêîâûå êàòóøêè ñîåäèíåíû ïîñëåäîâàòåëüíî, ïàðàëëåëüíî îäíîé èç íèõ ïîäêëþ÷åí êîíäåíñàòîð, à ê âûâîäàì öåïè ïîäñîåäèíåíà áàòàðåéêà íàïðÿæåíèåì U (ðèñ.5). Íàéäèòå ìàêñèìàëüíîå íàïðÿæåíèå êîíäåíñàòîðà. Ýëåìåíòû öåïè ñ÷èòàéòå èäåàëüíûìè. Ð.Àëåêñàíäðîâ Ðåøåíèÿ çàäà÷ Ì2096Ì2100, Ô2108Ô2117 M2096. Äåïóòàòû ïàðëàìåíòà îáðàçîâàëè 2008 êîìèññèé, êàæäàÿ íå áîëåå ÷åì èç 10 ÷åëîâåê. Èçâåñòíî, ÷òî ëþáûå 11 êîìèññèé èìåþò îáùåãî ÷ëåíà. Äîêàæèòå, ÷òî âñå êîìèññèè èìåþò îáùåãî ÷ëåíà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî, íàïðîòèâ, äëÿ êàæäîãî äåïóòàòà íàéäåòñÿ êîìèññèÿ, â êîòîðóþ îí íå âõîäèò. Âîçüìåì ïåðâóþ êîìèññèþ A, ñîñòîÿùóþ èç äåïóòàòîâ a1, a2,K , ak , ãäå k £ 10 . Äëÿ êàæäîãî i = 1, 2, ..., k íàéäåì êîìèññèþ Ai , â êîòîðóþ íå âõîäèò äåïóòàò ai . Òîãäà êîìèññèè A, A1, A2,K , Ak íå èìåþò îáùåãî ÷ëåíà, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ. Ô.Ïåòðîâ M2097. Íàéäèòå âñå òàêèå ïðîñòûå ÷èñëà p âèäà a2 + b2 + c2 (ãäå a, b, c íàòóðàëüíûå), ÷òî a 4 + b4 + c4 äåëèòñÿ íà p. Îòâåò: p = 3. Î÷åâèäíî, p = 3 ïîäõîäèò. Ïóñòü a ³ b ³ c è a 4 + b4 + c 4 äåëèòñÿ íà p = = a2 + b2 + c2 . Èìååì ñëåäóþùåå ñðàâíåíèå ïî 30.01.09, 12:22 ÇÀÄÀ×ÍÈÊ ìîäóëþ p: º 2 a b 2 2 2 0º p º a +b +c 2 2 º º º 2 ab + c ab - c mod a + b + c . 2 ab + c ab - c äåëèòñÿ íà p. Òàê êàê 2 2 + b2c2 + c2a2 º 2 a2b2 + c2 -c2 2 2 2 2 2 2 2 Çíà÷èò, 2 2 2 2 p = a + b + c > ab + c > ab - c2 ³ 0 , òî ab - c2 = 0 , ò.å. a = b = c. Ïîëó÷èëè: p = 3a2 äåëèòñÿ íà 3, ïîýòîìó p = 3. Çàìå÷àíèå. Ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî òàêèõ ïðîñòûõ ÷èñåë p = a + b + c, ÷òî a2 + b2 + c2 äåëèòñÿ íà p. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî (ïîäóìàéòå, ïî÷åìó) óñòàíîâèòü, ÷òî ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî ïðîñòûõ ÷èñåë âèäà p = a2 + ab + b2 ( a, b Î N ). Äîêàçàòåëüñòâî ïîñëåäíåãî ôàêòà ñëåäóåò èç çàäà÷ â êíèãå À.Â.Ñïèâàêà «Àðèôìåòèêà-2» (Ïðèëîæåíèå ê æóðíàëó «Êâàíò» ¹ 5 çà 2008 ã., çàäà÷è 42 è 44 íà ñ.34). Â.Ñåíäåðîâ M2098. Äâîå èãðàþò â èãðó, äåëàÿ õîäû ïî î÷åðåäè: ïåðâûé ðèñóåò íà ïëîñêîñòè ìíîãîóãîëüíèê, íå íàëåãàþùèé íà óæå íàðèñîâàííûå, à âòîðîé îòâåòíûì õîäîì ðàñêðàøèâàåò åãî â îäèí èç 2008 öâåòîâ. Âòîðîé èãðîê õî÷åò, ÷òîáû ëþáûå äâà ìíîãîóãîëüíèêà, ãðàíè÷àùèå ïî îòðåçêó ñòîðîíû, èìåëè ðàçíûå öâåòà. Ñìîæåò ëè ïåðâûé èãðîê ïîìåøàòü åìó? Îòâåò: ñìîæåò. Äîêàæåì èíäóêöèåé ïî n, ÷òî ïåðâûé ìîæåò èãðàòü òàê, ÷òî íàðèñîâàííûå èì ìíîãîóãîëüíèêè áóäóò äàâàòü â îáúåäèíåíèè íåêîòîðûé ìíîãîóãîëüíèê Pn , íà ãðàíèöó êîòîðîãî âûõîäÿò ìíîãîóãîëüíèêè íå ìåíåå n öâåòîâ. Îòñþäà áóäåò ñëåäîâàòü, ÷òî íèêàêîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà öâåòîâ íåäîñòàòî÷íî. Áàçà èíäóêöèè î÷åâèäíà. Ïóñòü óòâåðæäåíèå âåðíî äëÿ n = k, äîêàæåì åãî äëÿ n = k + 1. Èç ïðåäïîëîæåíèÿ èíäóêöèè ñëåäóåò, ÷òî ïåðâûé èãðîê ìîæåò èãðàòü òàê, ÷òîáû íàðèñîâàííûå ìíîãîóãîëüíèêè äàâàëè â îáúåäèk 1 2 íåíèè k ìíîãîóãîëüíèêîâ Pk , Pk ,K , Pk , íà ãðàíèöó êàæäîãî èç êîòîðûõ âûõîäÿò ìíîãîóãîëüíèêè íå ìåíåå 1 k öâåòîâ. Íà ãðàíèöå ìíîãîóãîëüíèêà Pk âûäåëèì îòðåçîê ∆1 íåêîòîðîãî öâåòà 1, íà ãðàíèöå ìíîãîóãîëüíèêà Pk2 âûäåëèì îòðåçîê ∆2 íåêîòîðîãî öâåòà 2, k îòëè÷íîãî îò 1, è ò.ä., íà ãðàíèöå ìíîãîóãîëüíèêà Pk âûäåëèì îòðåçîê ∆k íåêîòîðîãî öâåòà k, îòëè÷íîãî îò óæå îïðåäåëåííûõ öâåòîâ 1, 2, ... , k 1. Ïóñòü òåïåðü ïåðâûé íàðèñóåò ìíîãîóãîëüíèê P, ïåðåñåêàþùèéñÿ ñ ìíîãîóãîëüíèêîì Pk ïî ÷àñòè îòðåçêà ∆ i äëÿ âñåõ i = = 1, 2, ..., k (ñì. ðèñóíîê). Âòîðîé èã- «ÊÂÀÍÒÀ» ðîê äîëæåí ðàñêðàñèòü ìíîãîóãîëüíèê P â öâåò, îòëè÷íûé îò öâåòîâ 1, 2, ..., k. Òîãäà íà ãðàíèöó ìíîãîóãîëüíèêà, ÿâëÿþùåãî îáúåäèíåíèåì ìíîãîóãîëüíèêîâ k 1 2 P, Pk , Pk ,K , Pk , âûõîäÿò íå ìåíåå k + 1 öâåòîâ. Ïåðåõîä èíäóêöèè äîêàçàí. Çàìå÷àíèÿ. Ñòðîãîå äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ ìíîãîóãîëüíèêà P èç ðåøåíèÿ çàäà÷è äàëåêî íå ïðîñòî (õîòÿ èíòóèòèâíî âñå î÷åâèäíî), îíî ñëåäóåò èç èçâåñòíîé òîïîëîãè÷åñêîé òåîðåìû Æîðäàíà. Îòìåòèì, ÷òî âîïðîñ, ïîñòàâëåííûé â çàäà÷å, óæå ðàññìàòðèâàëñÿ â «Çàäà÷íèêå «Êâàíòà» äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ïåðâîìó èãðîêó ïîçâîëÿåòñÿ ðèñîâàòü ìíîãîóãîëüíèêè ëèøü ñïåöèàëüíîãî âèäà (ñì. çàäà÷ó Ì1205). Ðåçóëüòàò ýòîé çàäà÷è èíòåðåñíî ñîïîñòàâèòü òàêæå ñî çíàìåíèòîé òåîðåìîé î ÷åòûðåõ êðàñêàõ, ñîãëàñíî êîòîðîé äëÿ ðàñêðàøèâàíèÿ ïðàâèëüíûì îáðàçîì ëþáîé êàðòû íà ïëîñêîñòè äîñòàòî÷íî ëèøü ÷åòûðåõ öâåòîâ. Å.Ãèê, Ï.Êîæåâíèêîâ M2099. Ïóñòü a0 > a1 > K > as = 0 òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü öåëûõ ÷èñåë, ÷òî íàòóðàëüíûå ÷èñëà a0 è a1 âçàèìíî ïðîñòû, à ïðè i ³ 1 ÷èñëî ai +1 ðàâíî îñòàòêó îò äåëåíèÿ ai -1 íà ai ñ íåïîëíûìè ÷àñòíûìè éa ù ti = ê i -1 ú . Ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü b0, b1,K , bs ñ ë ai û ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ bi +1 = bi -1 + tibi , ïîëîæèâ b0 = 0 è b1 = 1 . Äîêàæèòå, ÷òî bs = a0 . Çàìåòèì, ÷òî 1 = ÍÎÄ a0, a1 = ÍÎÄ a1, a2 = K = ÍÎÄ as -1, as = 1. Òàê êàê as = 0 , òî as -1 = ÍÎÄ as -1, as = 1 . Ïîëîæèì di = ai -1bi + aibi -1 , i = 1, 2, ..., s. Èç ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé ai +1 = ai -1 - ti ai è bi +1 = bi -1 + tibi ñëåäóåò, ÷òî di +1 = aibi +1 + ai +1bi = = ai bi -1 + tibi + ai -1 - ti ai bi = ai -1bi + aibi -1 = di . Ïîýòîìó a0 = a0 × b1 + a1 × b0 = d1 = d2 = K = ds = = as -1bs + as bs -1 = bs , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. 27 Â.Áûêîâñêèé M2100.  óãîë ñ âåðøèíîé O âïèñàíû äâå îêðóæíîñòè ω1 è ω2 . Ëó÷ ñ íà÷àëîì O ïåðåñåêàåò ω1 â òî÷êàõ A1 è B1 , à ω2 â òî÷êàõ A2 è B2 òàê, ÷òî OA1 < OB1 < OA2 < OB2 (ðèñ.1). Îêðóæíîñòü γ1 êàñàåòñÿ âíóòðåííèì îáðàçîì îêðóæíîñòè ω1 è êàñà- i 25-39.p65 % Ðèñ. 1 30.01.09, 12:22 & ÊÂÀÍT 2009/¹1 òåëüíûõ ê ω2 , ïðîâåäåííûõ èç A1 . Îêðóæíîñòü γ 2 êàñàåòñÿ âíóòðåííèì îáðàçîì îêðóæíîñòè ω2 è êàñàòåëüíûõ ê ω1 , ïðîâåäåííûõ èç B2 . Äîêàæèòå, ÷òî îêðóæíîñòè γ1 è γ 2 ðàâíû. Ïóñòü ðàäèóñû îêðóæíîñòåé ω1, ω2, γ1 è γ 2 ðàâíû R1, R2, r1 è r2 ñîîòâåòñòâåííî. Èç ãîìîòåòèè h ñ öåíòðîì O, ïåðåâîäÿùåé ω1 â ω2 , ñëåäóåò, ÷òî A2 B2 R2 = . (1) A1B1 R1  ðåøåíèè áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ èçâåñòíîé òåîðåìîé î òðåõ ãîìîòåòèÿõ: êîìïîçèöèÿ ãîìîòåòèé ñ öåíòðàìè O1 è O2 ( O1 ¹ O2 ) è êîýôôèöèåíòàìè k1 è k2 òàêèìè, ÷òî k1k2 ¹ 1 , ÿâëÿåòñÿ ãîìîòåòèåé ñ öåíòðîì â òî÷êå íà ïðÿìîé O1O2 è êîýôôèöèåíòîì k1k2 . Ïóñòü C1 òî÷êà êàñàíèÿ ω1 è γ1 . Òîãäà êîìïîçèöèÿ ãîìîòåòèè ñ öåíòðîì C1 , ïåðåâîäÿùåé γ1 â ω1 , è R ãîìîòåòèè h ýòî ãîìîòåòèÿ h1 ñ êîýôôèöèåíòîì 2 , r1 ïåðåâîäÿùàÿ γ1 â ω2 . Òî÷êà A1 ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì ãîìîòåòèè h1 , è ïî òåîðåìå î òðåõ ãîìîòåòèÿõ òî÷êè C1 , O è A1 ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî C1 = B1 . Êðîìå òîãî, èç ãîìîòåòèè h1 ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå A1B2 R2 = . (2) A1B1 r1 Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî îêðóæíîñòè ω2 è γ 2 êàñàþòñÿ â òî÷êå A2 è ÷òî A1B2 R = 1. (3) A2 B2 r2 Ïîäåëèâ ñîîòíîøåíèå (2) íà ðàâåíñòâà (1) è (3), r ïîëó÷àåì 2 = 1 , ÷òî è òðåáóåòñÿ. r1 Çàìå÷àíèå. Ê äàííîé çàäà÷å ìîæíî ñâåñòè ñëåäóþùóþ èçâåñòíóþ çàäà÷ó îá àðáåëîñå Àðõèìåäà. Çàäà÷à. Ïóñòü îêðóæíîñòè ω1 è ω2 êàñàþòñÿ îêðóæíîñòè ω âíóòðåííèì îáðàçîì â äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûõ òî÷êàõ A è B è êàñàþòñÿ äðóã äðóãà âíåøíèì îáðàçîì â òî÷êå C (ðèñ.2). Ïóñòü ïåðïåíäèêóëÿð ê AB, ïðîâåäåííûé ÷åðåç C, ïåðåñåêàåò ω â òî÷êå D. Òîãäà îêðóæíîñòè δ1 è δ2 , âïèñàííûå â êðèâîëèíåéíûå òðåóãîëüíèêè ACD è BCD, ðàâíû. Ðåøåíèå. Ïóñòü δ1 êàñàåòñÿ îêðóæíîñòè Ðèñ. 2 ω1 è ïðÿìîé CD â òî÷êàõ K è L (ðèñ. 3). Òîãäà, êàê èçâåñòíî (ñì., íàïðèìåð, çàäà÷ó Ì438 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà»), ïðÿìàÿ BK ÿâëÿåòñÿ îáùåé êàñàòåëüíîé ê ω1 è δ1 . Ïóñòü BK ïåðåñåêàåò CD â òî÷êå M. Âïèøåì â óãîë BMC îêðóæíîñòü γ 2 , êàñàþùóþñÿ MC â òî÷êå C. Èç ðàâåíñòâà êàñàòåëüíûõ MC = MK âûòåêàåò, ÷òî îêðóæíîñòè δ1 è γ 2 , âïèñàííûå â âåðòèêàëüíûå óãëû KML è BMC, ðàâíû. Èç ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî äèàìåòðà AB ñëå- 25-39.p65 28 äóåò, ÷òî γ 2 êàñàåòñÿ êàñàòåëüíûõ ê ω1 , ïðîâåäåííûõ èç B. Àíàëîãè÷íî, îêðóæíîñòü γ1 , êîòîðàÿ êàñàåòñÿ âíóòðåííèì îáðàçîì ω1 è êàñàòåëüíûõ ê ω2 , ïðîâåäåííûõ èç A, ðàâíà îêðóæíîñòè δ2 . Íî èç çàäà÷è Ì2100 ñëåäóåò ðàâåíñòâî îêðóæíîñòåé γ1 è γ 2 . Ðèñ. 3 Ï.Êîæåâíèêîâ Ô2108. Âäîëü îñè Õ äâèæåòñÿ òî÷êà.  ïðåäåëàõ çàäàííîé äèñòàíöèè ñêîðîñòü òî÷êè îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà ðàññòîÿíèþ îò íåå äî íà÷àëà êîîðäèíàò. Âî ñêîëüêî ðàç áîëüøå âðåìåíè îíà òðàòèò íà ïðîõîæäåíèå âòîðîé äèñòàíöèè ïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðâîé? Äâèæåíèå òî÷êè íå ðàâíîóñêîðåííîå, ãîòîâûõ ôîðìóë òóò íåò. Íî ìîæíî ðåøèòü çàäà÷ó ñîâñåì ïðîñòî. Ïîñòðîèì ãðàôèê çàâèñèìîñòè âåëè÷èíû 1 v (îáðàòíîé ñêîðîñòè) îò êîîðäèíàòû x ïîëó÷èòñÿ ïðÿìàÿ. Ïëîùàäü ïîä ýòîé ïðÿìîé, òî÷íåå ïîä ó÷àñòêîì ãðàôèêà ìåæäó êîîðäèíàòàìè x1 è x2 , åñòü âðåìÿ äâèæåíèÿ îò x1 äî x2 . Ýòî ëåãêî äîêàçàòü, íî äîñòàòî÷íî ïðîñòî è ñîîáðàçèòü. Ïîëó÷àåòñÿ îòíîøåíèå íóæíûõ íàì ïëîùàäåé 3:1. Èòàê, âðåìÿ ïðîõîæäåíèÿ âòîðîé ïîëîâèíû äèñòàíöèè âòðîå áîëüøå, ÷åì ïåðâîé. À.Ïðîñòîâ Ô2109.  ñèñòåìå, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå, áîëüøîé ãðóç âäâîå òÿæåëåå ìàëîãî. Áëîêè îäèíàêîâûå, î÷åíü ëåãêèå. Íèòè íåðàñòÿæèìûå, ìàññû íèòåé ïðåíåáðåæèìî ìàëû, ñâîáîäíûå êóñêè íèòåé âåðòèêàëüíû. Íàéäèòå óñêîðåíèå áîëüøîãî ãðóçà. Îáîçíà÷èì íàòÿæåíèå âåðõíåé íèòè Ò. Òîãäà íà íèæíèé ãðóç ìàññîé 2Ì äåéñòâóåò ñèëà íàòÿæåíèÿ 4Ò. Ìàëûå ïîäâèæíûå áëîêè èìåþò îäèíàêîâûå óñêîðåíèÿ áëîêè îäèíàêîâûå, ñèëû îäèíàêîâûå (âïðî÷åì, ìîæíî ñ÷èòàòü èõ óñêîðåíèÿ è íå îäèíàêîâûìè, ðåøåíèå áóäåò áîëåå ãðîìîçäêèì, íî îòâåò íå èçìåíèòñÿ). Åñëè îáîçíà÷èòü ýòè óñêîðåíèÿ áóêâîé à, òî óñêîðåíèå íèæíåãî ãðóçà òîæå áóäåò ðàâíî à, à óñêîðåíèå âåðõíåãî ãðóçà ìàññîé Ì ñîñòàâèò 4à è áóäåò íàïðàâëåíî ââåðõ. Ìîæåò áûòü, ïðè ðåøåíèè óñêîðåíèå ïîëó÷èòñÿ îòðèöàòåëüíûì òàì áóäåò âèäíî... Òåïåðü çàïèøåì óðàâíåíèÿ äèíàìèêè äëÿ îáîèõ ãðóçîâ: T - M × g = M × 4a , 2M × g - 4T = 2M × a . 30.01.09, 12:23 ÇÀÄÀ×ÍÈÊ Ðåøàÿ ýòó ïðîñòóþ ñèñòåìó, ïîëó÷èì g a=- . 9 È â ñàìîì äåëå óñêîðåíèå îòðèöàòåëüíîå. Èòàê, óñêîðåíèå áîëüøîãî ãðóçà íàïðàâëåíî ââåðõ è ñîñòàâëÿåò ïî âåëè÷èíå g/9. À.Ïîâòîðîâ Ô2110. ßìà èìååò ïîëóñôåðè÷åñêóþ ôîðìó, åå ðàäèóñ R = 1 ì, ñòåíêè ãëàäêèå. Íà óðîâíå ãîðèçîíòàëüíîãî äèàìåòðà ïðèêëååíî î÷åíü ìàëåíüêîå òåëî. Îíî îòêëåèâàåòñÿ è íà÷èíàåò ñêîëüçèòü âíèç áåç íà÷àëüíîé ñêîðîñòè. Âíèçó íåáîëüøîé êóñî÷åê ïîâåðõíîñòè øåðîõîâàòûé, êîýôôèöèåíò òðåíèÿ òàì µ = 0,1 , øåðîõîâàòûé êóñî÷åê èìååò ôîðìó êðóãà, åãî ðàäèóñ r = 1 ñì, öåíòð êðóãà íàõîäèòñÿ îêîëî ñàìîé íèæíåé òî÷êè ïîâåðõíîñòè ÿìû. Êàêàÿ ÷àñòü íà÷àëüíîé ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè òåëà âûäåëèòñÿ ïðè ïåðâîì ïðåîäîëåíèè øåðîõîâàòîãî êóñî÷êà? Ñêîðîñòü òåëà ïåðåä øåðîõîâàòûì êóñî÷êîì âíèçó îí ñîâñåì ìàë, ïîýòîìó ðàçíîñòü âûñîò ïðèìåì ðàâíîé ðàäèóñó ñôåðû R ðàâíà v = 2gR . Òîãäà ñèëà íîðìàëüíîé ðåàêöèè ñîñòàâëÿåò mv2 = 3mg . N = mg + R Ñèëà òðåíèÿ ïðàêòè÷åñêè ïîñòîÿííà: Fòð = µN = µ × 3mg , è ïîòåðè ýíåðãèè ðàâíû ∆W = Fòð × 2r = 6µmgr . Äîëÿ ïîòåðü ñîñòàâëÿåò ∆W 6µmgr δ= = = 0,6% . W mgR Ïðèáëèæåíèÿ îïðàâäàíû. Ð.Òåïëîâ Ô2111.  ñîñóäå íàõîäèòñÿ ñìåñü îäèíàêîâûõ ìàññ êðèïòîíà è ãåëèÿ ïðè äàâëåíèè 1 àòì è òåìïåðàòóðå 300 Ê. Ïðîñëåäèì çà îäíèì àòîìîì êðèïòîíà. Îöåíèòå ÷èñëî åãî ñîóäàðåíèé ñ äðóãèìè ÷àñòèöàìè çà 1 ÷àñ. Àòîìû êðèïòîíà íàìíîãî òÿæåëåå àòîìîâ ãåëèÿ, ïîýòîìó ïðè ðàñ÷åòå óäàðîâ ìîæíî ó÷èòûâàòü òîëüêî ñîóäàðåíèÿ àòîìîâ êðèïòîíà ñ àòîìàìè ãåëèÿ. (Óäàðû àòîìîâ êðèïòîíà î ñòåíêè è äðóã î äðóãà ïðîèñõîäÿò ãîðàçäî ðåæå, ìû èõ ïðîñòî íå áóäåì ó÷èòûâàòü â ðàìêàõ î÷åíü ïðèáëèæåííîé ìîäåëè ñîóäàðåíèé ÷àñòèö ýòî âïîëíå äîïóñòèìî.) Èòàê, ìû äîëæíû ïîñ÷èòàòü óäàðû òÿæåëûõ ÷àñòèö î ëåãêèå, îäíàêî íàìíîãî ïîíÿòíåå, êàê ïîñ÷èòàòü ÷èñëî óäàðîâ ëåãêèõ ÷àñòèö î òÿæåëûå (ýòî òå æå ñàìûå óäàðû!). Ïðè ðàñ÷åòå áóäåì ñ÷èòàòü òÿæåëûå ÷àñòèöû íåïîäâèæíûìè òîãäà íóæíî ïðîñòî íàéòè áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ýòîé (òÿæåëîé) ÷àñòèöû è ñ÷èòàòü óäàðû òàê æå, êàê ñ÷èòàþò óäàðû î ñòåíêè ñîñóäà. Ïðèìåì äèàìåòð àòîìà êðèïòîíà ðàâíûì 0,6 íì, äèàìåòð àòîìà ãåëèÿ 0,2 íì (ýòè äàííûå ëåãêî íàéòè â ñïðàâî÷íèêàõ, ìîæíî ïîèñêàòü èõ â Èíòåðíåòå ÿ òàì èõ íàøåë çà 3 ìèíóòû).  òàêîì ñëó÷àå ïëîùàäü 25-39.p65 29 ' «ÊÂÀÍÒÀ» ïîâåðõíîñòè îäíîãî àòîìà êðèïòîíà ïðèìåðíî ðàâíà S = 1 × 10 -18 ì2 .  çàäà÷å íå çàäàí îáúåì ñîñóäà ýòî, ìîæåò áûòü, îøèáêà, âåäü ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì èíòåðâàëå âðåìåíè (à 1 ÷àñ ýòî áîëüøîé èíòåðâàë, çà ýòî âðåìÿ àòîìû óñïåþò ìíîãîêðàòíî ïîáûâàòü âî âñåõ ìåñòàõ ñîñóäà, à íå òîëüêî â êàêîé-òî ìàëîé åãî ÷àñòè, îïðåäåëÿåìîé ñêîðîñòÿìè ÷àñòèö è äëèíîé ñâîáîäíîãî ïðîáåãà) îáúåì ñîñóäà íàì ìîæåò ïîíàäîáèòüñÿ. Çàäàäèì îáúåì ñîñóäà ñàìîñòîÿòåëüíî âîçüìåì, ñêàæåì, 1 ë. Êîëè÷åñòâî ÷àñòèö â ñîñóäå íàéäåì îáû÷íûì ñïîñîáîì: N = NA pV RT = 2, 4 × 1022 , ïðè ýòîì êîíöåíòðàöèÿ ÷àñòèö ïîëó÷èòñÿ n = 2, 4 × 1025 1 ì3 . Ïðè ðàâíûõ ìàññàõ ãàçîâ íà äîëþ òÿæåëîãî êðèïòîíà ïðèõîäèòñÿ ïðèìåðíî 1/22 îáùåãî êîëè÷åñòâà àòîìîâ, ò.å. ïðèìåì ÷èñëî àòîìîâ êðèïòîíà ðàâíûì 1 × 1021 . Òåïåðü ïîäñ÷èòàåì (î÷åíü ïðèáëèçèòåëüíî!) ÷èñëî óäàðîâ: Nóä = 0, 5nSvx τ = -18 25 2 14 = 0, 5 × 2, 4 × 10 × 1 × 10 × 8 × 10 × 3600 = 3,5 × 10 , ãäå vx = 8 × 102 ì ñ ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïðîåêöèÿ ñêîðîñòè äëÿ àòîìîâ ãåëèÿ ïðè ýòîé òåìïåðàòóðå. Ïðîâåðèì à íóæíî ëè áûëî çàäàâàòü îáúåì ñîñóäà? Ìîæíî ïðîâåñòè ðàñ÷åò äëÿ ñîñóäà ïîáîëüøå, íàïðèìåð äëÿ 1000 ë, ïîëó÷èòñÿ ïðàêòè÷åñêè òî æå ÷èñëî óäàðîâ! Ïðîâåðèì òåïåðü ôîðìóëû îáúåì ñîñóäà òàì ñîêðàùàåòñÿ: p RT Nóä = 0, 5 S τ kT Μ (çäåñü Μ ìîëÿðíàÿ ìàññà ãåëèÿ). Äåéñòâèòåëüíî, â ýòó ôîðìóëó îáúåì ñîñóäà íå âõîäèò. Ìîæíî áûëî è ñðàçó äîãàäàòüñÿ íàïèñàòü îáùóþ ôîðìóëó è óâèäåòü âñå, à ìîæíî áûëî âîò òàê ìåòîäîì ïðîá è áåç îøèáîê. Ç.Ðàôàèëîâ Ô2112. Äàâëåíèå ðàçðåæåííîãî ãàçà â ñîñóäå óáûâàåò îò 1 àòì äî 0,2 àòì ïðè óâåëè÷åíèè îáúåìà îò 2 ë äî 20 ë, ïðè ýòîì çàâèñèìîñòü äàâëåíèÿ îò îáúåìà ëèíåéíàÿ. Íàéäèòå ìàêñèìàëüíóþ òåìïåðàòóðó ãàçà â ýòîì ïðîöåññå. Ìèíèìàëüíàÿ òåìïåðàòóðà ãàçà â ïðîöåññå 200 Ê. ßñíî, ÷òî ìèíèìàëüíàÿ òåìïåðàòóðà ïîëó÷èòñÿ íà îäíîì èç êîíöîâ îòðåçêà ïðÿìîé, êîòîðûé èçîáðàæàåò ïðîöåññ íà pV-äèàãðàììå. Ñðàâíèâàÿ ïðîèçâåäåíèÿ pV, íàéäåì, ÷òî ìèíèìàëüíàÿ òåìïåðàòóðà ñîîòâåòñòâóåò äàâëåíèþ 1 àòì è îáúåìó 2 ë. Ìîæíî áðàòü ýòè âåëè÷èíû â ëþáûõ åäèíèöàõ, ìû áóäåì òîëüêî ñðàâíèâàòü ýòè ïðîèçâåäåíèÿ. Èòàê, òåìïåðàòóðà 200 Ê ñîîòâåòñòâóåò ïðîèçâåäåíèþ 2 àòì × ë . Ïðîäîëæèì îòðåçîê äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ îñÿìè äèàãðàììû ïîëó÷èì äàâëåíèå 49/45 àòì ïðè íóëåâîì îáúåìå è îáúåì 49/2 ë ïðè íóëåâîì äàâëåíèè. Ìàêñèìàëüíàÿ òåìïåðàòóðà ñîîòâåòñòâóåò ñåðåäèíå ýòîãî ðàñøèðåííîãî îòðåçêà: 49 × 49 × 200 Tmax 49 9049 4 , è Tmax = Ê » 667 Ê . = 90 × 4 × 2 Tmin 2 À.Ïîâòîðîâ 30.01.09, 12:23 ! ÊÂÀÍT 2009/¹1 Ô2113. Âîëüòìåòð è ìèëëèàìïåðìåòð ñîåäèíåíû ïîñëåäîâàòåëüíî è ïîäêëþ÷åíû ê áàòàðåéêå, ïðè ýòîì ïðèáîðû ïîêàçûâàþò 6,1  è 1 ìÀ. Ïàðàëëåëüíî ìèëëèàìïåðìåòðó ïîäêëþ÷àþò âòîðîé âîëüòìåòð ïîêàçàíèÿ ïåðâîãî âîëüòìåòðà óâåëè÷èâàþòñÿ äî 6,3 Â, à âòîðîé âîëüòìåòð (îí òîãî æå òèïà, ÷òî è ïåðâûé) ïîêàçûâàþò 0,4 Â. Êàêîé òîê òåïåðü òå÷åò ÷åðåç ìèëëèàìïåðìåòð? Áàòàðåéêó ìîæíî ñ÷èòàòü èäåàëüíîé. Òîê ÷åðåç âîëüòìåòð ïðîïîðöèîíàëåí íàïðÿæåíèþ, êîòîðîå îí ïîêàçûâàåò. Ïðè íàïðÿæåíèè 6,1  òîê ÷åðåç ïåðâûé âîëüòìåòð áûë ðàâåí 1 ìÀ, òîãäà äëÿ èñêîìîãî òîêà ìîæíî çàïèñàòü I = 1 ìÀ 6,3 B 0,4  - 1 ìÀ » 0,97 ìÀ . 6,1 B 6,1  Ð.Àëåêñàíäðîâ Ô2114.  ñõåìå, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå, òðè êîíäåíñàòîðà îäèíàêîâûå è èìåþò åìêîñòü Ñ êàæäûé, à îäèí èìååò âòðîå áîëüøóþ åìêîñòü. Ìåæäó òî÷êàìè À è Á âêëþ÷àþò êàòóøêó èíäóêòèâíîñòüþ L. Íàéäèòå ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ñèëû òîêà ÷åðåç êàòóøêó. Áàòàðåéêà èìååò íàïðÿæåíèå U. Ïóñòü, äëÿ îïðåäåëåííîñòè, êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ 3Ñ íàõîäèòñÿ âíèçó ñïðàâà. Ýíåðãèþ êîíäåíñàòîðîâ äî ïîäêëþ÷åíèÿ êàòóøêè ëåãêî íàéòè: îáùàÿ åìêîñòü ñèñòåìû C1 = 5C 4 è ýíåðãèÿ W1 = C1U 2 5 = CU 2 . 2 8 Ïîñëå ïîäêëþ÷åíèÿ êàòóøêè ïî íåé íà÷èíàåò òå÷ü òîê, çàðÿäû êîíäåíñàòîðîâ ìåíÿþòñÿ, òîê òå÷åò è ÷åðåç áàòàðåéêó â áàëàíñå ýíåðãèé íóæíî ó÷èòûâàòü è åå ðàáîòó. Ïðè ìàêñèìàëüíîì òîêå ÷åðåç êàòóøêó ÝÄÑ èíäóêöèè íóëåâàÿ, íèæíèå êîíäåíñàòîðû ñîåäèíåíû ïàðàëëåëüíî, âåðõíèå òîæå. Ïîëíàÿ åìêîñòü ïðè ýòîì C2 = 4C 3 , ýíåðãèÿ êîíäåíñàòîðîâ 2 2 C2U = CU 2 . 2 3 Áàòàðåéêà «ïðîòîëêíóëà» äîïîëíèòåëüíûé çàðÿä q = C2 - C1 U = CU 12 è ñîâåðøèëà ðàáîòó 1 A = qU = CU 2 . 12 Ìàêñèìàëüíûé òîê êàòóøêè íàéäåì èç áàëàíñà ýíåðãèé: 1 LI2 U C = A - W2 - W1 = CU 2 , è I = . 2 24 2 3L À.Ìîñòèêîâ W2 = Ô2115. Êàòóøêà èíäóêòèâíîñòüþ L = 2 Ãí è ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì R = 100 Îì ñîåäèíåíû ïàðàëëåëüíî.  íåêîòîðûé ìîìåíò ê ýòîé öåïî÷êå ïîäêëþ÷àþò èñòî÷íèê ïîñòîÿííîãî òîêà ñèëîé I0 = 3 A («èñòî÷íèê ïîñòîÿííîãî òîêà» ñîçäàåò â íàãðóçêå 25-39.p65 30 ïîñòîÿííûé ïî âåëè÷èíå òîê, íå çàâèñÿùèé îò ñâîéñòâ íàãðóçêè). Íàéäèòå êîëè÷åñòâî òåïëîòû, êîòîðîå âûäåëèòñÿ â ðåçèñòîðå çà áîëüøîå âðåìÿ. Ñðàçó ïîñëå ïîäêëþ÷åíèÿ èñòî÷íèêà òîê ÷åðåç êàòóøêó íå òå÷åò, âåñü òîê I0 ïðîòåêàåò ÷åðåç ðåçèñòîð. Çàòåì òîê ÷åðåç êàòóøêó ïîíåìíîãó óâåëè÷èâàåòñÿ, ñïóñòÿ î÷åíü áîëüøîå âðåìÿ ïîñëå ïîäêëþ÷åíèÿ òîê ÷åðåç ðåçèñòîð ñòàíåò ïðåíåáðåæèìî ìàëûì, à òîê ÷åðåç êàòóøêó ïðàêòè÷åñêè äîñòèãíåò âåëè÷èíû I0 . Îáîçíà÷èì òîê ÷åðåç ðåçèñòîð I ýòî ôóíêöèÿ âðåìåíè, òîãäà òîê ÷åðåç êàòóøêó IL = I0 - I . Íàïðÿæåíèå ðåçèñòîðà ðàâíî âåëè÷èíå ÝÄÑ èíäóêöèè: ∆I - L L = RI , èëè L∆I = RI∆t . ∆t Óìíîæèì îáå ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ íà âåëè÷èíó I ìû õîòèì ïîëó÷èòü â ïðàâîé ÷àñòè êîëè÷åñòâî òåïëîòû, âûäåëèâøååñÿ â ðåçèñòîðå çà ìàëûé èíòåðâàë âðåìåíè ∆t .  ëåâîé ÷àñòè ïîëó÷àåòñÿ âûðàæåíèå, êîòîðîå ëåãêî ïðåîáðàçîâàòü (ó÷èòûâàÿ ìàëîñòü ∆t ): æ I2 ö LI∆I = L∆ ç ÷ . è 2ø Ñóììèðóÿ ïîëó÷åííûå ñëåâà è ñïðàâà ìàëûå «äîëüêè», ïîëó÷èì â ëåâîé ÷àñòè ïðîèçâåäåíèå èíäóêòèâíîñòè íà ðàçíîñòü êâàäðàòîâ òîêîâ ÷åðåç êàòóøêó â êîíöå è â íà÷àëå ïðîöåññà, à â ïðàâîé ÷àñòè ñóììàðíîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q, âûäåëèâøååñÿ â ðåçèñòîðå. Òîãäà îêîí÷àòåëüíî LI02 = 9 Äæ . Q= 2 Ç.Êàòóøêèí Ô2116. Âäîëü ïðÿìîãî ó÷àñòêà äîðîãè ñòîÿò ëþäè îíè âñòðå÷àþò äîðîãîãî ãîñòÿ èç äàëåêîé ñòðàíû. Èíòåðâàë ìåæäó âñòðå÷àþùèìè ñîñòàâëÿåò 0,5 ì. Îäèí èç âñòðå÷àþùèõ äåëàåò øàã â ñòîðîíó è òóò æå âîçâðàùàåòñÿ íà ìåñòî. ×åðåç 2 ñ òî æå ñàìîå äåëàåò åãî ñîñåä ñïðàâà, è òàê äàëåå. Ñ áîëüøîé âûñîòû êàæåòñÿ, ÷òî âäîëü øåðåíãè áåæèò âîëíà. Îïðåäåëèòå ñêîðîñòü ýòîé âîëíû è åå äëèíó. Ôðîíò ýòîé âîëíû ïðîõîäèò ðàññòîÿíèå 0,5 ì çà 2 ñ ñêîðîñòü âîëíû ïîëó÷àåòñÿ 0,25 ì/ñ. À âîò äëèíó âîëíû íàéòè íå ïîëó÷èòñÿ êîëåáàíèÿ â ýòîé âîëíå íå ãàðìîíè÷åñêèå. Ìîæíî èõ ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû ãàðìîíè÷åñêèõ âîëí ðàçíûõ äëèí «ãàðìîíèê». Äëèíà ñàìîé äëèííîâîëíîâîé ãàðìîíèêè îêàæåòñÿ ðàâíîé ðàññòîÿíèþ ìåæäó ñîñåäÿìè â ðÿäó, ò.å. 0,5 ì. À.Ãîñòåâ Ô2117. Äî ñèõ ïîð ëþáèòåëè âûñîêîêà÷åñòâåííîãî çâó÷àíèÿ èñïîëüçóþò óñèëèòåëè çâóêîâîé ÷àñòîòû íà ýëåêòðîííûõ ëàìïàõ îíè óâåðåíû, ÷òî êà÷åñòâî çâó÷àíèÿ ìóçûêè â ýòîì ñëó÷àå íàìíîãî ëó÷øå, ÷åì ïðè èñïîëüçîâàíèè òðàíçèñòîðîâ (àâòîð çàäà÷è íå ðàçäåëÿåò èõ óâåðåííîñòè). Ðàññìîòðèì ïðàêòè÷åñêèé ñëó÷àé: ãðîìêîãîâîðèòåëü èìååò ñîïðîòèâëåíèå 4 Îì è äëÿ åãî ïîäêëþ÷åíèÿ ê óñèëèòåëþ òðåáóåòñÿ ïîíèæàþùèé òðàíñôîðìàòîð. Âûõîäíîé êàñêàä óñèëèòåëÿ íèçêîé ÷àñòîòû (ÓÍ×) ñîäåðæèò îäíó ìîùíóþ ýëåêòðîííóþ ëàìïó åå àíîäíûé òîê ìîæåò 30.01.09, 12:23 ÇÀÄÀ×ÍÈÊ áûòü â ïðåäåëàõ îò 20 äî 100 ìÀ, íàïðÿæåíèå íà àíîäå ýòîé ëàìïû ïðè òàêèõ èçìåíåíèÿõ àíîäíîãî òîêà äîëæíî íàõîäèòüñÿ â ïðåäåëàõ îò 40 äî 300 Â. Êàêàÿ «âûõîäíàÿ ìîùíîñòü» ìîæåò áûòü ó òàêîãî óñèëèòåëÿ? Êàêîâ äîëæåí áûòü êîýôôèöèåíò òðàíñôîðìàöèè ó âûõîäíîãî òðàíñôîðìàòîðà äëÿ ïîëó÷åíèÿ ýòîé ìîùíîñòè? Åñëè ïîäêëþ÷èòü ãðîìêîãîâîðèòåëü ïðÿìî â àíîäíóþ öåïü, òî çâóêîâàÿ ìîùíîñòü ïîëó÷èòñÿ ñîâñåì ìàëîé. Åñëè, êàê îáû÷íî äåëàåòñÿ, îöåíèâàòü ýòó ìîùíîñòü íà ãàðìîíè÷åñêîì, ñèíóñîèäàëüíîì ñèãíàëå íà âõîä óñèëèòåëÿ îò ãåíåðàòîðà íèçêîé ÷àñòîòû ïîäàåòñÿ ñèíóñîèäàëüíûé ñèãíàë (êàê ïðàâèëî, èñïîëüçóþò ñèãíàë ñ ÷àñòîòîé 1000 Ãö âïðî÷åì, ýòî íå ïðèíöèïèàëüíî). Äëÿ òîãî ÷òîáû èñêàæåíèÿ óñèëèâàåìîãî ñèãíàëà íå áûëè íåäîïóñòèìî áîëüøèìè, óäâîåííàÿ àìïëèòóäà òîêà â àíîäíîé öåïè äîëæíà óêëàäûâàòüñÿ â äèàïàçîí òîêîâ 20 100 ìÀ (ïðè ñîïðîòèâëåíèè ãðîìêîãîâîðèòåëÿ 4 Îì â äèàïàçîí äîïóñòèìûõ íàïðÿæåíèé ìû çàâåäîìî óêëàäûâàåìñÿ), ò.å. àìïëèòóäà òîêà ÷åðåç ãðîìêîãîâîðèòåëü íå äîëæíà ïðåâûøàòü ïðèìåðíî Èíòåðâüþ ñ À.Êóçíåöîâûì (Íà÷àëî ñì. íà ñ. 24) èäòè äîìîé èç øêîëû, êîãäà ïðèáåæàë ìîé îäíîêëàññíèê, êîòîðûé ñêàçàë, ÷òî çàâòðà áóäåò ðàéîííàÿ îëèìïèàäà ïî ìàòåìàòèêå è ÷òî ìíå òóäà îáÿçàòåëüíî íàäî ïîéòè. Êîíå÷íî, ìîæåò áûòü, è áåç ýòîãî ìíå êòî-íèáóäü ïîçâîíèë áû è ñîîáùèë ýòó èíôîðìàöèþ, íî ìîæåò è íåò. Íà ðàéîííîé îëèìïèàäå ÿ çàíÿë âòîðîå ìåñòî, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èë ïðèãëàøåíèå íà âñòóïèòåëüíûå ýêçàìåíû â 57-þ øêîëó. Ýêçàìåíû ÿ óñïåøíî ñäàë è ïîñòóïèë â 8 êëàññ. Ýòà øêîëà ìíîãîå ìíå äàëà. Âî-ïåðâûõ, çíàíèÿ, êîòîðûå ìíå î÷åíü ïîìîãëè íàïðèìåð, çà ýòî âðåìÿ ìû óñïåëè ïðîéòè ïî÷òè ïîëíûé êóðñ ïåðâîãî ãîäà îáó÷åíèÿ íà ìåõìàòå (è åùå ÷àñòü âòîðîãî), ÷òî â äàëüíåéøåì ïîçâîëèëî íà ïåðâîì êóðñå èçó÷àòü áîëåå ïðîäâèíóòûå âåùè. Âî-âòîðûõ, ÿ ïîçíàêîìèëñÿ ñî ìíîãèìè ñâåðñòíèêàìè, ðàçäåëÿþùèìè ìîå óâëå÷åíèå ìàòåìàòèêîé, à âìåñòå ó÷èòüñÿ âñåãäà ëåã÷å. Â-òðåòüèõ, ÿ óâèäåë ìíîãî çàìå÷àòåëüíûõ ëþäåé ñðåäè ó÷èòåëåé, êîòîðûå ñòàëè äëÿ ìåíÿ ïðèìåðîì â äàëüíåéøåì (îñîáåííî çäåñü ìíå õîòåëîñü áû îòìåòèòü ìîåãî ó÷èòåëÿ ìàòåìàòèêè Ðàôàèëà Êàëìàíîâè÷à Ãîðäèíà). Ñëåäóþùåå âàæíîå ñîáûòèå ïðîèçîøëî òàê. Âî âðåìÿ ó÷åáû â ñòàðøèõ êëàññàõ ÿ èñïðàâíî õîäèë íà îëèìïèàäû (ìàòåìàòè÷åñêèå è ôèçè÷åñêèå). Î÷åíü áîëüøèõ óñïåõîâ ó ìåíÿ òàì íå áûëî (ìàêñèìàëüíîå äîñòèæåíèå òðåòüå ìåñòî íà ãîðîäñêîé îëèìïèàäå), íî îáùèé óðîâåíü, âèäèìî, áûë äîñòàòî÷íî íåïëîõèì. Ïîýòîìó ëåòîì ïîñëå îêîí÷àíèÿ øêîëû è ïîñëå âñòóïèòåëüíûõ ýêçàìåíîâ â óíèâåðñèòåò ìåíÿ ïðèãëàñèëè â ëåòíèé ëàãåðü Òóðíèðà ãîðîäîâ. Ëåòíèé ëàãåðü ýòî çàìå÷àòåëüíîå ìåðîïðèÿòèå, ïðèäóìàííîå (êàê è ñàì Òóðíèð ãîðîäîâ) Íèêîëàåì Íèêîëàåâè÷åì Êîíñòàíòèíîâûì. Òóäà ïðèãëàøàþòñÿ øêîëüíèêè-ñòàðøåêëàññíèêè, õîðîøî âûñòóïàþùèå â îëèìïèàäàõ, à òàêæå ñòóäåíòû-ìëàäøåêóðñíèêè, õîðîøî âûñòóïàâøèå íà îëèìïèàäàõ â íåäàâíåì ïðîøëîì. Øêîëüíèêàì ïðåäëàãàþòñÿ çàäà÷è, êîòîðûå îíè ðåøàþò ïîä ðóêîâîäñòâîì ñòóäåíòîâ.  ýòîì ëàãåðå ÿ ïîçíàêîìèëñÿ ñ íåñêîëüêèìè âòîðîêóðñíèêàìè, êîòîðûå ìíå â äàëüíåéøåì î÷åíü ïîìîãëè. Èãîðü Ïàê è Ñàøà Ïîñòíèêîâ ñòàëè ìîèìè ïåðâûìè ñîàâòîðàìè, à ñòàòüÿ, êîòîðóþ ìû ñ 25-39.p65 31 ! «ÊÂÀÍÒÀ» 28 ìÀ. Ýòî äàåò «âûõîäíóþ» ìîùíîñòü 2 P = 0, 5 × 0,028 × 4 Âò = 1,6 × 10 -3 Âò . Ìàëîñòü ýòîé âåëè÷èíû ñâÿçàíà ñ òåì, ÷òî ìû íå èñïîëüçóåì âîçìîæíîãî «ðàçìàõà íàïðÿæåíèÿ». Âêëþ÷èì ãðîìêîãîâîðèòåëü ÷åðåç ïîíèæàþùèé òðàíñôîðìàòîð ñ îòíîøåíèåì ÷èñëà âèòêîâ ïåðâè÷íîé îáìîòêè ê ÷èñëó âèòêîâ âòîðè÷íîé îáìîòêè n.  ýòîì ñëó÷àå íàïðÿæåíèå íà ãðîìêîãîâîðèòåëå óìåíüøèòñÿ â n ðàç, à òîê âîçðàñòåò âî ñòîëüêî æå ðàç ïî ñðàâíåíèþ ñ âåëè÷èíàìè â àíîäíîé öåïè. Äëÿ óäâîåííûõ ìàêñèìàëüíûõ àìïëèòóä òîêà è íàïðÿæåíèÿ ïîëó÷èì ïðîñòîå ñîîòíîøåíèå, îòêóäà íàéäåì n: 260 260 80 × 10 -3 × n = , n2 = = 3250 , n = 57. n 80 × 10 -3 Èìåííî òàêèì äîëæåí áûòü êîýôôèöèåíò òðàíñôîðìàöèè ó âûõîäíîãî òðàíñôîðìàòîðà.  ýòîì ñëó÷àå âûõîäíàÿ ìîùíîñòü ïîëó÷èòñÿ P¢ = 80 × 10 -3 × 260 Âò = 1,3 Âò . 16 À.Çèëüáåðìàí íèìè ÷åðåç äâà ãîäà íàïèñàëè, áûëà ðàçâèòèåì çàäà÷è, êîòîðóþ ÿ ðåøàë â ýòîì ëàãåðå. À Ñåðåæà Àðõèïîâ î÷åíü ìíå ïîìîã â äàëüíåéøåì îáó÷åíèè è â âûáîðå íàó÷íîãî ðóêîâîäèòåëÿ.  ÷àñòíîñòè, îí ìíå ïîñîâåòîâàë õîäèòü íà ñåìèíàð Èçðàèëÿ Ìîèñååâè÷à Ãåëüôàíäà, ãäå ÿ óâèäåë ìíîãî çàìå÷àòåëüíûõ ìàòåìàòèêîâ (òàêèõ êàê Ñàøà Áåéëèíñîí, Âèòÿ Ãèíçáóðã, Áîðÿ Ôåéãèí) è ïîçíàêîìèëñÿ ñ Ëåíåé Ïîñèöåëüñêèì. Åìó, â òîò ìîìåíò òðåòüåêóðñíèêó, Ãåëüôàíä ïîðó÷èë îáó÷àòü ìëàäøåêóðñíèêîâ «ìàòåìàòèêå», ò.å. âåùàì, êîòîðûå íå âõîäÿò â ïðîãðàììó îáó÷åíèÿ íà ìåõìàòå, íî ñîâåðøåííî íåîáõîäèìû äëÿ íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé. Ëåíÿ ìåíÿ íàó÷èë î÷åíü è î÷åíü ìíîãîìó. Óâåðåí, ÷òî áåç åãî «ñïåöêóðñîâ» ìíå ïðèøëîñü áû íàìíîãî ñëîæíåå. Ñàìîå áîëüøîå âëèÿíèå íà ìåíÿ, êîíå÷íî æå, îêàçàë ìîé íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü Àëåêñåé Èãîðåâè÷ Áîíäàë. È ïðåæäå âñåãî ñëåäóåò ñêàçàòü äàæå íå î çíàíèÿõ, êîòîðûå ÿ îò íåãî ïîëó÷èë, à î ñïîñîáå ìûøëåíèÿ, óìåíèè øèðîêî è ïðàâèëüíî âçãëÿíóòü íà ïîñòàâëåííóþ çàäà÷ó. 4. Êàê ìíîãî âðåìåíè Âû óäåëÿåòå ïðîôåññèîíàëüíîé äåÿòåëüíîñòè? Êàê èñïîëüçóåòå êîìïüþòåð?  èäåàëå ìàòåìàòèê ðàáîòàåò âñå âðåìÿ. Íà ñàìîì äåëå, åñëè çàäà÷à, êîòîðóþ âû ðåøàåòå, âàì èíòåðåñíà, òî âàøè ìûñëè âñå ðàâíî âîëüíî èëè íåâîëüíî ê íåé âîçâðàùàþòñÿ. Íî â ðåàëüíîñòè, êîíå÷íî, òàê íå ïîëó÷àåòñÿ. Âñåãäà íàõîäèòñÿ ìíîæåñòâî äåë, îòâëåêàþùèõ îò ðàáîòû. À êîìïüþòåð äëÿ ìàòåìàòèêà èìååò âòîðîñòåïåííîå çíà÷åíèå. Êîíå÷íî, îí íåçàìåíèì äëÿ íàïèñàíèÿ ñòàòåé (ðàíüøå îáõîäèëèñü áóìàãîé è ðó÷êîé, íî ñåé÷àñ óæå äðóãèå âðåìåíà), à òàêæå äëÿ ïîèñêà è ïðîñìîòðà íóæíûõ ñòàòåé è êíèã. Êðîìå òîãî, íåêîòîðûå ìàòåìàòèêè èñïîëüçóþò êîìïüþòåð äëÿ âû÷èñëåíèé. 5. Êàêèå ó Âàñ óâëå÷åíèÿ ïîìèìî ìàòåìàòèêè? Âî âðåìÿ ó÷åáû â øêîëå è óíèâåðñèòåòå ÿ ðåãóëÿðíî õîäèë â ïîõîäû. Ñåé÷àñ ó ìåíÿ ðåäêî âîçíèêàåò òàêàÿ âîçìîæíîñòü, íî åñëè óäàåòñÿ, ÿ ñ óäîâîëüñòâèåì åþ ïîëüçóþñü. Ìû ïîçäðàâëÿåì Àëåêñàíäðà Ãåííàäüåâè÷à è æåëàåì åìó íîâûõ ÿðêèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îòêðûòèé! 30.01.09, 12:23 Òàê êàê êàòîäíûå ëó÷è íåñóò çàðÿä îòðèöàòåëüíîãî ýëåêòðè÷åñòâà, îíè îòêëîíÿþòñÿ ýëåêòðîñòàòè÷åñêîé ñèëîé, êàê åñëè áû îíè áûëè îòðèöàòåëüíî íàýëåêòðèçîâàíû, è íà íèõ äåéñòâóåò ìàãíèòíàÿ ñèëà òàêèì îáðàçîì, êàê ýòà ñèëà äåéñòâîâàëà áû íà îòðèöàòåëüíî íàýëåêòðèçîâàííîå òåëî, äâèæóùååñÿ ïî òðàåêòîðèè ýòèõ ëó÷åé. Äæîçåô Äæîí Òîìñîí ...êî ìíå ïðèøåë ñòðàøíî âîçáóæäåííûé Ãåéãåð è ñêàçàë: «Íàì óäàëîñü íàáëþäàòü α -÷àñòèöû, âîçâðàùàþùèåñÿ íàçàä». Ýòî áûëî ñàìûì íåâåðîÿòíûì ñîáûòèåì, êîòîðîå ìíå ïðèøëîñü ïåðåæèòü. Ýðíåñò Ðåçåðôîðä Íà ñíèìêàõ îáíàðóæèâàëèñü âðåìÿ îò âðåìåíè ïðÿìûå ïóòè ÷àñòèö íåèçâåñòíîãî ïðîèñõîæäåíèÿ, ïî÷òè íå îòêëîíÿåìûå ìàãíèòíûì ïîëåì, íî ïî ñâîåìó èîíèçèðóþùåìó äåéñòâèþ íå îòëè÷àþùèåñÿ ñêîëüêî-íèáóäü îò áûñòðûõ β -ëó÷åé. Äìèòðèé Ñêîáåëüöûí Òàêèå óñòðîéñòâà, êàê öèêëîòðîí è ñèíõðîòðîí, óñêîðÿþò ÷àñòèöó äî âûñîêèõ ýíåðãèé, çàñòàâëÿÿ åå ìíîãîêðàòíî ïðîõîäèòü ÷åðåç ñèëüíîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå. À íà ñâîåé îðáèòå ÷àñòèöó óäåðæèâàåò ìàãíèòíîå ïîëå. Ðè÷àðä Ôåéíìàí ? À òàê ëè õîðîøî çíàêîìû âàì ÷àñòèöû è ïîëÿ Ïðàêòè÷åñêè âñÿêèé ðàç ôðàãìåíòû èç ðàáîò âûäàþùèõñÿ ó÷åíûõ, ïðåäâàðÿþùèå î÷åðåäíîé âûïóñê íàøåé ðóáðèêè, âûñòðàèâàþòñÿ â ñâîåîáðàçíûé «êðàòêèé êóðñ» èñòîðèè òîãî èëè èíîãî ôèçè÷åñêîãî íàïðàâëåíèÿ. Íûíåøíÿÿ æå òåìà îêàçàëàñü íàñòîëüêî îáøèðíà è íåîáúÿòíà, ÷òî íà íåå íàíèçûâàþòñÿ ïî÷òè âñå îòâåòâëåíèÿ ñîâðåìåííîé ôèçèêè, õðîíîëîãè÷åñêèì ðóáåæîì êîòîðîé íàçûâàþò ñàìûé êîíåö XIX âåêà, êîãäà îäíî çà äðóãèì ïîñëåäîâàëè áëåñòÿùèå äîñòèæåíèÿ òàêèå, êàê îòêðûòèÿ ýëåêòðîíà è ðàäèîàêòèâíîñòè. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî îáíàðóæåíèå ýëåìåíòàðíûõ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö ìåëü÷àùèõ ñòðóêòóðíûõ ñîñòàâëÿþùèõ ìàòåðèè ñëîâíî ïîäõëåñòíóëî èññëåäîâàòåëåé ê äàëüíåéøèì ïîèñêàì, ñóëèâøèì ñîâåðøåííî íîâîå ïðåäñòàâëåíèå îá îêðóæàþùåì íàñ ìèðå. Íî íå òîëüêî: äëÿ èçó÷åíèÿ è óïðàâëåíèÿ ìèêðîñêîïè÷åñêèìè «íåâèäèìêàìè» ïîòðåáîâàëèñü òàêèå õèòðûå ñî÷åòàíèÿ ïîëåé, òàêàÿ àïïàðàòóðà, òàêèå òåõíîëîãèè, êîòîðûå áóêâàëüíî íà ãëàçàõ ñòàëè ìåíÿòü ïðîèçâîäñòâî è áûò, ýíåðãåòèêó è ñðåäñòâà ñâÿçè îäíèì ñëîâîì, ïðèâåëè ê ïðîìûøëåííîé è èíôîðìàöèîííîé ðåâîëþöèè, ïëîäû êîòîðîé ìû ïîæèíàåì äî ñèõ ïîð. Âîò è ñåãîäíÿ, íàêàíóíå çàïóñêà â Øâåéöàðèè ñàìîãî êðóïíîãî è ñàìîãî ìîùíîãî óñêîðèòåëÿ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, êîãäà-ëèáî ñîçäàííîãî ðàçóìîì ðóêàìè ÷åëîâåêà, ìû îæèäàåì áåñïðåöåäåíòíûõ îòêðûòèé, ðàçâèâàþùèõ, à, ìîæåò áûòü, è ïåðåâîðà÷èâàþùèõ íàøè çíàíèÿ î ñòðîåíèè âåùåñòâà è îá óñòðîéñòâå Âñåëåííîé.  ðàñ÷åòå íà òî, ÷òî è íà âàøó äîëþ äîñòàíåòñÿ åùå íåìàëî ñëîæíûõ è èíòåðåñíûõ ïðîáëåì, êàñàþùèõñÿ ÷àñòèö è ïîëåé, íà÷íåì ñ áîëåå ïðîñòûõ, íî íå ìåíåå óâëåêàòåëüíûõ çàäà÷. Âîïðîñû è çàäà÷è 1. Ïî÷åìó â êîìíàòíûõ óñëîâèÿõ, äàæå ïðè âñåõ ìåðàõ ïðåäîñòîðîæíîñòè, ýëåêòðîñêîï îáÿçàòåëüíî ðàçðÿäèòñÿ? 2. Ìåòàëëè÷åñêèé íåçàðÿæåííûé äèñê ïðèâîäèòñÿ â áûñòðîå âðàùåíèå. Ýëåêòðîìåòð, ïðèñîåäèíåííûé ñ ïîìîùüþ êîíòàêòîâ ê öåíòðó è ê ïåðèôåðèè äèñêà, ïîêàçûâàåò, ÷òî ìåæäó íèìè âîçíèêëà ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ. Êàêîâ åå çíàê? 25-39.p65 32 3. Êàêóþ òðàåêòîðèþ îïèøåò ýëåêòðîí, ïðîëåòàÿ ìåæäó ïëàñòèíàìè ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà, íà êîòîðûå ïîäàíî: à) ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå; á) ïåðåìåííîå íàïðÿæåíèå äîñòàòî÷íî âûñîêîé ÷àñòîòû? 4. Äâå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïëîñêîñòè ðàâíîìåðíî çàðÿæåíû îòðèöàòåëüíûì çàðÿäîì.  íåêîòîðîé òî÷êå ìåæäó ïëîñêîñòÿìè ïîìåùåí ðàäèîàêòèâíûé èñòî÷íèê. ×òî ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ ïîëîæèòåëüíî è îòðèöàòåëüíî çàðÿæåííûõ ÷àñòèö, èñïóñêàåìûõ èñòî÷íèêîì? 5. Ïðè îòñóòñòâèè âíåøíåãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ýëåêòðîíû, âûëåòàþùèå èç êàòîäà âàêóóìíîãî äèîäà, íå ðàññåèâàþòñÿ â îêðóæàþùåì ïðîñòðàíñòâå, à áîëüøåé ÷àñòüþ âîçâðàùàþòñÿ íà ïîâåðõíîñòü êàòîäà. ×åì ýòî ìîæíî îáúÿñíèòü? 6. Ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ýëåêòðîíîâ ìåæäó ýëåêòðîäàìè âàêóóìíîãî äèîäà äîñòèãàåò òûñÿ÷ êèëîìåòðîâ â ñåêóíäó, à â ìåòàëëè÷åñêèõ ïðîâîäíèêàõ àíîäíîé öåïè ìèëëèìåòðîâ â ñåêóíäó. Îäèíàêîâû ëè ñèëû òîêà â äèîäå è â ïðîâîäíèêàõ? 7. Êîëëèìèðîâàííûé ïó÷îê çàðÿæåííûõ ÷àñòèö, ò.å. ïó÷îê, â êîòîðîì âñå ÷àñòèöû èìåþò îäíî è òî æå íàïðàâëåíèå ñêîðîñòè, ïîä âëèÿíèåì êóëîíîâñêèõ ñèë ïîñòåïåííî ðàñõîäèòñÿ. Êàê çàâèñèò ýòîò ýôôåêò îò ñêîðîñòè ÷àñòèö? 8. Îò êàêèõ õàðàêòåðèñòèê ÷àñòèöû çàâèñèò ôîðìà åå òðàåêòîðèè ïðè äâèæåíèè â ãðàâèòàöèîííîì ïîëå, ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå, ìàãíèòíîì ïîëå? 9. Êàê áóäåò èçìåíÿòüñÿ ðàäèóñ òðàåêòîðèè çàðÿæåííîé ÷àñòèöû, äâèæóùåéñÿ ïî îêðóæíîñòè â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå, ñ óâåëè÷åíèåì åå óäåëüíîãî çàðÿäà? 10. Ïî äëèííîìó ïðÿìîìó ìåòàëëè÷åñêîìó ïðîâîäó òå÷åò ýëåêòðè÷åñêèé òîê. Ìîæíî ëè èçáàâèòüñÿ îò åãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ, óñòðåìèâøèñü âäîëü ïðîâîäà ñî ñêîðîñòüþ, ðàâíîé ñðåäíåé ñêîðîñòè óïîðÿäî÷åííîãî äâèæåíèÿ ýëåêòðîíîâ â íåì? 11. Ïî÷åìó ÷àñòèöà, îáðàùàþùàÿñÿ â íåîäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå, «îòðàæàåòñÿ» îò îáëàñòè, ãäå èíäóêöèÿ ýòîãî ïîëÿ óâåëè÷èâàåòñÿ? 12. Ìîæíî ëè ñ÷èòàòü äóãîé îêðóæíîñòè òðàåêòîðèþ äâèæåíèÿ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö, âëåòåâøèõ â êàìåðó 30.01.09, 12:24 Âèëüñîíà ïåðïåíäèêóëÿðíî ëèíèÿì îäíîðîäíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ? 13. Íà ðèñóíêå ïðåäñòàâëåíû ñëåäû ýëåêòðîíà è ïîçèòðîíà, ïîëó÷åííûå â êàìåðå Âèëüñîíà, íàõîäèâøåéñÿ â ìàãíèòíîì ïîëå, íàïðàâëåííîì îò ÷èòàòåëÿ ïåðïåíäèêóëÿðíî ðèñóíêó. Êàêîé èç ñëåäîâ ïðèíàäëåæèò ýëåêòðîíó, à êàêîé ïîçèòðîíó? Êàêàÿ ÷àñòèöà èìååò áóëüøóþ êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ? 14. Óâåëè÷åíèå ñêîðîñòè çàðÿæåííûõ ÷àñòèö â öèêëîòðîíå îñóùåñòâëÿåòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî çà ñ÷åò âîçäåéñòâèÿ íà ÷àñòèöû ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Çà÷åì æå óòÿæåëÿþò è óäîðîæàþò ýòè óñòàíîâêè, çàáîòÿñü î äåéñòâèè íà ÷àñòèöû åùå è ìàãíèòíîãî ïîëÿ? 15. Êàê äåéñòâóåò èçîáðàæåííûé íà ðèñóíêå «ôèëüòð ñêîðîñòåé»? Âíóòðè ïðèáîðà ñîçäàíû îäíîðîäíûå ýëåêòðè÷åñêîå è ìàãíèòíîå ïîëÿ, íàïðàâëåííûå ïåðïåíäèêóëÿðíî äðóã ê äðóãó è ê íà÷àëüíîé ñêîðîñòè ÷àñòèö. 16. Ïî÷åìó â Êàíàäå ñåâåðíûå ñèÿíèÿ áûâàþò ÷àùå, ÷åì â Ñèáèðè, ðàñïîëîæåííîé íà òîé æå ãåîãðàôè÷åñêîé øèðîòå? 17. Äëÿ èíèöèèðîâàíèÿ ÿäåðíûõ ðåàêöèé äåëåíèÿ ÷àùå âñåãî èñïîëüçóåòñÿ áîìáàðäèðîâêà ÿäåð íåéòðîíàìè. À ïî÷åìó äëÿ ýòîé öåëè ìåíåå ïðèãîäíû, ñêàæåì, ïðîòîíû èëè ýëåêòðîíû? Ìèêðîîïûò Íàêëåéòå íà îáû÷íóþ îñâåòèòåëüíóþ ëàìïó ïîëîñêó ìåòàëëè÷åñêîé ôîëüãè è ïðèñîåäèíèòå åå ïðîâîäêîì ê ýëåêòðîñêîïó. Çàðÿäèòå ýëåêòðîñêîï ïîëîæèòåëüíî è âêëþ÷èòå òîê â ëàìïå. Ïîâòîðèòå îïûò, çàðÿäèâ ýëåêòðîñêîï îòðèöàòåëüíî. ×åì îáúÿñíèòü, ÷òî â ïåðâîì ñëó÷àå ïðè âêëþ÷åíèè òîêà ëèñòêè ýëåêòðîñêîïà ñïàäàþò, à âî âòîðîì íåò? Ëþáîïûòíî, ÷òî... ...çíàìåíèòûì îïûòàì Äæ.Äæ.Òîìñîíà ñ êàòîäíûìè ëó÷àìè ïðåäøåñòâîâàëà ïî÷òè ñîðîêàëåòíÿÿ ðàáîòà ôèçèêîâ ðàçíûõ ñòðàí ïî èçó÷åíèþ ýëåêòðè÷åñêîãî ðàçðÿäà â ðàçðåæåííûõ ãàçàõ. Ñ÷èòàëîñü, ÷òî ýòè ëó÷è ëèáî ïîòîê ìîëåêóë, çàðÿäèâøèõñÿ îòðèöàòåëüíî ïðè ñòîëêíîâåíèè ñ êàòîäîì, ëèáî íîâûé âèä ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí, îòêëîíÿþùèõñÿ, â îòëè÷èå îò îáû÷íîãî ñâåòà, ìàãíèòíûì ïîëåì. Ëèøü Òîìñîíó â äëèííîé ñåðèè ýêñïåðèìåíòîâ óäàëîñü äîáûòü ê 1897 ãîäó ðåøàþùèå äîêàçàòåëüñòâà òîãî, ÷òî êàòîäíûå ëó÷è ñîñòîÿò èç ýëåêòðîíîâ. Òàê áûëà îòêðûòà ïåðâàÿ ýëåìåíòàðíàÿ ÷àñòèöà. ...çàäà÷à ïî îïðåäåëåíèþ çàðÿäà è ìàññû α - è β ÷àñòèö, âîçíèêøàÿ ñðàçó ïîñëå îáíàðóæåíèÿ ðàäèîàêòèâíîñòè, ïðèâåëà ñî âðåìåíåì ê ñîçäàíèþ ìàññ-ñïåêòðîãðàôîâ ïðèáîðîâ, èñïîëüçóþùèõ ýëåêòðè÷åñêîå è ìàãíèòíîå ïîëÿ äëÿ èçìåðåíèÿ ìàññ ìåëü÷àéøèõ èîíîâ. Ïåðâûé èç íèõ áûë ïîñòðîåí â 1919 ãîäó Ôðýíñèñîì Àñòîíîì, ó÷åíèêîì Äæ.Äæ.Òîìñîíà, îòêðûâøåãî çà 25-39.p65 33 ñåìü ëåò äî ýòîãî ñîáûòèÿ ñóùåñòâîâàíèå èçîòîïîâ. ...âðàùåíèå çàðÿæåííûõ ÷àñòèö â ìàãíèòíîì ïîëå îòêðûë åùå â 1895 ãîäó àíãëèéñêèé ôèçèê Äæîçåô Ëàðìîð.  äàëüíåéøåì èäåÿ óäåðæàíèÿ ÷àñòèö ñ ïîìîùüþ ýòîãî ïîëÿ áûëà î÷åíü õîðîøî îòðàáîòàíà ïðè ñîçäàíèè óñêîðèòåëåé â íèõ ÷àñòèöû ñîâåðøàþò ìèëëèîíû îáîðîòîâ ïî êðóãîâîé îðáèòå è ìîãóò æèòü íà íåé ìíîãèå ÷àñû. À âîò ïðîáëåìó ìàãíèòíîãî óäåðæàíèÿ èçîëÿöèè âûñîêîòåìïåðàòóðíîé ïëàçìû â òåðìîÿäåðíûõ ðåàêòîðàõ íå óäàëîñü åùå îêîí÷àòåëüíî ðåøèòü. ...ïðèìåíåíèå ìàãíèòíûõ ïîëåé ñ îïðåäåëåííûìè ñëîæíûìè êîíôèãóðàöèÿìè â îïûòàõ íà óñêîðèòåëÿõ ïîçâîëÿåò ôîêóñèðîâàòü ïó÷êè ÷àñòèö ïîäîáíî òîìó, êàê îïòè÷åñêèå ëèíçû ôîêóñèðóþò ñâåòîâûå ëó÷è. ...îòêðûòûå â 1910 ãîäó êîñìè÷åñêèå ëó÷è ñòàëè èíòåíñèâíî èçó÷àòüñÿ â òîì ÷èñëå è ñ ïîìîùüþ êàìåðû Âèëüñîíà, ïîìåùåííîé â ìàãíèòíîå ïîëå. Èìåííî îíà ïîçâîëèëà íàáëþäàòü àíîìàëüíûå ñëåäû, ïðèâåäøèå ê îáíàðóæåíèþ â 1932 ãîäó ïîçèòðîíà «ýëåêòðîíà ñ ïîëîæèòåëüíûì çàðÿäîì». ...â îòëè÷èå îò ïåðåìåííûõ ïîòîêîâ ñîëíå÷íûõ êîñìè÷åñêèõ ëó÷åé, ãàëàêòè÷åñêèå è ìåòàãàëàêòè÷åñêèå ëó÷è ýòî ìàëî èçìåíÿþùèåñÿ âî âðåìåíè ïîòîêè àòîìíûõ ÿäåð. Ñàìàÿ âàæíàÿ èõ îñîáåííîñòü ýíåðãèÿ ÷àñòèö, äîñòèãàþùàÿ 1021 ýÂ, ÷òî íà íåñêîëüêî ïîðÿäêîâ âûøå ýíåðãèé, ïîëó÷àåìûõ íà ðóêîòâîðíûõ óñòàíîâêàõ. Òàêèì îáðàçîì, Âñåëåííàÿ îêàçûâàåñÿ êàê áû ãèãàíòñêèì óñêîðèòåëåì àòîìíûõ ÿäåð. ...â 1985 ãîäó ñ îñòðîâà Êåðñåëåí â Èíäèéñêîì îêåàíå ñòàðòîâàëà ãåîôèçè÷åñêàÿ ðàêåòà ñ íåáîëüøèì óñêîðèòåëåì ÷àñòèö. Íà îïðåäåëåííîé âûñîòå îí èñïóñòèë ïîòîê ýëåêòðîíîâ, â äàëüíåéøåì äâèãàâøèõñÿ âäîëü ëèíèè çåìíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ è âûçâàâøèõ èñêóññòâåííîå ïîëÿðíîå ñèÿíèå íàä Àðõàíãåëüñêîé îáëàñòüþ. Ýòè ýêñïåðèìåíòû ïðåäíàçíà÷àëèñü äëÿ èçó÷åíèÿ ìåõàíèçìà âîçíèêíîâåíèÿ ñåâåðíûõ ñèÿíèé, ñòðóêòóðû ìàãíèòíîãî ïîëÿ Çåìëè, ïðîöåññîâ â åå èîíîñôåðå è èõ âëèÿíèÿ íà ïîãîäó. ...î ìàñøòàáàõ ñîâðåìåííûõ èññëåäîâàíèé â ôèçèêå ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö ìîæíî ñóäèòü ïî ïàðàìåòðàì Áîëüøîãî àäðîííîãî êîëëàéäåðà, ãîòîâÿùåãîñÿ ê ïóñêó â Æåíåâå. Ïåðèìåòð åãî êðóãîâîãî òóííåëÿ, çàëåãàþùåãî íà ãëóáèíå ïðèìåðíî 100 ìåòðîâ ïîä çåìëåé, ñîñòàâëÿåò 27 êèëîìåòðîâ; ñâåðõïðîâîäÿùèå ìàãíèòû ðàçãîíÿò ïðîòîíû äî ýíåðãèè 7 Òý è çàòåì áóäóò ñòàëêèâàòü èõ äðóã ñ äðóã ñ ÷àñòîòîé 800 ìèëëèîíîâ ðàç â ñåêóíäó; â ïëàíèðîâàíèè è ôèíàíñèðîâàíèè ñòðîèòåëüñòâà êîëëàéäåðà ïðèíÿëè ó÷àñòèå áîëåå äâóõ äåñÿòêîâ ñòðàí, â ÷èñëå êîòîðûõ è Ðîññèÿ. ×òî ÷èòàòü â «Êâàíòå»î ÷àñòèöàõ è ïîëÿõ (ïóáëèêàöèè ïîñëåäíèõ ëåò) 1. «Ñëåäû â êàìåðå» 2003, ¹ 3, ñ. 40; 2. «Ìàãíèòíîå ïîëå» 2004, ¹ 4, ñ. 47; 3. «Êàëåéäîñêîï «Êâàíòà» 2005, ¹ 1, ñ. 32; 4. «Çàðÿæåííûå ÷àñòèöû â ìàãíèòíîì ïîëå» 2006, ¹ 4, ñ. 40; 5. «Äâèæåíèå çàðÿäà â ìàãíèòíîì ïîëå» 2007, ¹ 5, ñ. 42; 6. «Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ» 2008, ¹ 5, ñ. 47. Ìàòåðèàë ïîäãîòîâèë À.Ëåîíîâè÷ 30.01.09, 12:25 ÊÌØ !" ÊÂÀÍT 2009/¹1 Çàäà÷è 1. Íàçîâåì êèðïè÷îì ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä, ó êîòîðîãî äëèíà, øèðèíà è âûñîòà ðàçëè÷íû. Ìîæíî ëè ïîâåðõíîñòü êàêîãî-íèáóäü êèðïè÷à îêëåèòü áåç ïåðåêðûòèé ïÿòüþ áóìàæíûìè êâàäðàòàìè? (Êâàäðàòû ðàçðåøàåòñÿ ïåðåãèáàòü ÷åðåç ðåáðà, ðàçìåðû èõ íå îáÿçàòåëüíî îäèíàêîâû.) À.Øàïîâàëîâ 2. Ìîæåò ëè áûòü âåðíûì ðàâåíñòâî Ð ´ Å ´ Ø ´ È = Ñ ´ À ´ Ì, åñëè â íåì êàæäàÿ áóêâà çàìåíÿåò íåêîòîðóþ öèôðó, ïðè÷åì ðàçíûå áóêâû çàìåíÿþò ðàçíûå öèôðû? Þ.Ýâíèí ìåñòî (à äðóãèå ïðè ýòîì îñòàíóòñÿ íåïîäâèæíûìè) òàê, ÷òî ñíîâà ïîëó÷èòñÿ òà æå ñàìàÿ ôèãóðà (òîëüêî, âîçìîæíî, ïî-äðóãîìó ðàñïîëîæåííàÿ). Êàê òàêîå ìîæåò áûòü? Ôîëüêëîð 4.  êèíîòåàòðå «Áóäü çäîðîâ!» 20 ðÿäîâ ïî 25 ìåñò â êàæäîì è âñå ìåñòà çàíÿòû.  êèíîòåàòðå ïðèíÿòî ïðàâèëî: åñëè çðèòåëü ÷èõíåò âî âðåìÿ ñåàíñà, òî îí äîëæåí îòäàòü êàæäîìó èç ñâîèõ ñîñåäåé ïî ðóáëþ. Âíà÷àëå ó âñåõ áûëî îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî äåíåã. Äèìà ÷èõíóë è ðàñïëàòèëñÿ. Êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëî ðàç äîëæíû åùå ÷èõíóòü çðèòåëè, ÷òîáû ó âñåõ ñíîâà ñòàëî ïîðîâíó äåíåã? (Ñîñåäÿìè ñ÷èòàþòñÿ ñèäÿùèå ñïåðåäè, ñçàäè, ñëåâà è ñïðàâà, ó êàæäîãî çðèòåëÿ ìîæåò áûòü îò äâóõ äî ÷åòûðåõ ñîñåäåé.) Ä.Êàëèíèí 5. Äåñÿòü òî÷å÷íûõ êóçíå÷èêîâ ñèäÿò íà ñòîëå, îáðàçóÿ íåêîòîðóþ ôèãóðó. Èçâåñòíî, ÷òî êàæäûé èç êóçíå÷èêîâ ìîæåò îòäåëüíî îò îñòàëüíûõ ïåðåïðûãíóòü èç íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ íà íåêîòîðîå íîâîå Ýòè çàäà÷è ïðåäíàçíà÷åíû ïðåæäå âñåãî ó÷àùèìñÿ 6 8 êëàññîâ. 25-39.p65 34 çåðêàëî: â íåì îòðàæàëèñü è íàðó÷íûå, è íàñòåííûå ÷àñû, íî ïîêàçûâàëè îíè â çåðêàëå ðàçíîå âðåìÿ è íè îäíî íå ñîâïàäàëî ñ ðåàëüíûì. Êàê òàêîå ìîãëî áûòü? À.Òîëïûãî 30.01.09, 12:25 Èëëþñòðàöèè Ä.Ãðèøóêîâîé 3. Ó ìåíÿ åñòü äâîå ýëåêòðîííûõ ÷àñîâ íàðó÷íûå è íàñòåííûå, èäóò îíè âñåãäà ïðàâèëüíî (âðåìÿ ïîêàçûâàþò öèôðàìè). Ñòîÿ ó çåðêàëà, ÿ âçãëÿíóë íà íàðó÷íûå ÷àñû áûëî 12:05. ß ïåðåâåë âçãëÿä íà Ê Ì Ø Êîíêóðñ èìåíè À.Ï.Ñàâèíà !# «Ìàòåìàòèêà 68» Ìû çàâåðøàåì î÷åðåäíîé êîíêóðñ ïî ðåøåíèþ ìàòåìàòè÷åñêèõ çàäà÷ äëÿ ó÷àùèõñÿ 68 êëàññîâ. Ðåøåíèÿ çàäà÷ âûñûëàéòå â òå÷åíèå ìåñÿöà ïîñëå ïîëó÷åíèÿ ýòîãî íîìåðà æóðíàëà ïî àäðåñó: 119296 Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò» èëè ïî ýëåêòðîííîìó àäðåñó: math@kvant.info (ñ ïîìåòêîé «Êîíêóðñ «Ìàòåìàòèêà 68»). Íå çàáóäüòå óêàçàòü èìÿ, êëàññ è äîìàøíèé àäðåñ. Êàê è ïðåæäå, ìû ïðèâåòñòâóåì ó÷àñòèå â êîíêóðñå íå òîëüêî îòäåëüíûõ øêîëüíèêîâ, íî è ìàòåìàòè÷åñêèõ êðóæêîâ. Ðóêîâîäèòåëåé êðóæêîâ ïðîñèì óêàçàòü ýëåêòðîííûé àäðåñ èëè êîíòàêòíûé òåëåôîí. Ïî òðàäèöèè, êðóæêè-ïîáåäèòåëè çàî÷íîãî êîíêóðñà ïðèãëàøàþòñÿ íà ôèíàëüíûé î÷íûé òóðíèð. 16. Ìîæíî ëè îòìåòèòü íåñêîëüêî êëåòîê íà ïîâåðõíîñòè êóáèêà Ðóáèêà ! ´ ! ´ ! òàê, ÷òîáû íà êàæäîì êîëüöå èç 12 êëåòîê, îïîÿñûâàþùåì êóáèê, áûëî îòìå÷åíî ðîâíî ïî 5 êëåòîê? À.Ãðèáàëêî 17.  òðåóãîëüíîì ïàðêå åñòü òðè äîðîæêè: ñèíÿÿ, çåëåíàÿ è êðàñíàÿ. Êàæäàÿ äîðîæêà äåëèò ïàðê íà äâå ÷àñòè ðàâíîé ïëîùàäè. Âìåñòå äîðîæêè äåëÿò ïàðê íà 7 ÷àñòåé: ÷åòûðå «òðåóãîëüíûõ» è òðè «÷åòûðåõóãîëüíûõ» (ðèñ.1). Ìîæåò ëè òàê áûòü, ÷òî èç äâóõ ÷àñòåé, ïðèìûêàþùèõ ê îäíîé è òîé æå ñòîðîíå ïàðêà, «÷åòûðåõóãîëüíàÿ» âñåãäà íå ìåíüøå ïî ïëîùàÐèñ. 1 äè, ÷åì «òðåóãîëüíàÿ»? Ã.Ãàëüïåðèí 18. Äàí âîñüìèóãîëüíèê «ëåñåíêà» (ðèñ.2). Ìîæíî ëè èç íåñêîëüêèõ îäèíàêîâûõ «ëåñåíîê» ñëîæèòü âîñüìèóãîëüíèê òîé æå ôîðìû, íî áîëüøåãî ðàçìåðà? Ñ.Ìàðêåëîâ 19. Èìåþòñÿ 1000 áóòûëîê ñ âèíîì, â îäíîé èç íèõ âèíî èñïîð÷åíî. Èìåþòñÿ òàêæå 10 áåëûõ ìûøåé, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ íóæíî îáíàðóæèòü ïëîõîå âèíî. Åñëè ìûøü âûïüåò ïëîõî- Ðèñ. 2 ãî âèíà, ðîâíî ÷åðåç 10 ìèíóò îíà ïðèîáðåòåò ÿðêóþ ôèîëåòîâóþ îêðàñêó. Ðàçðåøàåòñÿ íàêàïàòü âèíà èç ðàçíûõ áóòûëîê êàæäîé ìûøè è äàòü èì âûïèòü îäíîâðåìåííî, à ïîòîì æäàòü. Ïðèäóìàéòå ñïîñîá, ïîçâîëÿþùèé ÷åðåç 10 ìèíóò è 1 ñåêóíäó îïðåäåëèòü áóòûëêó ñ èñïîð÷åííûì âèíîì. Ã.Ãàëüïåðèí 20. Ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà a è b óäîâëåòâîðÿþò ðàâåíñòâó a + b + 1 = 3ab. Äîêàæèòå, ÷òî + ³ . = > Ð.Ïèðêóëèåâ Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñêàçêà Ó ÖÀÐßÁÞÐÎÊÐÀÒÀ ÏÎÄÄÀÍÍÛÅ ÎÁÚÅÄÈÍßÞÒÑß Â ÒÀÉ- íûå îáùåñòâà. Êàæäîå ïîäìîæåñòâî ïîääàííûõ ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê òàéíîå îáùåñòâî. Äëÿ ýôôåêòèâíîãî êîíòðîëÿ öàðü õî÷åò, ÷òîáû íà êàæäîå òàéíîå îáùåñòâî êòî-òî äîíîñèë. Îäíàêî êàæäûé â ñîñòîÿíèè ïèñàòü äîíîñû òîëüêî íà îäíî òàéíîå îáùåñòâî. Äîêàæèòå, ÷òî öàðþ äëÿ ýòîé öåëè íå õâàòèò ëþäåé, äàæå åñëè íàñåëåíèå ñòðàíû áåñêîíå÷íî. Ðåøåíèå. Íàçîâåì ÷åëîâåêà ïîðÿäî÷íûì, åñëè îí äîíîñèò òîëüêî íà òî òàéíîå îáùåñòâî, ÷ëåíîì êîòîðîãî îí íå ñîñòîèò. Ïîðÿäî÷íûå ëþäè ñóùåñòâóþò. Èíà÷å êàæäîìó ïðèøëîñü áû äîíîñèòü íà îáùåñòâî, ñîñòîÿùåå òîëüêî èç íåãî ñàìîãî (ëþáîé, êòî äîíîñèò íà îáùåñòâî, ñîñòîÿùåå èç åäèíñòâåííîãî äðóãîãî ãðàæäàíèíà, ïîðÿäî÷åí ïî îïðåäåëåíèþ). Òàêàÿ ñèòóàöèÿ íå òîëüêî ïðî- 25-39.p65 35 òèâîðå÷èò çäðàâîìó ñìûñëó, íî è íåâîçìîæíà ìàòåìàòè÷åñêè äðóãèå ïîäìíîæåñòâà îêàæóòñÿ íåîõâà÷åííûìè. Êòî äîíîñèò íà ìíîæåñòâî âñåõ ïîðÿäî÷íûõ ëþäåé? Åñëè îí ïîðÿäî÷åí, òî îí äîíîñèò íà îáùåñòâî, ÷ëåíîì êîòîðîãî ñîñòîèò, ò.å. íåïîðÿäî÷åí. Åñëè æå îí íåïîðÿäî÷åí, òî îí äîíîñèò íà îáùåñòâî, ÷ëåíîì êîòîðîãî íå ÿâëÿåòñÿ, ò.å. ïîðÿäî÷åí. Ïðîòèâîðå÷èå. Ñêàçêà ëîæü, äà â íåé íàìåê: ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ ëþáîãî ìíîæåñòâà èìååò áîëüøóþ ìîùíîñòü, ÷åì èñõîäíîå ìíîæåñòâî. Çàìå÷àíèå. Åñëè ïîääàííûõ íå áîëüøå îäíîãî, òî çàòåÿ öàðÿ íå îñóùåñòâèòñÿ, åñëè äëÿ ïîëíîòû îò÷åòíîñòè îí áóäåò òðåáîâàòü, ÷òîáû äîíîñèëè è íà ïóñòîå ìíîæåñòâî. È.Ðóáàíîâ, À.Êàíåëü-Áåëîâ 30.01.09, 12:25 !$ ÊÂÀÍT 2009/¹1 Àáó-ë-Âàôà è öèðêóëü ïîñòîÿííîãî ðàñòâîðà Ã.ÔÈËÈÏÏÎÂÑÊÈÉ Ì ÀÒÅÌÀÒÈÊ È ÀÑÒÐÎÍÎÌ ÈÇ ÕÎÐÀÑÀÍÀ (ÈÐÀÍ) Àáó-ë-Âàôà (940998) ñ 20 ëåò æèë è ðàáîòàë â Áàãäàäå êðóïíåéøåì íàó÷íîì öåíòðå àðàáñêîãî õàëèôàòà. Îí íàïèñàë ðóêîâîäñòâî ïî ïðàêòè÷åñêîé àðèôìåòèêå, â êîòîðîì ïîêàçàë, êàê ðàáîòàòü ñ îáûêíîâåííûìè äðîáÿìè, è ïåðâûì â Áàãäàäå ñòàë èñïîëüçîâàòü îòðèöàòåëüíûå ÷èñëà. Àáó-ë-Âàôà íàïèñàë êîììåíòàðèè ê Åâêëèäó, Ïòîëåìåþ, Äèîôàíòó.  ñâîèõ àñòðîíîìè÷åñêèõ òðóäàõ îí âïåðâûå ïîëüçóåòñÿ ñåêàíñîì è êîñåêàíñîì, ñîñòàâëÿåò áîëåå òî÷íûå òàáëèöû ñèíóñîâ, òàíãåíñîâ è êîòàíãåíñîâ, äîêàçûâàåò òåîðåìó ñèíóñîâ. ×òî êàñàåòñÿ ãåîìåòðèè, òî çäåñü Àáó-ë-Âàôà ïèøåò îðèãèíàëüíîå ñî÷èíåíèå: «Êíèãà î òîì, ÷òî íåîáõîäèìî ðåìåñëåííèêó èç ãåîìåòðè÷åñêèõ ïîñòðîåíèé».  íåé îí ïðèâîäèò ðàçíîîáðàçíûå ïîñòðîåíèÿ, ïðèìåíÿâøèåñÿ â àðõèòåêòóðå, òåõíèêå, çåìëåìåðèè. Îäíà èç ãëàâ êíèãè ïîñâÿùåíà ðåøåíèþ çàäà÷ íà ñîñòàâëåíèå êâàäðàòà èç íåñêîëüêèõ êâàäðàòîâ. Âîò ïðèìåð òàêîé çàäà÷è, íîñÿùåé ñåãîäíÿ åãî èìÿ: Çàäà÷à Àáó-ë-Âàôû. Ñïîñîáîì ðàçðåçàíèÿ ñîñòàâüòå êâàäðàò èç òðåõ äàííûõ ðàâíûõ êâàäðàòîâ. Ðåøåíèå. Âîçüìåì äâà äàííûõ êâàäðàòà, ðàçðåæåì èõ ïî äèàãîíàëè. Ïîëó÷åííûå ÷àñòè ïðèëîæèì äèàãîíàëÿìè ê ñòîðîíàì òðåòüåãî êâàäðàòà ABCD (ðèñ.1,à). Ïîñêîëüêó ∆KTE = ∆NTA ïî ñòîðîíå è äâóì óãëàì (ðèñ.1,á), òî òðåóãîëüíèêîì KTE ìîæíî çàïîëíèòü Ðèñ. 1 ïóñòîòó íà ìåñòå òðåóãîëüíèêà NTA. Âûïîëíèâ àíàëîãè÷íûå îïåðàöèè åùå òðè ðàçà, ïîëó÷èì êâàäðàò KLMN. Îäíàêî íàèáîëüøèé èíòåðåñ äëÿ íàñ â ãåîìåòðèè ïðåäñòàâëÿþò çàäà÷è Àáó-ë-Âàôû íà ïîñòðîåíèå, â êîòîðûõ, ïîìèìî ëèíåéêè, èñïîëüçóåòñÿ öèðêóëü ïîñòîÿííîãî ðàñòâîðà («çàðæàâëåííûé» öèðêóëü, êàê ïîçæå ñêàæåò Ëåîíàðäî äà Âèí÷è). Öèðêóëåì ïîñòîÿííîãî ðàñòâîðà ïîëüçîâàëèñü è â Èíäèè, è â Äðåâíåé Ãðåöèè. Ýòî áûëî îáóñëîâëåíî òåì, ÷òî ïðè èçìåðåíèÿõ íà ìåñòíîñòè ÷àñòî íåóäîáíî (èëè äàæå íåâîçìîæíî) ïðîâîäèòü îêðóæíîñòè ðàçíûõ ðàäèóñîâ. Òåì íå ìåíåå, èìåííî Àáó-ë-Âàôà âïåðâûå ñèñòåìàòèçèðîâàë çàäà÷è ñ öèðêóëåì ïîñòîÿííîãî ðàñòâîðà, ïîìåñòèâ â ñâîåé êíèãå ïî ïðàêòè÷åñêîé ãåîìåòðèè îêîëî 15 òàêèõ çàäà÷. Î íåêîòîðûõ èç íèõ ìû è ïîâåäåì 25-39.p65 36 äàëüíåéøèé ðàññêàç, ãäå íàðÿäó ñ ðåøåíèÿìè Àáó-ëÂàôû áóäóò ïðåäñòàâëåíû áîëåå ïîçäíèå è äàæå ñîâðåìåííûå ðåøåíèÿ. Âñå ñëåäóþùèå çàäà÷è âûïîëíÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ ëèíåéêè è öèðêóëÿ ïîñòîÿííîãî ðàñòâîðà, ðàâíîãî R. Çàäà÷à 1. ×åðåç äàííóþ òî÷êó K ïðîâåäèòå ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ ê ïðÿìîé l (ðèñ.2). Ðåøåíèå. Íà ïðÿìîé l äâàæäû îòëîæèì îòðåçêè, ðàâíûå R (AB = BC = R). Ïîðÿäîê äàëüíåéøèõ îïåðàöèé óêàæåì ëèøü öèôðàìè (òàê, íà ïåðâîì øàãå ïðîâîäèì ïðÿìóþ AK, íà âòîðîì ïðîâîäèì ÷åðåç òî÷êó C ïðîèçâîëüíóþ ïðÿìóþ, ïåðåñåêàþùóþñÿ ñ AK, è òàê äàëåå). KN èñêîìàÿ ïðÿìàÿ (ïî÷åìó?). Çàäà÷à 2. Ðàçäåëèòå äàííûé îòðåçîê: à) ïîïîëàì; Ðèñ. 2 Ðèñ. 3 á) íà n ðàâíûõ ÷àñòåé; â) â îòíîøåíèè m:n. Ðåøåíèå. à) Ïóñòü äàí îòðåçîê BC. Îòëîæèâ íà ïðÿìîé BC äâà îòðåçêà, ðàâíûõ R (BT = TQ = R), ïðîâåäåì ïðÿìóþ n || BC, êàê ìû äåëàëè ýòî â çàäà÷å 1 (ðèñ.3). Çàòåì, êàê è â çàäà÷å 1, âîñïîëüçóåìñÿ ëåììîé î òðàïåöèè: ñåðåäèíû îñíîâàíèé òðàïåöèè, òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé è òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïðîäîëæåíèé åå áîêîâûõ ñòîðîí ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. á) Ïóñòü, íàïðèìåð, n = 5. Ïðîâåäåì ïðîèçâîëüíûé ëó÷ f, âûõîäÿùèé èç òî÷êè C. Îòëîæèì íà ëó÷å f ïÿòü îòðåçêîâ, ðàâíûõ R (ðèñ.4). Ñîåäèíèì ïîñëåäíþþ òî÷êó äåëåíèÿ E ñ B. Ïðîâåäÿ ÷åðåç òî÷êè äåëåíèÿ F, G, K, Ðèñ. 4 N ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå BE, ïîëó÷èì òðåáóåìîå. Òàêèì îáðàçîì, ïîñòðîåíèå ñîâïàäàåò ñ êëàññè÷åñêèì. â) Êàê è â ïóíêòå á), îòêëàäûâàåì íà ëó÷å f îòðåçîê R âñåãî m + n ðàç. Íàïðèìåð, íà ðèñóíêå 4 ïîêàçàíî, êàê ðàçäåëèòü BC â îòíîøåíèè 3:2 è 4:1. Çàäà÷à 3. Ïîñòðîéòå áèññåêòðèñó óãëà. Ðåøåíèå. Ðåøåíèå ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 5. Çàäà÷à 4. Ïîñòðîéòå óãîë, ðàâíûé äàííîìó óãëó BAC. Ðèñ. 5 30.01.09, 12:25 Ê Ì !% Ø Ðèñ. 6 Ðåøåíèå. ×åðåç ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó K ïðîâîäèì n || AB è l || AC ñîãëàñíî çàäà÷å 1 (ðèñ.6). Î÷åâèäíî, ÷òî ϕ = ÐBAC . Çàäà÷à 5. Èç òî÷êè T âíå ïðÿìîé l ïðîâåäèòå ïåðïåíäèêóëÿð ê l, à èç òî÷êè K, ëåæàùåé íà ïðÿìîé l, âîññòàâüòå ïåðïåíäèêóëÿð ê l. Ðåøåíèå. Ñòðîèì íà ïðÿìîé l îòðåçêè AB = BC = = CD = R (ðèñ.7). Îêðóæíîñòè ñ öåíòðàìè â B è C ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êàõ E è F. Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî EF ^ l (ïîêàæèòå!). Òîãäà îñòàåòñÿ ÷åðåç òî÷êè T è K ïðîâåñòè ïðÿìûå ïàðàëëåëüíî EF (çàäà÷à 1). Çàäà÷à 6. Ïîñòðîéòå öåíòð äàííîé îêðóæíîñòè ω , ðàäèóñ êîòîðîé áîëüøå R. Ðèñ. 8 Ðèñ. 7 Ðåøåíèå. Èç ïðîèçâîëüíîé òî÷êè A íà ω ñòðîèì îêðóæíîñòü ðàäèóñà R. Îíà ïåðåñåêàåò ω â òî÷êàõ B è C (ðèñ.8). Èç B è C êàê èç öåíòðîâ ñòðîèì òàêèå æå îêðóæíîñòè. Ïóñòü ðàâíûå îêðóæíîñòè ïîïàðíî ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êàõ E è F, P è Q. Îñòàåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî ïðÿìûå EF è PQ ïåðåñåêàþòñÿ â öåíòðå O îêðóæíîñòè ω (äîêàæèòå!). Çàäà÷à 7. Íà äàííîé ïðÿìîé l îòëîæèòå îòðåçîê, ðàâíûé äàííîìó îòðåçêó BC. Ðåøåíèå. ×åðåç C ïðîâîäèì ïðîèçâîëüíóþ ïðÿìóþ f, íå ïàðàëëåëüíóþ l. Ïóñòü îíà ïåðåñåêàåò l â òî÷êå D (ðèñ.9). ×åðåç D ïðîâîäèì ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ BC, à ÷åðåç B ïàðàëëåëüíóþ f (çàäà÷à 1). Ïðè ýòîì DT = BC (BCDT ïàðàëëåëîãðàìì). Äàëåå ñòðîèì áèññåêòðèñó ÐTDQ (çàäà÷à 3). Èç T ïðîâîäèì ê íåé Ðèñ. 9 ïåðïåíäèêóëÿð TN (çàäà÷à 5), êîòîðûé ïðè ïðîäîëæåíèè ïåðåñåêàåò l â òî÷êå K. Î÷åâèäíî, DK = DT = BC. Çàäà÷à 8. Íà äàííîì îòðåçêå BC ïîñòðîéòå ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê ABC. Ðåøåíèå. Ñòðîèì ðàâíîñòîðîííèå òðåóãîëüíèêè BEF è CNK ñî ñòîðîíîé R (ðèñ.10). Ïðÿìûå BF è CN ïåðåñåêóòñÿ â èñêîìîé âåðøèíå A. Çàäà÷à 9.  äàííûé êðóã âïèøèòå: à) êâàäðàò; á) ïðàâèëüíûé øåñòèóãîëüíèê. Ðåøåíèå. à) Íàõîäèì öåíòð O äàííîãî êðóãà (çàäà÷à 25-39.p65 37 Ðèñ. 10 Ðèñ. 11 6) è ïðîâîäèì ïðîèçâîëüíî äèàìåòð AB (ðèñ.11). ×åðåç O ïðîâîäèì ïåðïåíäèêóëÿð ê AB, êîòîðûé ïåðåñåêàåò îêðóæíîñòü â òî÷êàõ C è D. Òîãäà ACBD êâàäðàò, âïèñàííûé â äàííóþ îêðóæíîñòü. á) Îò òî÷êè O îòêëàäûâàåì óãîë 60o (ê îòðåçêó AO) íàïðèìåð, ïîñòðîèâ ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê OEF ñî ñòîðîíîé R (ðèñ. 11). Ïðîâåäåííûé ëó÷ ïåðåñåêàåò îêðóæíîñòü â òî÷êå N. Òîãäà AN ñòîðîíà ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà. Äàëüíåéøåå ïîñòðîåíèå ïðîâåäèòå ñàìîñòîÿòåëüíî. Çàäà÷à 10.  äàííûé êâàäðàò ABCD âïèøèòå ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê BKN. Ðåøåíèå. Íà ñòîðîíå CD êâàäðàòà ñòðîèì ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê CÅD (çàäà÷à 8), à íà ñòîðîíå AD ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê AFD (ðèñ.12). Ïðÿìûå BE è BF â ïåðåñå÷åíèè ñ AD è CD ñîîòâåòñòâåííî äàäóò íåäîñòàþùèå âåðøèíû K è N ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà BKN (ïîêàæèòå, ÷òî ÐABK = ÐCBN = 15o ). Ðèñ. 12 Ðèñ. 13 Çàäà÷à 11. Èç òî÷êè A âíå îêðóæíîñòè ω ïðîâåäèòå êàñàòåëüíóþ ê ω . Ðåøåíèå. Íàõîäèì öåíòð O îêðóæíîñòè ω (çàäà÷à 6). Äåëèì îòðåçîê OA ïîïîëàì (çàäà÷à 2,à) ïîëó÷àåì òî÷êó Q (ðèñ.13). Èç òî÷êè Q êàê èç öåíòðà ðàäèóñîì, ðàâíûì R, ñòðîèì îêðóæíîñòü ω1 . Ïóñòü ω1 ïåðåñåêàåò ω â òî÷êàõ K è K1 . Ïðÿìûå QK è QK1 ïåðåñåêóò îêðóæíîñòü ω â èñêîìûõ òî÷êàõ êàñàíèÿ T è T1 (ïîêàæèòå ýòî ïðè ïîìîùè ãîìîòåòèè). Ïðåäëîæèòå ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ êàñàòåëüíîé â ñëó÷àå, êîãäà îêðóæíîñòü ω1 ðàäèóñà R ñ öåíòðîì â Q íå áóäåò ïåðåñåêàòü ω . Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ 12. Óäâîéòå äàííûé îòðåçîê. 13. Íà äàííîì îòðåçêå ïîñòðîéòå: à) êâàäðàò; á) ïðàâèëüíûé øåñòèóãîëüíèê. 14.  äàííóþ îðóæíîñòü âïèøèòå ïðàâèëüíûå n-óãîëüíèêè: à) n = 3; á) n = 8; â) n = 10. 15.  äàííûé ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê âïèøèòå êâàäðàò. 30.01.09, 12:25 !& ÊÂÀÍT 2009/¹1 Íåñêîëüêî ðèôìîâàííûõ ôèçè÷åñêèõ çàäà÷ Â.ÀÊÈÌΠÓñëîâèÿ çàäà÷ 1. Êîðàáëèê íà ðåêå Ïî ðåêå ïëûâåò êîðàáëèê, Îí ïëûâåò èçäàëåêà. Âäðóã ïîðûâîì âåòðà ñäóëî Áåñêîçûðêó ñ ìîðÿêà. ×åòâåðòü ÷àñà ïðîëåòåëî, Ïîêà â òîì ðàçîáðàëèñü È ñ òàêîé æå áûñòðîòîþ Çà ôóðàæêîé ïîãíàëèñü. Ãäå äîãíàòü åå ñóìåëè? Âîò âîïðîñ äëÿ çíàòîêà, Åñëè íà ÷åòûðå ìèëè Óòåêàåò â ÷àñ ðåêà. 2. Ñïè÷êà â ðóêàõ Ðàçëîìèøü ñïè÷êó ïîïîëàì, ×àñòü òû ñëîìàé îïÿòü. Ñêàæè æå, ïî÷åìó òðóäíåé Âòîðîé-òî ðàç ëîìàòü? 6. Êàðàíäàø â ãðàôèíå  ãðàôèí ñ âîäîþ óðîíèëà Êàðàíäàø Ìàëüâèíà. Êàðàíäàø íå óòîíóë, Çàìåòèë Áóðàòèíî. Ïîãðóçèëñÿ êàðàíäàøèê Íà òðè ÷åòâåðòè âñåãî. À òåïåðü ñêàæè, êàêàÿ Áûëà ïëîòíîñòü ó íåãî? 7. Ðó÷íîé áåãåìîò Äåëî áûëî â Àôðèêå, ðàññêàçûâàë ìíå êòî-òî. Ìîæåò, ãäå ñåé÷àñ Òóíèñ, à ìîæåò ãäå Ëåñîòî? Ñîáèðàë ïðåæàäíûé âîæäü ïîäàòè ñ íàðîäà Ñ ïîìîùüþ ñâÿùåííîãî ðó÷íîãî áåãåìîòà. Ïðèïëûâàë íà ëîäêå îí ñ âåñàìè è ñîëäàòîì. Íàðîä óðàâíîâåøèâàë áåãåìîòà çëàòîì. Ðàñêîðìèë æèâîòíîå, è âåñû ñëîìàëèñü. Íàä æàäíîñòüþ ïðàâèòåëÿ ëþäè ïîñìåÿëèñü. 3. Ñèçèôîâ òðóä Ñèçèô ñâîé êàìåíü â ãîðó òàùèò Èñïîêîí, êàê âîäèòñÿ. Äëÿ íåãî âåäü íèêîãäà Íå áóäåò áåçðàáîòèöû. Òóò âçáåñèëñÿ âîæäü. Îáÿçàë ñîëäàòà, ×òîá îòìåðèë äàíü âîèí äî çàêàòà! Íà ñëîæíîå çàäàíèå õâàòèëî ïðîñòîòû. À êàê æå â ýòîì ñëó÷àå ïîñòóïèë áû òû? Ïîä êàìåíü îí ðû÷àã ïîäñóíóë: ×àñòü ÷åòâåðòóþ åãî. Âûèãðàë â òðè ðàçà â ñèëå. Ýòî âðîäå íè÷åãî! 8. Êëàä â êóâøèíå Ïëàêàë â ëîäêå ðûáàê, ÷òî óäà÷è âñå íåò, Áðîñèë íà âîäó âçãëÿä ñâîé ñêîíôóæåííûé. Âäðóã óâèäåë íà âîëíàõ êàêîé-òî ïðåäìåò Ïî÷òè ïîëíîñòüþ â âîäó ïîãðóæåííûé. Ñ êàêèì âûèãðûøåì áóäåò, Îäîëååò ëè «âðàãà», Åñëè îí òåïåðü âîçüìåòñÿ Çà âòîðîé êðàé ðû÷àãà? 4. Êëîóí íà êàíàòå Õîäèò êëîóí ïî êàíàòó.  ðóêàõ äåðæèò ïîëáðåâíà. Äëÿ àðòèñòà ÷òî âàæíåå Âåñ áðåâíà èëè äëèíà?  ðåêó áðîñèëñÿ îí, âåñü ïðîìîê è ïðîäðîã. Ñêîðî â ëîäêó ïîäíÿë èç ïó÷èíû Ñ ïå÷àòüþ ñóðãó÷íîé íà ïðîáêå êóâøèí Òðåõëèòðîâûé, ñòàðèííûé, èç ãëèíû. 5. Ìÿ÷èê íà ãîðêå  ãîðêó ìû êàòíóëè ìÿ÷èê. Íå ïîéìåì äî ñåé ïîðû: Êóäà äâèãàëñÿ îí äîëüøå  ãîðó èëü îïÿòü ñ ãîðû? Ðàñïå÷àòàâ êóâøèí, íàø ãåðîé îáîìëåë, Äóøà ïåëà êàê òûñÿ÷à äóäîê «Çîëîòûå» êàòèëèñü. Îòíûíå ñåìüÿ Íå óñíåò íà ãîëîäíûé æåëóäîê. 25-39.p65 38 30.01.09, 12:25 Ê Âîò óæ äåíüãè â ìåøêå, êóâøèí òðîíóëñÿ â ïóòü, Ëèøü íà òðåòü èç âîäû âûñòóïàÿ. Íå çàâèäóÿ ïàðíþ, âàì íàäî ñìåêíóòü Ó äåíåæåê ìàññà êàêàÿ? 9. Äèñê â êðóæêå Äàâàéòå îïûò ïðîâåäåì (Ìûñëåííûé, êîíå÷íî) Ôàíåðíûé â êðóæêó äèñê êëàäåì, Âîäîþ çàëèâàåì ñïåøíî. Âåñüìà íåòðóäíî ïðåäñêàçàòü, Ãäå áóäåò äèñê ïîòîì. À åñëè îïûò ïîâòîðÿòü Ñî ðòóòüþ è ñòåêëîì? 10. Øóáà â æàðó  Åãèïåò ÷óê÷à ïðèëåòåë, Æàðà ïîä ñîðîê ïÿòü. Çà÷åì æå øóáó îí íàäåë? Ïîïðîáóé óãàäàòü. 11. Öóíàìè íà ñóøå  îêåàíå öóíàìè Íå îùóùàþòñÿ íàìè. Ïî÷åìó æå ó ñóøè Îíè òàê íåïîñëóøíû? 12. ×àéíèê äëÿ çàâàðêè ×àéíèê äëÿ çàâàðêè ÷àÿ Âûïîëíåí âåñüìà õèòðî: Èç ôàðôîðà, â ôîðìå øàðà, Ñîâñåì áåëîå íóòðî. Ñáîêó ðó÷êà, êðûøêà ñ äûðêîé, Íîñèê ñ ðåøåòîì âíóòðè. Òû âñå ýòè «çàêîâûðêè» Ïî íàóêå ðàññìîòðè! Ðåøåíèÿ çàäà÷ 1.  ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ âîäîé, ñêîðîñòü êîðàáëèêà ïîñòîÿííà ïî âåëè÷èíå, ïîýòîìó äî áåñêîçûðêè îí äîïëûâåò çà ÷åòâåðòü ÷àñà. Çíà÷èò, âðåìÿ íàõîæäåíèÿ áåñêîçûðêè â âîäå ñîñòàâëÿåò ïîë÷àñà. Ïåðåéäåì òåïåðü â ñèñòåìó îòñ÷åòà, ñâÿçàííóþ ñ áåðåãîì. Ïîñêîëüêó âðåìÿ â îáåèõ ñèñòåìàõ òå÷åò îäèíàêîâî, áåñêîçûðêà çà ïîë÷àñà óïëûâåò íà äâå ìèëè. 2. Ïðè ïîâòîðíîì ðàçëàìûâàíèè ðû÷àã ñòàíîâèòñÿ êîðî÷å, ñëåäîâàòåëüíî, òðåáóåòñÿ áóëüøàÿ ñèëà. 3.  ïåðâîì ñëó÷àå âûèãðûø â ñèëå ïîëó÷èëñÿ íå â ÷åòûðå, à òîëüêî â òðè ðàçà. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñàì ðû÷àã âåñîìûé. Çàïèñàâ óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ ðû÷àãà, íàéäåì, ÷òî ìàññà ðû÷àãà â øåñòü ðàç ìåíüøå ìàññû êàìíÿ. Òîãäà âî âòîðîì ñëó÷àå âûèãðûø â ñèëå ïîëó÷èòñÿ â 1,2 ðàçà. 4. Øåñò íóæåí êàíàòîõîäöó äëÿ ñîõðàíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Òî, ÷òî øåñò äîëæåí áûòü òÿæåëûì, ýòî î÷åâèäíî, è ñ ýòèì íèêòî íå ñïîðèò. Îäíàêî åñëè ðàñïî- 25-39.p65 39 Ì !' Ø ëîæèòü øåñò íå ïîïåðåê êàíàòà, à âäîëü íåãî, òî óðàâíîâåøèâàþùåå ñâîéñòâî øåñòà èñ÷åçàåò. Çíà÷èò, âàæíû è åãî ãåîìåòðè÷åñêèå ðàçìåðû. Ïðè ýòîì îêàçûâàåòñÿ, ÷òî äëÿ ñîõðàíåíèÿ óñòîé÷èâîñòè äëèíà øåñòà èãðàåò áîëüøóþ ðîëü, íåæåëè åãî âåñ. 5. Êîãäà ìÿ÷èê ïîäíèìàåòñÿ â ãîðêó, åãî ñêîðîñòü óìåíüøàþò äâå ñèëû: ñèëà òÿæåñòè è ñèëà òðåíèÿ. Êîãäà æå ìÿ÷èê ñïóñêàåòñÿ ñ ãîðêè, åãî äâèæåíèþ ïðåïÿòñòâóåò òîëüêî ñèëà òðåíèÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñêàòûâàòüñÿ ñ ãîðêè ìÿ÷èê áóäåò äîëüøå. 6. ßñíî, ÷òî ïëîòíîñòü êàðàíäàøà ñîñòàâëÿåò òðè ÷åòâåðòè îò ïëîòíîñòè âîäû, ò.å. 750 êã/ì3. 7. Íóæíî ïîñòàâèòü áåãåìîòà â ëîäêó è îòìåòèòü ãëóáèíó åå ïîãðóæåíèÿ. Çàòåì íàäî óáðàòü áåãåìîòà è íàãðóæàòü ëîäêó çîëîòîì äî òåõ ïîð, ïîêà ãëóáèíà ïîãðóæåíèÿ íå ñòàíåò ïðåæíåé.  òàêîì ñëó÷àå ìàññà ãðóçà áóäåò ðàâíà ìàññå áåãåìîòà. 8.  ïåðâîì ñëó÷àå âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà óðàâíîâåøèâàåò ñèëó òÿæåñòè êóâøèíà è ñèëó òÿæåñòè çîëîòà. Âî âòîðîì ñëó÷àå âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà, óìåíüøèâøàÿñÿ íà îäíó òðåòü, óðàâíîâåøèâàåò òîëüêî ñèëó òÿæåñòè êóâøèíà. Îòñþäà ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ìàññà çîëîòà ñîñòàâëÿåò 1 êã. 9. Âîäà, ñìà÷èâàÿ ôàíåðó, ïîäòå÷åò ïîä äèñê, ïîÿâèòñÿ âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà, è ôàíåðíûé äèñê âñïëûâåò. Ðòóòü æå ñòåêëî íå ñìà÷èâàåò, ïîýòîìó îíà íå áóäåò ïîäòåêàòü ïîä ñòåêëÿííûé äèñê, àðõèìåäîâîé ñèëû íå ïîÿâèòñÿ, è ñòåêëÿííûé äèñê îñòàíåòñÿ ëåæàòü íà äíå. 10. Åñëè òåìïåðàòóðà íà óëèöå âûøå òåìïåðàòóðû ÷åëîâå÷åñêîãî òåëà, òî èìååò ñìûñë íîñèòü îäåæäó, íå ïðîïóñêàþùóþ òåïëî. Òîãäà ïîä îäåæäîé òåìïåðàòóðà áóäåò íå 45 ãðàäóñîâ, à òîëüêî 36,6. 11. Êîãäà â îêåàíå íà áîëüøîé ãëóáèíå ïðîèñõîäèò çåìëåòðÿñåíèå, áîëüøàÿ ìàññà âîäû íà÷èíàåò äâèãàòüñÿ ñ íåáîëüøîé ñêîðîñòüþ êàê â øèðîêîé òðóáå. Ó áåðåãà ìåëêîâîäüå, «òðóáà» ñóæàåòñÿ, íî îáúåì âîäû, ïðîòåêàþùèé ÷åðåç ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå, äîëæåí îñòàâàòüñÿ íåèçìåííûì, ïîýòîìó ñêîðîñòü äâèæåíèÿ âîäû âîçðàñòàåò, ñî âñåìè âûòåêàþùèìè îòñþäà ïîñëåäñòâèÿìè. 12. Ðàññìîòðèì âñå âîïðîñû ïî ïîðÿäêó. Äëÿ òîãî ÷òîáû ÷àé çàâàðèëñÿ, â ÷àéíèêå äîëæíà ñîõðàíÿòüñÿ âûñîêàÿ òåìïåðàòóðà äîñòàòî÷íî ïðîäîëæèòåëüíîå âðåìÿ âîò ïî÷åìó ÷àéíèê ñäåëàí èç âåùåñòâà ñ ïëîõîé òåïëîïðîâîäíîñòüþ (ôàðôîð). ×åì ìåíüøå ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè òåëà (ïðè ïðî÷èõ ðàâíûõ óñëîâèÿõ), òåì îíî ìåäëåííåå îñòûâàåò, à íàèìåíüøàÿ ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè ó øàðà. Áåëûé öâåò âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòè ÷àéíèêà ïðåäîòâðàùàåò ïîòåðè òåïëà çà ñ÷åò èçëó÷åíèÿ. Ðó÷êà íóæíà äëÿ óäîáñòâà ïåðåíîñêè ãîðÿ÷åãî ÷àéíèêà. Åñëè êðûøêà ÷àéíèêà ïëîòíî ïðèëåãàåò ê êîðïóñó, òî ïðè âûëèâàíèè ÷àÿ âíóòðè ÷àéíèêà îáðàçóåòñÿ îáúåì âîçäóõà ñ ïîíèæåííûì äàâëåíèåì è çàâàðêà ïåðåñòàåò âûòåêàòü âî èçáåæàíèå ýòîãî è äåëàþò â êðûøêå îòâåðñòèå. È íàêîíåö, ðåøåòî â íîñèêå ìåøàåò ïîïàäàíèþ ÷àèíîê â ÷àøêó. 30.01.09, 12:25