40 ÊÂÀÍT 2003/¹4 íàõîäèòüñÿ ïîñåðåäèíå äóãè ÀÅÂ, ò.å. â òî÷êå Ñ, ïðè ýòîì α =β. Òåïåðü èññëåäóåì õàðàêòåð ýêñòðåìóìà. Âîçüìåì âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ îò èñêîìîé äëèíû ïî óãëó: d2l AEB dϕ2 ( ) = 2R − cos 45o − sin 45o = −2 2 R < 0 . ϕ=45 o Îòðèöàòåëüíûé çíàê âòîðîé ïðîèçâîäíîé ïîêàçûâàåò íàëè÷èå ìàêñèìóìà ñâåò âûáèðàåò íàèäëèííåéøóþ èç âîçìîæíûõ òðàåêòîðèé: lACB > lAEB . Ïðèìåð 3. Äîêàæåì, ÷òî ïðè îòðàæåíèè îò âîãíóòîé ýëëèïñîèäíîé ïîâåðõíîñòè âûïîëíÿåòñÿ çàêîí îòðàæåíèÿ α = β ïðè ïåðåõîäå ñâåòà èç ôîêóñà À ýëëèïñà ê ôîêóñó  (ðèñ. 5; òî÷êà Ñ ìîæåò áûòü âûáðàíà ïðîèçâîëüíî, ÑN ïåðïåíäèêóëÿð ê êàñàòåëüíîé â òî÷êå îòðàæåíèÿ; çàñC C¢ ëîíêà D èñêëþ÷àåò ïðÿα β ìîå ïîïàäàíèå ñâåòà èç À â Â). Ðåàëèçóåòñÿ ëè A N B óñëîâèå ýêñòðåìóìà â D ýòîì ñëó÷àå? Îïóñòèì èç òî÷êè À ïåðïåíäèêóëÿð íà êàñàÐèñ. 5 òåëüíóþ è ïðîäîëæèì åãî íà ðàññòîÿíèå LA′ = AL (ðèñ.6). Ñîåäèíèì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ýëëèïñà Å ñ òî÷êîé A′ . Òðåóãîëüíèê ÀLÅ ðàâåí òðåóãîëüíèêó A′LE (êàê äâà ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêà ñ ðàâíûìè êàòåòàìè), A¢ îòñþäà α = α′ è A′E = AE . Òîãäà lA′EB = lAEB = 2a , L ãäå à áîëüøàÿ ïîëóîñü ýëëèïñà. Ëîìàíàÿ α¢ E ëèíèÿ ÀÅÂ, ñîåäèíÿE¢ α K þùàÿ òî÷êè À è  ÷åγ δ β C ðåç òî÷êó êàñàíèÿ Å, ÿâëÿåòñÿ êðàò÷àéøåé M K N A B ëèíèåé, ò.å. lAEB < < lAE′B , ïîýòîìó òàêæå ëèíèÿ A′EB ÿâëÿÐèñ. 6 åòñÿ êðàò÷àéøåé, ñîåäèíÿþùåé òî÷êè A′ è Â. À òàêîé ëèíèåé ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ. Íà îñíîâå òåîðåìû î íàêðåñò ëåæàùèõ óãëàõ ïîëó÷àåì α′ = β , íî α′ = α , îòñþäà α = β , à òàêæå γ=δ óãîë ïàäåíèÿ ðàâåí óãëó îòðàæåíèÿ. Ïîñêîëüêó óñëîâèå ýëëèïñà r1 + r2 = AE + EB = 2a = const âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñåõ åãî òî÷åê, òî lAEB = lACB = const , çíà÷èò, â äàííîì ñëó÷àå íå ñóùåñòâóåò ýêñòðåìóìà. Ïîäâåäåì íåêîòîðûé èòîã. Âî âñåõ òðåõ ïðèìåðàõ îáùèì òðåáîâàíèåì äëÿ âûïîëíåíèÿ çàêîíà îòðàæåíèÿ ñâåòà ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî íóëþ ïåðâîé ïðîèçâîäíîé äëèíû òðàåêòîðèè ëó÷à ïî îòêëîíåíèþ îò èñòèííîé òðàåêòîðèè â òó èëè èíóþ ñòîðîíó. Ýòî îòêëîíåíèå ìîæåò áûòü âûðàæåíî óãëîì ïîâîðîòà (ïðèìåð 2) èëè ñìåùåíèåì òî÷êè ïàäåíèÿ ëó÷à âäîëü îòðàæàþùåé ïîâåðõíîñòè (ïðèìåðû 1 è 3). Óñëîâèå ýòî íàçûâàåòñÿ óñëîâèåì ñòàöèîíàðíîñòè. Ïðè ýòîì ìîæåò áûòü èëè ìèíèìóì, èëè ìàêñèìóì, èëè íå áûòü íè òîãî íè äðóãîãî. Ïðåëîìëåíèå ñâåòà Ïðèìåð 4. à) Äîêàæåì, ÷òî âðåìÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà ÷åðåç ïëîñêóþ ãðàíèöó ðàçäåëà äâóõ ñðåä èç òî÷êè À (â ñðåäå, ãäå ñêîðîñòü ñâåòà v1 ) â òî÷êó  (ãäå åãî ñêîðîñòü v2 ) ìèíèìàëüíî íà òàêîé òðàåêòîðèè ÀÑ (ðèñ.7), äëÿ sin α v1 êîòîðîé âûïîëíÿåòñÿ çàêîí ïðåëîìëåíèÿ sin β = v = const . 2 á) Âûâåäåì çàêîí ïðåëîìëåíèÿ ñâåòà, èñõîäÿ èç òîãî, ÷òî âðåìÿ åãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ ìåæäó ôèêñèðîâàííûìè òî÷êàìè À è A A v α C¢ M v β B Ðèñ. 7 N C v C v α β B Ðèñ. 8  ïðè ïðåëîìëåíèè íà ïëîñêîé ãðàíèöå ðàçäåëà áóäåò ìèíèìàëüíûì. à) Ïîñòðîèì êðóã ïðîèçâîëüíîãî ðàäèóñà (ðèñ.8). Èçîáðàçèì åãî äèàìåòð ÌN, ðàçäåëÿþùèé äâå ñðåäû: ñâåðõó íàõîäèòñÿ îïòè÷åñêè ìåíåå ïëîòíàÿ ñðåäà, ñíèçó áîëåå ïëîòíàÿ ( v1 > v2 ). Îòìåòèì íàøè òî÷êè À è  è ïðîâåäåì äâå ëîìàíûå: ÷åðåç öåíòð Ñ êðóãà, ïðè ýòîì α è β óãëû ïàäåíèÿ è ïðåëîìëåíèÿ ñâåòà ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì sin α v1 = = const , sin β v2 è ÷åðåç ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó C′ . Íàäî äîêàçàòü, ÷òî âðåìÿ ïðîõîæäåíèÿ ñâåòîì A ïóòè ÀÑ ìåíüøå âðåìåíè ïðîõîæäåíèÿ ïóòè l AC′B . Ïðåäîñòàâëÿåì h α v ÷èòàòåëÿì ñäåëàòü ýòî C¢ C ñàìîñòîÿòåëüíî. N M x á) Ïóñòü òî÷êà Ñ ÿâl ëÿåòñÿ ïîäâèæíîé òî÷h v β êîé, ïðè äâèæåíèè êîd òîðîé âäîëü ïëîñêîé B ãðàíèöû ðàçäåëà äâóõ Ðèñ. 9 ñðåä ìåíÿåòñÿ âðåìÿ ïåðåõîäà èç òî÷êè À â òî÷êó  (ðèñ.9). Èç ðèñóíêà íàõîäèì tACB = tAC + tCB = AC CB + = v1 v2 x 2 + h12 + v1 (d − x )2 + h22 v2 . Íåîáõîäèìîå óñëîâèå ìèíèìóìà (ñòàöèîíàðíîñòè) çàïèøåì â âèäå dt =0, dx îòêóäà ïîëó÷èì x d−x − =0, 2 2 2 v1 x + h1 v2 ( d − x ) + h22 èëè x d−x − =0. v1l1 v2l2 Òàê êàê x d−x = sin β , = sin α è l1 l2