39 ÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈÂ Ô È Ç ÈÔ × ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈ Ïðèíöèï Ôåðìà À.ÑÅÍÄÅÐÈÕÈÍ Ô ÐÀÍÖÓÇÑÊÈÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ ÏÜÅÐ ÔÅÐÌÀ ÏÐÈÁËÈÇÈÒ- òåëüíî â 1660 ãîäó ñôîðìóëèðîâàë îñíîâíîé ïðèíöèï ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè, íàçûâàåìûé òåïåðü ïðèíöèïîì Ôåðìà. Ñîãëàñíî ýòîìó ïðèíöèïó, èç âñåõ âîçìîæíûõ ïóòåé ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè ñâåò âûáèðàåò òîò, ïî êîòîðîìó âðåìÿ ïðîõîæäåíèÿ íàèìåíüøåå. Îòñþäà ñëåäóþò âñå îñíîâíûå çàêîíû ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè. Äåéñòâèòåëüíî, â îäíîðîäíîé ñðåäå ñâåò äîëæåí ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ ïðÿìîëèíåéíî, ïîñêîëüêó ïðÿìàÿ ýòî êðàò÷àéøåå ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè, è, ñëåäîâàòåëüíî, âðåìÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ íàèìåíüøåå. Åñëè æå ñâåò ïàäàåò íà ãðàíèöó ðàçäåëà äâóõ îïòè÷åñêè ðàçëè÷íûõ ñðåä (ñðåä ñ ðàçíûìè ïîêàçàòåëÿìè ïðåëîìëåíèÿ, èëè ñ ðàçíûìè ñêîðîñòÿìè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà), òî âûïîëíÿþòñÿ çàêîíû îòðàæåíèÿ è ïðåëîìëåíèÿ ñâåòà, êîòîðûå òîæå íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàþò èç ïðèíöèïà Ôåðìà.  áîëåå ñòðîãîé ôîðìóëèðîâêå ïðèíöèï Ôåðìà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òàê íàçûâàåìûé âàðèàöèîííûé ïðèíöèï, óòâåðæäàþùèé, ÷òî ñâåò ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ îò îäíîé òî÷êè ê äðóãîé ïî ëèíèè, âäîëü êîòîðîé âðåìÿ åãî ïðîõîæäåíèÿ ýêñòðåìàëüíî, ò.å. èëè ìèíèìàëüíî, èëè ìàêñèìàëüíî, èëè îäèíàêîâî ïî ñðàâíåíèþ ñ âðåìåíàìè ïðîõîæäåíèÿ âäîëü âñåõ äðóãèõ ëèíèé. Îáñóäèì íåñêîëüêî êîíêðåòíûõ ïðèìåðîâ, èëëþñòðèðóþùèõ ïðèíöèï Ôåðìà. Îòðàæåíèå ñâåòà Ïðèìåð 1. Ðàññìîòðèì îòðàæåíèå ñâåòà îò ïëîñêîãî çåðêàëà (ðèñ.1; çàñëîíêà D èñêëþ÷àåò ïðÿìîå ïîïàäàíèå ñâåòà èç À â Â). à) Äîêàæåì, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè çàêîíà îòðàæåíèÿ ∠ACD = α = β = ∠DCB ñâåò ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïî êðàò÷àéøåé èç D âîçìîæíûõ òðàåêòîB A ðèé, à èìåííî ïî ëèíèè ÀÑÂ. á) Âûâåäåì çàêîí îòðàæåíèÿ ñâåòà, èñβ α õîäÿ èç òîãî, ÷òî ñâåò, îòðàçèâøèñü îò çåðêàëà, ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïî êðàò÷àéøåé òðàåêC E òîðèè. Ðèñ. 1 à) Âûïîëíèì äîïîëíèòåëüíîå ïîñòðîåíèå D (ðèñ.2): îòìåòèì íà ïðîA B äîëæåíèè ïåðïåíäèêóëÿðà ÀÌ îòðåçîê MA′ = AM è ñîåäèíèì A′ ñ òî÷êàìè Ñ è òî÷êó β α Å. Ïîñêîëüêó ∆ACM = M M ¢ = ∆A′CM (êàê äâà E C ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêà ñ ðàâíûìè êàòåòàìè), òî ∠ACM = = ∠A′CM . Òàê æå ∆ACM = ∆BCM′ , îòA¢ êóäà ∠ACM = ∠BCM′. Ðèñ. 2 Çíà÷èò, ∠A′CM = ∠BCM′ . Íà îñíîâå îáðàòíîé òåîðåìû î íàêðåñò ëåæàùèõ óãëàõ ïîëó÷àåì, ÷òî ëèíèÿ A′CB ïðÿìàÿ, ò.å. êðàò÷àéøàÿ ëèíèÿ. Íî A′C = AC è AE = A′E , ñëåäîâàòåëüíî, A B lACB < lAEB . K á) Ïóñòü òî÷êà Å ñâîh β áîäíî äâèæåòñÿ âäîëü h α MM′ (ðèñ.3). Êîãäà M¢ äëèíà ëèíèè ÀÅ ñòà- M x E íîâèòñÿ ìèíèìàëüíîé, d âûïîëíÿåòñÿ çàêîí îòðàæåíèÿ, ò.å. ∠AEK = Ðèñ. 3 = ∠BEK . Äåéñòâèòåëüíî, èç ðèñóíêà 3 (d − x )2 + h2 . x 2 + h2 + lAEB = lAE + lEB = Çàïèøåì íåîáõîäèìîå óñëîâèå ìèíèìóìà: dlAEB =0, dx èëè d 2 x + h2 + dx 2 (d − x ) = Íî + h2 = x 2 x +h 2 − d−x 2 (d − x ) +h 2 = x d−x − =0. l1 l2 x d−x = sin α è = sin β , l1 l2 ïîýòîìó sin α = sin β , è α = β . ×òî ýêñòðåìóì áóäåò èìåííî ìèíèìóìîì, ìîæíî ïîêàçàòü âçÿòèåì âòîðîé ïðîèçâîäíîé èëè êàêèì-ëèáî åùå ñïîñîáîì. Ïðèìåð 2. Ïóñòü ñâåò D B A îòðàæàåòñÿ îò âîãíóϕ òîãî ñôåðè÷åñêîãî çåðêàëà, âûïîëíåííîãî â âèäå ïîëóñôåðû ðàäèóñîì R. Âûâåäåì çàêîí α β îòðàæåíèÿ ñâåòà äëÿ E ýòîãî ñëó÷àÿ ïðè óñëîâèè, ÷òî ñâåò, ðàñïðîñC òðàíÿÿñü îò òî÷êè À ê Ðèñ. 4 òî÷êå Â, âûáèðàåò ýêñòðåìàëüíóþ ïî äëèíå òðàåêòîðèþ (ðèñ.4; çàñëîíêà D èñêëþ÷àåò ïðÿìîå ïîïàäàíèå ñâåòà èç À â Â). Èññëåäóåì õàðàêòåð ýòîãî ýêñòðåìóìà. Ñîãëàñíî ðèñóíêó 4, lAEB = lAE + lEB = 2 R cos ϕ + 2 R sin ϕ , ò.å. èñêîìàÿ äëèíà ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé óãëà ϕ . Óñëîâèå ýêñòðåìóìà ðåàëèçóåòñÿ ïðè dlAEB =0, dϕ èëè d (2 R cos ϕ + 2 R sin ϕ ) = 2R (− sin ϕ + cos ϕ ) = 0 , dϕ îòêóäà ïîëó÷àåì sin ϕ = cos ϕ , è ϕ = 45o . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî òî÷êà Å ïðè èñòèííîé òðàåêòîðèè äîëæíà