Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê ïðîôåññîð Ìèõàèë Ïàâëîâè÷ Õàðëàìîâ ¾Ñòðàíèöà¿ ñ ìåòîäè÷åñêèìè ìàòåðèàëàìè http://inter.vags.ru/hmp ×àñòü II. Íà÷àëà ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè Âîëãîãðàäñêèé ôèëèàë ÐÀÍÕèÃÑ (ÔÃÎÓ ÂÏÎ ÂÀÃÑ) Íàïðàâëåíèÿ Ýêîíîìèêà, ñîöèîëîãèÿ (áàêàëàâðèàò) Ëåêöèÿ 1 Òåìà Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè Ñîäåðæàíèå òåìû Çàäà÷à ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè Íàó÷íûå ïðåäïîñûëêè ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè Îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè âûáîðîê Îñíîâíûå êàòåãîðèè I I I âûáîðêà, âàðèàöèîííûé ðÿä, ìåäèàíà, ìîäà âàðèàíòû, ñòàòèñòè÷åñêèé ðÿä, ÷àñòîòû, ÷àñòîñòè, ïîëèãîí âûáîðî÷íîå ñðåäíåå, ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå, âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ, íåñìåùåííàÿ îöåíêà. Ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ òåðìèíà ¾ñòàòèñòèêà¿ Ñòàòèñòèêà ñåìåéñòâî äèñöèïëèí, èçó÷àþùèõ îáúåì íàêîïëåííûõ äàííûõ â îïðåäåëåííîé îòðàñëè è ïðèåìû èõ îáðàáîòêè (ñîöèàëüíàÿ ñòàòèñòèêà, ôèíàíñîâàÿ ñòàòèñòèêà, ýêîíîìè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà, ñòàòèñòèêà îòðàñëåé íàðîäíîãî õîçÿéñòâà, ñòàòèñòèêà ïðåñòóïëåíèé è ò.ï.). Ñòàòèñòèêà ïðîöåññ ñáîðà îò÷åòíîé èíôîðìàöèè îá îïðåäåëåííîì íàáîðå ïîêàçàòåëåé ïî îïðåäåëåííîìó âîïðîñó. Ñòàòèñòèêà, èëè ñòàòèñòè÷åñêàÿ èíôîðìàöèÿ ÷èñëîâàÿ è ñòðóêòóðèðîâàííàÿ èíôîðìàöèÿ î íåêîòîðûõ îáúåêòàõ èëè ïðîöåññàõ. Ñòðóêòóðèðîâàííîñòü ïðåäïîëàãàåò, ÷òî ÷åòêî îïðåäåëåí íàáîð ÷èñëîâûõ ïðèçíàêîâ, çíà÷åíèÿ êîòîðîãî ñîáðàíû ïî ìíîæåñòâó îäíîðîäíûõ îáúåêòîâ èëè ïðîöåññîâ. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà íàóêà îá îáîñíîâàííûõ ñïîñîáàõ îáðàáîòêè ñòàòèñòè÷åñêîé èíôîðìàöèè. Îáåñïå÷èâàåò îòðàñëåâûå ñìåæíûå äèñöèïëèíû íàó÷íûì òåîðåòè÷åñêèì ôóíäàìåíòîì. Ïðåäïîñûëêè ÌÑ ¾ïðåäåëüíûå òåîðåìû¿ Íåòî÷íûå, ãèïîòåòè÷åñêèå óòâåðæäåíèÿ: Ïåðâàÿ èäåÿ ïðè áîëüøîì êîëè÷åñòâå ýêñïåðèìåíòîâ ñðåäíÿÿ âåëè÷èíà èçìåðåííîãî ïðèçíàêà ñòðåìèòñÿ ê åãî ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ. Âòîðàÿ èäåÿ ïðè áîëüøîì êîëè÷åñòâå ýêñïåðèìåíòîâ ëþáîé èçìåðåííûé ïðèçíàê ¾â ñðåäíåì¿ ïîä÷èíÿåòñÿ íîðìàëüíîìó çàêîíó (Ãàóññà). Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû çàêîí Ãàóññà N (µ, σ) ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì µ è äèñïåðñèåé σ 2 èìååò âèä Íàïîìèíàíèå. f (x) = (x−µ)2 1 √ e− 2σ2 . σ 2π Îïðåäåëåíèå. Ñòàíäàðòíîé íîðìàëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé íàçûâàåòñÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ðàñïðåäåëåííàÿ ïî çàêîíó N (0, 1), òî åñòü ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ è õàðàêòåðèñòèêàìè x2 1 f (x) = √ e− 2 , 2π M (X) = 0, D(X) = 1, σ(X) = 1. Ïåðâûå ïðåäïîñûëêè òåîðåìû Áåðíóëëè è ×åáûøåâà Òåîðåìà Áåðíóëëè.  ñõåìå Áåðíóëëè ñ âåðîÿòíîñòüþ óñïåõà p îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà óñïåõà â n èñïûòàíèÿõ ñòðåìèòñÿ ¾ïî âåðîÿòíîñòè¿ ê p ïðè íåîãðàíè÷åííîì óâåëè÷åíèè ÷èñëà èñïûòàíèé, òî åñòü äëÿ ëþáîãî ñêîëü óãîäíî ìàëîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà ε è êîëè÷åñòâà óñïåõîâ k lim P {| n→∞ k − p| 6 ε} = 1. n Òåîðåìà ×åáûøåâà. Ïóñòü X1 , X2 , . . . , Xn , . . . îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì a. Ïóñòü Yn îáîçíà÷àåò ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå ïåðâûõ n âåëè÷èí X1 + . . . + Xn Yn = . n Òîãäà äëÿ ëþáîãî ñêîëü óãîäíî ìàëîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà ε lim P {|Yn − a| > ε} = 0. n→∞ Ýòî îäíà èç ôîðìóëèðîâîê Çàêîíà Áîëüøèõ ×èñåë. Äàëüíåéøèå ïðåäïîñûëêè ¾ïðåäåëüíûå òåîðåìû¿ Òåîðåìà ÌóàâðàËàïëàñà. Ðàññìîòðèì ñõåìó Áåðíóëëè ñ ôèêñèðîâàííîé âåðîÿòíîñòüþ óñïåõà p. Ïóñòü X áèíîìèàëüíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà êîëè÷åñòâî óñïåõîâ â n èñïûòàíèÿõ, à ÷åðåç q = 1−p îáîçíà÷åíà âåðîÿòíîñòü íåóäà÷è. Åñëè êîëè÷åñòâî èñïûòàíèé n ñòðåìèòñÿ ê ∞, òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X − np Z= √ npq ñòðåìèòñÿ ê ñòàíäàðòíîìó íîðìàëüíîìó çàêîíó N (0, 1). Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà (Ëÿïóíîâ è ïîñëåäîâàòåëè). Ïóñòü X1 , . . . , Xn , . . . ïðîèçâîëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå è M (Xi ) = a, σ(Xi ) = σ . Òîãäà çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ¾ñðåäíåé è íîðìàëèçîâàííîé¿ âåëè÷èíû Yn = X1 +...+Xn n √ σ/ n −a . ñòðåìèòñÿ ê íîðìàëüíîìó çàêîíó N (0, 1) ïðè n → ∞. Ïðèìåð Çàäà÷à äëÿ ñòðàõîâîé êîìïàíèè  îïðåäåëåííîì ðåãèîíå ñðåäíÿÿ ïðîäîëæèòåëüíîñòü æèçíè ñîñòàâëÿåò 60 ëåò, ñðåäíåêâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå 15 ëåò. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñðåäíÿÿ ïðîäîëæèòåëüíîñòü æèçíè 100 ñëó÷àéíî âûáðàííûõ æèòåëåé áóäåò îò 60 äî 63 ëåò? Íàáðîñîê ðåøåíèÿ X ÑÂ, âûðàæàþùàÿ ïðîäîëæèòåëüíîñòü æèçíè. Òîãäà ïî èñõîäíûì äàííûì: a = M (X) = 60, σ = σ(X) = 15. Âûáðàëè n = 100 ÷åëîâåê è âû÷èñëèëè ñðåäíåå Z= 1 (X1 + X2 + ... + X100 ). 100 Ïî ÖÏÒ ýòó âåëè÷èíó ìîæíî ñ÷èòàòü íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé ñ ìàòåìàòè÷åñêèì √ îæèäàíèåì a = 60 è ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì σ/ n = 1.5. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî 60 6 Z 6 63 òåïåðü ìîæíî íàéòè ïî ïðàâèëó òðåõ ñèãì. Íà÷àëà ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè Ïðåäïîëîæåíèå. Âûáðàí è èçìåðÿåòñÿ â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýêñïåðèìåíòîâ íåêîòîðûé ÷èñëîâîé ïðèçíàê (ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà) X . Ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü âñå âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ ïðèçíàêà â ðåçóëüòàòå âñåõ âîçìîæíûõ ìûñëèìûõ ýêñïåðèìåíòîâ. Îïðåäåëåíèå. Êàê ïðàâèëî, ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü íàì íåäîñòóïíà, à åñëè è ìîæåò áûòü óêàçàíà, òî òîëüêî òåîðåòè÷åñêè. Âûáîðêà ïîëíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çíà÷åíèé ïðèçíàêà, ïîëó÷åííàÿ â ðåçóëüòàòå âñåõ ýêñïåðèìåíòîâ. Îáúåì âûáîðêè êîëè÷åñòâî ïîëó÷åííûõ çíà÷åíèé ïðèçíàêà (â òîì ÷èñëå è ïîâòîðÿþùèõñÿ) â ðåçóëüòàòå âñåõ ýêñïåðèìåíòîâ (ôàêòè÷åñêè êîëè÷åñòâî ýêñïåðèìåíòîâ). Îïðåäåëåíèå. Âàæíîå ïîíÿòèå ðåïðåçåíòàòèâíîñòü âûáîðêè Âûáîðêà íàçûâàåòñÿ ðåïðåçåíòàòèâíîé (ïðåäñòàâèòåëüíîé), åñëè îíà ñîñòàâëåíà òàê, ÷òî ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íîé äëÿ íàäåæíûõ âûâîäîâ î âñåé ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè. Îïðåäåëåíèå. Ïî÷òè íåâîçìîæíî äîêàçàòü ðåïðåçåíòàòèâíîñòü âûáîðêè, îäíàêî, ÷àñòî ìîæíî îáîñíîâàòü îáðàòíîå òî åñòü óêàçàòü íåêîòîðûå ñâîéñòâà, ïðè íåâûïîëíåíèè êîòîðûõ âûáîðêà çàâåäîìî íå áóäåò ðåïðåçåíòàòèâíîé (íàïðèìåð, ïðè ñîöèîëîãè÷åñêîì îïðîñå ïåðåä âûáîðàìè íåëüçÿ îãðàíè÷èâàòüñÿ òîëüêî ïåíñèîíåðàìè èëè òîëüêî ëþäüìè, èìåþùèìè ìîáèëüíûå òåëåôîíû). Âàðèàöèîííûé ðÿä Âàðèàöèîííûì ðÿäîì íàçûâàþòñÿ çíà÷åíèÿ ïðèçíàêà âûáîðêè, ðàñïîëîæåííûå â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ: Îïðåäåëåíèå. x1 6 x2 6 . . . 6 xn . Îïðåäåëåíèå. Ìåäèàíîé Me âàðèàöèîííîãî ðÿäà íàçûâàåòñÿ çíà÷åíèå, ðàñïîëîæåííîå â åãî ñåðåäèíå (åñëè n íå÷åòíîå, òî â òî÷íîñòè â ñåðåäèíå, åñëè n ÷åòíîå, òî ëèáî äâà ñîñåäíèõ â ñåðåäèíå, ëèáî èõ ïîëóñóììà). Ìîäîé Mo âàðèàöèîííîãî ðÿäà íàçûâàåòñÿ çíà÷åíèå, êîòîðîå âñòðå÷àåòñÿ â íåì ÷àùå âñåãî. Åñëè òàêèõ çíà÷åíèé íåñêîëüêî, òî ðÿä íàçûâàåòñÿ ïîëèìîäàëüíûì. Îïðåäåëåíèå. Âàðèàöèîííûì ðàçìàõîì R âàðèàöèîííîãî ðÿäà íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòü ìåæäó íàèáîëüøèì è íàèìåíüøèì çíà÷åíèÿìè ïðèçíàêà â ðÿäå. Îïðåäåëåíèå. Ñòàòèñòè÷åñêèé ðÿä Ïóñòü äàíà âûáîðêà. Ðàññìîòðèì òîëüêî ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ ïðèçíàêà â âûáîðêå è îáîçíà÷èì èõ â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ ÷åðåç x1 , . . . , xk . Îíè íàçûâàþòñÿ âàðèàíòàìè. Âàðèàíòà ìîæåò âñòðå÷àòüñÿ íåñêîëüêî ðàç. Êîëè÷åñòâî ïîÿâëåíèé çíà÷åíèÿ xi â âàðèàöèîííîì ðÿäå íàçûâàåòñÿ ÷àñòîòîé ýòîãî çíà÷åíèÿ è îáîçíà÷àåòñÿ ni . Ñóììà âñåõ ÷àñòîò ðàâíà îáúåìó âûáîðêè: n1 + . . . + nk = n. Ñòàòèñòè÷åñêèì ðÿäîì íàçûâàåòñÿ ðàíæèðîâàííûé (òî åñòü óïîðÿäî÷åííûé ïî âîçðàñòàíèþ) íàáîð ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé ïðèçíàêà â âûáîðêå (âàðèàíò), âìåñòå ñ èõ âåñàìè (÷àñòîòàìè). Îïðåäåëåíèå. Òàêèì îáðàçîì, ñòàòèñòè÷åñêèé ðÿä ýòî òàáëèöà, àíàëîãè÷íàÿ ðÿäó ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû: xi ni x1 n1 ... ... xk nk ×àñòîñòè Îïðåäåëåíèå. Îòíîøåíèå ÷àñòîò çíà÷åíèé ñòàòèñòè÷åñêîãî ðÿäà ê îáúåìó âûáîðêè íàçûâàþòñÿ ÷àñòîñòÿìè èëè îòíîñèòåëüíûìè ÷àñòîòàìè è îáîçíà÷àþòñÿ ÷åðåç wi : wi = ni , n i = 1, 2, . . . , k. Ñòàòèñòè÷åñêèé ðÿä óäîáíî ïðåäñòàâëÿòü è â âèäå òàáëèöû ÷àñòîñòåé: xi wi x1 w1 ... ... xk wk Óïðàæíåíèÿ. 1) ×åìó ðàâíà ñóììà ÷àñòîñòåé? 2) Êàê ïî ñòàòèñòè÷åñêîìó ðÿäó ñðàçó óêàçàòü ìîäó âàðèàöèîííîãî ðÿäà? Ïîëèãîí ÷àñòîò èëè ÷àñòîñòåé Îïðåäåëåíèå. Ïîëèãîíîì ÷àñòîò ñòàòèñòè÷åñêîãî ðÿäà íàçûâàåòñÿ ëîìàíàÿ, ñîñòàâëåííàÿ ïî òî÷êàì (xi , ni ), òî åñòü ïî îñè àáñöèññ îòêëàäûâàþòñÿ çíà÷åíèÿ ïðèçíàêà x1 , . . . , xk , à ïî îñè îðäèíàò èõ ÷àñòîòû n1 , . . . , nk . Åñëè âìåñòî ÷àñòîò ïî îñè îðäèíàò îòêëàäûâàþòñÿ ÷àñòîñòè, òî ëîìàíàÿ íàçûâàåòñÿ ïîëèãîíîì ÷àñòîñòåé. Ïðèìåð. Ïîëèãîí ÷àñòîñòåé. Ñòàòèñòè÷åñêèé ðÿä çàäàí òàáëèöåé: xi wi −1 0.2 0 0.1 2 0.4 3 0.1 5 0.2 Ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü äàíà âûáîðêà îáúåìà n. Äëÿ ëþáîãî ÷èñëà x âû÷èñëèì k(x) êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ â âûáîðêå ñî çíà÷åíèåì ìåíüøèì, ÷åì x. Ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå: F (x) = k(x) . n Âàæíî! Ãðàôèê ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò ñòóïåí÷àòûé âèä. Óïðàæíåíèå. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ýìïèðè÷åñêîé ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ñòàòèñòè÷åñêîìó ðÿäó: xi ni −1 20 0 10 2 40 3 10 5 20 ôóíêöèè Âûáîðî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü äàíà âûáîðêà îáúåìà n. Åñëè x1 6 . . . 6 xn âàðèàöèîííûé ðÿä, òî âåëè÷èíà n x= 1X xi n i=1 ñðåäíåé àðèôìåòè÷åñêîé âûáîðî÷íûì ñðåäíèì. íàçûâàåòñÿ (âàðèàöèîííîãî ðÿäà) èëè Óïðàæíåíèå. Íàéòè âûáîðî÷íîå ñðåäíåå, åñëè çàäàí ñòàòèñòè÷åñêèé ðÿä: xi ni Ñëåäñòâèå. −1 20 0 10 2 40 3 10 5 20 Äëÿ ñòàòèñòè÷åñêîãî ðÿäà (x1 , n1 ), . . . , (xk , nk ) âûáîðî÷íîå ñðåäíåå âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå Pk k X i=1 ni xi x = Pk = wi xi . i=1 ni i=1 Âûáîðî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè (ïðîäîëæåíèå) Îïðåäåëåíèå. Âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå 2 s = Pk i=1 k ñòàòèñòè÷åñêîãî X ni (xi − x)2 = wi (xi − x)2 = n i=1 k X ðÿäà ! wi x2i − x2 . i=1 Ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå ñòàòèñòè÷åñêîãî ðÿäà îïðåäåëÿåòñÿ êàê êîðåíü êâàäðàòíûé èç âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè: √ s = s2 . Îïðåäåëåíèå. Íåñìåùåííàÿ îöåíêà âûáîðî÷íîé ñòàòèñòè÷åñêîãî ðÿäà îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå Îïðåäåëåíèå. s2H = n 2 s = n−1 Pk i=1 ni (xi − x)2 . n−1 äèñïåðñèè Êîíòðîëüíûå âîïðîñû 1. Ðàçëè÷íûå ïîíèìàíèÿ òåðìèíà ¾ñòàòèñòèêà¿ 2. Òåîðåìû Áåðíóëëè è ×åáûøåâà 3. Òåîðåìà ÌóàâðàËàïëàñà è ÖÏÒ (Ëÿïóíîâà) 4. Ïîíÿòèÿ ãåíåðàëüíîé âàðèàöèîííûé ðÿä ñîâîêóïíîñòè è âûáîðêè, 5. Ìåäèàíà, ìîäà, âàðèàöèîííûé ðàçìàõ 6. Âàðèàíòû, ñòàòèñòè÷åñêèé ðÿä, ÷àñòîòû, ÷àñòîñòè, ïîëèãîí 7. Ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, ïðèìåð ãðàôèêà 8. Âûáîðî÷íîå ñðåäíåå. Ôîðìóëû äëÿ âàðèàöèîííîãî è ñòàòèñòè÷åñêîãî ðÿäîâ 9. Ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå, äèñïåðñèÿ, íåñìåùåííàÿ îöåíêà âûáîðî÷íàÿ Ëåêöèÿ 2 Òåìà Ñâîéñòâà âûáîðî÷íûõ õàðàêòåðèñòèê. Èíòåðâàëüíûå ðÿäû Ñîäåðæàíèå òåìû Ñâîéñòâà ñðåäíåé àðèôìåòè÷åñêîé Ñâîéñòâà âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè Èíòåðâàëüíûé ðÿä è åãî õàðàêòåðèñòèêè Îñíîâíûå êàòåãîðèè I I I I I I I ðàçáèåíèå âûáîðêè íà ãðóïïû; ñðåäíåãðóïïîâàÿ äèñïåðñèÿ; ìåæãðóïïîâàÿ äèñïåðñèÿ; ôîðìóëà Ñòåðäæåñà; èíòåðâàëüíûé ðÿä; ñðåäíÿÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ, äèñïåðñèÿ, íåñìåùåííàÿ äèñïåðñèÿ èíòåðâàëüíîãî ðÿäà; ãèñòîãðàììà èíòåðâàëüíîãî ðÿäà. Ñâîéñòâà ñðåäíåé àðèôìåòè÷åñêîé 1. Ñðåäíÿÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ ïîñòîÿííîé ðàâíà ñàìîé ïîñòîÿííîé. Ò.å. åñëè â âûáîðêå âñå ÷èñëà îêàçàëèñü îäèíàêîâû, òî è ñðåäíÿÿ èìååò òî æå çíà÷åíèå. Åñëè âñå ýëåìåíòû âûáîðêè (èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, âñå âàðèàíòû) óìíîæèòü íà îäíî è òî æå ÷èñëî, òî è ñðåäíÿÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ óìíîæèòñÿ íà òî æå ÷èñëî. 2. Ïîÿñíåíèå óäîáíî çàïèñûâàòü äëÿ ñòàòèñòè÷åñêîãî ðÿäà, ò.å. äëÿ âàðèàíò(îâ) è ÷àñòîò: k X (c xi )ni i=1 n k X xi ni =c i=1 n =⇒ c x = c x. Åñëè êî âñåì ýëåìåíòàì âûáîðêè (ê âàðèàíòàì) ïðèáàâèòü îäíî è òî æå ÷èñëî, òî è ê ñðåäíåé àðèôìåòè÷åñêîé ïðèáàâèòñÿ ýòî æå ÷èñëî: 3. x + c = x + c. Ïðèìå÷àíèå. ×èñëî c ìîæåò áûòü è îòðèöàòåëüíûì, ïîýòîìó ìîæíî ïðèáàâèòü èëè îòíÿòü! Ñâîéñòâà ñðåäíåé àðèôìåòè÷åñêîé - II Ñðåäíÿÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ îòêëîíåíèÿ âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé (âàðèàíò) îò ñðåäíåé ðàâíà íóëþ. 4. Ïîÿñíåíèå: x − x = x − x = x − x = 0. Ñðåäíÿÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ àëãåáðàè÷åñêîé ñóììû âûáîðîê ðàâíà àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå ñðåäíèõ àðèôìåòè÷åñêèõ: 5. x ± y = x ± y. Ãðóïïîâîå ñâîéñòâî: åñëè âñÿ âûáîðêà {xi } ðàçáèòà íà A ãðóïï gα (α = 1, . . . , A) ñ êîëè÷åñòâàìè ýëåìåíòîâ mα è ñðåäíèå ïî ãðóïïàì ðàâíû g α , òî 6. x= A 1X g mα . n α=1 α Âíèìàíèå! Ñðåäíÿÿ â öåëîì ÍÅ ÐÀÂÍÀ ñðåäíåìó îò ñðåäíèõ ïî ãðóïïàì! A X gα . Òî åñòü x 6= A1 α=1 Ñâîéñòâà âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè 1. Äèñïåðñèÿ ïîñòîÿííîé ðàâíà íóëþ. Åñëè âñå ýëåìåíòû âûáîðêè (èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, âñå âàðèàíòû) óìíîæèòü íà îäíî è òî æå ÷èñëî, òî äèñïåðñèÿ óìíîæèòñÿ íà êâàäðàò ýòîãî ÷èñëà: s2 (c x) = c2 s2 (x). 2. Åñëè êî âñåì ýëåìåíòàì âûáîðêè (ê âàðèàíòàì) ïðèáàâèòü îäíî è òî æå ÷èñëî (åñëè îíî îòðèöàòåëüíîå, çíà÷èò, îòíÿòü), òî äèñïåðñèÿ íå èçìåíèòñÿ. 3. s2 (x + c) = s2 (x). 4. Âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ ðàâíà ðàçíîñòè ìåæäó ñðåäíåé àðèôìåòè÷åñêîé îò êâàäðàòà çíà÷åíèé âûáîðêè è êâàäðàòîì ñðåäíåé àðèôìåòè÷åñêîé: s2 (x) = x2 − x2 . Ãðóïïîâîå ñâîéñòâî âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè Ïóñòü âñÿ âûáîðêà x = {xi } ðàçáèòà íà A ãðóïï gα = {xαj } (α = 1, . . . , A) ñ êîëè÷åñòâàìè ýëåìåíòîâ mα . Íàéäåì ñðåäíèå àðèôìåòè÷åñêèå ïî ãðóïïàì g α è âûáîðî÷íûå äèñïåðñèè â ãðóïïàõ gα = mα 1 X xαj , mα j=1 s2 (gα ) = mα 1 X (xαj − g α )2 . mα j=1 Ðàññìîòðèì ñòàòèñòè÷åñêèé ðÿä xi ni s2 (g1 ) m1 ... ... s2 (gA ) mk Îïðåäåëåíèå. Ñðåäíåãðóïïîâîé äèñïåðñèåé íàçûâàåòñÿ ñðåäíÿÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ ýòîãî ðÿäà s2 (gα ) = A 1X 2 s (gα )mα . n α=1 Ãðóïïîâîå ñâîéñòâî âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè - II Ðàññìîòðèì ñòàòèñòè÷åñêèé ðÿä xi ni g1 m1 ... ... gA mk Îïðåäåëåíèå. Ìåæãðóïïîâîé äèñïåðñèåé íàçûâàåòñÿ äèñïåðñèÿ ýòîãî ðÿäà A 1X δ = (g − x)2 mα . n α=1 α 2 5. Òåîðåìà. Åñëè âûáîðêà ðàçáèòà íà ãðóïïû, òî âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ ðàâíà ñóììå ñðåäíåãðóïïîâîé äèñïåðñèè è ìåæãðóïïîâîé äèñïåðñèè: s2 (x) = s2 (gα ) + δ 2 . Ìîæíî óïðîùåííî ñêàçàòü, ÷òî îáùàÿ âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ ýòî ñðåäíåå äèñïåðñèé ïî ãðóïïàì ïëþñ äèñïåðñèÿ ñðåäíèõ ïî ãðóïïàì. Çàäà÷à Èñïîëüçîâàòü MS EXCEL è âñòðîåííûå ôóíêöèè. 1. Ñãåíåðèðîâàòü âûáîðêó îáúåìîì 100 èç ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íà îòðåçêå [0,20], ñîñòîÿùóþ èç öåëûõ ÷èñåë (äîïóñòèì, ÷òî òîëüêî òàêàÿ òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ íàì äîñòóïíà). Ïðèñâîèòü âûáîðêå èìÿ (íàïðèìåð, myrow). 2. Âû÷èñëèòü ñðåäíþþ àðèôìåòè÷åñêóþ è âûáîðî÷íóþ äèñïåðñèþ âûáîðêè myrow. 3. Ðàçáèòü âûáîðêó íà ÷åòûðå ãðóïïû èç 10, 30, 40 è 20 ýëåìåíòîâ ñîîòâåòñòâåííî. Ïðèñâîèòü èìåíà ýòèì ãðóïïàì (íàïðèìåð, myrow1 myrow4). 4. Âû÷èñëèòü ñðåäíèå àðèôìåòè÷åñêèå è âûáîðî÷íûå äèñïåðñèè ãðóïï myrow1 myrow4. 5. Âû÷èñëèòü ìåæãðóïïîâóþ äèñïåðñèþ è ñðåäíåãðóïïîâóþ äèñïåðñèþ. Ïðîâåðèòü âûïîëíåíèå ãðóïïîâîãî ñâîéñòâà âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè. Èíòåðâàëû. Ôîðìóëà Ñòåðäæåñà Åñëè âûáîðêà ñäåëàíà äëÿ èçó÷åíèÿ ïðèçíàêà, êîòîðûé ìîæåò ïðèíèìàòü ëþáûå çíà÷åíèÿ â íåêîòîðîì ïðîìåæóòêå (òî åñòü èññëåäóåìàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà íåïðåðûâíà), èëè âûáîðêà ñîäåðæèò î÷åíü ìíîãî ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé, òî èìååò ñìûñë ýòè çíà÷åíèÿ íåêîòîðûì îáðàçîì ñãðóïïèðîâàòü è èçó÷àòü çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ îòíîñèòåëüíî ïîëó÷åííûõ ãðóïï. Äëÿ ýòîãî, âåñü ïðîìåæóòîê çíà÷åíèé îò xmin äî xmax ðàçáèâàþò íà èíòåðâàëû è ïîäñ÷èòûâàþò êîëè÷åñòâî çíà÷åíèé âûáîðêè, ïîïàâøåé â êàæäûé èíòåðâàë.  ïðîãðàììå MS EXCEL ýòè èíòåðâàëû íàçûâàþòñÿ ¾êàðìàíàìè¿. Êàê âûáðàòü êîëè÷åñòâî è âåëè÷èíó èíòåðâàëîâ? Èç ñîîáðàæåíèé óäîáñòâà âåëè÷èíó èíòåðâàëîâ, êàê ïðàâèëî, âûáèðàþò îäèíàêîâîé, à èõ êîëè÷åñòâî k íå äîëæíî áûòü î÷åíü áîëüøèì (èíà÷å íå ïîëó÷èòñÿ âûèãðûøà â ïðîñòîòå âû÷èñëåíèé), íî è íå äîëæíî áûòü ìàëûì (èíà÷å ìîãóò ïîòåðÿòüñÿ îñîáåííîñòè èçìåíåíèé ïðèçíàêà). Ñòåðäæåñà. Ïóñòü n îáúåì âûáîðêè. Ðåêîìåíäóåìîå ÷èñëî k èíòåðâàëîâ ãðóïïèðîâêè îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé Ôîðìóëà k ≈ 1 + log2 n ≈ 1 + 3, 322 lg n. Íà ïðàêòèêå ïîñòóïàåì òàê: 1) Âû÷èñëÿåì ÷èñëî Ñòåðäæåñà 1 + 3, 322 lg n è áåðåì â êà÷åñòâå äëèíû èíòåðâàëà ÷èñëî, ñ ðàçóìíîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè áëèæàéøåå ê âåëè÷èíå xmax − xmin R = 1 + 3, 322 lg n 1 + 3, 322 lg n (íàïðèìåð, áëèæàéøåå öåëîå äëÿ ïðîñòîòû ðàñ÷åòîâ). Âûáðàííîå ÷èñëî (äëèíà èíòåðâàëà) íàçûâàåòñÿ øàãîì èíòåðâàëüíîãî ðÿäà è îáîçíà÷àåòñÿ h. 2)  êà÷åñòâå íà÷àëà ïåðâîãî èíòåðâàëà áåðåì òî÷êó xmin − h/2 (òî åñòü íàèìåíüøåå çíà÷åíèå âûáîðêè ïðèõîäèòñÿ íà ñåðåäèíó ïåðâîãî èíòåðâàëà). Íàõîäèì âñå èíòåðâàëû è ïîäñ÷èòûâàåì êîëè÷åñòâî òî÷åê ni , â íèõ ïîïàäàþùèõ. 3) Íóìåðóåì ïîëó÷åííûå êîíöû èíòåðâàëîâ x0 < x1 < . . . < xk è ðàññìàòðèâàåì ¾ñòàòèñòè÷åñêèé¿ ðÿä xi ni [x0 , x1 ] n1 ... ... [xk−1 , xk ] nk Èíòåðâàëüíûé ðÿä 4) Ïîñêîëüêó ñ èíòåðâàëàìè àðèôìåòè÷åñêèå äåéñòâèÿ íåâîçìîæíû, òî çàìåíÿåì èíòåðâàëû íà èõ ñåðåäèíû x∗i = (xi−1 + xi )/2, ïîëó÷àåì ñòàòèñòè÷åñêèé ðÿä xi ni Ïîñòðîåííûé òàêèì èíòåðâàëüíûì ðÿäîì. x∗1 n1 îáðàçîì ... ... x∗k nk ñòàòèñòè÷åñêèé ðÿä íàçûâàåòñÿ Äëÿ íåãî îïðåäåëÿþòñÿ õàðàêòåðèñòèêè ïî îáû÷íûì ïðàâèëàì äëÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ ðÿäîâ. Õàðàêòåðèñòèêè èíòåðâàëüíîãî ðÿäà Îïðåäåëåíèå. Ñðåäíÿÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ èíòåðâàëüíîãî ðÿäà k 1X ∗ x= xi ni . n i=1 Âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ s2 è âûáîðî÷íîå ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå s èíòåðâàëüíîãî ðÿäà Îïðåäåëåíèå. k 1X ∗ (xi − x)2 ni , s = n 2 √ s= s2 . i=1 Íåñìåùåííàÿ îöåíêà èíòåðâàëüíîãî ðÿäà n 2 s2H = s . n−1 Îïðåäåëåíèå. äèñïåðñèè s2H Ãèñòîãðàììà èíòåðâàëüíîãî ðÿäà Äëÿ èíòåðâàëüíûõ ðÿäîâ ïðèìåíÿþò ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå â âèäå ãèñòîãðàììû. Ïðàâèëî ïîñòðîåíèÿ. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãèñòîãðàììû èíòåðâàëüíîãî ðÿäà ïî îñè Ox îòêëàäûâàþò èíòåðâàëû [x0 , x1 ], . . . [xk−1 , xk ], à ïî îñè Oy îòêëàäûâàþò âûñîòû ïðÿìîóãîëüíèêîâ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû èõ ïëîùàäè ðàâíÿëèñü ÷àñòîòàì ni äëÿ ãèñòîãðàììû ÷àñòîò èëè ÷àñòîñòÿì ni /n äëÿ ãèñòîãðàììû ÷àñòîñòåé. Åñëè øàã èíòåðâàëüíîãî ðÿäà ïîñòîÿííûé è ðàâåí h, òî âûñîòà ïðÿìîóãîëüíèêîâ âû÷èñëÿåòñÿ êàê nhi äëÿ ÷àñòîò è nnhi äëÿ ÷àñòîñòåé. Åñëè øàãè ðàçíûå è ðàâíû h1 = x1 − x0 , . . . , hk = xk − xk−1 , òî âûñîòû ïðÿìîóãîëüíèêîâ âû÷èñëÿþòñÿ êàê nhii äëÿ ÷àñòîò è nnhi i äëÿ ÷àñòîñòåé. Êîíòðîëüíûå âîïðîñû 1. Øåñòü ñâîéñòâ ñðåäíåé àðèôìåòè÷åñêîé 2. ×åòûðå ñâîéñòâà âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè 3. Îïðåäåëåíèå ñðåäíåãðóïïîâîé äèñïåðñèè 4. Îïðåäåëåíèå ìåæãðóïïîâîé äèñïåðñèè 5. Ãðóïïîâîå ñâîéñòâî âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè (òåîðåìà) 6. Ôîðìóëà Ñòåðäæåñà 7. ×åòûðå øàãà ïîñòðîåíèÿ èíòåðâàëüíîãî ðÿäà 8. Ñðåäíÿÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ, äèñïåðñèÿ, äèñïåðñèÿ èíòåðâàëüíîãî ðÿäà íåñìåùåííàÿ 9. Ãèñòîãðàììà èíòåðâàëüíîãî ðÿäà ïðàâèëî ïîñòðîåíèÿ Ëåêöèÿ 3 Òåìà Ñðàâíåíèå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí èëè ïðèçíàêîâ. Ñîäåðæàíèå òåìû Àíàëîãèÿ äèñêðåòíûõ Ñ è âûáîðîê Âèäû çàâèñèìîñòåé äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (âûáîðîê) Ôóíêöèîíàëüíàÿ çàâèñèìîñòü. Ëèíèè ðåãðåññèè. Êîâàðèàöèÿ Êîððåëÿöèîííàÿ çàâèñèìîñòü. Êîâàðèàöèÿ. Ëèíèè ðåãðåññèè. Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè Îñíîâíûå êàòåãîðèè I ôóíêöèîíàëüíàÿ, ñòàòèñòè÷åñêàÿ è êîððåëÿöèîííàÿ çàâèñèìîñòè; I ëèíèè ðåãðåññèè äëÿ ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè; I ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ; I êîâàðèàöèÿ äëÿ ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè; I ñîâìåñòíûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ, êîððåëÿöèîííàÿ òàáëèöà è ïîëå êîððåëÿöèè; I êîâàðèàöèÿ äëÿ êîððåëÿöèîííîé çàâèñèìîñòè; I ëèíèè ðåãðåññèè äëÿ êîððåëÿöèîííîé çàâèñèìîñòè; I êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè. Àíàëîãèÿ ÄÑ è âûáîðêè Äèñêðåòíàÿ Âûáîðêà ñëó÷àéíàÿ îïèñûâàåòñÿ âåëè÷èíà ÄÑ X Çíà÷åíèÿ Ñ x1 , . . . , xk Ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ X x1 . . . xk P p1 . . . pk Âåðîÿòíîñòè k P pi = 1 i=1 Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå k P M (X) = p i xi i=1 Äèñïåðñèÿ k P D(X) = pi (xi − M (X))2 i=1 îïèñûâàåòñÿ . ðÿäîì ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèì ðÿäîì Âûáîðêà xi Âàðèàíòû x1 , . . . , xk Ñòàòèñòè÷åñêèé ðÿä xi x1 ... xk wi w1 . . . wk ×àñòîñòè k P wi = i=1 k P i=1 ni n =1 Ñðåäíÿÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ k P x= wi xi i=1 Âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ k P s2x = wi (xi − x)2 i=1 . Âèäû çàâèñèìîñòåé äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (âûáîðîê) Äàëåå âñþäó ïðåäïîëàãàåì, ÷òî çàäàíû äâå äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X, Y , ëèáî äâå âûáîðêè {xi }, {yi }.  ñèëó ýòîãî, âñ¼, ÷òî íàïèñàíî ïðî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà âûáîðêè çàìåíîé pi íà wi = nni , è íàîáîðîò. Ìåæäó ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè èëè âûáîðêàìè ìîæíî èçó÷àòü ñëåäóþùèå âèäû çàâèñèìîñòåé: I Ôóíêöèîíàëüíàÿ çàâèñèìîñòü (ÔÇ). I Ñòàòèñòè÷åñêàÿ çàâèñèìîñòü (ÑÇ). I Êîððåëÿöèîííàÿ çàâèñèìîñòü (ÊÇ). Ôóíêöèîíàëüíàÿ çàâèñèìîñòü Ôóíêöèîíàëüíàÿ çàâèñèìîñòü ïðåäïîëàãàåò, ÷òî êàæäîìó çíà÷åíèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ñîîòâåòñòâóåò ñòðîãî îïðåäåëåííîå åäèíñòâåííîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y , òî åñòü èõ çíà÷åíèÿ ñâÿçàíû ôóíêöèåé y = f (x). Íà ïðàêòèêå âñ¼ æå îíà ïðîÿâëÿåòñÿ íå òàê îäíîçíà÷íî, à èìåþòñÿ íåêîòîðûå ìàëûå ñëó÷àéíûå îòêëîíåíèÿ ε(x), òàê ÷òî y = f (x) + ε(x). Ýòè îòêëîíåíèÿ õàðàêòåðèçóþò òó ñëó÷àéíóþ ñîñòàâëÿþùóþ, êîòîðàÿ íàì íå âàæíà. Îíè íàçûâàþòñÿ ¾ñëó÷àéíûì øóìîì¿. Íàïðèìåð, åæåäíåâíûå êîëåáàíèÿ êóðñà âàëþòû íà ôîíå ñåçîííûõ: Òàêèå øóìû èãíîðèðóþòñÿ. Äâîéíîé ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ Åñëè ïðåäïîëàãàåòñÿ ôóíêöèîíàëüíàÿ çàâèñèìîñòü, òî çíà÷åíèÿ yi äîëæíû ñòðîãî ñîîòâåòñòâîâàòü çíà÷åíèÿì xi , òî åñòü ïàðà (xi , yi ) âñòðå÷àåòñÿ òîëüêî â òàêîì ñî÷åòàíèè è ñ îïðåäåëåííîé âåðîÿòíîñòüþ. Âîçíèêàåò äâîéíîé ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ X Y P x1 y1 p1 ... ... ... xk yk pk Íà ïëîñêîñòè Oxy ñòðîèì ëîìàíóþ ïî òî÷êàì M1 (x1 , y1 ), . . . , Mk (xk , yk ). Ïðè ýòîì ìû íå âèäèì èíôîðìàöèè î âåðîÿòíîñòÿõ pi , ò.å. êàæäàÿ òî÷êà Mi åùå èìååò ¾âåñ¿ âåðîÿòíîñòü pi , è âíîñèò òåì áîëüøèé âêëàä â çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ, ÷åì áîëüøå ýòà âåðîÿòíîñòü. Ìîæíî èçîáðàçèòü ýòîò ôàêò ðàçìåðîì òî÷êè (â EXCEL åñòü äëÿ ýòîãî ïóçûðüêîâûå äèàãðàììû). Ëèíèÿ ðåãðåññèè Îïðåäåëåíèå. Ïðÿìàÿ âèäà y = b0 + b1 x, ãäå b0 , b1 íåêîòîðûå ÷èñëà, êîòîðàÿ ¾íàèëó÷øèì îáðàçîì¿ ïðèáëèæàåò ïîñòðîåííóþ ëîìàíóþ, íàçûâàåòñÿ ëèíèåé ðåãðåññèè Y íà X . Êðèòåðèåì êà÷åñòâà ïðèáëèæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñóììà êâàäðàòîâ îòêëîíåíèÿ òî÷åê ïðÿìîé îò òî÷åê ëîìàíîé, âçÿòûõ ñ ìíîæèòåëåì pi , òî åñòü âåëè÷èíà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû [(b0 + b1 X) − Y ]2 : S= k X (b0 + b1 xi − yi )2 pi . i=1  ìåòîäå íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ íàèëó÷øèì ïðèáëèæåíèåì ñ÷èòàåòñÿ òî, äëÿ êîòîðîãî êîýôôèöèåíòû b0 , b1 âûáðàíû òàê, ÷òî âåëè÷èíà S ïðèíèìàåò íàèìåíüøåå çíà÷åíèå. Êîâàðèàöèÿ Çàïèñûâàÿ íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ S(b0 , b1 ) â âèäå ∂S ∂S = 0, = 0, ∂b0 ∂b1 è ðåøàÿ ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó äâóõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî b0 , b1 , ïîëó÷èì b1 = cov(X, Y ) , D(X) b0 = M (Y ) − M (X) cov(X, Y ) . D(X) Çäåñü ïîÿâèëîñü íîâîå ïîíÿòèå cov(X, Y ) êîâàðèàöèÿ äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Êîâàðèàöèåé äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X, Y íàçûâàåòñÿ ÷èñëî, âû÷èñëÿåìîå ïî ôîðìóëå Îïðåäåëåíèå. cov(X, Y ) = M ([X − M (X)][Y − M (Y )]) = M (XY ) − M (X)M (Y ). Äëÿ äâîéíîãî ðÿäà ðàñïðåäåëåíèÿ ïîëó÷èì, ÷òî ! ! ! k k k X X X cov(X, Y ) = xi yi pi − xi pi yi pi . i=1 i=1 i=1 Óðàâíåíèÿ ðåãðåññèè Äëÿ âûáîðîê ïðèíÿòî áîëåå ïðîñòîå îáîçíà÷åíèå âûáîðî÷íàÿ êîâàðèàöèÿ îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç µ (èëè ÷åðåç µxy ) è âû÷èñëÿåòñÿ â ñëó÷àå äâîéíîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî ðÿäà èìååì ! ! ! k k k k X X X X µ= xi yi wi − xi wi yi wi = (xi − x)(yi − y)wi . i=1 i=1 i=1 i=1 Òîãäà èç ôîðìóë äëÿ êîýôôèöèåíòîâ b0 , b1 , â êîòîðûõ åùå ñëåäóåò çàìåíèòü ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ íà ñðåäíèå àðèôìåòè÷åñêèå, à äèñïåðñèè íà âûáîðî÷íûå äèñïåðñèè, ïîëó÷èì óðàâíåíèå ðåãðåññèè Y íà X y−y = µ (x − x). s2x Åñëè âñå ïîâòîðèòü, ïîìåíÿâ ìåñòàìè X, Y , òî ïîëó÷èì óðàâíåíèå ðåãðåññèè X íà Y µ x − x = 2 (y − y). sy Òåîðåìà î ëèíèÿõ ðåãðåññèè Òåîðåìà. Ïðè íàëè÷èè äâóõ âûáîðîê, ó êîòîðûõ ïðåäïîëàãàåòñÿ ôóíêöèîíàëüíàÿ çàâèñèìîñòü, ëèíèåé ðåãðåññèè Y íà X ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó ¾ñðåäíèõ¿ C = (x, y) ñ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì µ . s2x Ëèíèåé ðåãðåññèè X íà Y ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó ¾ñðåäíèõ¿ C = (x, y) µ ñ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì 2 . sy Ñòàòèñòè÷åñêàÿ çàâèñèìîñòü  îáùåì ñëó÷àå, åñëè íåò íèêàêèõ ñâåäåíèé î ãëîáàëüíîé ñâÿçè ìåæäó ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè, ìîæíî ïîñ÷èòàòü óñëîâíóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû Y â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî âåëè÷èíà X ïðèíÿëà êîíêðåòíîå çíà÷åíèå x ∈ R. Îíà âûðàæàåò óñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü P {Y < y|X = x}, îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç F (y; x) èëè Fx (y): F (y; x) = Fx (y) = P {Y < y|X = x} = P {Y < y è X = x} . P {X = x} Ýòè îáîçíà÷åíèÿ ïîä÷åðêèâàþò, ÷òî çäåñü x õîòü è ëþáîå, íî ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî, òî åñòü ïàðàìåòð, à y íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ (àðãóìåíò). Èòàê, ñòàòèñòè÷åñêàÿ çàâèñèìîñòü ïðåäïîëàãàåò, ÷òî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ îäíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû çàâèñèò îò êîíêðåòíîãî çíà÷åíèÿ äðóãîé. Ïðåäïîëàãàòü ýòî ìîæíî âñåãäà, íî âû÷èñëèòü ýòè ôóíêöèè è îöåíèòü íàäåæíîñòü òàêîãî âû÷èñëåíèÿ ïðîáëåìàòè÷íî. Ïîýòîìó òàêîé ñëó÷àé ÿâëÿåòñÿ ñëèøêîì îáùèì. Êîððåëÿöèîííàÿ çàâèñèìîñòü çàâèñèìîñòü ïðåäïîëàãàåò, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå îäíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû çàâèñèò îò êîíêðåòíîãî çíà÷åíèÿ äðóãîé. Èíà÷å ãîâîðÿ, âû÷èñëÿåòñÿ èëè îöåíèâàåòñÿ ïî âûáîðêå óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå M (Y |X = x), òî åñòü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ Fx (y) = P {Y < y|X = x}. Äëÿ ïðîñòîòû îíî îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç Mx (Y ). Êîððåëÿöèîííàÿ Íå ïóòàòü! Çäåñü x ÷èñëî (x ∈ R), ëþáîå, íî ôèêñèðîâàííîå, ïîýòîìó ïèøåì x ìàëåíüêîå, à Y ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà (ò.å. ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ íà ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé), ïîýòîìó ïèøåì Y áîëüøîå. Ðåçóëüòàò Mx (Y ) (ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå) ýòî ÷èñëî, íî çàâèñÿùåå îò ÷èñëîâîãî ïàðàìåòðà x. Íî ¾÷èñëî, çàâèñÿùåå îò ÷èñëà¿ ýòî ñàìàÿ îáû÷íàÿ ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ îò ÷èñëîâîãî àðãóìåíòà! Èòàê, êîððåëÿöèîííàÿ çàâèñèìîñòü ïðåäïîëàãàåò, ÷òî èìååò ìåñòî ôóíêöèîíàëüíàÿ çàâèñèìîñòü ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ Y îò çíà÷åíèÿ x ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X . Êàê ïðàâèëî, ïðè ýòîì ìîæíî âû÷èñëèòü è ôóíêöèîíàëüíóþ çàâèñèìîñòü ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ X îò çíà÷åíèÿ y ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y . Ïîëó÷àåì òàêèå ôóíêöèè Mx (Y ) = ϕ(x), Èõ ãðàôèêè íàçûâàþòñÿ êðèâûìè My (X) = ψ(y). ðåãðåññèè ñîîòâåòñòâåííî Y íà X è X íà Y . Ðåãðåññèîííûé àíàëèç. Ñîâìåñòíûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ äàåò ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ëèíèé ðåãðåññèè, ò.å. ïðÿìûõ, ïðèáëèæàþùèõ êðèâûå ðåãðåññèè. Ðåãðåññèîííûé àíàëèç íàèëó÷øèì îáðàçîì Ïóñòü äàíû äâå äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñî çíà÷åíèÿìè X: Y : x1 , . . . , x k ; y1 , . . . , ym . Ñîâìåñòíûé (èëè ðàñïðåäåëåíèÿ X è Y ýòî òàáëèöà Îïðåäåëåíèå. x1 .. . xi .. . xk ïàðíûé, èëè y1 ... yj ... ym p11 ... p1j ... p1m pi1 ... pij ... pim pk1 ... pkj ... pkm äâóìåðíûé) ãäå â êëåòêàõ ñòîÿò âåðîÿòíîñòè âñåâîçìîæíûõ ïàð çíà÷åíèé pij = P {X = xi , Y = yj }. çàêîí Ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ äëÿ ñîâìåñòíîãî çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóñòü äàí ñîâìåñòíûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ. Ñóììû âåðîÿòíîñòåé ïî ñòðîêàì äàþò âåðîÿòíîñòè âñåõ çíà÷åíèé X , à ñóììû âåðîÿòíîñòåé ïî ñòîëáöàì äàþò âåðîÿòíîñòè âñåõ çíà÷åíèé Y : P {X = xi } = m X pij , P {Y = yj } = j=1 k X pij . i=1 Ïîýòîìó ïîëó÷àåì äâà ðÿäà ðàñïðåäåëåíèÿ X P x1 m P p1j ... ... j=1 xk m P pkj j=1 Y P y1 k P pi1 ... ... i=1 ym k P pim i=1 Îòñþäà ñëåäóåò ïðàâèëî âû÷èñëåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé M (X) = k X m X i=1 j=1 xi pij , M (Y ) = m X k X j=1 i=1 yj pij . Êîâàðèàöèÿ ñîâìåñòíîãî çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóñòü äàí ñîâìåñòíûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ. Âû÷èñëèì ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ M (X), M (Y ). Òîãäà êîâàðèàöèÿ äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X, Y (ñì. îïðåäåëåíèå âûøå) âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëàì cov(X, Y ) = k X m X [xi − M (X)][yj − M (Y )]pij . i=1 j=1 Êîâàðèàöèþ äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ïî ñîâìåñòíîìó çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæíî òàêæå âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå Òåîðåìà. cov(X, Y ) = = M (XY ) − M (X)M ! (Y ) = ! k m k P m P P P xi yj pij − xi pij i=1 j=1 i=1 j=1 m P k P j=1 i=1 ! yj pij . Êîððåëÿöèîííàÿ òàáëèöà äëÿ âûáîðîê Ïóñòü äàíà âûáîðêà, ñäåëàííàÿ îäíîâðåìåííî ïî äâóì ïðèçíàêàì, â ðåçóëüòàòå êîòîðîé êàæäûé èç ïðèçíàêîâ èìååò âàðèàíòû X = {xi } : Y = {yj } : Îïðåäåëåíèå. x1 , . . . , x k ; y1 , . . . , ym . Êîððåëÿöèîííàÿ òàáëèöà ïàðíîé âûáîðêè ýòî òàáëèöà x1 .. . xi .. . xk y1 ... yj ... ym n11 ... n1j ... n1m ni1 ... nij ... nim nk1 ... nkj ... nkm ãäå â êëåòêàõ ñòîÿò êîëè÷åñòâà nij , â êîòîðûõ âñòðåòèëàñü êàæäàÿ èç âîçìîæíûõ ïàð çíà÷åíèé (xi , yj ). ßñíî, ÷òî ñóììà öåëûõ ÷èñåë ïî âñåì êëåòêàì äàåò îáúåì âûáîðêè: n= k X m X i=1 j=1 nij . Ïîëå êîððåëÿöèè Ïóñòü äàíà êîððåëÿöèîííàÿ òàáëèöà äëÿ ïàðíîé âûáîðêè.  íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííîì ñëó÷àå â íåé äîâîëüíî ìíîãî íóëåé (òî åñòü íå âñå ïàðû èç k × m ðåàëüíî âñòðå÷àþòñÿ â âûáîðêå). Íàíåñåì íà ïëîñêîñòü Oxy òå èç òî÷åê Mij (xi , yj ), äëÿ êîòîðûõ nij 6= 0. Ïîëó÷åííûé ðèñóíîê íàçûâàåòñÿ ïîëåì êîððåëÿöèè. Çàäà÷à ðåãðåññèîííîãî àíàëèçà ïîñòðîèòü ïðÿìóþ y = b0 + b1 x, êîòîðàÿ íàèëó÷øèì êîððåëÿöèè. îáðàçîì ïðèáëèæàåò (àïïðîêñèìèðóåò) ïîëå Ëèíèÿ ðåãðåññèè Êàê èñêàòü ýòó ïðÿìóþ? Âíà÷àëå íàéäåì òàê íàçûâàåìûå ãðóïïîâûå ñðåäíèå ïðèçíàêà Y , òî åñòü ñðåäíèå àðèôìåòè÷åñêèå ïðèçíàêà Y â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî çíà÷åíèå ïðèçíàêà X â âûáîðêå ôèêñèðîâàíî è âçÿòî ðàâíûì íåêîòîðîìó xi . Òîãäà îò êîððåëÿöèîííîé òàáëèöû îñòàíåòñÿ îäíà ñòðîêà, êîòîðàÿ è äàåò ñòàòèñòè÷åñêèé ðÿä äëÿ ïðèçíàêà Y â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî X = xi : yj N |X = xi ... ... y1 ni1 ym nim Ñîîòâåòñòâóþùåå ãðóïïîâîå ñðåäíåå (âçÿòîå ëèøü ïî òåì ýëåìåíòàì âûáîðêè, â êîòîðûõ èìååòñÿ ôèêñèðîâàííîå xi ) îáîçíà÷àåòñÿ y i è âû÷èñëÿåòñÿ ïî ýòîìó ñòàòèñòè÷åñêîìó ðÿäó êàê îáû÷íî m P yi = nij yj j=1 m P nij j=1 (çäåñü â çíàìåíàòåëå ñòîèò ni = äàííîé ãðóïïå, òî åñòü m P nij êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ âûáîðêè â j=1 îáúåì i-îé ãðóïïû ñóììà êëåòî÷åê ïî ñòðîêå). Íà ïðåäûäóùåì ñëàéäå íà ðèñóíêå ñèíåé ëîìàíîé ñîåäèíåíû òî÷êè äëÿ âñåõ xi ñ îðäèíàòàìè ãðóïïîâûìè ñðåäíèìè y i . Ëèíèÿ ðåãðåññèè - II Òåïåðü ìû ïîëó÷èëè äâîéíîé ñòàòèñòè÷åñêèé ðÿä (ÄÑÐ), â êîòîðîì óæå ïðèçíàê Y çàìåíåí íà ãðóïïîâûå ñðåäíèå: xi yi ni (ÄÑÐ): ... ... ... x1 y1 n1 xk yk nk Îòñþäà, âî-ïåðâûõ, ñðàçó íàõîäÿòñÿ îáùèå ñðåäíèå àðèôìåòè÷åñêèå ïðèçíàêîâ X è Y : x= y= 1 n 1 n k P i=1 k P i=1 ni xi = ni y i = 1 n 1 n k P n P i=1 j=1 k P n P nij xi , nij yj i=1 j=1 è ïî îáùèì ôîðìóëàì ñîîòâåòñòâóþùèå âûáîðî÷íûå äèñïåðñèè s2x , s2y . Ëèíèÿ ðåãðåññèè - III Âî-âòîðûõ, ëèíèþ ðåãðåññèè Y íà X äëÿ êîððåëÿöèîííîé òàáëèöû (äëÿ ïîëÿ êîððåëÿöèè) íàõîäèì, êàê ëèíèþ ðåãðåññèè äëÿ ïîëó÷åííîãî äâîéíîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî ðÿäà (äëÿ ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè xi 7→ y i ): y−y = µ (x − x). s2x Ìåíÿÿ ìåñòàìè x, y íàéäåì è ëèíèþ ðåãðåññèè X íà Y : x−x= µ (y − y). s2y Çäåñü âûáîðî÷íàÿ êîâàðèàöèÿ âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå µ = = xy − x y = ! k P m P 1 xi yj nij − n i=1 j=1 1 n2 k P m P i=1 j=1 ! xi nij m P k P j=1 i=1 ! yj nij . Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè Âûáîðî÷íàÿ êîâàðèàöèÿ èìååò îäèí ñóùåñòâåííûé íåäîñòàòîê îíà çàâèñèò îò åäèíèö èçìåðåíèÿ, à èìåííî, åñëè îäèí èç ïðèçíàêîâ óìíîæèòü íà íåêîòîðîå ÷èñëî, òî è êîâàðèàöèÿ óìíîæèòñÿ íà ýòî ÷èñëî, õîòÿ ñîâåðøåííî ïîíÿòíî, ÷òî õàðàêòåð ñâÿçè ìåæäó ïðèçíàêàìè îò ýòîãî íå çàâèñèò. Ïîýòîìó íóæíî ââåñòè ïîêàçàòåëü, êîòîðûé èçìåðÿë áû çàâèñèìîñòü, íàõîäÿñü â íåêîòîðîì çàäàííîì äèàïàçîíå. Çàìåòèì, ÷òî åñëè îäèí èç ïðèçíàêîâ óìíîæèòü íà íåêîòîðîå ÷èñëî, òî âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ óìíîæèòñÿ íà êâàäðàò ýòîãî ÷èñëà, çàòî âûáîðî÷íîå ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå óìíîæèòñÿ òîæå ëèøü íà ñàìî ÷èñëî. Ïîýòîìó ââîäÿò ñëåäóþùèé ïðèçíàê. Âûáîðî÷íûé êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè äâóõ ïðèçíàêîâ X è Y îïðåäåëÿåòñÿ òàê: rxy = ãäå à sx , syq âûáîðî÷íûå p ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèå îòêëîíåíèÿ sx = s2x , sy = s2y . µ âûáîðî÷íàÿ µ , sx sy êîâàðèàöèÿ, Ñâîéñòâà êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè Òåîðåìà. Âûáîðî÷íûé êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè âñåãäà èçìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ −1 6 rxy 6 1. Âûáîðî÷íûé êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè õàðàêòåðèçóåò òåñíîòó ñâÿçè ìåæäó ïðèçíàêàìè. Îöåíêîé òàêîé òåñíîòû çàäà÷à êîððåëÿöèîííîãî àíàëèçà. Åñëè rxy = 0, òî ëèíåéíóþ ñâÿçü ìåæäó ïðèçíàêàìè óñòàíîâèòü íåâîçìîæíî, ëèíèè ðåãðåññèè èäóò ïîä ïðÿìûì óãëîì äðóã ê äðóãó, ïðè÷åì îäíà ãîðèçîíòàëüíî, äðóãàÿ âåðòèêàëüíî. Ïîëå êîððåëÿöèè ïî÷òè ðàâíîìåðíî çàïîëíÿåò ïðÿìîóãîëüíèê. Åñëè çíà÷åíèå rxy áëèçêî ê ±1, òî ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ìåæäó ïðèçíàêàìè èìååòñÿ ïî÷òè ëèíåéíàÿ ñâÿçü, à çíàê êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè ãîâîðèò î òîì, êàê âåäåò ñåáÿ îäèí ïðèçíàê ïðè èçìåíåíèè äðóãîãî. Ïðè rxy > 0 îíè âîçðàñòàþò èëè óáûâàþò îäíîâðåìåííî, à ïðè rxy < 0 ïðè âîçðàñòàíèè îäíîãî èç íèõ âòîðîé óáûâàåò, è íàîáîðîò. Êîíòðîëüíûå âîïðîñû 1. Àíàëîãèÿ ÄÑ è âûáîðîê (ñîñòàâèòü ñðàâíèòåëüíóþ òàáëèöó). 2. Âèäû çàâèñèìîñòåé ìåæäó Ñ (âûáîðêàìè). 3. Äâîéíîé ñòàòèñòè÷åñêèé ðÿä è ëèíèÿ ðåãðåññèè äëÿ ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè. 4. Êðèòåðèé êà÷åñòâà â ìåòîäå íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ. 5. Êîâàðèàöèÿ äâóõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè. âåëè÷èí. Ôîðìóëà äëÿ 6. Ðåãðåññèîííûé àíàëèç. Ñîâìåñòíûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ. Âû÷èñëåíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé. 7. Êîððåëÿöèîííàÿ òàáëèöà è ïîëå êîððåëÿöèè. 8. Êîâàðèàöèÿ äëÿ êîððåëÿöèîííîé çàâèñèìîñòè. 9. Ëèíèè ðåãðåññèè äëÿ êîððåëÿöèîííîé çàâèñèìîñòè. 10. Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè, åãî ñâîéñòâà è ñìûñë. Ëåêöèÿ 4 Òåìà Ââåäåíèå â òåîðèþ îöåíîê. Ñîäåðæàíèå òåìû Ïðåäìåò, öåëü è ìåòîä çàäà÷è îöåíèâàíèÿ Òî÷å÷íûå âûáîðî÷íûå îöåíêè, ñâîéñòâà îöåíîê Òåîðåìû îá îöåíêàõ Èíòåðâàëüíûå îöåíêè è èíòåãðàë Ëàïëàñà Îñíîâíûå êàòåãîðèè I Ïîíÿòèå âûáîðî÷íîé îöåíêè (ñòàòèñòèêè). I Êðèòåðèè êà÷åñòâà ýôôåêòèâíîñòü. îöåíîê: íåñìåùåííîñòü, ñîñòîÿòåëüíîñòü, I Èíòåðâàëüíîå îöåíèâàíèå. Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë è íàäåæíîñòü îöåíêè (äîâåðèòåëüíàÿ âåðîÿòíîñòü). I Èíòåãðàë Ëàïëàñà. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è Èçó÷àåòñÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X ñ çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ, çàâèñÿùèì îò íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà θ. Íàïðèìåð, äàíà ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà íà íåèçâåcòíîì îòðåçêå [a, b]. Òðåáóåòñÿ îöåíèòü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå θ = M (X) = (a + b)/2. Öåëü îïðåäåëèòü ïî âîçìîæíîñòè òî÷íåå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà θ èëè óêàçàòü ñ îïðåäåëåííîé âåðîÿòíîñòüþ èíòåðâàë, â êîòîðîì ýòîò ïàðàìåòð ëåæèò. Íàïðèìåð, òðåáóåòñÿ íàéòè òàêîé ïðîìåæóòîê (θ1 , θ2 ), ÷òî ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,95 âåëè÷èíà θ ëåæèò â ïðåäåëàõ θ1 < θ < θ2 . Ìåòîä âûáîðî÷íûé. Îí ñîñòîèò â òîì, ÷òî äåëàåòñÿ âûáîðêà çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ïî êîòîðîé âû÷èñëÿåòñÿ ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå θ̃. Âûáîðî÷íàÿ îöåíêà ñòàòèñòèêà Ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå θ̃n , ïîëó÷åííîå ïî âûáîðêå x1 , . . . , xn îáúåìà n, íàçûâàåòñÿ âûáîðî÷íîé èëè ñòàòèñòè÷åñêîé îöåíêîé âåëè÷èíû θ. Ïîñêîëüêó äîëæåí áûòü ïðåäëîæåí ìåòîä åå âû÷èñëåíèÿ, òî ôàêòè÷åñêè ìû ïîëó÷àåì ôîðìóëó äëÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè θ̃n (X1 , . . . , Xn ) îò n ýêçåìïëÿðîâ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X , âçÿòûõ â êà÷åñòâå íåçàâèñèìûõ, âû÷èñëÿåìûõ ýêñïåðèìåíòàëüíî ïîêàçàòåëåé.  èòîãå, ëþáàÿ îöåíêà ñàìà ñòàíîâèòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé (ëþáàÿ ôóíêöèÿ îò îäíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû èëè íåñêîëüêèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñàìà ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé). Îïðåäåëåíèå. Ôîðìóëà äëÿ âûáîðî÷íîé îöåíêè θ̃n (X1 , . . . , Xn ) íàçûâàåòñÿ ñòàòèñòèêîé.  ñâÿçè ñ ýòèì, òåðìèíû ¾âûáîðî÷íàÿ îöåíêà¿, ¾ñòàòèñòè÷åñêàÿ îöåíêà¿, ¾îöåíêà¿ è ¾ñòàòèñòèêà¿ ñ÷èòàåì ñèíîíèìàìè. Ñâîéñòâà âûáîðî÷íûõ îöåíîê. Íåñìåùåííîñòü Êà÷åñòâî îöåíêè õàðàêòåðèçóåòñÿ íàëè÷èåì èëè îòñóòñòâèåì íåêîòîðûõ âàæíûõ ñâîéñòâ íåñìåùåííîñòè, ñîñòîÿòåëüíîñòè è ýôôåêòèâíîñòè. Äàëåå äëÿ êðàòêîñòè ïèøåì θ̃ èëè θ̃n , ïîäðàçóìåâàÿ θ̃n (X1 , . . . , Xn ). Îïðåäåëåíèå. Îöåíêà θ̃ ïàðàìåòðà θ íàçûâàåòñÿ M (θ̃) = θ. íåñìåùåííîé, åñëè Òðåáîâàíèå íåñìåùåííîñòè îçíà÷àåò îòñóòñòâèå íåêîòîðîé ñèñòåìíîé, ïîñòîÿííî ïðèñóòñòâóþùåé îøèáêè, êîòîðàÿ áû çàâûøàëà îöåíêó (M θ̃ > θ) èëè çàíèæàëà åå (M θ̃ < θ). Òðåáîâàíèå íåñìåùåííîñòè îñîáî âàæíî ïðè ìàëîì êîëè÷åñòâå íàáëþäåíèé. Îïðåäåëåíèå. Åñëè M (θ̃n ) → θ ïðè n → ∞, òî îöåíêà íàçûâàåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè íåñìåùåííîé. Ñâîéñòâà âûáîðî÷íûõ îöåíîê. Ñîñòîÿòåëüíîñòü ñîñòîÿòåëüíîé, åñëè äëÿ ëþáîãî ñêîëü óãîäíî ìàëîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà ε èìååì Îïðåäåëåíèå. Îöåíêà θ̃n ïàðàìåòðà θ íàçûâàåòñÿ lim P {|θ̃n − θ| < ε} = 1. n→∞ Òðåáîâàíèå ñîñòîÿòåëüíîñòè îçíà÷àåò, ÷òî ïðè óâåëè÷åíèè îáúåìà âûáîðêè ìû âñå áëèæå ïðèáëèæàåìñÿ ê èñòèííîìó çíà÷åíèþ ïàðàìåòðà. Òàêîå ñòðåìëåíèå íàçûâàåòñÿ ñõîäèìîñòüþ ïî âåðîÿòíîñòè âåðîÿòíîñòü áîëüøèõ îòëè÷èé ìåæäó θ̃n è θ ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Òåîðåìà. Åñëè îöåíêà θ̃n ÿâëÿåòñÿ íåñìåùåííîé è åå äèñïåðñèÿ ñòðåìèòñÿ ê íóëþ lim D(θ̃n ) = 0, n→∞ òî îöåíêà ÿâëÿåòñÿ è ñîñòîÿòåëüíîé. Ñâîéñòâà âûáîðî÷íûõ îöåíîê. Ýôôåêòèâíîñòü Îïðåäåëåíèå. Îöåíêà θ̃n ïàðàìåòðà θ íàçûâàåòñÿ ýôôåêòèâíîé, åñëè åå äèñïåðñèÿ D(θ̃n ) ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøåé èç âñåõ âîçìîæíûõ îöåíîê ïàðàìåòðà θ ïî âûáîðêàì îáúåìà n. Òðåáîâàíèå ýôôåêòèâíîñòè îçíà÷àåò íàèìåíüøèé ðàçáðîñ âîêðóã ñâîåãî ñðåäíåãî. Ýòî òðåáîâàíèå âàæíî äëÿ íåñìåùåííûõ îöåíîê, êîãäà èõ ñðåäíåå (òî åñòü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå) ñîâïàäàåò ñ èñòèííûì çíà÷åíèåì ïàðàìåòðà. Òîãäà è íàèìåíüøèé ðàçáðîñ îêàçûâàåòñÿ ïî îòíîøåíèþ ê èñòèííîìó çíà÷åíèþ ïàðàìåòðà. Ðàññìîòðèì íåêîòîðîå ñîáûòèå A è â êà÷åñòâå ïàðàìåòðà θ âîçüìåì âåðîÿòíîñòü ýòîãî ñîáûòèÿ: θ = P (A). Ïðîâåäåì n ýêñïåðèìåíòîâ, è ïóñòü ñîáûòèå A ïðîèçîøëî m ðàç. Òîãäà â êà÷åñòâå îöåíêè âåðîÿòíîñòè åñòåñòâåííî âçÿòü ôàêòè÷åñêóþ ÷àñòîòó ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ A: Ïðèìåð. θ̃n = m . n Òîãäà òàêàÿ îöåíêà áóäåò íåñìåùåííîé, ñîñòîÿòåëüíîé è ýôôåêòèâíîé. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî çäåñü ìîæíî âñå ìîäåëèðîâàòü ñõåìîé Áåðíóëëè (ñì. ñëåä. ñëàéä). Ïðèìåð ñõåìà Áåðíóëëè  ðåçóëüòàòå ýêñïåðèìåíòà ïðîâåðÿåòñÿ ïðîèçîøëî èëè íåò íåêîòîðîå ñîáûòèå A. Òî åñòü ðåçóëüòàò ýêñïåðèìåíòà ýòî óñïåõ (ñîáûòèå ïðîèçîøëî) èëè íåóäà÷à (ñîáûòèå íå ïðîèçîøëî). Êàê îáû÷íî îáîçíà÷àåì âåðîÿòíîñòü óñïåõà p = P (A) è âåðîÿòíîñòü íåóäà÷è q = P (A) = 1 − p.  îäíîì ýêñïåðèìåíòà ïîëó÷àåì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó X (êîëè÷åñòâî óñïåõîâ â îäíîì èñïûòàíèè) ñ ðÿäîì ðàñïðåäåëåíèÿ X P 0 q 1 =⇒ M (X) = p, p D(X) = pq, σ(X) = √ pq.  êà÷åñòâå îöåíêè âåðîÿòíîñòè p ïðèíèìàåòñÿ ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå êîëè÷åñòâà óñïåõîâ â n èñïûòàíèÿõ: θ̃n = 1 (X1 + . . . + Xn ). n Òîãäà M (θ̃n ) = 1 (nM (X)) = p, n D(θ̃n ) = 1 pq (nD(X)) = → 0 ïðè n → ∞. n2 n Çíà÷èò, òàêàÿ îöåíêà íåñìåùåííàÿ è ñîñòîÿòåëüíàÿ. Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî îíà ýôôåêòèâíàÿ. Îáùèå òåîðåìû Òåîðåìà 1. Ïóñòü X1 , . . . , Xn âûáîðêà èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè X è M (Xi ) = M (X) = µ, D(Xi ) = D(X) = σ 2 . Òîãäà âûáîðî÷íàÿ ñðåäíÿÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ x= 1 (X1 + . . . + Xn ) n ÿâëÿåòñÿ íåñìåùåííîé è ñîñòîÿòåëüíîé îöåíêîé ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ M (X). Òåîðåìà 2. Ïóñòü X1 , . . . , Xn âûáîðêà èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè X è M (Xi ) = M (X) = µ, Òîãäà âåëè÷èíà s2H = n s2 , n−1 D(Xi ) = D(X) = σ 2 . ãäå s2 = 1 n n P (Xi − x)2 âûáîðî÷íàÿ i=1 äèñïåðñèÿ, ÿâëÿåòñÿ íåñìåùåííîé è ñîñòîÿòåëüíîé îöåíêîé äèñïåðñèè D(X). Èìåííî ïîýòîìó âåëè÷èíó s2H è íàçûâàþò äèñïåðñèè. Ïðèìå÷àíèå. îöåíêîé íåñìåùåííîé Èíòåðâàëüíîå îöåíèâàíèå ïàðàìåòðîâ Îöåíêè, î êîòîðûõ ãîâîðèëîñü âûøå, íàçûâàþòñÿ òî÷å÷íûìè, òàê êàê îíè äàþò êîíêðåòíîå ÷èñëî îäíó òî÷êó íà âåùåñòâåííîé îñè. Èõ íåäîñòàòîê â òîì, ÷òî îíè íè÷åãî íå ãîâîðÿò î òî÷íîñòè òàêîãî îöåíèâàíèÿ ïðè çàäàííîì n. Áîëåå òîãî, ïðè ìàëûõ âûáîðêàõ ðàñõîæäåíèÿ ìåæäó îöåíêîé è èñòèííûì çíà÷åíèåì ìîæåò áûòü î÷åíü âåëèêî. Ïîýòîìó âîçíèêàåò çàäà÷à óêàçàòü èíòåðâàë (θ1 , θ2 ), â êîòîðûé ñ çàäàííîé âåðîÿòíîñòüþ ïîïàäàåò èñòèííîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà θ. Îöåíêà íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà íàçûâàåòñÿ èíòåðâàëüíîé, åñëè îíà îïðåäåëÿåòñÿ äâóìÿ ÷èñëàìè íà÷àëîì è êîíöîì èíòåðâàëà, â êîòîðûé äîëæåí ïîïàäàòü èñêîìûé ïàðàìåòð. Îïðåäåëåíèå. Åñëè óêàçàí èíòåðâàë (θ1 , θ2 ), â êîòîðûé ñ çàäàííîé âåðîÿòíîñòüþ γ ïîïàäàåò èñòèííîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà θ, òî òàêîé èíòåðâàë íàçûâàåòñÿ äîâåðèòåëüíûì èíòåðâàëîì, à âåðîÿòíîñòü γ íàçûâàåòñÿ íàäåæíîñòüþ îöåíêè èëè äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ. Îïðåäåëåíèå. Ïðèìåð èñïîëüçîâàíèå èíòåãðàëà Ëàïëàñà Ïóñòü äàíî íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå N (µ, σ) ñ èçâåñòíîé äèñïåðñèåé σ 2 , íî íåèçâåñòíûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì µ. Âîçüìåì â êà÷åñòâå îöåíêè äëÿ µ âûáîðî÷íîå ñðåäíåå (ñðåäíþþ àðèôìåòè÷åñêóþ âûáîðêè) x= 1 (X1 + . . . + Xn ). n Ýòà âåëè÷èíà òàêæå èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñîâïàäàåò ñ èñêîìûì ïàðàìåòðîì M (x) = µ (îöåíêà íåñìåùåííàÿ), à åå äèñïåðñèÿ ðàâíà, êàê ëåãêî ïîäñ÷èòàòü ïî ñâîéñòâàì äèñïåðñèè σ2 D(x) = (îöåíêà ñîñòîÿòåëüíàÿ). n Òîãäà âåëè÷èíà x−µ Y = σ √ n èìååò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå N (0, 1). Ïðèìåð èñïîëüçîâàíèå èíòåãðàëà Ëàïëàñà - II Èùåì äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë â âèäå (x − a, x + a). Òîãäà |µ − x| < a ⇔ σ |Y | < a √ , n à âåðîÿòíîñòü ïîñëåäíåãî ñîáûòèÿ ðàâíà ïî ôîðìóëå ÍüþòîíàËåéáíèöà a √σ n σ σ F (a √ ) − F (−a √ ) = 2 n n Z f (t)dt, 0 ãäå t2 1 f (t) = √ e− 2 2π åñòü ïëîòíîñòü ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Èíòåãðàë Zx Φ(x) = f (t)dt 0 íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì Ëàïëàñà (ôóíêöèåé Ëàïëàñà). Äëÿ åãî âû÷èñëåíèÿ èìåþòñÿ óäîáíûå òàáëèöû. Èòàê, â íàøåì ïðèìåðå âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë (x − a, x + a) ðàâíà 2Φ(a √σn ). Êîíòðîëüíûå âîïðîñû 1. Ïðåäìåò, öåëü è ìåòîä çàäà÷è îöåíèâàíèÿ. 2. Ïîíÿòèå âûáîðî÷íîé îöåíêè (ñòàòèñòèêè). 3. Íåñìåùåííàÿ îöåíêà. 4. Ñîñòîÿòåëüíàÿ îöåíêà. Òåîðåìà î ñîñòîÿòåëüíîñòè îöåíêè. 5. Ýôôåêòèâíîñòü îöåíêè. 6. Íåñìåùåííîñòü è ñîñòîÿòåëüíîñòü îöåíêè âåðîÿòíîñòè óñïåõà â ñõåìå Áåðíóëëè. 7. Äâå òåîðåìû îá îöåíêàõ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè. 8. Èíòåðâàëüíîå îöåíèâàíèå. Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë è íàäåæíîñòü îöåíêè (äîâåðèòåëüíàÿ âåðîÿòíîñòü). 9. Èíòåãðàë Ëàïëàñà. Âû÷èñëåíèå äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè äëÿ îöåíêè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.