25. Ýëåìåíòû ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè-3 25.1. Ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿ Êâàíòèëüþ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F óðîâíÿ γ íàçûâàåòñÿ òàêîå ÷èñëî hγ , ÷òî F (hγ ) = γ . Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë íàäåæíîñòè γ äëÿ ñðåäíåãî íîðìàëüíîé âûáîðêè îáúåìà n ñ èçâåñòíûì ñòàíäàðòíûì îòêëîíåíèåì σ èìååò âèä σ x̄ ± u 1+γ √ , 2 n ãäå u êâàíòèëü íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Åñëè σ íåèçâåñòíî, òî äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë èìååò âèä 1+γ 2 s x̄ ± tn−1, 1+γ √ , 2 n ãäå tn−1, êâàíòèëü ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà ñ (n − 1)-é ñòåïåíüþ ñâîáîäû, à s íåñìåùåííàÿ îöåíêà ñòàíäàðòíîãî îòêëîíåíèÿ. 1+γ 2 25.2. Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå Ïðè ïîìîùè âîëüòìåòðà, òî÷íîñòü êîòîðîãî õàðàêòåðèçóåòñÿ ñðåäíèì êâàäðàòè÷íûì îòêëîíåíèåì 0.2 Â, ïðîèçâåäåíî 10 èçìåðåíèé íàïðÿæåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîé áàòàðåè. Íàéòè 95%-é äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ èñòèííîãî çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèÿ, åñëè ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå ðåçóëüòàòîâ íàáëþäåíèé x̄ = 50.2 Â. (Êîíòðîëèðóåìûé ïðèçíàê èìååò íîðìàëüíûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ.) 50.2 ± 0.1 Â.  ðåçóëüòàòå ïóñêîâ 10 ðàêåò ïîëó÷åíû çíà÷åíèÿ áîêîâûõ îòêëîíåíèé òî÷åê ïîïàäàíèÿ îò òî÷åê ïðèöåëèâàíèÿ: Íîìåð 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Îòêëîíåíèå 1.0 0.2 1.0 −0.1 −0.5 5.0 −1.0 3.0 0.5 1.0 Ïîëàãàÿ, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X (îòêëîíåíèå òî÷êè ïîïàäàíèÿ îò òî÷êè ïðèöåëèâàíèÿ) èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, ïîñòðîèòü äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ åå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ñ êîýôôèöèåíòîì äîâåðèÿ γ = 0.99. x̄ = 1.01, s = 1.77, t9, 0.995 = 3.25, äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë èìååò âèä: (−0.81, 2.83). Ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ èçâåñòíîé äèñïåðñèåé. Ïðåäëîæèòå ñïîñîá ïðîâåðêè ãèïîòåçû H0 : a = a0 ïðîòèâ ãèïîòåçû H1 : a 6= a0 , îñíîâàííûé íà ïîñòðîåíèè êðèòè÷åñêîãî ìíîæåñòâà, ïðè çàäàííîì óðîâíå çíà÷èìîñòè α ïî âûáîðî÷íûì äàííûì x1 , . . . , xn . ×òî èçìåíèòñÿ, åñëè àëüòåðíàòèâíàÿ ãèïîòåçà èìååò âèä H1 : a > a0 ? ×òî èçìåíèòñÿ, åñëè äèñïåðñèÿ íåèçâåñòíà?  ïåðâîì ñëó÷àå ïðèíèìàåòñÿ H0 , åñëè x̄ ∈ (a0 − u1− √σn , a0 + u1− √σn ), èíà÷å ïðèíèìàåòñÿ H1 . Âî âòðîì ñëó÷àå ïðèíèìàåòñÿ H0 , åñëè x̄ < a0 + u1−α √σn , èíà÷å ïðèíèìàåòñÿ H1 . Çäåñü uγ êâàíòèëü íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ óðîâíÿ γ . Åñëè äèñïåðñèÿ íåèçâåñòíà, òî íóæíî âìåñòî σ èñïîëüçîâàòü âûáîðî÷íîå îòêëîíåíèå s, à âìåñòî êâàíòèëåé íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ êâàíòèëè ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà. Ïðè ïðîâåäåíèè ìåäèöèíñêîãî èññëåäîâàíèÿ ïî èçó÷åíèþ âîçäåéñòâèÿ íîâîãî ëåêàðñòâà íà îðãàíèçì ÷åëîâåêà 16 ïàöèåíòîâ áûëè ñãðóïïèðîâàíû â 8 ïàð.  êàæäîé ïàðå îäèí ÷åëîâåê ïðèíèìàë òàáëåòêè íîâîãî ïðåïàðàòà, à äðóãîé òàáëåòêè, íå ñîäåðæàùèå ïðåïàðàòà. Ïîñëå ÷åãî áûëè ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû àíàëèçîâ: 1. Îòâåò. 2. Îòâåò. 3. Îòâåò. α 2 4. 1 α 2 Íîìåð ïàðû 1 2 3 4 5 6 7 8 Ðåàêöèÿ íà ïðåïàðàò 0.16 0.97 1.57 0.55 0.62 1.12 0.68 1.69 Ðåàêöèÿ íà ïëàöåáî 0.11 0.13 0.77 1.19 0.46 0.41 0.40 1.28 Îòëè÷àþòñÿ ëè ýòè ðåàêöèè ïðè óðîâíå çíà÷èìîñòè 5%? Íåò. Îòâåò. 25.3. Äîìàøíåå çàäàíèå Èç áîëüøîé ïàðòèè ýëåêòðîëàìï áûëî îòîáðàíî ñëó÷àéíûì îáðàçîì 400 øòóê äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñðåäíåé ïðîäîëæèòåëüíîñòè ãîðåíèÿ. Âûáîðî÷íàÿ ñðåäíÿÿ ïðîäîëæèòåëüíîñòü ãîðåíèÿ ëàìï îêàçàëàñü ðàâíîé 1220 ÷àñîâ. Íàéòè ñ êîýôôèöèåíòîì äîâåðèÿ γ = 0.997 äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ñðåäíåé ïðîäîëæèòåëüíîñòè ãîðåíèÿ ýëåêòðîëàìïû ïî âñåé ïàðòèè, åñëè ñðåäíåå êâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå ðàâíî 35 ÷àñîâ. 1220 ± 5.52 ÷àñà.  10 000 ñåàíñàõ èãðû ñ àâòîìàòîì âûèãðûø ïîÿâèëñÿ 4000 ðàç. • Èñïîëüçóÿ ïðåäåëüíûå òåîðåìû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïðåäëîæèòü ñïîñîá íàõîæäåíèÿ ãðàíèö äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà íàäåæíîñòè γ . • Ðàññ÷èòàòü 95%-é äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ âåðîÿòíîñòè âûèãðûøà. • Îöåíèòü êîëè÷åñòâî ñåàíñîâ èãðû, êîòîðûå ñëåäóåò ïðîâåñòè, ÷òîáû ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.99 ìîæíî áûëî óòâåðæäàòü, ÷òî âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà p îòëè÷àåòñÿ îò åãî ÷àñòîòû íå áîëåå ÷åì íà 0.01. Åñëè k ÷èñëî âûèãðûøåé, à uα êâàíòèëü íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ óðîâíÿ α, òî (ïðèáëèæåííûé) äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë èìååò âèä: 5. Îòâåò. 6. Îòâåò. u 1+γ k − √2 n n s k n k 1− n u 1+γ k ≤ p ≤ + √2 n n s k n k 1− ; n ïðè γ = 0.95, n = 10 000 è k = 4000 äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë ðàâåí (0.39, 0.41); ïðèáëèçèòåëüíî 16 600 ñåàíñîâ. Äëÿ ïðîâåðêè òîãî, ïîâûøàåòñÿ ëè ñêîðîñòü ÷òåíèÿ ó÷åíèêîâ ìëàäøèõ êëàññîâ â çàâèñèìîñòè îò ñîäåðæàíèÿ òåêñòà, ó÷èòåëü ïðîâåðèë ñêîðîñòü ÷òåíèÿ 7 ó÷åíèêîâ, êîãäà îíè ÷èòàëè òåêñò ïî ñâîåìó âûáîðó è òåêñò, ïðåäëîæåííûé ó÷èòåëåì. ×èñëî ñëîâ, ïðî÷èòàííûõ çà 6 ìèíóò êàæäûì èç ó÷åíèêîâ, äàíî â òàáëèöå. Ó÷åíèê 1 2 3 4 5 6 7 Ñâîé òåêñò 549 555 560 521 544 552 542 Òåêñò ó÷èòåëÿ 534 549 555 525 542 540 534 Ïðè óðîâíå çíà÷èìîñòè 5% ïðîâåðüòå ãèïîòåçó î òîì, ÷òî ó÷åíèêè ÷èòàþò áûñòðåå, åñëè îíè ñàìè âûáèðàþò òåêñò. Ãèïîòåçà ïðèíèìàåòñÿ. Íàó÷èòåñü ñ ïîìîùüþ ýëåêòðîííûõ òàáëèö (íàïðèìåð, ñ èñïîëüçîâàíèåì Microsoft Excel) âû÷èñëÿòü îñíîâíûå ÷èñëåííûå õàðàêòåðèñòèêè âûáîðîê (âûáîðî÷íûå ñðåäíåå, ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå), íàõîäèòü êâàíòèëè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà è ðàñïðåäåëåíèÿ õè-êâàäðàò, âû÷èñëÿòü ãðàíèöû äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà äëÿ íîðìàëüíîé âûáîðêè. 7. Îòâåò. 8. 2