Çàäàíèå 11 Ñäàòü äî 04.12 Âïèñàííûé óãîë 2 Çàäà÷à 1. Íàéäèòå ÃÌÒ, èç êîòîðûõ äàííûé îòðåçîê âèäåí ïîä äàííûì óãëîì. Çàäà÷à 2. Äîêàæèòå, ÷òî îêîëî ÷åòûð¼õóãîëüíèêà, ñóììà ïðîòèâîïîëîæíûõ óãëîâ êîòîðîãî ðàâíà 180◦ , ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü. Çàäà÷à 3 (Çàäà÷à Àðõèìåäà).  äóãó AB îêðóæíîñòè âïèñàíà ëîìàíàÿ AM B èç äâóõ îòðåçêîâ (AM > M B). Äîêàæèòå, ÷òî îñíîâàíèå ïåðïåíäèêóëÿðà KH , îïóùåííîãî èç ñåðåäèíû äóãè AB íà îòðåçîê AM , äåëèò ëîìàíóþ ïîïîëàì, ò.å. AH = HM + M B . 1 Çàäà÷à 4. Ê äâóì îêðóæíîñòÿì, ïåðåñåêàþùèìñÿ â òî÷êàõ K è M , ïðîâåäåíà îáùàÿ êàñàòåëüíàÿ. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè A è B òî÷êè êàñàíèÿ, òî ∠AM B + ∠AKB = 180◦ . Çàäà÷à 5. Äâå ïðÿìûå, êàñàþùèåñÿ äàííîé îêðóæíîñòè â òî÷êàõ A è B , ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå C . Äîêàæèòå, ÷òî öåíòð îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â òðåóãîëüíèê ABC , ëåæèò íà äàííîé îêðóæíîñòè. Çàäà÷à 6. ×åðåç âåðøèíó C ïðÿìîãî óãëà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ABC ïðîâåäåíà êàñàòåëüíàÿ ê îïèñàííîé îêðóæíîñòè ýòîãî òðåóãîëüíèêà. Ðàññòîÿíèÿ îò âåðøèí A è B äî êàñàòåëüíîé ðàâíû a è b. Íàéäèòå êàòåòû òðåóãîëüíèêà ABC . Çàäà÷à 7. Êàñàòåëüíàÿ â òî÷êå A ê îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ABC ïåðåñåêàåò ïðÿìóþ BC â òî÷êå E ; AD áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà ABC . Äîêàæèòå, ÷òî AE = ED. Çàäà÷à 8. Äèàãîíàëè AC è BD âïèñàííîãî ÷åòûð¼õóãîëüíèêà ABCD âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû è ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå M . Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó M è ñåðåäèíó ñòîðîíû AD, ïåðïåíäèêóëÿðíà BC . Çàäà÷à 9.  âûïóêëîì ÷åòûð¼õóãîëüíèêå ABCD èçâåñòíî, ÷òî ∠BCD = 80◦ , ∠ACB = 50◦ è ∠ABD = 30◦ . Íàéäèòå ∠ADB . Çàäà÷à 10. Äàíû ÷åòûðå îêðóæíîñòè, êàæäàÿ èõ êîòîðûõ âíåøíèì îáðàçîì êàñàåòñÿ äâóõ èõ òð¼õ îñòàëüíûõ. Äîêàæèòå, ÷òî ÷åðåç òî÷êè êàñàíèÿ ìîæíî ïðîâåñòè îêðóæíîñòü. Çàäà÷à 11. Ïîñòðîéòå òðåóãîëüíèê ïî ñòîðîíå, ïðîòèâîëåæàùåìó óãëó è âûñîòå, ïðîâåä¼ííîé èç âåðøèíû ýòîãî óãëà. Çàäà÷à 12. Ïîñòðîéòå òðåóãîëüíèê ïî ñòîðîíå, ïðîòèâîëåæàùåìó óãëó è ðàäèóñó âïèñàííîé îêðóæíîñòè. Çàäà÷à 13. Òî÷êà E ëåæèò íà ñòîðîíå AC ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà òðåóãîëüíèêà ABC ; òî÷êà K ñåðåäèíà îòðåçêà AE . Ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó E ïåðïåíäèêóëÿðíî ïðÿìîé AB , è ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó C ïåðïåíäèêóëÿðíî ïðÿìîé BC , ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå D. Íàéäèòå óãëû òðåóãîëüíèêà BKD. Çàäà÷à 14. Óãîë ïðè âåðøèíå A òðåóãîëüíèêà ABC ðàâåí 60◦ . Áèññåêòðèñû BD è CE ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå M . Äîêàæèòå, ÷òî M D = M E Êðèòåðèè: îöåíêà ¾5¿ ¾4¿ ¾3¿ ¾2¿ ñäàíî çàäà÷ 14 11 8 5 1 Æåëàòåëüíî ðåøèòü ýòó çàäà÷ó íåñêîëüêèìè ñïîñîáàìè.