ÊÂÀÍT 2002/¹6 12 çàìå÷àíèé, êîòîðûå, áûòü ìîæåò, ïîñëóæèëè çàðîäûøåì èäåè, ðàçâèòîé âïîñëåäñòâèè Âàëëèñîì. Âîçìîæíî, Âàëëèñó áûëî âàæíî äîáèòüñÿ ðàñïîëîæåíèÿ Áðîóíêåðà è åãî ïîêðîâèòåëüñòâà, ïîýòîìó îí è íàçâàë ýòîò ìåòîä ìåòîäîì Áðîóíêåðà (èáî Áðîóíêåð â 1662 1677 ãîäàõ áûë ïðåçèäåíòîì îñíîâàííîãî â 1660 ãîäó Ëîíäîíñêîãî Êîðîëåâñêîãî îáùåñòâà). Âïðî÷åì, íåêîòîðûå èñòîðèêè ñ÷èòàþò ñàìîãî Áðîóíêåðà âåñüìà ñïîñîáíûì ìàòåìàòèêîì è óòâåðæäàþò, ÷òî ïî ñâîèì ëè÷íûì êà÷åñòâàì Âàëëèñ ñêîðåå ìîã ïðèïèñàòü ñåáå ÷óæèå çàñëóãè, ÷åì îòêàçàòüñÿ îò ñâîèõ. Ñòðîãî ãîâîðÿ, àíãëè÷àíå íå ðåøèëè çàäà÷ó Ôåðìà, êîòîðàÿ çàêëþ÷àëàñü â òîì, ÷òî ïðè äàííîì (íå ÿâëÿþùåìñÿ êâàäðàòîì) íàòóðàëüíîì d ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî íàòóðàëüíûõ x òàêèõ, ÷òî dx 2 + 1 ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì. Îíè íå äîêàçàëè, ÷òî ïðîöåäóðà âñåãäà çàâåðøèòñÿ, è, êàæåòñÿ, äàæå íå ïîíèìàëè, ÷òî ýòî íóæíî äîêàçûâàòü.3 Ôåðìà íàïèñàë ïèñüìî, â êîòîðîì ïðèçíàë, ÷òî àíãëè÷àíàì óäàëîñü ðåøèòü åãî çàäà÷ó, è íå ïðîÿâèë íè ìàëåéøåé íåóäîâëåòâîðåííîñòè èõ ìåòîäîì. Îäíàêî ãëàâíûì äëÿ Ôåðìà â ýòîì ïèñüìå áûëî óáåäèòü àíãëè÷àí, ÷òî ïåðåä íèìè áûëà ïîñòàâëåíà äîñòîéíàÿ çàäà÷à, òàê ÷òî îí ìîã ñîçíàòåëüíî çàêðûòü ãëàçà íà íåäîñòàòêè. Íåñêîëüêî ëåò ñïóñòÿ, ïîäâîäÿ â ïèñüìå ê Êàðêàâè èòîãè íåêîòîðûõ ñâîèõ îòêðûòèé, Ôåðìà óêàçàë, ÷òî àíãëè÷àíå ïîëó÷èëè ðåøåíèå åãî çàäà÷è òîëüêî â îòäåëüíûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ è èì íå óäàëîñü äàòü îáùåå äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ýòîãî çàìå÷àíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî Ôåðìà çàìåòèë îòñóòñòâèå äîêàçàòåëüñòâà òîãî, ÷òî ïðîöåññ âñåãäà ïðèâîäèò ê ðåøåíèþ; ñ äðóãîé ñòîðîíû, â íåì ìîæíî óâèäåòü è ìåíåå ãëóáîêóþ êðèòèêó òîãî, ÷òî ïðîöåññ áûë îïèñàí â íåäîñòàòî÷íî îáùèõ òåðìèíàõ. Ôåðìà óòâåðæäàåò, ÷òî îí ìîã áû äàòü äîêàçàòåëüñòâî, «íàäëåæàùèì îáðàçîì» ïðèìåíèâ ìåòîä áåñêîíå÷íîãî ñïóñêà. Ýòè ñëîâà, ðàçóìååòñÿ, íåëüçÿ ñ÷èòàòü äîñòàòî÷íûì ñâèäåòåëüñòâîì â ïîëüçó òîãî, ÷òî îí óìåë ðåøàòü ñâîþ çàäà÷ó. Èíäèéñêèé è àíãëèéñêèé ìåòîäû Ëåãåíäû ãëàñÿò, ÷òî çà íåñêîëüêî âåêîâ äî íàøåé ýðû â Èíäèè áûëî èçâåñòíî ðàâåíñòâî 2 ⋅ 408 2 + 1 = 577 2 . Ðàâåíñòâî 92 ⋅ 120 2 + 1 = 11512 âìåñòå ñ èçîùðåííîé òåõíèêîé åãî âûâîäà áûëî ïîëó÷åíî Áðàõìàãóïòîé (ðîäèëñÿ â 598 ãîäó). Îáùèé ñïîñîá ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ïåëëÿ 4 äàë Áõàñêàðà Àêõàðèÿ. Ýòîò ìåòîä íàçûâàþò öèêëè÷åñêèì èëè èíäèéñêèì. 3 Äàæå Ýéëåðó íå óäàëîñü äîêàçàòü, ÷òî àíãëèéñêèé ìåòîä âñåãäà ïðèâîäèò ê óñïåõó. Óäàëîñü ýòî Ëàãðàíæó ÷åðåç 110 ëåò ïîñëå òîãî, êàê Âàëëèñ îòîñëàë îòâåò íà âûçîâ Ôåðìà. 4 Òåðìèí «óðàâíåíèå Ïåëëÿ» âîçíèê â ðåçóëüòàòå îøèáêè Ëåîíàðäà Ýéëåðà. Ïî÷åìó-òî âîçìîæíî, ïî ïðè÷èíå ñìóòíûõ âîñïîìèíàíèé, îñòàâøèõñÿ îò ÷òåíèÿ «Àëãåáðû» Âàëëèñà, ó Ýéëåðà ñîçäàëîñü âïå÷àòëåíèå, áóäòî Âàëëèñ ïðèïèñûâàåò ìåòîä ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è íå Áðîóíêåðó, à Ïåëëþ ñîâðåìåííèêó Âàëëèñà, êîòîðûé ìíîãî ðàç óïîìÿíóò â åãî ðàáîòàõ, íî íå èìåë 2 2 íèêàêîãî îòíîøåíèÿ ê óðàâíåíèþ x − dy = 1 . Ýéëåð âïåðâûå ñäåëàë ýòó îøèáêó â 1730 ãîäó, êîãäà åìó áûëî 23 ãîäà, íî îíà ïîïàëà è â îêîí÷àòåëüíîå èçäàíèå «Ââåäåíèÿ â àëãåáðó» (ïðèìåðíî 1770 ã.). Ýéëåð áûë ñàìûì ïîïóëÿðíûì ìàòåìàòè÷åñêèì àâòîðîì ñâîåãî âðåìåíè, è îøèáêà âîøëà â èñòîðèþ... Ïîçíàêîìèìñÿ ñ íèì íà ïðèìåðå d = 67. Íàøà öåëü íàéòè òàêèå íàòóðàëüíûå x è y, ÷òîáû ðàçíîñòü y2 − 67x 2 ðàâíÿëàñü 1.  êà÷åñòâå ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ ðàññìîòðèì ðàâåíñòâî 82 − 67 ⋅ 12 = −3 . Âñïîìíèâ ôîðìóëó (a 2 − 67b 2 )(c 2 ) − 67d 2 = ( ac + 67bd ) 67 (bc + ad ) 2 2 è ïðèìåíèâ åå ê ðàâåíñòâàì 82 − 67 ⋅ 12 = −3 è r 2 − − 67 ⋅ 12 = s , ãäå r (à òåì ñàìûì è s) áóäåò îïðåäåëåíî ïîçæå, ïîëó÷èì (8r + 67 ) 2 − 67 (r + 8 ) = −3 s . 2 Ïûòàÿñü ñäåëàòü ïðàâóþ ÷àñòü (ïî ìîäóëþ) êàê ìîæíî ìåíüøåé òîëüêî çà ñ÷åò âûáîðà íàèìåíüøåãî ïî ìîäóëþ çíà÷åíèÿ s, ìû âûáðàëè áû r = 8, ïðè êîòîðîì s = = 3, è ïîëó÷èëè áû ðàâåíñòâî 1312 − 67 ⋅ 16 2 = 9 , ñ êîòîðûì íåïîíÿòíî ÷òî äåëàòü äàëüøå. Èäåÿ öèêëè÷åñêîãî ìåòîäà âûáîð òàêîãî r, ÷òîáû r + 8 äåëèëîñü íà 3 è s ïðè ýòîì áûëî êàê ìîæíî ìåíüøå ïî ìîäóëþ. (Êîãäà ýòî ñäåëàíî, îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ ðàçäåëÿòñÿ íàöåëî íà 32 .) Èäåÿ àíãëèéñêîãî ìåòîäà âûáîð òàêîãî êàê ìîæíî áîëüøåãî r, ÷òî r 2 < d è r + 8 äåëèòñÿ íà 3. Êàê âèäèòå, ìåòîäû î÷åíü ïîõîæè. Îáà ìîæíî ïðèìåíÿòü äëÿ ïîèñêà ðåøåíèé ïðè äàííîì d, íå çíàÿ çàðàíåå, ÷òî ýòî ïðèâåäåò ê óñïåõó. (Ìåæäó ïðî÷èì, àïðèîðè íåò íèêàêîé óâåðåííîñòè â òîì, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå â àíãëèéñêîì ìåòîäå ïîñëå êàæäîãî øàãà r áóäåò ñóùåñòâîâàòü. Ýòî îäíà èç òåîðåì, êîòîðûå íàäî äîêàçûâàòü, îáîñíîâûâàÿ àíãëèéñêèé ìåòîä.) Ïðîâåäåì ïîäðîáíî âû÷èñëåíèÿ äëÿ öèêëè÷åñêîãî ìåòîäà. ×òîáû r + 8 äåëèëîñü íà 3, ÷èñëî r äîëæíî ðàâíÿòüñÿ îäíîìó èç ÷èñåë áåñêîíå÷íîé â îáå ñòîðîíû àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè ..., 2, 1, 4, 7, 10, 13, 16, ... Âûáîð r = 7 äàåò íàèìåíüøåå ïî ìîäóëþ çíà÷åíèå s = 18. Ýòèì r è s ñîîòâåòñòâóåò ðàâåíñòâî 123 2 − 67 ⋅ 152 = 54 , êîòîðîå ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà 9 ïðåâðàùàåòñÿ â 412 − 67 ⋅ 52 = 6 . Òåïåðü ñëåäóþùèé øàã öèêëè÷åñêîãî ìåòîäà: (41r + 67 ⋅ 5)2 − 67 (5r + 41)2 = 6s . ×èñëî 5r + 41 äåëèòñÿ íà 6 ïðè r = ..., 7, 1, 5, 11, 17, 23,... Âûáîð r = 5 äàåò íàèìåíüøåå ïî ìîäóëþ s = = 42, è ìû ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî 5402 − 67 ⋅ 662 = 6 ⋅ ( −42 ), êîòîðîå ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà 6 2 ïðåâðàùàåòñÿ â 902 − 67 ⋅ 112 = −7 . Äàëüøå íàäî âûïîëíèòü ñëåäóþùèé øàã öèêëè÷åñêîãî ìåòîäà, ïîòîì åùå îäèí, è òàê äî òåõ ïîð, ïîêà íå ïîëó÷èì ðàâåíñòâî, â ïðàâîé ÷àñòè êîòîðîãî áóäåò 1.