10 öîì?  ýòîì ñëó÷àå â êàæäîé âåðøèíå ãðàôà, ê êîòîðîé ïîäõîäèò õîòÿ áû îäíî ðåáðî, ñõîäÿòñÿ, êàê ìèíèìóì, äâà ðåáðà. Ïî ýòîé ïðè÷èíå â ãðàôå G ìîæíî íàéòè ïðîñòîé çàìêíóòûé ðåáåðíûé ïóòü. Çàìêíóòûé ýòî ïóòü, êîòîðûé âîçâðàùàåòñÿ òóäà, îòêóäà îí âûøåë, à ïðîñòîé ïóòü, ïîäîáíî îêðóæíîñòè, íå ïåðåñåêàåò ñàì ñåáÿ.  ãðàôå íà ðèñóíêå 5 «íîñ» è «ðîò» îáðàçóþò ïðîñòîé çàìêíóòûé êîíòóð. Îïÿòü æå, ïîäîáíî îêðóæíîñòè, ïðîñòîé çàìêíóòûé ïóòü ðàçáèâàåò ñôåðó íà äâå îáëàñòè. Ýòî î÷åâèäíîå íà ïåðâûé âçãëÿä óòâåðæäåíèå äîêàçûâàåòñÿ î÷åíü íåïðîñòî è èçâåñòíî â ìàòåìàòèêå êàê òåîðåìà Æîðäàíà. Ïî÷åìó â ãðàôå G, íå ñîäåðæàùåì ðåáåð ñî ñâîáîäíûì êîíöîì, èìåþòñÿ ïðîñòûå çàìêíóòûå ðåáåðíûå ïóòè? Äàâàéòå îòïðàâèìñÿ â ïóòü èç ïðîèçâîëüíîãî ðåáðà ãðàôà, ïåðåõîäÿ êàæäûé ðàç îò îäíîãî ðåáðà ÷åðåç åãî êîíöåâóþ âåðøèíó ê ñîñåäíåìó ðåáðó. Òàê êàê â êàæäîé âåðøèíå, â êîòîðóþ ìû ïðèõîäèì, ñõîäèòñÿ íå ìåíüøå äâóõ ðåáåð, òî ìîæíî ïóòåøåñòâîâàòü ïî ðåáðàì ãðàôà ñêîëü óãîäíî äîëãî. Íî âåðøèí â ãðàôå êîíå÷íîå ÷èñëî. Ïîýòîìó ðàíî èëè ïîçäíî íàñòóïèò òàêîé ìîìåíò, êîãäà ìû âïåðâûå ïðèäåì â âåðøèíó, ñêàæåì À, â êîòîðîé áûëè óæå ïðåæäå. Òîãäà ðåáåðíûé ïóòü w, ïðîéäåííûé îò âåðøèíû À äî ïåðâîãî âîçâðàùåíèÿ â ýòó æå âåðøèíó, áóäåò î÷åâèäíî ïðîñòûì è çàìêíóòûì. Óäàëèì èç ïóòè w êàêîå-íèáóäü ðåáðî e. ×èñëî âåðøèí íå èçìåíèòñÿ: B ′ = B . ×èñëî ðåáåð óìåíüøèòñÿ íà åäèíèöó: P′ = P − 1 . Òàê êàê ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò óäàëåííîãî ðåáðà e ëåæàëè ðàçíûå îáëàñòè, òî ïîñëå óäàëåíèÿ ðåáðà îíè îáúåäèíÿòñÿ â îäíó îáëàñòü. Çíà÷èò, ÷èñëî îáëàñòåé óìåíüøèòñÿ íà åäèíèöó: à ′ = à − 1 . Ïðè ýòîì ÷èñëî êîìïîíåíòîâ â ãðàôå íå óìåíüøèòñÿ. Äåéñòâèòåëüíî, êîíöåâûå âåðøèíû óäàëåííîãî ðåáðà e ìîæíî ñîåäèíèòü è â ãðàôå G ′ . Äëÿ ýòîãî íóæíî ïðîéòè îò îäíîé êîíöåâîé âåðøèíû ðåáðà e ê äðóãîé ïî äîïîëíèòåëüíîé ÷àñòè çàìêíóòîãî ïóòè w. Ïîýòîìó ëþáûå äâå âåðøèíû v è v ′ , ñîåäèíåííûå íåêîòîðûì ïóòåì â ãðàôå G, ìîæíî ñîåäèíèòü è â ãðàôå G ′ , çàìåíèâ ïðè íåîáõîäèìîñòè âûêèíóòîå ðåáðî å íà ïóòü, ñîåäèíÿþùèé êîíöåâûå âåðøèíû ýòîãî ðåáðà. Èòàê, è â ñëó÷àå 2) âñåãäà ìîæíî íàéòè ðåáðî, ïðè óäàëåíèè êîòîðîãî Ê Â À Í T 2001/№5 ñóììà B ′ − P ′ + à ′ − K ′ = B (P 1) + + (à 1) K = B − P + à − K òàêæå íå ìåíÿåòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, ìû èç ëþáîãî ãðàôà ìîæåì óäàëèòü ðåáðî, íå ìåíÿÿ ïðè ýòîì ñóììû  Р+ à K.  ðåçóëüòàòå ïîñëåäîâàòåëüíîãî óäàëåíèÿ âñåõ ðåáåð ìû ïðèõîäèì ê ãðàôó «çâåçäíîå íåáî», äëÿ êîòîðîãî îáîáùåííàÿ ôîðìóëà, êàê áûëî ïðîâåðåíî âûøå, âåðíà. Ñëåäîâàòåëüíî, îáîáùåííàÿ ôîðìóëà âåðíà è äëÿ èñõîäíîãî ãðàôà G. Îáîáùåííàÿ òåîðåìà Ýéëåðà äîêàçàíà. Следствия из теоремы Эйлера Òåîðåìà Ýéëåðà èãðàåò îãðîìíóþ ðîëü â ìàòåìàòèêå. Ñ åå ïîìîùüþ áûëî äîêàçàíî îãðîìíîå êîëè÷åñòâî òåîðåì. Íàõîäÿñü â öåíòðå ïîñòîÿííîãî âíèìàíèÿ ñî ñòîðîíû ìàòåìàòèêîâ, òåîðåìà Ýéëåðà ïîëó÷èëà äàëåêî èäóùèå îáîáùåíèÿ. Áîëåå òîãî, ýòà òåîðåìà îòêðûëà íîâóþ ãëàâó â ìàòåìàòèêå, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ òîïîëîãèåé. Âî âðåìÿ ðàáîòû íàä ñâîåé òåîðåìîé Ýéëåð âûâåë èç íåå íåñêîëüêî óòâåðæäåíèé, îòíîñÿùèõñÿ ê âûïóêëûì ìíîãîãðàííèêàì: 1) P + 6 ≤ 3 B è P + 6 ≤ 3 à ; 2) à + 4 ≤ 2 B è B + 4 ≤ 2 à ; 3) ó âñÿêîãî ìíîãîãðàííèêà åñòü õîòÿ áû îäíà òðåóãîëüíàÿ, ÷åòûðåõóãîëüíàÿ èëè ïÿòèóãîëüíàÿ ãðàíü, à òàêæå õîòÿ áû îäèí òðåõãðàííûé, ÷åòûðåõãðàííûé èëè ïÿòèãðàííûé ïðîñòðàíñòâåííûé óãîë; 4) ñóììà ïëîñêèõ óãëîâ âñåõ ãðàíåé ìíîãîãðàííèêà ðàâíà 2πB 4π. Ìû äîêàæåì ïåðâîå íåðàâåíñòâî è ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå, îñòàâèâ îñòàëüíîå äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû. Äîêàæåì íåðàâåíñòâî P + 6 ≤ 3 B . Ïåðåïèøåì ñîîòíîøåíèå Ýéëåðà äâàæäû, îäèí ðàç â âèäå Ð + 2 =  +à è äðóãîé ðàç â âèäå 4 = 2 2Ð + 2Ã. Ñêëàäûâàÿ ýòè ðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì Ð + 6 = 3 + 3à 2Ð. Òàê êàê ó êàæäîé ãðàíè ìíîãîãðàííèêà íå ìåíåå òðåõ ñòîðîí, òî 3 à ≤ 2 P . Îòñþäà ñðàçó ïîëó÷àåì P + 6 ≤ 3B . Äîêàæåì óòâåðæäåíèå 4). Îáîçíà÷èì ÷åðåç à i ÷èñëî i-óãîëüíûõ ãðàíåé â ìíîãîãðàííèêå M. ßñíî, ÷òî à = Ã3 + Ã4 + Ã5 + K (1) ßñíî òàêæå, ÷òî êàæäàÿ i-óãîëüíàÿ ãðàíü ñîäåðæèò i ðåáåð ìíîãîãðàííèêà. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, êàæäîå ðåáðî ìíîãîãðàííèêà ïðèíàäëåæèò â òî÷íîñòè äâóì ãðàíÿì. Ïîýòîìó â ñóììå 3 à 3 + 4 à 4 + 5 à 5 + K êàæäîå ðåáðî ìíîãîãðàííèêà ïîäñ÷èòàíî, ïðè÷åì ïîäñ÷èòàíî äâàæäû. Îòñþäà èìååì 2P = 3Ã3 + 4 à 4 + 5Ã5 + K (2) Ðàññìîòðèì òåïåðü ñóììó S ïëîñêèõ óãëîâ ìíîãîãðàííèêà: S = à 3 ⋅ π + à 4 ⋅ 2π + K + K + à i ⋅ i − 2 π + K (3) > C Ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé (1) è (2) è òåîðåìû Ýéëåðà ñîîòíîøåíèå (3) ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê: > C > C S = Ã3 3 − 2 π + Ã4 4 − 2 π + K > C K + Ãi i − 2 π + K = 2Pπ − 2Ãπ = = 2Bπ − 4 π . Óòâåðæäåíèå 4) äîêàçàíî. Óïðàæíåíèÿ 2. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà a) P + 6 ≤ 3 à ; á) à + 4 ≤ 2B ; â) B + 4 ≤ 2à . 3. Äîêàæèòå, ÷òî ó âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà åñòü ëèáî ïî ìåíüøåé ìåðå îäíà òðåóãîëüíàÿ ãðàíü, ëèáî òðåõãðàííûé óãîë ïðè âåðøèíå. Óòâåðæäåíèå 4) ïî ñóùåñòâó ýêâèâàëåíòíî âàæíîé òåîðåìå î ìíîãîãðàííèêàõ, äîêàçàííîé ôðàíöóçñêèì ìàòåìàòèêîì Ðåíå Äåêàðòîì (1596 1650). 2 Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ âåðøèíó v ìíîãîãðàííèêà è ñîîòâåòñòâóþùèé ìíîãîãðàííûé óãîë ñ âåðøèíîé â v. Ïóñòü α v ñóììà âñåõ ïëîñêèõ óãëîâ ýòîãî ïðîñòðàíñòâåííîãî óãëà. Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ó âûïóêëîãî ìíîãîãðàííîãî óãëà ñóììà ïëîñêèõ óãëîâ ñòðîãî ìåíüøå 2π . Ðàçíîñòü ω v = 2 π − α v íàçûâàåòñÿ êðèâèçíîé âåðøèíû v. Òàêèì îáðàçîì, êðèâèçíà âåðøèíû âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà ñòðîãî ïîëîæèòåëüíà. Íàïðèìåð, êðèâèçíà âåðøèíû êóáà >C >C >C 2 Ñîçäàâ êîîðäèíàòíûé ìåòîä, ÷òîáû «ïîâåðèòü àëãåáðîé» ãåîìåòðèþ, è òåì ñàìûì, ïî ìíåíèþ íåêîòîðûõ âåñüìà óâàæàåìûõ ìàòåìàòèêîâ, «çâóêè (ãåîìåòðèè) óìåðòâèâ», Äåêàðò â òî æå âðåìÿ áûë ïåðâûì ãåîìåòðîì, êîòîðûé ïîñëå äðåâíèõ ãðåêîâ çàíèìàëñÿ îáùåé òåîðèåé ìíîãîãðàííèêîâ.