Ìàëàÿ òåîðåìà Ôåðìà ÌÀËÀß ÒÅÎÐÅÌÀ 15 ÔÅÐÌÀ Â.ÑÅÍÄÅÐÎÂ, À.ÑÏÈÂÀÊ Íàïîìèíàíèå Ìàëàÿ òåîðåìà Ôåðìà ãëàñèò: åñëè à öåëîå ÷èñëî, íå äåëÿùååñÿ íà ïðîñòîå ÷èñëî ð, òî ap−1 1 äåëèòñÿ íà ð. Ôóíêöèÿ Ýéëåðà ϕ n ýòî êîëè÷åñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò 1 äî n, âçàèìíî ïðîñòûõ ñ n. Ôóíêöèÿ Êàðìàéêëà λ n ýòî òàêîå íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî k, ÷òî äëÿ âñÿêîãî öåëîãî ÷èñëà à, âçàèìíî ïðîñòîãî ñ íàòóðàëüíûì ÷èñëîì n, ðàçíîñòü ak 1 äåëèòñÿ íà n. ×èñëî g íàçûâàþò ïåðâîîáðàçíûì êîðíåì ïî ìîäóëþ n, åñëè äëÿ âñÿêîãî öåëîãî à, âçàèìíî ïðîñòîãî ñ n, ñóùåñòâóåò òàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî m, ÷òî g m ≡ a mod n . Ïîäðîáíî îá ýòèõ è ìíîãèõ äðóãèõ ïîíÿòèÿõ è òåîðåìàõ àðèôìåòèêè ìîæíî ïðî÷èòàòü â ïðåäûäóùèõ ÷àñòÿõ ñòàòüè. Òàì íå áûëî äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå ïåðâîîáðàçíîãî êîðíÿ ïî ïðîñòîìó ìîäóëþ. Ïðèøëà ïîðà ýòî ñäåëàòü. bg bg b g Ïåðâîîáðàçíûå êîðíè Ïåðâîîáðàçíûå êîðíè ïî ìîäóëþ 11 ×èñëî 2 ïåðâîîáðàçíûé êîðåíü ïî ìîäóëþ 11. Êàêèå åùå åñòü ïåðâîîáðàçíûå êîðíè ïî ýòîìó ìîäóëþ? Äëÿ îòâåòà íå íóæíî ïåðåáèðàòü âñå ÷èñëà 3, 4, 5, ..., 9, 10 è ñîñòàâëÿòü äëÿ êàæäîãî èç íèõ òàáëèöó. Íåêîòîðûå ñòåïåíè äâîéêè ìîæíî ñðàçó îòáðîñèòü: c2 h = 2 ≡ 1 , c2 h = 2 ≡ 1, e2 j ≡ 1 , e2 j ≡ 1 , e2 j ≡ 1 bmod11g . 2 5 4 10 5 20 5 2 òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà s è p 1 âçàèìíî ïðîñòû. Óïðàæíåíèÿ 44. Äîêàæèòå ýòî. 45. Äëÿ òîãî ÷òîáû ÷èñëî a áûëî ïåðâîîáðàçíûì êîðíåì ïî ïðîñòîìó ìîäóëþ p, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû a íå äåëèëîñü íà p è íè äëÿ êàêîãî ïðîñòîãî äåëèòåëÿ q ÷èñëà p 1 ðàçíîñòü ab p −1g q − 1 íå äåëèëàñü áû íà p. Äîêàæèòå ýòî. 46. Íàéäèòå íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ÿâëÿþùååñÿ ïåðâîîáðàçíûì êîðíåì ïî ìîäóëþ à) 23; á) 41; â) 257. 47. a) Ïðîâåðüòå, ÷òî 2 íå ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíûì êîðíåì ïî ìîäóëþ 263, à 2 ÿâëÿåòñÿ. 3 á) Ïóñòü a − a íå äåëèòñÿ íà 83. Äîêàæèòå, ÷òî ðîâíî îäíî èç ÷èñåë a è a ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíûì êîðíåì ïî ìîäóëþ 83. 48. a) Ïóñòü p ïðîñòîå ÷èñëî, p ≡ 1 mod 4 . Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî a ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíûì êîðíåì ïî ìîäóëþ p òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñàìî ÷èñëî a ïåðâîîáðàçíûé êîðåíü ïî ìîäóëþ p. á) Ïóñòü p ïðîñòîå ÷èñëî, p ≡ 3 mod 4 . Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî a ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíûì êîðíåì ïî ìîäóëþ p òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïîðÿäîê ÷èñëà a ïî ìîäóëþ p ðàâåí (p 1)/2. b g b g Ïîðÿäêè êëàññîâ âû÷åòîâ  òàáëèöå 5 äëÿ êàæäîãî íåíóëåâîãî îñòàòêà a mod11 óêàçàí åãî ïîðÿäîê k. Êàê è äîëæíî áûòü, ïîðÿäêè äåëèòåëè ÷èñëà 10. Äàâàéòå ïîñ÷èòàåì, ñêîëüêî ðàç â íèæíåé ñòðîêå b g Òàáëèöà 5 6 5 8 5 3 À âîò ñòåïåíè äâîéêè 21 ≡ 2 , 2 ≡ 8 , 27 ≡ 7 è 2 9 ≡ 6 , ïîêàçàòåëè êîòîðûõ âçàèìíî ïðîñòû ñ 10, ÿâëÿþòñÿ ïåðâîîáðàçíûìè êîðíÿìè. (Îáäóìàéòå ýòî!) È âîîáùå, åñëè g ïåðâîîáðàçíûé s êîðåíü ïî ïðîñòîìó ìîäóëþ p, òî g ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíûì êîðíåì â Îêîí÷àíèå. Íà÷àëî ñì. â «Êâàíòå» ¹1, 3. 4* a 1 3 4 5 6 9 10 k 1 10 5 5 5 10 10 10 5 2 2 7 8 òàáëèöû 5 âñòðå÷àþòñÿ ÷èñëà 1, 2, 5 è 10. Îòâåòû çàïèøåì â âèäå òàáëèöû 6. Òàáëèöà 6 Ïîðÿ äîê 1 2 5 10  ñòðå÷àåòñÿ 1 1 4 4 Âèäíà çàêîíîìåðíîñòü? Åñëè íåò, ïîñìîòðèòå íà òàáëèöó 7, ñîñòàâëåííóþ äëÿ p = 13. Òàáëèöà 7 a 1 2 3 4 5 6 k 1 12 3 6 4 12 a 7 8 9 10 11 12 k 12 4 3 6 12 2  íåé ïîðÿäêè äåëèòåëè ÷èñëà 12. Ïîñ÷èòàåì, ñêîëüêî ðàç âñòðå÷àþòñÿ â íèæíåé ñòðîêå òàáëèöû 7 ÷èñëà 1, 2, 3, 4, 6 è 12 (òàáë.8). Òàáëèöà 8 Ïîðÿ äîê 1 2 3 4 6 12  ñòðå÷àåòñÿ 1 1 2 2 2 4 Åñëè âû âñå åùå íå äîãàäàëèñü, ñîñòàâüòå òàêèå òàáëèöû äëÿ íåñêîëüêèõ äðóãèõ ïðîñòûõ ÷èñåë p, è ðàíî èëè ïîçäíî óâèäèòå, ÷òî â íèæíèõ ñòðîêàõ ýòèõ òàáëèö çíà÷åíèÿ ôóíêöèè Ýéëåðà: ϕ 1 = 1, ϕ 2 = 1, ϕ 3 = 2, ϕ 4 = 2, ϕ 5 = 4, ϕ 6 = = 2, ϕ 10 = 4, ϕ 12 = 4. Âåëèêèé íåìåöêèé ìàòåìàòèê Ê.Ô.Ãàóññ (17771855) â «Àðèôìåòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèÿõ», îïóáëèêîâàííûõ â 1801 ãîäó, äîêàçàë, ÷òî ýòî íå ñëó÷àéíîñòü, à îáùèé çàêîí. Òåîðåìà 4. Ñðåäè p 1 íåíóëåâûõ êëàññîâ âû÷åòîâ ïî ïðîñòîìó ìîäóëþ p ïîðÿäîê k, ãäå k äåëèòåëü ÷èñëà p 1, èìåþò ðîâíî ϕ (k) êëàññîâ âû÷åòîâ. ( ÷àñòíîñòè, äëÿ ëþáîãî ïðîñòîãî ÷èñëà p ñóùåñòâóåò ϕ (p 1) ïåðâîîáðàçíûõ êîðíåé ïî ìîäóëþ p.) Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 4 ìû èñïîëüçóåì òåîðåìó Áåçó è îäíî èíòåðåñíîå ñâîéñòâî ôóíêöèè Ýéëåðà. bg b g bg bg bg b g bg bg Òåîðåìà Áåçó Äëÿ òåõ, êòî çíàêîì ñ äåëåíèåì ìíîãî÷ëåíîâ ñ îñòàòêîì, òåîðåìó Áåçó1 ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü è äî1 Ýòüåí Áåçó (17301783) ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê. ÊÂÀÍT 2000/¹4 16 êàçàòü î÷åíü êîðîòêî.  ðàâåíñòâî bg h c bg hbg ãäå g x ìíîãî÷ëåí (íåïîëíîå ÷àñòíîå), à r ÷èñëî (îñòàòîê), ìîæíî ïîäñòàâèòü âìåñòî x ÷èñëî a. Ïîëó÷èì ìíîãî÷ëåíà f x , òî f x = = x − a1 x − a2 ... x − am g x , ãäå g íåêîòîðûé ìíîãî÷ëåí. Ïðèìåíèâ ýòî ñîîáðàæåíèå ê ìíîãî÷ëåíó x p−1 − 1 , ïîëó÷èì çàìå÷àòåëüíóþ ïåðåôîðìóëèðîâêó ìàëîé òåîðåìû Ôåðìà: f a = a − a g a + r = r. x p−1 − 1 ≡ x − 1 x − 2 K x − p + 1 , Çíà÷èò, îñòàòîê r îò äåëåíèÿ f x íà x a ðàâåí f a . Ýòî è åñòü òåîðåìà Áåçó. À äëÿ îñòàëüíûõ ÷èòàòåëåé òåîðåìó Áåçó ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü è äîêàçàòü ÷óòü áîëåå äëèííûì, íî íå ìåíåå åñòåñòâåííûì ñïîñîáîì. Òåîðåìà 5. ×èñëî a ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà f(x) â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà f(x) äåëèòñÿ íà x a, ò.å. êîãäà ãäå çíàê ñðàâíåíèÿ îçíà÷àåò, ÷òî åñëè ðàñêðûòü âñå ñêîáêè â ïðàâîé ÷àñòè è âû÷åñòü èç íåå ëåâóþ, òî ïîëó÷èì ìíîãî÷ëåí, êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî êðàòíû p. Êàê âû ïîìíèòå, äëÿ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ p = 2, 3, 5, 7 è 11 ýòî ðàçëîæåíèå íà ìíîæèòåëè âñòðå÷àëîñü â ïåðâîé ÷àñòè ñòàòüè. bg b c gbg f x = x − a g x + r, bg bg b gbg b bg bg f(x) = (x a)g(x), bg b gbg f ba g = b a − a gg b ag = 0 . Îáðàòíî, ïóñòü f ba g = 0 . Ïîäñòàâèì â ìíîãî÷ëåí f b xg = k x + k x + K f x = x−a g x , n −1 n−1 ... + k2 x 2 + k1 x + k0 ÷èñëî a. Ïîëó÷èì bg 0 = f a = kn a n + kn−1a n −1 +K 2 ... +k2 a + k1 a + k0 . Ñëåäîâàòåëüíî, bg bg bg = k ex − a j + k ex − a j + K ... +k e x − a j + k b x − a g . f x =f x −f a = n n n n −1 2 2 Êàæäàÿ èç ðàçíîñòåé x a, b gb n −1 2 n −1 1 g x2 − a2 = x − a x + a , ... xn − an = b ge = x − a xn−1 + xn−2 a +K+ xan−2 + an−1 êðàòíà x a. Òåîðåìà äîêàçàíà. g b g Óïðàæíåíèå 49. Ïîäñòàâèâ x = 0, äîêàæèòå òåîðåìó Âèëüñîíà: p − 1 ! ≡ −1 mod p äëÿ ëþáîãî ïðîñòîãî ÷èñëà p. b g b g b òî n gb Ñðàâíåíèå x k ≡ 1 mod p ãäå g íåêîòîðûé ìíîãî÷ëåí. Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè n hc j Ïåðåôîðìóëèðîâêà ìàëîé òåîðåìû Ôåðìà Èç òåîðåìû Áåçó ñëåäóåò, ÷òî åñëè a1 , a2 , ..., am ðàçëè÷íûå êîðíè g Åñëè k äåëèòåëü ÷èñëà p 1, ò.å. p 1 = km, òî x p−1 −1 = e je k = x −1 x b g + x k b m −2 g + K + x k k m−1 j +1 . Çíà÷èò, ìíîãî÷ëåí x k − 1 ÿâëÿåòñÿ 1 äåëèòåëåì ìíîãî÷ëåíà x p− − 1 . Ïîp−1 ñêîëüêó x − 1 ðàçëàãàåòñÿ â ïðîèçâåäåíèå ìíîãî÷ëåíîâ ïåðâîé ñòåïåíè, òî åãî äåëèòåëü x k − 1 ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì k ìíîãî÷ëåíîâ ïåðâîé ñòåïåíè. Íåìíîãî ïîäóìàâ, ìîæíî ñîîáðàçèòü, ÷òî ìû äîêàçàëè ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. Òåîðåìà 6. Åñëè p ïðîñòîå ÷èñëî, k äåëèòåëü ÷èñëà p 1, òî k ñðàâíåíèþ x ≡ 1 (mod p) óäîâëåòâîðÿþò ðîâíî k êëàññîâ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ p. Óïðàæíåíèÿ 50. Ðåøèòå ñðàâíåíèÿ à) x 4 ≡ 1 mod 13 ; á) x1604 ≡ 1 mod 17 . (Óêàçàíèå. 2 è 3 ïåðâîîáðàçíûå êîðíè, ñîîòâåòñòâåííî, ïî ìîäóëþ 13 è ïî ìîäóëþ 17.) 51. Çíàÿ, ÷òî 2 ïåðâîîáðàçíûé êîðåíü ïî ìîäóëþ 29, ðåøèòå ñðàâíåíèå b g b g b g x + x + x + x + x + x + 1 ≡ 0 mod 29 . 6 5 4 3 2 52. Ïóñòü p ïðîñòîå ÷èñëî. Ïðè k k k êàêèõ k ñóììà 1 + 2 + K + p − 1 êðàòíà p? 53. à) Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò òàêèõ ïàð (a,b) íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ÷òî a, b ≤ 1717 è a 8 + b 8 êðàòíî 17? á) Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò òàêèõ òðîåê (a,b,ñ) íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ÷òî b g a, b, c ≤ 289 è a 17? 1000 +b 3000 +c 9000 êðàòíî Ñóììà çíà÷åíèé ôóíêöèè Ýéëåðà Ðàññìîòðèì 100 äðîáåé: 1/100, 2/100, ..., 100/100. Åñëè êàæäóþ èç íèõ ïðèâåñòè ê íåñîêðàòèìîìó âèäó, òî ïîëó÷èì ϕ 100 = 40 äðîáåé ñî çíàìåíàòåëåì 100, ϕ 50 = 20 äðîáåé ñî çíàìåíàòåëåì 50, è òàê äàëåå: äëÿ êàæäîãî äåëèòåëÿ d ÷èñëà 100 ïîëó÷èì ϕ d äðîáåé ñî çíàìåíàòåëåì d. (Ïî÷åìó? Ïîòîìó ÷òî ϕ d ýòî êîëè÷åñòâî íåñîêðàòèìûõ ïðàâèëüíûõ äðîáåé ñî çíàìåíàòåëåì d.) Ìû ïîëó÷èëè çàìå÷àòåëüíîå ðàâåíñòâî: b g b g bg bg b g b g b g b g + ϕb10g + ϕb 5g + ϕb 4g + ϕb2g + ϕb1g . 100 = ϕ 100 + ϕ 50 + ϕ 25 + ϕ 20 + 2 Åñëè áû ìû ðàññìîòðåëè íå äðîáè ñî çíàìåíàòåëåì 100, à äðîáè ñî çíàìåíàòåëåì n, òî òî÷íî òàê æå äîêàçàëè áû ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. Òåîðåìà 7. Äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n ñóììà çíà÷åíèé ôóíêöèè Ýéëåðà ϕ(d) ïî âñåì äåëèòåëÿì d ÷èñëà n ðàâíà n. Óïðàæíåíèÿ 54. Åñëè d äåëèòåëü ÷èñëà n, òî ñóøåñòâóåò ðîâíî ϕ n d òàêèõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë k, ÷òî k ≤ n è ÍÎÄ k, n = d . Äîêàæèòå ýòî. 55. Ïóñòü n > 1. Íàéäèòå ñóììó âñåõ íåñîêðàòèìûõ ïðàâèëüíûõ äðîáåé, çíàìåíàòåëè êîòîðûõ ðàâíû n. b g b g Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 4 Ìû äîëæíû äîêàçàòü, ÷òî åñëè k äåëèòåëü ÷èñëà p 1, òî ñðåäè íåíóëåâûõ êëàññîâ âû÷åòîâ ïî ïðîñòîìó ìîäóëþ p ñóùåñòâóåò ðîâíî ϕ k êëàññîâ ïîðÿäêà k. Ïðèìåíèì èíäóêöèþ. Áàçà. Äëÿ k = 1 óòâåðæäåíèå âåðíî. Ïåðåõîä. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûé äåëèòåëü k ÷èñëà p 1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî äåëèòåëÿ d ÷èñëà k, ãäå d < k, ñóùåñòâóåò ðîâíî ϕ d êëàññîâ âû÷åòîâ ïîðÿäêà d. Íàéäåì êîëè÷åñòâî êëàññîâ âû÷åòîâ ïîðÿäêà k.  ñèëó òåîðåìû 6, ñðàâíåíèþ x k ≡ 1 mod p óäîâëåòâîðÿþò ðîâíî k êëàññîâ âû÷åòîâ. Êàæäîå ðåøåíèå x ýòîãî ñðàâíåíèÿ èìååò íåêîòîðûé bg bg b g 2 Äëÿ Ôîìû íåâåðóþùåãî: 40 + 20 + + 20 + 8 + 4 + 4 + 2 + 1 + 1 = 100. ÌÀËÀß ïîðÿäîê ïî ìîäóëþ p, ïðè÷åì ýòîò ïîðÿäîê äåëèòåëü ÷èñëà k. Îñòàëîñü âñïîìíèòü òåîðåìó 7 è ñòàíîâèòñÿ ÿñíî, ÷òî êëàññîâ ïîðÿäêà k ñóùåñòâóåò ðîâíî ϕ k øòóê. Òåîðåìà 4 äîêàçàíà. bg Óïðàæíåíèÿ 56. Ïóñòü p ïðîñòîå ÷èñëî, p > 3. Íàéäèòå îñòàòîê îò äåëåíèÿ íà p ïðîèçâåäåíèÿ òåõ èç ÷èñåë 1, 2, ..., p 1, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ïåðâîîáðàçíûìè êîðíÿìè ïî ìîäóëþ p. 57. a) Åñëè ïîðÿäêè ÷èñåë a è b ïî ìîäóëþ p ðàâíû m è n ñîîòâåòñòâåííî, òî ïîðÿäîê ïðîèçâåäåíèÿ ab äåëèòåëü ÷èñëà ÍÎÊ[m, n]. Äîêàæèòå ýòî. á) Ïîêàæèòå, ÷òî ïîðÿäîê ÷èñëà ab ðàâåí mn, åñëè ÷èñëà m è n âçàèìíî ïðîñòû, è íå îáÿçàòåëüíî ðàâåí ÷èñëó ÍÎÊ[m, n], åñëè m è n íå âçàèìíî ïðîñòû. 58. à) Ïóñòü p ïðîñòîå ÷èñëî, p > 2, a a b b p −1g = g1 a q 1 1 g b p −1g g2 a q 2 2 b p −1g K gs a qs s bg n→ ∞ b g= bg πg n π n = bg Ãèïîòåçà Àðòèíà Êàê ìû òîëüêî ÷òî äîêàçàëè, äëÿ êàæäîãî ïðîñòîãî ÷èñëà p ñóùåñòâóåò ïåðâîîáðàçíûé êîðåíü ïî ìîäóëþ p. Èíòåðåñíî: êàêèå öåëûå ÷èñëà áûâàþò ïåðâîîáðàçíûìè êîðíÿìè, à êàêèå íå áûâàþò? Î÷åâèäíî, 1 ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíûì êîðíåì òîëüêî ïî ìîäóëþ 2 èëè 3. b p −1g 2 Äàëåå, èç ðàâåíñòâà a2 = a p −1 ñëåäóåò, ÷òî òî÷íûé êâàäðàò íå ìîæåò áûòü ïåðâîîáðàçíûì êîðíåì íè ïî êàêîìó íå÷åòíîìó ïðîñòîìó ìîäóëþ p. Íåìåöêèé àëãåáðàèñò Ýìèëü Àðòèí (18981962) ïðåäïîëîæèë, ÷òî äëÿ ëþáîãî öåëîãî ÷èñëà g ≠ −1 , íå ÿâëÿþùåãîñÿ êâàäðàòîì öåëîãî ÷èñëà, ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî òàêèõ ïðîñòûõ p, ÷òî g ïåðâîîáðàçíûé êîðåíü ïî ìîäóëþ p. Áîëåå òîãî, íåêîòîðûå âåðîÿòíîñòíûå ñîîáðàæåíèÿ ïðèâåëè Àðòèíà ê ñëåäóþùåìó óòî÷íåíèþ åãî ãèïîòåçû: åñëè k åñòü íàèáîëüøåå òàêîå ÷èñëî, ÷òî g ÿâëÿ- d i F F I I ∏ GH1 − q − 1 JK ⋅ ∏ GGH1 − qbq − 1g JJK , 1 k Mq 1 k íå M q ãäå ïåðâîå ïðîèçâåäåíèå ðàñïðîñòðàíåíî íà âñå ïðîñòûå ÷èñëà q, ÿâëÿþùèåñÿ äåëèòåëÿìè k, à âòîðîå íà âñå ïðîñòûå ÷èñëà q, íå ÿâëÿþùèåñÿ äåëèòåëÿìè k. Ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè ãèïîòåçà Àðòèíà íå äîêàçàíà, õîòÿ íåêîòîðûé åå àíàëîã, îòíîñÿùèéñÿ ê ïîëþ ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé îò îäíîé ïåðåìåííîé íàä êîíå÷íûì ïîëåì, äîêàçàòü óäàëîñü. ×èñëà Êàðìàéêëà  ñèëó ìàëîé òåîðåìû Ôåðìà, 2 p −1 ≡ 1 mod p äëÿ ëþáîãî íå÷åòíîãî ïðîñòîãî ÷èñëà p. Ñóùåñòâóþò ëè ñîñòàâíûå ÷èñëà ñ òåì æå ñâîéñòâîì? Äà, ñóùåñòâóþò: b g b g 2340 ≡ 1 mod 341 . ïåðâî- îáðàçíûé êîðåíü ïî ìîäóëþ p. (Çàìåòüòå: ìû ïîëó÷èëè åùå îäíî äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ ïåðâîîáðàçíîãî êîðíÿ ïî ïðîñòîìó ìîäóëþ!) á) Äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî n ñóùåñòâóåò âçàèìíî ïðîñòîå ñ n öåëîå ÷èñëî a, ïîðÿäîê êîòîðîãî ïî ìîäóëþ n ðàâåí λ n . Äîêàæèòå ýòî. m m â) Åñëè n = 2, 4, p èëè 2p , ãäå p íå÷åòíîå ïðîñòîå, m íàòóðàëüíîå, òî ñóùåñòâóåò ïåðâîîáðàçíûé êîðåíü ïî ìîäóëþ n. Äîêàæèòå ýòî. 5 Êâàíò ¹ 4 bg lim  ñàìîì äåëå, 341 = 11 ⋅ 31, ïðè÷åì 210 1 = 1023 = 3 ⋅ 11 ⋅ 31. (Ìîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî ÷èñëî 341 íàèìåíüøåå ñîñòàâíîå ÷èñëî n ñî ñâîéñòâîì 2n−1 ≡ 1 mod n .) b g d i Óïðàæíåíèå 59. à) Åñëè n = 4 p − 1 3 , ãäå p ïðîñòîå ÷èñëî, p > 3, òî 2n −1 ≡ 1 mod n . Äîêàæèòå ýòî. á) (Ì672) Ïóñòü a òàêîå íàòóðàëüa íîå ÷èñëî, ÷òî 2 − 2 êðàòíî a (íàïðèìåð, a = 3). Îïðåäåëèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü x1 , x 2 , x 3 , ... óñëîâèÿìè x1 = a, b g x x n +1 = 2 n − 1 . Äîêàæèòå, ÷òî 2 êðàòíî x n ïðè ëþáîì n. xn −2 Íî ïî÷åìó ìû çàèíòåðåñîâàëèñü èìåííî ñëó÷àåì a = 2? Íàâåðíîå, ðàçóìíåå ñïðîñèòü: ñóùåñòâóþò ëè òàêèå ñîñòàâíûå ÷èñëà n, ÷òî äëÿ ëþáîãî a, âçàèìíî ïðîñòîãî ñ n, âûïîëíåíî ñðàâíåíèå a n1 ≡ ≡ 1 mod n ? Òàêèå ÷èñëà òîæå ñóùåñòâóþò! Èõ íàçûâàþò ÷èñëàìè Êàðìàéêëà. Íàèìåíüøåå ÷èñëî ýòî 561 = 3 ⋅ 11 ⋅ 17, çà íèì èäóò 1105 = 5 ⋅ 13 ⋅ 17, 1729 = 7 ⋅ 13 ⋅ 19, 2465 = 5 ⋅ 17 ⋅ 29, 2821 = 7 ⋅ 13 ⋅ 31, 6601 = 7 ⋅ 23 ⋅ 41, 8911 = 7 ⋅ 19 ⋅ 67, 10585 = 5 ⋅ 29 ⋅ 73, 15841 = 7 ⋅ 31 ⋅ 73, 29341 = 13 ⋅ 37 ⋅ 61, 41041 = 7 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 41,... b g 17 ÔÅÐÌÀ åòñÿ k-é ñòåïåíüþ, òî îòíîøåíèå êîëè÷åñòâà π g n ïðîñòûõ ÷èñåë, íå ïðåâîñõîäÿùèõ n, ïî ìîäóëþ êîòîðûõ g ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíûì êîðíåì, ê êîëè÷åñòâó π n âñåõ ïðîñòûõ ÷èñåë, íå ïðåâîñõîäÿùèõ n, ñòðåìèòñÿ ïðè n → ∞ ê çàâèñÿùåìó òîëüêî îò k ïðåäåëó a p 1 = q11q22 K q s s ðàçëîæåíèå ÷èñëà p 1 â ïðîèçâåäåíèå ñòåïåíåé ðàçëè÷íûõ ïðîñòûõ ÷èñåë. Ïóñòü g1 , g 2 , ..., g s òàêèå íå êðàòíûå p ÷èñëà, ÷òî p −1 q gib g i ≡/ 1 mod p ïðè i = 1, 2, ..., s. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî g = ÒÅÎÐÅÌÀ  1994 ãîäó â æóðíàëå Annals of Mathematics (ò. 139, c. 703722) òðè ìàòåìàòèêà Àëüôîðä, Ãðåíâèëëü è Ïîìåðàíö îïóáëèêîâàëè (àáñîëþòíî íåäîñòóïíîå äëÿ øêîëüíèêà) äîêàçàòåëüñòâî áåñêîíå÷íîñòè ìíîæåñòâà ÷èñåë Êàðìàéêëà. Óïðàæíåíèå 60. à) Äîêàæèòå, ÷òî a 561 − a êðàòíî ÷èñëó 561 ïðè ëþáîì öåëîì a. á) Äîêàæèòå ïðè n = 1105 ñðàâíåíèÿ n −1 n −1 mod n . (Ìîæíî äîêàçàòü, 2 ≡1≡ 3 ÷òî ÷èñëî 1105 íàèìåíüøåå ñîñòàâíîå ÷èñëî ñ òàêèì ñâîéñòâîì.) b g Î÷åâèäíî, ñîñòàâíîå ÷èñëî n ÿâëÿåòñÿ ÷èñëîì Êàðìàéêëà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà n 1 äåëèòñÿ íà λ n . Òåîðåìà 8. Ñîñòàâíîå ÷èñëî n = = p1m1 p2m2 ⋅ K ⋅ psms , ãäå p1 , p2 , ..., p s ðàçëè÷íûå ïðîñòûå ÷èñëà, m1 , m2 , ..., m s íàòóðàëüíûå ÷èñëà, ÿâëÿåòñÿ ÷èñëîì Êàðìàéêëà â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà m1 = = m2 = ... = m s = 1 è n 1 êðàòíî êàæäîìó èç ÷èñåë p1 1, p2 1, ... ..., ps 1. Ñëåäñòâèå. Åñëè n ÷èñëî Êàðìàéêëà, òî äëÿ ëþáîãî öåëîãî ÷èñëà a âåðíî ñðàâíåíèå an ≡ a (mod n). Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 8. Ïóñòü n ÷èñëî Êàðìàéêëà. Ïîñêîëüêó ïðè n > 2 çíà÷åíèå ôóíêöèè Êàðìàéêëà λ n ÷åòíî, òî n 1 äîëæíî áûòü ÷åòíûì. Ñëåäîâàòåëüíî, n íå÷åòíî. Ïîñêîëüêó λ n äåëèòñÿ íà bg bg e j mi i mi −1 i bg c p − 1h , λ p =p à n 1 íå i äåëèòñÿ íà pi , òî â ñëó÷àå m i > 1 ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå. Ñëåäîâàòåëüíî, m1 = m2 = ... = m s = 1. Çàâåðøåíèå äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 8 ïðåäîñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ. Óïðàæíåíèÿ 61. b à) Äîêàæèòå, g ÷òî 2161038 ≡ 2 mod 161038 . (Ïðè ïîìîùè êîì- ïüþòåðà ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî n = = 161038 = 2 ⋅ 73 ⋅ 1103 íàèìåíüøåå ÷åòíîå ñîñòàâíîå ÷èñëî, äëÿ êîòîðîãî n 2 ≡ 2 mod n . Ñëåäóþùåå òàêîå ÷åòíîå ÷èñëî 215326 = 2 ⋅ 23 ⋅ 31 ⋅ 151.) á) Äëÿ ëþáîãî öåëîãî ÷èñëà a ≠ −1 ñóùåñòâóåò òàêîå ÷åòíîå ÷èñëî n > 2, ÷òî n a ≡ a mod n . Äîêàæèòå ýòî. â*) Äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà a ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî òàêèõ ÷åòn íûõ ÷èñåë n, ÷òî a ≡ a mod n . Äîêàæèòå ýòî. (Óêàçàíèå. Èñïîëüçóéòå òåîðåìó ÁèðêãîôàÂàíäèâåðà, ñôîðìóëèðîâàííóþ â óïðàæíåíèè 32.) m m 62. à) Ïóñòü n = 3 − 2 . Äîêàæèòå, ÷òî åñëè n 1 êðàòíî m, òî ÷èñëî n −1 n −1 êðàòíî n. 3 −2 á) Ñóùåñòâóåò ëè ñîñòàâíîå ÷èñëî n, n −1 n −1 äëÿ êîòîðîãî 3 − 2 êðàòíî n? b g b g b g ÊÂÀÍT 2000/¹4 18 â) (Ì1510) Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî òàêèõ ñîñòàâíûõ ÷èñåë n −1 n −1 n, ÷òî 3 − 2 êðàòíî n. 63. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè n ñîñòàâíîå n −1 n −1 n−1 ≡ + 2 + ... + n − 1 ÷èñëî è 1 ≡ −1 mod n , òî n ÷èñëî Êàðìàéêëà. (Âîñïîëüçîâàâøèñü ñïèñêîì ÷èñåë Êàð16 ìàéêëà, íå ïðåâîñõîäÿùèõ 10 , ìîæíî ïðè ïîìîùè êîìïüþòåðà ïðîâåðèòü, ÷òî íå ñóùåñòâóåò íè îäíîãî óäîâëåòâîðÿþùåãî ýòîìó ñðàâíåíèþ ÷èñëà, íå ïðåâîñ16 õîäÿùåãî 10 . Ñóùåñòâóþò ëè òàêèå 16 ÷èñëà, áîëüøèå 10 , ìû íå çíàåì.) b b g g Ïðèëîæåíèÿ ëîñü: ba + 1g − ba + 1g ≡ p p p b g ≡ a + 1 − a − 1 = a − a mod p . Óïðàæíåíèå 65. Åñëè n ñîñòàâíîå, òî õîòÿ áû îäèí èç áèíîìèàëüíûõ êîýôôèn −2 k n −1 2 öèåíòîâ C n , Cn , ..., C n , ..., C n íå êðàòåí n. Äîêàæèòå ýòî. Êîìáèíàòîðíîå äîêàçàòåëüñòâî Íà ðèñóíêå èçîáðàæåíû âñå 32 ñïîñîáà ðàñêðàñêè â äâà öâåòà êðóãà, êîòîðûé ðàçäåëåí íà 5 ðàâíûõ ñåêòîðîâ. Ñðåäè Áèíîì Íüþòîíà Ìàëóþ òåîðåìó Ôåðìà ëåãêî äîêàçàòü ïî èíäóêöèè, åñëè èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó áèíîìà Íüþòîíà. Ìû ñäåëàåì ýòî äëÿ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë a, îñòàâèâ ñëó÷àé îòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë ÷èòàòåëþ. Ïóñòü ñíà÷àëà p = 3. Áàçà èíäóêöèè: 13 1 = 0 äåëèòñÿ íà 3. Ïåðåõîä: åñëè äëÿ íåêîòîðîãî ÷èñëà a óæå äîêàçàëè, ÷òî 3 a a êðàòíî 3, òî ba + 1g − ba + 1g = 3 b g 3 2 = a + 3a + 3 a + 1 − a + 1 ≡ b g ≡ a 3 + 1 − a − 1 = a 3 − a ≡ 0 mod 3 . Àíàëîãè÷íî äëÿ p = 5: áàçà î÷åâèäíà 5 1 − 1 ≡ 0 mod 5 , à äëÿ ïåðåõîäà èñïîëüçóåì ôîðìóëó b e ba + 1g 5 gj 5 4 3 2 = a + 5 a + 10 a + 10a + 5 a + 1 . 3 2 4 Âèäèòå, êîýôôèöèåíòû ïðè a , a , a è a êðàòíû 5. Ïîýòîìó ba + 1g 5 b 5 g ≡ a + 1 mod 5 , îòêóäà è ñëåäóåò âîçìîæíîñòü èíäóêöèîííîãî ïåðåõîäà: ba + 1g − ba + 1g ≡ 5 5 b 5 g ≡ a + 1 − a − 1 = a − a mod 5 . Óïðàæíåíèå 64. Äîêàæèòå èíäóêöèåé ïî a ìàëóþ òåîðåìó Ôåðìà äëÿ à) p = 2; á) p = 7. Çàéìåìñÿ îáùèì ñëó÷àåì. Ôîðìóëà áèíîìà èìååò âèä ba + 1g p = a + pa p −1 b gb p + + b ... + Êîýôôèöèåíòû 1 2 2 p−2 + g a +K+ pb p − 1g a + pa + 1 . p p −1 p − 2 3! ga p p −1 p− 3 2 2 b g C p = p , C p = p p − 1 2 , ... k b g b g ...C p = p p − 1 ... p − k + 1 k ! ,... p −1 ...C p =p êðàòíû ïðîñòîìó ÷èñëó p. Ïîýòîìó p p a + 1 ≡ a + 1 mod p , ÷òî è òðåáîâà- b g b g íèõ âûäåëÿþòñÿ äâà ñïîñîáà êîãäà âåñü êðóã ñèíèé è êîãäà îí âåñü êðàñíûé. À îñòàëüíûå ðàçáèòû íà 6 ãðóïï ïî 5 ðàñêðàñîê, ïîëó÷àþùèõñÿ îäíà èç äðóãîé ïîâîðîòîì. Çàäà÷à. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ðàñêðàñèòü a ðàçíûìè êðàñêàìè êðóã, ðàçáèòûé íà p îäèíàêîâûõ ñåêòîðîâ, ãäå p ïðîñòîå ÷èñëî? (Êàæäûé ñåêòîð îêðàøèâàåòñÿ îäíîé êðàñêîé; íå îáÿçàòåëüíî èñïîëüçîâàòü âñå êðàñêè; äâå ðàñêðàñêè, ñîâïàäàþùèå ïðè ïîâîðîòå êðóãà, ñ÷èòàþòñÿ îäèíàêîâûìè.) Ðåøåíèå. Î÷åâèäíî, ìîæíî âñå ñåêòîðû ïîêðàñèòü îäíîé êðàñêîé. Òàêèõ ñïîñîáîâ ñòîëüêî æå, ñêîëüêî êðàñîê, ò.å. a ñïîñîáîâ. À âîò èç ëþáîé äðóãîé ðàñêðàñêè ïîâîðîòàìè ìîæíî ïîëó÷èòü p ðàçíûõ ðàñêðàñîê (ñ÷èòàÿ è ñàìó ýòó ðàñêðàñêó: îíà ïîëó÷àåòñÿ ïîâîðîòîì íà 0°). Çíà÷èò, îòâåò òàêîâ: p a+ a −a p . Ïîñêîëüêó êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ íå áûp âàåò äðîáíûì, ÷èñëî a − a îáÿçàíî íàöåëî äåëèòüñÿ íà p. Óïðàæíåíèå 66. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ðàñêðàñèòü a ðàçíûìè êðàñêà2 ìè êðóã, ðàçáèòûé à) íà p ñåêòîðîâ, ãäå p ïðîñòîå ÷èñëî? á) íà pq ñåêòîðîâ, ãäå p, q ïðîñòûå ÷èñëà, p ≠ q ? (Êàæäûé ñåêòîð îêðàøèâàåì îäíîé êðàñêîé; íå îáÿçàòåëüíî èñïîëüçîâàòü âñå êðàñêè; äâå ðàñêðàñêè, ñîâïàäàþùèå ïðè ïîâîðîòå êðóãà, ñ÷èòàåì îäèíàêîâûìè.) Êàê ñòðîÿò áîëüøèå ïðîñòûå ÷èñëà? Êàê ïîìíèò ÷èòàòåëü ïåðâîé ÷àñòè ñòàòüè, äëÿ êðèïòîãðàôè÷åñêîé ñèñòåìû RSA íóæíû áîëüøèå (ëó÷øå âñåãî äëèíîé â íåñêîëüêî ñîò öèôð) ïðîñòûå ÷èñëà. Íàèáîëåå ýôôåêòèâíûì ñðåäñòâîì ïîñòðîåíèÿ òàêèõ ÷èñåë ñåé÷àñ ÿâëÿåòñÿ ìåòîä, îñíîâàííûé íà ñëåäóþùåé ëåììå. Ëåììà. Ïóñòü q íå÷åòíîå ïðîñòîå ÷èñëî, r ÷åòíîå íàòóðàëüíîå, n = qr + + 1. Åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå öåëîå ÷èñëî a, ÷òî a b n−1 FH g IK r ≡ 1 mod n è ÍÎÄ a − 1,n = = 1, òî êàæäûé ïðîñòîé äåëèòåëü p ÷èñëà n óäîâëåòâîðÿåò ñðàâíåíèþ p ≡ 1 mod 2q . Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì ïîðÿäîê ÷èñëà a ïî ìîäóëþ p áóêâîé k. Ïîñêîëüb n −1g q 1 mod p , òî êó a n−1 ≡ 1 mod p è a ≡/ k äåëèòñÿ íà q.  ñèëó òåîðåìû 3, p 1 äåëèòñÿ íà k. Ñëåäîâàòåëüíî, p 1 äåëèòñÿ íà q. Êðîìå òîãî, p 1 ÷åòíî. Ëåììà äîêàçàíà. Ñëåäñòâèå. Åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ ëåììû è r ≤ 4q + 2 , òî n ïðîñòîå ÷èñëî. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü n ðàâíÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèþ íå ìåíåå ÷åì äâóõ ïðîñòûõ ÷èñåë. Ïîñêîëüêó êàæäîå èç íèõ íå ìåíüøå 2q + 1, ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå: b g b b2q + 1g 2 b g g 2 ≤ n = qr + 1 ≤ 4 q + 2q + 1 . Ïîêàæåì òåïåðü, êàê, èìåÿ áîëüøîå ïðîñòîå ÷èñëî q, ìîæíî ïûòàòüñÿ ñòðîèòü ñóùåñòâåííî áîëüøåå ïðîñòîå ÷èñëî n. Âûáåðåì ñëó÷àéíûì îáðàçîì ÷åòíîå ÷èñëî r íà ïðîìåæóòêå q < r ≤ 4q + 2 è ïîëîæèì n = qr + 1. Çàòåì ïðîâåðèì n íà îòñóòñòâèå ìàëûõ ïðîñòûõ äåëèòåëåé, ïåðåïðîáîâàâ ìàëûå ïðîñòûå ÷èñëà. 3 Åñëè ïðè ýòîì âûÿñíèòñÿ, ÷òî n ñîñòàâíîå, òî ñëåäóåò âûáðàòü íîâîå çíà÷åíèå r è ïîâòîðèòü âû÷èñëåíèÿ. Åñëè æå åñòü íàäåæäà, ÷òî n ïðîñòîå, òî ìîæíî ñëó÷àéíûì îáðàçîì âûáðàòü ÷èñëî a è ïðîâåðèòü, âûïîëíåíû ëè äëÿ n−1 íåãî ñîîòíîøåíèÿ a ≡ 1 mod n è e r j b g ÍÎÄ a − 1, n = 1 . Åñëè âûïîëíåíû, òî ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî n ïðîñòîå (çà2 ìåòüòå: n > q , òàê ÷òî ÷èñëî n çàïèñûâàåòñÿ ïðèìåðíî âäâîå áîëüøèì êîëè÷åñòâîì öèôð, ÷åì q). Åñëè æå íåò, òî ìîæíî âçÿòü äðóãîå çíà÷åíèå a, è òàê äàëåå.  íàñòîÿùèé ìîìåíò íåò äîêàçàòåëüñòâà òîãî, ÷òî ýòîò àëãîðèòì ñðàáîòàåò è òåì áîëåå ÷òî îí ñðàáîòàåò äîñòàòî÷íî áûñòðî. Îäíàêî íà ïðàêòèêå îí ïîçâîëÿ300 åò ñòðîèòü áîëüøèå (ïîðÿäêà 10 ) ïðîñòûå ÷èñëà. 3  ýòîì ìåñòå ìû ÷óòü ëóêàâèì: ñëåäóåò íå òîëüêî äåëèòü íà ìàëûå ïðîñòûå ÷èñëà, íî è ïðèìåíÿòü áîëåå õèòðûå ìåòîäû ïðîâåðêè íà ïðîñòîòó. Õîòÿ ýòè ìåòîäû îñíîâàíû íà ìàëîé òåîðåìå Ôåðìà è ïî ñóòè ñâîäÿòñÿ ê òîìó, ÷òî åñëè äëÿ íåêîòîðîãî a, âçàèìíî ïðîñòîãî c n, n−1 ÷èñëî a íå ñðàâíèìî ñ 1 ïî ìîäóëþ n, òî n ñîñòàâíîå, ïîäðîáíîå îáñóæäåíèå çàâåëî áû íàñ ñëèøêîì äàëåêî â áóðíî ðàçâèâàþùóþñÿ îáëàñòü òåîðèè ÷èñåë è âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè.