Вопросы к коллоквиуму по теории чисел 1 курс, 2 поток. 2014г

Âîïðîñû ê êîëëîêâèóìó ïî òåîðèè ÷èñåë
1 êóðñ, 2 ïîòîê. 2014ã., ëåêòîð - Í.Ã. Ìîùåâèòèí
(êîëëîêâèóì ñîñòîèòñÿ íà íåäåëå 01.12.2014 - 06.12.2014)
1. Íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå. Òåîðåìà î òîì, ÷òî âñÿêîå îáùåå êðàòíîå
äåëèòñÿ íà íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå.
2. Íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü. Òåîðåìà î òîì, ÷òî íàèáîëüøèé îáùèé
äåëèòåëü äåëèòñÿ íà ëþáîé îáùèé äåëèòåëü.
3. Àëãîðèòì Åâêëèäà íàõîæäåíèÿ íàèáîëüøåãî îáùåãî äåëèòåëÿ.
4.
Òåîðåìà î ïðåäñòàâëåíèè íàèáîëüøåãî îáùåãî äåëèòåëÿ
(a, b) = ax + by :
5.
(a, b)
â âèäå
(a, b)
â âèäå
äîêàçàòåëüñòâî ñ ïîìîùüþ àëãîðèòìà Åâêëèäà.
Òåîðåìà î ïðåäñòàâëåíèè íàèáîëüøåãî îáùåãî äåëèòåëÿ
(a, b) = ax + by :
äîêàçàòåëüñòâî ñ ïîìîùüþ ìèíèìàëüíîãî ïîëîæèòåëüíîãî
ýëåìåíòà ìíîæåñòâà
M = {z = ax + by, , x, y ∈ Z}.
6. Àëãîðèòì ðåøåíèÿ â öåëûõ ÷èñëàõ ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ
ax + by = c.
7. Ïðîñòûå ÷èñëà. Áåñêîíå÷íîñòü ìíîæåñòâà ïðîñòûõ ÷èñåë. Ðåøåòî Ýðàòîñôåíà.
Òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè è åäèíñòâåííîñòè ðàçëîæåíèÿ íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íà
ïðîñòûå ìíîæèòåëè.
8. Òåîðåìà î ñòðåìëåíèè ê áåñêîíå÷íîñòè ñóììû
9.
Ôîðìóëà âêëþ÷åíèÿ-èñêëþ÷åíèÿ.
P
1
p≤x p .
Ïðèìåíåíèå ôîðìóëû âêëþ÷åíèÿ-
èñêëþ÷åíèÿ äëÿ âû÷è÷ñëåíèÿ çíà÷åíèé ôóíêöèèÝéëåðà.
10. Ôóíêöèÿ Ýéëåðà. Ôîðìóëû
11. Ôóíêöèÿ Ìåáèóñà.
ϕ(n) = n
Q
p|n
1−
1
p
è
(
P
1, n = 1
Ôîðìóëû
d|n µ(d) =
0n>1
P
,
d|n
ϕ(d) = n.
ϕ(n) = n
P
d|n
µ(d)
.
d
12. Ñâåðòêà Äèðèõëå è åå ñâîéñòâà. Ôîðìóëà îáðàùåíèÿ Ìåáèóñà è ïðèìåðû
åå ïðèìåíåíèÿ.
13. Ñðàâíåíèÿ è èõ îñíîâíûå ñâîéñòâà. Êëàññû âû÷åòîâ. Ïîëíàÿ è ïðèâåäåííàÿ
ñèñòåìû âû÷åòîâ.
14. Ïîëíàÿ è ïðèâåäåííàÿ ñèñòåìû âû÷åòîâ. Äîêàçàòåëüñòâî ìóëüòèïëèêàòèâíîñòè
ôóíêöèè Ýéëåðà ñ ïîìîùüþ ïîñòðîåíèÿ ïðèâåäåííîé ñèñòåìû âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ
mn
mx + ny; 1 ≤ x ≤ n, (x, n) = 1; 1 ≤ y ≤ m, (y, m) = 1
m è n).
â âèäå
ïðîñòûõ
(äëÿ âçàèìíî
15. Êèòàéñêàÿ òåîðåìà îá îñòàòêàõ.
16. Òåîðåìà Ýéëåðà, ìàëàÿ òåîðåìà Ôåðìà è òåîðåìà Âèëüñîíà.
17. Ïîëèíîìèàëüíûå ñðàâíåíèÿ. Òåîðåìà î òîì, ÷òî ó íåíóëåâîãî ìíîãî÷ëåíà
ïî ïðîñòîìó ìîäóëþ êîëè÷åñòâî êîðíåé íå ïðåâîñõîäèò ñòåïåíè. Ëåììà Ãåíçåëÿ.
18.
Êâàäðàòè÷íûå âû÷åòû è íåâû÷åòû.
Ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà.
Ñèìâîë
Ëåæàíäðà. Òåîðåìà Ýéëåðà.
19. Ëåììà Ãàóññà î ñèìâîëå Ëåæàíäðà.
20.
2
.
p
Êâàäðàòè÷íûé çàêîí âçàèìíîñòè Ãàóññà è âû÷èñëåíèå ñèìâîëà Ëåæàíäðà
21. Ñèìâîë ßêîáè è åãî ñâîéñòâà.
22. Ïîêàçàòåëü ýëåìåíòà ïî ìîäóëþ m è åãî ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà. Ïîêàçàòåëü
ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ýëåìåíòîâ ñ âçàèìíî ïðîñòûìè ïîêàçàòåëÿìè.
23.
Ïåðâîîáðàçíûå êîðíè ïî ìîäóëþ
m.
Ñóùåñòâîâàíèå ïåðâîîáðàçíîãî
êîðíÿ ïî ïðîñòîìó ìîäóëþ. Êðèòåðèé ïåðâîîáðàçíîãî êîðíÿ.
pα è 2pα .
Îòñóòñòâèå ïåðâîîáðàçíûõ êîðíåé ïî ìîäóëÿì 2α , α ≥ 3, 2α pβ , α ≥ 2, β ≥
ìîäóëþ m, êîãäà ó m åñòü äâà ðàçëè÷íû íå÷åíòûõ ïðîñòûõ äåëèòåëÿ.
24. Ñóùåñòâîâàíèå ïåðâîîáðàçíîãî êîðíÿ ïî ìîäóëÿì
25.
1
è ïî